Università degli Studi di Perugia

FACOLTÀ DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE ENATURALI

Corso di Laurea Triennale in Fisica

TESI DI LAUREA TRIENNALE

L'ENERGIA DI VUOTO ED

EFFETTO CASIMIR

Candidato: Sara Fucini Relatore: Marta Orselli

Anno accademico 2014-2015

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Prefazione

L'avvento della meccanica quantistica ha permesso di a�rontare e risolvere prob-lematiche che non trovavano spiegazione con la �sica classica. Fondamentali atal proposito furono gli studi compiuti da Planck nei primi anni del 900 riguardola radiazione emessa da un corpo nero.

Fino a quel momento la teoria del calore e della radiazione si poggiava sullavoro di Maxwell e Boltzmann: era noto che un corpo materiale, se riscaldato,emette onde elettromagnetiche con vibrazioni di tutte le frequenze e lunghezzed'onda . Rayleigh e Jeans ipotizzarono che l'energia raggiante totale disponibilefosse ugualmente distribuita fra tutte le possibili frequenze di vibrazione e chefosse quindi possibile estendere il principio di equipartizione dell'energia vigentein meccanica statistica classica. Secondo tale principio l'energia totale di unsistema costituito da un gran numero di particelle, che scambiano energia traloro per mezzo di urti reciproci, si ripartisce ugualmente (in media) fra tuttele particelle. Tuttavia, in questo modo, essendo il numero di particelle, seppurgrandissimo, sempre �nito mentre il numero di vibrazioni possibili in�nito, suc-cede che ad ogni singola vibrazione spetta una quantità in�nitamente piccola dienergia . A questo problema si aggiungeva anche quello della catastrofe ultra-violetta ; quando si va a integrare la densità di energia della radiazione termica

che classicamente ha la forma u(ν) = (8πν2

c3 )kT si ottiene l'energia totale

U =

ˆ ∞0

u(ν)dν

che chiaramente diverge all'aumentare della frequenza ν. Il problema furisolto da Planck il quale suppose che la radiazione elettromagnetica non fossecontinua ma discreta ovvero composta da pacchetti indistinguibili di energia, iquanti , ognuno di valore �ssato e pari a ε = hω = ~ν, con ω frequenza angolaredella radiazione e h costante di Planck. 1

Con questa intuizione, non solo fu risolto il problema prima visto della diver-genza , ma si sviluppò anche l'idea che la quantizzazione potesse essere estesaanche ai campi, in primis, a quello elettromagnetico, essendo questo non altroche una sovrapposizione in�nita di onde piane. Non solo, ma l'avvento dellameccanica quantistica cambiò completamente anche la nozione di vuoto. Sicominciò a parlare di vuoto non più come totale assenza di materia ed energia,ma si arrivò a postulare l'esistenza di un'energia propria dello stesso sviluppandocosì un concetto assente e non previsto dalla �sica classica.

Si intuì che tutti i campi,-soprattutto quello elettromagnetico- hanno delle�uttuazioni. Quanto detto vale ovviamente anche per il vuoto , che a questo

1Nel sistema internazionale il valore della costante di Planck h è pari a 6.626 · 10−34J · s.

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punto risulta essere pieno di particelle virtuali che si trovano in un continuostato di �uttuazione. Si avranno dunque coppie di particelle e antiparticelle chesi creano dal vuoto per poi annichilarsi e tornare in questo. Queste particellevirtuali esistono per un tempo determinato a causa del principio di indetermi-nazione energia-tempo

(∆E)(∆t) ≥ ~2

Questo vuol dire che maggiore sarà la �uttuazione dell'energia ∆E, minoresarà l'intervallo di tempo ∆t in cui essa si veri�cherà prima di svanire. Questeincertezze sono dovute esclusiavmente alle reali, ineliminabili �uttuazioni a cuisono sottoposte le particelle elementari.

Poco dopo la pubblicazione dell'articolo di Planck, Bohr suggerì di appro-fondire l'argomento e rivedere anche le forze intermolecolari ( prime fra tuttequelle di Van der Waals ) come una conseguenza dello shift dell'energia di puntozero. Di fatto ormai questo era diventato un argomento da approfondire, so-prattutto per il grande interesse per i fenomeni a bassa temperatura ,come lasuperconduttività, che ebbe modo di svilupparsi nel decennio precedente allaformulazione matriciale (da parte di Heisenberg) e ondulatoria (da parte diSchroedinger) della meccanica quantistica.

Debye, per esempio dimostrò che se l'energia di punto zero fosse reale, cidovrebbe essere una riduzione nello scattering dei raggi X da parte dei cristallianche per T → 0 a causa delle �uttuazioni di punto zero nei siti del reticolo.Altresì, gli studi spettroscopici di Mulliken indicarono che l'energia di puntozero delle vibrazioni molecolari era necessaria per fare un �t accurato dei datimentre Stern ne colse l'importanza calcolando la pressione di vapore dei solidi.

Nella seguente tesi si vuole approfondire l' e�etto Casimir, fenomeno dinatura quantistica con evidenze sperimentali di carattere macroscopico. Essoappare nel momento in cui si impongono delle condizioni al contorno al campoelettromagnetico del vuoto quantizzato . Ci si concentrerà soprattutto sull'aspettopiù propriamente teorico, ricavando lo stesso risultato ma con diversi approcci.Piuttosto che approfondire i vari esperimenti che hanno permesso di dare unaconferma del fenomeno considerato, si è voluto considerare le di�coltà che in-evitabilmente si incontrano nel momento in cui ci si discosta dalle ipotesi diidealità dovendo lavorare in condizioni reali.

Nell'ultima parte poi, si farà un breve accenno ai futuri sviluppi che l'e�ettoCasimir potrebbe avere nei vari campi della �sica.

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Contents

1 Capitolo 1 L'energia del vuoto 5

1.1 L'energia di punto-zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 La quantizzazione del campo elettromagnetico . . 6

2 Capitolo 2 E�etto Casimir 11

2.1 L'idea originale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Derivazione geometrica di Casimir . . . . . . . . . . . 15

2.3 Una tecnica di normalizzazione: la zeta di Rie-mann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4 L'approccio di Milonni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3 Capitolo 3 Correzioni per i mezzi reali 26

3.1 Correzione dovuta alla conduttività �nita. . . . . . 27

3.2 Correzione termica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4 Capitolo 4 I futuri sviluppi dell'e�etto Casimir 36

4

1 Capitolo 1 L'energia del vuoto

1.1 L'energia di punto-zero

Nella seguente sezione si discuterà dell'energia di punto zero che è strettamantecorrelata all'e�etto Casimir. Questa energia comparse per la prima volta nellateoria della radiazione di corpo nero elaborata da Planck un decennio primarispetto alla �derivazione� fatta da Heisenberg con un approccio puramente ma-triciale.

Planck ottenne la seguente espressione

U =~ω

exp(~ω/kT)− 1+

1

2~ω (1)

per l'energia media di un oscillatore di frequenza ω in equilibrio con la ra-diazione alla temperatura T . Quando si va a considerare la situazione alla zeroassoluto ,di fatto, si ottiene un'energia che non è nulla ,ma pari ad una costanteovvero, U → 1

2~ω. In altre parole, il lavoro di Planck prevedeva l'esistenzadi un moto di punto zero, ovvero un'energia esistente anche alla temperatutadello zero assoluto in corrispondenza del quale, in accordo con la teoria classica,nessun tipo di moto sarebbe dovuto avvenire. Inizialmente Planck si convinsedel fatto che il termine lineare addittivo da lui trovato non avesse conseguenze�siche di particolare interesse. Non era della stessa idea Einstein, il quale, comecomunicò in una lettera a Stern nel 1913, notò come l'energia di punto zerosembrava essere necessaria a�nchè la formula (1) ridesse la formula classicaU = kT nel limite classico per cui kT � ~ω. In questo limite espandendo �noal secondo ordine in (~ω/kT)

U =~ω

exp(~ω/kT)− 1+

1

2~ω ≈ ~ω

1 + ~ω/kT + 12 (~ω/kT)2 − 1

+1

2~ω =

kT

1 + 12~ω/kT

+1

2~ω ≈ kT − 1

2~ω +

1

2~ω = kT (2)

Quindi l'energia di punto zero 12~ω sembrerebbe essere necessaria a�nchè U

non presenti la correzione quantistica al primo ordine per kT nel limite classico

5

per cui kT � ~ω. Questa fu una delle tante ragioni che portarono Einstein eStern a concludere che l'esistenza dell'energia di punto zero era molto più cheprobabile oltre che necessaria da un punmto di vista puramente teorico.

1.2 La quantizzazione del campo elettromagnetico

L'idea di base è semplice: il campo elettrico e magnetico rappresentato daun'onda monocromatica di frequenza ω può essere visto di fatto come un' os-cillazione armonica ; a questa si attribuisce il nome di modo normale. Nelmomento in cui si va a dare una descrizione quanto-meccanica del fenomeno ap-pena considerato, si trova che per l'energia elettromagnetica vale un' espressioneformalmente analoga a quella di un oscillatore armonico lineare quantizzato. E'ben noto che per questo non tutte le energie sono permesse ma solo quelle datedalla seguente espressione

E(n) = (1

2+ n)~ω

con n = 0, 1, 2, 3, . . .. Questo numero intero n indica in quale stato eccitatosi trova il sistema mentre nel caso elettromagnetico corrisponde al numero difotoni che popolano un certo stato. Quindi anche lo stato con zero quanti (quindizero fotoni, n = 0) avrà una certa energia diversa da zero ma pari a

E0 =~ω2

Questa è l'energia di punto zero ed implica che anche in questa con�gurazioneesistono delle �uttuazioni del campo elettrico e magnetico.

