Corso di Motori Aeronautici -...

Corso di Motori Aeronautici

Mauro Valorani

Laurea Magistrale in Ingegneria Aeronautica (MAER)Sapienza, Universita di Roma

Anno Accademico 2011-12

CLASSIFICAZIONE TURBOMACCHINE TURBOMACCHINE AERONAUTICHE Il flusso nelle turbomacchine Bilancio

Sett. 7: Turbomacchine (I)1 CLASSIFICAZIONE TURBOMACCHINE

STADIO DI UNA TURBOMACCHINAMACCHINE AD AZIONE E REAZIONE

2 TURBOMACCHINE AERONAUTICHECOMPRESSORE CENTRIFUGOCOMPRESSORE ASSIALECOMPRESSORE ASSIALETURBINA ASSIALE

3 Il flusso nelle turbomacchineDecomposizione del campo di motoFlusso nel piano interpalare (delle superfici di corrente)Sistema di riferimento cartesiano e cilindricoSistema di riferimento solidale con la giranteTriangoli di velocitaConvenzioni su angoli e componenti di velocitaAccelerazioniPotenziale dell’accelerazione centripeta

4 Bilancio Microscopico del momento di quantita di motoBilancio microscopico del momento di quantita di motoSistema di riferimento cartesiano e cilindricoEquazione di bilancio Microscopico del Momento Assiale

5 Bilancio Macroscopico del momento assialeCoppia di una turbomachinaPotenza di una turbomachinaPotenza di una turbomachinaMomento assiale e potenze scambiate tra palettaggi e cassa/girante

6 Flusso nel piano meridianoEquilibrio radialeVortice liberoVortice forzato

7 Relazione fra velocita assiale e tangenziale (1)Relazione fra velocita assiale e tangenziale (2)Relazione fra velocita assiale e tangenziale (3)Relazione fra velocita assiale e tangenziale (4)

8 Equazione di Eulero delle TurbomacchineEquazione di base per il calcolo dei rendimentiRappresentazione a blocchi della Equazione di EuleroRelazione fra momento angolare e moti vorticosiEntalpia rotazionale di ristagno


Lez. 12: Turbomacchine


CLASSIFICAZIONE TURBOMACCHINE

CLASSIFICAZIONE:1 DIREZIONE DELLO SCAMBIO ENERGETICO:

MACCHINE OPERATRICI (L > 0) (Pompe, Ventilatori, Compressori, . . . )MACCHINE MOTRICI (L < 0) (Turbine idrauliche, a gas, a vapore, . . . )

2 DIREZIONE PRINCIPALE DEL FLUSSO:MACCHINE ASSIALIMACCHINE RADIALIMACCHINE MISTE

3 FLUIDO ELABORATO:COMPRESSIBILEINCOMPRESSIBILE

4 RIPARTIZIONE DELLO SCAMBIO ENERGETICO:MACCHINE AD AZIONE: !p TUTTO NELLO STATOREMACCHINE A REAZIONE: !p PARTE NELLO STATORE, PARTE NELROTORE


STADIO DI UNA TURBOMACCHINA


ROTORE Organo rotante in cui avviene lo scambio di energia (dallamacchina al fluido o viceversa);

STATORE Organo fisso in cui avviene una trasformazione di energia (dacinetica a termica o viceversa)

FINO A 15–20 STADI PER COMPRESSORI (GRADIENTE DIPRESSIONE AVVERSO,!i = 1.15÷ 1.7 PER STADIO)

DA 1 A 4 STADI PER TURBINE (GRADIENTE DI PRESSIONEFAVOREVOLE)


TURBOMACCHINE AERONAUTICHE

COMPRESSORE:RADIALE CENTRIFUGO (ALTO !i PER STADIO ! 5 ÷ 8, GRANDESEZIONE FRONTALE; ELICOTTERI, PICCOLI TJ)ASSIALE (BASSO !i PER STADIO ! 1.15 ÷ 1.7, RIDOTTA SEZIONEFRONTALE)

TURBINA:ASSIALE (TUTTI I TJ/TF/TP)RADIALE CENTRIPETA (PER SOVRALIMENTAZIONE MOTORI ACOMBUSTIONE INTERNA)

ua ! 100÷ 150 m/s


COMPRESSORE CENTRIFUGO

COMPRESSORE CENTRIFUGO

Figure: Sezioni nel piano meridiano (”Through-flow plane”), e nel piano inter-palare(”Blade-to-blade plane”)

Figure: Girante (impeller) con palette in avanti, radiali e all’indietro.


