ElettrostaticaLa maggior parte dei fenomeni fisici che si verificano attorno
a noi sono dovuti a forze elettromagnetiche:
forze tra atomi e molecole forze chimiche ⇒ vita !forze d’attritoforze di resistenza viscosaforze elastiche e di coesioneforze legate al magnetismo terrestreluce è onda elettromagnetica
La tecnologia moderna è basata più del 99%sull’ elettromagnetismo !!
[radio, televisione, motori, calcolatori, apparecchi elettronici, …]
Tutti i fenomeni che avvengono su scale superiorialle dimensioni del nucleo atomico sono
alcuni natura gravitazionalegrandissima parte natura elettromagnetica
natura elettromagnetica dei fenomeni non appare a prima vista
è rimasta ignota fino a 2 secoli fa
Perché ?r forza elettrica: attrattiva e repulsivar materia: cariche negative e positive esattamente uguali
⇓il mondo dell’elettromagnetismo è stato
completamente scoperto dall’ indagine scientifica
XVI secolo: prime osservazioni sistematiche di fenomeni elettrici e magnetici;
…. : Coulomb, Galvani, Volta, Oersted, Ampère, Faraday
1865: equazioni di J.K. Maxwellteoria completa dell’ elettromagnetismo classicorelativisticamente correttodescrizione del mondo macroscopico
XX secolo: R.P. Feyman, J. Shwinger e Tamanagaelettromagnetismo quantistico:spiega i fenomeni su scala atomica e inferiore,interazione tra particelle cariche e campo em.
Carica Elettrica[evidenza sperimentale esistenza forze elettrostatiche]
piccoli pezzetti di carta si attaccano fra loro e al pettine in una giornata secca
strofinando palloncino sui capelliin una giornata secca palloncino e capelli si elettrizzano
attrazione repulsione
strofinando bacchetta di vetrocon seta trasferisco
cariche elettriche da vetro a seta
r esiste carica positiva e negativar cariche dello stesso tipo si respingono,
di tipo diverso si attraggono
Struttura elettrica della materia
massa:mp ≅ mn ≅ 1.67 10-27 kg me ≅ 9.11 10-31 kg ≅ 1/1836 mp
dimensioni:de< 4 10-18 m = 4 am [puntiformi]dp ≅ dn ≅ 10-15 m = fm [formati da quark]dq < 0.2 10-18 m
carica elementare [più piccola carica libera]:qe ≡ qp = 1.602 10-19 Cqn ≡ 0
la carica è quantizzata:q = n × qe n = ±1, ±2, ±3, …
3 costituenti elementari:protoneneutroneelettrone
materia:numero enorme di costituenti elementari carichi (≈1023)
globalmente neutra
Coulomb
Conservazione della carica elettrica
non è possibile creare o distruggere carica elettrica ( il valore totale deve rimanere invariante)
posso solo fare trasferimenti di cariche tra corpi
annichilazione e- + e+ → 2 γ massa ⇒ energia [E=mc2]carica conservata
decadimenti radioattivi238
92U → 23490Th + 42He
reazioni nucleari44
20Ca + p → 4421Sc + n
La carica elettrica totale dell’Universo è costante
Isolanti e Conduttoriall’interno di un oggetto posso avere movimento di carica
conduttori: le cariche possono muoversi relativamente libere:
quando sono caricati in una certa zona, la carica si distribuisce a tutto il materiale[rame, alluminio, argento, …]
