Corso di Motori Aeronautici -...

Corso di Motori Aeronautici

Mauro Valorani

Laurea Magistrale in Ingegneria Aeronautica (MAER)Sapienza, Universita di Roma

Anno Accademico 2011-12

Stima delle Perdite in Turbine Modelli di correlazione delle perdite Modello di Soderberg Modello di Ainley - Mathieson

Sett. 11: Stima delle Perdite in Turbine1 Stima delle Perdite in Turbine

Classificazione coefficienti di perdita di schiereClassificazione tipologie di perdita

Perdite di profiloPerdite di profiloPerdite secondariePerdite secondariePerdite per urtoPerdite di ”tip leakage”Perdite di ”tip leakage”Tecniche di ra!reddamentoTecniche per ra!reddamento

2 Modelli di correlazione delle perdite

3 Modello di SoderbergModello di Soderberg

4 Modello di Ainley - MathiesonPerdite di profiloPerdite di profiloPerdite di profiloPerdite di profiloPerdite di profiloPerdite di profiloPerdite di profiloPerdite secondarie e di tip clearancePerdite secondarie e di tip clearance

5 Modello di Dunam-CameModello di Dunam-CameModello di Dunam-Came

6 Modello di Kacker e Okapuu-MoustaphaModello di Kacker e Okapuu-MoustaphaModello di Kacker e Okapuu-MoustaphaModello di Kacker e Okapuu-MoustaphaModello di Kacker e Okapuu-MoustaphaModello di Kacker e Okapuu-MoustaphaModello di Kacker e Okapuu-MoustaphaModello di Kacker e Okapuu-Moustapha

7 Prestazioni fuori progetto: Modello di Moustapha


Lez. 24: Stima delle Perdite in Turbine

1 Stima delle Perdite in Turbine

2 Modelli di correlazione delle perdite

3 Modello di Soderberg

4 Modello di Ainley - Mathieson

5 Modello di Dunam-Came

6 Modello di Kacker e Okapuu-Moustapha

7 Prestazioni fuori progetto: Modello di Moustapha

8 Ese.: 11: Esercitazione su Stima delle Perdite in Turbine


Classificazione coefficienti di perdita di schiere

Classificazione coe!cienti di perdita di schiere

Le perdite attraverso una schiera possono essere espresse in diversi modi:

Schiera Statorica Schiera rotorica

KN :=C1

C1,isKR :=

W2

W2,is

!N :=h1 ! h1,s

V 212

=h1 ! h1,s

h00 ! h1!R :=

h2 ! h2,s

W222

=h2 ! h2,s

h01,R ! h2

!sN := s1 ! s0 = s1 ! s1,s = R lnp01p02

!sR := s2 ! s1 = s2 ! s2,s = R lnp02,Rp03,R

YN :=p00 ! p01p01 ! p1

=p00 ! p01

V 212

YR :=p01,R ! p02,Rp02,R ! p2

=p01,R ! p02,R

W222

M :=C

""RT

h0 := h!

1 + #M2" p0 := p!

1 + #M2"!

!!1

MR :=W

""RT

h0,R := h!

1 + #M2R

"

p0,R := p!

1 + #M2R

"

!!!1


Classificazione tipologie di perdita


Le perdite attraverso una schiera possono essere classificate in base alla loro causaoriginante:

perdite di profilo (resistenza aerodinamica)

perdite causate dall’insorgenza di flussi secondari

perdite per urto (gasdinamico)

perdite per trafilamento al tip delle palette (clearance)

perdite dovute al ra"reddamento delle palette.

Figure: Break-up dei principali contributi di perdite meccaniche.



Perdite di profilo

Le perdite dovute allo strato limite che si forma sulla superficie della paletta,quelle dovute ai fenomeni di separazione di questo, gli e"etti legati ad elevatiangoli d’incidenza ed elevati valori del numero di Mach del flusso all’ingressodelle palette sono classificate come perdite di profilo.

Gli incrementi di entropia e le conseguenti perdite di pressione totale o"ronouna misura dell’entita dei fenomeni suddetti.

L’entalpia totale del flusso rimane invece costante qualora l’approssimazionedi adiabaticita del sistema sia su#cientemente accurata.

