Le tavole input-output La versione simmetrica Jacopo Di Cocco Corso di Contabilità nazionale...

Le tavole input-outputLa versione simmetrica

Jacopo Di CoccoCorso di Contabilità nazionaleFacoltà di Economia - Bologna

Jacopo Di Cocco Tavole Input-Output 2

L’integrazione risorse - impieghi

• La matrice della produzione non è collegata a quella delle risorse salvo che per il totale dell’output per calcolare le interdipendenze tra i produttori è necessario integrare le due tavole tramite il calcolo dei costi intermedi prodotto per prodotto o industria per industria in modo che ad ogni variazione indotta nella produzione di una branca o di un prodotto si possano calcolare gli indotti sugli altri produttori.

• Per fare ciò si seguono due passi:– Redigere una tavola combinata risorse ed impieghi,– Calcolare tavole quadrate e simmetriche di consumi intermedi


La tavola combinata risorse ed impieghi

• Una tavola combinata delle risorse e degli impieghi presenta sotto forma di una tavola unica (cfr. tavola 9.3), aggiungendo, per la produzione e le importazioni, due righe ed una colonna alla tavola degli impieghi (cfr. tavola 9.2). Si noti che nella tavola 9.3 sono state trasposte le righe e le colonne della tavola delle risorse 9.1.

• Si fornisce uno schema semplificato (a 3 branche) della tavola combinata indicando matrici e vettori inseriti con i soli simboli utilizzati nelle tavole precedenti


Convenzioni matriciali (1)

• Una matrice è indicata con una lettera latina maiuscola;

• Un vettore (matrice uni-dimensionale) con una lettera latina minuscola;

• L’apostrafo indica la trasposta di una matrice o vettore

• L’accento circonflesso ^ su un vettore indica che lo si è diagonalizzato trasformandolo in una matrice tutta nulla salvo la diagonale principale che riporta i valori del vettore (cfr. gli appositi lucidi successivi)


Convenzioni matriciali (2)• Le dimensioni di una matrice o di un vettore sono

indicati con pedici destri e fanno riferimento a:– p = numero di prodotti – b = numero di branche.

• Nelle formule il pedice sinistro indica l’origine:– t = tutte le origini o totale– p = di produzione interna– i = di importazione

• Gli apici segnalano:– i prezzi: (b = di base, f = alla produzione [ ex fabrica], a =

d’acquisto),– le componenti integrative di prezzo : (m = margini

commerciali e di trasporto, i = imposte indirette al netto dei contributi sui prodotti)


Convenzioni matriciali (3)

• In una matrice ed un vettore trasposti si ha lo scambio delle righe con le colonne, gli indici sono spesso sottointesi

• Un vettore è inteso sempre come colonna: 1 colonna ed n righe, per specificare un vettore riga si usa il segni di trasposto

bppb MMMM ,, '';

p1,p,1 qq';qq


Vettore diagonalizzato

• Un accento circonflesso su un vettore indica che è un vettore diagonalizzato (sia esso vettore colonna e riga)

• E’ trasformato in una matrice quadrata con tante righe e colonne come le righe del vettore colonna tutta di valori nulli salvo sulla diagonale principale ove gli elementi sono nell’ordine i componenti del vettore. 3

2

1

00

00

00

ˆ

g

g

g

g


Somma di matrici• Si possono sommare (o quindi sottrarre) solo

matrici delle stesse dimensioni.• La matrice risultato e ottenuta sommando gli

elementi corrispondenti delle matrici addendo.

3,33,32,22,31,31,3

3,23,22,22,21,21,2

3,13,12,12,11,11,1

3,32,31,3

3,22,21,2

3,12,11,1

xxxxxx

xxxxxx

xxxxxx

xxx

xxx

xxx

ipipip

ipipip

ipipip

ttt

ttt

ttt

XXX ipt


Prodotto di matrici

• Due matrici si possono moltiplicare solo se le colonne della prima sono numerose come le righe della seconda.

• La matrice prodotto ha le righe della prima e le colonne della seconda• Ogni elemento kij della matrice prodotto è la sommatoria dei prodotti

ordinati tra gli elementi della ia riga della prima matrice e della ja colonna della seconda.