COMPRESSORE ASSIALE

COMPRESSORE ASSIALE


COMPRESSORE ASSIALE

COMPRESSORE ASSIALE

Figure: Sezione nel piano meridiano (”Through-flow plane”).

Figure: Sezione nel piano inter-palare (”Blade-to-blade plane”)


TURBINA ASSIALE

TURBINA ASSIALE

Figure: Sezione nel piano meridiano(”Through-flow plane”)

Figure: Sezione nel piano inter-palare(”Blade-to-blade plane”)


Decomposizione del campo di moto

Decomposizione del campo di moto

Rappresentazione della velocita in coordinate cilindriche

!V = V!!i1 + Vz!i2 + VR

!i3

Decomposizione del campo di moto 3D in due sottoproblemi:

Flusso 2D nel piano meridiano: !Vmer = Vz!i2 + VR!i3

Flusso quasi-2D nel piano interpalare: !Vtang = V!!i1

Figure: Flusso tridimensionale nelle turbomacchine.


Flusso nel piano interpalare (delle superfici di corrente)

Flusso nel piano interpalare (delle superfici di corrente)

Lo studio nel piano della superficie di corrente (o piano interpalare) ci permette diindividuare la forma della palettatura. Infatti dall’equazione di Eulero per leturbomacchine, sappiamo che lo scambio di energia e legato alla variazione dellacomponente tangenziale di velocita (e solo ad essa nel caso di turbomacchinaassiale).Di conseguenza si puo vedere quale deve essere il tipo di curvatura che devonoavere le superfici mobili per ottenere questa variazione. Il primo passo sara quellodi fare l’ipotesi di “guida perfetta” e cioe nell’ipotesi che il flusso seguaperfettamente la direzione delle pale (cio equivale a considerare un numero infinitodi pale di spessore nullo).


Sistema di riferimento cartesiano e cilindrico


Sistema di riferimento cilindrico definito dalle direzioni tangenziale (!i1), assiale(!i2 = !j) e radiale (!i3 =!i1 !!i2), e un sistema di riferimento cartesiano definito

dalle direzioni !i, !j e !k


Sistema di riferimento solidale con la girante

Sistema di riferimento solidale con la girante

Moto rotatorio attorno asse di rotazione girante !i2"!";Relazione tra vettore posizione relativa !rr e assoluta !r:

!r = !rr +##$OOr

In un dt, P si sposta in P !:

!r + d!r = !r + d!rr + (!" ! !rr) dt

e quindi:

d!r = d!rr+(!" ! !rr) dt = d!rr+!"!!

!r ###$OOr

"

dt = d!rr+(!"!!r)dt

!V :=d!r

dt=

d!rr

dt+ !" ! !rr = !W + !" ! !r = !W + !U

Figure: Sistema diriferimento relativosolidale con girante


Triangoli di velocita

Triangoli di velocita

I tre vettori !V , !W , e !U giacciono sul piano tangente localmente alla superficie dicorrente, formando un triangolo detto triangolo delle velocita:

!V = !W + !U

da cui si deduce la seguente relazione tra i moduli delle velocita:

W 2 = U2 + V 2 # 2UV cos#

Figure: Triangolo delle velocita


Convenzioni su angoli e componenti di velocita

Convenzioni su angoli e componenti di velocita

Si fara riferimento alla convenzione mostrata in Fig. 76:

# = angolo tra vettore velocita assoluta e velocita di trascinamento;

$ = angolo tra vettore velocita relativa e vettore parallelo alla velocita ditrascinamento ma di verso opposto;

V! = componente tangenziale velocita assoluta, positiva se diretta come lavelocita di trascinamento;

W! = componente tangenziale velocita relativa, positiva se opposta allavelocita di trascinamento;

Vm = Wm componente meridiana velocita assoluta, uguale alla componentemeridiana della velocita relativa [componenti assiale (proiezione nelladirezione dell’asse di rotazione) e radiale (parte della componente meridianagiacente su un piano perpendicolare all’asse di rotazione);

Va = Wa componente assiale velocita assoluta, uguale alla componente assialedella velocita relativa;

Vr = Wr componente radiale velocita assoluta, uguale alla componenteradiale della velocita relativa.