La di#colta principale che si riscontra nella predizione delle perdite di energiameccanica e legata al fenomeno della transizione; in particolare e di#cileindividuare quando e dove questa potra verificarsi.

Il flusso da laminare puo passare successivamente ad un regime separato acausa dei gradienti locali di pressione avversi che danno origine a bolle diricircolo, che causano la transizione, con notevole incremento delle perdite dienergia meccanica.

Le perdite dovute allo spessore finito della paletta al bordo d’uscita, cheprovoca separazione del flusso ed e la zona in cui avvengono interazioni tra leonde d’urto e le onde di espansione, sono di fatto accorpate alle perdite diprofilo.



Perdite di profilo

Figure: Separazione del flusso all’ingresso delle palette in condizioni di fuori progetto.



Perdite secondarie

Sono generate dal sistema di vortici illustrato schemativamente in figura.

La variazione di circolazione lungo lo span della paletta e il principale fattoreche ingenera un sistema di vortici che attraversano il canale della turbina.Un secondo fattore di produzione di vorticita e il basso livello di energiacinetica della parte di flusso relativo allo strato limite che non permette ilmantenimento dell’equilibrio tra forze centripete e forze di pressione. Di fattovi e un impedimento del flusso a proseguire senza una deviazione verso il latoin aspirazione della paletta adiacente, percio si viene a creare un movimentodi flusso dal lato in pressione di una paletta verso quello in aspirazionedell’altra. In questo modo si da origine ad un moto vorticoso, detto ”PassageVortex”, responsabile della di!usione di energia nel canale, e di una notevoleperdita di energia meccanica.

Vortice a sta"a (horse-shoe vortex): si forma quando il flusso indisturbatoproveniente da monte incontra la paletta. La zona in cui il fenomeno haorigine e il bordo d’attacco della paletta, dove il flusso dello strato limite, acausa del gradiente di velocita di cui e dotato nell’impatto con la paletta dellaturbina, genera un moto vorticoso definito ”Leading Edge Vortex”. Talevortice si separa in due parti che proseguono, il primo sul lato in aspirazionedella pala, il secondo sul lato in pressione. Questi interagiscono in manieradiversa con il ”Passage Vortex” in quanto il primo viene trascinato daquest’ultimo, mentre il secondo ne viene avvolto.

interazione strato limite dell’”endwall” e quello della paletta.



Perdite secondarie

Figure: Vortice di passaggio (a sinistra) e vortice a sta!a (a destra).



Perdite per urto

Le ”perdite per urto” sonorelative alla dissipazione viscosaassociata al sistema di urti, chesi ingenerano al bordo d’uscitadelle palette in condizioni diflusso transonico e supersonico.

Figure: Sistema d’urti allo scarico del canale palare



Perdite di ”tip leakage”

Le perdite dovute alle ”clearance” che sono comprese tra l’estremita superioredella pala e la cassa della turbina vengono definite come un contributoseparato dagli altri e vengono chiamate ” Tip Leakage losses”.Questo tipo di perdite dipende dalla forma del tip della paletta, in quantoesistono due diverse tipologie costruttive, definite rispettivamente ”tipshrouded” e ”tip unshrouded”.Il primo tipo e relativo ad una paletta provvista di un’appendice simile allewinglets delle ali degli aerei alloggiata in una cava realizzata nella cassa;naturalmente le forme possono cambiare in base alle esigenze costruttive, ed euna prerogativa sia delle pale dello statore che di quelle del rotore.Molto importante ai fini della caratterizzazione delle perdite, e capire lamodalita di realizzazione dell’accoppiamento con la cassa, che deve essere taleda ridurre al minimo il passaggio di flusso. Tale accoppiamento, per quantoriguarda il ”tip shrouded”, viene realizzato mediante utilizzo delle cosiddettetenute a labirinto.La figura rappresenta molto semplicemente lo schema costruttivo di unapaletta con shroud; si puo notare inoltre il particolare della tenuta a labirintoatta a limitare il piu possibile il passaggio di flusso dal lato in pressione aquello in aspirazione: quest’ultimo e agevolato dalla di"erenza di pressione traun lato e l’altro della paletta.Tale passaggio permette l’immissione nel canale di flusso con diversa velocitae di"erente angolo, e la formazione del vortice di leakage, il quale, interagendocon il flusso principale, origina le perdite di energia meccanica.



