Dalle potenze ai numeri Dalle potenze ai numeri binaribinari

Istituto Comprensivo “F. Jovine” - Scuola Secondaria di I gradoIstituto Comprensivo “F. Jovine” - Scuola Secondaria di I gradoA.S. 2012-2013 Classi Prime Disciplina: AritmeticaA.S. 2012-2013 Classi Prime Disciplina: Aritmetica

Realizzato dal prof. Aurelio NardelliRealizzato dal prof. Aurelio Nardelli

La potenza di un numeroCimentatevi con il seguente rompicapo. In una città vi sono 7 strade, su ciascuna delle quali si affacciano sette palazzi di sette piani; a ogni piano abitano sette famiglie, ciascuna composta da sette persone; se ogni persona mangia sette biscotti al giorno, quanti biscotti verranno consumati in sette settimane?

La potenza di un numero

Il numero di strade è: 7Il numero di palazzi è: 7x7=49Il numero dei piani è: 7x7x7=343Il numero delle famiglie è:7x7x7x7=2401Il numero delle persone è:7x7x7x7x7=16807Il numero dei biscotti consumati al giorno è:7x7x7x7x7x7=117649Il numero di biscotti consumati alla settimana è:7x7x7x7x7x7x7=823543Il numero di biscotti consumati complessivamente in sette settimane è:7x7x7x7x7x7x7x7=5764801

La soluzione del problema è più facile di quando non sembri a prima vista.Si ha infatti:

La potenza di un numeroSe consideriamo il procedimento che ci porta alla soluzione del nostro problema ci accorgiamo che abbiamo moltiplicato il numero 7 per se stesso 8 volte.L' operazione consistente nel calcolare il prodotto di fattori tutti uguali fra loro si chiama elevamento a potenza. Il fattore che si ripete viene detto base; il numero dei fattori esponente.

Definizione: La potenza di un numero è il prodotto di tanti fattori uguali a quel numero detto base, quanti ne indica l'esponente

Le proprietà delle potenzeI proprietà

Il prodotto di due o più potenze aventi la stessa base è uguale ad una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti.

3 ∙ 3 = 3 = 3 3 4 3+4 7

stessa base

prodottodi potenze

somma degli esponenti

Le proprietà delle potenzeII proprietà

Il quoziente di due potenze aventi la stessa base è uguale ad una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti.

7 : 7 = 7 = 7 6 4 6-4 2

stessa base

quozientedi potenze

differenza degli esponenti

III proprietà

La potenza di una potenza è uguale ad una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti.

(3 ) = 3 = 3 2 3 2∙3 6

stessa base

potenzadi potenze

prodotto degli esponenti

Le proprietà delle potenze

IV proprietà

Il prodotto di due o più potenze aventi lo stesso esponente è uguale ad una potenza che ha per base il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente.

Le proprietà delle potenze

6 ∙ 3 = (6∙3) = 18 4 4 4

stesso esponente

prodotto dipotenze

4

prodotto dellebasi

V proprietà

Il quoziente di due potenze aventi lo stesso esponente è uguale ad una potenza che ha per base il quoziente delle basi e per esponente lo stesso esponente.

Le proprietà delle potenze

6 : 3 = (6:3) = 24 4 4

stesso esponente

quoziente dipotenze

4

qoziente delle basi

Le potenze con 0 e 1I caso

Una potenza di qualsiasi numero naturale diverso da zero, con esponente zero, è sempre uguale a 1

7 = 1 0

potenza con esponente zero

Le potenze con 0 e 1II caso

Una potenza con esponente uno è sempre uguale alla base stessa

6 = 6 1

potenza con esponente 1

Regole:» Le potenze del numero 1 sono sempre uguali a 1 qualunque sia l'esponente.» Le potenze del numero 0, con esponente diverso da zero,sono sempre uguali a 0.» La potenza 0 non ha significato

0

La notazione scientificaLa notazione scientifica di un numero consiste nella sua scrittura sotto forma di espressione in cui il valore posizionale di ciascuna cifra è dato dalla potenza del 10 corrispondente

10 = 110 = 1010 = 10010 = 1 00010 = 10 00010 = 100 00010 = 1 000 00010 = 10 000 00010 = 100 000 00010 = 1 000 000 00010 = 10 000 000 000

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Per capire meglio l'utilità di questa scrittura consideriamo le potenze di 10

Possiamo vedere che i risultati corrispondono al numero 1 seguito da tanti zeri quante sono le unità indicate dall’esponente.

10 = 100000 5

esponente 5 }5 zeri

La notazione scientificaOra, come già sappiamo, le potenze ci consentono di scrivere numeri molto grandi in maniera più semplice attraverso la notazione esponenziale.

Vediamo come fare.

Consideriamo il numero 4 567 703

Proviamo a scomporlo utilizzando la scrittura polinomiale:4 x 1 000 000 + 5 x 100 000 + 6 x 10 000 + 7 x 1 000 + 7 x 100 + 3 x 1

Considerato quanto abbiamo detto all’inizio, dalla scrittura polinomiale passiamo alla notazione esponenziale.

4 x 10 + 5 x 10 + 6 x 10 + 7 x 10 + 7 x 10 + 0 x 10 + 3 x 106 5 4 3 2 1 0

La notazione scientificaDi seguito riportiamo un esempio con il quale si capisce la maggiore sinteticità della notazione scientifica rispetto alla scrittura per esteso di un numero molto grande..

Proviamo ora a scrivere subito la notazione esponenziale di questi numeri che terminano tutti con uno o più zeri.

