Lezione 11Lezione 11

Fluido dinamica

Equazione di Equazione di Bernoulli Bernoulli per un fluido idealeper un fluido ideale

• le forze dovute alla pressioni p1 e p2applicate agli estremi del condotto:

F1= p1 A1 e F2= p2 A2

Il lavoro meccanico fatto queste forze nello spostare un volume V di fluido e’

W = p1 A1 ∆l1 – p2 A2 ∆l2

• La forza peso:

P = mg

L’ equazione di Bernoulli esprime la legge di conservazione dell’ energia totale di un fluido ideale che si muove in un condotto:

Le forze esterne applicate al fluido contenuto nella sezione di tubo sono

l lavoro fatto dalla forza peso nello spostare il volume di liquido tra i livelli y1 e y2 e’

Wg =-mg(y2 – y1)

Il lavoro totale fatto dalle forze esterne sul fluido e’

Wt = p1 A1 ∆l1 – p2 A2 ∆l2 – mg (y2 – y1)

Ma per il principio di conservazione dell’ energia

Wt =1/2 mv22 - 1/2 mv1

2

Pertanto

1/2 (mv22 -mv1

2 ) = p1 A1 ∆l1 – p2 A2 ∆l2 –mg (y2 – y1)

e

m = ρ A1 ∆l1 = ρ A2 ∆l2

Sostituendo e ordinando:

Equazione di Equazione di Bernoulli Bernoulli per un fluido idealeper un fluido ideale

1/2 (ρ A2 ∆l2 v22 - ρ A1 ∆l1 v1

2 ) = p1 A1 ∆l1 – p2 A2 ∆l2 - (ρ g A2 ∆l2 y2 – ρ g A1 ∆l1 y1)

p1 A1 ∆l1+ ρ g A1 ∆l1 y1 +1/2 ρ A1 ∆l1 v12 = p2 A2 ∆l2+ ρ g A2 ∆l2 y2 +1/2 ρ A2 ∆l2 v2

2

Dato che il liquido e’ incompressibile A1 ∆l1 = A2 ∆l2, quindi

p1 + ρ ρ ρ ρ g y 1 +1/2 ρρρρ v12 = p2 + ρρρρ g y 2 +1/2 ρρρρ v2

2 p + ρρρρ g y +1/2 ρ ρ ρ ρ v2 = cost

p + ρρρρgh + ½ρρρρv2 = costante“In regime stazionario, la somma dei tre termini (pressione dinamica,

pressione di gravità e pressione cinetica) è costante per ogni sezione”.

Si noti che anche il terzo termine ha le dimensioni di una pressione [ML-1T-2] e che, per v = 0, si ottiene la legge di Stevino .

Equazione di Equazione di BernoulliBernoulli

La pressione misurata in un fluido in quiete (v = 0) e’ sempre inferiore a quella misurata in un fluido in movimento (v > 0). Un nebulizzatore di liquido e’ costituito da un tubo orizzontale in cui e’ generato un flusso di aria a velocità v , collegato ad un tubo verticale immerso in una vasca contenente un liquido. Se la pressione atmosferica e’ p0, la pressione nel tubo orizzontale e’ p0 – ∆p dovuta alla velocità dell’ aria. La differenza di pressione aspira il liquido dalla vasca che e’ poi disperso in goccioline dalla camera di nebulizzazione

Applicazioni della legge di Applicazioni della legge di BernoulliBernoulliIn regime stazionario se la sezione del condotto è costante anche la velocità del fluido e’ costante

Il termine di pressione dinamica non varia lungo il condotto e la legge (9.8) si scrive, in due generiche sezioni Sl e S2,

dato che i termini ½ρv12 e ½ρv2

2 si eliminano.

La pressione è massima nel punto più basso , assunto come riferimento per le quote, e decresce con l’ aumentare della quota.

Prevalenza di una pompa Se vogliamo far salire in regime stazionario un fluido di una quota h con una certa portata q = Sv, la pompa deve assicurare la differenza di pressione p = ρgh, che corrisponde ad una forza F = pS = ρgh S. La potenza necessaria, ossia Il lavoro compiuto per unità di tempo P = F ∆s/∆t = Fv = ρghSv = ρgh q.