isolanti: le cariche NON si muovono liberamente:si caricano per strofinio, solo nella zona strofinata[vetro, bachelite, …]
semiconduttori: materiali di proprietà intermedie:ci sono meno cariche libere che nel conduttore
[silicio, germanio, …] MOLTO utili in elettronica
4 avvicinando corpo carico a conduttore neutrole cariche si ridistribuiscono
4 collegando conduttore a terraalcune cariche escono
4 rimuovendo collegamento a terraconduttore resta carico
4 allontanando corpo caricocarica su conduttore si distribuisce uniformemente
conduttore neutrosi carica per induzione [senza contatto]
isolante neutrosi polarizza [senza contatto]
si forma stratodi carica
superficiale
Legge di Coulomb [1785]
scala graduata:forza fra sfere cariche è proporzionalead angolo di torsione
bilancia di torsione[simile esperimento Cavendish]
221
rqqF ∝
validità:cariche puntiformifermenel vuoto
esperimento difficile:⇒ poca precisione (≈ qualche %);⇒ non convince che
esponente sia 2 e non 2+ε
validità della legge è stabilita con precisione indirettamente[Teorema di Gauss]
→→
→→
−=
=
2112
12221
012 4
1
FF
rrqqF
πε
229
0
22120
/1099.84
1/108542.8
CmN
mNC
⋅×=
⋅×= −
πε
ε
azione e reazione
Confronto Coulomb-Newton
attrattiva o repulsiva
2
29
0
1094
1C
Nmk ×≈=πε
→→
= 12221
041 r
rqqFE πε
→→
−= 12221 r
rmmGFG
solo attrattiva
2
2111067.6
kgNmG −×≈
GE FF >>
392731
219
2
211
2
29
2
0
10)1067.1109(
)106.1(
1067.6
109
)4(1
)()(
≈××
×
×
×=
=
−−
−
− kgkgC
kgNm
CNm
mmq
GepFepF
pe
e
G
E
πε
esempio: forze elettrone-protone
Cqq
kgmkgm
pe
p
e
19
27
31
106.1
1067.1
109
−
−
−
×≈=
×≈
×≈
possibilità di osservare forze gravitazionali:4mescolamento cariche positive e negative 4ESATTA equaglianza fra esse
esempio: se, per assurdo, p ed eNON avessero carica esattamente uguale
qp = 1.000000001 qe= qe + 10-9qe
calcolare FE con cui si respingono due sfere di ferro di 1 kg alla distanza di 1 m.
2000102
)106.4(1094
7
229
0
2
=×≈
×××≈= −
N
NqFE πε
Fe : 26 elettroni
26 protoni ⇒ A = 5529 neutroni
1 mole = 55 grNA = 6.02 × 1023 atomi
in ciascuna sfera:Natomi = nmoli × NA = (msfera/Mmole) × NA
= (1000/55) × NA = 1.1 × 1025
Nelettroni = 26 × Natomi =2.8 × 1026
carica sfera:q = 2.8 × 1026 × qe × 10-9 = 4.6 × 10-2 C
tonnellate !! [peso di circa 1000 elefanti]
principio di sovrapposizione[principio di indipendenza delle forze simultanee]
forza risultante su ogni particella è somma vettoriale di forze dovute a tutte le altre particelle
∑∑→→→
==i
i
i
i
ii u
rqqFF 2
00 4
1πε
4 risultato sperimentale4 conferma carattere vettoriale legge di Coulomb
Campi Elettrici
q1
q0
F10
→
→→
=
=
urqq
urqqF
21
00
210
010
41
41
πε
πε
q1 [sorgente] esercita su q0 una forza proporzionale a:
4q0 [carica esploratrice]4termine vettoriale
dipendente da q1 e da posizione,
detto campo elettricoprodotto da q1
→→
== urq
qFrE
def 21
00
10
41)(πε
r)(010 rEqF
→→
=
dimensioni: [E] = [F]/[q] ⇒ N/C
asimmetria fra le cariche:q1 origina un’entità presente in tutti i punti dello spazioq0 sperimenta la forza
⇒ il campo esiste anche quando q0 non c’è !!!