Accelerazioni

Accelerazione assoluta = relativa + centripeta + Coriolis

Si puo dimostrare che:

D!V

Dt=

Dr!W

Dt+ !" ! (!" ! !rr) + 2!" ! !W

in cui:#

$$$$$$$$$%

$$$$$$$$$&

!a =D!V

Dtcon

D (·)

Dt:=% (·)

%t+ (!V ·%) (·)

!ar =Dr!W

Dtcon

Dr (·)

Dt:=%r (·)

%t+ (!V ·%r) (·)

!acen = !" ! (!" ! !rr) = accelerazione centripeta

!acor = 2!" ! !W = accelerazione di Coriolis

Il su!sso ”r” negli operatori %r e%r (·)

%tindica che le operazioni indicate sono da

e"ettuarsi rispetto al sistema di riferimento solidale con la girante


Potenziale dell’accelerazione centripeta


L’accelerazione centripeta e diretta verso l’asse di rotazione con modulo "2R

E’ possibile quindi definire una funzione potenziale (la forza centripeta econservativa in quanto centrale):

f (R) = R

il cui gradiente fornisce l’accelerazione centripeta:

!acen = #"2R% (R) = #"2%

'R2

2

(

= #%

'"2R2

2

(

= #%

'U2

2

(

Tale funzione potenziale definisce un termine aggiuntivo all’energia totale diuna particella fluida nel caso questa si trovi a ruotare ad una distanza Rdall’asse di rotazione con velocita angolare costante e pari ad "

Variazioni di questa forma di energia potenziale sono accompagnate da unoscambio di lavoro con l’esterno, lavoro che e ceduto all’esterno quando laparticella si avvicina all’asse di rotazione (moto centripeto), o assorbitodall’esterno quando la particella si allontana dall’asse di rotazione (motocentrifugo)



Lez. 13: Conservazione del Momento di Quantita di Moto

1 CLASSIFICAZIONE TURBOMACCHINE

2 TURBOMACCHINE AERONAUTICHE

3 Il flusso nelle turbomacchine

4 Bilancio Microscopico del momento di quantita di moto

5 Bilancio Macroscopico del momento assiale

6 Flusso nel piano meridiano

7 Relazione fra velocita assiale e tangenziale (1)

8 Equazione di Eulero delle Turbomacchine


Bilancio microscopico del momento di quantita di motoMomento Polare

Il momento polare d!L, valutato in un punto P del campo di flusso rispetto al poloO, della quantita di moto di una particella fluida di massa dm e definito come:

d!L := !r ! !V dm = !r ! (&!V )dV !r := P #O

L’equazione di conservazione del momento di quantita di moto si ottieneeseguendo il prodotto vettore fra la posizione !r e l’equazione del moto

!r !

)

&D!V

Dt#% ·#+ &%'

*

= 0

che dopo opportune rielaborazioni si puo scrivere come:

%

%t

+

V

!

!r ! !V"

dm = #

+

S2

!

!r ! !V"

dm+

+

S1

!

!r ! !V"

dm#

#

+

S1+S2+Sw

[(!r ! !n) p] dS#

+

S1+S2+Sw

,

!r !!

( · !n"-

dS+

+

V

(!r ! !g) &dV


Bilancio microscopico del momento di quantita di moto

Bilancio microscopico del momento di quantita di motoMomento Polare

Il vettore momento polare !M0 risultante dell’azione del fluido sulle pareti solide edefinito come

!M0 := #

+

Sw

!r !!

# · !n"

dS =

+

Sw

(!r ! !n)pdS+

+

Sw

!r !!

( · !n"

dS

Utilizzando queta definizione nella legge di conservazione del momento dellaquantita di moto si ricava:

!M0 =

+

S1

!

!r ! !V"

dm#

+

S2

!

!r ! !V"

dm+

+

+

S1

p!

!r ! d!S"

#

+

S2

p!

!r ! d!S"

+

+

V

(!r ! !g) &dV#%

%t

+

V

!

!r ! !V"

dm

dove si e ipotizzato che il momento dovuto alle forze viscose sia trascurabile sullesuperfici di ingresso e uscita del sistema.




Sistema di riferimento cilindrico definito dalle direzioni tangenziale (!i1), assiale(!i2 = !j) e radiale (!i3 =!i1 !!i2), e un sistema di riferimento cartesiano definito

dalle direzioni !i, !j e !k

Figure: Schema e nomenclatura per il calcolo del momento della quantita di moto.


