Problemi: dinamica

1. Un blocco di massa M = 3.3 kg scorre su una superficie orizzontale senza attrito. Tale blocco è legato mediante una fune che passa attraverso una puleggia ad un secondo blocco di massa m = 2.1 kg. Fune e puleggia sono prive di massa. Mentre il blocco appeso cade, il blocco scorrevole subisce una accelerazione verso destra. Si calcoli:a) accelerazione del blocco M;b) accelerazione del blocco m;c) tensione della corda.

blocco M:

0,

,

=−==

===

MgNMaFMaTMaF

yynet

xxnet

blocco m:

mamgTmaFmaF

yynet

xxnet

−=−==

==

,

, 0

i due corpi hanno stressa accelerazione a !!!

mamgTMaT

−=−= ⇒ mgmaMa +−=

Nsmkgkgkgg

MmMmT

smsmkg

kggMmma

13/8.9)1.23.3(

)1.2)(3.3(

/8.3/8.9)1.23.3(

1.2

2

22

=+

=+

=

=+

=+

= attenzione a decimali e cifre significative !!

2. Un blocco di massa M = 15.0 kg è sospeso mediante 3 corde legate ad un nodo di massa mK , disposte come nel disegno. Le corde hanno massatrascurabile e si può ignorare la forza di gravità sul nodo. Quali sono i moduli delle tensioni nelle 3 corde ?

NsmkgMgT

MaMgT y

147)/8.9)(0.15(

02

3

3

===

==−

=++=++

==++

00

0

321

321

321

yyy

xxx

KK

TTTTTT

amTTT rrrr

3 cifre significative

blocco

nodo

=−+

=++−

047sin28sin

0047cos28cos

30

20

1

02

01

TTT

TT

=−+=+−

014773.047.0068.088.0

21

21

NTTTT

====

NNTNNT

1345.1341049.103

2

1

[N.B. devo avere al massimo 3 cifre significative!]

3. Un blocco di massa m = 15 kg è trattenuto da una fune su un piano liscioinclinato di un angolo θ=270.

a) determinare la tensione T e la forza N;b) se ora taglio la fune, quanto vale l’accelerazione del blocco?

0==++ amFNT grrrr

0cos00sin0

=−+=−+

θθ

mgNmgT

NsmkgNNsmkgT

13127cos)/8.9)(15(6727sin)/8.9)(15(

02

02

==

==

a)

decompongo in x e y:

b) elimino la tensione T:

⇒ mamg =− θsin

=

=

NF

maF

gy

xgx

202 /4.427sin)/8.9(sin smsmga −=−=−= θ

N.B. il modulo di a è inferiore a g essendo dovuta solo alla componente di Fg lungo il piano.

4. Un passeggero di massa m = 72.2 kg sta su una bilancia nella cabina di un ascensore.

a) Trovare una soluzione generale per la lettura della bilancia,valida per qualunque moto verticale della cabina.

b) che valori leggo sulla bilancia se l’ascensore è fermo o si muovecon moto uniforme di velocità v = 0.50 m/s ?

c) che valori leggo se l’ascensore risente di una accelerazione verso l’altoo verso il basso pari ad a = 3.20 m/s2 ?

d) durante l’accelerazione verso l’alto quale è il modulo della forza netta sul passeggero e qual è l’accelerazione impressa al passeggero dal punto

di vista del sistema di riferimento in moto? Il loro rapporto è m?

)( agmN

maFN

amFN

g

g

+=

=−

=+rrr

NsmkgmgN 708)/8.9)(2.72(0

2 ===

=r

=±=

±=

=

NN

smsmkg

agmNsma

477939

)/20.3/8.9)(2.72(

)(/20.3

22

2r

a)

la lettura della bilanciadipende da a

b) a

c)

NmamgagmFNF

amFNF

gnet

gnet

231)( ==−+=−=

=+=rrrrd)

accelerazione del passeggero rispetto a cabina è 0⇒ F/a ≠ m NON vale la legge di Newton (sistema non inerziale)

