Le operazioni con i Le operazioni con i numerinumeri

Istituto Comprensivo “F. Jovine” - Scuola Secondaria di I gradoIstituto Comprensivo “F. Jovine” - Scuola Secondaria di I gradoA.S. 2012-2013 Classi Prime Disciplina: AritmeticaA.S. 2012-2013 Classi Prime Disciplina: Aritmetica

Realizzato dal prof. Aurelio NardelliRealizzato dal prof. Aurelio Nardelli

L'addizione è l'operazione che fa corrispondere a due numeri un terzo numero, ottenuto contando di seguito al primo tante unità quante ne indica il secondo.

10 + 8 = 18

Addendi Somma

In un'addizione, se uno dei due addendi è zero, la somma è uguale all'altro addendo. Per questo lo zero è detto elemento neutro dell'addizione.

26 + 0 = 26

L’addizioneL’addizione

Le proprietà Le proprietà dell'addizionedell'addizione

Proprietà commutativa dell'addizione: la somma di due o più numeri interi non cambia se si cambia l'ordine degli addenti.

11 + 9 = 20

I Proprietà

EsempiEsempi

9 + 11 = 20

17 + 3 + 5 = 25 5 + 17 + 3 = 25

Proprietà associativa dell'addizione: la somma di tre o più addenti non cambia, se a due o più di essi si sostituisce la loro somma.

II Proprietà

EsempioEsempio

15 + 5 + 7 + 13 = 40

Le proprietà Le proprietà dell'addizionedell'addizione

20 + 20 = 40

Proprietà dissociativa dell'addizione: la somma di più addenti non cambia se ad uno di essi sostituiamo altri due (o più) addendi la cui somma da quell'addendo.

III Proprietà

EsempiEsempi

(20 + 10) + (15 + 10) = 55

Le proprietà Le proprietà dell'addizionedell'addizione

30 + 25 = 55

La sottrazioneLa sottrazioneLa sottrazione è l'operazione che fa corrispondere a due numeri un terzo numero, che addizionato al secondo da per risultato il primo.

23 - 9 = 14

Minuendo

Differenza o resto

Dobbiamo però osservare che non è possibile la sottrazione con qualsiasi coppia di numeri naturali. Ad esempio, non possiamo calcolare la differenza 7 – 9 perché nessun numero naturale, addizionato a 9, da come risultato 5. Per tale ragione si è soliti dire che la sottrazione non è un'operazione interna ad N.

Sottraendo

Proprietà invariantiva della sottrazione: la differenza di due numeri non cambia se a ciascuno di essi si addiziona o si sottrae, se ciò è possibile, uno stesso numero.

Proprietà

EsempiEsempi

(25 + 5) - (15 + 5) = 30 – 20 = 10

La proprietà della La proprietà della sottrazionesottrazione

25 - 15 = 10

(25 - 5) - (15 - 5) = 20 – 10 = 10

25 - 15 = 10

La moltiplicazioneLa moltiplicazioneConsideriamo ora i prodotti: 1·16 =16 16·1 =16

Proprietà. In una moltiplicazione se uno dei due fattori è il numero 1 il prodotto è uguale all'altro fattore. Per questo il numero 1 è l'elemento neutro della moltiplicazione.

Consideriamo ora i prodotti: 0·16 =0 16·0 =0

Proprietà. Il prodotto di due fattori è uguale a 0 se e solo se almeno uno dei fattori è uguale a 0 (legge di annullamento del prodotto).

Proprietà commutativa della moltiplicazione: cambiando l'ordine dei fattori il prodotto non cambia.

I Proprietà

EsempioEsempio

Le proprietà della Le proprietà della moltiplicazionemoltiplicazione

30·3 = 90

3·30 = 90

Proprietà associativa della moltiplicazione: il prodotto di più fattori non cambia se a due (o più) di essi sostituiamo il loro prodotto.

II Proprietà

EsempioEsempio

Le proprietà della Le proprietà della moltiplicazionemoltiplicazione

(5·4)·3 = 60

20 · 3 = 60

Proprietà dissociativa della moltiplicazione: il prodotto di più fattori non cambia se ad uno di essi ne sostituiamo due (o più) tali però che, moltiplicati, diano quel fattore.

