ElettrostaticaLa maggior parte dei fenomeni fisici che si verificano attorno

a noi sono dovuti a forze elettromagnetiche:

forze tra atomi e molecole forze chimiche ⇒ vita !forze d’attritoforze di resistenza viscosaforze elastiche e di coesioneforze legate al magnetismo terrestreluce è onda elettromagnetica

La tecnologia moderna è basata più del 99%sull’ elettromagnetismo !!

[radio, televisione, motori, calcolatori, apparecchi elettronici, …]

Tutti i fenomeni che avvengono su scale superiorialle dimensioni del nucleo atomico sono

alcuni natura gravitazionalegrandissima parte natura elettromagnetica

natura elettromagnetica dei fenomeni non appare a prima vista

è rimasta ignota fino a 2 secoli fa

Perché ?r forza elettrica: attrattiva e repulsivar materia: cariche negative e positive esattamente uguali

⇓il mondo dell’elettromagnetismo è stato

completamente scoperto dall’ indagine scientifica

XVI secolo: prime osservazioni sistematiche di fenomeni elettrici e magnetici;

…. : Coulomb, Galvani, Volta, Oersted, Ampère, Faraday

1865: equazioni di J.K. Maxwellteoria completa dell’ elettromagnetismo classicorelativisticamente correttodescrizione del mondo macroscopico

XX secolo: R.P. Feyman, J. Shwinger e Tamanagaelettromagnetismo quantistico:spiega i fenomeni su scala atomica e inferiore,interazione tra particelle cariche e campo em.

Carica Elettrica[evidenza sperimentale esistenza forze elettrostatiche]

piccoli pezzetti di carta si attaccano fra loro e al pettine in una giornata secca

strofinando palloncino sui capelliin una giornata secca palloncino e capelli si elettrizzano

attrazione repulsione

strofinando bacchetta di vetrocon seta trasferisco

cariche elettriche da vetro a seta

r esiste carica positiva e negativar cariche dello stesso tipo si respingono,

di tipo diverso si attraggono

Struttura elettrica della materia

massa:mp ≅ mn ≅ 1.67 10-27 kg me ≅ 9.11 10-31 kg ≅ 1/1836 mp

dimensioni:de< 4 10-18 m = 4 am [puntiformi]dp ≅ dn ≅ 10-15 m = fm [formati da quark]dq < 0.2 10-18 m

carica elementare [più piccola carica libera]:qe ≡ qp = 1.602 10-19 Cqn ≡ 0

la carica è quantizzata:q = n × qe n = ±1, ±2, ±3, …

3 costituenti elementari:protoneneutroneelettrone

materia:numero enorme di costituenti elementari carichi (≈1023)

globalmente neutra

Coulomb

Conservazione della carica elettrica

non è possibile creare o distruggere carica elettrica ( il valore totale deve rimanere invariante)

posso solo fare trasferimenti di cariche tra corpi

annichilazione e- + e+ → 2 γ massa ⇒ energia [E=mc2]carica conservata

decadimenti radioattivi238

92U → 23490Th + 42He

reazioni nucleari44

20Ca + p → 4421Sc + n

La carica elettrica totale dell’Universo è costante

Isolanti e Conduttoriall’interno di un oggetto posso avere movimento di carica

conduttori: le cariche possono muoversi relativamente libere:

quando sono caricati in una certa zona, la carica si distribuisce a tutto il materiale[rame, alluminio, argento, …]

isolanti: le cariche NON si muovono liberamente:si caricano per strofinio, solo nella zona strofinata[vetro, bachelite, …]

semiconduttori: materiali di proprietà intermedie:ci sono meno cariche libere che nel conduttore

[silicio, germanio, …] MOLTO utili in elettronica

4 avvicinando corpo carico a conduttore neutrole cariche si ridistribuiscono

4 collegando conduttore a terraalcune cariche escono

4 rimuovendo collegamento a terraconduttore resta carico

4 allontanando corpo caricocarica su conduttore si distribuisce uniformemente

conduttore neutrosi carica per induzione [senza contatto]

isolante neutrosi polarizza [senza contatto]

si forma stratodi carica

superficiale

Legge di Coulomb [1785]

scala graduata:forza fra sfere cariche è proporzionalead angolo di torsione

bilancia di torsione[simile esperimento Cavendish]

