Corso di Motori Aeronautici -...

Corso di Motori Aeronautici

Mauro Valorani

Laurea Magistrale in Ingegneria Aeronautica (MAER)Sapienza, Universita di Roma

Anno Accademico 2011-12

Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Assiali

Sett. 8: Turbomacchine (II)1 Rendimenti Turbomacchine

Classificazione Rendimento TurbineLavoro Turbine total-total e total-staticRendimento adiabatico total to total e total to static di turbineRendimento, rapporto di espansione, e lavoro estratto di turbineConfronto rendimento total-to-total/total-to-static di turbineRelazione tra il salto di entropia e il rendimento adiabatico di turbineDivergenza isobareRendimento di una turbina pluristadioRendimento di una macchina a infiniti stadiRelazione tra Rendimento politropico e Indice della politropicaFattore di recupero politropico

2 Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionaleTurbomacchine termicheParametri di prestazione adimensionaliEspressioni equivalenti dei parametri adimensionaliParametri adimensionali per macchine a flusso compressibileCurve caratteristiche per compressori e turbineCondizione di massimo rendimentoNumero di giri e diametro specificiClassificazione macchine tramite numero di giri e diametro specificiApplicazioni dell’analisi dimensionale

3 Compressori e Turbine AssialiTipologie di triangoli di velocitaCompressore assialeTurbina assialeCifre adimensionaliTriangoli di velocita di compressore assialeTriangoli di velocita di turbina assialeRelazioni cinematicheLavoro di stadioLavoro di stadio adimensionaleSchiere di pale per compressori e turbineRendimento di stadioRapporto delle pressioniGrado di ReazioneGrado di Reazione e Angoli dei PalettaggiGrado di Reazione e Angoli dei Palettaggi di Compressori AssialiGrado di Reazione e Angoli dei Palettaggi di Turbine Assiali


Lez. 16: Rendimenti delle Turbomacchine


Rendimenti Turbomacchine

Figure: Schematizzazione del flussoenergetico in un compressore.

Figure: Schematizzazione del flussoenergetico in una turbina.


Classificazione Rendimento Turbine

Classificazione Rendimento Turbine

Rendimento adiabatico (o isentropico) dimacchina:

Rendimento total-to-total;

Rendimento total-to-static;

Rendimento pluri-stadio

Numero finito di stadi;

Numero infinito di stadi:rendimento politropico. Figure: Evoluzione del flusso in turbina

riportata nel piano entalpico.


Lavoro Turbine total-total e total-static

Lavoro Turbine total-total e total-static

Espansione adiabatica ideale Q = 0 attraverso uno statore ed un rotore:

!sStator = !sRotor = 0 ! Ev " 0

Se l’energia cinetica del flusso in uscita e utile allora il lavoro utile ideale estraibiledalla turbina e detto total to total e vale:

W idtt

m= #! [h0]

idtt = h01 # h03s (s1, p03s) (19)

Se l’energia cinetica residua non e utile si definisce il lavoro utile ideale estraibiledalla turbina e detto total to static e vale:

W idts

m= #! [h0]

idts = h01 # h3s (s1, p3) (20)

Entrambe le forme sono funzione delle sole condizioni a monte e del rapporto diespansione della turbina.


Rendimento adiabatico total to total e total to static di turbine

Rendimento adiabatico total to total e total to static di turbine

Espansione adiabatica reale Q = 0 attraverso uno statore ed un rotore.Perdite non nulle: vanno sottratte al lavoro ideale per avere il valore reale estratto.

W re

m= !! [h0]

re = !! [h0]idtt !

Ev

m+

Erec

m= h01 ! h03s (s1, p03s) !

Ev

m+

Erec

m

W re

m= !! [h0]

re = !! [h0]idts!

V 23

2!

Ev

m+

Erec

m= h01!h3s (s1, p3s)!

!

Ev

m!

Erec

m+

V 23

2

"

Introduciamo quindi il rendimento adiabatico total to total:

!tt =W re

W idtt

=h01 ! h03

h01 ! h03s= 1 !

Ev ! Erec

m (h01 ! h03s)

e il rendimento adiabatico total to static:

!ts =W re

W idts

=h01 ! h03

h01 ! h3s= 1 !