telo elastico: modello visivo di campo E
Q+q -
Q+ [sorgente] deforma il telo
q – [carica di prova] segue curvatura del campo
definizione operativa di campo
il campo elettrico E(r) si manifesta, ponendo in r una carica esploratrice q0,
mediante la forza q0 E(r)
⇓
utilizzo una piccola carica q0
per non perturbare le cariche responsabili del campo:
→→
=0q
FEdef
F→
→
CN
QFE ⇒= ][][
000
limq
Eq →
=
se carica di prova q0 è grandedistribuzione di carica sorgente viene ad essere modificata
principio di sovrapposizione:forza che agisce su q0 dovuta ad n cariche puntiformi
EqurqqFF
ii
i
i
ii
r02
00 4
1=== ∑∑
→→→
πε
nn EEEE
qF
qF
qF
qF
qFE
rrrrrrrrr
++++=++++==→
...... 32100
3
0
2
0
1
0
∑=
→→
=n
ii
i
i urqE
12
041
πε
campo elettrico totale in un punto è somma vettoriale di campi in quel punto
dovuti a tutte le altre particelle
esempio: campo elettrico del dipolodipolo elettrico = carica puntiforme positiva q e negativa –q poste a distanza 2a.
a) trovare il campo elettrico E dovuto al dipolo lungo l’asse y nel punto P a distanza ydall’origine.
b) trovare il campo nei punti y >> a lontani dal dipolo.
22221 yaqk
rqkEE ee +
===
a) In P i campi E1 ed E2 generati dalle cariche hanno uguale intensità, essendo le cariche poste alla stessa distanza da P:
il campo totale
ha componente y nulla, dato che i campi dovuti alle due cariche hanno componenti y uguali ed opposte.La componente x del campo E totale è invece parial doppio della componente x di ciascun campo:
b) A grandi distanze dal dipolo posso trascurare il termine a2 nel denominatore, ottenendo:a grandi distanze il campo del dipolo va ha zero piùvelocemente del campo prodotto da una carica puntiforme(E ≈ 1/y2) , dato che i campi prodotti dalle singole cariche(positiva e negativa) tendono ad elidersi
21 EEErrr
+=
( ) 2/322222222
22
22
22cos2
//cos
cos2
yaqak
yaa
yaqk
yaqkE
yaara
yaqkE
eee
e
+=
++=
+=
+==
+=
θ
θ
θ
33
12yy
qakE e ≈=
N.B. molte molecole, come HCl, possono essere descritte come dipolipermanenti: uno ione positivo (H+) è infatti combinato con uno ione negativo (Cl-). Inoltre atomi e molecole, quando posti in campi elettrici, si comportano come dipoli.
Distribuzioni Continue di Cariche
3
2
//
//
//
mCVQ
mCAQ
mClQ
def
def
def
⇒≡
⇒≡
⇒≡
σ
σ
λdensità di carica
oggetti che ci circondano sono costituiti da enorme quantità(miliardi) di cariche sparse su
4 linea lunghezza l4 superficie area A4 volume volume V
campo prodotto da elemento di carica ∆qi :
∑ ∆=
∆=∆
→
→
ii
i
ie
ii
iei
rrqkE
rrqkE
ˆ
ˆ
2
2
campo totalediscreto
rrdqkr
rqkE e
ii
i
ieqi
ˆˆlim 220 ∫∑ =∆
=→∆
→
dsdq ⋅=λdadq ⋅=σdVdq ⋅=ρ
utilizzando le densità
trovo i campi prodotti da distribuzioni di cariche continue spaziali
esempio: campo elettrico di un anello caricoUn anello di raggio a ha una densità lineare di carica positiva uniforme, con caricatotale Q. Calcolare il campo elettrico lungo l’asse dell’anello, in un punto P posto a distanza x dal centro dell’anello stesso.
2rdqkdE e=
Idea chiave:• calcolo il campo dE prodotto
da un elemento infinitesimo di carica dq, che posso supporre puntiforme
• sommo i contributi dovute alle cariche dqdistribuite sull’anello
Tale campo ha componenti
delle quali la componente y si cancella con la componente y dell’elemento di carica dq posta sul latoopposto dell’anello. Il campo E in P avrà quindi solo componente x. Sapendo che
Integro ora su tutto l’anello:
θθ
sincos
dEdEdEdE
y
x
==
dqaxxk
rx
rdqkdEdE
rxaxr
eex 2/3222
2/122
)(cos
/cos,)(
+===
=+=
θ
θ
QaxxkE
dqaxxkdq
axxkdEE
ex
eexx
2/322
2/3222/322
)(
)()(
+=
+=
+== ∫∫∫
N.B. A grandi distanze E≈1/x2 (carica puntiforme)
esempio: campo elettrico di un disco caricoUn disco di raggio R possiede una densità di carica positiva uniforme σ.Qual è il campo elettrico nel punto P a distanza x dal disco lungo il suo asse?
