Fluidodinamica

dei processi astrofisici

Introduzione all’AstrofisicaAA 2012/2013

Prof. Alessandro MarconiDipartimento di Fisica e Astronomia

Universita di Firenze

Dispense e presentazioni disponibili all’indirizzohttp://www.arcetri.astro.it/„marconi

Ultimo aggiornamento: 13 maggio 2013

1 Equazioni della fluidodinamica

Equazione di conservazione della massa

Bρ

Bt` ~∇ ¨ pρ~vq “ 0 (1)

Equazione di moto

B~v

Bt` p~v ¨∇q~v “ ´

~∇pρ`

1

ρ~Fext (2)

Se siamo in un campo gravitazionale

~Fext “ ´ρ~∇φ (3)

B~v

Bt` p~v ¨∇q~v “ ´

~∇pρ´ ~∇φ (4)

se il campo e generato dalla stessa massa del fluido,

∇2φ “ 4πGρ (5)

Nel caso ~v “ 0 ritroviamo l’equazione dell’equilibrio idrostatico.Queste equazioni sono scritte in notazione Euleriana, ovvero consideriamouna posizione nello spazio ~r e guardiamo come variano le grandezze fisichein ~r al variare del tempo.Esiste anche la notazione Lagrangiana in cui si segue il moto di un bendefinito volumetto di fluido (particella fluida) e si osservano le variazionidelle grandezze fisiche che lo caratterizzano: si individua la particella fluidaalla posizione ~r0 al tempo t0 e se specifica la posizione in funzione del tempo

~r “ ~rp~r0, t0, tq (6)

La derivata temporale nell’approccio Lagrangiano e data da

d

dt“B

Bt` ~v ¨ ~∇ (7)

Ad esempio,

dρ

dt“Bρ

Bt` ~v ¨ ~∇ρ “ Bρ

Bt` ~∇ ¨ pρ~vq ´ ρ~∇ ¨ ~v (8)

1

da cui, applicando l’equazione di continuita in forma Euleriana (1) otteniamol’equazione di continuita in forma Lagrangiana

dρ

dt“ ´ρ~∇ ¨ ~v (9)

Per l’equazione di moto, si riconosce che l’equazione in forma Euleriana (2)e direttamente

d~v

dt“ ´

~∇pρ´ ~∇φ (10)

ovvero il secondo principio della dinamica applicato alla particella fluida.Riassumendo abbiamo 6 funzioni incognite (ρ, ~v, p, e φ) per 5 equazioni:

Bρ

Bt` ~∇ ¨ pρ~vq “ 0

B~v

Bt` p~v ¨∇q~v “ ´

~∇pρ´ ~∇φ

∇2φ “ 4πGρ

A queste dobbiamo aggiungere l’equazione di stato p “ ppρ, T q che nel casodei gas perfetti e

p “ρ

mk T (11)

ma questa introduce un’ulteriore incognita T . Per determinare la tempera-tura occorre considerare l’equazione per la conservazione dell’energia.Dal primo e dal secondo principio della Termodinamica

dU “ TdS ´ pdV (12)

che si riferisce all’elemento fluido di massa M ; U e l’energia interna (termica)e S e l’entropia. Dividendo membro a membro per M possiamo passare allegrandezze per unita di massa (specifiche) ovvero

ε “U

M

s “S

M

ma dV {M “ dpV {Mq “ dp1{ρq per cui

dε “ Tds´ pd

ˆ

1

ρ

˙

“ Tds`p

ρ2dρ (13)

2

Consideriamo il caso in non ci siano processi dissipativi (con produzione dicalore) e non ci sia trasmissione di calore da un elemento fluido all’altro(tempi scala trasmissione del calore sono piu lunghi dei tempi scala tipici delsistema fluido). Queste approssimazioni sono ben verificate per il gas perfet-to. Allora siamo nell’approssimazione adiabatica in cui Tds “ 0 e pertantol’equazione dell’energia esprime la conservazione dell’entropia specifica

ds

dt` ~v ¨ ~∇s “ 0 (14)

Una trasformazione adiabatica di un gas perfetto e caratterizzata da unarelazione ben precisa tra p e ρ che deriva dalla ben nota pV γ “ cost. ovvero

p “ Kργ (15)

con K costante e γ “ CP {CV . Nel caso di un gas perfetto monoatomicoγ “ 5{3. Una relazione come la 15 per un qualsiasi valore di γ prende il nomedi Politropica e puo essere presa in sostituzione dell’equazione dell’energiaper chiudere il sistema. La relazione adiabatica Tds “ 0 fornisce un’altrarelazione che posso usare come alternativa per l’equazione dell’energia ovverodε “ p{ρ2 dρ. L’energia interna specifica (energia termica) e

ε “1

γ ´ 1

p

ρ(16)

dove p si sono utilizzate le relazioni che legano l’energia termica alla tempe-ratura e l’equazione di stato dei gas perfetti. Infine l’equazione dell’energia,in assenza di processi dissipativi (o di produzione di energia) ed in assenzadi conduzione del calore e

d

dt

ˆ

1

γ ´ 1

p

ρ

˙

“ ´p

ρ~∇ ¨ v (17)

dove si e sfruttata l’equazione di continuita della massa in forma Lagrangiana.