Ev ! Erec + mV 23 /2

m (h01 ! h3s)

Il lavoro estratto sara :

W re =

#

$

%

$

&

!tt'

h03s, Ev, Erec

(

W idtt (h03s)

!ts

)

h3s, Ev, Erec,V 232

*

W idts (h3s)


Rendimento, rapporto di espansione, e lavoro estratto di turbine

Rendimento, rapporto di espansione, e lavoro estratto di turbine

Il rendimento adiabatico total to static e esprimibile in funzione del rapporto diespansione e il lavoro estratto:

!ts =cp (T01 ! T03)

cp (T01 ! T3s)=

1 !T03

T01

1 !T3s

T01

=1 !

T03

T01

1 !

)

p3

p01

*!!1!

=W/m

cpT01

+

,1 !

)

p3

p01

*!!1!

-

.

(21)

visto che nel caso ideale l’espansione e isentropica; per il rendimento total to total:

!tt =1 !

T03

T01

1 !

)

p03

p01

*!!1!

=W/m

cpT01

+

,1 !

)

p03

p01

*!!1!

-

.

(22)

e il lavoro per unita di massa puo essere quindi espresso come:

W

m= !tscpT01

+

,1 !

)

p3

p01

*!!1!

-

. (23)

oppure

W

m= !ttcpT01

+

,1 !

)

p03

p01

*!!1!

-

. (24)


Confronto rendimento total-to-total/total-to-static di turbine

Confronto rendimento total-to-total/total-to-static di turbine

Se le di"erenze tra le energie cinetiche residue nel caso ideale e reale sono piccole:

V 23

2$

V 23s

2

allora sussiste una semplice relazione tra i due rendimenti:

!tt =!ts

1#V 23

[2cp (T01 # T3s)]

(25)

e risulta subito:!tt > !ts


Relazione tra il salto di entropia e il rendimento adiabatico di turbine

Relazione tra il salto di entropia e il rendimento adiabatico di turbine

Dalla relazione:

!ts =1 !

T03

T01

1 !

)

p3

p01

*!!1!

e poiche lo stato (03) e (03s) hanno la stessa pressione totale

!s

cp= ln

T03

T03s!

R

cpln

p03

p03s= ln

T03

T03s

Inoltre:

T03

T01=

T03

T03s

T03s

T01= e

!scp

)

p03

p01

*!!1!

e quindi:

!ts =

1 !

)

p03

p01

*!!1!

e!scp

1 !

)

p3

p01

*!!1!

ed analogamente:

!tt =

1 !

)

p03

p01

*!!1!

e!scp

1 !

)

p03

p01

*!!1!


Divergenza isobare

Divergenza isobare

Dalla definizione di entropia e dal I principio si ha:

ds = cpdT0

T0#R

dp0p0

ma per un’isobara (dp0 = 0) si ha che la pendenza aumenta all’aumentare dellatemperatura (e quindi dell’entalpia):

dT0

ds

!

!

!

!

p0=cost.

=T0

cp


Rendimento di una turbina pluristadio

Rendimento di una turbina pluristadioFattore di recupero

Consideriamo una macchina a tre stadi; ogni stadio ha lostesso rendimento adiabatico !st definito come:

!st =h01 ! h02

h01 ! h02s=

h02 ! h03

h02 ! h03ss=

h03 ! h04

h03 ! h04sss

mentre il rendimento totale sara definito come:

!T =h01 ! h04

h01 ! h04s

= !st(h01 ! h02s) + (h02 ! h03ss) + (h03 ! h04sss)

h01 ! h04sEsplicitando le perdite entalpiche si ottiene:

h02 = h02s + !h"

2 ; h03 = h03ss + !h"

3 ; h04sss = h04s + !h"

4 + !h""

4

e sostituendo:

!T

= !sth01 ! h02s +

'

h02s + !h"

2 ! h03ss

(

+/

h03ss + !h"

3 !

'

h04s + !h"

4 + !h""

4

(0

h01 ! h04s

ossia:

!T

= !st

+

,1 +!h

"

2 + !h"

3 !

'

!h"

4 + !h""

4

(

h01 ! h04s

-

.

con !T

> !st vista la divergenza delle isobare.


Rendimento di una macchina a infiniti stadi

Rendimento di una macchina a infiniti stadiRendimento politropico

Per una turbina formata da infiniti stadi, attraverso ognunodei quali si verifica un salto di pressione infinitesimo, sidefinisce rendimento politropico:

!p :=dh0

dhid0

Dall’espressione dell’entropia si ha:

Tds = dh0 !1

"0dp0

Nel caso isoentropico ds = 0 e quindi:

dhid0 =

1

"0dp0

per cui il rendimento politropico diventa:

!p ="0cpdT0

dp0=

p0

T0

#

# ! 1

dT0

dp0

Considerando !p = cost tra due stati (01) e (02) e integrando per separazione dellevariabili si ha:

T02

T01=

)

p02

p01

*!!1! "p


Relazione tra Rendimento politropico e Indice della politropica

Relazione tra Rendimento politropico e Indice della politropica

Per una trasformazione politropica di indice n rappresentata dall’espressione

p0 · "!n0 = cost.