Problemi: forze di attrito e ritardanti5. Se le ruote di un’auto sono bloccate durante una frenata di emergenza

l’auto slitta sulla strada. Le tracce di frenata più lunghe (290 m) sono state misurate nel 1960 in Gran Bretagna. Supponendo che il coefficiente di

attrito dinamico fosse µd = 0.60, calcolare la velocità dell’auto all’istantedi bloccaggio delle ruote.

mxxv

xxavv

2900

)(2

0

020

2

=−=

−+=

devo determinare a [è una decelerazione]L’unica forza idonea a provocare a è la forza di attrito:

(1)

L’accelerazione è costante[le ruote sono bloccate]

applico le leggi del moto ad accelerazione costante

xd

xanet

mafmaF

=−

=,

mgNNf dd

== µ

Sostituendo in (1):

hkmhkmsm

msm

xxgv

smsmgmmg

mfa

d

ddd

/209/3600/11058/58

)290)(/8.9)(60.0(2

)(2

/9.5/8.960.0

3

2

00

22

=⋅

==

=

−=

−=⋅−=−=−=−=

−

µ

µµ

6. Una donna tira a velocità costante una slitta carica di massa m=75 kg, su una superficie orizzontale. Il coefficiente di attrito dinamico fra i pattini e la neve è µd=0.10, e l’angolo φ è di 420.

a) qual è il modulo T della tensione della fune?b) se la donna tira la fune in modo che T aumenti,

il modulo della forza di attrito aumenta, diminuisce o rimane uguale ?

a) Idea chiave: v è costante ⇒ a = 0malgrado la slitta sia sotto tiro

la sua accelerazione è nulla !!

0==+++ amfFNT dgrrrrr

=−+=−++

0000

gy

dx

FNTfT

=−+=−

0sin0cos

mgNTNT d

φµφ

ho un sistema di 2 equazioni nelle 2 incognite T ed N:

d

TNµ

φcos=

NsmkgmgT

mgT

TmgT

d

d

dd

d

9142cos)42)(sin10.0(

)/8.9)(75)(10.0(cossin

)cossin(

cossin

00

2

=+

=+

=

=+

−=

φφµµ

µφφµµ

φφ

decompongo in x ed y:

φµ

φ

φ sin

cos

sind

TmgNmgT

−=

−=

b) La forza di attrito è proporzionale ad N, quindi vedo come cambia N con T.Uso l’equazione in y:

φsinTmgN −= ⇒ al crescere ti T, N diminuisce.[aumenta la componente di T verso l’alto che quindi riduce la forza normale applicata dalla neve sulla slitta]

7. Una piccola sfera di massa m=3.00 g è rilasciata dalla quiete a t = 0 in una bottiglietta di shampoo liquido. Sapendo che la velocità limite è vT=2.00 cm/s, trovare:a) il valore della costante b;b) il tempo τ necessario per raggiungere 0.632 vl, c) il valore della forza ritardante quando la sferetta raggiunge

la velocità limite

8. Una goccia di pioggia di raggio R=1.5 mm cade da una nuvolache si trova ad altezza h = 1200 m sopra il terreno. Il coefficiente aerodinamico D per la goccia vale 0.60.

Supponendo la goccia sferica ed assumendo per le densitàdi aria e acqua i valori ρa = 1.2 kg/m3 ed ρw=1000 kg/m3

a) quale è la velocità limite della goccia ?b) quale sarebbe la velocità raggiunta appena prima dell’impatto

con il terreno se non vi fosse alcuna forza di resistenza del mezzo ?

a) idea chiave: la velocità limite viene raggiunta quando la forza di gravitàbilancia la resistenza aerodinamica del mezzo