Il ragionamento può essere esteso anche ad una teoria di campo che descrival'interazione elettromagnetica. In questo caso , però, si ha a che fare con ilproblema della catastrofe ultravioletta che emerge nel momento in cui si provaad assegnare un'energia di ground state ad ogni modo del campo. Infatti, inQTF , il campo può essere visto come una sovrapposizione in�nita di oscilla-tori armonici disaccoppiati. Andando a calcolare il valore di aspettazione dell'hamiltoniana del campo elettromagnetico allo stato fondamentale si ottiene

E0 =< 0|H|0 >=1

2~∑w

ωw

dove l'indice w indica l'insieme dei numeri quantici propri dei modi delcampo. La somma scritta rappresenta l′energia del vuoto ed è ovviamentein�nita essendo in�niti i gradi di libertà del campo. Se da un punto di vista for-male , però, tale problema si può eliminare tramite un processo di riordinamentoe rinormalizzazione, non si può ignorare la sua presenza dal punto di vista �sico

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in fenomeni puramente quantistici come il Lamb shift e l'e�etto Casimir, quìtrattato. La risoluzione di questo problema , di fatto, aprì le porte allo sviluppodella teoria quantistica dei campi.

Vediamo ora in dettaglio la quantizzazione del campo elettromagnetico.La descrizione di tale campo nello spazio vuoto e privo di sorgenti può essere

e�cacemente fatta considerando la Gauge di radiazione per la quale ∇ · ~A = 0e φ = 0 . Questa permette di sintetizzare le quattro equazioni di Maxwell nelvuoto in un'unica equazione per il potenziale vettore ~A

∇2 ~A− 1

c2∂2 ~A

∂2t= 0, (3)

l'equazione delle onde. Si può dimostrare che il potenziale vettore soluzionedi questa equazione è rappresentabile come un insieme continuo dato dallasovrapposizione in�nita di onde piane polarizzate linearmente. Il processo diquantizzazione, tuttavia, diventa più agevole se si esprime il campo in funzionedi un numero in�nito ma discreto di variabili in modo tale da poter stabilireuna corrispondenza tra esse e degli operatori opportuni dello spazio di Hilbert.

A tal �ne si considera il campo elettromagnetico contenuto all'interno di unvolume cubico di lato L; si avrà allora la seguente periodicità

~A(~r + L) = ~A(~r)

L'equazione delle onde si risolve per separazione delle variabili una voltaassunta la soluzione nella forma

~A(~r, t) = ~A0(~r)ψ(t) (4)

Se si sostituisce la (4) nella (3) si ottengono due equazioni indipendenti (unaper la parte spaziale, una per la parte temporale) e; risolvendo tali equazioni siarriva alla seguente espressione per il potenziale vettore

~A(~r, t) =∑~k,λ

[ψk(t) ~Akλ(~r) + ψ∗k(t) ~Akλ(~r)

]

=1√V

∑~k,λ

[αk(0)e−i(ωkt−

~k·~r) + α∗k(0)ei(ωkt−~k·~r)]ekλ

=1√V

∑~k,λ

[αk(0)e−i

~k·~r + α∗k(0)e−i~k·~r]ekλ

dove il vettore d'onda ~k può assumere solo valori discreti per la presenzadelle condizioni al contorno, ovvero

~k = (nxπ ,

L,nyπ ,

L

nzπ

Lz) con nx,y,z = 0,±1,±2, . . .

Sostituendo opportunamente nelle espressioni del campo elettrico e del campomagnetico il valore di ~A, si ottiene un hamiltoniana data dalla seguente formula:

7

H =1

8π

ˆV

d3~r( ~E2 + ~B2) =∑~k,λ

k2

2π|αk(t)|2 (5)

dove l'integrale della densità di energia è esteso all'intero volume della scatolacontenente il campo.

Introducendo le quantità reali:

qkλ =1

c√

4π[αk(t) + α∗k(t)] (6)

pkλ =ik

c√

4π[α∗k(t) + αk(t)] (7)

si ricava, �ssato ~k, un'espressione per l'Hamiltoniana del campo elettricoformalmente equivalente a quella di un'oscillatore armonico di uguale frequenzaωk. Quindi estendendo a tutto il sistema si ottiene:

Hkλ =1

2(p2kλ + ω2

kq2kλ)→

∑k,λ

1

2(p2kλ + ω2

kq2kλ)

Si ricordi che per un oscillatore armonico lineare si ha

H =1

2m(p2 +m2ω2q2) (8)

Per esprimere la (8) si introducono gli operatori di creazione a† e distruzionea de�niti come:

a =1√2~ω

(ω~q + i~p) (9)

a† =1√2~ω

(ω~q − i~p) (10)

Per questi vale la regola di commutazione per cui

[a, a†] = 1.

In funzione di tali operatori si ottengono le espressioni degli operatori di posizione e impulso

q =

√~

2mω(a+ a†) (11)

p = i

√~

2mω(a† − a) (12)

Introducendo l'operatore hermitiano N = aa† , l'hamiltoniana per un oscil-latore armonico data dalla (8) diventa

H = ~ω(N +1

2)

8

Dal confronto tra le (6)-(7) e la (11) si nota che nel processo di quantiz-zazione del campo, le ampiezze α e α∗ sono state sostituite ,a meno di un fat-tore di proporzionalità, dagli operatori di creazione e distruzione a e a†, mentrel'operatore N , che rappresenta il numero di fotoni del sistema, ha preso il postodella quantità | α |2. Sostituendo alle variabili canoniche e al vettore d'onda i

corrispondenti operatori q, p , k vi è consistenza fra le gli operatori introdottiper il campo e quelli usati per quantizzare l'oscillatore se si pone:

αk →

√2π~c2ωk

ak,λ (13)

α∗k →

√2π~c2ωk

a†k,λ (14)

E' possibile quindi introdurre, per ogni k , gli operatori di coordinata eimpulso che sono dati rispettivamente dalle seguenti espressioni:

qk,λ =

√2π~c2ωk

(ak,λ + a†k,λ) (15)

pk,λ =

√2π~c2ωk

(a†k,λ − ak,λ) (16)

In questo modo la de�nizione degli operatori di creazione e distruzione ,seppur con diverso signi�cato, rimane invariata

ak,λ =1√2~ω

(ωkqk,λ + ipk,λ) (17)

a†k,λ =1√2~ω

(ωkqk,λ − ipk,λ) (18)

mentre per la relazione di commutazione si ha

[ak,λ(t), a†k′,λ′(t)] = δ3k,k′δλ,λ′ (19)

A questa, si aggiungono anche le seguenti relazioni

[ak,′λ′(t), ak,λ(t)] = [a†k′,λ′(t), a†k,λ(t)] = 0 (20)

dovute all'indipendenza dei diversi modi del campo elettromagnetico.In virtù delle sostituzioni (13)e (14) ,sostituendo ad ogni osservabile l'oppurtuno

operatore, è facile ricavare le espressioni del campo elettrico (21) e di quellomagnetico (22)

~E(~r, t) = i∑~k,λ

(2π~ω~kV

)1/2

[ak,λ(t)ei~k·~r − a†k,λ(t)e−i

~k·~r]~e~k,λ (21)

9

~B(~r, t) = i∑~k,λ

(2π~c2

ω~kV

)1/2

[ak,λ(t)ei~k·~r − a†k,λ(t)e−i

~k·~r]~k × ~e~k,λ (22)

dove ~e~k,λ è un vettore unitario , assunto reale, che garantisce la trasversalità

del potenziale vettore e tale per cui ,per ogni ~k, è possibile scegliere solo dueversori perpendicolari fra loro e a ~k , ovvero devono valere le seguenti relazioni:

~k · ~ek,λ = 0

~ek,λ · ~ek,λ′ = δλ,λ′

con λ = 1, 2 . Così, ~ek,λspeci�ca una delle due possibili polarizzazioni delcampo ed è pertanto noto come vettore di polarizzazione .

Sostituendo le espressioni del campo elettrico e di quello magnetico nell'Hamiloniana del campo elettromagnetico data dalla (5) diventa

Helm =∑k,λ

~ωk(a†k,λak,λ +1

2) (23)

alla quale corrisponde l'energia

En,k,λ =∑k,λ

~ωk,λ(nk,λ +1

2) (24)

come inizialmente predetto.In conclusione si può dire che l'origine dell'energia di punto zero dell'energia

risiede, dal punto di vista matematico, nella non commutabilità degli operatoridi creazione e distruzione; inoltre, in virtuù del principio di indeterminazione,le �uttuazioni del vuoto si potranno associare a fotoni virtuali che si creano eannichilano a vicenda.

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2 Capitolo 2 E�etto Casimir

2.1 L'idea originale

Nel 1940, esperimenti condotti da personaggi come Overbeek sulla sospensionedelle polveri di quarzo, mostrarono che la teoria della stabilità delle soluzionicolloidali (materiali viscosi contenenti micro particelle in sospensione in una ma-trice liquida) allora presente sarebbe potuta non essere completamente corretta.Secondo questa teoria le particelle costituenti risultavano essere tenute insiemedalle forze di Van der Walls. In particolare tale predizione diventava inaccu-rata nel momento in cui si andavano a considerare distanze via via crescentitra le particelle; si ipotizzò ,dunque, che l'interazione tra i costituenti sarebbepotuta decrescere a grandi distanze più rapidamente di quanto non si pensasse.Overbeek suggerì che l'interazione tra molecole neutre poteva essere descrittacorrettamente soltanto tenendo conto del fatto che la luce viaggia ad una veloc-ità �nita. Questo farebbe sì che per distanze maggiori della lunghezza d'ondadi transizione atomica, il valore �nito di c perturbi l'energia di interazione elet-tromagnetica portando ad una riduzione della forza attrattiva. Questo accorgi-mento portò ad una necessaria revisione delle forze di van der Waals.