Di"erenziando si ha:dp0p0

# nd"0"0

= 0 (26)

Di"erenziando l’equazione di stato per un gas ideale e sostituendo la precedente siottiene:

dT0

T0=

dp0p0

#d"0"0

=n# 1

n

dp0p0

(27)

Integrando la precedente e confrontando con il risultato scritto in funzione di !p siha

T02

T01=

"

p02p01

#n!1n

=

"

p02p01

#!!1! !p

(28)

da cui si ricava la relazione fra !p e indice della politropica n:

!p =#

# # 1

n# 1

n(29)


Fattore di recupero politropico


Il rendimento della turbina si puo esprimere in funzione del rendimento politropicoe del rapporto di espansione:

!t

$

!p,p02p01

%

=h01 # h02

h01 # h02s=

1#T02

T01

1#T02s

T01

=

1#"

p02p01

#!!1! !p

1#"

p02p01

#!!1!

Si dimostra che il rapporto (fattore di recupero) FR := !t&

!p,p02p01

'

/!p, e sempre

maggiore di uno a causa della divergenza delle isobare



Lez. 17: Analisi Dimensionale per le Turbomacchine


Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale

L’analisi e il confronto tra le turbomacchine e reso piu agevole dall’analisidimensionale: con l’ausilio del Teorema # di Buckingham possiamo ridurre ilnumero dei parametri che caratterizzano il sistema in esame. Possiamo distinguere:

parametri di funzionamento

velocita angolare $ (o numero di giri N);portata massica m (o volumetrica Q );coppia applicata Ma;variazione caratteristiche fluidodinamiche del fluido (pressione p, temperaturaT , volume specifico v);

parametri di prestazione

variazione di entalpia totale ! [h0];rendimento !;potenza trasmessa o ricevuta dall’asse W ;

proprieta del fluido

densita del flusso entrante " ;viscosita dinamica µ;peso molecolare M;calore specifico cp;

geometria del sistema

dimensione caratteristica della turbomacchina D (tipicamente un diametro);altre lunghezze caratteristiche, %i (sezioni di ingresso/uscita, giochi, ecc. . . )


Turbomacchine termiche

Turbomacchine termiche

Nei flussi non isotermi si nota la presenza della temperatura tra le grandezzefondamentali; dalla sperimentazione si ottengono delle relazioni del tipo:

!h0 = h (m,N,D, "01, µ01, a01, #, $i)

! = ! (m,N,D, "01, µ01, a01, #, $i)

W = W (m,N,D, "01, µ01, a01, #, $i)

ove il pedice ()01 indica la grandezza alla condizione di ristagno nella sezione diingresso


Parametri di prestazione adimensionali

Parametri di prestazione adimensionali

Grandezze fondamentali: densita ", diametro caratteristico D, numero di giri Ntemperatura T :

cifra di flusso

% =m

"01ND3

numero di Reynolds di macchina

ReD ="01ND2

µ01

numero di Mach di pala

MaD =ND

a01cifra di pressione

& =!

(

h0is

)

(ND)2

cifra di potenza

' =W

"01N3D5

Le prestazioni della macchina potranno essere quindi espresse da funzionali deltipo:

& = & (%, ReD,MaD, #) ; ! = ! (%, ReD,MaD, #) ; ' = ' (%, ReD,MaD, #)


Espressioni equivalenti dei parametri adimensionali

Espressioni equivalenti dei parametri adimensionali

Espressioni equivalenti:

cifra di flusso in funzione del numero di Mach di pala

% =m

"01ND3=

m

"01a01D2

a01ND

=m

"01a01D2

1

MaD=

m%RT01

p01D2%#

1

MaD

cifra di pressione in funzione del rapporto tra le pressioni:

& =cp (T01 # T02s)

(ND)2=

cpT01

(ND)2

*

+1#"

p02p01

#!!1!

,

-

=#RT01

(# # 1) (ND)2

*

+1#"

p02p01

#!!1!

,

- =1

(# # 1)Ma2D

*

+1#"

p02p01

#!!1!