Per far salire l'acqua di 1 m con portata di 1 litro/s la potenza necessaria è

P = I03 • 9.8 • 1 • I0-3 = 9.8 W ;

Per h metri e n litri/s è P = 9.8 hnW.

Tubo di VenturiTubo di Venturi

Dall’equazione di Bernoulli:

Le due pressioni di gravità si eliminano perché yLe due pressioni di gravità si eliminano perché y11= = yy22

Inoltre vInoltre v11 SS11= v= v22 SS2 2 ((con S1 e S2 rispettivamente la sezione della conduttura e della strozzatura). perché il liquido e’ perché il liquido e’ incompressibileincompressibilePertanto sostituendo:Pertanto sostituendo:

Ossia :Ossia :pp11 +1/2 +1/2 ρρ vv11 = p= p11 +1/2 +1/2 ρρ (v(v22 SS2 2 /S/S1 1 ))2 2 = p= p22 +1/2 +1/2 ρρ vv22

22

S1

S2

II tubo di Venturi è un condotto orizzontale a sezione variabile e viene utilizzato per misure di velocità e di portata, inserendolo nella conduttura in cui scorre il fluido.

pp11 ++ ρ ρ g yg y11 +1/2 +1/2 ρρ vv112 2 = p= p22 ++ ρρ g yg y22 +1/2 +1/2 ρρ vv22

22

Dalla misura della differenza di pressione nelle due sezioni, ∆p = p1- p2 si possono calcolare le velocità, in particolare v1 e risalire al valore della portata del condotto, q = vv11 SS11

EsempioEsempio

La misura di si può fare direttamente, utilizzando un manometro differenziale a mercurio connesso tra sezione e strozzatura

Per misurare la portata di un condotto d'acqua avente sezione circolare di raggio R1= 10 cm si utilizza un tubo di Venturi di raggi R1 e R2 = 5 cm. Il manometro a mercurio (ρHg = 13.6 • I03

kg/m3) della figura 9.26 segna un dislivello h = 20 cm. Calcolare la portata del condotto.

Soluzione II manometro misura una differenza di pressione ricavabile dalla legge di Stevino:

Dalla

ricaviamo v1 = 3.29 m/s e quindi la portata del condotto è:

Il sangue viene distribuito capillarmente a tutte le parti del corpo e come conseguenza della riduzione del diametro del condotto la velocita’ periferica del sangue e’ diminuita.

La riduzione della velocità di scorrimento del sangue e’ essenziale per permettere il verificarsi gli scambi chimici tra sangue e tessuti corporei

AORTA

ARTERIE

ARTERIOLE

CAPILLARI

VENULE

VENE

Raorta= 1.2 cmvs= 40 cm/s

Rcapill= 410-4 cmvs= 510-4m/s

CUORE

AORTA

CAPILLARI

ARTERIOLE

VENA

CAVA

VENE

VENULE

valvole

POLMONI

EsempioEsempio

La circolazione sanguigna e’ un esempio di moto di un fluido incompressibile. Il diametro e il numero dei condotti varia quanto più ci si avvicina alle parti periferiche del corpo

Aaortavaorta = Acapillarevcapillare

Portata sanguignaPortata sanguigna Q = 5 l/min = (5000 cm3)/(60 s) = 83.33 cm3/s

Velocita’ del sangue nei vari distretti :

AORTA (r = 0.8 cm) S = ππππ r2 ≈≈≈≈ 2 cm2 v = Q/S ≈≈≈≈ 40 cm/sARTERIOLE S ≈≈≈≈ 400 cm 2 v = Q/S ≈≈≈≈ 0.2 cm/sCAPILLARI S ≈≈≈≈ 4000 cm2 v = Q/S ≈≈≈≈ 0.02 cm/sVENA CAVA (r=1.1 cm) S = ππππ r2 ≈≈≈≈ 4 cm2 v = Q/S ≈≈≈≈ 20 cm/s

La sezione effettiva dei condotti periferici e’ for temente aumentata per diminuire la velocità di scorrimento periferico

9

2

4421

22

1

10*7

10*4

2.1

/10*5

/40.0

)(

)(

≈

===

=

−−

N

cm

cm

sm

sm

Rv

Rv

Av

AvN

NAvAv

C

A

capillaricapillari

aortaaorta

capillaricapillariaortaaorta

ππ

Calcolo approssimato del numero di capillari

Velocità di deflusso Velocità di deflusso -- Teorema di Teorema di TorricelliTorricelliUn recipiente, contenente un liquido di densità ρ, presenta sulla parete un piccolo foro, di sezione trascurabile rispetto alla sezione del recipiente, a distanza h dalla superficie libera. La pressione nell'ambiente in cui si trova il recipiente è ovunque p0.

