Marco Leonardi Matr.1157855 Corso di Modellistica della Propulsione a Solido Esercitazioni Parte 3 1.IntroduzioneIn questultima esercitazione si affronter lanalisi del transitorio daccensione dellaccenditore di un motore a propellente solido. Per fare ci si utilizzeranno le equazioni di Eulero riscritte in modo tale da valutare gli effetti di possibili variazioni darea e di termini di adduzione, che fino ad ora non erano stati presi in considerazione. Sar infine necessario completare il set di equazioni con un modello che tenga conto della presenza di diversi gas allinterno dellaccenditore. Il sistema di equazioni utilizzato per la risoluzione del problema quindi composto da : 1. Modello Quasi-Unidimensionale delle Equazioni di Eulero con termini di adduzione 2. Modello di evoluzione delle propriet di miscela 3. Equazione di Stato

1.1 Equazioni di EuleroSi parte dalle equazioni di Eulero ridotte in forma Q1D attraverso precise ipotesi semplificative che permettono unanalisi pi leggera dal punto di vista computazionale. Grazie alla configurazione geometrica principalmente assiale del problema, i fenomeni di propagazione delle onde in questa direzione saranno predominanti rispetto quelli in direzione radiale e circonferenziale. Da un modello 3D variabile nel tempo si pu giungere alle equazioni cercate passando dapprima in coordinate cilindriche, che bene si prestano allanalisi del dominio del problema, e successivamente ipotizzando una simmetria assiale, ipotesi derivante dalla precedente osservazione sui fenomeni gasdinamici. Infine si mediano le propriet sul piano azimutale (perpendicolare alla direzione assiale, che indicheremo come asse x), ottenendo: !" ,! + !"# ,! = !!"! !"# ,! + !!! + ! ! ,! = !!,! = !!"! !!"!

!"# ,! + !"!

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Il termine a secondo membro dellequazione di conservazione della quantit di moto rappresenta ci che rimane nel Q1D delle forze in direzione radiale; forze che esistono solo quando il dominio analizzato presenta una variazione darea. I termini a sinistra delle equazioni di conservazione della massa e dellenergia rappresentano rispettivamente la massa addotta per unit di tempo nel sistema in esame e il contenuto entalpico totale che la portata in questione possiede. Il pedice tot nei termini di portata sta a indicare che questi sono rappresentativi di tutte le diverse masse che possono

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confluire allinterno del sistema motore, ovvero masse derivanti dal sistema di ignizione, dal grano propellente, da possibili ablazioni delle superfici protettive, etc. Lo studio che andremo a svolgere riguarda i primi millesimi di secondo di vita dellaccenditore e questa ridotta finestra temporale ci consente di formulare altre ipotesi semplificative. Si possono innanzitutto considerare costanti nel tempo i valori darea delle sezioni trasversali, infatti il grano propellente non avr il tempo necessario per evolvere e modificare cos larea di porta. I termini di adduzione di massa possono essere riferiti alla sola massa introdotta attraverso il pirotecnico, sempre a causa dei fenomeni inerenti al grano propellente. Infine pu essere trascurato il termine di adduzione nella quantit di moto, non tanto perch lo studio si limita ai primissimi istanti, quanto perch la quantit di moto (e quindi lenergia cinetica) addotta nel sistema non provoca grandi variazioni nello stesso; ci che veramente influisce lentalpia che la massa addotta possiede ed lei a variare sostanzialmente il contenuto energetico dellaccenditore. Dalle precedenti equazioni, scritte in termini di variabili conservate, possibile sviluppare il set di equazioni in variabili primitive. Utilizzando le ipotesi appena formulate e asserendo che le propriet del gas sono costanti nello spazio e nel tempo, si giunge a: !,! + !",! + !!,! = ! ! !"!,! !,! + !!,! + ! !,! = !" ! !,! + !"#,! + !!,! + !"#!,! ! ! ! !

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Si vede che linfluenza della variazione darea nellequazione della qdm scomparsa per lasciar posto alla quantit di moto associata alla massa addotta. Questa scrittura mostra inoltre leffetto del termine di variazione darea sulle equazioni della massa e dellenergia, effetto che prima non era evidente. Da questo punto si pu infine partire per sviluppare in serie di Taylor(al primo ordine nello spazio e nel tempo) e ottenere gli stati destri e sinistri, rispetto le interfacce tra le celle j, necessari per la formulazione dello schema alla Godunov. In notazione compatta si ha: !!!!/! !!!!/! !,! = !!,! + ! !"# !!"! ! !!,! !! + ! ! ! = !!"! !!"! !"!!!!/! ! !!!/! !

! = !!! + !,! ! + !,! ! ! ! 2 2

! ! = !!!! + !,! ! !,! ! !!! 2 !!! 2

dove :

!" ! = !"# ! = !"#

Saranno quindi queste le condizioni iniziali del Problema di Riemann. Si nota come Riemann non sia direttamente influenzato dalla presenza dei termini sorgente; questi provocano una variazione nellaggiornamento delle grandezze che poi diventeranno le condizioni iniziali del problema. Nella

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presente analisi si far uso dello schema di Godunov; le grandezze fornite al Problema di Riemann saranno semplicemente i valori assunti a ogni istante dalle singole celle.