,

-

cifra di potenza in funzione del salto di temperature totali

' =W

"01N3D5=

mcp!T0

"01 (ND) (ND)2a201a201

=%

M2D

cp!T0

#RT01=

%

(# # 1)M2D

"

!T0

T01

#


Parametri adimensionali per macchine a flusso compressibile

Parametri adimensionali per macchine a flusso compressibile

Definizioni alternative:

portata ridottam%RT01

p01D2%#

cifra di pressione espressa come rapporto tra le pressioni:

p02p01

=p02p01

"

m%RT01

p01D2%#, ReD,MaD, #

#

cifra di potenza espressa come salto di temperature totali

!T0

T01=

!T0

T01

"

m%RT01

p01D2%#, ReD,MaD, #

#

rendimento

! = !

"

m%RT01

p01D2%#, ReD,MaD, #

#

Con le ipotesi:

stesso fluido per tutte le macchine in esame: medesimi # ed R;le macchine con lo stesso diametro D;

allora si possono definire una portata e numero di giri ridotti come segue

m%T01

p01

N%T01


Curve caratteristiche per compressori e turbine

Curve caratteristiche per compressori e turbine

Le prestazioni delle turbomacchine in condizioni di fuori progetto (curvecaratteristiche) possono essere sintetizzate utilizzando ad esempio un piano (portata ridotta, rapporto delle pressioni totali )

Figure: Curve caratteristiche per compressori e turbine


Condizione di massimo rendimento

Condizione di massimo rendimento

Le curve caratteristiche descrivono le prestazioni in condizioni di fuoriprogetto di una macchina in termini di cifra di pressione e rendimento infunzione della cifra di flusso.

Come si puo invece caratterizzare una macchina in base ad un solo punto difunzionamento ?

Si considera la condizione di massimo rendimento a cui corrisponde la cifra diflusso %":

(!

(%

!

!

!

!

"#

= 0

ovvero%" = !!1 (!max)

e quindi si trova il valore della cifra di pressione corrispondente

&" = &(

!!1 (!max))

= & (!max)

La coppia(%" (!max) ,&

" (!max))

caratterizza univocamente una macchina


Numero di giri e diametro specifici

Numero di giri e diametro specifici

%" (!max) ,&" (!max) dipendono pero sia dal numero di giri che dal diametro;conviene allora definire:

numero di giri specifico

per una pompa come

Ns =(&#)

12

('#)34

=N

"Q

'

!/

p0

#

0( 34

(30)

che dipende solo dal numero di giri;per una turbina a gas invece si preferisce invece la definizione

Nsp =(

12

'54

= NW

12

""01 (! [h0])

54

(31)

diametro specifico (dipende solo dal diametro)

Ds =(&")

14

(%")12

=D

.

!(

h0)/ 1

4

%Q

%" e &" sono funzione del disegno e delle condizioni operative della macchina(dimensioni, portata, numero di giri);

Ns e Ds sono funzioni della sola architettura della turbina o pompa (assiale,radiale o mista).


Classificazione macchine tramite numero di giri e diametro specifici

Classificazione macchine tramite numero di giri e diametro specifici

Nel piano (Ns, Ds) tutte le macchine si trovano in una ristretta fascia a pendenzanegativa. si ha inoltre che:

macchine ad angolo di uscita )2 costante sono su curve a pendenza negativaall’incirca parallele tra di loro;

macchine al medesimo rendimento massimo si trovano a su curve crescentidecrescenti con i rendimenti maggiori a numeri di giri specifici maggiori;

le macchine assiali sono quelle a numero di giri specifici superiori

Il numero di giri ed il diametro specifici sono fra loro inversamente proporzionali, equindi macchine con una una piu elevata prevalenza (diametro specifico maggiore)hanno rendimenti sempre piu bassi; per ovviare a questo inconveniente si ricorrealla stadiazione.


Applicazioni dell’analisi dimensionale


Con l’analisi dimensionale e possibile, tra gli altri, risolvere i seguenti problemi:

dati il lavoro compiuto sul fluido (in termini di prevalenza o salto di entalpiatotale), la portata (massica o di volume) e il numero di giri e possibiledeterminare il numero di giri specifico e quindi il tipo di macchina;

dal tipo di macchina (Ns), il salto entalpico e la portata si puo trovare ilnumero di giri al quale abbiamo il massimo rendimento (quindi adottabilecome condizione di progetto);

noto il diametro specifico (Ds), il salto entalpico e la portata si puodeterminare il diametro della macchina che fornisce il massimo rendimento;

dato Ns e il range di valori che puo assumere il numero di giri(N & [Nmin, Nmax]) si possono determinare gli estremi valori assunti dallapotenza;

si possono determinare le tipologie di macchine da costruire in serie: sisuddivide il diagramma (Ns, Ds) in zone a ciascuna delle quali verraassegnata una condizione di riferimento da cui costruire la macchina;

la classificazione delle turbomacchine;

la prova su diverse scale.



