L’equazione di Eulero Lecture 14 L’equazione di...

L’equazione di Eulero

Bilancio Microscopicodel momento diquantità di motoEquazione di bilancioMicroscopico del MomentoAssiale

Bilancio Macroscopicodel momento assialeCoppia di una turbomachina

Potenza di unaturbomachina

Equazione di Eulerodelle TurbomacchineRelazione fra momentoangolare e moti vorticosi

Entalpia rotazionale diristagno

Invarianti per stadi statoricie rotorici

Caso del gas ideale

Grado di Reazione

14.258

Lecture 14L’equazione di EuleroText:

Motori AeronauticiMar. 26, 2015

Mauro ValoraniUniveristà La Sapienza








Caso del gas ideale

Grado di Reazione

14.259

Agenda

1 Bilancio Microscopico del momento di quantità di motoEquazione di bilancio Microscopico del Momento Assiale

2 Bilancio Macroscopico del momento assialeCoppia di una turbomachinaPotenza di una turbomachina

3 Equazione di Eulero delle TurbomacchineRelazione fra momento angolare e moti vorticosiEntalpia rotazionale di ristagnoInvarianti per stadi statorici e rotoriciCaso del gas idealeGrado di Reazione








Caso del gas ideale

Grado di Reazione

14.260

Bilancio microscopico del momento di quantità di motoMomento Polare

Il momento polare d~L, valutato in un punto P del campo di flusso rispetto alpolo O, della quantità di moto di una particella fluida di massa dm è definitocome:

d~L := ~r × ~Vdm = ~r × (ρ~V )dV ~r := P − O

L’equazione di conservazione del momento di quantità di moto si ottieneeseguendo il prodotto vettore fra la posizione~r e l’equazione del moto

~r ×(ρ

D~VDt−∇ · Π + ρ∇φ

)= 0

che dopo opportune rielaborazioni si puo scrivere come:

∂

∂t

∫V

(~r × ~V

)dm = −

∫S2

(~r × ~V

)dm +

∫S1

(~r × ~V

)dm−

−∫

S1+S2+Sw

[(~r × ~n

)p]

dS−∫

S1+S2+Sw

[~r ×

(τ · ~n

)]dS +

∫V

(~r × ~g

)ρdV








Caso del gas ideale

Grado di Reazione

14.261

Bilancio microscopico del momento di quantità di motoMomento Polare

Il vettore momento polare ~M0 risultante dell’azione del fluido sulle pareti solideè definito come

~M0 := −∫Sw

~r ×(

Π · ~n)

dS =

∫Sw

(~r × ~n

)pdS +

∫Sw

~r ×(τ · ~n

)dS

Utilizzando queta definizione nella legge di conservazione del momento dellaquantità di moto si ricava:

~M0 =

∫S1

(~r × ~V

)dm −

∫S2

(~r × ~V

)dm+

+

∫S1

p(~r × d~S

)−∫S2

p(~r × d~S

)+

∫V

(~r × ~g

)ρdV−

∂

∂t

∫V

(~r × ~V

)dm

dove si è ipotizzato che il momento dovuto alle forze viscose sia trascurabilesulle superfici di ingresso e uscita del sistema.








Caso del gas ideale

Grado di Reazione

14.262

Sistema di riferimento cartesiano e cilindrico

Sistema di riferimento cilindrico definito dalle direzioni tangenziale (~i1), assiale(~i2 =~j) e radiale (~i3 =~i1 ×~i2), e un sistema di riferimento cartesiano definitodalle direzioni~i ,~j e ~k

Figure: Schema e nomenclatura per il calcolo del momento della quantità di moto.