1.2 Modello di evoluzione delle propriet di miscelaNellaccenditore sono presenti gas dalle caratteristiche differenti. Ci sono: i gas provenienti dal pirotecnico, quelli derivanti dalla combustione del grano propellente, i gas pressurizzanti (se presenti) e infine quelli atmosferici. Tutte le grandezze finora utilizzate vanno quindi intese come propriet di una miscela, che supponiamo, essere inerte e monofase (approssimazione lecita se si considera il transitorio di accensione, dove non trovano spazio possibili residui di combustione solidi del grano propellente). Per considerare tutte le specie presenti si assume, in prima analisi, valido il Modello Termodinamico Standard. Le singole densit sono funzione dello spazio e del tempo definite come: !! = ! !, ! = ! !"# ! = 1, . . , ! ! = !"#$%& !" !"#$%# !!

Utilizzando lEquazione di stato dei gas e la legge di Dalton si possono esprimere le propriet di miscela in funzione delle propriet dei singoli gas: !=! !!

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ottenendo

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Siamo ora in grado di riscrivere tante equazioni di conservazione della massa quante sono le specie presenti nel sistema in esame. Tenendo presente la relazione che lega densit e concentrazioni, con semplici passaggi, si dimostra che la presenza di queste nuove grandezze non altera in alcun modo il sistema di equazioni di Eulero. Le concentrazioni, infatti, generano un sistema diagonale disaccoppiato da quello di Eulero, del tipo: !!,! + !!!,! = 0 Il sistema di equazioni di Eulero rimane cos strettamente iperbolico assicurando lesistenza della soluzione esatta del problema di Riemann e garantendo la possibilit di utilizzare come metodo dintegrazione il metodo di Godunov al primo o al secondo ordine. La generica equazione riportata mostra chiaramente come la concentrazione rimanga costante lunga la traiettoria della particella. E lecito ora chiedersi quali informazioni addizionali possono essere ricavate dalle Relazioni di Salto riscritte considerando la presenza delle diverse specie. Saltando i passaggi riportata la scrittura finale che meglio si presta allanalisi. Dalla conservazione della massa si ottiene: !" !! = 0 !" !"# ! = ! ! Che ammette come soluzioni: Discontinuit di contatto Urto!" = 0 !" 0 [!! ] !! = 0

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Oltre alle note implicazioni derivanti dal caso con singola specie ( ! = 0, ! valido attraverso la ddc e ! 0, [!] 0 attraverso lurto) la relazione riportata ci dice che le concentrazioni non variano a cavallo dellurto, perci le propriet di miscela devono rimanere costanti attraverso londa. La sola discontinuit di contatto pu portare informazioni sulla presenza di propriet di miscela diverse. Il risultato quindi in accordo con quello precedente, se, infatti, le concentrazioni devono essere costanti lungo la traiettoria della particella, le variazioni saranno registrate solo lateralmente alla traiettoria stessa, ma la discontinuit di contatto viaggia proprio insieme alla particella e quindi la concentrazione varier soltanto a cavallo di questonda. La discussione delle relazioni di salto derivanti dalle quantit di moto non aggiunge nuovi aspetti se non quelli noti del caso a una sola specie. Le cose cambiano nella discussione delle relazioni relative allequazione dellenergia. Partendo sempre dalla scrittura alle Emde-Kentzer, con semplici passaggi, si ottiene: ! ! ! + !" 1+! [!] + ! ! ! + ! ! + !! ! ! 1 != !1 =0

Nellespressione sono presenti due pezzi distinti, si pu quindi imporre che lo zero dellequazione sia la somma degli zeri dei due addendi. In presenza di una discontinuit di contatto non ci saranno salti di velocit e pressione, rimarr soltanto il primo pezzo dellequazione. Se invece siamo in presenza di un urto sar la prima parentesi ad annullarsi e il secondo addendo a rimanere; infatti a cavallo dellurto essendo nullo il salto di concentrazioni sono nulli tutti i salti delle propriet legate alla miscela. Torniamo ora alle equazioni differenziali che descrivono il nostro sistema e focalizziamoci sul passaggio dalla formulazione nel continuo, prima proposta, a quella nel discreto che dovremmo utilizzare nel codice da sviluppare. Lo schema dintegrazione che utilizzeremo e di cui gi abbiamo parlato quello di Godunov. Questo metodo ottenuto a partire dalla discretizzazione delle equazioni in forma integrale; cos facendo le uniche discontinuit rilevabili sono quelle presenti tra le singole celle del dominio mentre si perdono localmente quelle legate alla realt fisica del problema. In sostanza della presenze di urti , o di altre onde di discontinuit, non se ne ha traccia allinterno dello schema e lunico modo per accorgersi della loro presenza quello di ricostruire landamento delle grandezze nel dominio, metodi di questi tipo prendono il nome di shock capturing. quindi intuitivo che questi schemi non possono assicurare il soddisfacimento delle relazioni di salto, per avere questa garanzia bisogna necessariamente trovare una formulazione discreta ottenuta dalle relazioni di salto stesse, i metodi che usano questapproccio sono detti shock capturing. Per capire bene le relazioni che intercorrono tra forma discreta, le relazioni di salto e modello utilizzato per gestire la presenza di pi specie (Termodinamico Standard) conviene analizzare lequazioni riscritte in forma integrale discreta. Il sistema di equazioni di Eulero, in notazione compatta, diventa: !" + ! !" = 0 !(!") + ! !!! + ! = 0 !(!" + !!!