Lez. 18: Compressore Vs Turbina


Compressori e Turbine AssialiFlusso nel piano meridiano e inter-palare


Tipologie di triangoli di velocita

Tipologie di triangoli di velocita

Figure: Triangoli di ingresso ed uscitacon base condivisa Figure: Triangolo di ingresso ed uscita con

vertice condiviso


Compressore assiale

Piano TS e triangoli di velocita di un compressore assiale

Figure: Piano (T,s) e sezione su pianomeridiano

Figure: Sezione su piano inter-palare


Turbina assiale

Piano TS e triangoli di velocita di una turbina assiale

Figure: Sezione su piano meridiano e pianointer-palare

Figure: Piano (T,s) e triangoli divelocita


Cifre adimensionali

Cifre adimensionali

Cifra di flusso

% :=Ca

U

Cifra di pressione

& :=|cp![T0]st|

U2=

|Wst|U2


Triangoli di velocita di compressore assiale

Triangoli di velocita di compressore assiale


Triangoli di velocita di turbina assiale

Triangoli di velocita di turbina assiale


Relazioni cinematiche

Relazioni cinematiche

In un triangolo di velocita di compressore assiale valgono le seguenti relazionicinematiche

1

%1= tan*1 + tan)1

1

%2= tan)2 + tan*2

dalle quali si possono ricavare *1 and *2, per un assegnato valore di % e degliangoli metallo )1 and )2

In un triangolo di velocita di turbina assiale valgono le seguenti relazionicinematiche

1

%2= tan*2 # tan)2

1

%3= tan)3 # tan*3

dalle quali si possono ricavare *2 and *3, per un assegnato valore di % e degliangoli metallo )2 and )3


Lavoro di stadio

Lavoro di stadio

Il Lavoro di stadio di un compressore si ottienedall’Equazione di Eulero:

!Wst,comp = cp! [T0]st = ! [UCu] +E

m

con ! [T0]st = T03 ! T01 = T02 ! T01 > 0

In assenza di perdite (Ev = 0) si ha:

!Wst = ! [UCu] = U2Ca,2 tan#2!Ca,1U1 tan#1

In un triangolo di velocita, valgono le seguentirelazioni

1

"1= tan#1 +tan $1

1

"2= tan $2 +tan#2

Se U1 = U2 e Ca,1 = Ca,2 ("1 = "2), allora:

tan#2 ! tan#1= tan $1 ! tan $2

e quindi:

!Wst = cp! [T0]st = UCa (tan $1 ! tan $2) > 0

ovvero, la deviazione del flusso relativodiminuisce attraverso il rotore: $1 > $2 > 0

Il Lavoro di stadio di una turbina si ottienedall’Equazione di Eulero:

!Wst,turb = cp! [T0]st = ! [UCu] +E

m

con ! [T0]st = T03 ! T01 = T03 ! T02 < 0

In assenza di perdite (Ev = 0) si ha:

Wst = ! U!

1

%C ·

%U

U

2

='

%C2 · %U2 ! %C3 · %U3

(

= U2Ca,2 tan#2 ! (!U3Ca,3 tan#3)

= U2Ca,2 tan#2 + U3Ca,3 tan#3

Dalle relazioni

1

"2= tan#2 ! tan $2

1

"3= tan $3 ! tan#3

e se U2 = U3 e Ca,2 = Ca,3 ("2 = "3), allora:

tan#2 + tan#3=tan $3 + tan $2

e quindi:

Wst = !cp! [T0]st = UCa (tan $2 + tan $3) > 0

ovvero, la deviazione del flusso relativoaumenta attraverso il rotore: $2 > 0 > $3


Lavoro di stadio adimensionale

Lavoro di stadio adimensionale

Espressioni adimensionali del lavoro di stadio di compressore e turbina

Coe$ciente di carico di stadio di compressore (stage loading)

Lavoro specifico cp! [T0]st = UCa (tan)1 # tan)2)

Coe$ciente di carico & = % (tan)1 # tan)2)

Coe$ciente di carico di stadio di turbina (blade loading coe$cient)

Lavoro specifico Wst = UCa (tan)2 + tan)3)