3,33,23,22,23,13,2

3,33,13,22,13,11,1

2,33,22,22,22,12,2

2,33,12,22,12,11,1

3,13,21,22,21,11,2

3,13,11,22,11,11,1

3,32,31,3

3,22,21,2

3,12,11,1

3,2

3,1

2,2

2,1

1,2

1,1

3,2

3,1

2,2

2,1

1,2

1,1

*

*

lylyly

lylyly

lylyly

lylyly

lylyly

lylyly

lll

lll

lll

y

y

y

y

y

y

k

k

k

k

k

k

YLK


Matrice identità e vettore unitario

• La matrice identità è una matrice quadrata tutta di 0 salvo la diagonale di 1 essa svolge la funzione di unità matriciale, moltiplicata per una matrice la lascia invariata.

• Un vettore unitario è composto di componenti tutti = a 1 e, opportunamente moltiplicato per una matrice, fornisce un vettore dei totali di riga o di colonna.

100

010

001

I

111;

1

1

1

u'u


Matrice inversa

10

01

31

52

21

53

31

52

21

53

:numerico esempio

1

1

I*HH 1• Una matrice inversa, se esiste, funge da reciproco della originaria quadrata e pre o post moltiplicata per questa dà la matrice identità. Per le modalità di calcolo si rinvia al programma di Matematica generale


Vettore diagonalizzato ed invertito

• Un vettore diagonalizzato ed invertito ha sulla diagonale principale i reciproci degli elementi del vettore originario.

• Esso consente di ordinatamente dividere tutti gli elementi di una matrice per quelli di un vettore;

• per riga pre-moltiplicando e per colonna post-moltiplicando.

3

2

1

/100

0/10

00/1

ˆ

g

g

g

1g


Notazioni per le matrici e i vettori per le conversioni delle SUT in tavole simmetriche

• U: matrice intermedia della tavola use H (dimensione: prodotto per branca);

• B: matrice dei coefficienti intermedi dalla use (dimensione: prodotto per branca): U

• E: parte della domanda finale della tavola use• Y: matrice del valore aggiunto (dimensione: fattore per branca);• M: matrice della produzione (make o supply) che descrive la

produzione interna (dimensioni: prodotto per branca);• D: matrice delle quote di mercato (le proporzioni in cui le diverse

branche producono l’output totale di un determinato prodotto): M’ (il simbolo’ indica la trasposta);

• g: vettore dell’output per branca ( : diagonalizzato);• q: vettore dell’output per prodotto ( : diagonalizzato).g

1g ˆ

1q ˆ

q


La tavola combinata a valori totali

Tavola 9.3 Tavola combinata delle risorse e degli impieghi (vers. semp.)

Impieghi Prodotti Branche Impieghi finali Impieghi totaliProdotti (1) codici P1 P2 P3 A1 A2 A3 (4) (5)

Agricoltura s.p. P1bxp

1,4bxp

1,5bxp

1,6

P.industriali P2bxp

2,4bxp

2,5bxp

2,6

P. dei servizi P3bxp

3,4bxp

3,5bxp

3,6

Branche Tavola ai prezzi alla produzione, impieghi di qualsiasi origine

Agricoltura s.p. A1

Industria A2

Servizi A3

Valore aggiunto 3

Importazioni dall'estero 4

Risorse e Produzione (t.input)

5

M

Ut

g

q't

Et qt

g'

y' r R


La tavola combinata della produzione interna

Tavola 9.3.a Tavola combinata delle risorse e degli impieghi prodotti int.



1,4bxp

1,5bxp

1,6

P.industriali P2bxp

2,4bxp

2,5bxp

2,6


3,4bxp

3,5bxp

3,6

Branche Tavola ai prezzi alla produzione, impieghi di origine interna

Agricoltura s.p. A1

Industria A2

Servizi A3

Valore aggiunto 3 NB pedice p implicito



5

M

U

g

q'

E q

g'

y'


La tavola combinata delle importazioni

Tavola 9.3.b Tavola combinata delle risorse e degli impieghi importati



1,4bxp

1,5bxp

1,6

P.industriali P2bxp

2,4bxp

2,5bxp

2,6


3,4bxp

3,5bxp

3,6

Branche Tavola ai prezzi cif in quanto impieghi di origine estera

Agricoltura s.p. A1

Industria A2

Servizi A3

Valore aggiunto 3 NB tutti valori nulli in

Importazioni dall'estero 4 un'economia chiusa


5

iU

iq'

iE iq

iM R


Tavole simmetriche (1)

• Una tavola delle interdipendenze simmetrica è una matrice prodotto per prodotto o branca per branca che descrive dettagliatamente i processi di produzione interni e le operazioni sui prodotti dell’economia nazionale.