1.1 Il Teorema di Bernoulli

Vediamo adesso come si puo ricavare il Teorema di Bernoulli dalle equazionifluide. Il Teorema di Bernoulli vale nel caso stazionario per cui per ognigrandezza fisica f , Bf{Bt “ 0.Partiamo dall’equazione dell’energia dε “ ´p dp1{ρq che possiamo scriverecome

dε “ ´p d

ˆ

1

ρ

˙

“ ´d

ˆ

p

ρ

˙

`1

ρdp (18)

3

esplicitando la derivata Lagrangiana, con B{Bt “ 0, si ha

~v ¨ ~∇ε “ ´~v ¨ ~∇ˆ

p

ρ

˙

`1

ρ~v ¨ ~∇p

1

ρ~v ¨ ~∇p “ ~v ¨ ~∇

ˆ

ε`p

ρ

˙

(19)

Consideriamo l’equazione della forza con B{Bt “ 0

p~v ¨∇q~v “ ´~∇pρ´ ~∇φ

~∇pρ

“ ´p~v ¨ ~∇q~v ´ ~∇φ (20)

moltiplichiamo scalarmente membro a membro per ~v,

1

ρ~v ¨ ~∇p “ ´~v ¨ p~v ¨ ~∇q~v ´ ~v ¨ ~∇φ

1

ρ~v ¨ ~∇p “ ´~v ¨ ~∇

ˆ

1

2v2

˙

´ ~v ¨ ~∇φ

1

ρ~v ¨ ~∇p “ ´~v ¨ ~∇

ˆ

1

2v2` φ

˙

(21)

ma sostituendo l’equazione 19 otteniamo infine

~v ¨ ~∇ˆ

1

2v2` φ` ε`

p

ρ

˙

“ 0 (22)

Poicheε`

p

ρ“

γ

γ ´ 1

p

ρ(23)

otteniamo infine

~v ¨ ~∇ˆ

1

2v2` φ`

γ

γ ´ 1

p

ρ

˙

“ 0 (24)

questo significa che lungo una linea di flusso (linea di campo di ~v) il gradientedeve essere nullo, ovvero

1

2v2` φ`

γ

γ ´ 1

p

ρ“ cost. (25)

che e proprio il Teorema di Bernoulli.Vediamo adesso l’applicazione delle equazioni della fluidodinamica a vari casidi rilevanza astrofisica.

4

2 Perturbazioni lineari e onde

Consideriamo adesso le piccole perturbazioni di un mezzo statico, omogeneoe indefinito. Le grandezze fisiche della soluzione di equilibrio sono indicatecon il pedice 0:

ρ “ ρ0, p “ p0, ~v “ 0, ~∇p0 “ 0 ~∇ρ0 “ 0

Le piccole perturbazioni possono essere espresse nella forma f “ f0` δf conδf{f ! 1, ovvero

ρ “ ρ0 ` δrho

p “ p0 ` δp

φ “ φ0 ` δφ

~v “ δ~v (26)

Le equazioni fluide per il mezzo perturbato sono pertanto

Bpδρq

Bt` ~∇ ¨ rpρ0 ` δρqδ~v s “ 0

Bpδ~vq

Bt` pδ~v ¨ ~∇qδ~v “ ´ 1

ρ0 ` δρ~∇pp0 ` δpq ´ ~∇pφ0 ` δφq

∇2pφ0 ` δφq “ 4πGpρ0 ` δρq (27)

Sviluppando al primo ordine (dove necessario), eliminando i termini delsecondo ordine e utilizzando le soluzioni di equilibrio si ottiene

Bpδρq

Bt` ~∇ ¨ pρ0δ~v q “ 0

Bpδ~vq

Bt“ ´

~∇δpρ0

´ ~∇δφ

∇2δφ “ 4πGδρ (28)

Consideriamo perturbazioni adiabatiche, ovvero tali che s “ cost. Alloral’equazione di stato e esprimibile come

δp “

ˆ

Bp

Bρ

˙

s

δρ “ c2s δρ (29)

dove la derivata e stata indicata con c2s e il suo significato sara chiaro a

breve. Adesso deriviamo rispetto al tempo la prima equazione e prendiamo

5

la divergenza della seconda:

B2pδρq

Bt2` ρ0

B

Bt

”

~∇ ¨ pδ~v qı

“ 0

~∇ ¨„

Bpδ~vq

Bt

“ ´∇2δp

ρ0

´∇2δφ

∇2δφ “ 4πGδρ (30)

eliminiamo p utilizzando l’equazione di stato, sostituiamo la terza equazionenella seconda e definiamo il contrasto di densita ∆ “ δρ{ρ0

B2∆

Bt2`B

Bt

”

~∇ ¨ pδ~v qı

“ 0

~∇ ¨„

Bpδ~vq

Bt

“ ´c2s∇2∆´ 4πGρ0∆

Infine, sostituendo la seconda equazione nella prima si ottiene

B2∆

Bt2´ c2

s∇2∆´ 4πGρ0∆ “ 0 (31)

questa e una equazione delle onde con un termine forzante dovuto alla gravita.Cerchiamo soluzioni tipo onda piana

∆kp~r, tq “ ∆k exp”

˘iωt` ~k ¨ ~rı

(32)

con ∆k ampiezza costante. E’ facile verificare che

B2

Bt2∆ “ ´ω2∆ (33)

∇2∆ “ ´k2∆ (34)

per cui si ottiene la relazione di dispersione

ω2“ c2

sk2´ 4πGρ0 (35)

Una qualsiasi soluzione dell’equazione 31 e esprimibile come la combinazionelineare di onde piane (32) ovvero

∆p~r, tq “ Σk ∆k exp”

˘iωt` ~k ¨ ~rı

(36)

con ω e k che soddisfano la relazione di dispersione 35.