A quel tempo era ben noto che tali forze erano di natura attrattiva e chesi manifestavano fra due atomi e molecole, anche se apolari, e quindi anche tracorpi neutri macroscopici. Esse sono dovute al moto delle cariche all'interno delcampo elettromagnetico degli oggetti, cariche che a loro volta generano campielettromagnetici �uttuanti nella regione di spazio fra i due corpi. Tali campiinducono dei momenti di dipolo transienti nelle molecole da cui discende laloro interazione. La formulazione quantistica di tale fenomeno, sviluppata daFritz London, permette di a�ermare che il valor medio degli operatori associatiai momenti di dipolo degli atomi e molecole apolari è nullo ma i momenti didipolo istantanei indotti fanno sì che lo scarto quadratio medio sia diverso dazero. Questo permette di cosiderare la forza di Van der Waals come una con-seguenza delle �uttuazioni di vuoto del campo elettromagnetico se si interpretail campo intermolecolare come una serie di oscillazioni dell'energia del puntozero. Dunque è possibile concludere che le forza �nora trattata è puramentequantistica e non relativistica non essendoci dipendenza dalla velocità della lucec. London mostrò anche che la forza tra molecole che possiedono un momento

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di dipolo decresce con la distanza d tra le molecole con l'andamento1/d6. Laspiegazione è la seguente: l'hamiltoniana di interazione di un momento di inter-azione µ con un campo elettrico E è H = −µ ·E. Allora l'energia di interazionetra due dipoli è

Hint =(~µ1 · ~µ2)d2 − 3(~µ1 · d)(~µ2 · d)

d5

dove d è la coordinata relativa. Applicando la teoria perturabtiva al primoordine, la correzione all'energia è data da < Hint >= 0, nulla perchè la dis-posizione dei dipoli è casuale e quindi < ai >= 0. Andando al secondo ordineperturbativo, la correzione è non nulla e pari a d−6.Dunque si tratta di un ef-fetto elettrostatico a raggio corto e le considerazioni �nora fatte saranno valide�ntanto che si considerano due atomi o due corpi macroscopici ad una distanzadell'ordine di pochi nanometri così da permettere ad un fotone virtuale , emessodu un atomo, di raggiungere l'altro in un tempo minore o uguale al suo tempodi vita. La vicinanza, inoltre, permette di trascurare gli e�etti associati alleestremità.

L' emissione, o rispettivamente l' assorbimento di un fotone inducono mo-menti di dipolo istantanei in entrambi gli atomi. Tuttavia, se la distanza a cuisi trovano gli atomi è tale da non permettere il trasferimento di un fotone, laforza di Van der Waals non sussiste mentre la dispersione del campo elettro-magnetico risulta non nulla. Questo fatto comporta la nascita di momenti didipolo e di una forza attrattiva tra i due atomi. Questa interazione può essererappresentata come una manifestazione su larga distanza delle forza sopracitatache prende il nome di forza di Casimir − Polder.

Questa è un'interazione quantistica, relativistica e dipende dalla polarizz-abilità degli atomi. Infatti la derivazione di Casimir portò alla formula

U(d) = − 23~c4πd7

αAαB (25)

valida per una separazione interatomica d grande se comparata con la lunghezzad'onda di transizione degli atomi. Si noto che αA,B = αA,B(0) sono le polariz-zabilità statiche degli atomi tali che per il momento di dipolo vale la relazione~p = α~E. Per d piccolo , si ottiene l'usuale interazione � non-ritardata� diLondon-Van der Walls nella forma U(d) ∝ d−6.

Il passaggio della dipendenza propria della da d−6a d−7 per grandi sepa-razioni interatomiche è una conseguenza del ritardo dovuto al fatto che la veloc-ità propria dei fotoni virtuali mediatori dell'interazione intermolecolare ( ovverola velocità della luce) è �nita.

Un altro esempio di questo comportamento si ha considerando un atomovicino ad una parete conduttiva . Per piccole distanze d fra l'atomo e la parete,l'interazione attrattiva può essere ottenuta dall'interazione dipolo-dipolo fral'atomo e la sua immagine nel muro e. Quetsa varia come d−3mentre per grandedistanze U(d) va come d−4.

Ora però, se due atomi risentono di un' attrazione di tipo Van der Wallsdovrebbe esserci una manifestazione macroscopica di questa forza anche tra

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corpi macroscopici dielettrici. Consideriamo il caso in cui un atomo dista dda una parete dielettrica costituita da N atomi identici per unità di volume,ognuno di polarizzabilitàα. Per grandi d , la formula (25) descrive l'interazionetra l'atomo-proiettile ed un atomo del dielttrico. Integrando su tutti gli atomidel dielettrico l'energia di interazione totale è pari a

U(d) = −N 23~cα2

4π

ˆ ∞−∞

dx

ˆ ∞−∞

dy

ˆ ∞−∞

dz (x2 + y2 + z2)−7/2 =

−N 23~cα2

4π(40)

1

d44πNα (26)

Usando la relazione di Clausius-Mosotti ,che permette di esprimere la costantedielettrica di un mezzo in funzione delle grandezze microscopiche ed elettromec-caniche che lo caratterizzano

α = (3

4πN)(ε− 1)

(ε+ 2)

con ε permittività elettrica, la (27) diventa

U(d) = − 69~c160πd4

α(ε− 1)

(ε+ 2)(27)

Si consideri ora il limite di parete conduttiva; il risultato può essere ottenutoconsiderando il limite ε→∞ nell'espressione (28). Quello che si ottiene è

U(d) = − 69~c160πd4

α (28)

Il risultato ottenuto è in buon accordo con la forza di Casimir -Polder che sitrova essere pari a:

U(d) = − 3~c8πd4

α

Allo stesso modo si può ottenere la forza per unità d'area tra due pareticonduttive integrando su ogni coppia di interazione interatomica per poi passareal limite ε→∞. Il risultato che si ottiene è il seguente:

F (d) = − 9 · 23

640π2

~cd4

(29)

espressione che è∼ 80% dell'espressione ottenuta da Casimir ( come si vedràapprofonditamente nella prossima sezione).

Il motivo per cui la (29) e la (30) non riproducono esattamente i risultatidi Casimir e Casimir-Polder risiede nell'assunzione fatta, ovvero il considerareadditiva l'interazione a coppia tra gli tomi. Infatti le forze di van der Waal sononon additive poichè l'interazione tra due atomi risente anche della presenza di unterzo . Tale problema fu risolto parzialmente da Lish�tz (1956) (come vedremo

13

nella sezione 3.1) . L'aspetto peculiare di questa teoria risiede nel fatto che ilcampo che media l'interazione tra due qualsiasi atomi si propaga attraverso ilmezzo formato da tutte le altre molecole e l'e�etto di queste altre molecole vieneincluso nell'indice di rifrazione.

Intrigato dalla semplicità del risultato raggiunto, Casimir decise di appro-fondire l'argomento spostando l'attenzione dallo studio dell'azione a distanzatra le molecole all'azione locale dei campi, chiedendosi cosa si otterrebbe seinvece di considerare due molecole si considerassero due specchi posti uno difronte all'altro nel vuoto. Arrivò così a predire l'esistenza di una forza attrat-tiva tra due lastre neutre parallele e perfettamente conduttrici, poste nel vuoto.L'aspetto interessante del risultato raggiunto era legato alla natura della forzastudiata, una forza di carattere quantistico ma in grado di avere manifestazionimacroscopiche.

Ci si concentrerà ora sulla trattazione della forza di Casimir che di fattopuò essere vista come un'estensione della forza di Casimir- Polder entro con�nimateriali data dal bilanciamento delle piccole �uttuazioni interne ed esterne cheglobalmente esercitano una pressione sulle piastre. Questa forza può inoltre es-sere vista come diretta conseguenza del con�namento tra due mezzi materiali delcampo elettromagnetico quantizzato che come si è visto è dotato di un'in�nitaenergia di punto zero.

Il fatto che il campo elettromagnetico quantizzato abbia energia in�nitaporterà a lavorare con serie divergenti ; a�nchè queste abbiano senso dal puntodi vista �sico, sarà necessario un processo di renormalization che attraversoarti�ci matematici permetta di arrivare a quantità �nite.

Nel seguito vedremo due diverse tecniche di normalizzazione: la prima fauso della funzione di cut-o� e dello sviluppo di Eulero-MacLaurin, mentre laseconda è fatta utilizzando la funzione zeta di Riemann.

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2.2 Derivazione geometrica di Casimir

Nel modello di Casimir si considerano due piastre neutre, perfettamente conduttrici,fra loro parallele e poste nel vuoto.

Per la dimostrazione terorica dell'e�etto si considera un cavità parallelepipedaledi lati Lx = Ly = L e Lz ≡ d le cui facce frontali sono due piastre di area L2 .Tale distanza, per scopi sperimentali, sarà fatta variare in modo tale da rilevarela variazione nell'energia di vuoto.