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1 + ! !" + !

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Gli operatori utilizzati sono:

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Le equazioni presentate possono essere sviluppate definendo alcune quantit medie. Il processo di media pu essere effettuato abbastanza tranquillamente essendo in presenza di non linearit basse allinterno delle equazioni. La discussione porta a conclusioni simili a quelle ottenute con le relazioni di salto. In particolare sviluppando lequazione dellenergia si arriva ad una struttura a due addendi simile a quella ottenuta precedentemente. Imponendo nuovamente lo zero dellequazione completa come somma dei singoli zeri, si definiscono due espressioni valide rispettivamente in presenza di : Discontinuit di contatto !!" + !"!! = 0!! ! !! !

Urto

!!" + ! ! $=

+ ! 1 + ! !" + !

=0

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La prima espressione mostra che la propriet di miscela ha una sua equazione di evoluzione che non deriva dalla formulazione delle propriet di miscela fatta col modello Termodinamico Standard. Quindi nel discreto lutilizzo di questo modello non pu, da solo, assicurare il soddisfacimento delle relazioni di salto, dovremmo aggiungere unequazione di evoluzione differente per ogni grandezza che si vuole trattare, oltre alla condizione di salto nullo che si vuole far rispettare. Abbandonando lidea di seguire levoluzione di ogni singola specie allinterno della miscela di gas presente nellaccenditore, approdiamo al modello che utilizzeremo nel nostro codice: il modello di Kozlov. Il concetto alla base del modello molto semplice: si ammette la presenza di diversi gas prodotti le cui propriet rimangono per costanti, si studia cos levoluzione delle sole propriet di miscela che variano perch cambiano le singole concentrazioni. Si pu quindi moltiplicare lequazione di conservazione della massa per una generica propriet B della specie k-esima ottenendo: !! !! ! ,! + !! !! !" ,! =! !

!! !!

ed essendo !! = !"#$ , !" =

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si ottiene !! !!!

!"# ,! + !"#$ ,! =

Nel sistema quindi possibile immettere qualsiasi tipo di gas (il termine sorgente mantiene il pedice k), salvo poi seguire levoluzione della miscela senza soffermarsi sulle singole equazioni delle densit parziali. Per definire completamente le propriet di miscela sar sufficiente considerare lequazione sopra scritta per due sole propriet specifiche, ad esempio la costante della miscela R e il suo calore specifico a pressione costante cp. Tutte le restanti grandezze potranno poi essere derivate da queste e 5

dai valori di densit, velocit e pressione ottenuti integrando le equazioni di Eulero e sviluppandone opportunamente i risultati. Infatti, baster aggiungere al set di equazione individuate lequazione di stato dei gas per completare il quadro e definire qualsiasi grandezza della miscela in esame.

2. Accenni sul codiceAlla luce di quanto detto finora si presentano i tratti fondamentali e le assunzioni fatte nel codice sviluppato. Si parte quindi dalle Equazioni di Eulero riscritte con le semplificazioni discusse. Il termine sorgente nelle equazioni viene considerato non nullo solo nella prima cella del dominio. Il pirotecnico quindi posizionato sulla testa dellaccenditore. I dati forniti sulla portata sono interpolati linearmente per analizzare tutti gli istanti necessari. Eulero Q1D

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Il pedice pir sta per pirotecnico. 6

I dati sullarea forniti allinterfacce eliminano ogni possibile discontinuit geometriche tra le celle. Dalle espressioni emerge come sono discretizzati i termini differenziali delle aeree, mentre il valore darea assegnato a ogni cella calcolato come media dei valori alle interfacce. Per quanta riguarda il termine sorgente della quantit di moto, la pressione calcolata come media delle pressioni soluzioni del problema di Riemann alle interfacce che delimitano la cella, ovvero:! !" !!

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Propriet di miscela!

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Per estrarre un singolo valore delle proprieta di miscela dalla soluzione del problema di Riemann e stato sfruttato il controllo sulla posizione della discontinuita di contatto nel solutore. A seconda dello stato presente allinterfaccia si sono assegnate le rispettive proprieta. Si nota infine che la sommatoria nel termine di adduzione ha nel nostro caso indice unitario perch considereremo le propriet del pirotecnico immesso come di ununica specie.

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3.Condizioni Iniziali e al contornoLaccenditore riempito di aria in condizioni ambientali alla temperatura di 20. Le propriet sono: T = 293 K u=0 cp = 1005 J/(Kg*K) = 1.203 Kg/m3 P = 105 bar R = 287.05 J/(Kg*K)

Le propriet della massa di pirotecnico addotta allinterno dellaccenditore sono: = 1.113 Peso Molecolare = 70.122 (Kg/Kmol) Ttot = 3100 K

Laccenditore ha una lunghezza di: L = 0.51 m Il grano propellente ha la configurazione riportata in figura :

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Ladduzione di massa nel sistema attraverso il pirotecnico segue la legge temporale riportata nel grafico. Lanalisi non andr oltre lultimo istante noto in cui viene addotta massa.