Coe$ciente di carico & = % (tan)2 + tan)3)


Schiere di pale per compressori e turbine

Schiere di pale per compressori e turbine

Figure: Stadio di turbinaassiale

la deviazione del flussorelativo aumenta(inverte direzione !)attraverso il rotoreturbina:

)2 > 0 > )3

la deviazione del flussorelativo diminuisce(stessa direzione !)attraverso il rotorecompressore:

)1 > )2 > 0

Figure: Stadio dicompressore assiale


Rendimento di stadio

Rendimento di stadio

Il Rendimento di stadioadiabatico di un compressore siscrive:

!st :=h03,ss ! h01

h03 ! h01=

T03,ss ! T01

T03 ! T01

da cui

T03,ss

T01= 1 + !st

! [T0]

T01

con ! [T0] = T03 ! T01Dalla definizione di rapporto dicompressione di stadio si ha

"st :=p03

p01=

)

T03,ss

T01

*

!!!1

=

)

1 + !st! [T0]

T01

*

!!!1

e per la![T0]T01

= ![UCu]cpT01

, si ha

"st =

!

1 + !st! [UCu]

cpT01

"!

!!1

Dalle definizioni di rendimenti di stadio adiabatico total-totale total-static

!ts :=h01 ! h03

h01 ! h3,ss=

T01 ! T03

T01 ! T3,ss=

1 !T03T01

1 !

'

p3p01

(!!1!

!tt :=h01 ! h03

h01 ! h03,ss=

T01 ! T03

T01 ! T03,ss=

1 !T03T01

1 !

'

p03p01

(!!1!

da cui

T03,ss

T01= 1 !

!! [T0]st

!ttT01

T3,ss

T01= 1 !

!! [T0]st

!tsT01

I rapporti di espansione tt e ts in funzione !tt e !tssono

"tt :=p01

p03=

)

T03,ss

T01

*

!!

!!1=

)

1 !

!! [T0]st

!ttT01

*!!

!!1

"ts :=p01

p3=

)

T3,ss

T01

*

!!

!!1=

)

1 !

!! [T0]st

!tsT01

*!!

!!1

ovvero

"tt/ts =

!

1 !

!! [UCu]

!tt/tscpT01

"

!!

!!1


Rapporto delle pressioni

Rapporto delle pressioni

In un triangolo di velocita di compressoresi ha:

! [Cu] = Wu,1 ! Wu,2 = Ca (tan $1 ! tan $2)

= Cu,2 ! Cu,1 = Ca (tan#2 ! tan#1)

Per una macchina assiale quindi

! [UCu] = UCa (tan $1 ! tan $2)

= UCa (tan#2 ! tan#1)

e quindi il rapporto di compressionediviene

"st =

!

1 + !stUCa

cpT01(tan $1 ! tan $2)

"!

!!1

Dalla relazione

cp! [T0]st = Wst = UCa (tan $1 ! tan $2)

si ha che

Wst = cp! [T0]st =cpT01

!st

+

,1 ! "

!!1!

st

-

.

In un triangolo di velocita di turbina si ha:

!! [Cu] = Wu,3 ! (!Wu,2) = Ca (tan $3 + tan $2)

= Cu,2 ! (!Cu,3) = Ca (tan#2 + tan#3)

Per una macchina assiale quindi

!! [UCu] = UCa (tan $3 + tan $2)

= UCa (tan#2 + tan#3)

e quindi il rapporto di espansione diviene

"tt/ts =

!

1 !

UCa

!tt/tscpT01(tan $2 + tan $3)

"

!!

!!1

Dalla relazione

cp! [T0]st = Wst = UCa (tan $2 + tan $3)

si ha che

cp! [T0]st = Wtt/ts = !tt/tscpT01

+

,1 ! "!!!1!

tt/ts

-

.

NB: i rendimenti non sono costanti ma diminuiscono all’aumentare della deflessione del flussoimposta dalla pala !


Grado di Reazione

Grado di Reazione

" :=!Trot

!Tst

C1 = C3 $ !Tst = !T0,st =U![Cu]

Cp

!I0,rot = 0 = h1 +W2

1

2!

U21

2= h2 +

W22

2!

U22

2

Se U1 = U2 $ h1 +W2

1

2= h2 +

W22

2

!Trot := T2 ! T1 =W2

1 ! W22

2Cp

con W2 = C2a + (U ! Cu)2

!Trot =1

2Cp

'

!![C2a] !![C2

u] + 2U![Cu](

" =!Trot

!Tst=

'

!![C2a] !![C2

u] + 2U![Cu](

2U![Cu]

" = 1 +![C2

a]

2U![Cu]!