Perdite di ”tip leakage”

Figure: Perdite al tip delle palette



Tecniche di ra"reddamento

Air cooling, water cooling, steam cooling, fuel cooling, liquid metal cooling.Campo aerospaziale: air cooling e fuel cooling (applicazioni spaziali emissilistiche).Turbine aeonautiche: air cooling.Il sistema air cooling puo essere classificato come segue:

Internal cooling (per temperature esterne variabili tra 1300-1600 K):

convection coolingimpingment coolinginternal air-cooled thermal barrier.

External cooling (per temperature esterne maggiori di 1600 K):

local film coolingfull-coverage film coolingtraspiration cooling



Tecniche per ra"reddamento

Convection cooling: un flusso relativamente freddo percorre un sistema dicanali posti all’interno della paletta, in modo da ra"reddare la stessa. Dopoaver compiuto tutto il percorso, il flusso ormai caldo viene immesso nel canaledella turbina attraverso fori posti sul trailing edge, ed al tip della pala.

Impingement cooling: il flusso freddo viene immesso direttamente nel canalemediante file di piccoli fori; cio consente un ra"reddamento della zona intornoalla pala.

Barriere termiche: rivestimenti refrattari al calore (ceramic coating).

Film cooling: permette di isolare la superficie della paletta con un sottilestrato di aria relativamente fredda estratta da prescelti stadi del compressore(4# e 7# generalmente); cio consente di immettere il flusso freddo in turbina inquanto caratterizzato da un valore di pressione adeguato. tecnica moltoe#cace soprattutto al leading edge dove si trovano solitamente le temperaturepiu elevate. Il range di temperature che si puo avere con questo tipo dira"reddamento e 1560-1800 K.

Traspiration cooling: il film si deposita sulla superficie della paletta dopo averattraversato quest’ultima, la quale e dotata di una porosita tale da consentireil passaggio di flusso freddo.

Le moderne turbine a gas impiegano una combinazione di convective cooling e filmcooling; cio consente di poter lavorare con temperature molto elevate scongiurandogli eventuali problemi di creep.


Modelli di correlazione delle perdite

Modello di Soderberg

Modello di Ainley - Mathieson

Modello di Dunam-Came

Modello di Kacker e Okapuu-Moustapha

Prestazioni fuori progetto: Modello di Moustapha



E’ il primo tentativo di modellizzare le perdite di energia meccanica in turbina

Le perdite sono proporzionali all’angolo di deflessione !$ del flusso tra montee valle del canale interpalare

Il valore di base e corretto in funzione del numero di Reynolds, Re, dell’aspect ratio, b/h, e della tip clearance.

Il coe#ciente di perdita di base !! al netto delle correzioni e definito in funzionedella deflessione !$ attraverso il canale, il quale e rappresentativo delle perdite diprofilo ed e espresso dalla seguente relazione:

!! [!$] = 0.04 + 0.06

#

!$

100

$2

(32)

Si ricordi che i coe#cienti di perdita sono stati definiti come:

!N :=h1 ! h1,s

V 212

=h1 ! h1,s

h00 ! h1!R :=

h2 ! h2,s

W222

=h2 ! h2,s

h01,R ! h2




Le correzioni alla (32) sono e"ettuate come segue:

correzione legata all’aspect ratio b/h (perdite secondarie):

!"

= (1! !!)

#

0.975 + 0.075b

h

$

! 1 (33)

correzione legata al numero di Reynolds Re:

!""

=

#

105

Re

$

14

!"

(34)

dove per lo statore abbiamo:

Re =DV1

%con D =

2hs cos$1

h+ s cos$1(35)

e per il rotore si ha:

Re =DW1

%con D =

2hs |cos&2|h+ s |cos&2|

(36)

correzione per la tip clearance: si moltiplica !""

per il rapporto tra l’area delcanale interpalare della schiera considerata meno l’area della clearance el’area del canale (adeguato per turbine ad impulso con palette di piccoledimensioni).