Equazione di bilancio Microscopico del Momento Assiale

Equazione di bilancio Microscopico del Momento Assiale

Il momento assiale si ottiene come proiezione di !M0 sull’asse di rotazioneidentificato dal vettore velocita angolare della girante, !" =!i2|"|:

!Ma =!i2

'

!M0 ·!"

"

(

=!i2!

!M0 ·!i2"

L’equazione di bilancio microscopico del momento assiale si scrive

%

%t(&RV!) +% ·

!

&RV!!V"

+R (%p) ·!i1 +R% ·!

!i1 · ("

+ &R (%') ·!i1 = 0 (16)

in cui i vettori !r e !V sono espressi incoordinate cilindriche

!V = V!!i1 + Vz!i2 + VR

!i3

!r = z!i2 +R!i3


Bilancio Macroscopico del momento assiale

Il momento angolare polare !Ltot ed assiale La rispetto all’asse diretto come !j delvolume di fluido contenuto nel sistema macroscopico sono definiti come:

!Ltot :=

+

V

!

!r ! &!V"

dV La,tot :=

+

V

RV!dm

L’equazione di bilancio macroscopico del momento assiale si scrive

dLa,tot

dt. /0 1

=0 se staz.

= #$ [(< RV! >) m]#$!

< pR >!i1 · !S"

. /0 1

"1 se"i1#"S1,2

#2

Ma,m +Ma,f

3

. /0 1

=Ma

+ Ma,g. /0 1

=0 se "g#"i1

avendo trascurato il contributo degli sforzi viscosi su S1 e S2 in cui:

Ma,m :=

+

Sw,m

,

R!

p!n+ ( · !n"

·!i1-

dS

Ma,f :=

+

Sw,f

,

R!

p!n+ ( · !n"

·!i1-

dS

Ma,g :=

+

V

R!

!g ·!i1"

&dV


Coppia di una turbomachina

Coppia di una turbomachina

Sotto le ipotesi viste in precedenza, si ottiene la relazione fondamentale per ilcalcolo delle turbomacchine:

Ma = #$ [m < RV# >]

per la quale:

Macchina Operatrice:

[< R2V#2 > # < R1V#1 >] > 0 & $ [< RV# >] > 0

& Ma < 0 & !Ma controverso a !"

Macchina Motrice:

[< R2V#2 > # < R1V#1 >] < 0 & $ [< RV# >] < 0

& Ma > 0 & !Ma equiverso a !"


Potenza di una turbomachina


Potenza scambiata tra palettatura e ambiente esterno:

W = !Ma · !" = #m"$ [< RV# >]

Potenza specifica all’unita di massa elaborata dalla palettatura vale:

macchine radiali o a flusso misto:

W

m= #$ [< UV# >] dove U = "R

macchine di tipo assiale (R1 = R2):

W

m= #U$ [< V# >]




Riassumendo:


$ [< RV# >] > 0 & Ma < 0 & W < 0

che rappresenta potenza assorbita da fornire all’albero della girante;

Macchina Motrice:

$ [< RV# >] < 0 & Ma > 0 & W > 0

che rappresenta potenza disponibile all’albero.

Per ovviare all’inconveniente di attribuire una potenza negativa ad una macchinaoperatrice si definisce la potenza relativa ad una turbomacchina nel seguentemodo:


Wp := #W = +m$ [< UV# >] > 0

Macchina Motrice

Wt := +W = #m$ [< UV# >] > 0


Momento assiale e potenze scambiate tra palettaggi e cassa/girante


Momento assiale scambiato tra:

palettature statoriche e cassa della macchina:

" = 0 Mstatorea = #m$

12[< RV# >] '= 0

palettature della girante ed albero della macchina:

" '= 0 Mgirantea = #m$

23[< RV# >] '= 0

La macchina e sollecitata da un momento torcente sia nel caso di una schiera dipale statorica che rotorica.

Per le potenze si ottiene:

per le palettature statoriche:

" = 0 W = Mstatorea " ( 0

mentre per quelli della girante:

" '= 0 W = Mgirantea " '= 0

Lo scambio di energia della macchina con il mondo esterno puo avvenire solomediante la girante.



