Le Equazioni per lo Studio della Dinamica Mediante le equazioni per lo studio della dinamica delle...
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Le Equazioni per lo Studio della Dinamica Mediante le equazioni per lo studio della dinamica delle Macchine Elettriche si cerca di predire il comportamento elettromeccanico delle macchine al variare di alcune grandezze di influenza. In particolare, mediante queste equazioni è possibile studiarne l’avviamento, la fermata ed il modo con cui la macchina si porta da un punto di lavoro all’altro. Se si desidera controllare (comandare) la dinamica, i modelli qui presentati vengono inseriti in opportuni sistemi di controllo (Azionamenti Elettrici=Macchine+Convertitore+Controllo). Diversi sono gli approcci possibili: • Risoluzione delle equazioni differenziali nel dominio del tempo, • Approccio Input/Output mediante lo studio delle Funzioni di Trasferimento, • Modellizzazione con le Equazioni di Stato.
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Le Equazioni per lo Studio della Dinamica Le Equazioni per lo Studio della Dinamica
Mediante le equazioni per lo studio della dinamica delle Macchine Elettriche si cerca di predire il comportamento elettromeccanico delle macchine al variare di alcune grandezze di influenza. In particolare, mediante queste equazioni è possibile studiarnel’avviamento, la fermata ed il modo con cui la macchina si porta da un punto di lavoro all’altro.
Se si desidera controllare (comandare) la dinamica, i modelli qui presentati vengono inseriti in opportuni sistemi di controllo (Azionamenti Elettrici=Macchine+Convertitore+Controllo).
Diversi sono gli approcci possibili:
• Risoluzione delle equazioni differenziali nel dominio del tempo,
• Approccio Input/Output mediante lo studio delle Funzioni di Trasferimento,
• Modellizzazione con le Equazioni di Stato.
• La risoluzione delle equazioni di tempo è il primo metodo impiegato per la previsione della dinamica. E’ stato abbandonato perché troppo complicato e non si presta all’impiego nei controlli automatizzati.
• La Funzione di Trasferimento viene definita attraverso la trasformata della risposta impulsiva o dal rapporto tra le trasformate dell’uscita e dell’ingresso considerati. Bisogna selezionare una determinata uscita in ragione di un ingresso, quando le altre grandezze restano costanti. L’ipotesi di linearità è alla base del metodo.
• Si ricorda che la forma canonica delle equazioni di stato è:
Le equazioni di stato si determinano facilmente tenendo conto delle variabili soggette a derivazione, in condizioni quindi di descrivere lo stato della macchina. Sono state sviluppate per tenere conto di più ingressi e più uscite, simultaneamente.
(Teoria=>Controlli; Applicazioni=Azionamenti Elettrici
UDXCY
UBXAX
Soluzione della Dinamica nel Dominio del Tempo
Consideriamo un circuito con resistenza e coeff. di autoinduzione:
La tensione di alimentazione v(t) è sinusoidale (f=50 Hz).Si chiude l’interruttore all’istante t=t0 che definisce l’inizio del transitorio che vogliamo determinare;
con
La corrente i(t) che percorre il circuito è definita dalla equazione
~LR
t0
i(t)v(t)
)t(sinV)t(v m 0t
)t(sinVRidt
diL m
L’omogenea associata a questa equazione differenziale è data da
ed ha come soluzione
L’integrale generale è quindi dato da i(t)=i0(t)+ip dove ip è un
integrale particolare la cui forma è del tipo
dove A e B sono delle costanti. Orae la derivata di ip vale
sostituendo:
0Ridt
diL
t0 eC)t(i
R
L
)t(Bsin)tcos(Aip
)t(sinVRidt
diL mp
p
)tcos(B)t(sinAdt
dip
)t(sinV))t(Bsin)tcos(A(R))tcos(B)t(sinA(L m
)t(sinV)tcos()RABL()t(sin)ALBR( m
0CeL
Re)
1(C0i
L
R
dt
di 11
eguagliando i coefficienti dei termini simili si ottengono le due equazioni che permettono di determinare i due coeff. incogniti.