Le condizione al contorno imposte sono di parete sul contorno sinistro mentre si lascia aperto il contorno destro, ovvero: x=0 x=l ! ! ! ! !! = !! !!!! = !! ! ! ! ! !! = !! !!!! = !! ! ! ! ! !! = !! !!!! = !! ! ! ! ! !! = !! !!!! = !! ! !! ! = !! ! !! ! = !! ! ! !!! !

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4. Analisi risultati

Lanalisi sar divisa in quattro: le prime tre faranno riferimento alle interazioni pi rilevanti che avvengono nei primi istanti del transitorio daccensione, lultima illustrer i valori raggiunti a regime dalle diverse grandezze caratteristiche del problema.

4.1 Fase 1 : generazione prime ondePer vedere quali onde si generano, non appena il pirotecnico viene accesso, si limita lo studio ai primissimi istanti temporali e alle prime celle del reticolo di calcolo. A causa dellimmediata presenza di una variazione darea si preferito analizzare il fenomeno prima imponendo che larea di porta non subisse variazioni e poi usando il modello completo con il reale andamento del grano propellente. 4.1.2 Area Costante Area di Porta = 0.26191 m2 (valore della prima interfaccia) Finestra Temporale : 0 s 1.63x10-4 s

Analizzando il problema di Riemann, che nasce a causa dellimmissione di massa nel sistema, tra la prima e la seconda cella del contorno sinistro si trova una soluzione RCS, quindi verso destra inizier a propagare un urto mentre verso sinistra unespansione. In dettaglio le onde avranno le seguenti propriet: Condizioni Iniziali STATO 1 a = 345.89 u = 0.00000 p = 103148 = 1.207 STATO 4 a = 340.85 u=0.00000 p = 100000 = 1.205 Soluzione RCS STATO 2 a = 345.89 u = 3.801 p = 101571 = 1.134 v1 = -345.753 v2 = -341.184 STATO 3 a = 340.85 u= 3.801 p = 101571 = 1.218 w = 343.144

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Avremo perci un urto che propaga verso destra mentre lespansione rester ferma allinizio del dominio a causa della presenza della portata addotta. Questa quindi lespansione cui vanno incontro i gas caldi che formano il getto del pirotecnico.

Quanto detto sopra evidente nel grafico della pressione. Allaumentare del tempo si inizia a distinguere chiaramente anche la presenza del discontinuit di contatto che propaga verso destra con una velocit di gran lunga inferiore rispetto quello dellurto. Si nota inoltra come il salto di pressione sia diverso secondo la cella presa in considerazione, ci dovuto alla presenza di una massa variabile allinterno del dominio. Dovendo tutte le grandezze soddisfare le relazioni di salto, se si lavora su quella dedotta a partire dalla quantit di moto, ipotizzando che il salto di massa sia non nullo e sostituendo le relazione derivante dalla conservazione della massa, si ottiene : ! = ! ! ! !"# ! = ! ! relazione molto simile a quella di Rayleigh. Il rapporto tra i salti delle grandezze risulta evidente se si mette a confronto il grafico della pressione con quello seguente della densit. Partendo da destra nella lettura dei grafici si nota che il tratto in cui la derivata delle due curve inizia a diminuire infatti in comune (ad esempio ascissa 0.06 per la curva viola). Poi la densit ha un salto in corrispondenza del tratto a derivata nulla della pressione, il che indica la presenza della discontinuit di contatto, per poi incrementare nuovamente attraversando lespansione.

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Sia la velocit del suono che lentropia mostrano chiaramente la posizione della discontinuit di contatto, ovvero la zona a destra del punto di massimo. A causa della forte differenza di entropia tra gas immessi e aria presente nellaccenditore, non possibile rilevare chiaramente la presenza dellurto dal grafico dellentropia. Per certificarne lesistenza si ricorso a un ingrandimento del piede della curva.

E qui possibile evidenziare la presenza dellurto che si posiziona in corrispondenza del salto di pressione. Quindi lincremento del contenuto entropico causato dal passaggio dellurto nella zona in cui presente soltanto aria due ordini di grandezza inferiore rispetto quello attestato nelle prime celle del dominio; le quali sono state attraversate dallurto e riempite dai gas provenienti dal pirotecnico.

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Infine la velocit incrementata dal passaggio dellurto, per poi rimanere grossomodo costante attraverso la discontinuit di contatto e infine diminuire a causa dellespansione.

4.1.3 Variazione DArea Consideriamo ora il caso con variazione darea. La forma divergente del condotto dovrebbe diminuire gli effetti del passaggio dellurto provocando un generale abbassamento dei valori delle diverse grandezze.

La pressione massima raggiunta dopo il passaggio dellurto, se si guarda allultimo istante (curva viola), di circa 0.2 bar inferiore rispetto quella del caso precedente. La posizione dellurto rimasta sostanzialmente invariata. Continuano a valere tutte le considerazioni sullandamento della curva di pressione fatte in precedenza.

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Anche la densit risulta ridotta di circa 0.2 Kg/m3 rispetto al caso precedente.

Si nota come nel tratto precedente alla discontinuit di contatto la velocit anzich assumere valori costanti risulta essere decrescente. Infatti il flusso subsonico e lallargamento di sezione provoca un rallentamento dello stesso.