Lez. 14: Equilibrio Radiale

1 CLASSIFICAZIONE TURBOMACCHINE

2 TURBOMACCHINE AERONAUTICHE

3 Il flusso nelle turbomacchine

4 Bilancio Microscopico del momento di quantita di moto

5 Bilancio Macroscopico del momento assiale

6 Flusso nel piano meridiano

7 Relazione fra velocita assiale e tangenziale (1)

8 Equazione di Eulero delle Turbomacchine


Flusso nel piano meridiano

Quando le pale presentano un forte sviluppo radiale, si deve studiare il flusso non solonel piano interpalare ma anche quello in direzione normale a questo pianoA tal fine, conviene scrivere l’equazione della quantita di moto in coordinate cilindrichenel caso di flusso non viscoso:

!D"V

Dt= !"p

che in coordinate cilindriche si scrive:

"V = Vr"ir + V!

"i! + Va"ia

" (·) =# (·)

#R"ir +

1

R

# (·)

#$"i! +

# (·)

#z"ia

La proiezione in direzione radiale dell’equazione del moto

"ir ·

!

!D"V

Dt= !"p

"

fornisce:

#Vr

#t+ Vr

#Vr

#R+

V!

R

#Vr

#$!

V 2!

R+ Va

#Vr

#z= !

1

!

#p

#R


Equilibrio radiale

Equilibrio radiale

Nell’ipotesi di:

flusso stazionario:%Vr

%t= 0

gradienti spaziali (radiali e assiali) di Vr trascurabili rispetto alla forzacentrifuga:

|+ Vr

%Vr

%R+

V!

R

%Vr

%)+ Va

%Vr

%z| << |

V 2!

R|

In tal caso, il gradiente di pressione radiale viene bilanciato dalla sola forzacentrifuga:

d p(R)

dR= &

V!(R)2

R

L’integrazione di tale equazione per un’assegnata distribuzione di V!(R),fornisce la distribuzione di pressione statica p(R) che soddisfa la condizione diequilibrio radiale

Le distribuzioni di pressione statica e di energia cinetica associata allavelocita circonferenziale inducono una distribuzione di energia totale dellaparticella fluida valutabile (nel caso di flusso incompressibile) dalla:

p0(R)

&:=

p(R)

&+

V!(R)2

2


Vortice libero

Vortice libero

Il flusso a vortice libero e definito come unaparticolare distribuzione di tipo irrotazionale:

V!R = %fR2 = C

ovvero

V!(R) =C

R%f (R) =

C

R2

La distribuzione di pressione statica che soddisfa lacondizione di equilibrio radiale si ricava da:

#

dp

!=

#

V!(R)2

RdR =

#

C2

R3dR

Figure: Velocita e pressione per unvortice libero

da cui (per flussi incomprimibili: ! = cost), la pressione ha un’espressione del tipo:

p(R)

!= !

1

2

C2

R2+ cost = !

1

2V!(R)2 + cost

dalla quale si deduce che l’energia totale della particella e la stessa su tutto il vortice:

p0(R)

!=

p(R)

!+

1

2V!(R)2 = cost

e quindi non si verifica scambio di lavoro durante spostamenti radiali di unaparticella


Vortice forzato

Vortice forzato

Nel flusso a vortice forzato, la distribuzione divelocita e la stessa che caratterizza il moto rigido dirotazione attorno ad un’asse; il campo di flussorisultante e rotazionale:

V!

R= %f = cost

ovvero

V!(R) = %fR %f (R) = cost Figure: Velocita e pressione per unvortice forzato

La distribuzione di pressione statica che soddisfa la condizione di equilibrio radiale siricava da:

#

dp

!=

#

V!(R)2

RdR = %f

#

RdR

da cui (per ! = cost), la pressione ha un’espressione del tipo:

p (R)

!= %2

f

R2

2+ cost =

1

2V 2! + cost

dalla quale si deduce che l’energia totale della particella varia radialmente attraverso ilvortice:

p0(R)

!=

p

!+

1

2V 2! = V 2

! + cost = %2fR

2 + cost

e quindi si verifica scambio di lavoro durante spostamenti radiali di una particella:

W =!p0

!= %2

f

$

R22 ! R2

1

%


Relazione fra velocita assiale e tangenziale (1)

Si vuole ottenere una relazione fra le componenti di velocita circonferenziali edassiali nell’ipotesi di esistenza di equilibrio radiale e per una assegnatadistribuzione di velocita circonferenziale.