Il metodo di Soderberg e stato usato in particolare per predire l’e#cienza al puntodi progetto di macchine aventi velocita tangenziale in uscita nulla (scarico assiale).


Modello di Ainley - Mathieson

Il modello di Ainley e Mathieson si applica in e fuori progetto.

Il metodo esprime le perdite in termini di pressione totale Y invece che dientalpia !.

Si considerano gli e"etti di perdita legati al profilo, YP , ai flussi secondari,YS , al tip clearance, YTl, allo spessore del trailing edge, 'Te, ed infineall’angolo di incidenza, i.

Le relazioni sono valide per palette con rapporto tra spessore massimo e cordadel profilo compreso tra 0.15 e 0.25.

Le perdite totali Y vengono stimate combinando i diversi contributi di perditasecondo l’espressione:

Y = (YP + YS + YTl)'Te (37)


Perdite di profilo

Modello di Ainley - MathiesonPerdite di profilo: valore di riferimento

Le perdite di profilo YP sono calcolate e"ettuando:

1 stima delle perdite che intervengono con flusso a incidenza nulla, YP (i=0)

2 correzione per includere i contributi che intervengono con un’incidenzadiversa da zero

Le perdite a incidenza nulla YP (i=0) per palettaggi con angoli $"

1 $= 0 e $"

1 $= $2

sono espresse (per un valore del rapporto tra spessore massimo tmax e corda c paria 0.2) come una combinazione di

perdite in un palettaggio a reazione YP (!

"

1=0)

! sc

"

perdite in un palettaggio ad impulso YP (!

"

1=!2)

! sc

"

in funzione del rapporto tra il passo/corda del profilo, e parametrati in funzionedell’angolo d’uscita $2, secondo la relazione:

YP (i=0) =

%

YP (!

"

1=0)

& s

c

'

+

(

$"

1

$2

)

*

YP (!

"

1=!2)

& s

c

'

! YP (!

"

1=0)

& s

c

'+

,

#

tmax/c

0.2

$

""

1"2

(38)in cui l’ultimo fattore estende il modello a valori tmax/c diversi da 0.2. Gli angolinella (38) sono del tipo $ per lo statore e & per il rotore.


Perdite di profilo

Modello di Ainley - Mathieson: Perdite di profiloCorrezione per numero di Reynolds

Figure: Palettaggio a reazione, !"

1 = 0 (in

alto); palettaggio ad impulso, !"

1 = !2 (inbasso).

I grafici a fianco sono stati medianteprove sperimentali in galleria di schieredi pale con un valore del numero diReynolds pari a 2% 105, con un rapportotra spessore del trailing edge ed il passopari a 0.02 e e con un numero di Machallo scarico minore di 0.6.Si puo correggere il valore di perditaottenuto a Re $= 2% 105 con la relazione:

YP (i=0,Re"=2#105)

=

#

105

Re

$0.2

YP (i=0,Re=2#105)


Perdite di profilo

Modello di Ainley - Mathieson: Perdite di profiloCorrezione per spessore bordo di uscita

La correzione relativa all’impiego di rapporti tra spessore del trailing edge te ed ilpasso pari s a 0.02 con la:

YP = YP (te/s=0.02)(1 + 7 (te/s! 0.02)) (39)

che approssima bene l’andamento del grafico di fig. 125.

Figure: Perdite dovute allo spessore del trailing edge


Perdite di profilo

Modello di Ainley - Mathieson: Perdite di profiloCorrezione per incidenza non nulla

Le perdite di profilo a incidenza non nulla si stimano in base ad un coe#ciente 'i

definito come rapporto tra YP (i "=0) e YP (i=0):

'i :=YP (i "=0)

YP (i=0)(40)

Il calcolo del coe#ciente 'i procede come segue.

Si definisce l’incidenza di stallo is come l’incidenza alla quale YP diviene ildoppio del valore ottenuto ad incidenza nulla, ovvero:

is :=-

YP (i=is) = 2YP (i=0)

.

L’incidenza di stallo is per schiere con rpporto s/l = 0.75 e graficata infig. 126(a) in funzione del rapporto fra angolo del flusso all’ingresso e alloscarico $1/$2 per vari valori dell’angolo $2. Quando $1/$2 = 0 si ha unpalettaggio a reazione, quando e pari ad 1 si ha un palettaggio ad impulso (adazione).

