Le funzioni esponenziali

Borghesi Mirko 4^0 ITIS B.Castelli

Le funzioni esponenziali


f. Esponenziale

Si può affermare che se a e' un numero reale positivo, per qualunque valore di x e' definita la funzione :

f : x ax

Quella sopracitata viene detta funzione esponenziale, la sua base è a;il suo dominio è R [insieme numeri reali] il suo codominio è R+ [insieme reali positivi ]

La sua equazione generale sarà :

Y= a ^x


Con queste funzione è importante differenziare il caso in cui la base è compresa fra 0 ed 1 dal caso in cui la base è uguale ad uno all’ultimo nel quale la base è maggiore di 1.

a=1 si tratta del caso più insignificante in in quanto 1^x = 1

0 < a < 1 qui lo studio del caso può essere svolto sostituendo un

valore a nostro piacimento ad x e trovando il valore di y. In seguito può essere tracciato un grafico attraverso i valori tabulati. Il grafico della funzione:

f : x 2x

dovrebbe essere il seguente :


Il grafico giace nel semipiano positivo delle ordinate. Il grafico non interseca l’asse delle ascisse.Il grafico interseca l’asse delle ordinate nel punto (0,1).È una funzione monotona crescente.


Quindi la potenza cresce al crescere dell’esponente se la base a viene elevata ad x con x maggiore di 1 e più cresce l’esponente più la potenza aumenta di valore.I valori della funzione tendono quindi a divenire infiniti al crescere dell’esponente positvo.Quando andiamo invece a sostituire i valori negativi crescenti al valore assoluto y continua ad assumere valori positivi ma tende a divenire sempre piu piccola, tendente a 0, per questo si dice che si avvicina asintoticamnte a zero mano mano che ci si allontana dall’origine.


In conclusione è possibile dire :

1) Per a>1 la funzione di equazione Y= a ^x è rappresentata dal seguente grafico, un grafico di questo tipo è detto a CURVA ESPONENZIALE e passa per [0,1]

2) Per 0 < a < 1 la funzione di equazione Y= a ^x è rappresentata dalla curva seguente detta anch’essa esponenziale e passante ancora per [0,1]


Ora poniamo piu funzioni esponenziali sullo stesso grafico e andiamo ad osservare come varia la pendenza di esse al variare dei valori.

Le funzioni saranno le seguenti:

Il grafico risultante sarà il seguente:


Altre funzioni potrebbero essere:

Y = ( ½ )^x Y= ( 1/3 )^x


Ora io metto all’interno dello stesso grafico tutte le funzioni precedentemente disegnate e osservo il tutto attentamente.

Noto che i grafici delle funzioni esponenziali di equazioni Y=(1 /a ) ^x eY= a^x sono simmetrici rispetto l’asse delle ordinate.


Ulteriori funzioni potrebbero essere le seguenti ottenute tramite la modifica dei segni. In seguito riporto anche una funzione con il valore assoluto.


E col valore assoluto

Y = 2 ^ |x|

Y = 2 ^ -|x|

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