III Proprietà

EsempioEsempio

Le proprietà della Le proprietà della moltiplicazionemoltiplicazione

30·6 = 180

(5·6) · (2·3) = 180

Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione: per moltiplicare un'addizione per un numero, si può moltiplicare ciascun termine dell'addizione per quel numero e poi addizionare i prodotti ottenuti.

IV Proprietà

EsempioEsempio

Le proprietà della Le proprietà della moltiplicazionemoltiplicazione

(3 + 6)·4 =

9 · 4 = 36

3·4 + 6·4= 36

Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla sottrazione: per moltiplicare una sottrazione per un numero, si può moltiplicare ciascun termine della sottrazione per quel numero e poi sottrarre i prodotti ottenuti.

Tale proprietà è valida anche nel caso della sottrazione

EsempioEsempio

Le proprietà della Le proprietà della moltiplicazionemoltiplicazione

(21 – 9)·3 = 12 · 3 = 36

21·3 – 9·3 = 63-27= 36

La divisioneLa divisioneLa divisione è l'operazione che fa corrispondere a due numeri, di cui il secondo diverso da 0, un terzo numero, se esiste, che moltiplicato per il secondo da come risultato il primo.

28 : 7 = 4

Dividendo

Quoto o Quoziente

Dall'esempio precedente possiamo dedurre che la divisione è l'operazione inversa della moltiplicazione:

Divisore

dividendo : divisore = quoto se quoto · divisore = dividendo

La divisioneLa divisioneNon sempre però è possibile applicare le formule precedenti, perchè spesso accade che le divisioni vengono fuori con il resto.

Definizione: Il quoziente di una divisione si dice esatto se il resto è uguale a 0.

quoto · divisore + resto = dividendo

Pertanto avremo che:

17 : 5 = 3 con resto di 2

In divisioni di questo tipo il quoto si dice approssimato perchè il prodotto di quest'ultimo con il divisore non da come risultato il dividendo, ma un numero ad esso inferiore. Perciò avremo che:

L'esecuzione di questa formula consente la verifica del risultato della sovrastante divisione

3 · 5 + 2 = 17

La divisioneLa divisioneSe torniamo all'esempio precedente, possiamo risolvere la divisione utilizzando i numeri decimali.

17 : 5 = 3,4

In base a questo ragionamento possiamo concludere che la divisione non è un'operazione interna all'insieme N dei numeri naturali

Pertanto avremo che:

Lo zero e l'uno nelle Lo zero e l'uno nelle divisionidivisioni

I caso

0 : 15 = 0 perchè 0·15 = 0

Se il dividendo è zero e il divisore è diverso da zero, il quoto è uguale a zero.

II caso

33 : 0 = impossibile

Se il divisore è zero e il dividendo è diverso da zero, il quoto non esiste.

Proprietà invariantiva della divisione: il quoziente di due numeri rimane invariato se si moltiplicano o si dividono il dividendo e il divisore di una divisione per uno stesso numero diverso da zero.

I Proprietà

EsempiEsempi

(32 · 3) : (8 · 3) = 96 : 24 = 4

Le proprietà della Le proprietà della divisionedivisione

32 : 8 = 4

32 : 8 = 4

(32 : 4) : (8 : 4) = 8 : 2 = 4

Proprietà distributiva della divisione rispetto all'addizione: per dividere un'addizione per un numero, si può dividere, se ciò è possibile, ciascun termine dell'addizione per quel numero e poi addizionare i quoti ottenuti.

II Proprietà

EsempioEsempio

(30 + 12): 6 =

42 : 6 = 7

30:6 + 12:6 = 5+2 = 7

Le proprietà della Le proprietà della divisionedivisione

Proprietà distributiva della divisione rispetto alla sottrazione: per dividere una sottrazione per un numero, si può dividere, se ciò è possibile, ciascun termine della sottrazione per quel numero e poi sottrarre i quoti ottenuti.

Tale proprietà è valida anche nel caso della sottrazione

EsempioEsempio

(21 – 9):3 = 12 : 3 = 4

21:3 – 9:3 = 7-3 = 4

Le proprietà della Le proprietà della divisionedivisione

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