6

Consideriamo il caso in cui la forza di gravita sia trascurabile, ovvero eli-miniamo dall’equazione 31 il termine forzante. Otteniamo la classica equa-zione delle onde con ω “ csk per cui le piccole perturbazioni sono descrivibilicome una sovrapposizione di onde piane che si propagano con velocita cs:queste sono le ben note onde sonore e cs e la velocita del suono.

Nel caso in cui la gravita non sia trascurabile abbiamo due tipi di soluzionia seconda che ω2 ą 0 o ω2 ă 0. Nel primo caso abbiamo delle soluzioni checontinuano a essere esprimibili come la sovrapposizione di onde piane con leoscillazioni sostenute dalla pressione del gas, sufficiente a opporsi alla forzadi gravita; sostituendo k “ 2π{λ la condizione per le soluzioni oscillatorie e

λ ă

ˆ

πc2s

Gρ0

˙1{2

“ λJ (37)

λJ prende il nome di lunghezza d’onda di Jeans. Ovvero la lunghezza d’ondadelle perturbazioni deve essere superiore ad un valore critico al disotto delquale la gravita prevale. Nel secondo caso la pressione non e in grado di soste-nere le oscillazioni e la gravita prevale determinando il collasso gravitazionaledel mezzo, infatti se ω2 ă 0 si hanno soluzioni del tipo

∆kp~r, tq “ ∆k exp“

˘p4πGρ0 ´ c2sk

2q1{2 t

‰

exp´

i~k ¨ ~r¯

(38)

Le soluzioni con il segno ´ sono ovviamente oscillazioni smorzate nel tempoe quindi poco interessanti. Nel caso invece del segno ` cui il contrasto didensita cresce esponenzialmente nel tempo, ovvero soluzioni in cui si ha ilcollasso gravitazionale.

Avevamo trovato che una nube sferica autogravitante di massa M (fis-sata!) e temperatura T era gravitazionalmente instabile se il suo raggio erainferiore al raggio di Jeans

r ă rJ “GmM

3kT0

(39)

rJ rappresenta le dimensioni massime per avere il collasso della nube se M efissata. Questa espressione puo essere modificata sostituendo M “ 4{3πr3

Jρ0

da cui

r ą rJ,ρ “

ˆ

9kT0

4πGmρ0

˙1{2

“ 0.846

ˆ

kT0

Gmρ0

˙1{2

(40)

ovvero, nel caso in cui fissiamo la densita della nube, troviamo le dimensioniminime per la stabilita. Per poter confrontarlo con il risultato appena otte-nuto bisogna considerare che il diametro della nube 2rJ,ρ deve corrispondere

7

a mezza lunghezza d’onda di Jeans λJ{2. Inoltre nel caso di un gas perfettorisulta

p0 “ρ0

mkT0

c2s “ γ

p0

ρ0

“ γkT0

m(41)

per cui

rJ,ρ “λJ4“

1

4

ˆ

πc2s

Gρ0

˙1{2

“

ˆ

πγkT0

16Gmρ0

˙1{2

“ 0.572

ˆ

kT0

Gmρ0

˙1{2

(42)

avendo utilizzato γ “ 5{3 dei gas perfetti. Questa espressione ottenuta conl’analisi perturbativa delle equazioni fluide e, a meno di un fattore nume-rico, la stessa di quella ottenuta studiando la stabilira di una nube sfericaautogravitante col teorema del viriale.

Consideriamo adesso il caso dell’instabilita gravitazionale e della cresci-ta esponenziale del contrasto di densita. Trascurando il contributo dellapressione ovvero k2c2

s, il fattore di crescita esponenziale e

∆kp~r, tq „ exp“

p4πGρ0q1{2 t

‰

“ exppt{τff q (43)

e, in assenza del contributo di pressione, il tempo scala di crescita del con-trasto di densita τff assume il significato di tempo di caduta libera:

τff “

ˆ

1

4πGρ0

˙1{2

“ 0.282 pGρ0q´1{2 (44)

Studiando la caduta libera di una distribuzione sferica di massa avevamotrovato

τff “

ˆ

3π

32Gρ0

˙1{2

“ 0.543 pGρ0q´1{2 (45)

che, a parte il fattore numerico, e la stessa espressione appena ottenuta.

8

Flusso di massa Y

XX

Y

Discontinuità a contatto

Onda d’urto

F(X)

X

F(X)

X

Figura 1: Superfici di discontinuita delle soluzioni: discontinuita a contatto(sinistra) e onda d’urto (destra).

3 Superfici di discontinuita

Una delle peculiarita dell’idrodinamica e quella di ammettere soluzioni di-scontinue, ovvero esistono delle superfici speciali, dette superfici di disconti-nuita, attraverso le quali tutte le grandezze fisiche sono discontinue.

Matematicamente, le soluzioni sono funzioni a gradino. Dal punto divista fisico invece, le discontinuita sono regioni molto sottili rispetto allealtre dimensioni fisiche; le grandezze variano in modo continuo attraversole regioni di discontinuita e quindi hanno gradienti molto grandi, ma noninfiniti come nel limite matematico. Tuttavia, nella maggior parte dei casi eragionevole fare l’approssimazione matematica di discontinuita a gradino.

Esistono due tipi di discontinuita (figura 1):

• le discontinuita tangenziali, che si hanno ad esempio quando due fluididiversi scorrono l’uno accanto all’altro e la superficie di contatto non eattraversata da alcun flusso di materia;

9

• le onde d’urto (shock waves o shocks), che si hanno quando la superficiedi separazione tra i due fluidi e attraversata da un flusso di massa,quantita di moto ed energia.