Determinare la velocità con cui il liquido esce dal foro (velocità di deflusso).

Dato che il recipiente ha sezione molto grande rispetto al foro il livello scende lentamente e il liquido può essere considerato quasi in quiete sulla superficie libera.

Per il teorema di Bernoulli

Sulla superficie libera p = p0, v = 0 e, assumendo il livello del foro come riferimento, z = h; all'uscita del foro p = p0 e z = 0. Pertanto

La velocità di deflusso non dipende né da ρ né da p0 ed è pari a quella che avrebbe il liquido se scendesse in caduta libera da un'altezza h.

Si noti che la traiettoria del getto e’ di tipo parabolica, simile a quella di un corpo che cade nel campo gravitazionale terrestre con una velocità trasversale vforo

Misura della velocità relativa solido/fluido, Tubo di Misura della velocità relativa solido/fluido, Tubo di Pitot Pitot

Nelle sezioni A e B, a sufficiente distanza dall'ostacolo, la pressione e la velocità del fluido sono le stesse,

dato che in O v0 = 0.

Pertanto la misura differenziale della pressione (p0 – pB) permette la misura della velocità del fluido nel punto B

(9.11)

La misura si effettua praticando dei fori come mostrato nel disegno e collegandoli a un manometro a mercurio

Se un ostacolo viene posto in una corrente fluida, le linee di corrente si aprono, ma nel punto di ostacolo O il fluido è in quiete rispetto all'ostacolo

Esempio : Un tubo di Pitot, è montato su un aereo. In fase di decollo il manometro a mercurio (ρH = 13.6 • IO3 kg/m3) segnala un dislivello h = 5 cm. Calcolare la velocità dell'aereo.

,

Per cui la velocità dell'aereo da (9.11) con ρaria = 1.29 kg/m3 risulta:

Sollevamento fluidodinamico Sollevamento fluidodinamico -- Fisica Fisica del del volovolo

L’equazione di Bernoulli applicata al moto orizzontale di un corpo in un fluido e’ alla base del fenomeno del volo nell’ atmosfera terrestre.

Le ali degli aerei sono sagomate in modo che la velocità dell’ aria sulla superficie superiore dell’ ala sia superiore a quella sulla superficie inferiore

In base all’ equazione

p1 - p2 = 1/2 ρ (v22- v1

2 )

l’ ala sarà soggetta ad una forza verticale (portanza) opposta alla gravità

F = A (p1 - p2 ) = 1/2 A ρ (v22- v1

2 ) = 1/2 A ρ C v2

C >> coefficiente di portanza.

La portanza dipende dal dettaglio della geometria dell’ala, in particolare dall’ angolo di attacco e da fattori di turbolenza, che tendono a diminuire la velocità sulla superficie superiore dell’ ala e diminuire la portanza.

Nelle auto veloci si sfrutta una geometria inversa per aumentare il peso dell’auto, l’ attrito col suolo e la sua capacità di frenata

Moto laminareMoto laminareIl moto di fluidi reali, avviene sempre in presenza di attrito.

Per velocità moderate il moto è detto laminare, il regime è stazionario, ossia con linee di corrente a configurazione costante.

Questa situazione si verifica ad esempio quando due lastre piane parallele di area S sono separate da uno strato di fluido di spessore h.