Quando s/l $= 0.75 occorre correggere il valore di $2 nel rapporto $1/$2, inascissa del grafico di fig.126(a). Il fattore di correzione si ottiene dal grafico difig. 126(b) in funzione del rapporto s/c.


Perdite di profilo

Modello di Ainley - Mathieson: Perdite di profiloCorrezione per incidenza non nulla

Anche l’incidenza di stallo is deve essere corretta quando s/l $= 0.75. Lavariazione da apportare !is si ricava dal grafico di fig. 127(c) in funzione delrapporto s/c.

Il valore is(s/l=0.75) + !is e , per definzione, quello che corrisponde ad unaperdita di profilo doppia rispetto a quella ottenuta ad incidenza nulla.

Noto il valore e"ettivo di incidenza i al quale lavora il palettaggio in fase diprogetto, si ricava il coe#ciente 'i in funzione del rapporto i/is dal grafico infig. 128(d).Noto 'i, si puo infine determinare dal grafico di fig. 128(e) l’andamento dellavariazione dell’angolo in uscita dalla schiera $2 rispetto all’angolo $2(YP,min)che corrisponde a minime perdite di profilo in funzione del rapportoYP /YP,min.


Perdite di profilo

Modello di Ainley - MathiesonCorrezione per incidenza non nulla

Figure: a) Incidenza di stallo is(s/l = 0.75)in funzione di !1/!2; b) Fattore dicorrezione sull’angolo in uscita della schieradi pale in funzione del rapporto s/c. Graficivalidi per Re = 2 ! 105, Mach < 0.5 ,rapporto passo/corda s/l pari a 0.75.

Figure: Variazione dell’incidenza di stallois " is(s/l=0.75) in funzione del rapportos/c


Perdite di profilo

Modello di Ainley - MathiesonPerdite di profilo

Figure: d) Coe"ciente di perdita "i = YP /YP (i=0) in funzione del rapporto i/is; e)variazione dell’angolo in uscita dalla schiera !2 in funzione del coe"ciente"i = YP /YP (i=0)


Perdite secondarie e di tip clearance

Modello di Ainley - MathiesonPerdite secondarie e di tip clearance

Le perdite secondarie YS e quelle dovute alle tip clearance YTl sono correlate daun’unica relazione:

YS + YTl =

!

# + B$

h

"!

CL

s/c

"2 cos2 !2

cos2 !m(41)

dove # e una funzione della geometria:

# =(A2/A1)

2

1 + (din/dout)(42)

in cui A1, A2, din, dout sono le aree delle sezioni di ingresso ed uscita, i diametri mediall’ingresso ed uscita, rispettivamente, del canale palare.Il coe"ciente B nella (41) assume due diversi valori a seconda della tipologiacostruttiva:

B = 0.25 per palette con shroud

B = 0.50 per palette senza shroud

Nella (41), $ e lo spessore del gioco al bordo della paletta (tip clearance), e:

!m = tan!1[1

2(tan!1 " tan!2)] (43)

ed il rapporto tra coe"ciente di portanza CL e s/c e esprimibile in funzione degliangoli della schiera tramite la:

!

CL

s/c

"

= 2 (tan!1 + tan!2) cos!m (44)


Perdite secondarie e di tip clearance

Modello di Ainley - MathiesonPerdite secondarie e di tip clearance

E’ opportuno comunque distinguere gli e"etti dovuti alle perdite secondarie daquelle relative alle tip clearance.

Per quanto riguarda le perdite secondarie abbiamo:

YS = (

#

CL

s/c

$2 cos2 $2

cos2 $m(45)

dove le perdite sono proporzionali al quadrato del coe#ciente di portanza; (aumenta al diminuire dell’aspect ratio s/c.

Gli e"etti dovuti alle tip clearance vengono quantificati dalla:

YTl =

#

CDe

s/c

$

cos2 $2

cos2 $m(46)

dove:

CDe = BC2L

& )

s

'& c

h

'

(47)



Il Modello di Dunam-Came e una estensione del modello di Ainley-Mathiesonall’analisi delle prestazioni di turbine di piccole dimensioni.