Le discontinuita tangenziali sono in genere poco interessanti perche sonoconfigurazioni instabili e quindi con vita breve. Al contrario, le onde d’urtosono estremamente importanti in astrofisica perche sono alla base di moltifenomeni, specialmente quelli di natura esplosiva come le Supernovae (manon solo ...).

Potrebbe sembrare che le soluzioni discontinue in generale, e le onde d’ur-to in particolare, si formino soltanto per particolari condizioni al contorno;in realta si formano naturalmente in un ampio spettro di fenomeni. Sonopraticamente inevitabili quando le perturbazioni del sistema idrodinamiconon sono infinitesime come quelle viste in precedenza.

Per poter trattare le soluzioni (matematicamente) discontinue e necessa-rio prima di tutto esprimere le equazioni idrodinamiche in forma conserva-tiva per vedere quali grandezze si conservano al passaggio delle superfici didiscontinuita.

4 Equazioni in forma conservativa

Consideriamo l’equazione di conservazione della massa

Bρ

Bt` ~∇ ¨ pρ~vq “ 0 (46)

Consideriamo un elemento di fluido di massa ∆M , volume ∆V e integriamol’equazione di continuita sul volumetto in esame

B

Bt

„ż

∆V

ρdV

`

ż

∆V

~∇ ¨ pρ~vq “ 0

B

Bt∆M `

ż

∆S

pρ~vq ¨ ~n dS “ 0 (47)

quest’ultima equazione indica che la massa dell’elemento fluido ∆M puovariare nel tempo solo per un flusso di massa, ρ~v, attraverso la superficie ∆Sche delimita il volume ∆V .

In generale, data una grandezza u nel volume ∆V caratterizzata da unflusso ~fu attraverso la superficie ∆S che delimita il volumetto, si puo scrivere

B

Bt

„ż

∆V

u dV

`

ż

∆S

~fu ¨ ~n dS “ 0 (48)

10

da cui l’equazione in forma conservativa

Bu

Bt` ~∇ ¨ ~fu “ 0 (49)

Per quanto riguarda ρ, con flusso ρ~v, la prima equazione della fluidodinamicae direttamente in forma conservativa:

Bρ

Bt` ~∇ ¨ pρ~vq “ 0 (50)

Consideriamo l’equazione per ~v

B~v

Bt` p~v ¨ ~∇q~v “ ´

~∇pρ

(51)

dove abbiamo trascurato il termine gravitazionale per semplicita. Conside-riamo la variazione temporale di ρ~v e utilizziamo l’equazione di continuitaper ρ e quella per ~v:

B

Btpρ~vq “

Bρ

Bt~v ` ρ

B~v

BtB

Btpρ~vq “ ´~∇ ¨ pρ~vq~v ´ ρp~v ¨ ~∇q~v ´ ~∇p (52)

Consideriamo la i-esima componente di questa equazione

B

Btpρviq “ ´

B

Bxjpρvjq vi ´ ρ

ˆ

vjB

Bxj

˙

vi ´Bp

Bxi(53)

dove si e utilizzato la convenzione di Einstein in base alla quale gli indici ripe-tuti sono sommati (ad esempio, vjuj “ Σ3

j“1vjuj). Si nota che quell’equazionepuo essere riscritta come

B

Btpρviq “ ´

B

Bxjpρvivjq ´

Bp

Bxi(54)

Si definisce il tensore degli sforzi di Reynolds

Rij “ ρvivj ` pδij (55)

dove δij e la delta di Kronecker (δij “ 1 per i “ j, 0 altrimenti). Il ten-sore Rij e chiaramente simmetrico, per cui si puo operare sugli indici i e jindifferentemente. Si puo scrivere

B

BxjRij “ ~∇ ¨ R (56)

11

da cui si vede come si puo definire la divergenza del tensore R che e unvettore. Infine si ottiene

B

Btpρ~vq ` ~∇ ¨ R “ 0 (57)

ovvero l’equazione in forma conservativa per ρ~v, il cui flusso e un tensore R.Per quanto riguarda l’equazione dell’energia in forma conservativa, notia-

mo che la densita di energia del fluido e

η “ ρ

ˆ

1

2v2` ε

˙

(58)

con ε energia interna (termica) del fluido. Allora l’equazione di continuitasembrerebbe essere

Bη

Bt` ~v ¨ ~fE “ 0 (59)

con ~fE “ η~v “ ρpv2{2` εq~v, in analogia all’equazione di continuita per ρ. In

realta ~fE e incompleta; in condizioni adiabatiche come quelle che abbiamoconsiderato, l’energia non varia solo per il suo flusso attraverso la superficiema anche per il lavoro termodinamico dE “ ´pdV . Utilizzando le equazionifluide ottenute fin qui si dimostra che

B

Bt

„

ρ

ˆ

v2

2` ε

˙

` ~∇ ¨„

ρ

ˆ

v2

2` ε

˙

~v

“ ´~∇ ¨ pp~vq (60)

e quindi l’equazione dell’energia in forma conservativa e

B

Bt

„

ρ

ˆ

v2

2` ε

˙

` ~∇ ¨„

ρ

ˆ

v2

2` ε`

p

ρ

˙

~v

“ 0 (61)

notare che ε` p{ρ “ h con h entalpia specifica, ovvero per unita di massa.

12

5 Le onde d’urto

Nel caso delle piccole perturbazioni abbiamo trovato delle soluzioni tipo ondesonore che si propagano con velocita cs, se non si tien conto della gravita.La propagazione di onda sonora e rappresentata in figura 2: il profilo dellaperturbazione della grandezza F pxq si propaga inalterato nello spazio.