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Sia la velocit del suono che lentropia non subiscono cambiamenti significativi, conseguenza diretta della variazione proporzionale dei valori di pressione e densit. Continuano a valere tutte le altre considerazioni sullentropia fatte in precedenza.

Per completezza si riportano i grafici anche i grafici di temperatura, costante della miscela e rapporto tra i calori specifici sempre della miscela.

Linnalzamento di temperatura dovuto al passaggio dellurto ovviamente di gran lunga inferiore rispetto alla temperatura posseduta dai gas del pirotecnico. Di conseguenza la discontinuit di contatto chiaramente visibile mentre lurto collocato sulla destra rimane meno evidente.

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Le propriet di miscela restano costanti ovunque tranne che attraverso la discontinuit di contatto. Infatti, le relazioni di salto suggeriscono che la ddc lunica struttura gasdinamica attraverso la quale si ha un salto delle concentrazioni; quindi assumendo valido il modello di Kozlov (propriet costanti dei gas prodotti) questa lunica struttura che pu presentare un salto delle propriet di miscela.

Di seguito per brevit sar riportato il solo andamento del gamma di miscela, tralasciando quello della costante R.

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4.2 Fase 2: Interazione urto-variazione dareaSi analizza ora linterazione tra lurto che propaga allinterno dellaria contenuta nellaccenditore e la prima, significativa, variazione darea presente nella configurazione del grano propellente. Lallargamento di sezione (collocato per 0.195 x 0.2 ) provocher una diminuzione dellintensit dellurto incidente la generazione di unonda riflessa. Tale onda dovr poi necessariamente interagire con la discontinuit di contatto che segue lurto e separa i gas caldi, provenienti dal pirotecnico, dallaria che inizialmente riempie laccenditore. Si riportano nel dettaglio le diverse grandezze e, per agevolare i confronti, la configurazione del grano propellente nel tratto di domino analizzato.

I passi indicati corrispondono ai seguenti istanti: Finestra Temporale Passo Dintegrazione 4.7410-4 s t 8.78x10-4 s = 6.410-7

evidente che lurto viene indebolito dal passaggio nellallargamento di sezione. Il salto di pressione tra gli stati a monte e a valle dellurto risulta infatti minore nella curva relativa al passo 920 rispetto quella del passo 620, ovvero prima dellinizio del fenomeno dinterazione. Landamento del grafico mostra anche che londa riflessa unespansione forte. Questa si posiziona allimbocco del tratto divergente e accelera il flusso diminuendone la densit. Il grafico della densit evidenzia bene il fenomeno e rimarca anche il rapido approccio della discontinuit di contatto alla nuova onda formata. Linterazione tra le due onde inizia intorno al passo 920 (in cui la ddc incontra il fronte anteriore dellespansione, x 17

= 0.13 curva rossa) e non sembra dar vita ad onde rilevanti. Dopo il passo 1220 si avr quindi la seconda interazione, quella tra lurto e la ddc. Per tutte queste interazioni si rimanda alla Fase 3. In prima analisi si direbbe che il flusso dopo lespansione rimanga subsonico subendo quindi una regolare compressione nel tratto divergente. Soffermandosi pi attentamente sugli andamenti di velocit e velocit del suono si nota che subito dopo lespansione il flusso ha una transizione a valori supersonici di velocit.

I grafici delle tre grandezze sotto riportati illustrano molto chiaramente la situazione. In assenza quindi di altre onde, se il flusso rimanesse supersonico, nel condotto si dovrebbe rilevare unulteriore espansione, il che non collimerebbe con la condizione di alta pressione a monte dellurto debole che sta continuando a diffondersi .

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I grafici, daltro canto, indicano chiaramente che il flusso nel tratto divergente subisce una compressione e torna quasi immediatamente a essere subsonico. Nel tratto iniziale del divergente si , infatti, formato un urto, che pu essere considerato stazionario in quanto propaga verso destra con una velocit molto pi bassa delle velocit caratteristiche del problema.

La velocit calcolata dellurto : Vurto 13.8 m/s Mentre la velocit minima registrata del flusso : Vmin 200 m/s

NOTA. La stima della velocit dellurto stata ottenuta per via grafica, considerando che lo stesso avanza di una cella ogni 150 passi dintegrazione circa.

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Questurto quindi attraversato dal flusso ed ha la condizione a valle posta sulla sua destra. La presenza dellonda confermata da un incremento dei valori di entropia. Come al solito il grafico palesa lavanzamento della discontinuit di contatto, mentre per poter analizzare al meglio la presenza dellurto bisogna diminuire la scala di visualizzazione. Si pu comunque notare che lentropia rimane costante attraverso lespansione, infatti il suo valore non varia dal piede della gobba sino al raggiungimento della, qui piccola, fluttuazione dovuta allurto.

Se si leggono i tre grafici riportati sotto a partire da quello relativo allentropia si pu spiegare ci che avviene a cavallo dellurto. Si prenda ad esempio la curva viola, lultima in termini di istanti temporali. Poco dopo lascissa x=0.19 si nota che lentropia sale, indicando quindi la presenza in quel punto dellurto citato.