• Elaborare una tavola delle interdipendenze simmetrica permette di riunire in un’unica tavola quelle delle risorse e degli impieghi.

• Si parte da quella combinata e si usano gli algoritmi e le ipotesi che illustreremo.


Tavole simmetriche (2)

• Vi è una importante differenza concettuale fra una tavola delle interdipendenze simmetrica e una tavola combinata delle risorse e degli impieghi: nella tavola delle risorse e degli impieghi, le statistiche mettono in relazione prodotti e branche di attività economica, mentre, nella tavola delle interdipendenze settoriali simmetrica, i dati calcolati mettono in correlazione prodotti con prodotti o branche con branche.

• Pertanto, in una tavola delle interdipendenze simmetrica viene utilizzata, tanto per le righe quanto per le colonne, o una classificazione per prodotto o una classificazione per branca di attività economica.


I calcoli dei coefficienti simmetrici

• Nel rispondere ai questionari le aziende con più prodotti forniscono abbastanza facilmente il valore della produzione articolata per prodotto e gli acquisti intermedi sempre articolati per prodotto, ma difficilmente dispongono di dati sui loro utilizzi per linea di produzione e anche se hanno una contabilità analitica questa non segue le classificazioni CPA. Pertanto si ricorre a stime.

• Si stimano i coefficienti diretti e da questi si risale anche ai valori monetari oltre a calcolare quelli diretti ed indiretti del modello input-output.

• Per distribuire i consumi intermedi in funzione dei prodotti realizzati da ciascuna branca si stimano i consumi intermedi per prodotto sulla base di:– Coefficienti di spesa, mix produttivo e quote di mercato– Un’ipotesi sulla tecnologia seguita.


Matrici, vettori e quadraturedella tavola combinata

importati prodottiorigine qualsiasi di totaliimpieghi

origine);per o (totali finali intermedi impieghi

totaliimpieghi

prodotti dei totaleoffertadell' vettore

prodotti dei esterna offertadell' vettore

prodotti dei interna offertadell' vettore

VA intermedi consumi produzione della vettore

brancaper interna offertadell' vettore

brancaper retribuiti e usati fattori :aggiunto valoredel matrice

esterna origine di offerta mercato del matrice

interna origine di offerta mercato del matrice

importatiprodotti imp.fin. totalifinali Impieghi

impiego e prodottoper interna produzione di finali Impieghi

importatiprodotti int. cons. totaliint. consumi

brancaper prodotti di intermedi consumi dei matrice

,

pipppt

iiipppttpt

it

pr,iipii

pb,ppp

t

pb,pb

bh,

prii

pb,p

it

np,p

it

bp,tt

qqq

EuUuqEu;UuqEu;Uuq

q'q'q'

Mu'Mu'q'q'

Mu'Mu'q'q'

Yu'Uu'g'

uMgg

YY

MM

MM

EEE

EE

UUU

UU


I coefficienti di input di branca• La matrice Bpb dei coefficienti diretti di fabbisogno dei diversi prodotti i

per consumi intermedi per branca j rappresenta le proporzioni tra valori medi dei diversi input e output di ciascuna branca.

• Essa è calcolata dividendo colonna per colonna le spese intermedie per il valore della produzione ottenuta.

• La matrice è articolabile per origine interna ed esterna all’economia • Tutti i valori di Bpb sono positivi inferiori ad 1 ed anche la loro somma

per colonna

3

33

2

23

1

13

3

32

2

22

1

12

3

31

2

21

1

11

332313

322212

312111

importatiprodotti liinput tota di ticoefficien

ˆ;ˆ;ˆ

g

u

g

u

g

ug

u

g

u

g

ug

u

g

u

g

u

bbb

bbb

bbb

,,,

,,,

,,,

,,,

,,,

,,,

B

BBB

gUBgUBgUB

it

1ii

1tt

1


La matrice del mix di prodotto

• La matrice Cp,b del mix di prodotto mostra le proporzioni dell’offerta dei prodotti principali e secondaria nell’offerta complessiva delle diverse branche.