Se le perturbazioni non sono piccole, ovvero siamo nel regime non linea-re, si trova che esistono delle soluzioni tipo onda dette onde semplici. Lacaratteristica di queste onde e che non hanno una velocita di propagazione(del suono) costante ma che dipende dalla densita: maggiore e la densita,maggiore e la velocita di propagazione. La propagazione di un’onda nel re-gime non lineare e rappresentata sempre in figura 2. La cresta dell’onda,dove la densita e massima, si muove piu rapidamente del ventre dove la den-sita e minima. Dopo un certo tempo si tenderebbe ad avere una situazionenon fisica in cui la cresta ha superato il ventre dell’onda. In realta primadi giungere in tale situazione si arriva alla formazione di una discontinuitanella quantita F pxq la cui variazione e a gradino nel punto indicato in figuradalla riga tratteggiata. Tale condizione e riprodotta anche in figura 3 dove eriportato il profilo dell’onda semplice al passare del tempo con la formazionedella discontinuita al posto della soluzione non fisica (tratteggiata).

Per semplicita mettiamoci in un sistema di riferimento comovente conla superficie di discontinuita; tale riferimento esiste sempre, almeno istan-taneamente. Consideriamo inoltre una situazione stazionaria (B{Bt “ 0) disimmetria piana, ovvero quella in cui tutte le quantita variano solo nelladirezione x, perpendicolare alla superficie di discontinuita.

Prendiamo in esame una grandezza u con flusso J . L’equazione scritta informa conservativa e

Bu

Bt` ~∇ ¨ J “ 0 (62)

che nell’ipotesi di stazionarieta e simmetria piana diventa semplicemente

dJ

dx“ 0 (63)

Alla superficie di discontinuita per x “ xs, la quantita J sara discontinua etale che J “ J1 per x ą xs e J “ J2 per x ă xs. Posso integrare quell’equa-zione in un intervallo infinitesimo di ampiezza 2η attorno alla superficie didiscontinuita ottenendo nel limite di η piccolo

ż `η

´η

dJ

dxdx “ J1 ´ J2 “ 0 (64)

abbiamo quindi trovato la condizione di conservazione attraverso la superfi-cie di discontinuita, ovvero il flusso della grandezza u si deve conservare al

13

X

F(X)

t

t

F(X)

X

Figura 2: Propagazione di un’onda sonora nel regime lineare (alto) e nel regimenon lineare (basso).

14

1.8. DISCONTINUITY 27

Figure 1.1. Formation of a shock (Landau and Lifshitz1987b).

from a simple case: very special waves of noninfinitesimalamplitude, called simple waves. Landau and Lifshitz (1987b)discuss them, whereas we shall simply sum up their main fea-tures. Let us consider a perturbation with a finite (i.e., notinfinitesimal) amplitude, within an otherwise homogeneousfluid (see fig. 1.1). It is possible to show for simple waves,too, that the speed of propagation is greater where density isgreater. In particular, the points near the crest of the wavewill move more quickly than those near its belly, and the dif-ference between the two velocities is not infinitesimal, becausethe amplitude of the wave has been assumed finite. Therefore,the crest will reach the belly in a finite time, thus forminga surface of discontinuity. The only waves that manage toavoid this destiny are those whose density never decreases inthe direction of motion; but, apart from this peculiar case,any perturbation with a finite amplitude evolves toward a

Figura 3: Formazione di un’onda d’urto (Landau & Lifshitz).

passaggio della superficie di discontinuita

rJs “ J1 ´ J2 “ 0 (65)

dove si e definita la notazione compatta rJs per la condizione di conservazio-ne.

Le equazioni della fluidodinamica scritte in forma conservativa ci forni-scono direttamente le condizioni di continuita al passaggio della discontinuita

Bρ

Bt` ~∇ ¨ pρ~vq “ 0

B

Btpρ~vq ` ~∇ ¨ R “ 0

B

Bt

„

ρ

ˆ

v2

2` ε

˙

` ~∇ ¨„

ρ

ˆ

v2

2` ε`

p

ρ

˙

~v

“ 0 (66)

con Rij “ ρvivj ` pδij. Le condizioni di continuita nel caso stazionario e a

15

simmetria piana sono quindi:

rρvxs “ 0

(67)

rp` ρv2xs “ 0

rρvxvys “ 0

rρvxvzs “ 0

(68)„

ρ

ˆ

v2

2` ε`

p

ρ

˙

vx

“ 0 (69)

dove sono state incluse anche le condizioni per il flusso di quantita di motoparallelo alla superficie di discontinuita.

Esistono due tipi di discontinuita.Nel primo caso la massa non attraversa la superficie ed il flusso di massa

e nullo. Questo richiede che ρ1v1x “ ρ2v2x “ 0 ovvero v1x “ v2x “ 0. Lacondizione di continuita sul flusso di quantita di moto comporta che rps “ 0.Questa e la discontinuita tangenziale dove, a parte velocita e pressione, tuttele altre quantita sono discontinue. Queste discontinuita, come abbiamo detto,sono instabili per qualsiasi equazione di stato. Questo significa che sparisconoin tempi scala molto brevi portando ad un rimescolamento (convettivo) deifluidi.