221

rqqF ∝

validità:cariche puntiformifermenel vuoto

esperimento difficile:⇒ poca precisione (≈ qualche %);⇒ non convince che

esponente sia 2 e non 2+ε

validità della legge è stabilita con precisione indirettamente[Teorema di Gauss]

→→

→→

−=

=

2112

12221

012 4

1

FF

rrqqF

πε

229

0

22120

/1099.84

1/108542.8

CmN

mNC

⋅×=

⋅×= −

πε

ε

azione e reazione

Confronto Coulomb-Newton

attrattiva o repulsiva

2

29

0

1094

1C

Nmk ×≈=πε

→→

= 12221

041 r

rqqFE πε

→→

−= 12221 r

rmmGFG

solo attrattiva

2

2111067.6

kgNmG −×≈

GE FF >>

392731

219

2

211

2

29

2

0

10)1067.1109(

)106.1(

1067.6

109

)4(1

)()(

≈××

×

×

×=

=

−−

−

− kgkgC

kgNm

CNm

mmq

GepFepF

pe

e

G

E

πε

esempio: forze elettrone-protone

Cqq

kgmkgm

pe

p

e

19

27

31

106.1

1067.1

109

−

−

−

×≈=

×≈

×≈

possibilità di osservare forze gravitazionali:4mescolamento cariche positive e negative 4ESATTA equaglianza fra esse

esempio: se, per assurdo, p ed eNON avessero carica esattamente uguale

qp = 1.000000001 qe= qe + 10-9qe

calcolare FE con cui si respingono due sfere di ferro di 1 kg alla distanza di 1 m.

2000102

)106.4(1094

7

229

0

2

=×≈

×××≈= −

N

NqFE πε

Fe : 26 elettroni

26 protoni ⇒ A = 5529 neutroni

1 mole = 55 grNA = 6.02 × 1023 atomi

in ciascuna sfera:Natomi = nmoli × NA = (msfera/Mmole) × NA

= (1000/55) × NA = 1.1 × 1025

Nelettroni = 26 × Natomi =2.8 × 1026

carica sfera:q = 2.8 × 1026 × qe × 10-9 = 4.6 × 10-2 C

tonnellate !! [peso di circa 1000 elefanti]

principio di sovrapposizione[principio di indipendenza delle forze simultanee]

forza risultante su ogni particella è somma vettoriale di forze dovute a tutte le altre particelle

∑∑→→→

==i

i

i

i

ii u

rqqFF 2

00 4

1πε

4 risultato sperimentale4 conferma carattere vettoriale legge di Coulomb

Campi Elettrici

q1

q0

F10

→

→→

=

=

urqq

urqqF

21

00

210

010

41

41

πε

πε

q1 [sorgente] esercita su q0 una forza proporzionale a:

4q0 [carica esploratrice]4termine vettoriale

dipendente da q1 e da posizione,

detto campo elettricoprodotto da q1

→→

== urq

qFrE

def 21

00

10

41)(πε

r)(010 rEqF

→→

=

dimensioni: [E] = [F]/[q] ⇒ N/C

asimmetria fra le cariche:q1 origina un’entità presente in tutti i punti dello spazioq0 sperimenta la forza

⇒ il campo esiste anche quando q0 non c’è !!!

telo elastico: modello visivo di campo E

Q+q -

Q+ [sorgente] deforma il telo

q – [carica di prova] segue curvatura del campo

definizione operativa di campo

il campo elettrico E(r) si manifesta, ponendo in r una carica esploratrice q0,

mediante la forza q0 E(r)

⇓

utilizzo una piccola carica q0

per non perturbare le cariche responsabili del campo:

→→

=0q

FEdef

F→

→

CN

QFE ⇒= ][][

000

limq

Eq →

=

se carica di prova q0 è grandedistribuzione di carica sorgente viene ad essere modificata

principio di sovrapposizione:forza che agisce su q0 dovuta ad n cariche puntiformi