Cu,1 + Cu,2

2U

Infine se: Ca,1 = Ca,2 $ " = 1 !

Cu,1 + Cu,2

2U

" :=!Trot

!Tst

C1 = C3 $ !Tst = !T0,st = !

U![Cu]

Cp

!I0,rot = 0 = h2 +W2

2

2!

U22

2= h3 +

W23

2!

U23

2

Se U2 = U3 $ h2 +W2

2

2= h3 +

W23

2

!Trot := T2 ! T3 =W2

3 ! W22

2Cp

con W2 = C2a + (U ! Cu)2

!Trot =1

2Cp

'

!![C2a] !![C2

u] + 2U![Cu](

" =!Trot

!Tst=

'

!![C2a] !![C2

u] + 2U![Cu](

2U![Cu]

" = 1 +![C2

a]

2U![Cu]!

Cu,2 + Cu,3

2U

Infine se: Ca,2 = Ca,3 $ " = 1 !

Cu,2 + Cu,3

2U


Grado di Reazione e Angoli dei Palettaggi

Grado di Reazione e Angoli dei Palettaggi

Per uno stadio di compressore ripetuto e convelocita assiale costante, il grado di reazionepuo essere scritto come

" = 1 !

Cu,1 + Cu,2

2U

e sostituendo le relazioni valide per i triangolidi velocita si hanno le seguenti espressioniequivalenti

" =Ca

2U(tan $1 + tan $2)

" =1

2!

Ca

2U(tan%1 ! tan $2)

" = 1 !

Ca

2U(tan%1 + tan%2)

da cui

" = 0 $ 0 =Ca

2U(tan $1 + tan $2) $ $1 = !$2

" =1

2$

1

2=

1

2!

Ca

2U(tan%1 ! tan $2) $ %1 = $2

" = 1 $ 1 = 1 !

Ca

2U(tan%1 + tan%2) $ %1 = !%2

Per uno stadio di Turbina ripetuto e con velocita assialecostante, il grado di reazione puo essere scritto come

" = 1 !

Cu,2 + (!Cu,3)

2U= 1 !

Cu,2 ! Cu,3

2U

e sostituendo le relazioni valide per i triangoli divelocita si hanno le seguenti espressioni equivalenti

" =Ca

2U(tan $3 ! tan $2) =

&

2(tan $3 ! tan $2)

" =1

2!

Ca

2U(tan%2 ! tan $3) =

1

2!

&

2(tan%2 ! tan $3)

" = 1 !

Ca

2U(tan%2 + tan%3) = 1 !

&

2(tan%2 + tan%3)

da cui

" = 0 $ 0 =&

2(tan $3 ! tan $2) $ $3 = !$2

" =1

2$

1

2=

1

2!

&

2(tan%2 ! tan $3) $ %2 = $3

" = 1 $ 1 = 1 !

&

2(tan%2 + tan%3) $ %2 = !%3


Grado di Reazione e Angoli dei Palettaggi di Compressori Assiali

Grado di Reazione e Angoli dei Palettaggi di Compressori Assiali


Grado di Reazione e Angoli dei Palettaggi di Turbine Assiali

Grado di Reazione e Angoli dei Palettaggi di Turbine Assiali


Disegno di stadio di compressore

Disegno di stadio di compressore

Per uno stadio di compressore ripetuto e con velocita assiale costante, valgonocontemporaneamente due condizioni che legano lavoro e grado di reazione agliangoli dei palettaggi:

&=% (tan)1 # tan)2)

%=%

2(tan)1 + tan)2) =

1

2#

%

2(tan*1 # tan)2) = 1#

%

2(tan*1 + tan*2)

Risolvendo rispetto agli angoli )1 e )2 si puo costruire uno stadio di compressoreche sviluppi un lavoro adimensionale & che viene ripartito tra statore e rotore inaccordo con un grado di reazione assegnato % .