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Di conseguenza la pressione non pu far altro che aumentare in corrispondenza dello stesso punto dopo aver raggiunto il suo minimo a causa della precedente espansione. Infine proprio a valle dellurto il flusso torna a essere subsonico completando cos il raccordo tra le due zone virtuali (a valle dellespansione e a valle dellurto che diffonde nel condotto), che giustifica la presenza della discontinuit trovata. A valle dellurto stazionario si trova una zona in cui lentropia varia, decrescendo. Infatti, avendo le zone a valle dei due urti contenuti entropici diversi, tra loro dovr necessariamente trovarsi uno strato di entropia che le separi.

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Per completezza si riportano i grafici delle grandezze restanti.

La temperatura oltre a evidenziare lavanzamento dei gas caldi provenienti dal pirotecnico mostra, nellingrandimento sotto, la presenza delle onde di espansione e urto; attraversando la prima si attesta una diminuzione di temperatura mentre la seconda provoca ovviamente un incremento della stessa.

Infine il gamma di miscela non pu far altro che variare solo laddove consentita la presenza di un salto delle concentrazioni dei singoli gas, in altre parole a cavallo della ddc.

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4.3 Fase 3Questa fase dellanalisi suddivisa in due parti: nella prima si tratter di ci che avviene nella sezione sinistra del condotto, analizzando quindi linterazione urto-ddc, nella seconda parte si studier ,invece ,cosa succede allurto che sta approcciando la zona di scarico e la relativa sezione convergente-divergente.

4.3.1

Fase 3.1 Interazione urto-discontinuit di contatto

I passi indicati corrispondono ai seguenti istanti: Finestra Temporale Passo Dintegrazione 8.7810-4 s t 1.24x10-3 s = 4.1110-7 s Passiamo ora ad esporre i grafici relativi allinterazione delle due onde. Tale interazione avr luogo tra limbocco e la primissima porzione della zona divergente. Il grafico di fianco mostra al passo 1620 la nascita di una nuova struttura che propaga verso sinistra. Laumento di pressione indica che la struttura in questione un urto di bassa intensit. La cuspide posta poco prima dellascissa x = 0.2 rappresenta limbocco della sezione divergente, dopo il quale il flusso continua a subire una compressione . Guardando il grafico del numero di Mach si capisce ancora meglio cosa succede. Prima dellinterazione il fluido era compresso attraverso lurto e rallentato a valori subsonici per poi subire unaltra compressione nel divergente. Avvenuta linterazione, il flusso torna subsonico in tutto il domino, quindi subisce una prima compressione, attraverso lurto debole che propaga verso sinistra, e poi una seconda dovuta alla geometria del grano propellente. Come gi annunciato dal numero di Mach la velocit diminuisce dopo linterazione e la velocit del suono

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aumenta, andando a scomparire la zona di minimo che prima era associata al flusso supersonico. A cavallo dellurto la velocit viene diminuita, mentre nellingrandimento in basso a sinistra si nota che la velocit del suono aumenta. Questa infatti legata alla temperatura che a cavallo dellurto no pu che aumentare.

Sempre tenendo presente il legame tra temperatura e velocit del suono si pu spiegare lulteriore aumento di questultima nella parte convergente del condotto. Se, infatti, si guarda, nellingrandimento di destra, alle curve degli ultimi due istanti (azzurra e viola) si nota che poco prima dellascissa x = 0.19 la grandezza inizia ad aumentare. Questo dovuto alla compressione che il fluido, subsonico, subisce nel condotto e al suo relativo aumento di temperatura.

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Osservando la densit si nota chiaramente lapproccio della discontinuit di contatto allurto (curva blu e verde) e la successiva formazione dellurto debole, ben visibile nellingrandimento di destra. Inoltre la prima interazione, quella tra la ddc e lespansion, non sembra sviluppare onde significative e lascia inalterata la ddc.

Anche dallentropia evidente lavvicinamento delle due discontinuit, in particolare si vede che il salto di entropia dovuto allurto risale verso il picco di entropia associato alla ddc(curva verde e blu). Linterazione rallenta leggermente la ddc, effetto intuibile dalladdensamento delle curve allinizio del condotto divergente, che comunque procede nel suo cammino verso la fine del condotto. Non stato possibile rilevare la presenza dellurto debole generato in seguito allinterazione.

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Come osservato nella discussione sulla velocit del suono, la temperatura incrementata dal passaggio dellurto (grafico a destra curva azzurra e viola). E inoltre evidente nel grafico di sinistra lavanzamento dei gas caldi nel condotto (e della ddc a loro associata).

Si riporta infine una sola delle propriet di miscela, perch le restanti hanno andamento identico e non forniscono ulteriori informazioni. Anche in questo caso evidente il rallentamento cui va incontro la discontinuit di contatto.