L’espressione delle perdite globali e la seguente:

Y =

/

(YP + YS)

#

Re

2 & 105

$2

+ YTl

0

'Te (48)

Le perdite di profilo YP vengono calcolate in base alla formulazione delmodello Ainley-Mathieson ed aggiungendo gli e"etti degli eventuali alti valoridel numero di Mach in uscita Mout della schiera:

YP = YP (i=0)'i[1 + 60(Mout ! 1)2] (49)



Modello di Dunam-CamePerdite di incidenza

Il contributo dell’incidenza viene calcolato sfruttando il metodo diAinley-Mathieson.

Le perdite secondarie vengono calcolate usando l’espressione precedentementesviluppata sempre da Ainley e Mathieson, ottimizzando la dipendenzarispetto all’aspect ratio c/h e semplificando il parametro (:

YS/AM/DC = 0.0334& c

h

'

(

cos$2

cos$"

1

)

#

CL

s/c

$2 cos2 $2

cos2 $m(50)

in cui:CL

s/c= 2 (tan$1 + tan$2) cos$m (51)

e:

$m = tan$1[1

2(tan$1 ! tan$2)] (52)

La somma delle perdite di profilo e secondarie viene moltiplicata per ilcoe#ciente relativo al numero di Reynolds.



Modello di Dunam-CamePerdite di tip clearance e al al trailing edge

Perdite dovute alle tip clearance:

YTl = Bc

h

& )

c

'0.784 (tan$1 ! tan$2)

2 cos2 $2

cos$m(53)

in cui B prende i valori:

B = 0.47 per palette con shroudB = 0.37 per palette senza shroud$ = radial tip clearance ! (no. dei seals)!0.42

Perdite dovute al trailing edge: il termine correttivo si calcola con lamedesima metodologia usata nel modello di Ainley-Mathieson.



Il Modello di Kacker e Okapuu-Moustapha e una revisitazione dei modelliA-M/D-C per includere nelle correlazioni delle perdite i progressi nellaprogettazione delle macchine odierni rispetto ai dati degli anni ’80, anni in cuii modelli A-M/D-C sono stati ricavati.

Tali correzioni sono valide solo al punto di progetto

Correzioni valide nel fuori-progetto sono quelle del modello K-O-Moustapha

L’espressione delle perdite totali nel modello K-O e

Y = 'ReYP + YS + YTet + YTc (54)

dove 'Re e il fattore di correzione del numero di Reynolds che agisce sulle soleperdite di profilo mentre le perdite dovute al trailing edge in questo modellorisultano separate da quelle di profilo. Il fattore di correzione del numero diReynolds viene calcolato come segue:

'Re =

#

Re

2 & 105

$$0.4

Re ' 2 & 105

'Re = 1.0 2 & 105 > Re < &106

'Re =

#

Re

106

$$0.2

Re > 106 (55)



Modello di Kacker e Okapuu-MoustaphaPerdite di profilo

Le perdite di profilo sono cosı definite:

YP = 0.914(2

3KpYP (i=0) + Yshock) (56)

dove YP (i=0) rappresenta le perdite di profilo a incidenza nulla basate sul modellodi Ainley-Mathieson (40) tranne che per il termine in valore assoluto del rapportotra l’angolo metallo in ingresso della generica paletta e l’angolo di flusso in uscita,il quale tiene conto di eventuali incidenze negative:

YP (i=0) =

%

YP (!

"

1=0)+

1

1

1

1

1

$"

1

$2

1

1

1

1

1

(

$"

1

$2

)

*

YP (!

"

1=!2)! Y

P (!"

1=0)

+

,

#

tmax/c

0.2

$

""

1"2

(57)Il fattore KP corregge la stima troppo conservativo della correlazione diAinley-Mathieson ad elevato numero di Mach:

KP = 1!K2 (1!K1) (58)

dove entrambi i coe#cienti correttivi dipendono dal valore del numero di Mach iningresso ed in uscita della schiera:

K1 = 1! 1.25 (M2 ! 0.2) per M2 > 0.2 (59)

K2 = (M1/M2) (60)



Modello di Kacker e Okapuu-MoustaphaPerdite per urti

L’altro termine fondamentale e quello relativo alle perdite dovute agli urti che sipresentano a causa delle variazioni di velocita in zone diverse del canale:

Yshock = 0.75!