Si comincia col descrivere il campo elettromagnetico nello spazio vuoto all'internodella cavità tramite la Gauge di radiazione. Risolvendo l' equazione delle ondesi ottiene una soluzione del tipo

~A(~x, t) =1

(2π)3/2

ˆd3~k[~α(~k)ei(

~k·~x−ωt) + ~α∗(~k)ei(~k·~x−ωt)]

ovvero il potenziale vettore ~A(~x, t) sarà dato da una sovrapposizione in�nitadi onde piane trasversali del tipo

~α(~k, 0)ei(~k·~x−ωt) = ~α(~k, t)ei

~k·~x

Studiamo in dettaglio il sistema considerato. Gli assunti inizialmente fattiimpongono la trasversalità del campo elettrico e del campo magnetico e la sceltadella gauge di Coulomb (∇ · ~A = 0 e ϕ = 0) la impone anche per il potenzialevettore. Questo implica che le ampiezze delle onde devono essere perpendicolarialla direzione di propagazione, ovvero deve valere che

~k · ~A(~k) = 0

e quindi, esplicitando il prodotto scalare

~kx ~Ax + ~ky ~Ay + ~kz ~Az = 0

Inoltre la richiesta di perfetta conducibilità è soddisfatta se le componentitangenziali del campo elettrico si annullano sulle pareti del parallelepipedo sec-ondo la condizione di Dirichlet; ovviamente tale condizione riguarderà anche ilpotenziale vettore le cui componenti spaziali sono tali per cui

~A(~r) = Ax(r)x+Ay(r)y +Az(r)z

con

Ax(~

r) = ( 8V )

12αx cos(kxx) sin(kyy) sin(kzz)

Ay(r) = ( 8V )

12αy sin(kxx) cos(kyy) sin(kzz)

15

Az(r) = ( 8V )

12αz sin(kxx) sin(kyy) cos(kzz)

dove α2x + α2

y + α2z = 1 e con V = L2Lz volume del parallelepipedo. Deve

inoltre anche valere la condizione di normalizzazione per la quale´Vd3~r | ~A(~r) |2

= 1Per la presenza delle condizioni al contorno, le componenti del vettore d'onda

~k saranno quantizzate così che

~k = (nxπ ,

L,nyπ ,

L

nzπ

Lz) (30)

con nx, y, z = 0, 1, 2, ... e tale che k2 = k2x+k2y+k2z .La quantizzazione permette didire che se nx, y, z 6= 0 esistono due possibili polarizzazioni indipendenti, mentrese uno dei tre valori si annulla esiste un' unica direzione di polarizzazione

Poichè nel vuoto la frequenza angolare ha una dipendenza lineare dal numerod'onda k, dalla quantizzazione (31) discende il fatto che all'interno della cavitàsolo alcune frequenze saranno ammesse, quelle per cui

ω ~kn = c | ~kn |= πc

[n2xL2

+n2yL2

+n2zL2z

] 12

(31)

A questo punto è possibile scrivere l'energia di punto zero all'interno delvolume; questa sarà data dalla somma dei punti zero dei modi del campo, ognunodei quali caratterizzato dalla frequenza ω ~kn

〈E〉 =

′∑n

(2)1

2~ω~kn =

′∑nx, y, z

π~c

[n2xL2

+n2yL2

+n2zL2z

] 12

in cui il fattore 2 tiene conto delle due possibili polarizzazioni mentre l'apostrofoimplica il fattore 1/2 nel caso in cui si abbia un'unica polarizzazione. In questomodo, per ogni kisi hanno due di�erenti onde.

Si supponga di considerare le lastre conduttrici in�nitamente grandi, ovverosi facciano tendere all'in�nito le dimensioni delle super�ci laterali mantenendoinvariata la distanza d .In questa maniera i modi possibili nelle direzioni x ey diventano in�niti ;di fatto questo permette di passare dalle somme su nxenyagli opportuni integrali mentre i valori di nz saranno ancora discreti.

∑nx,y,z

→′∑nz

(L

π)2ˆ ˆ

d~kxd~ky

L'energia di punto zero in questa con�gurazione diventa:

E(d) =L2

π2~c

′∑nz

ˆ ∞0

d~kx

ˆ ∞0

d~ky(~k2x + ~k2y +n2zπ

2

d2)

12 (32)

quindi una quantità in�nita in un volume �nito.

16

Si considerino ora i parametri nx, ny,nz; osservando che i termini in x e ysono sommati in quadratura, è vantaggioso passare alle coordinate polari (x, θ)per cui x2 = k2x + k2y . Quindi ponendo n ≡ nz per facilità di notazione, siottiene la seguente forma sempli�cata per l'energia

E(d) = ~cL2

π2

π

2

ˆ ∞0

∞∑n=(0)1

√(nπ

d)2 + x2x dx (33)

,dove il termine π/2 è dovuto all'integrazione sulla parte angolare limitata-mente al primo quadrante e la quantità (0)1 indica che il termine con n = 0deve essere moltiplicato per 1/2.

E' facile vedere che la quantità data dalla (34) è in�nita poichè la serie divergeesponenzialmente e l'integrale diverge ancora più velocemente. Per risolvere taleinconveniente, Casimir sottrasse all'in�nita energia di vuoto in presenza dellepiastre l'energia del vuoto del campo elettromagnetico quantizzato nello spaziolibero di Minkowski, ovvero andò a considerare

δE(d) = E(d)− E(∞) (34)

Si noti che entrambe le quantità in�nite dovranno essere regolarizzate in modotale che dopo la sottrazione si arrivi ad un risultato �nito.

Per arrivare ad esprimere la (35), si considera la di�erenza di energia dipunto-zero tra due di�erenti con�gurazioni: una in cui d è dell'ordine di L/2el'altra in cui d è molto più piccolo.

Il signi�cato �sico di tale operazione è legato al fatto che nello spazio tra lepiastre possono esistere soltanto �uttuazioni con lunghezza d'onda tale da essereun sottomutiplo intero della distanza d tra le piastre; queste provocano unaspinta verso l'estreno. All'esterno, d'altra parte, esistono particelle libere, cioè�uttuazioni con lunghezza d'onda qualsiasi; essendo queste in numero maggiore,la spinta verso l'interno sarà decisamente più grande. La di�erenza che ne risultatenderà ad avvicinare le piastre (si vedrà infatti che in tale con�guarazione laforza di Casimir è attrattiva).

δE(d) = ~cL2

π2

∑n=(0)1

ˆ ∞0

√k2z + x2x dx−

ˆ ∞0

ˆ ∞0

ˆ ∞0

√k2z + x2x dx

((d

πdkz

)(35)

il primo termine corrisponde a piccoli (discreti) d mentre il secondo terminetratta d abbastanza grande da poter essere considerato continuo, passando cosìdall'operazione di somma a quella di integrale. Quanto scritto non è altro chel'energia per portare due piastre dall'in�nito ad una distanza d.

Per una risoluzione più agevole dell' integrale , si introduce la variabile

u = (dx

π)2

17

Dal cambio di variabile si ottiene la seguente espressione per la (36) chediventa

δE = ~cL2

π2

π

2

∑n=(0)1

ˆ ∞0

π

d

√n2 + u2

π2

2ddu−

ˆ ∞0

ˆ ∞0

π

d

√n2 + u

π2

2d2du dn

(36)

Sfortunatamente questa quantità è ancora divergente. Dal punto di vista �sicosi può aggirare tale di�coltà considerando il fatto che una piastra reale non puòri�ettere onde con frequenza arbitrariamente grande. Infatti, ogni conduttoreha una frequenza di plasma de�nita come segue

ω2p =

Nq2

meε0

Questa è la frequenza minima di oscillazione che gli elettroni possono sup-portare. Al di sotto di tale valore, il conduttore si comporta come un mezzoreattivo e ri�ette le onde elettromagnetiche. Al di sopra, gli elettroni sono ca-paci di oscillare in risonanza con le onde. Questo signi�ca che il conduttoreè e�ettivamente trasparente ai fotoni al di sopra di una certa frequenza, e lecondizioni a contorno non si mantengono più.

Per questo, si moltiplica il contributo dell' energia totale di ciascun modo kper una funzione regolatrice di cut− off così de�nita

f(k/km) =

1 se k � km

0 se k →∞1/2 se k = km

L'e�ettiva forma di f e il valore di kmpossono essere ottenuti fenomenologicam-nete anche se non sono di grande importanza nell'approssimazione �nale. La(37) diventa in quetso modo

δE = ~cL2 π2

4d3

∞∑n=(0)1

ˆ ∞0

√n2 + u f(π

√n2+u/kd)du−

ˆ ∞0

ˆ ∞0

√n2 + u f(π

√n2+u/dkm)du dn

(37)

Il problema della divergenza non è però ancora rimosso.Si noti però che questa complicazione si presenta anche in molti altri problemi

della meccanica quantistica ,sebbene questi descrivano delle osservabili �sicheper natura �nite. Esistono, però, delle tecniche matematiche che permettonodi lavorare in un intorno degli in�niti arrivando a utili predizioni che creanoun'e�ettiva corrispondenza tra matematica e realtà �sica: la regolarizzazione ela rinormalizzazione. Nel momento in cui si è introdotto f (k/km)è stato fatto unprimo step per la regolarizzazione che permetterà di passare da un'espressionein�nita ad una �nita.

18

E' però fondamentale arrivare ad un risultato che sia indipendente dai parametriusati per arrivare alla divergenza. Per esempio, si potrebbe considereare il limitedella frequenza di cut-o� all'in�nito dopo aver ottenuto una somma.

Tornando all'espressione (38) di δE e facendo un'ulteriore trasformazioneper cui w ≡ u+ n2 si ottiene

δE = ~cL2 π2

4d3

∞∑n=(0)1

ˆ ∞n2

√w f(π

√w/kmd)dw −

ˆ ∞0

ˆ ∞0

√w f(π

√w/dkm)dw dn

(38)

Questa espressione- la di�erenza tra una somma e un integrale - può essererisolta facendo uso dell' approssimazione diEulero −MacLaurin secondo laquale, in generale, si ha

ˆ N

0

f(x) dx−(N)∑

n=(0)1

f(n) =

p∑k=2

Bkk!