Nel secondo tipo di discontinuita, le onde d’urto, il flusso di massa attra-verso la superficie non e nullo, pertanto v1x e v2x sono diversi da 0. Dallecondizioni rρvxvys “ 0 e rρvxvzs “ 0 ne consegue che le velocita tangenzialidebbano essere continue ovvero che rvys “ 0, rvzs “ 0. Utilizzando la con-tinuita su ρvx, si puo semplificare la condizione di continuita sul flusso dienergia ed ottenere infine che per le onde d’urto

rρvxs “ 0

rp` ρv2xs “ 0

„

v2

2` ε`

p

ρ

“ 0 (70)

queste sono le condizioni idrodinamiche sulle onde d’urto e sono dette con-dizioni di Rankine-Hugoniot.

Data la continuita nelle velocita trasversali possiamo metterci in un ri-ferimento in cui queste siano nulle. Ricordiamo inoltre che siamo in un

16

riferimento comovente con l’onda d’urto. Indichiamo con 1 il gas primadell’attraversamento dell’onda d’urto (upstream) e con 2 il gas dopo l’ondad’urto (downstream). Allora, v1x “ ´Vs con Vs velocita dell’onda d’urto, seil gas upstream e in quiete. Definiamo il numero di Mach

M “v

cs(71)

e consideriamo che nel caso di un gas perfetto

c2s “ γ

p

ρ“ γ

kT

m(72)

e che

ε`p

ρ“

1

γ ´ 1

kT

m`p

ρ“

1

γ ´ 1

p

ρ` p “

γ

γ ´ 1

p

ρ“

c2s

γ ´ 1(73)

Utilizzando queste definizioni si possono risolvere le condizioni RH ed otte-nere infine

ρ2

ρ1

“v1

v2

“pγ ` 1qM2

1

pγ ´ 1qM21 ` 2

p2

p1

“2γM2

1

γ ` 1´γ ´ 1

γ ` 1

T2

T1

“r2γM2

1 ´ pγ ´ 1qsrpγ ´ 1qM21 ` 2s

pγ ` 1q2M21

M22 “

2` pγ ´ 1qM21

2γM21 ´ γ ` 1

(74)

Ovvero si vede che le condizioni di Rankine-Hugoniot permettono di determi-nare le grandezze post-shock in funzione soltanto delle grandezze pre-shock edel numero di Mach dello shock stesso. La prima cosa da notare e che quandoM1 “ 1 non si hanno discontinuita e la materia non subisce trasformazioni.Poi si puo notare che M1 potrebbe assumere un qualsiasi valore maggiore ominore di 1.

Consideriamo quello che succederebbe per M1 ă 1. Si avrebbe v1 ă

v2 e T1 ą T2 ovvero si trasformerebbe parte dell’energia interna del fluido(disordinata) in energia cinetica (moto ordinato) senza alcun altro effetto.Per confermare come questo sia impossibile, possiamo calcolare l’andamentodell’entropia pre- e post-shock; si trova che s e discontinua e che, per M1 ă 1,si ha s2 ă s1 ovvero una diminuzione di entropia in una trasformazioneadiabatica (sistema isolato). Questo e impossibile per il secondo principiodella termodinamica e quindi ne possiamo concludere che per le onde d’urtosi deve avere M1 ą 1 ovvero gli shocks devono essere sempre supersonici!

17

Nel caso M1 ą 1, si noti come lo shock converta energia cinetica ordinata(v2 ă v1) in moti disordinati (riscaldamento, ovvero aumento di energiainterna) in quanto T2{T1 ą 1; quel rapporto puo diventare molto grandeall’aumentare di M1. In contrasto al caso precedente, adesso si ha s2 ą s1,in accordo con il secondo principio della termodinamica.

Nel caso delle esplosioni di supernovae, lo shock puo essere ipersonico, ov-vero M1 " 1. In tal caso le relazioni appena trovate per f2{f1 si semplificanoe, nel limite M Ñ 8 diventano

ρ2

ρ1

“v1

v2

“γ ` 1

γ ´ 1

p2

p1

“2γM2

1

γ ` 1

T2

T1

“2γpγ ´ 1qM2

1

pγ ` 1q2

M22 “

pγ ´ 1q

2γ(75)

che possono anche essere scritte utilizzando M1 “ v1{cs1 “ v21ρ1{pγp1q e

p1{ρ1 “ kT1{m:

ρ2 “γ ` 1

γ ´ 1ρ1

v2 “γ ´ 1

γ ` 1v1

p2 “2ρ1v

21

γ ` 1

T2 “2pγ ´ 1qpm{kBqv

21

pγ ` 1q2

M22 “

pγ ´ 1q

2γ(76)

con m massa media delle particelle. Si noti come per γ “ 5{3 si ha unsalto massimo di densita pari ρ2 “ 4ρ1. Da notare come, contrariamentealla densita, pressione e temperatura dopo l’urto (downstream) non abbianolimiti e dipendano direttamente da v2

1.