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4.3.2 Fase 3.2a Interazione urto-convergente/divergenteSi analizzer ora il comportamento dellurto nellultima parte del condotto. Per una risoluzione grafica migliore si scelto di non eccedere i cinque istanti temporali per grafico finora adottati, facendo cos riferimento a una successiva analisi per la transizione del flusso a supersonico. Si riporta il grafico dellarea di porta nel dominio studiato. I passi indicati corrispondono ai seguenti istanti: Finestra Temporale Passo Dintegrazione 9.8710-4 s t 1.23x10-3 s = 6.410-7

Entrando nel convergente lurto intensificato, il salto che si registra a cavallo dello stesso porta la pressione ad un valore doppio rispetto quella ambiente(curva rossa). Passando nel divergente (x 0.452) il salto di pressione diminuisce e ci indica latteso indebolimento che lurto subisce a causa della geometria (curva azzurra). Nellultimo istante analizzato lurto ha quasi abbandonato il dominio ed ha lasciato dietro di se un flusso subsonico, infatti si nota chiaramente che nel primo tratto convergente la pressione diminuisce tornando a salire nel tratto divergente, anche se di poco, provando quindi la mancata transizione nella zona di gola.

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La conclusione sulla natura subsonica del flusso fortunatamente avallata dal grafico del numero di Mach. La velocit quindi aumenta nel tratto convergente per poi diminuire nel divergente. Il suo valore massimo comunque continua a salire ,come il mach stesso, il che lascia presagire che negli istanti successivi avr luogo la transizione del flusso a supersonico. La velocit del suono a valle dellurto ovviamente aumenta, rispetto allistante precedente, quando questo viene intensificato (curva rossa tratto convergente) e diminuisce, rispetto al tratto convergente, nella porzione divergente del dominio dove lurto risulta meno intenso. Oltre alle strutture citate si nota, gi dal grafico della pressione, una zona a monte dellugello in cui avvengono delle variazioni lineari delle diverse grandezze. La pressione aumenta, la velocit diminuisce e la temperatura (velocit del suono) aumenta. Questonda una compressione che sta muovendo verso sinistra ed dovuta allinterazione tra il condotto e lurto incidente.

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La presenza dellonda confermata dal fatto che lentropia prima del condotto non sembra subire variazioni rilevanti. Variazioni, invece, chiare per quanto riguarda levoluzione sopra descritta dellurto allinterno dellugello. Inoltre si note che tra la zona di flusso a valle della compressione e quella a valle dellurto c una porzione di spazio in cui lentropia varia con continuit. Infatti, i due flussi hanno subito compressioni diverse per arrivare alla stessa pressione, il che implica un contenuto entropico differente e giustifica lesistenza di questa struttura. Osservando la densit si notano distintamente le due onde. La compressione nasce appena il condotto varia la sezione, quindi allimbocco del convergente, per poi propagare verso sinistra. Lurto segue il corso descritto.

La temperatura aumenta a cavallo di entrambe le onde rappresentate. Una volta uscito lurto dal condotto (curva viola) la temperatura indica levoluzione del fluido subsonico allinterno del condotto, diminuendo nel tratto in cui il fluido espande e aumentando nel tratto finale divergente in cui il fluido subisce una compressione.

Non sono riportati i grafici delle propriet di miscela perch identici a quelli della fase 3.

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Fase 3.2b Transizione del flusso: da subsonico a supersonicoConfrontando i grafici di pressione e numero di Mach si vede che la transizione ha luogo al passo 2400. Da questo istante in poi il flusso diventa supersonico e la pressione nel tratto divergente non pu che scendere. C quindi una zona di discontinuit nel campo tra il fluido che ancora subsonico e quello che ha appena superato il valore di mach unitario; si creato un urto lento che viaggia verso destra. Il flusso attraversa londa ed rallentato diventando subsonico a incrementando la pressione. Lurto non pu far altro che uscire dal condotto, infatti, la condizione di pressione maggiore a valle non imposta, come nel caso di ugello sovraespanso, ma conseguenza di fenomenologie interne allugello stesso; la discontinuit non avr pi ragion dessere quando il condotto sar entrato in regime di funzionamento. Verso sinistra si nota la progressione della compressione che risale nel condotto apprestandosi ad interagire prima con la discontinuit di contatto che segna il confine tra gas caldi e aria, poi con la diminuzione di area che prima, e nellaltro senso, aveva interagito con le onde gi studiate. Il grafico seguente mostra con esattezza listante e il punto della transizione che in questi primi momenti coincide con la gola del condotto. Il valore massimo registrato continua a salire indicando che il fenomeno transitorio ancora non giunto al termine.

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Oltre a trovare conferma di quanto osservato finora, dal grafico della densit si apprende che linterazione tra la compressione la discontinuit di contatto ha iniziato ad avere luogo nellistante di analisi proposto.

Tra la zona a valle dellurto e la zona di flusso subsonico che non ha attraversato lurto dovr necessariamente venirsi a trovare una porzione di campo in cui lentropia varia con continuit. Infatti, i flussi saranno si alla stessa pressione ma avranno subito trasformazioni diverse, il che porta ad avere contenuti entropici differenti. Questa zona inoltre, a causa della differenza di velocit tra urto e flusso nel condotto, dovr aumentare in estensione. Il fenomeno rilevato nelle ultime due curve ( azzurra e viola) subito dopo lincremento di entropia dovuto alla presenza dellurto.

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Velocit del suono e temperatura forniscono indicazioni simili sulla posizione delle onde. Entrambe aumentano a cavallo dellurto e della compressione, diminuiscono in corrispondenza dei tratti in cui il fluido espande ed aumentano nelle zone in cui il flusso viene compresso.