Se la lastra superiore si muove con velocità costante v a causa di una forza F tangente alla lastra, il fluido a contatto immediato con la lastra superiore si muove

con velocità v, quello a contatto con la lastra inferiore è fermo, quello intermedio si muove con velocità variabile linearmente da zero a v con la distanza. Si può immaginare il liquido suddiviso in strati, ognuno dei quali si muove con una certa velocità a contatto con due strati in cui la velocità è diversa. Sperimentalmente si trova che la forza necessaria per mantenere questo moto laminare stazionario è data dalla relazione

dove η e’il coefficiente di attrito viscoso definito precedentemente. Il moto avviene in equilibrio tra la forza applicata e la forza di attrito viscoso.

h

vSF

∆∆=η

Moto laminare in un condottoMoto laminare in un condotto

.

In condotto orizzontale, lungo l e con una differenza di pressione pl - pz agli estremi, si dimostra che il modulo della velocità varia con il raggio r del cilindro con la legge di Hagen-Poseuille

La portata del condotto e’ data da :

Una diversa geometria di moto laminare si verifica quando un fluido scorre in un condotto cilindrico di raggio R. Il fluido a contatto con la parete è fermo e la velocità aumenta avvicina verso l’ asse del condotto, per cui abbiamo strati cilindrici coassiali di fluido che scorrono l'uno dentro l'altro con velocità diverse. La velocità è massima sull'asse del condotto

Se definiamo una velocità media del fluido nel condotto come

(9.15)

Sia la la velocità media che le velocità dei singoli strati cilindrici sono direttamente proporzionali al gradiente di pressione (p1- p2)/l. Per mantenere il flusso di fluido nel condotto è necessaria una differenza di pressione ovvero una forza eguale e contrari a quella dovuta all'attrito interno: La stessa situazione e’ quella incontrata nel moto rettilineo uniforme di un punto materiale in presenza di attrito radente.

Effetti delle forze di attrito viscosoEffetti delle forze di attrito viscoso

Perdita di carico

Fluido ideale Fluido viscoso

Pressione in due sezioni di un condotto orizzontale

(a) fluido ideale : in accordo con l’ equazione di Bernoulli la pressione del fluido, misurata dai manometri e’ costante nei tratti in cui la velocità e’ costante

(b) fluido viscoso: la pressione decresce anche nei tratti a velocità costante a causa della forza di attrito (perdita di carico)

Esempio l’arteria polmonare, è lunga 8.5 cm e ha una differenza di pressione ai suoi estremi ∆P = 450 Pa. Se il raggio interno dell’arteria è R = 2.5 mm, qual è il modulo della velocità media del sangue nell’arteria polmonare?

η= 0.027 Poise

smmmsN

Pam

L

PPR

L

PPR

L

PPAv BABABA

/4.1)105.8)(/107.2(8

)450()10*5.2(

8

)(

8

)(

8

)(

223

23

22

≈⋅⋅⋅⋅

=

=−=−=−=

−−

−

ηπηπ

πη

Misura del coefficiente di viscositàMisura del coefficiente di viscosità

Viscosimetro Nel viscosimetro di Ostwald la misura del coefficiente di viscosità si effettua facendo scorrere a velocitàcostante un fluido viscoso in un tubo capillare di diametro e lunghezza nota e misurandone la velocità media. η dipende fortemente dalla temperatura e pertanto tutta la strumentazione e’mantenuta a temperatura costante in un termostato

La misura di viscosità di un olio minerale e’ una delle esperienze del laboratorio del corso

Tubo capillare

Termostato

Moto fluido vorticosoMoto fluido vorticoso

Per un condotto cilindrico si dimostra sperimentalmente che si ha la transizione da regime laminare a vorticoso quand o il parametro adimensionale

(9.16)

detto numero di Reynolds, ha il valore 1200. La velocità critica per la transizione è quindi

Per v < vc vale la (9.15), quando v supera vc

• si ha inizialmente una notevole diminuzione della portata, a parità di differenza di pressione ai capi del condotto, e un regime di moto instabile

• aumentando la differenza di pressione si raggiunge di nuovo un flusso stabile in regime vorticoso e si trova che la

dove il coefficiente di proporzionalità k è costante in un ampio intervallo di R (1.2 • I03 a I05), per i normali tubi impiegati nell'uso pratico.

La legge di Hagen-Poiseuille è sempre verificata se il raggio del condotto è molto piccolo (tubi capillari) . Per raggi maggiori c'è un valore critico della velocità oltre il quale compaiono vortici nel fluido (moto vorticoso o turbolento). .