( f8k−1)(N)− f (k−1)(0) ) +R (39)

dove R è un termine di errore, Bk sono i numeri di Bernoulli (− 12 ,

16 , 0,

130 , 0,

142 , . . .).

Quest'ultimi hanno due proprietà fondamentali, utili nei calcoli qui che si stannoa�rontando :

• vale la de�nizione Bk = Bk(0);

• vale la relazione Bk = (−1)kBk(1);

• tutti i numeri dispari, fatta eccezione per B1, sono nulli;

Identi�cando come f(n) come l'integrale´∞0

√w f(π

√w/akm)dw, è possibile ri-

cavare il valore delle derivate che compaiono nella formula (2.2.5)

F (n) =´∞n2

√w f(π

√w/dkm)dw

F ′(n) = −2n2 f(πn/dkm)

F ′′(n) = −4nf(πn/dkm)− 2n2f ′(nπ/dkm)(

πdkm

)F ′′′(n) = −4f(nπ/dkm)− 8nf ′(nπ/dkm)

(πdkm

)− 2n2f” (nπ/dkm)

(πdkm

)2Tenendo conto dell' anadamento di f ( k

km) a 0 e ∞ si hanno come primi

termini

δE(d) = ~cL2 π2

4d3

[1

12(0− 0)− 1

720(0− (−4) + . . .

][Osservazione necessaria è che la formula usata valuta F (n) nello 0 e a ∞].La formula così ottenuta è l'ultimo passo della nostra regolarizzazione della

divergenza di δE. In questo modo l'energia ottenuta è �nita e non dipende dallafunzione di cut-o�. Solo nel momento in cui il sistema ha una frequenza vicina

19

a quella di cut-o�, la natura della funzione f diventa importante e possibilicorrezioni potrebbero essere richieste.

Andando a considerare i termini successivi dello sviluppo, compariranno

potenze crescenti di{

πdkm

}. Quando questo termine è piccolo - condizione che

si veri�ca quando la frequenza di cuto� del conduttore è su�cientemente grandeovvero non è dell'ordine delle dimensioni atomiche e se si suppone che tutte lederivate di f si annullano per k = 0- i termini successivi della serie potrannoessere trascurati in maniera tale da poter fare la seguente approssimazione

δE(d) ≈ −L2~cπ2

720d3

Se d varia lentamente e adiabaticamente, troviamo la pressione del gas difotoni virtuali legata al'energia dalla relazione

P (d) = −∂E(d)

∂d= −~c π2

240d4

Questa espressione spesso è riferita alla �forza di Casimir�per unità di area.

Si noti che nell'espressione compare il termine ~, cosa che evidenzia lanatura squisitamente quantistica del fenomeno. Infatti, se si volesse studiareil fenomeno classicamente , si nota che facendo il limite per ~→0 ( il che equiv-ale a considerare la situazione in cui ~ è trascurabile rispetto alle energie\tempiscala del sistema) l'e�etto Casimir è assente.

Figura 2.2.1. Due lastre parallele conduttrici nel vuoto. All'interno è consen-tito un numero discreto di oscillazioni, all'esterno un numero in�nito.

20

2.3 Una tecnica di normalizzazione: la zeta diRiemann.

�Divergent series are the invetion of the devil and it is shamefull

to base on the many demonstration whatsover� N.H Abel

Nel seguente paragrafo si a�ronta la trattazione della forza di Casimir me-diante un processo di rinormalizzazione e regolarizzazione più avanzato che fauso della funzionezeta diRiemann. Piuttosto che introdurre una frequenza dicut-o�, si cercherà di forzare la somma ad essere convergente dividendo per unapotenza di ω ordine s in modo tale da ottenere un integrale, rinormalizzandopoi il risultato col limite s → 0 in maniera tale da riportare il termine corret-tivo all'unità. Ovviamente il risultato �nale sarà uguale a quello ottenuto nellaprecedente sezione.

Si comincia riformulando la forma dell'energia media

〈E(d)〉 =~2

ˆ ∞−∞

ˆ ∞−∞

1

(2π)2

∞∑n=−∞

L2ωdkx dky

In questo caso si è tenuto conto della somma sulle due possibili polarizzazioniper k 6= 0 estendendo quindi la somma a −∞.

L'espressione regolarizzata è la seguente

〈E(d, s)〉 =~2

ˆ ∞−∞

ˆ ∞−∞

1

(2π)2

∞∑n=−∞

L2ω · ω−2sdkx dky (40)

Come fatto in precedenza, è utile passare alle coordinate polari (r, θ) limi-tandoci al primo quadrante. Ponendo poi y ≡

(rdnπ

)si ottiene

〈E(d, s)〉 =~c2π

ˆ ∞0

y(y2 + 1)1/2−s

∞∑n=−∞

L2

(nπ

d

)3−2s

(41)

Quanto scritto diverge per s → 0 ma converge per s ≥ 32 : Quello che si

vuole fare è stimare ogni espressione nel suo dominio di convergenza per poterpoi continuare analiticamente �no a s = 0.

Per prima cosa si tratta l'integrale che compare nell'espressione (2.3.1) ovvero

I(y) =

ˆ ∞0

y(y2 + 1)1/2−s

Facendo la sostituzione u ≡ y2 si ottiene

I(u) =1

2

ˆ ∞0

(u+ 1)1/2−sdu

21

Se si introducew ≡ u2 e si assume s > 3/2 in modo da garantire la conver-genza, si ottiene:

I(u) =1

2

(1

3/2− s

)w

3/2−s|∞1 = −1

2

(1

3/2− s

)Questa espressione può essere continuata analiticamente �no a −1/3 per s =

0. A questo punto, il problema iniziale dato dall'equazione (42) è stato ridotto,anche se rimane da valutare la sommatoria, cosa che di certo è meno triviale.Per il momento si ha:⟨

E(a, s)

⟩= −L2~c

π2

6a3

∞∑n=−∞

1

n2s−32s−3≡t

= −L2~cπ2

6a3

∞∑t=1

1

nt(42)

Di nuovo, l'ultima somma non è convergente,. A ben guardare però ,lasomma che compare nella (2.3.2) è la ben nota Riemann zeta function , ζ(t).

In generale questa ha la forma

ζ(s) =

∞∑n=1

n−s (43)

con la condizione Re(s) > 1. Per risolvere il problema in questione è neces-sario conoscere il valore di tale funzione in corrispondenza di t = 3 (condizionecorrispondente al caso s→ 0) . Se si usa la de�nizione della ζ(s) data nella (44),osservando il membro di destra questo valore evidentemente diverge. Tuttaviaè ben noto che esiste una funzione meromorfa con un polo semplice in t = −1che può essere ottenuta prolungando analiticamente il membro di destra a tuttoil piano complesso. Poichè la continuazione analitica è unica, l'espressione ot-tenuta è ben de�nita .

In questo semplice caso il valore desiderato può essere ottenuto dalla re-lazione di ri�essione per la quale

Γ(z

2)π−

z/2ζ(z) = Γ

(1− z

2

)π

(z−1)/2ζ(1− z)

dove Γ(z) è la funzione Gamma di Eulero presa per z = 4. In questa manierasi ottiene un valore �nito che sostituito nell'eq. (43) ci da' il risultato di seguitoriportato

ζ(−3) =1

120⇒⟨E

⟩= −L2~c

π2

720a3

E' necessaria però una precisazione: in questo caso la regolarizzazione ot-tenuta attraverso l'uso della funzione Zeta di Riemann è �nita nel piano s .Inrealtà questo è solo un caso particolare perchè vi sono situazioni molto più com-plesse in cui è necessario un ulteriore processo di rinormalizzazione poichè laregolarizzazione potrebbe portare ad un risultato non �nito.

Esistono, fortunatamante, anche altre tecniche che permettono di risolverequesti problemi, come per esempio l'ultilizzo di una funzione di Green che de-scrive la suscettività del campo elettromagnetico in maniera statica. Un'altra

22

tecnica prevede di identi�care la zeta di Riemann come un integrale sopra aduna funzione nota come heat kernel .

2.4 L'approccio di Milonni

Già più volte si è ricordato che l'e�etto Casimir è dato dalla pressione esercitatadalle �uttuazioni di vuoto dei fotoni virtuali sulle super�ci conduttrici. Ma sipuò osservare il fenomeno da un altro punto di vista e dire che la forza Casimirè data dalla ri�essione di queste particelle virtuali sulle lastre.

Figura 2.3.1. La forza di Casimir vista come e�etto della pressione dei fotonivirtuali che popolano il vuoto su due lastre conduttrici.

Quando un'onda di frequenza ω incide normalmente su una super�cie perfetta-mente conduttrice esercita una pressione

pωn = ~| ~k |j (44)

dove:

• ~ | ~k | è la quantità di moto del fotone virtuale incidente

• j è la denistà di corrente particelle tale che j = cρ = cV con ρ densità di

fotoni

La (45) diventa quindi

pωn =c~|~k|V

23

In generale se l'angolo di incidenza θ 6= π/2, la pressione esercitata sulle lastreè pari a

pωn = pωn cos2 θ

Figura 2.3.2. Incidenza di un fotone virtuale sulla super�cie conduttrice

La pressione netta che agisce sulle lastre sarà data dalla di�erenza tra la pres-sione esterna e quella interna esercitata dai modi di punto zero.