2/3220
2/3222/322 )(2
4)()2(
)( xrrdrx
xrdrrxk
xrxdqkdE ee +
=+
=+
=ε
σπσ
Idea chiave:• scompongo il disco in sottili anelli concentrici • calcolo il campo dE prodotto da ciascun anello• sommo i contributi dovuti a tutti gli anelli
Su un anello di raggio r e spessore radiale deè depositata una carica
la quale genera un campo sull’asse del disco pari a
Integro ora su tutto l’anello:
Tale integrale è della forma
da cui:
∫∫ −+==R
drrrxxdEE0
2/322
0
)2()(4εσ
drrdXmrxXconmXdXX
mm )2(,
23),(,
122
1
=−=+=+
=+
∫
drrdAdq )2( πσσ ==
x
−= +
=− 2/122
1)( xrxxER
σσ
+
− 22
000 22/14 Rxεε
N.B. A grandi dimensioni (R>>x), il disco tende ad un piano infinitoil cui campo è pari a
02εσ
=E
Linee di Campo Elettrico[Rappresentazione grafica campo elettrostatico]
Il campo elettrico è vettoriale
→
E
Faraday: rappresentazione geometrica dei campi vettorialimediante linee di forza:
curva orientata diretta punto per punto in direzione e verso tangenteal campo in quel punto
numero linee di forza per unità di area è proporzionale ad E
E è più intenso dove linee sono fitteE è debole dove linee sono rade:
BA EErr
>
4sono infinite4non si incrociano mai4rappresentano direzione, verso, intensità4escono da +q, entrano in -q4possono venire o andare a ∞
proprietà linee campo elettrico E:
linee di forza attorno a conduttori carichi: semi d’erba galleggianti su un liquido isolante
sferette con cariche opposte
piastra carica
Moto di cariche in campo elettrico
EqFe
rr=
forza elettrica su particella massa m, carica qin campo elettrico E:
se NON esistono altre forze:
mEqaamEqFe
rrrrr
=⇒==4 costante se E uniforme4 se q > 0 a è nel verso di E4 se q < 0 a è opposta ad E
esempio:campo E tra due piastre metalliche è uniforme
rilascio elettrone in tale campo con velocità iniziale
costantejmEea =−=rr
ivv ii
rr=
applico equazioni cinematica con vxi = vi, vyi = 0
tmeEtavv
costantevtavv
yyiy
ixxix
−=+=
==+=
220
0
21
21 t
meEtayy
tvtvxx
yf
ixf
−=+=
=+=⇒
moto parabolico !!![analogo a moto particella in campo gravitazionale]
applicazione: stampante a getto d’inchiostro
si scrivono le lettere spruzzando piccolissimegocce d’inchiostroelettrizzate
G = serbatoio inchiostroC = unità di caricasegnale ingresso = computer [decide la carica q
da immettere sulla goccia]
la goccia carica colpisce la carta in posizione determinata dai valori di E e q
ogni carattere richiede circa 100 gocce105 gocce/sec
Flusso Elettrico[trattazione quantitativa linee di campo]
flusso elettrico: grandezza proporzionale a numero linee di campo
E uniforme perpendicolare A
EAE =Φ
E uniformeNON perpendicolare A
θcosEAE =Φ
in generale:
ii
iiiE
AE
AErr
∆⋅=
∆=∆Φ θcos
∫∑ ⋅=∆⋅=Φ→∆
superficieiiAE AdEAE
i
rrrr
0lim
2][][][]][[][ m
CNA
QFAEE ⇒==Φdimensioni,
unità di misura:
flusso attraverso superficie chiusa
ii
iiiE
AE
AErr
∆⋅=
∆=∆Φ θcosdefiA =∆
