8/18/2019 Legge Della Conservazione Della Massa (Fisica)

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Legge della conservazione della massa (fisica)

La legge della conservazione della massa  è una legge

fisica della meccanica classica, che prende origine dal co-

siddetto postulato fondamentale di Lavoisier, che è il

seguente:

1 Formulazione lagrangiana

Il postulato di Lavoisier può essere espresso dal punto di

vista lagrangiano affermando che:

In questo caso dunque facendo uso della   notazione di

Newton:

ṁ =  d

d t

 V   (t)

ρ dr3 = 0

Per inciso si noti che la   derivata totale   temporale:d

d t

∫ V   ρ d r3̸ =

∫ V  

d ρd t

 d r3 ,

infatti la densità può variare localmente:   d ρd t

 ̸ = 0   ,ma conformemente al teorema del trasporto di Reynolds

questa variazione è vincolata:

d

d t

 V   (t)

ρ dr3 =

 V   (t)

d ρ

d t  + ρ∇ · ⟨v̄⟩ = 0

 V  

ρ̇ d r3 +

 V  

ρ∇ · ⟨v̄⟩ d r3 = 0

Per la integrazione per parti:

 

V  

ρ̇ d r3+ρ

 

V  

∇·⟨v̄⟩ d r3−

 

V  

d ρ

d r3

 

V  

∇·⟨v̄⟩ d r3 d r3 = 0

e per il teorema della divergenza:

 V  

ρ̇ d r3+ρ

 ∂V  

⟨v̄⟩·d  r̄2−

 V  

d ρ

d r3

 ∂V  

⟨v̄⟩·d  r̄2 d r3 = 0

Come caso particolare, se la velocità media non ha flusso

netto alla frontiera:

 ∂V  

⟨v̄⟩ · d  r̄2 = 0  →

 V  

d

d tρ  d r3 = 0

Tutte forme precedenti richiedono solo l'integrabilità spa-

ziale di densità e velocità potendo essere discontinue.

Invece solo se in particolare le funzioni sono  continue

nel dominio spaziale considerato, possiamo passare alla

forma locale:

d ρ

d t  + ρ∇ · ⟨v̄⟩ = 0

Il primo termine è il  termine convettivo  e rappresenta

il trasporto della densità lungo la traiettoria, il secondo è

conduttivo.

2 Formulazione euleriana

Iniziamo riferendoci ad un volume invariante nel tempo

(detto perciò di controllo)  V    : avremo che la variazione

della massa contenuta al suo interno sarà pari alla sola

componente che attraversa la sua frontiera poiché non v'è

generazione né distruzione al suo interno:

∂m

∂t

  + I m = 0

dalla definizione di densità e di densità di corrente per la

massa possiamo riesprimere la precedente come:

∂ 

∂t

 V  

ρ  d r3 +

 ∂V  

ρ⟨v̄⟩ · d  r̄2 = 0

dove ⟨v̄⟩ è il vettore della velocità media o macroscopicae d  r̄2 ha modulo pari alla superficie e versore normalealla superficie con verso uscente dal volume.

In questo caso compaiono i flussi entranti ed uscenti dal

volume di controllo. Applicando il  teorema della diver-

genza possiamo scrivere i flussi come integrali di volume

e rendere l'equazione più omogenea:

 ∂V  

ρ⟨v̄⟩ · d  r̄2 =

 V  

∇ · (ρ⟨v̄⟩)  d r3

inoltre la variazione della massa all'interno di tutto il

volume di controllo equivale all'integrale delle variazio-

ni all'interno di ogni suo differenziale dato che questo

differenziale non passerà mai attraverso la frontiera ma

rimarrà dentro o fuori per sempre:

∂ 

∂t

 V  

ρ  d r3 =

 V  

∂ρ

∂t  d r3

1

https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_della_divergenzahttps://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_della_divergenzahttps://it.wikipedia.org/wiki/Flussohttps://it.wikipedia.org/wiki/Versorehttps://it.wikipedia.org/wiki/Velocit%C3%A0https://it.wikipedia.org/wiki/Vettore_(fisica)https://it.wikipedia.org/wiki/Densit%C3%A0_di_correntehttps://it.wikipedia.org/wiki/Densit%C3%A0https://it.wikipedia.org/wiki/Frontiera_(topologia)https://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_continuahttps://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_continuahttps://it.wikipedia.org/wiki/Flussohttps://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_della_divergenzahttps://it.wikipedia.org/wiki/Integrazione_per_partihttps://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_trasporto_di_Reynoldshttps://it.wikipedia.org/wiki/Derivata_totalehttps://it.wikipedia.org/wiki/Notazione_di_Newtonhttps://it.wikipedia.org/wiki/Notazione_di_Newtonhttps://it.wikipedia.org/wiki/Coordinate_euleriane_e_lagrangianehttps://it.wikipedia.org/wiki/Coordinate_euleriane_e_lagrangianehttps://it.wikipedia.org/wiki/Legge_della_conservazione_della_massa_(chimica)https://it.wikipedia.org/wiki/Meccanica_classica

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2   3 VOCI CORRELATE 

e l'equazione diviene:

 V  

∂ρ

∂t  + ∇ · (ρ⟨v̄⟩) d r3 = 0

la quale, dovendo essere valida per qualsiasi volume di

controllo, impone l'annullamento dell'integrando:

∂ρ

∂t  + ∇ · (ρ⟨v̄⟩) = 0

questa equazione esprime l'equazione di conservazione

della massa in termini locali o differenziali ed è detta

anche equazione di continuità per la massa.

Si può esplicitare la precedente divergenza:

∂ρ

∂t

  + ∇ρ · ⟨v̄⟩ + ρ∇ · ⟨v̄⟩ = 0

A questo punto notiamo che le forme lagrangiana ed eu-

leriana sono equivalenti, infatti essendo il differenziale

della funzione di vettore:

d ρ(x̄, t) = ∇ρ · d x̄ + ∂ρ

∂t  d t

la derivata totale temporale vale:

d ρ

d t  =

 ∂ρ

∂t  + ∇ρ · ⟨v̄⟩

In forma quasi lineare :

∂ρ

∂t  +∑i

∂ρ

∂xi⟨v⟩i +

∑i

ρ∂ ⟨v⟩i∂xi

= 0

Ulteriormente esplicitabile nel caso tridimensionale:

∂ρ

∂t+ ∂ρ

∂x1⟨v⟩1+

 ∂ρ

∂x2⟨v⟩2+

 ∂ρ

∂x3⟨v⟩3+ρ

∂ ⟨v⟩1∂x1

+ρ∂ ⟨v⟩2∂x2

+ρ∂ ⟨v⟩3∂x3

= 0

dove i termini ⟨v⟩1 , ⟨v⟩2 e ⟨v⟩3 sono le componenti della

velocità media nel sistema di riferimento cartesiano usato( x1  ;  x2 ;  x3  ).

3 Voci correlate

•  Legge di conservazione

•  Legge di conservazione della massa

•   Legge della conservazione della massa (chimica)

•   Legge di conservazione della carica elettrica

•   Equazioni di Navier-Stokes•  Coordinate euleriane e lagrangiane

https://it.wikipedia.org/wiki/Coordinate_euleriane_e_lagrangianehttps://it.wikipedia.org/wiki/Equazioni_di_Navier-Stokeshttps://it.wikipedia.org/wiki/Legge_di_conservazione_della_carica_elettricahttps://it.wikipedia.org/wiki/Legge_della_conservazione_della_massa_(chimica)https://it.wikipedia.org/wiki/Legge_di_conservazione_della_massahttps://it.wikipedia.org/wiki/Legge_di_conservazionehttps://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_differenziale_linearehttps://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_di_continuit%C3%A0

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4 Fonti per testo e immagini; autori; licenze

4.1 Testo

•   Legge della conservazione della massa (fisica)  Fonte:  https://it.wikipedia.org/wiki/Legge_della_conservazione_della_massa_(fisica)

?oldid=76801774  Contributori:   Alfio, Davide, Ary29, Berto, Simone, Cruccone, ZeroBot, Biopresto, YurikBot, Maxcip, Flagellomane,

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4.3 Licenza dell'opera

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