Per ottenere la pressione sulle superfici esterne si può passare ad un insiemedi frequenze con componenti del vettore d'onda kxe ky continue. Trascurandola polarizzazione, si fa di fatto il seguente passaggio∑

nx,y,z

→∑nz

(L

π)2ˆ ˆ

d ~kxd ~ky

Tenendo conto del fatto che cos2(θ) = k2x

k2 e che V = L2d e ricordando leespressioni (31) e (32) si ottiene che

pout =~cπ2a

∑nz

ˆ ∞0

d ~kx

ˆ ∞0

d ~ky(nzπ/d)2√

~k2x + ~k2y + (nπ/d)2(45)

Con un analogo ragionamento si ottiene la pressione interna, se si immaginadi rendere in�nite le tre dimensioni del sistema in modo tale da poter passareda un'operazione di somma ad una di integrale. In questo modo si ottiene

pin =~cπ3

ˆ ∞0

d ~kx

ˆ ∞0

d~ky

ˆ ∞0

d~kz(~kz)

2√~k2x + ~k2y + ~kz2

(46)

A questo punto si può procedere a calcolare la di�erenza tra le due quantitàappena trovate; come nel caso trattato nella sezione (2.2) si ottiene una dif-ferenza tra due in�niti la cui convergenza è garantita dallo sviluppo in serie di

24

Eulero-MacLaurin .In questo modo si arriva al seguente risultato:

pin − pout = − π2~c240a4

Il segno negativo può essere intuitivamente legato al fatto che 1a pressioneestrena è maggiore di quella interna, perchè l'in�nità di frequenze consentiteall'esterno è di ordine maggire rispetto a quelle permesse all'interno delle lastre.

A conclusione di questo paragrafo, si può dare un stima numerica della forzaderivata. Se si considera la distanza d dell'ordine di 1 µm tra due piastre diarea pari a 1× 1 cm, si ottiene F (a) = 1.3× 10−7N .

La forza inoltre non dipende dalla massa delle piastre nè dalla loro carica;invece, forte è la dipendenza dalla geometria del sistema essendo l'e�etto nonaltro che la manifestazione macroscopica delle condizioni al contorno imposteall'energua di punto zero dai con�ni materiali del sistema. Nello spazio libero,infatti, dove le �uttuazioni di vuoto sono isotropiche, l'e�etto Casimir non hamodo di veri�carsi.

La scelta della geometria del sistema risulta fondamentale se consideriamol'aspetto puramente sperimentale. Date le ingenti di�coltà pratiche nel man-tenere il perfetto parallelismo tra le piastre, spesso è più comodo utilizzareun sistema costituito da una piastra piana e una sfera (in questo modo fucondotto il celebre esperimento di Lamoreaux). Questo è possibile grazie alProximity force theorem che permette di vedere la sfera in termini di piccolisegmenti piani con appropriata area. In questo modo la forza può essere scrittacosì

F (d) = 2πR (π2~c

3 · 240d3)

con R raggio della sfera.Un altro esempio interessante è l'utilizzo della shell sferica ,studiata da

Boyer. Egli seguì la strada di Casimir anche se in questo caso l'espressionecompleta dell'energia passa attraverso le funzioni di Bessel e integrali complessidi funzioni trigonometriche.

Tuttavia, Boyer trovò che l'approssimazione per l'energia di vuoto della shellconverge rapidamente al valore

〈E〉 ≈ +0.09~c2a

Si noti che in questa con�gurazione l' energia ha segno positivo e quindi èrepulsiva. Quindi una shell conduttrice sferica tende ad espandere. Sono diversele interpretazioni di questo fenomeno che si possono dare; per esempio l'energiapositiva del vuoto potrebbe essere considerata come un e�etto di una densità dimodi più alta permessa dalle sferiche di Bessel.

25

3 Capitolo 3 Correzioni per i mezzi reali

La storia sperimentale dell'e�etto Casimir inizia circa un decennio dopo la suaformulazione teorica anche se bisognerà aspettare ben più tempo prima di ot-tenere risultati soddisfacenti. Sin da subito emerserono i requisisti necessariper una buona misurazione del fenomeno. Per esempio, Sparnaay trovò che eranecessario avere:

• piastre pulite e completamente libere da impurità chimiche e particelle dipolvere

• misure precise e riproducibili tra le due super�ci che dovranno essere per-fettamente parallele ( le prime prove mostrarono come fossero necessariangoli minori di 10−4rad tra piastre di 1cm2)

• piccole cariche elettrostatiche sulle super�ci e piccole di�erenze di poten-ziale. Inoltre una misura del potenziale elettrostatico residuo è necessariadata la presenza del particelle di polvere

• un' adeguata scelta di materiali da utilizzare e della geometria più adatta(si ricordi che la forza può addirittura cambiare segno considerando diversecon�gurazioni)

I problemi che si incontrano nella veri�ca sperimentale sono dovuti non soloall'estrema sensibilità richiesta dagli ordini di grandezza in gioco ma sono legatiall' inevitabile non idealità dei sistemi usati in laboratorio. In particolare, glispecchi reali ri�ettono molto bene alcune frequenze mentre altre meno. Inoltre,tutti gli specchi diventano trasparenti a frequenze molto alte. Quindi nel mo-mento in cui si va a calcolare la forza di Casimir sarà necessario tenere contodella dipendenza del coe�ciente di ri�essione dalla frequenza -osservazioni dicui si occuparono personaggi come Lishitz e Schwinger.

26

3.1 Correzione dovuta alla conduttività �nita.

Figura 4: Schematizzazione delle assunzioni di Lish�tz.

Finora è stato considerato il caso della forza attrattiva tra due pistre paral-lele perfettamente conduttrici. Nelle situazione sperimentale non è però lecitoassumere tale sempli�cazione che porterebbe ad una situazione irreale. Nellatrattazione è necessario tenere conto anche delle proprietà che i mezzi dielettricihanno. Lifshitz fu in grado di sviluppare una teoria che spiegasse la forza tradielettrici e il suo risultato si riduce a quello già visto ottenuto da Casimir nellimite di conduttore perfetto.

Si consideri il caso di un mezzo con una costante dielettrica ε3(ω) contenutofra due mezzi semi-in�niti di costante dielettrica ε1(ω) e ε2(ω) . Lo scopo ècalcolare la forza per unità di area a partire dall'energia totale di punto zerodei modi che sono permessi in questa situazione. Questi saranno le possibilisoluzioni delle equazioni di Maxwell non nel vuoto:

27

∇ · ~D = 0

∇× ~E = − 1c∂ ~B∂t

∇ · ~B = 0

∇× ~D = 1c∂ ~D∂t

avendo assunto che il mezzo è isotropo, con una permeabilità magnetica µ =1 e densità di carica nulla in modo tale che ~D(~r, t) = ε(ω) ~E(~r, t). Ovviamente ènecessario considerare anche condizioni a contorno adeguate. Supponiamo chele soluzioni siano nella forma

~E(~r, t) = ~E0(~r, t)e−iωt

~B(~r, t) = ~B0(~r, t)e−iωt

in maniera tale che in ogni regione ∇ · ~E0 = 0 e ∇ · ~B0 = 0 e

∇2 ~E0 +ω2

c2ε(ω) ~E0 = 0

∇2 ~B0 +ω2

c2ε(ω) ~B0 = 0

Dovranno valere le seguenti condizioni:

1. la componente normale di ~D ( = ε ~E) deve essere continua

2. la componente tangenziale di ~E deve essere continua

3. la componente normale di ~B(= ~H) deve essere continua

4. la componente tangenziale di ~Bdeve essere continua

A questo punto si assumano le soluzioni nella forma

~E0(~r) = [ex(z)x+ ey(z)y + ez(z)z] ei(kxx+kyy)

~B0(~r) = [bx(z)x+ by(z)y + bz(z)z] ei(kxx+kyy)

In questo modo valgono le relazioni

d2exdz2

−K2ex = 0

d2bxdz2

−K2bx = 0

e analoghe per le componenti y e z. Si ha ovviamente che K2 = k2x + k2y −ω2

c2 ε(ω).

28

Si assuma ε(ω) reale in tutti e tre i mezzi e si scelga un sistema di riferimento

ad hoc in cui ky = 0 per cui K2 = kx − ε(ω)ω2

c2

Il fatto che ∇ · ~E0 = 0 implica che ikex + dezdz = 0 e dalla seconda equazione

di Maxwell si ha∇× ~E0 = i

ω

c~B0

che ammette come soluzione

~B0(~r) =

[ic

ω

deydz

x− c

ω(idezdz

+ kez)y +c

ωkey z

]eikx

Analoga cosa si ottiene considerando ∇ · ~B0 = 0 .

Poichè kez + idexdz = 1k ε(ω)ω

2

c2 ez allora le condizioni saranno soddisfatte se:

• (a) ε(ω)ez(z) edexdz sono continue

• (b) ey edeydz sono continue

Poichè dezdz −K

2ez = 0 con K2j = k2 − εj(ω)ω

2

c2 in ogni regione, si ha

ez(z) =

Ae−k1z z < 0

Be−k3z + Ce−k3z

De−k2z z > 0

Tenedo conto delle condizioni a contorno (a) e (b) otteniamo due diversisistemi i quali ammetteranno soluzione non banale solo se il determinante dellerispettive matrici dei coe�cienti risulta uguale a zero.