r vettori area normali alla superficieverso esterno
0<∆ΦE 0=∆ΦE 0>∆ΦE
flusso totale attraverso superficie chiusa è proporzionale a numero di linee di forza uscenti dal volume racchiuso
MENOnumero di linee di forza entranti nel volume
∫∫ =⋅=Φ dAEAdE nsuperficie
E
rr
esempio: flusso attraverso un cubo
dato campo elettrico Eparallelo asse x
trovare flusso di Eattraverso cubo di lato l
5
6
flusso attraverso cubo = somma flussi attraverso ogni faccia
E è perpendicolare alle facce 3, 4, 5 e 6, quindi:
0)6()5()4()3( =Φ=Φ=Φ=Φ EEEE
Il flusso di E si riduce quindi al flusso di attraverso le facce 1 e 2:
0
)0cos()180cos(
2221
0
2
0
1
21
=+−=
+−=
+=
⋅+⋅=Φ
∫∫
∫∫
∫∫
ElEl
dAEdAE
EdAEdA
AdEAdEE
rrrr
ugual numero di linee di campo entranti ed uscenti
Il flusso totale attraverso il cubo è nullo
Teorema di Gauss
conseguenza di:
4 Φ(E) proporzionale linee di campo4 n. linee campo è proporzionale a carica4 linee di campo uscenti da q attraversano superficie
conseguenza di:
4 legge di Coulomb E ∝ 1/r2
4 superficie sfera ∝ r2
qE ∝Φ
rE ∝Φ
teorema di gauss:flusso elettrico totale attraverso una qualunque superficie chiusa è uguale alla carica totale contenuta all’interno della superficie divisa per ε0
0εin
Eq
=Φ
[legame fra flusso attraverso superficie chiusa e carica al suo interno]
carica puntiforme qal centro di sfera raggio r:
E perpendicolare superficie
iii AEAEAE ∆=∆=∆⋅ 00cosrr
0
22
0
)4)(4
1(ε
ππε
qrrqEAdAEdAEAdEE ====⋅=⋅=Φ ∫∫∫
rr
applicazioni: calcolo di E[distribuzioni simmetriche di cariche]
carica puntiforme qE perpendicolare superficie sferica di raggio rcon carica al centro
E costante su tutti punti superficie
20
0
2
0
41
)4(
rqE
qrEdAEdAE
qAdE inE
πε
επ
ε
=
===⋅
=⋅=Φ
∫∫
∫rr
campo prodotto da carica puntiformecome dedotto da legge di Coulomb
analogamente: campo E prodotto da:
4sfera uniformemente carica4filo uniformemente carico4piano infinito
[vedi esercizi]
applicazioni: conduttore carico isolatoin un conduttore carico isolato la carica si dispone totalmente
sulla superficie esterna.nessuna carica può trovarsi all’interno
ecceso di carica:→ campo elettrico E≠0→ moto di cariche
All’ equilibrio elettrostaticomoto di cariche cessa→ E = 0 → per ogni Σ→ q = 0 entro ogni Σ
0)( =Φ E
⇒ la carica deve essere sulla superficie del conduttore
Σ
applicazioni: schermo elettrostaticocampo elettrico interno aconduttore cavo è sempre nullo
E=0
N.B. il conduttore può anche avere aperture/struttura a rete[discontinuità che NON si notano a grandi distanze ⇒ utilizzo in laboratorio per proteggere delicati strumenti da campi elettrici]
Energia Potenziale e Potenziale
la forza di Coulomb è conservativa
il lavoro fatto dalla forza elettrostatica per spostare una carica q0in presenza di una carica q NON dipende dal percorso
A
B
q
q0
rA
rB
r̂
−=
−=
==⋅=
⋅=⋅=
∫∫
∫∫→→→→
BA
B
A
B
A
B
A
B
A
B
Ae
rrqq
rqq
drr
