LE PROPORZIONI

Torta Margherita

Ingredienti per 6 persone• 4 uova• 2 kg di farina• 400 g di zucchero• 6 noci di burro

Preparazione:Separare i tuorli dalle chiare, unire i tuorli alla farina….

Mase dobbiamo preparare una cena per 9

persone?

Quante uova?

Quanti chili di farina?

Quanto burro?

Per questo (e non solo) ci sono le proporzioni

La parola proporzione è nel linguaggio comune

…la crescita demografica del paese è stata

proporzionale alla crescita economica…

Quella persona è proporzionata!

Luigi ha avuto una reazione sproporzionata

Per essere precisi…

Nell’esempio: La crescita demografica del paese

è stata proporzionale alla crescita economica

Avremmo dovuto scrivere:La crescita demografica del paese è stata

direttamente proporzionale alla crescita economica

Definizione (un po’ imprecisa) di grandezze direttamente proporzionali

Due grandezze sono direttamente proporzionali se all’aumentare dell’una aumenta anche l’altra

E che vuol dire?

In matematica possiamo e dobbiamo essere più precisi!

Per farlo abbiamo bisogno della seguente:

Definizione di vettore: un vettore è un insieme ordinato di numeri.Esempi: (3, 7, 22) è un vettore composto da 3 numeri(5, 182) è un vettore composto da 2 numeri.Ordinato significa che se cambio l’ordine dei numeri ottengo un vettore diverso: quindi (3, 5) è un vettore diverso da (5,3).

Adesso possiamo dare una definizione precisa:

Due vettori si dicono direttamente proporzionali se il rapporto (quoziente) fra i rispettivi elementi ordinati non cambia.

Esempio I vettori (15,21) e (5,7) sono direttamente proporzionali? Per vederlo mettiamoli “in colonna”:

15 5 15:5=3 21 7 21:7=3

Il rapporto è sempre 3 (quindi non cambia) quindi i 2 vettori sono direttamente proporzionali

Adesso possiamo dare una definizione precisa:

Due vettori si dicono direttamente proporzionali se il rapporto (quoziente) fra i rispettivi elementi ordinati non cambia.

Esempio I vettori (8,6) e (4,2) sono direttamente proporzionali? Per vederlo mettiamoli “in colonna”:

8 4 8:4=2 6 2 6:2=3

Il rapporto è prima 2 poi 3 (quindi cambia). Quindi i 2 vettori non sono direttamente proporzionali

Riprendiamo l’esempio dei vettori (15,21) e (5,7)

Come si è visto sono direttamente proporzionali perché:

15:5=21:7Che si legge “quindici diviso cinque uguale ventuno diviso sette”… ma se leggiamo il simbolo : con “sta” e il simbolo = con “come”, l’espressione si legge

15 sta a 5 come 21 sta a 7

Dal momento che 15:5=21:7

è un’uguaglianza vera,

si dice che tale espressione è una

proporzione

Un po’ di nomi…

15:5=21:7

Medi

Estremi Primi termini Secondi terminiQuindi, in questo esempio: 15 è il primo estremo, 5 il primo medio, 21 è il secondo medio e 7 è il secondo estremo

Proprietà fondamentale delle proporzioni

In una proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi (quindi se il prodotto dei medi è diverso da quello degli estremi, non è una proporzione).

Ciò conferma che:15:5=21:7

È una proporzione perché:Prodotto degli estremi: 15x7=105

sono ugualiProdotto dei medi: 5x21=105

Proprietà fondamentale delle proporzioni

In una proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi (quindi se il prodotto dei medi è diverso da quello degli estremi, non è una proporzione).

Mentre:3:7=4:9

Non è una proporzione perché:Prodotto degli estremi: 3x9=27

non sono ugualiProdotto dei medi: 7x4=28

Da una proporzione si ottengono altre proporzioni…

Scambiando i medi:

15:5 = 21:7

Da una proporzione si ottengono altre proporzioni…

Scambiando gli estremi:

15:5 = 21:7

Da una proporzione si ottengono altre proporzioni…

Scambiando fra loro sia i primi termini sia i secondi termini:

15 5 = 21 7: :

Questo basta per risolvere il problema della ricetta?

No, ma….Quasi.

Prima bisogna affrontare il problema della determinazione del quarto proporzionaleEsso consiste, una volta assegnati 3 numeri, nel determinarne un quarto in modo che i quattro numeri formino una proporzione

Esempio: Determinare il numero da sostituire a x in modo tale che l’espressione:

8 : x = 6 : 3sia una proporzione

Prodotto degli estremi: 8 3=24∙ .Prodotto dei medi: x 6∙Per essere una proporzione il prodotto dei medi deve essere uguale al prodotto degli estremi. Quindi:x 6 ∙ deve essere uguale a 24. Quindi: x=24:6 cioè

x=4

Esempio: Determinare il numero da sostituire a x in modo tale che l’espressione:

20 : 12 = 25 : xSia una proporzione

Prodotto dei medi: 12 25=300∙Prodotto degli estremi: 20 x∙Per essere una proporzione il prodotto dei medi deve essere uguale al prodotto degli estremi. Quindi:20 x ∙ deve essere uguale a 300. Quindi: x=300:20 cioè

x=15

Ricapitolando…

Se la x è un medio per determinarla bisogna fare il prodotto degli estremi e poi dividere per l’altro Medio.Se la x è un estremo per determinarla bisognafare il prodotto dei medi e poi dividere per l’altro estremo.

Torniamo adesso alla nostra ricetta…..

Ricordiamo: 4 uova per 6 persone, quante uova per 9 persone?

Intanto chiamiamo con la x il numero di uova per 9 persone. E costruiamo la seguente tabella:

Uova Persone 4 6

x 9 Perché x sono le uova Perché 4 uova sono per 6 per 9 persone, e quindi x

e 9 Persone e quindi vanno vanno nella stessa riga Nella stessa riga

Leggendo da sinistra a destra, affinché le quantità siano direttamente

Proporzionali deve risultare: 4:6=x:9

4:6=x:9

Che sappiamo tranquillamente risolvere:x= 4 9:6 = 36:6 = 6.∙

Quindi per 9 persone ci vogliono 6 uova.

Per esercizio determina anche i chili di farina e le noci di burro necessarie per 9 persone.