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L’EQUAZIONE DI UNA RETTA

CAPITOLO 3. IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA

Copyright © 2009 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi - Corso base verde di matematica


L’EQUAZIONE DI UNA RETTA /202

Un’equazione lineare in due variabili x e y è un’equazione di primo grado per entrambe le incognite. Può essere scritta nella forma:a x + b y + c = 0 con a, b, c (a e b non entrambi nulli).Î ¡

1. LE EQUAZIONI LINEARI DI DUE VARIABILI

ESEMPIO

3x + 2y – 6 = 0

Una soluzione dell’equazione è una coppia (x0; y0) di numeri reali che la soddisfa.

34

23

;1

23

x

y

3·1 + 2y – 6 = 0

cioè è una soluzione.

2y = 3con x = 1

E nello stesso tempo rappresenta un punto nel piano cartesiano.

Inoltre yx

0

2

1

3·0 + 2y – 6 = 0 y = 3

3·2 + 2y – 6 = 0 y = 03x + 2·1 – 6 = 0



Retta parallela all’asse x

2. LE RETTE E LE EQUAZIONI LINEARI

ESEMPIO

Retta parallela all’asse y

PROPRIETÀ

Equazione di una retta parallela a un asse

L’equazione di una retta parallela all’asse x è y = k.

L’equazione di una retta parallela all’asse y è x = h.




PROPRIETÀ

Le equazioni degli assi

L’equazione dell’asse x è y = 0.

L’equazione dell’asse y è x = 0.




Retta non parallela agli assi Condizione di allineamento

Consideriamo tre punti P, P1 e P2 e le loro proiezioni sugli assi.La condizione perché P (x; y) appartenga alla retta passante per P1(x1; y1) e P2(x2; y2) è:

12

1

12

1yyyy

xxxx




Retta non parallela agi assi

12

1

12

1yyyy

xxxx

TEOREMA

A ogni retta del piano cartesiano corrisponde un’equazione lineare in due variabili e, viceversa, a ogni equazione lineare in due variabili corrisponde una retta del piano cartesiano.

Due casi particolari dell’equazione di una retta



3. LA RETTA PASSANTE PER DUE PUNTI

Equazione della retta passante per due punti

La condizione di allineamento fornisce l’equazione della retta passante per i punti (x1; y1) e (x2; y2):

.12

1

12

1xxxx

yyyy

ESEMPIO

Determiniamo l’equazione della retta r passante per i punti A(-2;5) e B(1;-4) e stabiliamo se i punti C(-1;2) e D(1;3) appartengono alla retta.

y – 5 = – 3x – 6 y + 3x + 1 = 0

C(–1;2), y + 3x + 1 = 0 2 + 3·(–1) + 1 = 0

D(1;3), y + 3x + 1 = 0 3 + 3·1 + 1 ≠ 0



4. DALLA FORMA IMPLICITA ALLA FORMA ESPLICITA

Equazione della retta in forma implicita

a x + b y + c = 0

Equazione della retta in forma esplicita

y = m x + q

coefficiente angolareordinata all’origine

ESEMPIO

Scriviamo in forma esplicita l’equazione 9x + 3y − 2 = 0 .

3y = − 9x + 2

Il coefficiente angolare è

L’ordinata all’origine è

32

y = − 3x +

− 3

y = − x +



5. IL COEFFICIENTE ANGOLARE NOTE LE COORDINATE DI DUE PUNTI

Se l’ascissa aumenta di una certa quantità fissa, l’ordinata cresce anch’essa di una quantità fissa.

Quando l’ascissa aumenta di 1 unità, l’ordinata aumenta di m.



PROPRIETÀ

Coefficiente angolare e coordinate di due punti

Il coefficiente angolare di una retta non parallela all’asse y è il rapporto fra la differenza delle ordinate e la differenza delle ascisse di due punti distinti dellaretta:

.12

12xxyy

m

ESEMPIO

Il coefficiente angolare della retta passante per A(1; ) e B(3; 4) è:


1338

4

38

m




Il coefficiente angolare fornisce informazioni sull’angolo tra la retta e l’asse x *, ossia sulla pendenza della retta.

* Angolo tra la semiretta i cui punti hanno ordinata positiva e il semiasse x di verso positivo.

Pendenza positivam = 2

Pendenza positivam = 1/3

Pendenza negativam = −2



Equazione di una retta passante per l’origine: y = mx

6. L’EQUAZIONE DI UNA RETTA PASSANTE PER UN PUNTO

Equazione della retta di coefficiente angolare m passante per P (x1; y1):

y – y1 = m·(x – x1)

y – 2

45

43

xy

ESEMPIO

Troviamo la retta di coefficiente

angolare m = , passante per P (1; 2).

y – 2 = ·(x – 1)y – 2 =



7. ESERCIZI: DAL GRAFICO ALL’EQUAZIONE

Per ogni grafico scrivi l’equazione della retta relativa.




Scrivi le equazioni delle rette rappresentate, utilizzando le informazioni fornite dal grafico.

Scrivi l’equazione della retta passante per la coppia di punti indicata.

Stabilisci se le seguenti terne di punti sono costituite da punti allineati e, nel caso lo siano, scrivi l’equazione della retta su cui giacciono.



8. ESERCIZI: DALL’EQUAZIONE AL GRAFICO / L’APPARTENENZA DI UN PUNTO A UNA RETTA

Rappresenta in un grafico cartesiano le rette che hanno le seguenti equazioni.

Per ogni retta assegnata stabilisci se i punti A e B le appartengono.



9. ESERCIZI: DALLA FORMA IMPLICITA ALLA FORMA ESPLICITA E VICEVERSA

Scrivi in forma esplicita le seguenti equazioni, specificando quali sono il coefficiente angolare e il termine noto.

Scrivi in forma implicita le seguenti equazioni.



10. ESERCIZI: IL COEFFICIENTE ANGOLARE

Determina, quando è possibile, il coefficiente angolare della retta passante per ogni coppia di punti.



11. ESERCIZI: L’EQUAZIONE DELLA RETTA IN FORMA ESPLICITA

In base alle indicazioni date in ogni figura, ricava m e q e scrivi l’equazione della retta rappresentata.



11. ESERCIZI: LA RETTA PASSANTE PER UN PUNTO E DI COEFFICIENTE ANGOLARE NOTO

Scrivi l’equazione della retta passante per il punto indicato e di coefficiente angolare assegnato e rappresentala.

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