Si procede proiettando il primo principio nella direzione radiale:

!ir ·

'

T%s = %h#%p

&

(

da cui si ricava:

Tds

dR=

dh

dR#

1

&

dp

dR

L’entalpia di ristagno per un moto vorticoso si puo scrivere:

h0 = h+1

2|!V |2 ) h+

1

2

2

V 2! + V 2

a

3

dal momento che V 2R << V 2

! + V 2a




Di"erenziando h0 e sostituendo dh/dR nel primo principio, in cui si ponedp/dR = !V 2

! /R in virtu dell’ipotesi di equilibrio radiale si ha:

Tds

dR!

dh0

dR= !

1

2

d

dR

$

V 2! + V 2

a

%

!V 2!

R

Nell’ipotesi che il flusso il flusso sia isoentropico e isoentalpico allora vale

d

dR

&

V 2a

2

'

= !V 2!

R!

d

dR

&

V 2!

2

'

ma si ha anche:V 2!

R+

d

dR

&

V 2!

2

'

=1

2

1

R2

d

dR

(

(RV!)2)

e quindi:

dV 2a

dR= !

1

R2

d

dR

(

(RV!)2)

che lega la variazione della componente assiale con la distribuzione del momentoangolare nel flusso vorticoso in esame.




Casi particolari:

per il vortice libero essendo RV! costante ne segue che:

Va = costante

ossia la velocita di avanzamento assiale e la medesima a tutte le distanzedall’asse;

per il vortice forzato invece V! = "fR e integrando:

#

+ R2

R1

d

dR

2

V 2a

3

dR =

+ R2

R1

1

R2

d

dR

,2

R2"f32

-

dR

si ricavaV 2a (R) = 2"f

2R2 + cost.

oppure in altra forma:

1

2

2

V 2a2

# V 2a1

3

= "f2 2R2

2 #R21

3

= "fR2V!2 # "fR1V!1 =W

m




L’equazione di Eulero per una macchina assiale si scrive

$ [h0] = "fR$ [V!]

Derivando entrambi i membri secondo il raggio, e considerando il flusso adentalpia costante lungo il raggio si ottiene:

"fd

dR(R$ [V!]) = 0

ossia:R$ [V!] = cost.

che contempla due casi:

RV! = cost. ossia il flusso e di vortice libero: questo tipo di progettazionepero porta a svergolamenti elevati;

$ [V!] =costR

che comporta una distribuzione di V! diversa da quella a vorticelibero e quindi una distribuzione di velocita assiali non uniformi (nell’ipotesiche il flusso soddisfi la condizione di equlibrio radiale)



Lez. 15: Equazione di Eulero delle Turbomacchine


Equazione di Eulero delle Turbomacchine

Bilancio macroscopico conservazione momento quantita di moto:

W

m= #$ [< UCu >]

Bilancio macroscopico conservazione energia:

W

m= #$

41

2< C2 > +'+ h

5

+Q

m

Per un gas $ ['] * 1, e quindi:

W

m= #$

4

h+1

2< C2 >

5

+Q

m= #$ [h0] +

Q

m

Per confronto, si ottiene la relazione fondamentale delle turbomacchine (Equazionedi Eulero):

$ [h0] = $ [< UCu >] = #W

m

se il sistema e adiabatico (Q = 0)


Equazione di base per il calcolo dei rendimenti

Equazione di base per il calcolo dei rendimenti

La relazione di Eulero per le turbomacchine si scrive:

$

4

h0

5

. /0 1

(1)

= $

4

UCu

5

. /0 1

(2)

+Q

m./01

(3)

= #W

m. /0 1

(4)

+Q

m./01

(3)

e mette in relazione fra loro:

1 Variazione entalpia di ristagno $ [h0]

2 Variazione del momento angolare $ [UCu] nelle sue componenti vorticose;

3 Perdite di energia meccanica o calore scambiato con l’esterno; Valutazionedelle perdite meccaniche tramite il coe!ciente di perdita di energia meccanicaEv oppure tramite la misura diretta della variazione di entropia $s nelprocesso in esame.