M1,H ! 0.4"1.75

#

rHrT

$#

P1

P2

$ 1!&

1 + "$12 M2

1

'!

!!1

1!&

1 + "$12 M2

2

'

!!!1

(61)

in cui P1 e P2, M1 e M2 sono le pressioni totali e i numeri di Mach a monte e valledella schiera. La relazione dipende dal rapporto dei raggi rispettivamente al tip rTed al root rH per tenere conto della di"erenza di velocita delle due zone del canaleinterpalare. Il valore M1,H e calcolato con la relazione:

M1H = M1

(

1 +K

1

1

1

1

rHrT

! 1

1

1

1

1

2.2)

(62)

in cui K e una costante che vale 1.8 per lo statore e 5.2 per il rotore.



Modello di Kacker e Okapuu-MoustaphaPerdite secondarie

Le perdite secondarie sono espresse in funzione dell’aspect ratio, che misural’ampiezza del canale in cui e presente il sistema vorticoso. L’espressione di K-O estata elaborata sulla base del modello A-M ottimizzata successivamente da D-C:

YS = 1.2 KS YS/AM/DC (63)

in cui:

Ks = 1!K3 (1!KP ) (64)

tiene in conto gli e"etti delle accelerazioni del flusso in prossimita degli endwallche di fatto sono fonti di perdite, e:

K3 =

#

1

h/b

$2

(65)

ed ancora:

YS/AM/DC = 0.0334FAR

(

cos$2

cos$"

1

)

#

CL

s/c

$2 cos2 $2

cos2 $m(66)

dove:

#

CL

s/c

$

= 2 (tan$1 + tan$2) cos$m (67)



Modello di Kacker e Okapuu-MoustaphaPerdite secondarie

e:

$m = tan$1[1

2(tan$1 ! tan$2)] (68)

Il fattore correttivo FAR e una funzione dell’aspect ratio h/c e prende due diverseformulazioni a seconda h/c sia maggiore o minore di 2. Cio consente di coprireuno spettro di forme delle palette quanto piu ampio possibile:

FAR =1! 0.25

2

2! h/c

h/cper (h/c) ' 2 (69)

FAR =1

h/cper (h/c) > 2 (70)



Modello di Kacker e Okapuu-MoustaphaPerdite al trailing edge

Le perdite dovute al trailing edge producono e"etti in termini di bloccaggio chepossono quindi essere espresse in funzione del rapporto tra lo spessore al trailingedge e apertura di gola. Per ottenere una stima quantitativa di questo tipo diperdite si introduce un coe#ciente di energia !$ calcolato tramite la relazione:

!$2Tet = !$2

Tet(!"

1=0)+

1

1

1

1

1

$"

1

$2

1

1

1

1

1

(

$"

1

$2

)

3

!$2Tet(!

"

1=!2)! !$2

Tet(!"

1=0)

4

(71)

in cui i valori dei coe#cienti relativi ai casi di turbina ad impulso !$2Tet(!

"

1=!2)e

di quella con ingresso assiale !$2Tet(!

"

1=0)sono definiti mediante il grafico qui

riportato.

Figure: Perdite dovute al trailing edge



Modello di Kacker e Okapuu-MoustaphaPerdite al trailing edge

La (71) viene trasformata in termini di perdite di pressione YTet con la seguente:

YTet =

3

1! "$12 M2

2

#

11$"#2

Tet! 1

$4$ !!!1

! 1

1!&

1 + "$12 M2

2

'$ !!!1

(72)

Le perdite dovute alle eventuali velocita supersoniche che potrebberocaratterizzare il flusso vengono inglobate nelle perdite di profilo.



