PROBABILIT E STATISTICAProf. Romano ScozzafavaLez. 18 - Vettori aleatori

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Argomenti della lezioneArgomenti della lezione

Vettori aleatori continui e discreti Vettori aleatori continui e discreti Distribuzioni marginali Distribuzioni marginali Indipendenza di numeri aleatori Indipendenza di numeri aleatori Previsione e varianza di funzioni

di vettore aleatorio Previsione e varianza di funzioni

di vettore aleatorio

Teorema di Bayes per vettori aleatori Teorema di Bayes per vettori aleatori

Vettore aleatorioVettore aleatorio

X = ( X1, X2, , Xm) : RmX = ( X1, X2, , Xm) : Rm

(X,Y) : R2(X,Y) : R2 P(X = x, Y = y) = 0 P(X = x, Y = y) = 0

h, k = 1, 2, ... h, k = 1, 2, ...

Discreto:Discreto:

phk = P(X = h,Y = k) > 0, phk = P(X = h,Y = k) > 0,

Continuo:Continuo:

per ogni (x, y) R2,per ogni (x, y) R2,

P(A) = f(x, y) dx dyP(A) = f(x, y) dx dy AA

Distribuzioni marginali:Distribuzioni marginali:

(X = h) = (X = h) = (X = h) [ (Y= k)] =(X = h) = (X = h) = (X = h) [ (Y= k)] =k

= [(X = h) (Y = k)]= [(X = h) (Y = k)]k

ph = P (X = h) = phkph = P (X = h) = phkkpk = P (Y = k) = phkpk = P (Y = k) = phkh

phk p pphk p p h k

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Caso continuoCaso continuo

fX(x) = f( x, y)dyfX(x) = f( x, y)dy++--

fY(y) = f( x, y)dxfY(y) = f( x, y)dx++--

f(x, y) fX(x) fY(y)f(x, y) fX(x) fY(y)

A R2 :insieme di misura positiva (A) distribuzione uniforme su A

f (x, y) =f (x, y) =0 se (x, y) A0 se (x, y) A

se (x, y) Ase (x, y) A11(A)(A)

In particolareIn particolare

A = {0 x 1, 0 y 1}A = {0 x 1, 0 y 1}f(x, y) =f(x, y) =densitdensit 1 su A, 0 altrove1 su A, 0 altrove

0 altrove0 altrove

1100fX(x) = dy = 1,fX(x) = dy = 1, x [0.1],x [0.1],f (x, y) = fX(x) fY(y)f (x, y) = fX(x) fY(y)

Altro esempio:Altro esempio:

Cerchio A di raggio r,con centro nellorigine

f(x, y) = 1 / r2f(x, y) = 1 / r2

su A, 0 altrovesu A, 0 altrove

PostoPosto

(x) = (r2 - x2)1/2, per x [-r, r],(x) = (r2 - x2)1/2, per x [-r, r],

(x)(x)fX(x) = f(x, y)dy = (r2 - x2)1/2,fX(x) = f(x, y)dy = (r2 - x2)1/2,-(x)-(x) 22r2r2con fX(x) = 0 per x [-r, r]con fX(x) = 0 per x [-r, r]

f(x, y) = fX(x) fY(y) f(x, y) = fX(x) fY(y)

YYAnalogamente la marginale diAnalogamente la marginale di

Marginali non uniformi e non vale laMarginali non uniformi e non vale la

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Distribuzioni marginali condizionateDistribuzioni marginali condizionate

ph k = P (X = hY = k) = ,ph k = P (X = hY = k) = ,phkphkpkpk h = 1, 2

k = 1, 2phkphkphphpk h = P (Y = kX = h) = ,pk h = P (Y = kX = h) = ,

phk = phpk h = pkph kphk = phpk h = pkph k

f(x, y)f(x, y)fY(y)fY(y)

Se fY(y) > 0, fX(x) > 0Se fY(y) > 0, fX(x) > 0

fX(x y) =fX(x y) =f(x, y)f(x, y)fX(x)fX(x)

fY(y x) =fY(y x) =

f(x, y) = fX(x) fY(y x) = fY(y) fX(x y) f(x, y) = fX(x) fY(y x) = fY(y) fX(x y)

U = (X,Y)U = (X,Y)

P(U) = (x, y)c(x, y)dx dyP(U) = (x, y)c(x, y)dx dy++-- ++--

var (U) = P(U2) - [P(U)]2var (U) = P(U2) - [P(U)]2

U = (X, Y) = X + YU = (X, Y) = X + Y

P(X + Y) = (x + y)f(x, y)dx dyP(X + Y) = (x + y)f(x, y)dx dy++-- ++--

= x dx f(x, y)dy + y dy f(x, y)dx= x dx f(x, y)dy + y dy f(x, y)dx++-- ++-- ++-- ++--

= x (x)dx + y(y)dy = P(X)+P(Y)= x (x)dx + y(y)dy = P(X)+P(Y)++-- ++--

P(XY) = xy f(x, y)dx dyP(XY) = xy f(x, y)dx dy++-- ++--

(X,Y) = XY(X,Y) = XY

X, YX, Y

Componenti del vettore aleatorio(X,Y) stocasticamente indipendenti seComponenti del vettore aleatorio(X,Y) stocasticamente indipendenti se

f(x, y) = (x)(y)f(x, y) = (x)(y)

per qualunque scelta di x e yper qualunque scelta di x e y

P(XY) = xy f(x, y)dx dy =P(XY) = xy f(x, y)dx dy =++-- ++--

x(x)dx y(y)dy = P(X)P(Y) x(x)dx y(y)dy = P(X)P(Y) ++ -- ++ --

cov(X, Y) = P(XY) - P(X)P(Y) = 0cov(X, Y) = P(XY) - P(X)P(Y) = 0

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= P[(X-mx)(Y- my)]= P[(X-mx)(Y- my)]

cov(X, Y) = P(XY) - P(X)P(Y) =cov(X, Y) = P(XY) - P(X)P(Y) =

mx = P(X)mx = P(X) my = P(Y)my = P(Y)

(x)(y x) = (y)(x y) (x)(y x) = (y)(x y)

Teorema di Bayes per vettori aleatoriTeorema di Bayes per vettori aleatori

(y x) = K(x)(y)(x y) (y x) = K(x)(y)(x y)

con K(x) = 1/(x)con K(x) = 1/(x)