Caso del gas ideale

Grado di Reazione

14.263

Equazione di bilancio Microscopico del Momento Assiale

Il momento assiale si ottiene come proiezione di ~M0 sull’asse di rotazioneidentificato dal vettore velocità angolare della girante, ~ω =~i2|ω|:

~Ma =~i2

(~M0 ·

~ω

ω

)=~i2

(~M0 ·~i2

)L’equazione di bilancio microscopico del momento assiale si scrive

∂

∂t(ρRVθ)+∇·

(ρRVθ~V

)+R (∇p) ·~i1 +R∇·

(~i1 · τ

)+ρR (∇φ) ·~i1 = 0 (42)

in cui i vettori~r e ~V sono espressi incoordinate cilindriche

~V = Vθ~i1 + Vz~i2 + VR~i3

~r = z~i2 + R~i3








Caso del gas ideale

Grado di Reazione

14.264

Bilancio Macroscopico del momento assiale

Il momento angolare polare ~Ltot ed assiale La rispetto all’asse diretto come~jdel volume di fluido contenuto nel sistema macroscopico sono definiti come:

~Ltot :=

∫V

(~r × ρ~V

)dV La,tot :=

∫V

RVθdm

L’equazione di bilancio macroscopico del momento assiale si scrive

dLa,tot

dt︸︷︷︸=0 se staz.

= −∆ [(< RVθ >) m]−∆(< pR >~i1 · ~S

)︸︷︷︸�1 se~i1⊥~S1,2

−(Ma,m + Ma,f

)︸︷︷︸=Ma

+ Ma,g︸︷︷︸=0 se ~g⊥~i1

avendo trascurato il contributo degli sforzi viscosi su S1 e S2 in cui:

Ma,m :=

∫Sw,m

[R(

p~n + τ · ~n)·~i1]

dS

Ma,f :=

∫Sw,f

[R(

p~n + τ · ~n)·~i1]

dS

Ma,g :=

∫V

R(~g ·~i1

)ρdV








Caso del gas ideale

Grado di Reazione

14.265

Coppia di una turbomachina

Sotto le ipotesi viste in precedenza, si ottiene la relazione fondamentale per ilcalcolo delle turbomacchine:

Ma = −∆ [m < RVϑ >]

per la quale:

Macchina Operatrice:

[< R2Vϑ2 > − < R1Vϑ1 >] > 0 ⇒ ∆ [< RVϑ >] > 0

⇒ Ma < 0⇒ ~Ma controverso a ~ω

Macchina Motrice:

[< R2Vϑ2 > − < R1Vϑ1 >] < 0 ⇒ ∆ [< RVϑ >] < 0

⇒ Ma > 0⇒ ~Ma equiverso a ~ω








Caso del gas ideale

Grado di Reazione

14.266

Potenza di una turbomachina

Potenza scambiata tra palettatura e ambiente esterno:

W = ~Ma · ~ω = −mω∆ [< RVϑ >]

Potenza specifica all’unità di massa elaborata dalla palettatura vale:

macchine radiali o a flusso misto:

Wm

= −∆ [< UVϑ >] dove U = ωR

macchine di tipo assiale (R1 = R2):

Wm

= −U∆ [< Vϑ >]








Caso del gas ideale

Grado di Reazione

14.267

Potenza di una turbomachina

Riassumendo:


∆ [< RVϑ >] > 0⇒ Ma < 0⇒ W < 0

che rappresenta potenza assorbita da fornire all’albero della girante;

Macchina Motrice:

∆ [< RVϑ >] < 0⇒ Ma > 0⇒ W > 0

che rappresenta potenza disponibile all’albero.

Per ovviare all’inconveniente di attribuire una potenza negativa ad unamacchina operatrice si definisce la potenza relativa ad una turbomacchina nelseguente modo:


WP := −W = +m∆ [< UVϑ >] > 0

Macchina Motrice

WT := +W = −m∆ [< UVϑ >] > 0








Caso del gas ideale

Grado di Reazione

14.268

Momento assiale e potenze scambiate tra palettaggi e cassa/girante

Momento assiale scambiato tra:

palettature statoriche e cassa della macchina:

ω = 0 Mstatorea = −m ∆

12[< RVϑ >] 6= 0

palettature della girante ed albero della macchina:

ω 6= 0 Mgirantea = −m ∆

23[< RVϑ >] 6= 0

La macchina è sollecitata da un momento torcente sia nel caso di una schieradi pale statorica che rotorica.