2

21

lg AvDRF ρ==

)34( 3RgVgmgF wwg πρρ ===

hkmhkmsm

mkgmkgsmm

DRg

RDRg

ADF

va

w

a

w

a

gl

/273600/1104.7/4.7

)/2.1)(60.0(3)/1000)(/8.9)(105.1(8

38

3422

3

3

323

2

3

===

⋅=

===

−

−

ρρ

πρπρ

ρ

b) idea chiave: senza la resistenza dell’aria la goccia risente dellaaccelerazione g [moto uniformemente accelerato]

hkmsm

msmghv

ghvxxgvv

f

iff

/550/153

)1200)(/8.9(22

2)(22

20

20

2

≈=

==

+=−+=

Problemi: forza centripeta/ moto circolare

9. Un oggetto di massa m1 percorre una circonferenza di raggio R su un piano privo di attrito, e sostiene un corpo di massa m2 sospeso ad un filo che passa attraverso un foro al centro della circonferenza.Se l’oggetto sospeso rimane in equilibrio, a) quale è la tensione della fune ?b) quale è la forza risultante sul disco ?c) quale è la velocità del disco ?

m2

m1

R

diagrammi delle forze:

Tr

m1

cFTrr

=m2

gFr

10. Un’automobile di massa m=1600 kg viaggia con velocità costante su una pista circolare di raggio R = 190 m. Quale è il valore minimo del coefficiente di attrito µs(pneumatici-terreno) che impedisce alla macchina di slittareverso l’esterno ?

idee chiave:

1) se l’auto percorre traiettoria circolare è sottoposta a forza centripeta

2) unica forza orizzontale che agisce su auto è attrito ⇒ forza centripeta = attrito

3) l’auto non slitta verso l’esternoquindi è un attrito statico

4) se l’auto è sul punto di slittare il modulo della forza di attrito è massimo

Nf ss µ=max,

Rmvfs

2

max, =

21.0)190)(/8.9(

)/20(2

222

2

====

=

msmsm

mgRmv

NRmv

NRmv

s

s

µ

µ⇒

se µs < 0.21 l’auto slitta verso l’esterno

N.B.4 µs∝ v2 [ho bisogno di attrito maggioreper mantenere auto veloce in curva]

4 µs non dipende da m [vale per ogni corpo]

11. Un ingegnere vuole progettare una rampa sopraelevata per la strada, tale che le macchine non debbano fare affidamento sull’attrito per affrontare la curva senza slittare. Si supponga che l’auto percorra la curva a48 km/h e che il raggio della curva sia 50.0 m.Con quale angolazione deve essere sopraelevata la curva ?

Idea chiave: la forza centripeta è data dalla forza di attritomacchina-strada

12. Nel rotore del Luna Park una persona viene fatta ruotaremolto velocemente dentro un cilindro. La personarimane bloccata contro la parete quando il pavimento del cilindro viene aperto. Il coefficiente di attrito statico tra la persona e la pareteè µs ed il raggio del cilindro è R.a) determinare il massimo periodo

di rotazione necessario perché la persona non cada.

b) dare un valore numerico per T se R=4.00m e µs =0.400.Quanti giri al minuto devecompiere il cilindro?

13. Un satellite geostazionario (o sincrono) orbita attorno alla Terraseguendo un’orbita perfettamente sferica e con un periodo orbitalecoincidente con il periodo di rotazione della Terra attorno al proprio asse. Si calcolino:a) la quota del satellite rispetto al centro della Terra;b) la sua velocità orbitale.

Idea chiave:la forza centripeta che mantiene il satellite in orbita è data dalla forza di gravità Terra-satellite.

MeteoSat

==

==

rT

rv

rvm

rmMGF satsatT

g

πω 2

2

2

kmm

kgNmTGMr

rTGM

rmTr

mMG

rmT

rTr

mrvm

T

T

satsatT

satsatsat

4225010225.44

60s)60kg)(24 10 5.98)(/106.6(4

4

4

42

6

32

22422113

2

2

322

2

2

2

2

222

≈×=

××××==

=

=

=

=

−

ππ

π

π

ππ

Sapendo che il raggio della terra è RT≈6370 km la quota del satellite, sopra la superficie terrestre è

kmRrh T 35880≅−=Ricavo la velocità orbitale del satellite:

skmsmm

kgNmrMGv

rvm

rmMG

T

satsatT

/3/30701023.4

kg) 10 5.98)(/106.6(7

242211

2

2

≈≈×

××==

=

−

N.B. r e v NON dipendono dalla massa del satellite !!!