EqurqqFF

ii

i

i

ii

r02

00 4

1=== ∑∑

→→→

πε

nn EEEE

qF

qF

qF

qF

qFE

rrrrrrrrr

++++=++++==→

...... 32100

3

0

2

0

1

0

∑=

→→

=n

ii

i

i urqE

12

041

πε

campo elettrico totale in un punto è somma vettoriale di campi in quel punto

dovuti a tutte le altre particelle

esempio: campo elettrico del dipolodipolo elettrico = carica puntiforme positiva q e negativa –q poste a distanza 2a.

a) trovare il campo elettrico E dovuto al dipolo lungo l’asse y nel punto P a distanza ydall’origine.

b) trovare il campo nei punti y >> a lontani dal dipolo.

22221 yaqk

rqkEE ee +

===

a) In P i campi E1 ed E2 generati dalle cariche hanno uguale intensità, essendo le cariche poste alla stessa distanza da P:

il campo totale

ha componente y nulla, dato che i campi dovuti alle due cariche hanno componenti y uguali ed opposte.La componente x del campo E totale è invece parial doppio della componente x di ciascun campo:

b) A grandi distanze dal dipolo posso trascurare il termine a2 nel denominatore, ottenendo:a grandi distanze il campo del dipolo va ha zero piùvelocemente del campo prodotto da una carica puntiforme(E ≈ 1/y2) , dato che i campi prodotti dalle singole cariche(positiva e negativa) tendono ad elidersi

21 EEErrr

+=

( ) 2/322222222

22

22

22cos2

//cos

cos2

yaqak

yaa

yaqk

yaqkE

yaara

yaqkE

eee

e

+=

++=

+=

+==

+=

θ

θ

θ

33

12yy

qakE e ≈=

N.B. molte molecole, come HCl, possono essere descritte come dipolipermanenti: uno ione positivo (H+) è infatti combinato con uno ione negativo (Cl-). Inoltre atomi e molecole, quando posti in campi elettrici, si comportano come dipoli.

Distribuzioni Continue di Cariche

3

2

//

//

//

mCVQ

mCAQ

mClQ

def

def

def

⇒≡

⇒≡

⇒≡

σ

σ

λdensità di carica

oggetti che ci circondano sono costituiti da enorme quantità(miliardi) di cariche sparse su

4 linea lunghezza l4 superficie area A4 volume volume V

campo prodotto da elemento di carica ∆qi :

∑ ∆=

∆=∆

→

→

ii

i

ie

ii

iei

rrqkE

rrqkE

ˆ

ˆ

2

2

campo totalediscreto

rrdqkr

rqkE e

ii

i

ieqi

ˆˆlim 220 ∫∑ =∆

=→∆

→

dsdq ⋅=λdadq ⋅=σdVdq ⋅=ρ

utilizzando le densità

trovo i campi prodotti da distribuzioni di cariche continue spaziali

esempio: campo elettrico di un anello caricoUn anello di raggio a ha una densità lineare di carica positiva uniforme, con caricatotale Q. Calcolare il campo elettrico lungo l’asse dell’anello, in un punto P posto a distanza x dal centro dell’anello stesso.

2rdqkdE e=

Idea chiave:• calcolo il campo dE prodotto

da un elemento infinitesimo di carica dq, che posso supporre puntiforme

• sommo i contributi dovute alle cariche dqdistribuite sull’anello

Tale campo ha componenti

delle quali la componente y si cancella con la componente y dell’elemento di carica dq posta sul latoopposto dell’anello. Il campo E in P avrà quindi solo componente x. Sapendo che

Integro ora su tutto l’anello:

θθ

sincos

dEdEdEdE

y

x

==

dqaxxk

rx

rdqkdEdE

rxaxr

eex 2/3222

2/122

)(cos

/cos,)(

+===

=+=

θ

θ

QaxxkE

dqaxxkdq

axxkdEE

ex

eexx

2/322

2/3222/322

)(

)()(

+=

+=

+== ∫∫∫

N.B. A grandi distanze E≈1/x2 (carica puntiforme)

esempio: campo elettrico di un disco caricoUn disco di raggio R possiede una densità di carica positiva uniforme σ.Qual è il campo elettrico nel punto P a distanza x dal disco lungo il suo asse?