18

6 Flussi auto-similari: la soluzione di Sedov-

Taylor

Consideriamo l’esplosione di una supernova che possiamo considerare comeil rilascio improvviso di energia E in un volume trascurabile per r “ 0 et “ 0. Se il mezzo esterno e omogeneo e statico (ρ0 “ cost., ~v0 “ 0), il motodell’onda d’urto che si genera per r “ 0 sara radialmente simmetrico. Suppo-nendo poi che il mezzo sia freddo (T0 “ 0, ovvero temperatura trascurabilerispetto al mezzo post-shock), possiamo trovare la forma delle soluzioni conargomenti di auto-similarita usando soltanto i dati a disposizione, ovvero E eρ0. Vogliamo ottenere Rsptq e Vsptq ovvero il raggio dell’onda d’urto e la suavelocita in funzione del tempo. Questi devono essere una combinazione di E,ρ e, ovviamente, tempo t. Ragioniamo in termini dimensionali e scriviamo

R “ Eαρβ0 tγ (77)

Facendo un’analisi dimensionale otteniamo

rLs “ r MαL2αT´2αMβL´3β T γs (78)

Da cui e facile ottenere che α “ ´β “ 1{5 e γ “ 2{5. Infine, detta B unacostante adimensionale che determineremo in seguito, possiamo scrivere

Rsptq “

ˆ

BE t2

ρ0

˙1{5

9 t2{5 (79)

Inoltre

Vsptq “dRs

dt9d

dt

`

t2{5˘

9 t´3{5 (80)

Da notare come si sia trovata la dipendenza diRs e Vs da t in modo puramentedimensionale, senza risolvere alcuna equazione. A questo punto possiamoapplicare le condizioni di continuita nel caso ipersonico (Eq. 76). Questeequazioni sono state ottenute nel riferimento comovente con lo shock pertantole velocita nel riferimento non comovente sono

v11 “ v1 ` Vs “ 0

v12 “ v2 ` Vs (81)

con Vs velocita dello shock e dove si e assunto che la materia pre-shock siain quiete (v11 “ 0). Pertanto ponendo ρ1 “ ρ0, v12 “ vpR´s q [fpR´s q indica la

19

quantita post-shock] abbiamo:

ρpR´s q “γ ` 1

γ ´ 1ρ0

vpR´s q “ Vs ` v2 “ Vs `γ ´ 1

γ ` 1Vs “

2Vsγ ` 1

ppR´s q “2ρ0V

2s

γ ` 1(82)

Adesso siamo in grado di calcolare le condizioni post-shock. Definiamo ladistanza adimensionale dallo shock dall’origine:

ξptq “r

Rsptq“ r

´ ρ0

BE t2

¯1{5

(83)

e rinormalizziamo tutte le grandezze fisiche relativamente ai loro valori post-shock (cioe per R´s )

ρpr, tq “γ ` 1

γ ´ 1ρ0Rpξq

vpr, tq “2Vsγ ` 1

Vpξq

ppr, tq “2ρ0V

2s

γ ` 1Ppξq (84)

Le funzioni dimensionali appena definite hanno condizioni al contornoRp1q “Vp1q “ Pp1q “ 1. Quello che abbiamo fatto e molto conveniente perche ades-so le quantita fisiche non sono piu funzione di due variabili (r, t) ma di unasoltanto (ξ) in modo che un sistema alle derivate parziali e stato ridotto adun sistema a derivate ordinarie, piu semplice da risolvere. Partiamo dalleequazioni fluide, e riscriviamole in simmetria sferica:

Bρ

Bt`Bpρvq

Br`

2ρv

r“ 0

Bv

Bt` v

Bv

Br“ ´

1

ρ

Bp

Brˆ

B

Bt` v

B

Br

˙

lnp

ργ“ 0 (85)

dove la terza equazione e semplicemente l’equazione dell’energia scritta perl’entropia specifica (ds{dt “ 0) e dove si e sfruttato il fatto che s9 lnpp{ργq1.

1Da TdS “ dU ` pdV si ottiene che S “ nR lnV ` ncV lnT ` cost. da cui, utilizzandol’equazione di stato, S “ n cV ln pV γ `cost. Infine s “ S{M “ 1{pγ´1qkB lnpp{ργq`cost.

20

High Energy AstrophysicsThe theory of relativity

Applications to compact objects

Explosive events: SNe and GRBsRelativistic starsGravitational collapse and Black HolesElectrodynamics of compact objects

Figure: The self-similar Sedov-Taylor solution for � = 5/3.

Notice that once we know the post-shock quantities and we rescale the radius with themoving Rs(t), the self-similarity insures that the spatial profiles of the normalized quantitieswill not depend on time explicitly. As we can see, most of the mass is concentrated verynear the front, while the interior is filled with hot and light gas, providing the pressure forcesneeded to make the shock propagate.

Finally, the value of � can now be calculated by integrating the energy density ⇢( 12 v2 + ")

over the whole volume occupied by the shock gas

E =

Z Rs

0

12⇢v2 +

p� � 1

!4⇡r2dr ) 1 =

�

�2 � 116⇡25

Z 1

0[R(⇠)V2(⇠) + P(⇠)]⇠2d⇠,

that for � = 5/3, appropriate for a monoatomic gas, provides � ' 2.02.

L. Del Zanna Relativistic Astrophysics and compact objects 120 / 181

Figura 4: Soluzioni auto-simili di Sedov-Taylor per γ “ 5{3.

Indicando con 9X “ dX{dξ si ottiene infine

´ξ 9R` 2

γ ` 1p 9RV `R 9Vq ` 4

γ ` 1

RVξ

“ 0

´2ξ 9V ´ 3V ` 4 9VVγ ` 1

“ ´γ ´ 1

γ ` 1

2 9PR

´3´9PξP`

2

γ ` 1

V 9PP` γξ

9RR´

2γ

γ ` 1V

9RR

“ 0 (86)

che e un sistema di equazioni differenziali alle derivate ordinarie. La soluzionedi questo sistema puo essere ottenuta numericamente e, in figura 4, si riportaquella ottenuta per γ “ 5{3.