In questo modo si ottengono due equazioni indipendenti:

(a)→ ε3K1 + ε1K3

ε3K −1 ε1K3· ε3K2 + ε2K3

ε3K2 − ε2K3e2K3d − 1 = 0 (47)

(b)→ K1 +K3

−K3 +K1· K2 +K3

K2 −K3e2K3d − 1 = 0 (48)

Dalle condizioni a contorno di fatto si ottengono le condizioni per i modipermessi ωn, che sono di deu �tipi� possibili

. Quindi l'energia totale di punto zero sarà data dalla somma sulle duediverse classi di modi ,ovvero:

E(d) =∑n

1

2~ωna +

∑n

1

2~ωnb (49)

Poichè kxe kypossono essere considerati continui si potrà fare il seguentepassaggio ∑

x

→ (L

2π)2ˆdkx

ˆdky

∑N

= (L

2π)2ˆ

2πkdk∑N

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dove con L si indica la lunghezza dei lati x e y della scatola e mentre Ndenota la somma sulle soluzioni (48) e (49). Quindi la (50) diventa

E(d) =~L2

4π

ˆ ∞o

dk k[∑N

ωNa(k) +∑N

ωNb(k)]

Per valutare queste due sommatorie si può usare il teorema degli zeri ilquale a�erma che

1

2πi

˛

c

zf ′(z)

f(z)dz = [

∑i

zi]f(zi)=0 − [∑i

zi]f(zi)=∞ (50)

Dette Fα(ω), con α = a, b il membro di sinistra della (50) si ha∑N

ωNα(k) = somma degli zeri di Fα

I poli di Fα, non si trovano lungo i bordi e quindi non dipendono da d ,quindine possiamo trascurare il contributo : Quindi l'equazione (50) diventa

1

2πi

˛C

ωF′

α(ω)

Fα(ω)dω =

∑N

ωNα(k)− (termini indipendenti da d)

Gli ωNα(k) di interesse sono quelli positivi e reali. Quindi la curva chiusaC sulla quale si integra è de�nita dall'asse immaginario del piano complesso ωe da un semicerchio che si chiude nella parte positiva con un raggio che si puòestendere all'in�nito. Poichè i termini indipendenti da d non contribuisco allaforza avremo semplicemente:

E(d) =~L2

4π

1

2πi

ˆ ∞o

dk k[

˛C

ωF′

a(ω)

Fa(ω)dω +

˛C

ωF′

b(ω)

Fb(ω)dω] (51)

Ognuno dei due integrali può essere scritto come una parte lungo l'asseimmaginario e una parte sul semicerchio in�nito; ma questo secondo integralenon dipende da d e quindi non dà un contributo interessante. Quindi ,sull'asseimmaginario, avremo:

ˆ −∞∞

iξ1

Fα(iξ)

∂Fα(iξ)

d(iξ)idξ = −i

ˆ −∞∞

ξG′

α(ξ)

Gα(ξ)dξ = −i

ˆ −∞∞

ξd

dξlogGα(ξ)dξ = i

ˆ ∞−∞

logGα(ξ)dξ

dove Gα(ξ) ≡ Fα(iξ)Tendendo conto di ciò l'energia data dalla (51) diventa

E(d) =~L2

8π2

ˆ ∞0

dk k

[ˆ ∞−∞

logGa(ξ)dξ +

ˆ ∞−∞

logGb(ξ)dξ

]+(termini indipendent da d)

A questo punto la forza sarà pari a:

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F (d) = −∂E(d)

∂d

Per svolgere la derivata bisogna tenere conto delle espressioni delleGα otteni-

bili a partire dalle (48) e (49) (in questo caso εj = εj(iξ) e K2 = k2 + εj(iξ)

ξ2

c2 ).

Si ottiene che ∂Gα(ξ)∂d = 2K3(Gα + 1). Questo permette di trovare

∂

∂d

ˆ ∞−∞

logGα(ξ)dξ =

ˆ ∞−∞

∂

∂dlogGa(ξ) dξ = 2

ˆ ∞−∞

dξ K3 + 2

ˆ ∞−∞

dξK3

Gα(ξ)

Il primo termine non dipende dalla presenza del dielettrico e quindi non ècollegato alla forza tra le piastre. Quindi la forza per unità d'area è

F (d) = − ~8π2

ˆ ∞0

dk k

ˆ ∞−∞

dξ2K3[1

Ga(ξ)+

1

Gb(ξ)]

Sfruttando il fatto che l'integranda di sinistra è pari si ottiene

F (d) = − ~2π2

ˆ ∞0

dk k

ˆ ∞0

dξK3[1

Ga(ξ)+

1

Gb(ξ)] (52)

Se si sostituiscono le espressioni delleGα(ξ) ,si ottiene la seguente espressioneper la forza:

F (d) = − ~2π2

ˆ ∞0

dk k

ˆ ∞0

dξK3[{ ε3K1 + ε1K3

ε3K −1 ε1K3· ε3K2 + ε2K3

ε3K2 − ε2K3e2K3d − 1}−1+

+{K1 +K3

K −1 K3· K2 +K3

K2 −K3e2K3d − 1}−1]

In realtà per confrontare il risultato raggiunto con quello ottenuto da Lifshitzsarebbe necessario introdurre una variabile p tale che

k2 = ε3ξ2

c2(p2 − 1)

s21,2 = p2 − 1 +ε1,2ε3

Nel caso in cui tra i dielettrici vi sia il vuoto ε3 = 1

F (d) = − ~2π2c3

ˆ ∞1

dp p2ˆ ∞0

dξ ξ3 [{s1 + pε1s1 − pε1

· s2 + pε2s2 − pε2

· e2ξpd/c − 1}−1+

+{s1 + p

s1 − p· s2 + p

s2 − p· e2ξpd/c − 1}−1] (53)

Per ε→∞ si ottiene proprio la forza di Casimir. Inoltre, questo mostra chequando non si tiene conto dei contributi additivi delle forze di van der Waals,

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la forza di Casimir appare semplicemente come una forza tra pareti dielettrichenel limite sopra detto.

Figura 3.1.2. La �gura rappresenta i termini correttivi alla forza Casimi dovutialla conduttività �nita delle piastre. La linea continua rappresenta i risul-tati ottenuti tramite metedi computazionali mentre la linea tratteggiatamostra lo stesso risultato ottenuto tramite la teoria delle perturbazioni.La geometria del sistema è del tipo piastra piana- sfera rispettivamentefatte in alluminio e oro.

3.2 Correzione termica

Nella derivazione originale dell'e�etto Casimir si è assunto che il sistema sitrovi allo zero assoluto. In realtà, considerando il sistema in laboratorio sarànecessario introdurre dei termini correttivi dovuti al fatto che se il sistema sitrova all'equilibrio termico, il campo presenta una �uttuazione termica attornoal suo valore di aspettazione, la quale va a contribuire all'energia e all' entropiadel sistema. I possibili livelli energetici , ad una temperatura �nita T sarannodati dallo spettro di Planck

En =

(n(ω) +

1

2

)~ω , dove n(ω) =

1

e~ωkBT − 1

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Perciò,nel computo della forza di Casimir sarà necessario considerare an-che gli e�etti termodinamici dovuti alla pressione di radiazione all'interno dellacavità.

Se consideriamo la pressione di vuoto trovata da Casimir

FTc (d) = − kBT4πd3

n∑n=0

ˆ ∞nx

y2dy

ey − 1x ≡ 4πkBTd

~c

si trovano due andamenti diversi a seconda della Temperatura, ovvero si ha:{FTc (d) ' − π2~c

240d4 a bassa T (x� 1)

FTc (d) w − ζ(3)kBT4πd3 ad alte T (x� 1)

Da questi risultati si nota che la dipenza dalla distanza va come 1/a4 a bassetemperature mentre va come 1/a3 alle alte temperature.

Ciò che permette di distinguere le due di�erenti situazioni è il parametroadimensionale x. Inoltre, è interessante sottolineare il fatto che considerare altetemperature vuol dire considerare una maggiore distanza tra i piatti; viceversaper le basse temperature. Quindi ad una qualsiasi temperatura la legge chegoverna la pressione del vuoto dipenderà dalla distanza tra i piatti.

I termini correttivi dovuti agli e�etti termici a T 6= 0 K possono essereottenuti anche considerando la forma esplicita della forza prima derivata e data

dalla (54). Dopo averla moltiplicata per il fattore(n(ω)+ 1

2 )12

, sarà conveniente

fare la sostituzione ω → iξ e di nuovo moltiplicare per coth( ~ω2kBT

). In questomodo, dopo passaggi di integrazione si arriva alle formule dette.

33

Figura 3.2.1. La �gura rappresenta i termini correttivi alla forza Casimirdovuti algli e�etti termici. La linea continua rappresenta i risultati ot-tenuti tramite metodi computazionali,la linea tratteggiata mostra lo stessorisultato ottenuto tramite la teoria delle perturbazioni e la linea pun-teggiata rappresenta il risultato teorico. Anche in questo caso la geometriadel sistema è del tipo piastra piana- sfera rispettivimente fatte di alluminioe oro.

A conclusione di questo discorso, si deve sottolineare che è necessario tenereconto di come �interragiscono� tali correzioni; di questo fatto si occuparonoscienziati come Genet, Lambrecht e Teynaud i quali si numericamente calco-larono questi termini arrivando a capire4 che le �uttuazioni del campo termicoper i metalli usati più frequentemente in laboratorio diventano apprezzabili atemperauta ambiente per distanze di pochi µm. Furono suggeriti quindi terminicorrettivi che permetessero di tenere in considerazione sia la conduttività �nitadelle piastre utilizzate che degli e�etti termici. Rispettivamente questi sono datida:

ηPF =F p

FCas, ηTF =

FT

FCas

Inoltre per trattare il problema della conduttività, dal punto di vista stret-tamente sperimentale, essi considerarono ogni piastra come un identico specchiocon un largo spessore ottico, in maniera tale che le condizioni a contorno cor-rispondessero ad una semplice transizione vuoto-metallo, con comportamentori�ettente determinato dall'oscillazione degli elettroni nel metallo , con una fre-quenza di plasma ben nota.

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Il modello così elaboratoto è però inaccurato per distanze molto piccole; fuquindi necessario intridurre nella trattazione del fenomeno una funzione dielettricain grado di dare una risposta in termini di frequenze spazio-temporali.

Ricapitolando si ha che:

• le correzioni termiche, che a temperature ambiente sono tanto più piccolequando a < 1µm, crescono monotonamente con la distanza così che peruna distanza di qualche micrometro torna a dominare la forza di Casimirche si ha allo zero assoluto .