• Essa è calcolata dividendo riga per riga la trasposta dei prodotti offerti da ciascuna branca per l’offerta totale della stessa. Con la trasposizione si torna alla matrice originaria della tavola delle risorse. IC

u'Cu'

CC

'CC

bp,

1bb,bp,bp,

:sarebbe cuiper

1 campi i con tutti e 0 da diversa sarebbe principale

diagonale la solo ,secondari) prodotti (senza

omogenea produzione di tuttefossero branche le se

(o100%); 1 è colonna ogni di ticoefficien dei somma

la ovvero :identità seguente la Vale

;'

3

33

2

32

1

31

3

23

2

22

1

21

3

13

2

12

1

11

332313

322212

312111

1

g

m

g

m

g

mg

m

g

m

g

mg

m

g

m

g

m

ccc

ccc

ccc

gMgM

,,,

,,,

,,,

,,,

,,,

,,,


La matrice delle quote di mercato• La matrice pDpb delle

quote di mercato rappresenta le proporzioni in cui ogni branca risponde alla domanda di prodotti rivolta a beni e servizi di origine interna.

• Essa è calcolata dividendo colonna per colonna la matrice dei prodotti offerti da ciascuna branca per quelli offerti complessivamente da tutte le branche. uDu'Du'

qMD;qMD

u'Du'

qMD;qMD

ID

u'Du'

D

qMD;qMD

pr,t

ipb,t

p

pp,tpr,ipr,t

ipp,tpb,ppb,t

p

i

pp,ipr,ipr,i1

ii

pp,ppb,ppb,p1

:relazione seguente la vale

ˆˆ

:ocomplessiv mercato nel quote delle Matrici

:prodotto ogniper 1 è colonnaper somma La -

esternodall' aprovenienz di aree alle riferite Righe -

ˆ~ˆ~esterne economiche aree delle mercato di quote delle Matrice

omogenea produzione di branchePer -

:prodotto ogniper 1 è colonnaper somma La -

ˆ~ˆ~interni produttori dei mercato di quote delle Matrice

3

3,3

2

2,3

1

1,3

3

3,2

2

2,2

1

1,2

3

3,1

2

2,1

1

11

3,32,31,3

3,22,21,2

3,12,111

q

m

q

m

q

mq

m

q

m

q

mq

m

q

m

q

m

ddd

ddd

ddd

,

,


Le ipotesi tecnologiche

• Date le matrici rilevate e quelle calcolate si adotta una delle seguenti ipotesi tecnologiche:– Tecnologia di prodotto: “ogni prodotto,

indipendentemente dall’industria in cui si origina, è fabbricato utilizzando la stessa tecnologia” (stessi costi intermedi unitari)

– Tecnologia d’industria: “ogni prodotto (sia esso principale, secondario, sottoprodotto) della medesima industria è fabbricato con la stessa tecnologia” (stessi costi intermedi in ciascuna branca indipendentemente dai prodotti realizzati)

– Tecnologia mista: una combinazione empirica delle prime due


Le tavole prodotto per prodotto• Il SEC privilegia le tavole

prodotto per prodotto• T è una matrice prodotto per

prodotto che mostra i coefficienti di fabbisogno diretto di input intermedi

• PT, se si assume la tecnologia di prodotto, gli input unitari dell’industria j sono costituiti dalle medie ponderate (con i pesi della matrice C) degli input di ogni prodotto, da essa realizzato.

• IT, se si assume la tecnologia di industria gli input unitari nel prodotto i sono la media ponderata (con i pesi della matrice D) degli input dei prodotti delle industrie che lo producono.

jnnijijiji

jnnijijiji

ij

dbdbdba

j

cacacab

mix

jib

,,,22,,11,,

,,,22,,11,,

.....

:è generico elementoun mercato); di (quote matrice

della pesi icon producono li che industrie nelle prodotti di

input degli ponderata media la sono prodotto delinput Gli

:ha si industria di ia teconologlaCon

incongrui. enteeconomicam negativi, icefficient avere

possono si gruppoun di beni dei tàeterogeneiper Talvolta,

quadrata). (con :quindi

.....

.industria)per prodotti di ( dalla indicato

come così ,realizzati prodotti dei relativi pesi dei funzionein

industrianell' input dell' fabbisogno dal odeterminat è

:matrice della generico elementoun che significa ciò

D

BDT

CC*BT

C

TCB

I

1P

P


Le tavole industria per industria• Nelle tavole industria per industria la domanda

per beni e servizi intermedi dell’industria j si rivolge ai panieri di prodotti dell’industria i: anche in questo caso si possono assumere le due tecnologie.