4 Lavoro scambiato con l’esterno.


Rappresentazione a blocchi della Equazione di Eulero

Rappresentazione a blocchi della Equazione di Eulero


Relazione fra momento angolare e moti vorticosi

Relazione fra momento angolare e moti vorticosi

Dal triangolo delle velocita si ricava:

W 2 = C2 + U2 # 2UV cos#

Il termine UCu si puo calcolare come:

UCu =1

2

2

C2 + U2 #W 23

Inoltre:C2 = C2

u + C2a

W 2 = W 2u +W 2

a

Sostituendo e notando che per costruzione Ca = Wa, si ricava

$ [UCu] = $

4C2

2+

U2

2#

W 2

2

5

= $

4C2

u

2+

U2

2#

W 2u

2

5

Questa relazione mostra che le uniche componenti di velocita che contribuiscono avariare il momento di quantita di moto sono quelle circonferenziali, ovvero quelleassociate al moto vorticoso assoluto (Cu), relativo (Wu), ed al moto di rotazionerigido attorno all’asse (U).


Entalpia rotazionale di ristagno

Entalpia rotazionale di ristagno

In un sistema adiabatico Q = 0, ed eliminando $ [UCu] dalle due espressioni

#

%

&

$ [h] +$,C2

2

-

#$ [UCu] = 0

$ [UCu] = $,C2

2 + U2

2 # W2

2

-

si ottiene:

$

4

h+W 2

2#

U2

2

5

= 0 & $ [I0] = 0

in cui la ”Rotalpia” di ristagno o ”Entalpia rotazionale” di ristagno I0 vale

I0 := h+W 2

2#

U2

2= h0,rel #

U2

2(17)

e l’Entalpia relativa di ristagno e definita:

h0,rel := h+W 2

2


Invarianti per stadi statorici e rotorici

Invarianti per stadi statorici e rotorici

Attraverso un palettaggio non rotante:

$ [h0] = $

4

h+C2

2

5

= 0 & h0 = const

Attraverso un palettaggio rotante a " costante

macchina a flusso assiale, !*

U2/2+

= 0:

! [h0,rel] = !

,

h +W 2

2

-

= 0 # h0,rel = const

macchina a flusso misto, !*

U2/2+

$= 0:

! [I0] = !

,

h +W 2

2!

U2

2

-

= 0 # I0 = const


Caso del gas ideale

Caso del gas ideale

Per un gas ideale (termicamente e caloricamente perfetto):

$ [h0] = cp$ [T0] = $

4C2

2+

U2

2#

W 2

2

5

dividendo per h0,1 = cpT01 si ricava:

$ [T0]

T01=$ [UCu]

cpT01=

1

cpT01

'

$

4C2

2#

W 2

2+

U2

2

5(

in cui

$ [T0] = $ [T0]Rotore +$ [T0]Statore = $ [T0]Rotore

perche

$ [T0]Statore = 0


Grado di Reazione

Grado di Reazione

Dall’Equazione di Eulero

$ [h0] = $

4

h+C2

2

5

= $

4C2

2+

U2

2#

W 2

2

5

si ricava che la variazione di entalpia statica $ [h] attraverso lo stadio vale

$ [h] = $

4U2

2#

W 2

2

5

Si definisce grado di reazione il rapporto tra variazione di entalpia statica etotale attraverso lo stadio:

R :=$ [h]

$ [h0]=

$

6

U2

2#

W 2

2

7

$ [h0]= 1#

$

4C2

2

5

$ [h0](18)

La relazione fra variazione di energia cinetica assoluta del flusso con la variazionedi momento di quantita di moto:

$

4C2

2

5

= (1# R)$ [h0] = (1# R)$ [UCu]


Classificazione in base al Grado di Reazione

Classificazione in base al Grado di Reazione

La relazione:

$

4C2

2

5

= (1# R)$ [h0] = (1# R)$ [UCu]

permette di classificare le turbomacchine in base al grado di reazione:

macchine ad azione (ad impulso) (R = 0): la variazione di energiacinetica e pari alla variazione di energia totale del flusso e non si ha variazionedi entalpia statica attraverso la girante;

macchine a reazione (0 < R < 1): l’energia fornita al flusso e in parte ditipo statico ed in parte di tipo cinetico;

macchine a reazione pura (R = 1): producono una variazione di entalpiastatica pari a quella totale (energia cinetica costante).

L’entita delle perdite attraverso lo stadio e fortemente influenzata dalla scelta delgrado di reazione, ovvero di come si distribuisce il carico di lavoro fra lacomponenente staorica e rotorica dello stadio

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