Modello di Kacker e Okapuu-MoustaphaPerdite al tip clearance

Palettaggi senza shroud: perdite di trafilamento superiori a quelli con shrouda causa delle perdite legate al flusso tridimensionale che si ingenera al tipdelle palette. Tali perdite sono espresse in termini di caduta di e#cienza !*secondo la relazione:

"##0

"Kh cos!2

& RtipRMean

= 0.93

in cui !K definisce la variazione della clearance tra il tip della paletta e lacassa; !* puo essere convertito in termini di perdita di pressione totale YTc

mediante una procedura iterativa imponendo un valore di e#cienza con unvalore di clearance nullo.

Palettaggi con shroud: la correlazione e espressa in funzione dell’inverso c/hdell’aspect ratio, dipende dal coe#ciente di portanza del profilo CL e dalnumero delle tenute (seals: protusioni che costituiscono il labirinto dellatenuta).

YTc = 0.37c

h

(

K"

c

)0.78 #CL

s/c

$2 cos2 $2

cos3 $m

K"

=K

(n%seals)0.42



Il Modello di Kacker e Okapuu definisce le correlazioni in condizione diprogetto, lasciando fuori la stima delle perdite che si sviluppano in condizionedi fuori progetto.

Il modello elaborato da Moustapha propone le correlazioni sperimentali perdefinire le perdite di profilo e secondarie quando la macchina lavora incondizioni di fuori progetto a partire da quelle definite in progetto dalmodello K-O



Prestazioni fuori progetto: Modello di MoustaphaIncidenza del flusso diversa da quelle di progetto

Verranno analizzati i contributi dovuti alle incidenze del flusso rispetto allepale diverse da quelle di progetto.Si osserva che le perdite d’incidenza sono funzione del diametro del leadingedge, del pitch, dell’aspect ratio e della forma del canale.Le perdite (sotto forma di coe#ciente energia !$) sono espresse mediante lerelazioni:

!$2 = 0.778% 10$5x+ 0.56% 10$7x2 + 0.4% 10$10x3 + 2.054% 10$19x6

per 800 > x > 0

!$2 = !5.1734% 10$6x+ 7.6902% 10$9x2

per 0 > x > !800

dove:

x =

#

d

s

$$1.6

(cos

"

$in

cos" $out)$2 !$1 ! $1,des

"

e $1,des ed $1 sono gli angoli di incidenza in e fuori progetto, rispettivamente.

La conversione di !$2 in perdita di pressione totale Yo! di fuori progetto avvienemediante la:

Yo! =

*

1! "$12 M2

2

&

1"#2 ! 1

'+$ !!!1 ! 1

1!&

1 + "$12 M2

2

'$ !!!1

(73)



Prestazioni fuori progetto: Modello di MoustaphaPerdite secondarie d’incidenza

Per il calcolo delle perdite secondarie d’incidenza, la forma delle equazionirimane invariata ma i coe#cienti sono diversi.

Non viene inoltre usato il coe#ciente !$2, bensı si modellizzanodirettamente i rapporti tra le perdite in termini di pressione, riferite alcomportamento in condizioni di design e quello fuori design:

(Yo!

Ydes) = exp(0.9x) + 13x2 + 400x4 per 0.3 > x > 0 (74)

(Yo!

Ydes) = exp(0.9x) per 0 > x > 0.4 (75)

x"

=$1 ! $

"

1

$"

1 ! $"

2

#

d

c

$$0.3

(cos$

"

1

cos$"

2

)$1.5 (76)



Prestazioni fuori progetto: Modello di MoustaphaPerdite di miscelamento

Le perdite di miscelamento possono essere schematizzate con modelli piucomplessi i quali richiedono una serie di parametri aggiuntivi come adesempio le velocita del flusso nel mixing layer.

Infatti esiste la possibilita di suddividere il canale interpalare in tre partirispettivamente del lato in pressione, quello in aspirazione e la porzionecentrale.

Il flusso viene miscelato nei mixing layer ed infine ponendo l’ipotesi dipressione statica costante all’uscita del canale vengono miscelati i tre diversiflussi.

Tale modellizzazione e di#cilmente praticabile nei codici mean line per via dellanecessita di nuovi parametri di velocita , temperature e pressione da definire neicanali intercalari, ed e percio piu semplice seguire l’approccio sperimentale conl’individuazione dei coe#cienti correttivii


Ese. 11: Stima delle Perdite in Turbine

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