2/3220

2/3222/322 )(2

4)()2(

)( xrrdrx

xrdrrxk

xrxdqkdE ee +

=+

=+

=ε

σπσ

Idea chiave:• scompongo il disco in sottili anelli concentrici • calcolo il campo dE prodotto da ciascun anello• sommo i contributi dovuti a tutti gli anelli

Su un anello di raggio r e spessore radiale deè depositata una carica

la quale genera un campo sull’asse del disco pari a

Integro ora su tutto l’anello:

Tale integrale è della forma

da cui:

∫∫ −+==R

drrrxxdEE0

2/322

0

)2()(4εσ

drrdXmrxXconmXdXX

mm )2(,

23),(,

122

1

=−=+=+

=+

∫

drrdAdq )2( πσσ ==

x

−= +

=− 2/122

1)( xrxxER

σσ

+

− 22

000 22/14 Rxεε

N.B. A grandi dimensioni (R>>x), il disco tende ad un piano infinitoil cui campo è pari a

02εσ

=E

Linee di Campo Elettrico[Rappresentazione grafica campo elettrostatico]

Il campo elettrico è vettoriale

→

E

Faraday: rappresentazione geometrica dei campi vettorialimediante linee di forza:

curva orientata diretta punto per punto in direzione e verso tangenteal campo in quel punto

numero linee di forza per unità di area è proporzionale ad E

E è più intenso dove linee sono fitteE è debole dove linee sono rade:

BA EErr

>

4sono infinite4non si incrociano mai4rappresentano direzione, verso, intensità4escono da +q, entrano in -q4possono venire o andare a ∞

proprietà linee campo elettrico E:

esempi linee di campo

carica puntiforme

due cariche puntiformi

conduttori carichi

linee di forza attorno a conduttori carichi: semi d’erba galleggianti su un liquido isolante

sferette con cariche opposte

piastra carica

Moto di cariche in campo elettrico

EqFe

rr=

forza elettrica su particella massa m, carica qin campo elettrico E:

se NON esistono altre forze:

mEqaamEqFe

rrrrr

=⇒==4 costante se E uniforme4 se q > 0 a è nel verso di E4 se q < 0 a è opposta ad E

esempio:campo E tra due piastre metalliche è uniforme

rilascio elettrone in tale campo con velocità iniziale

costantejmEea =−=rr

ivv ii

rr=

applico equazioni cinematica con vxi = vi, vyi = 0

tmeEtavv

costantevtavv

yyiy

ixxix

−=+=

==+=

220

0

21

21 t

meEtayy

tvtvxx

yf

ixf

−=+=

=+=⇒

moto parabolico !!![analogo a moto particella in campo gravitazionale]

applicazione: stampante a getto d’inchiostro

si scrivono le lettere spruzzando piccolissimegocce d’inchiostroelettrizzate

G = serbatoio inchiostroC = unità di caricasegnale ingresso = computer [decide la carica q

da immettere sulla goccia]

la goccia carica colpisce la carta in posizione determinata dai valori di E e q

ogni carattere richiede circa 100 gocce105 gocce/sec

Flusso Elettrico[trattazione quantitativa linee di campo]

flusso elettrico: grandezza proporzionale a numero linee di campo

E uniforme perpendicolare A

EAE =Φ

E uniformeNON perpendicolare A

θcosEAE =Φ

in generale:

ii

iiiE

AE

AErr

∆⋅=

∆=∆Φ θcos

∫∑ ⋅=∆⋅=Φ→∆

superficieiiAE AdEAE

i

rrrr

0lim

2][][][]][[][ m

CNA

QFAEE ⇒==Φdimensioni,

unità di misura:

flusso attraverso superficie chiusa

ii

iiiE

AE

AErr

∆⋅=

∆=∆Φ θcosdefiA =∆

r vettori area normali alla superficieverso esterno

0<∆ΦE 0=∆ΦE 0>∆ΦE

flusso totale attraverso superficie chiusa è proporzionale a numero di linee di forza uscenti dal volume racchiuso