• La matrice dei coefficienti di fabbisogno diretto di input intermedi simmetrica da industria a industria (da branca a branca di attività economica) è indicata con A:– PA, se calcolata con la tecnologia di prodotto– IA, se calcolata con la tecnologia di industria


Calcolo delle matrici A

• Se si assume la tecnologia di prodotto l’input del prodotto i nell’industria j è dato dall’input di ogni industria nell’industria j, ponderato con il pesi della matrice C del mix produttivo; si ha B=CPA da cui PA=C-1B (sempre con C quadrata).

• Se si assume la tecnologia di industria, l’input dell’industria i nell’industria j è dato dall’input di ogni prodotto nell’industria j, ponderato per la quota di produzione di i nella produzione di ogni prodotto (come da matrice D); si ha IA = DB


La tecnologia mista

• Nella realtà alcuni prodotti seguono la tecnologia di industria (ad esempio i sottoprodotti) altri quella di prodotto. Per seguire questa più realistica ipotesi di tecnologia mista si devono realizzare due diverse tavole dell’offerta quella dei prodotti realizzati con la prima tecnologia e quella dei prodotti realizzati con la seconda per cui si avrà: M=IM+PM

• Di conseguenza tutti i coefficienti dovranno essere calcolati separatamente secondo le due tecnologie poi sommati.


Coefficienti per la tavola simmetrica

Impieghi Prodotti Branche Impieghi finali Impieghi t. Prodotti (1) codici P1 P2 P3 A1 A2 A3 (4) (5)


1,4bxp

1,5bxp

1,6

P.industriali P2bxp

2,4bxp

2,5bxp

2,6


3,4bxp

3,5bxp

3,6

Branche Coefficienti calcolati per la produzione interna o per un'economia chiusa

Agricoltura s.p. A1

Industria A2

Servizi A3

Valore aggiunto


Produzione-t.i. 8=5+7

D=Mg^-1

- X

g

q'

f d

-

g'

y' e

TI = BD

TP = BC-1B=Ug^-1

C = M'g^-1

g

q'

E d

AI = DB

AP = C-1B

g'

y'


Tavole simmetriche e modello I/O• Con le tavole simmetriche è possibile sviluppare il

modello delle interdipendenze industriale e calcolare significativi moltiplicatori dell’indotto.

• Mostriamo solo i principali sviluppi del modello.• Tra tutte le possibili versioni della simmetrica

adottiamo una simmetrica prodotto per prodotto ottenuta con l’ipotesi della tecnologia di prodotto.

• Quanto sarà mostrato è possibile applicarlo alle tutte le simmetriche, per prodotto o industria, con qualsiasi ipotesi costruite.


Una tavola simmetrica semplificata

Tavola 9.4 Versione semplificata di tavola delle interdipendenze simmetrica (prodotto per prodotto, tecnologia industria)

Prodotti Resto del mondoSpesa per

consumi finali

Investimenti lordi Totale

Prodotti X=PTg^ Fe=Ex Fc=Cf Fi =I q

Componenti del valore aggiunto

y=Yg^ – – –

–

Produzione per prodotto g=pq

Resto del mondo im – – ––

Totale r'=tq' – – –r‘u=u'tq


T9.4 Tavola simmetrica delle interdipendenze: prodotto per prodotto, prez.d'acquisto

Impieghi e Prodotti Impieghi finali Impieghi t. costi di produzione (1) (2) (3) (4) (5)

Prodotti (1) codici P1 P2 P3 P4 P5 P6 Xu Ex Cf I FU aqt

Agricoltura s.p. P1 x 1,1 x 1,2 x 1,3 x 1,4 x 1,5 x 1,6S x 1,j f1,ex f1,cf f1,I

Sf1,naqt1

P.industriali P2 x 2,1 x 2,2 x 2,3 x 2,4 x 2,5 x 2,6S x 2,j f2,ex f2,cf f2,I

Sf2,naqt2

P. costruzioni P3 x 3,1 x 3,2 x 3,3 x 3,4 x 3,5 x 3,6S x 3,j f3.ex f3,cf f3,I

Sf3,naqt3

Servizi tradizion. P4 x 4,1 x 4,2 x 4,3 x 4,4 x 4,5 x 4,6S x 3,j f4.ex f4,cf f4,I