Si note come le quantita post-shock dipendano daR, V e P che, riscalandoil raggio con Rsptq, non dipendano esplicitamente dal tempo: l’auto-similaritaderiva proprio dal fatto che la forma normalizzata delle soluzioni e sempre lastessa indipendentemente dal tempo. Come si nota dalla figura, gran partedella massa e concentrata nella regione immediatamente successiva allo shock(ovvero per r{Rsptq » 0.9 ´ 1) mentre il resto della sfera di raggio Rsptq eriempita di gas tenue e molto caldo che fornisce la pressione necessaria allapropagazione dello shock.

21

Infine, per calcolare il valore della costante B, si puo integrare la densitadi energia ρpv2{2` εq sul volume occupato dal gas post-shock

E “

ż Rs

0

ˆ

1

2ρv2

`p

γ ´ 1

˙

4πr2dr (87)

da cui

1 “B

γ2 ´ 1

16π

25

ż 1

0

rRpξqV2pξq ` Ppξqsξ2dξ (88)

che, per γ “ 5{3 (gas monatomic) fornisce B » p2.02q1{5. Questa soluzioneper una forte esplosione in un mezzo omogeneo e dovuta a Sedov (1946) eTaylor (1950).

7 Le fasi dell’espansione dei resti di Super-

nova

Come visto nelle lezioni precedenti, il core di una stella massiccia (M ą 8 Md)collassa quando se terminata la reazione di bruciamento del Silicio e si arrivaalla formazione di una stella di neutroni. La mancanza del supporto dipressione determina il collasso degli strati esterni della stella che rimbalzanosulla stella di neutroni dando luogo all’esplosione della supernova di tipo II.Nella prima fase dell’esplosione l’energia rilasciata E e talmente grande chela presenza del mezzo interstellare ρ0 e totalmente ininfluente; l’onda d’urtosi propaga in modo balistico con velocita costante Vsptq “ Vs:

E “1

2MejV

2s (89)

con valori tipici di E “ 1052 erg, Mej “ 10 Md, si ottiene Vs “ 104 km s´1.L’onda d’urto dell’esplosione spazza via il materiale del mezzo circostante(interstellare) che viene spinto verso l’esterno e accumulato dall’onda urto.Pertanto l’espansione libera avra termine quanto il materiale raccolto (den-sita del mezzo interstellare ρ0 » 1 cm´3 » 10´24 g cm´3) avra una massa paria quella del materiale espulso ovvero

4

3πR3

sρ0 “Mej (90)

se Rs “ Vsτ , otteniamo Rs » 5 pc e τ » 500 yr.La seconda fase e causata da un rallentamento dell’espansione dovuto

all’accumulo della massa del mezzo interstellare che viene spazzata via; l’e-spansione avviene in regime adiabatico poiche per T ą 106 K il raffredda-mento radiativo del gas e molto poco efficiente ed il tempo di raffreddamento

22

(τcool “ E{L, con L energia irraggiata per unita di tempo) e molto lungorispetto al tempo scala di espansione. Quindi l’energia totale si conserva(siamo nel caso adiabatico) e possiamo applicare la soluzione di Sedov perun flusso adiabatico autosimile. Per applicare questo modello dobbiamo an-che aspettare che il reverse shock ovvero l’onda d’urto che si genera a seguitodel rallentamento e si propaga in verso opposto a quello dell’esplosione abbiapercorso piu volte lo spazio tra Rs e l’origine per portare il gas per r ă Rs

nelle condizioni previste dalla soluzione di Sedov.La temperatura post-shock decresce rapidamente al rallentamento dello

shockT pR´s q9V

2s 9 t

´6{5 (91)

e, quando diventa inferiore a T » 106 K, il gas comincia a raffreddare effi-cacemente per l’emissione dovuta alla ricombinazione degli atomi. L’energianon puo essere piu conservata, ma si deve conservare la quantita di motoovvero

4

3πρ0R

3sVs “ cost. (92)

se prendiamo Rs9 tα, Vs “ dRs{dt9 t

α´1 ovvero R3sVs9 t

4α´1 “ cost. Se nededuce infine che 4α ´ 1 “ 0 ovvero

Rs 9 t1{4

Vs 9 t´3{4 (93)

Questa fase e detta di snowplow perche si puo dimostrare che il materialeraccolto nella parte post-shock e concentrato in uno strato molto piccolo.Infine, quando Vs raggiunge la velocita del suono del mezzo interstellare, nonabbiamo piu un’onda d’urto e c’e il mescolamento con il mezzo ambienteRs „ cost. Queste fasi sono riassunte in figura 5.

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High Energy AstrophysicsThe theory of relativity

Applications to compact objects

Explosive events: SNe and GRBsRelativistic starsGravitational collapse and Black HolesElectrodynamics of compact objects

Figure: The four phases of a SNR expansion: Rs / t , Rs / t2/5, Rs / t1/4, Rs ⇠ const.

The post-shock temperature decreases rather rapidly as the shock slows down

T(R�s ) / V2s / t�6/5,

when the threshold of T ' 106 K ions start to recombine and energy is radiated awayefficiently (radiative cooling in forbidden lines). Energy cannot be conserved any longer,while we may still impose the conservation of momentum, which gives

4⇡3 ⇢0R3

s Vs = const) Rs / t1/4, Vs / t�3/4.

This phase is said of the snowplow, because material is collected post-shock in a verynarrow layer. Finally, when the local ISM sound speed is reached, we have no longer ashock front and there is mixing with the ambient medium at Rs ⇠ const.

L. Del Zanna Relativistic Astrophysics and compact objects 122 / 181

Figura 5: Le quattro fasi dell’espansione di una supernova (e del suo resto): Rs9t,Rs9t

2{5, Rs9t1{4, Rs „ cost.

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