80 000 000 000 =8 x 1010

Esempi

25 000 000 000 000 =2,5 x 1013

Distanza terra – lunaScrittura estesa:

Notazione scientifica:

390 000 Km

3,9 x 10 Km5

La numerazione binariaIl sistema di numerazione che noi utilizziamo prende il nome di sistema decimale. Questo perché esso è caratterizzato dal fatto che 10 unità di un dato ordine formano una unità dell’ordine immediatamente superiore.Il numero 10 è la base del sistema.I numeri inferiori al 10 (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) servono per rappresentare tutti i possibili numeri.

Un altro sistema di numerazione è quello binario. Tale sistema, utilizzato dai sistemi elettronici (es. computer), è caratterizzato dal fatto che 2 unità di un dato ordine formano una unità dell’ordine immediatamente superiore.Questo sistema utilizza solo due simboli: i numeri 0 e 1 .I numeri inferiori al 2 (0,1) servono per rappresentare tutti i possibili numeri.

Il sistema decimale non è però il solo esistente.

La numerazione binariaE' possibile costruire la tabella del sistema binario nel modo seguente:

» i numeri 0 e 1 si scrivono come nella numerazione decimale;» per rappresentare il numero successivo (2), si scrive il numero 1 nella colonna delle Coppie e lo 0 nella colonna delle Unità; (si legge uno zero)» per rappresentare il numero 3, si scrive il numero 1 nella colonna delle Coppie e il numero 1 nella colonna delle Unità; (si legge uno uno)» per rappresentare il numero 4, si scrive il numero 1 nella colonna delle Quaterne, il numero 0 nella colonna delle Coppie e il numero 0 nella colonna delle Unità; (si legge uno zero zero).Così via per tutti gli altri numeri decimali.

La numerazione binariaDalla base 2 alla base 10

La conversione di un numero dalla base 2 alla base 10 può essere effettuata tramite scrittura polinomiale. Per fare ciò basta calcolare le somme relative ai prodotti delle potenze crescenti di due

Esempi

(1011) =2 1·2° + 1·2¹ + 0·2²+ 1·2³ = 11

(11011) =2 1·2° + 1·2¹ + 0·2²+ 1·2³ + 1·2 = 27 4

La numerazione binariaDalla base 10 alla base 2

La conversione di un numero dalla base 10 alla base 2 può essere effettuato tramite il metodo delle divisioni successive. Per fare ciò basta dividere il numero decimale dato fino a quando l'ultimo quoziente è uguale a 0

EsempioTrasformare il numero 37 dalla base 10 alla base 2:

37 : 2 = 18 resto 118 : 2 = 9 resto 09 : 2 = 4 resto 14 : 2 = 2 resto 02 : 2 = 1 resto 01 : 2 = 0 resto 1

Prendendo la successione dei resti nell'ordine inverso abbiamo che:37 = (100101)

2

Le quattro operazioni nel binario

L'addizione

L'addizione tra due o più numeri binari si esegue come una normale addizione. Bisogna però ricordare che 2 unità di un dato ordine, formano 1 unità dell'ordine immediatamente superiore.

Esempio

Vogliamo sommare tra loro i numeri binari 10011 e 10001 che indicano, rispettivamente, i numeri decimali 19 e 17.

I addendoII addendo

riporto

somma

10011 +10001 =

0

1

0

1

1001

Le quattro operazioni nel binario

La sottrazione

Anche la sottrazione tra due numeri binari si esegue come una normale sottrazione. Bisogna però tenere conto che ogni volta che si deve sottrarre dalla cifra 0 la cifra 1, occorre CHIEDERE IN PRESTITO una unità alla cifra di ordine immediatamente superiore e che essa vale 2 unità dell'ordine immediatamente inferiore.Esempio

vogliamo sottrarre al numero binario 11101 il numero binario 1110 che indicano, rispettivamente, i numeri decimali 29 e 14.

minuendosottraendodifferenza

11101 +1110 =

1111

10 prestito

Le quattro operazioni nel binario

La moltiplicazione

La moltiplicazione tra due o più numeri binari si esegue come una normale moltiplicazione, ricordando però che 2 unità di un dato ordine, formano 1 unità dell'ordine immediatamente superiore.Esempio

vogliamo moltiplicare il numero binario 111 con il numero binario 101 che indicano, rispettivamente, i numeri decimali 7 e 5.

I fattoreII fattore

111 x101 =

111000

111riporto

prodotto 11010

101

Le quattro operazioni nel binario

La divisione

Anche nel caso della divisione tra due numeri binari si applicano le regole consuete della divisione, ricordando sempre che 2 unità di un dato ordine, formano 1 unità dell'ordine immediatamente superiore.Esempiovogliamo dividere il numero binario 111100 con il numero binario 100 che indicano, rispettivamente, i numeri decimali 60 e 4.

» Abbassiamo le prime tre cifre del dividendo 111 e dividiamo per 100. Il risultato è 1. Moltiplichiamo 1 per 100 e otteniamo 100. Eseguiamo 111 - 100 = 11.

» Abbassiamo la quarta cifra del dividendo 1 e dividiamo 111 per 100. Il risultato è 1. Moltiplichiamo 1 per 100 e otteniamo 100. Eseguiamo 111 - 100 = 11.

» Abbassiamo la quinta cifra del dividendo 0 e dividiamo 110 per 100. Il risultato è 1. Moltiplichiamo 1 per 100 e otteniamo 100. Eseguiamo 110 - 100 = 10.

» Abbassiamo l'ultima cifra del dividendo 0 e dividiamo 100 per 100. Il risultato è 1. Moltiplichiamo 1 per 100 e otteniamo 100. Eseguiamo 100 - 100 = 0.