Per le potenze si ottiene:

per le palettature statoriche:

ω = 0 W = Mstatorea ω ≡ 0

mentre per quelli della girante:

ω 6= 0 W = Mgirantea ω 6= 0

Lo scambio di energia della macchina con il mondo esterno può avvenire solomediante la girante.








Caso del gas ideale

Grado di Reazione

14.269

Equazione di Eulero delle Turbomacchine

Bilancio macroscopico conservazione momento quantità di moto:

Wm

= −∆ [< UCu >]

Bilancio macroscopico conservazione energia:

Wm

= −∆

[12< C2 > +φ+ h

]+

Qm

Per un gas ∆ [φ]� 1, e quindi:

Wm

= −∆

[h +

12< C2 >

]+

Qm

= −∆ [h0] +Qm

Per confronto, si ottiene la relazione fondamentale delle turbomacchine(Equazione di Eulero):

∆ [h0] = ∆ [< UCu >] = −Wm

se il sistema è adiabatico (Q = 0)








Caso del gas ideale

Grado di Reazione

14.270

Equazione di base per il calcolo dei rendimenti

La relazione di Eulero per le turbomacchine si scrive:

∆

[h0

]︸︷︷︸

(1)

= ∆

[UCu

]︸︷︷︸

(2)

+Qm︸︷︷︸(3)

= −Wm︸︷︷︸

(4)

+Qm︸︷︷︸(3)

e mette in relazione fra loro:

1 Variazione entalpia di ristagno ∆ [h0]

2 Variazione del momento angolare ∆ [UCu ] nelle sue componentivorticose;

3 Perdite di energia meccanica o calore scambiato con l’esterno;Valutazione delle perdite meccaniche tramite il coefficiente di perdita dienergia meccanica Ev oppure tramite la misura diretta della variazione dientropia ∆s nel processo in esame.

4 Lavoro scambiato con l’esterno.








Caso del gas ideale

Grado di Reazione

14.271

Rappresentazione a blocchi della Equazione di Eulero

! h0"# $%

!W

!m

! UCU[ ]=

=

=

Primo Principio

(sistema adiabatico Q

=0)

Con

serv

azio

ne

Mom

ento

Ang

olar

e

Equazione di Eulero delle Turbomacchine

Variazione Contenuto Energetico del Fluido

VariazioneMomento Angolare del Flusso

Lavoro scambiato con l’esterno








Caso del gas ideale

Grado di Reazione

14.272

Relazione fra momento angolare e moti vorticosi

Dal triangolo delle velocità si ricava:

W 2 = C2 + U2 − 2 UC cosα

Il termine UCu(= U C cosα) si può quindi calcolare come:

UCu =12

(C2 + U2 −W 2

)Inoltre:

C2 = C2u + C2

a

W 2 = W 2u + W 2

a

Sostituendo e notando che per costruzione Ca = Wa, si ricava

∆ [UCu ] = ∆

[C2

2+

U2

2−

W 2

2

]= ∆

[C2

u

2+

U2

2−

W 2u

2

]

Questa relazione mostra che le uniche componenti di velocità checontribuiscono a variare il momento di quantità di moto sono quellecirconferenziali, ovvero quelle associate al moto vorticoso assoluto (Cu),relativo (Wu), ed al moto di rotazione rigido attorno all’asse (U).








Caso del gas ideale

Grado di Reazione

14.273

Entalpia rotazionale di ristagno

In un sistema adiabatico Q = 0, ed eliminando ∆ [UCu ] dalle due espressioni∆ [h] + ∆[

C2

2

]−∆ [UCu ] = 0

∆ [UCu ] = ∆[

C2

2 + U2

2 −W 2

2

]si ottiene:

∆

[h +

W 2

2−

U2

2

]= 0⇒ ∆ [I0] = 0

in cui la "Rotalpia" di ristagno o "Entalpia rotazionale" di ristagno I0 vale

I0 := h +W 2

2−

U2

2= h0,rel −

U2

2(43)

e l’Entalpia relativa di ristagno é definita:

h0,rel := h +W 2

2








Caso del gas ideale

Grado di Reazione

14.274

Invarianti per stadi statorici e rotorici

Attraverso un palettaggio non rotante:

∆ [h0] = ∆

[h +

C2

2

]= 0⇒ h0 = const

Attraverso un palettaggio rotante a ω costante

macchina a flusso assiale, ∆[U2/2

]= 0:

∆ [h0,rel ] = ∆

[h +

W 2

2

]= 0⇒ h0,rel = const

macchina a flusso misto, ∆[U2/2

]6= 0:

∆ [I0] = ∆

[h +

W 2

2−

U2

2

]= 0⇒ I0 = const








Caso del gas ideale

Grado di Reazione

14.275

Caso del gas ideale

Per un gas ideale (termicamente e caloricamente perfetto):

∆ [h0] = cp∆ [T0] = ∆

[C2

2+

U2

2−

W 2

2

]

dividendo per h0,1 = cpT01 si ricava:

∆ [T0]

T01=

∆ [UCu ]

cpT01=

1cpT01

(∆

[C2

2−

W 2

2+

U2

2

])

in cui

∆ [T0] = ∆ [T0]Rotore + ∆ [T0]Statore = ∆ [T0]Rotore

perché

∆ [T0]Statore = 0








Caso del gas ideale

Grado di Reazione

14.276

Grado di Reazione

Per uno stadio statorico individuato dagli stati (1) e (2), ed uno stadio rotoricoindividuato dagli stati (2) e (3), l’Equazione di Eulero suggerisce che:

∆1,3 [h0] = ∆2,3 [h0] = ∆2,3

[h +

C2

2

]= ∆2,3

[C2

2+

U2

2−

W 2

2

]

si ricava che la variazione di entalpia statica ∆1,2 [h] attraverso il rotore vale

∆2,3 [h] = ∆2,3

[U2

2−

W 2

2

]

Si definisce grado di reazione il rapporto tra variazione di entalpia staticaattraverso il rotore e quella attraverso tutto lo stadio:

R :=∆2,3 [h]

∆1,3 [h]=

∆2,3

[U2

2−

W 2

2

]∆1,3 [h]

= 1−∆2,3

[C2

2

]∆1,3 [h]

(44)

Nel caso di stadio ripetuto, cioè tale per cui C1 = C3, il salto di entalpia staticaattraverso lo stadio è pari al salto di entalpia totale, essendo:

∆1,3 [h] = ∆1,3 [h0]−∆1,3

[C2

2

]= ∆1,3 [h0]








Caso del gas ideale

Grado di Reazione

14.277

Classificazione in base al Grado di Reazione

Si ottiene quindi la relazione:

∆2,3

[C2

2

]= (1− R) ∆1,3 [h0] = (1− R) ∆2,3 [UCu ]

che permette di classificare le turbomacchine in base al grado di reazione:

macchine ad azione (ad impulso) (R = 0): la variazione di energiatotale del flusso è dovuta interamente alla variazione di energia cinetica,non avendosi variazione di entalpia statica attraverso la girante;

macchine a reazione (0 < R < 1): l’energia fornita al flusso è in parte ditipo statico ed in parte di tipo cinetico;

macchine a reazione pura (R = 1): producono una variazione dientalpia statica pari a quella totale (energia cinetica costante).

L’entità delle perdite attraverso lo stadio è fortemente influenzata dalla sceltadel grado di reazione, ovvero di come si distribuisce il carico di lavoro fra lacomponenente staorica e rotorica dello stadio.








Caso del gas ideale

Grado di Reazione

14.278

Grado di reazione per uno stadio ripetuto a velocità assiale costante

Nel caso in cui:

C1 = C3

Ca1 = Ca2 = Ca3

si perviene ad un’espressione molto semplice:

R =h3 − h2

h03 − h01=

h03 − h02 − (C23 − C2

2 )/2h03 − h02

= 1−C2

3 − C22

2(h03 − h02)=

= 1−C2

a3+ C2

θ3− C2

a2− C2

θ2

2U(Cθ3 − Cθ2 )= 1−

Cθ3 + Cθ2

2U

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