MENOnumero di linee di forza entranti nel volume

∫∫ =⋅=Φ dAEAdE nsuperficie

E

rr

esempio: flusso attraverso un cubo

dato campo elettrico Eparallelo asse x

trovare flusso di Eattraverso cubo di lato l

5

6

flusso attraverso cubo = somma flussi attraverso ogni faccia

E è perpendicolare alle facce 3, 4, 5 e 6, quindi:

0)6()5()4()3( =Φ=Φ=Φ=Φ EEEE

Il flusso di E si riduce quindi al flusso di attraverso le facce 1 e 2:

0

)0cos()180cos(

2221

0

2

0

1

21

=+−=

+−=

+=

⋅+⋅=Φ

∫∫

∫∫

∫∫

ElEl

dAEdAE

EdAEdA

AdEAdEE

rrrr

ugual numero di linee di campo entranti ed uscenti

Il flusso totale attraverso il cubo è nullo

Teorema di Gauss

conseguenza di:

4 Φ(E) proporzionale linee di campo4 n. linee campo è proporzionale a carica4 linee di campo uscenti da q attraversano superficie

conseguenza di:

4 legge di Coulomb E ∝ 1/r2

4 superficie sfera ∝ r2

qE ∝Φ

rE ∝Φ

teorema di gauss:flusso elettrico totale attraverso una qualunque superficie chiusa è uguale alla carica totale contenuta all’interno della superficie divisa per ε0

0εin

Eq

=Φ

[legame fra flusso attraverso superficie chiusa e carica al suo interno]

carica puntiforme qal centro di sfera raggio r:

E perpendicolare superficie

iii AEAEAE ∆=∆=∆⋅ 00cosrr

0

22

0

)4)(4

1(ε

ππε

qrrqEAdAEdAEAdEE ====⋅=⋅=Φ ∫∫∫

rr

applicazioni: calcolo di E[distribuzioni simmetriche di cariche]

carica puntiforme qE perpendicolare superficie sferica di raggio rcon carica al centro

E costante su tutti punti superficie

20

0

2

0

41

)4(

rqE

qrEdAEdAE

qAdE inE

πε

επ

ε

=

===⋅

=⋅=Φ

∫∫

∫rr

campo prodotto da carica puntiformecome dedotto da legge di Coulomb

analogamente: campo E prodotto da:

4sfera uniformemente carica4filo uniformemente carico4piano infinito

[vedi esercizi]

applicazioni: conduttore carico isolatoin un conduttore carico isolato la carica si dispone totalmente

sulla superficie esterna.nessuna carica può trovarsi all’interno

ecceso di carica:→ campo elettrico E≠0→ moto di cariche

All’ equilibrio elettrostaticomoto di cariche cessa→ E = 0 → per ogni Σ→ q = 0 entro ogni Σ

0)( =Φ E

⇒ la carica deve essere sulla superficie del conduttore

Σ

applicazioni: schermo elettrostaticocampo elettrico interno aconduttore cavo è sempre nullo

E=0

N.B. il conduttore può anche avere aperture/struttura a rete[discontinuità che NON si notano a grandi distanze ⇒ utilizzo in laboratorio per proteggere delicati strumenti da campi elettrici]

Energia Potenziale e Potenziale

la forza di Coulomb è conservativa

il lavoro fatto dalla forza elettrostatica per spostare una carica q0in presenza di una carica q NON dipende dal percorso

A

B

q

q0

rA

rB

r̂

−=

−=

==⋅=

⋅=⋅=

∫∫

∫∫→→→→

BA

B

A

B

A

B

A

B

A

B

Ae

rrqq

rqq

drr

qqsdrr

qq

dsEqdsFL

114

14

14

ˆ14

00

00

20

020

0

0

πεπε

πεπεr

energia potenziale U[funzione di sola posizione carica q]

costanter

qqrU +=1

4)(

0

0

πε

BA

B

A

UUUsdEqL −=∆−=⋅= ∫rr

0

N.B. nel caso della forza peso:

( )gab

ba

g

Uymgymgjyyjmg

rgmrFL

∆−=−=−⋅−=

∆⋅−=∆⋅=rr

rrrr yb = posizione iniziale

ya = posizione finale

0qUV

def≡potenziale = energia potenziale

per unità di carica

4 U e V sono scalari4 energia potenziale U: proprietà del sistema carica-campo

4 potenziale V: proprietà solo del campose tolgo la carica di prova il potenziale esiste ancora[è dovuto a carica sorgente]

−=

⋅−=∆

≡−=∆ ∫

ABe

B

AdefAB

rrqk

sdEqUVVV

110

rr

per carica puntiforme

differenza di potenziale

il potenziale è definito a meno di una costante

0)(

)(

0

0

=

⋅−=→→

∫rV

drEPVP

r

di solito si pone r0=∞

VqUsdEqLB

A

∆−=∆−=⋅= ∫ 00rr

dimensioni:

[V] = [U]/[q] ⇒ 1 Volt = 1 V = 1 J/C [E] = [∆V] / L ⇒ 1 N/C = 1 V/m

applicazionicampo elettrico uniforme

campo elettrico

EddsEdsE

sdEVVV

B

A

B

A

B

AAB

−=−=−=

⋅−=−=∆

∫∫

∫

00cos

rr

linee di campo puntano da potenziale maggiorea potenziale minore AB VV <

carica puntiformeQ+: repulsivo Q-: attrattivo

rqV

041πε

=

la forza elettrica fa muovere le cariche positive da punti a potenziale maggiore verso punti a potenziale minore

Ricavare Campo elettrico da Potenziale

campo E e potenziale Vsono determinate dalladistribuzione delle cariche

∫ ⋅−=∆B

A

sdEV rr

sdEdV rr⋅−= il potenziale V NON varia

in direzioni perpendicolari al campo E

⇓

zVE

yVE

xVE

z

y

x

∂∂

−=

∂∂

−=

∂∂

−=

le componenti del campo elettrico si ottengono dalle derivate di parziali di V,cambiate di segno

N.B. il calcolo di E come derivata del potenziale (funzione scalare)è più semplice che non vettorialmente

⇒ in Fisica i potenziali sono molto usati !esempio:

......,

6)(3)3()3(3

2222

22

=∂∂

−==∂∂

−=

−=∂

∂−=

∂∂

−=∂

++∂−=

∂∂

−=

++=

zVE

yVE

xyxxy

xyx

xyzyyx

xVE

yzyyxV

zy

x

insieme di cariche puntiformi

date n cariche puntiformi, per il principio di sovrapposizione

∑∑==

==n

i i

in

ii r

qVV101 4

1πε

N.B. è una somma algebrica e non vettoriale !!!

esempio: potenziale dovuto ad un dipolo

a) potenziale elettrico in punto P dell’asse del dipolo:

2200

2

10

2

1

24

14

14

1

axqa

axq

axq

rqVV

i i

i

ii

−=

+−

+−

=

== ∑∑==

πεπε

πε

b) potenziale elettrico in punto P molto lontani dal dipolo:

20

220

24

124

1xqa

axqaV

ax πεπε >>→

−=

c) campo elettrico in P per x>>a:

30

20

1441

42

xqa

xdxdqa

dxdVEx πεπε

=

−=−=

Superfici equipotenziali

0=⋅−=∆−=∆−= ∫B

A

sdEqVqUL rr

sdE rr⊥

luogo geometrico dei punti con medesimo potenziale

⇓E NON compie lavoro su tali

superfici

LI = LII = 0LIII = LIV

sono perpendicolari alle linee di campo[altrimenti E avrebbe componente sulla superficie

e si compirebbe lavoro per muovere una carica di prova su tale superficie !!!]

carica puntiforme conduttore carico