Sf3,naqt4

Servizi fin.pr.no. P5 x 5,1 x 5,2 x 5,3 x 5,4 x 5,5 x 5,6S x 5,j f5.ex f5,cf f5,I

Sf5,naqt5

A.servizi pu.priv. P6 x 6,1 x 6,2 x 6,3 x 6,4 sx 6,5 x 6,6S x 6,j f6.ex f6,cf f6,I

Sf6,naqt6

Totali Ci, If U'X S x i,1S x i,2

S x i,3S x i,4

S x i,5S x i,6

S x i,jSfi,ex

Sfi,cfSfi,I

Sfi,nSaqti+Srj

T. consumi intermedi per branca Totali impieghi finali T.impieghi Tavola dei fattori e delle risorse Yu X = matrice d.consumi intermedi calcolati

R.lavoro.dip. w' yl,1 yl,2 yl,3 yl,4 yl,5 yl,6Syl,j XU = vendite intermedie p.a.

A.impos.i.n.s.pe.at' yt,1 yt,2 yt,3 yt,4 yt,5 yt,6

Syt,j U'X = acquisti intermedi p.a.

Ammortamenti a' ya,1 ya,2 ya,3 ya,4 ya,5 ya,6Sya,j F = matrice degli impieghi finali p.a.

R.N.Gestione p' yr,1 yr,2 yr,3 yr,4 yr,5 yr,6Syr,j aqt = impieghi totali per prodotto

Valore aggiunto U'Y Syi,1Syi,2

Syi,3Syi,4

Syi,5Syi,6

Syi,j Y = matrice del valore aggiunto

Produzione-t.i. s'bs1

bs2bs3

bs4bs5

bs6Sbsj s = produzione lorda vendibile dei prodotti

Importazioni cif m' m1 m2 m3 m4 m5 m6SmI,j m =vettore delle importazioni cif

Impos.n. s. prodottipt' pt1

pt2pt3

pt4pt5

pt6 Stj pt' = imposte indirette nette sui prodotti

Totali delle risorsear' ar1

ar2ar3

ar4ar5

ar6Srj

ar' = risorse per prodotto p.a.


Articolazioni della TIO simmetricaprodotto per prodotto

• Le due versioni prodotto per prodotto e industria per industria sono sostanzialmente analoghe salvo la differenza dell’articolazione dei beni utilizzati dei loro produttori

• La tavola prodotto per prodotto segue il modello I/O classico di omogeneità merceologica dei produttori.

• Si articola logicamente nella matrice dei consumi intermedi, in quella degli impieghi finali, in quella dei fattori della produzione e delle risorse.

• I consumi intermedi sono presentati per gruppo merceologico o branca di produzione omogenea di origine (colonne) per gruppo merceologico o branca omogenea di destinazione (righe): da chi a chi.

• Gli impieghi finali sono articolati per impiego (colonne) e per prodotti utilizzati (branca di produzione omogenea fornitrice).

• Consumi intermedi ed impieghi finali sono articolati per origine interna o esterna all’economia.

• La matrice dei fattori e delle risorse vede in colonna i prodotti realizzati e in riga i fattori e le risorse (prodotte e importate) utilizzate per costruirli.


Articolazioni della TIO simmetricaindustria per industria

• Le versione industria per industria (industria = branca di attività economica) privilegia le unità produttive locali più facili da rilevare e calcolare. Consente tuttavia di calcolare il modello I/O.

• Si articola logicamente nella matrice dei consumi intermedi, in quella degli impieghi finali, in quella dei fattori della produzione e delle risorse.

• I consumi intermedi sono presentati per branca di attività economica produttrice (colonne) per corrispondente paniere di beni utilizzati dalle branche di destinazione (righe): da chi a chi.

• Gli impieghi finali sono articolati per impiego (colonne) e per paniere di prodotti utilizzati (branca di attività economica fornitrice).

• Consumi intermedi ed impieghi finali sono articolati per origine interna o esterna all’economia.

• La matrice dei fattori e delle risorse vede in colonna le branche di attività economica utilizzatrici e in riga i fattori e i diversi panieri delle risorse prodotte ed importate.

Le tavole input-output La versione simmetrica Jacopo Di Cocco Corso di Contabilità nazionale...

Documents

Transcript of Le tavole input-output La versione simmetrica Jacopo Di Cocco Corso di Contabilità nazionale...