• se a > 10µm le correzioni alla conduttività �nita sono più piccole dellecorrezioni termiche.

• per a ≈ 1µm diventano apprezzabili le correzioni dovute alla ruvidezzadella super�cie (non trattate in questa sezione) le quali decrescono rapi-damente per grandi distanze.

In�ne si sottolinei il fatto che, �no ad oggi, nessun esperimento ha avuto unaprecisone tale da riuscire a misurare i contributi dovuti alle correzioni termiche. La ragione si ciò è che l'errore relativo cresce velocemente con l'aumentaredella distanza. Per questo motivo solo altre correzioni sono state apprezzate.

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4 Capitolo 4 I futuri sviluppi dell'e�etto Casimir

Una della manifestazioni più interessanti dell'energia di punto zero del campoquantizzato è l'e�etto Casimir. Grazie a questo e agli esperimenti condotti sudi esso si è potuto a�ermare l'idea che il campo elettromagnetico di punto zeronon sia un artefatto della meccanica quantistica ma un entità con implicazioniriguardanti molti campi della �sica.

Fino ad ora però si è parlato solo dell'e�etto Casimir statico; negli ul-timi tempi è diventato di grande interesse anche l'aspetto dinamico di questofenomeno. Un gruppo di scienzati svedesi sostiene di essere riuscito a generareuna luce in uno spazio quantistico tramite circuiti speciali chiamati SQUID (Su-perconducting Quantum Interference Device) con i quali è stato possibile variarela velocità con cui viaggiano i fotoni (si varia, cioè, l' indice di rifrazione). Questosistema può essere pensato come uno specchio: se il suo spessore cambia abbas-tanza rapidamente , i fotoni virtulai che vengono ri�essi possono incamerare en-ergia su�ciente per trasformarsi in fotoni reali durante il rimbalzo. Misurando leproprietà di un fotone, gli scienziati potrebbero conoscere esattamente anche leproprietà della sua controparte, ovunque sia nell'universo; quindi i fotoni entan-gled generati dall'apparato sperimentale possono essere usati come base per unanuova forma di calcolo quantistico, noto come elaborazione dell'informazionequantistica a variabile continua.

Se poi nell'universo vi fossero enormi quantità di energia di punto zero sipotrebbe pensare di generare forze repulsive o estrerne enormi quantità di ener-gia andando a manipolare l'inerzia e la gravità apportando dei notevoli miglio-ramenti anche nel campo delle esplorazioni interstellari. Non solo, questo per-metterebbe anche di rispondere ad alcuni quesiti fondamentali( in che modo ilcampo gravitazionale produce una forza? Perchè nelle equazioni di Newton laforza è data dal prodotto di massa per l'accelerazione?)

Le risposte potrebbero essere trovate nell'interazione del campo elettromag-netico del vuoto quantico con le particelle elementari, quarks ed elettroni, cos-tituenti della materia. L'energia di punto zero potrebbe produrre un �usso diRindler che sarebbe responsabile della creazione di una forza di reazione inerzialee del peso.

Secondo la meccanica stocastica il campo elettromagnetico di punto zeroè rappresentato da un'onda. Se essa si propaga lungo la geodetica, allora èin grado di generare un �usso di Rindler, che agendo su un oggetto posto inprossimità di un campo gravitazionale, viene percepito come forza peso. Sel'oggetto viene accelarato dal �usso stesso, mai in uno spazio libero, allora per-cepisce una forza inerziale coincidente con quella gravitazionale, il che costi-tuirebbe una spiegazione del principio di equivalenza debole.

Questo concetto potrebbe rivoluzionare la visione della �sica classica e nonsolo. In quest'ottica, infatti, l'equazione del moto di Newton potrebbe essere

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derivata dalle equazioni di Maxwell e quindi l'inerzia risulterebbe essere unaconseguenza delle forza elettromagnetico e non più una proprietà innata dellamateria. Anche la relazione trovata da Einstein tra massa ed energia E = mc2,come grandezze equivalenti potrebbe in realtà rappresentare l'energia che le�uttuazioni del vuoto inducono sulle particelle elementari e un accumulo di taleenergia costituirebbe la massa di tale oggetto.

Grande anche l'interesse cosmologico soprattuto per quanto concerne la dif-ferenza tra il valore sperimentale e quello teorico della costante cosmologica,introdotta da Einstein per avere una soluzione omogenea delle equazioni di Ein-stein in presenza di materia e in un universo statico. Secondo alcuni teoriciil valore di tale costante può essere interpretato come misura dell' energia delvuoto.

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Bibliogra�a

[1] Peter W. Milonni, Mei Li Shih , Casimir forces, Contemporary Physics,volume 33, pages 313-322.

[2] H. B. G Casimir ,On the attraction between two perfectly conducting plates.Nederland (1948).

[3] G. Rajalakshmi, Torsion balance investigation on the Casimir effect,Indian Institute of astrophysics.

[4] M. Bordag, U. Mohideen, V.M. Mostepanenko, New developments in Casimir effect,Physics Reports 353 (2001).

[5] K. Kingsbury,A Comprehensive Exercise : the Casimir Effect , Ver-sion 3 (2009).

[6] K. A. Milton, The Casimir Effect : Physical Manifestations of Zero−Point Energy, World Scienti�c (2001).

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Ringraziamenti

Giunta ormai al termine di questo lavoro, mi sento pronta a ringraziare le per-sone che mi sono state vicino non solo in questi mesi ma in questi tre anni. Nonnego che dietro a queste lunghe righe ci si sono state altrettante acide lacrime.

Il primo ringraziamento va ai miei genitori, Sergio e Roberta che mi hannosempre raccolto nei punti bassi dei miei umori tirandomi una corda che so essereper sempre. Ringrazio loro che hanno sempre saputo ridarmi la terra sotto aipiedi non appena la strada mi appariva troppo piena di curve e senza uscita,loro che sono un motivo per non abbandonare, tirare su la testa e le spalle.

Ringrazio poi la Professoressa Marta Orselli sempre pronta a consigliarmi.Grazie per la disponibilità, per la gentilezza, per la chiarezza nelle spiegazioniper la comprensione.

Ringrazio le mie due nonne, Ada, per la dolcezza di uno sguardo sempreattento e interessato , mosso da quella curiosità che è di�cile trovare in uninterlocutore, e Margherita, sempre in giro in sella alla sua vecchia bicicletta.

Vorrei poi ringraziare i miei due nonni che non sono riusciti ad aspettarmi.Sono Armando e Renato e a loro dedico questo primo successo con tutta lamodestia che proprio loro mi hanno insegnato.

Ringrazio poi Riccardo pronto a ascoltare le mie paure prima degli esami, adarmi una spalla per le mie lacrime anzichè un semplice fazzoletto, a riprendermidurante le fughe con quella severità necessaria a certi gesti infantili.

Ringrazio i miei compagni di studio perchè mi hanno saputo aspettare nonos-tante io partissi da un paio di scalini più in basso. Anche gli altri con i quali hoforse legato meno, sempre per non essere il bue malandato del carro.

Ringrazio poi le mie coinquiline, passate e presenti, anche se poi questoringrazimento si interseca con quello che rivolgo alle mie amiche. Chiara,Rossana, Caterina, Viola con voi ho vissuto tutte le esperienze richieste dallaprima convivenza, le bollette arretrate, le feste a rischio, la domenica sera primadi un esame, i pranzi arrangiati della settimana, gli strani rimedi di casa, il pel-legrinaggio nelle varie aule studio, le angosce della quotidianeità, le silenzioserivolte, (lo spazzolino ,addirittura!!!!!).

Ringrazio Domitilla che con la sua iperattività mi ha sempre smosso dandomiun certezza che sa andare al di là dei kilometri. E poi Valentina, il mio porto,il mio rifugio, la mia certezza, la mia amica di mooseca e concerti, di lacrime econ�denze, di dubbi e incertezze.

E poi ancora quelle amiche che ti porti dalle medie e che anche se non vedisempre sai che ci sono, in un angolo poi neanche tanto remoto: Desirèe, Chiara,Lucia.

Ringrazio in�ne gli Zen Circus. Già, forse è un ringraziamento che si perdenel vento ma necessario per tutte le righe battute qua a questo computer assiemealle loro note, per me ritmo incessante e incoraggiante. La batteria di Karim si èsempre sostituita alla paura delle scadenze e del fallimento, le parole di Appinosono sempre state fedeli compagne della mia solitudine e dei miei pensieri cupi,il basso di Ufo legava il tutto. A dir la verità ringrazio le batterie di tutt le

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canzoni che passano nei miei auricolari per aver cacciato via tutti gli attimi didepressione.

Ringrazio Alessio, che col suo sorriso ,con il suo spirito, le sue canzoni puntalie precise, i suoi occhi piccoli e brillanti mi ha sempre illuminato, mandando viaquell'inquietudine che solo lui sa capire e aprendomi gli occhi ovattati dallaprovincia.

Ringrazio poi X che c'è stato nell'ombra �nchè ha potuto resistere: sarebbesempre necessario avere nella propria vita una persona che permetta di staccaree cambiare per almeno una sera la realtà , dimenticando tutte le facce grigiedella giornata. In un anno sono cresciuta con te ma le divergenze dei pensieri edell'agire non si possono rinormalizzare come in matematica.

E per �ne ringrazio tutti quelli che non ho citato direttamente ma che cisono stati in maniera tanto leggera quanto fondamentale: Giacomo S, i Micheli,Simone, gli zii Franco e Tiziana, �Dottoressa�, Matteo, Giacomo F ,la Lola.

Nec spe, nec metu.

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