qqsdrr
dsEqdsFL
114
14
14
ˆ14
00
00
20
020
0
0
πεπε
πεπεr
energia potenziale U[funzione di sola posizione carica q]
costanter
qqrU +=1
4)(
0
0
πε
BA
B
A
UUUsdEqL −=∆−=⋅= ∫rr
0
N.B. nel caso della forza peso:
( )gab
ba
g
Uymgymgjyyjmg
rgmrFL
∆−=−=−⋅−=
∆⋅−=∆⋅=rr
rrrr yb = posizione iniziale
ya = posizione finale
0qUV
def≡potenziale = energia potenziale
per unità di carica
4 U e V sono scalari4 energia potenziale U: proprietà del sistema carica-campo
4 potenziale V: proprietà solo del campose tolgo la carica di prova il potenziale esiste ancora[è dovuto a carica sorgente]
−=
⋅−=∆
≡−=∆ ∫
ABe
B
AdefAB
rrqk
sdEqUVVV
110
rr
per carica puntiforme
differenza di potenziale
il potenziale è definito a meno di una costante
0)(
)(
0
0
=
⋅−=→→
∫rV
drEPVP
r
di solito si pone r0=∞
VqUsdEqLB
A
∆−=∆−=⋅= ∫ 00rr
dimensioni:
[V] = [U]/[q] ⇒ 1 Volt = 1 V = 1 J/C [E] = [∆V] / L ⇒ 1 N/C = 1 V/m
applicazionicampo elettrico uniforme
campo elettrico
EddsEdsE
sdEVVV
B
A
B
A
B
AAB
−=−=−=
⋅−=−=∆
∫∫
∫
00cos
rr
linee di campo puntano da potenziale maggiorea potenziale minore AB VV <
carica puntiformeQ+: repulsivo Q-: attrattivo
rqV
041πε
=
la forza elettrica fa muovere le cariche positive da punti a potenziale maggiore verso punti a potenziale minore
Ricavare Campo elettrico da Potenziale
campo E e potenziale Vsono determinate dalladistribuzione delle cariche
∫ ⋅−=∆B
A
sdEV rr
sdEdV rr⋅−= il potenziale V NON varia
in direzioni perpendicolari al campo E
⇓
zVE
yVE
xVE
z
y
x
∂∂
−=
∂∂
−=
∂∂
−=
le componenti del campo elettrico si ottengono dalle derivate di parziali di V,cambiate di segno
N.B. il calcolo di E come derivata del potenziale (funzione scalare)è più semplice che non vettorialmente
⇒ in Fisica i potenziali sono molto usati !esempio:
......,
6)(3)3()3(3
2222
22
=∂∂
−==∂∂
−=
−=∂
∂−=
∂∂
−=∂
++∂−=
∂∂
−=
++=
zVE
yVE
xyxxy
xyx
xyzyyx
xVE
yzyyxV
zy
x
insieme di cariche puntiformi
date n cariche puntiformi, per il principio di sovrapposizione
∑∑==
==n
i i
in
ii r
qVV101 4
1πε
N.B. è una somma algebrica e non vettoriale !!!
esempio: potenziale dovuto ad un dipolo
a) potenziale elettrico in punto P dell’asse del dipolo:
2200
2
10
2
1
24
14
14
1
axqa
axq
axq
rqVV
i i
i
ii
−=
+−
+−
=
== ∑∑==
πεπε
πε
b) potenziale elettrico in punto P molto lontani dal dipolo:
20
220
24
124
1xqa
axqaV
ax πεπε >>→
−=
c) campo elettrico in P per x>>a:
30
20
1441
42
xqa
xdxdqa
dxdVEx πεπε
=
−=−=
Superfici equipotenziali
0=⋅−=∆−=∆−= ∫B
A
sdEqVqUL rr
sdE rr⊥
luogo geometrico dei punti con medesimo potenziale
⇓E NON compie lavoro su tali
superfici
LI = LII = 0LIII = LIV
sono perpendicolari alle linee di campo[altrimenti E avrebbe componente sulla superficie
e si compirebbe lavoro per muovere una carica di prova su tale superficie !!!]
carica puntiforme conduttore carico
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