Per completezza si riporta la velocit, che non aggiunge informazioni allanalisi. Non sono riportate le propriet di miscela perch la loro distribuzione identica a quella delle precedenti fasi di studio.

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5. Fase 4 Analisi degli ultimi istanti transitorio di accensioneIn questultima parte si presenteranno i risultati ottenuti dallanalisi degli ultimi istanti del transitorio di accensione. La camera ormai riempita completamente con la miscela di gas proveniente dal pirotecnico; lultima porzione daria presente nel condotto era stata espulsa tra i 4.08 e 4.74 ms dallaccensione, come si pu notare nel grafico di entropia riportato di seguito. Oltre alla struttura citata si osserva anche il sopraggiungere di unaltra struttura (urto o strato di entropia) nata da qualche interazione gasdinamica allinterno della camera.

Lanalisi si focalizza sulla seguente finestra temporale: 8.3510-3 t 9.0110-3 Ovvero sino allesaurimento dei dati forniti sulla massa addotta dal pirotecnico. Si riporteranno soltanto alcune tra le grandezze sopra utilizzate per mostrare leffettivo ingresso in regime di funzionamento dellaccenditore.

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La pressione mostra, escluse lievi oscillazione, che laccenditore ha raggiunto il regime di funzionamento. Il flusso inizialmente subsonico subisce due successive compressione a cause degli allargamenti di sezione per raggiungere una pressione massima che si attesta intorno ai 4.2 bar. Successivamente si incontra lespansione dovuta allingresso del flusso nellugello, e grazie alla transizione a supersonico il fluido continua ad espandere sino a quando non abbandona il condotto. Il discorso appena fatto continua a valere per la densit.

Lanalisi del numero di Mach permette di evidenziare il punto della transizione, sostanzialmente invariato rispetto allistante in cui questa ha avuto luogo, e rimarca come il flusso rimanga subsonico nel dominio antecedente la zona di gola.

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Anche la velocit mantiene un profilo del tutto regolare nei diversi istanti dintegrazione.

Si rilevano piccole oscillazioni di temperatura, segno della presenza di qualche onda di lieve entita che continua a propagare nel condotto, senza variare in modo sostanziale il valore delle altre grandezze.

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Il rapporto dei calori specifici e la costante della miscela indicano, banalmente, che il condotto riempito della sola miscela di gas proveniente dallaccenditore.

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Infine lentropia mostra un andamento del tutto irregolare. Lintegrazione delle equazioni con il metodo di Godunov, essendo fondata sulla stima dei flussi derivanti dalla risoluzione del Problema di Riemann, ha garantito che lentropia fosse non decrescente in presenza di qualsiasi fenomeno gasdinamico. E quindi possibile che anche laddove lentropia sarebbe dovuta rimanere costante, ad esempio attraverso onde di espansione, il codice abbia calcolato degli incrementi della grandezza. In questo modo allaumentare del tempo dintegrazione lentropia si e sempre piu discostata da quella che e la realta fisica del problema portando, da un certo istante in poi, ad un valutazione completamente errata della grandezza.

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6. Conclusioni Lanalisi del transitorio daccensione ha permesso di palesare alcuni tratti caratteristici del campo gasdinamico allinterno dellaccenditore. Le principali onde presenti nella prima fase sono: lurto veloce derivante dallaccensione del pirotecnico e la discontinuit di contatto che separa i gas caldi da quelli preesistenti e che segue, con velocit minore, lurto nel suo percorso verso la fine del condotto. Nelle prime fasi di studio si sono potute seguire le singole onde, le loro interazioni e le nuove onde formate, con relativa facilit. I fenomeni gasdinamici pi significativi, legati a questi istanti, sono stati, senza dubbio, quelli in cui il flusso ha subito transizioni a carattere supersonico. Nel primo si rilevata la presenza, se pur per pochi istanti, di un urto (quasi)stazionario nella prima delle due zone divergenti del condotto. Il secondo, invece, ha permesso di seguire levoluzione del flusso nellugello e il progressivo approccio alle condizioni di progetto. A causa della repentina complicazione nella configurazione gasdinamica si infine abbandonata lanalisi delle singole onde per verificare quali condizioni di regime avesse raggiunto laccenditore, alla fine del dominio temporale danalisi (coincidente con la fine dei dati forniti sulla portata addotta). I valori delle grandezze principali registrati sono: Pmax = 4.35 bar Tmax = 3120 K Mach = 2 Vefflusso = 1200 m/s Pexit = 0.55 bar R = 118.56 J/(KgK) Infine si riscontrato un andamento di entropia non conforme alla reale distribuzione della grandezza, attribuendo la causa dellerrore a unincapacit dello schema dintegrazione utilizzato di modellizzare al meglio tutti quei fenomeni in cui lentropia rimane costante. Si pu pensare anche che tal errore sia lespressione di un altro problema che affligge lo schema di Godunov. Nel modello si assegna alle celle un singolo valore rappresentativo per ogni grandezza; cos facendo, nel caso in cui nella cella siano contemporaneamente presenti pi onde, lo schema pu commettere errori consistenti nelle valutazioni locali delle grandezze. Successive approssimazioni di questo tipo potrebbero portare alla perdita di coerenza termodinamica riscontrata.

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