Disegno di stadio di turbina

Disegno di stadio di turbina

Per uno stadio di turbina ripetuto e con velocita assiale costante, valgonocontemporaneamente due condizioni che legano lavoro e grado di reazione agliangoli dei palettaggi:

& = % (tan*3 + tan*2) = % (tan)3 + tan)2)

% =%

2(tan)3 # tan)2) =

1

2#

%

2(tan*2 # tan)3) = 1#

%

2(tan*2 + tan*3)

Risolvendo rispetto agli angoli )2 e )3 si puo costruire uno stadio di turbina chesviluppi un lavoro adimensionale & che viene ripartito tra statore e rotore inaccordo con un grado di reazione assegnato %:

tan)2 =1

2%

0

& # 2%1

tan)3 =1

2%

0

& + 2%1

ovvero

tan*2 =1

2%

0

& # 2%+ 21

tan*3 =1

2%

0

& + 2%# 21


Parametri di disegno di uno stadio

Parametri di disegno di uno stadio

Dall’analisi delle relazioni che esprimono:

il rapporto di compressione

"st =

)

1 + !stUCa

cpT01(tan )1 ! tan )2)

*!

!!1

il rapporto di espansione

"tt/ts =

!

1 !UCa

!tt/tscpT01(tan )3 + tan )2)

"

!!

!!1

si evince che i principali parametri di disegno per avere un elevato rapporto di pressioneattraverso lo stadio sono:

elevata velocita periferica U = $D/2, ovvero elevata velocita di rotazione o grandiingombri

elevate velocita assiali (alte portate) che realizzano piccole sezioni frontali (bassaresistenza aerodinamica)

elevate deflezioni del fluido, che pero comportano maggiori perdite di palettaggio(compromesso)

bassa temperatura totale di ingresso (inter–refrigerazione fra stadi)


Vincoli sui parametri di disegno

Vincoli sui parametri di disegno

Vincoli parametri di disegno compressore:

sulla velocita perifericaU < Umax #

"* in cui

* ="pala$

2

Aradice pala

3 rt

rr

rA(r)dr

sulla velocita assiale Ca,1 tale che:Mtip # 1.1 per compressoretransonico; # 1.5 - 1,7 per fan, conMtip definito come

Mtip :=W1,max

a=

4

C2a,1 + U2

tip5

#RT1,tip

=

Utip

6

C2a,1

U2tip

+ 1

6

#R

)

T01 !C2a,1

2Cp

*

sulla deflessione del fluido tale che nonsi verifichino separazioni di flusso:criterio de Haller e/o del Fattore dideflessione (NASA)

Vincoli parametri di disegno turbina:

Tensioni dovute alla forza centrifugacome nei compressori

Tensioni derivanti dall’interazioneflusso/struttura

Inversamente proporzionali alnumero di palette e dipendentidalla forma dei profili palari(criterio di Zweifel)direttamente proporzionaliall’altezza delle palette ed allavoro specifico assegnato allaschiera

Minimizzazione del peso dellamacchina: scelta del numero di stadi

Scelta di un grado di reazione vicino al50% e minimo swirl allo scarico


Vincolo sulla deflessione del fluido nel compressore

Vincolo sulla deflessione del fluido nel compressore

Criterio di de Haller

DH :=V2

V1< 0.72

Fattore di deflessione (NASA)

DF :=Vmax # V2

V1' 1#

V2

V1+

! [UCu]

2+V1

con + :=c (chord)

s (pitch)

DF < 0.6 per prevenire lo stallo

DF ' 0.45 buona scelta di primo disegno


Scelta del numero di pale in una turbina (Zweifel)

Scelta del numero di pale in una turbina (Zweifel)

La scelta del rapporto passo inter-palare s con la corda % del profilo puo esseree#ettuato utilizazndo il criterio di Zweifel:

s' basso: numero elevato di pale forniscono una capacita di guida notevole maelevate perdite per attrito;

s' alto: numero basso di pale determinano un elevato carico specifico della singolapaletta che quindi favorisce la separazione del flusso

Si “rendimento” del profilo, 'T , il rapporto tra la componente tangenziale della forzaagente sul profilo, FY , e quella massima ideale, F id

Y , che si avrebbe qualora il lato inpressione/aspirazione si trovasse alla massima (p0

1)/minima (p2) pressione possibile:

'T :=FY

F idY

in cui

FY =

7

t p dy = "sVm8

W(2 ! W(1

9

F idY =

'

p01 ! p2

(

% = "W 2

2

2%

Al diminuire del numero di pale FY aumenta mentre pmin diminuisce fino aseparazione; si dimostra che 'T si puo scrivere come:

'T =

)

s

%

*

sin2 )2

)

1

tan )2!

1

tan )1

*

Per ogni valore di 'T si ricava il rapporto s/% corrispondente ad un valore di angolo dipala al bordo di attacco, )1, e di uscita, )2. Nota la corda del profilo % si ottienedunque il numero di palette: z = +D/s

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