è sostituita dalla

Moto di un corpo solido in un fluidoMoto di un corpo solido in un fluido

• Una sfera immersa in un fluido in moto senza attrito si ha completa simmetria delle linee di corrente e quindi la stessa pressione a monte e a valle della sfera (9.34a). La sfera pertanto non subisce alcuna spinta e rimane ferma.

• Se invece il fluido è reale si forma una scia vorticosa. La pressione a valle è minore di quella a monte e si manifesta con una forza sulla sfera, che viene trascinata dal fluido (9.34b). In ogni caso si perde la simmetria delle linee di corrente e compare una spinta sulla sfera.

Lo studio del moto di un corpo immerso in un fluido è molto importante per ragioni pratiche, dato che ogni moto sulla terra avviene nell’ atmosfera o addirittura in presenza di due fluidi, aria e acqua.

L'interazione con il fluido si manifesta attraverso una forza, che si oppone al moto e si chiama resistenza del mezzo, il cui effetto dipende dal moto relativo ossia si ha lo stesso risultato se il corpo si muove in un fluido in quiete o se il fluido scorre e il corpo è fermo.

Paradosso di d'Alembert.

I parametri che determinano la resistenza del mezzo sono la forma e le dimensioni del corpo in moto nel fluido, in particolare la sezione S, la densità e la viscosità del fluido, la velocità relativa.

L'espressione generale della resistenza del mezzo è dato da

(9.18)

con :S : sezione, ρ: densità del fluido, v : velocità relativa, c = coefficiente di resistenza del mezzo dipende dalla forma del corpo.

• in regime vorticoso c è costante e Frres è proporzionale a v2,

• in regime laminare c è funzione dell'inverso della velocità e pertanto Fres e’ proporzionale alla velocità (forza di attrito viscoso).

Moto di un corpo solido in un fluidoMoto di un corpo solido in un fluido

In particolare per sfere di raggio R con piccola velocità vale la legge di Stokes:

(9.19)

Esempio: Calcolo della forza resistenteEsempio: Calcolo della forza resistenteDedurre l'espressione

(9.18)

della forza resistente resistenza dall'aria sull'automobile che si muove con una velocità v .

Soluzione L'aria si muove rispetto all'automobile con velocità -v, per cui detta S la sezione dell'automobile perpendicolare alla velocità, la massa d'aria che investe l'automobile nel tempo ∆t è quella contenuta in un cilindro di base S e altezza pari alla distanza percorsa dall'automobile (dall'aria) nel tempo ∆t , ∆h = v ∆t, ossia ∆m = ρaSv ∆t, con ρa = densità dell'aria.

In condizioni stazionarie, il lavoro fatto dalla forza resistente nel tempo ∆t è

∆L = Fres ∆h = Fres v ∆t

ed è uguale all’ energia cinetica del corpo:

Eguagliando le due equazioni si ottiene:

che coincide con la (9.18) a meno del coefficiente e che viene determinato sperimentalmente e dipende dal profilo di tutto il veicolo ed è funzione della velocità, dato che dipende dal regime del moto dell'aria rispetto al veicolo stesso.

Esempio : calcolo della velocità limite di una gocc iaEsempio : calcolo della velocità limite di una gocc ia

• Calcolare la velocità limite di una goccia sferica di raggio R e densità ρ che cade in un fluido di viscosità η e densità ρ 0.

• Calcolare la viscosità dell'aria sapendo che una goccia d'olio (ρ = 0.8 • I03 kg/m3) di raggio R = 5 mm cade in aria con velocità costante v = 2.5 mm/s.

Soluzione La sfera che si muove nel fluido in regime laminare è sottoposta alla forza peso, alla spinta di Archimede e alla resistenza del mezzo, che hanno le espressioni, proiettate sull'asse z verticale

Quando la sfera raggiunge la velocità limite la risultante delle tre forze è nulla (equilibrio dinamico) per cui si trova:

Trascurando la densità dell'aria ρ0 = 1.29 kg/m3 rispetto a quella dell'olio,

P = FA = Fres =