mVALBR
0RABL R
BLA
;VLR
BLBR m
;V
R
LBBR m
22
m222 RV)LR(B 222
m
LR
RVB
222m
LR
RV
R
L
R
BLA
222m
LR
LVA
L’integrale particolare che soddisfa l’equazione diff. risulta quindi
)t(sinLR
RV)tcos(
LR
VLi
222m
222m
p
)t(sinLR
R)tcos(
LR
LVi
222222mp
Semplificando
dove è stato posto
sapendo che
)t(sinq)tcos(pVi mp
222 LR
Lp
222 LR
Rq
)(sinrqsincosp
22 qpr
p
qtanarc
2222222
22222
LR
1
)LR(
RLqp
222
22
LR
1qpr
R
Ltanarc
R
Ltanarc
R
Ltanarc
L’integrale particolare cercato assume quindi la forma
Gli elementi R ed X=L sono i componenti dell’impedenza:
ed in modulo:
)t(sinLR
Vi
222
mp
LjRZ ZLR 222
In definitiva possiamo scrivere
L’integrale generale dell’equazione, dato da risulta
La costante C si determina dalle condizioni iniziali. Per t=0 => i(0)=0. Si ha
La soluzione generale dell’equazione generale è quindi
)t(sinZ
Vi m
p
p0 i)t(i)t(i
)t(sinZ
VeC)t(i m
tL
R
0)(sinZ
VC m )(sin
Z
VC m
)t(sinZ
Ve)(sin
Z
V)t(i m
tL
Rm
tL
R
e)(sin)t(sinZ
V2)t(i
R
L tan;
L’andamento della i nel tempo (a partire dall’istante t = 0 in cui si chiude l’interruttore M) è indicato nel grafico seguente, in cui si è posto:
Ip : valore massimo della corrente
Ir : valore di cresta della corrente a regime;
Ip
t
i
Ir
tL
R
e)(sinZ
V2 i(t)
corrente unidirezionale
La corrente a regime si determina per t=>
)t(sinZ
V)t(i m
r
La corrente a regime è sfasata in ritardo rispetto alla tensione
dell’angolo R
Ltanarc
ed ha (com’è ovvio) un valore efficace
ed un valore di cresta Z
VI
Z
V2I r
Se la resistenza R è trascurabile nei confronti della reattanza X=L (R<<X), si ha che /2 e quindi la corrente di corto a regime, sfasata di 90° in ritardo rispetto alla tensione, è data da:
)t(cosZ
V2)t(i
Il valore di picco della corrente, Ip, dipende dall’angolo di fase della tensione applicata, =t0 e quindi dall’istante t0 in cui ha inizio la circolazione di corrente.
Nel grafico seguente è riportato l’andamento della corrente per diversi valori dell’angolo – (arctan(-L/R) dipende dagli elementi circuitali e dalla pulsazione che possiamo ritenere costante dal momento che il sistema funzione a 50 Hz)
1
2
Ip / Ir
Ip
Ir
= 90°
= 60°
= 30°
= 0°
t0
icc(t)
Nelle ordinate del grafico precedente è anche riportato il rapporto fra valore di picco Ip della corrente e valore di cresta della corrente di corto a regime Ir .Il più alto valore di tale rapporto si ha per – =90°, cioè per = , dove si ha
Ip/Ir = 2.
Equazioni Interne per la Dinamica di Motori in CCEquazioni Interne per la Dinamica di Motori in CC
dt
)t(diL)t(i)RR()t(v e
eeepe
/)t(iN)t( ee
)t()t(i"'K)t(n)t("K)t()t('K)t(e eeee
)t()t('Kdt
)t(diL)t(iR)t(v e
aaaaa
)t(i)t("K)t(i)t(i'K)t(T amaemm
dt
)t(dJ)t(F)t(T)t(T rm
Il modello non è lineare per la presenza di moltiplicazioni tra parametri dipendenti dal tempo, in particolare la f.e.m. indotta e la coppia generata.
Se voglio un sistema lineare, devo tenere fermo qualche parametro e modificare altri opportunamente.
Eccitazione Separata Eccitazione Separata
Strategie per il ControlloStrategie per il Controllo
Se voglio un sistema lineare, devo tenere ferma la configurazione del sistema di eccitazione mentre variano le grandezze di armatura e viceversa.
Con riferimento alle equazioni non lineari
possiamo ottenere quattro configurazioni di controllo:
1) Eccitazione costante: si controlla la tensione di armatura;
2) Eccitazione costante: si controlla la corrente di armatura con tensione di armatura costante;
3) Variazione della sola tensione di eccitazione a tensione di armatura costante;
4) Variazione della corrente di eccitazione a tensione di armatura ed eccitazione costanti.
)t()t('K)t(e e )t(i)t(iK)t(T aemm
Esempio: Funzioni di TrasferimentoEsempio: Funzioni di Trasferimento
Si vuole determinare la funzione di trasferimento per un motore ad eccitazione separata, in cui la variabile di ingresso è la tensione di armatura mentre quella di uscita è la velocità angolare. La coppia di carico è proporzionale alla velocità angolare, siamo in presenza di attriti (coeff. di attrito, F) e masse inerziali (momento di inerzia complessivo, J). L’eccitazione è mantenuta costante.Se il regime elettrico del circuito di eccitazione è mantenuto costante, il sistema di equazioni si particolarizza nel modo seguente:
)t(K)t('K)t(e ee
)t(iK)t(iIK)t(T aMaemm
eepe I)RR(V
/IN ee
)t(Kdt
)t(diL)t(iR)t(v e
aaaaa
dt
)t(dJ)t(F)t(T)t(T rm
)t(iK)t(T aMm dt
)t(dJ)t(F)t(T)t(T rm
dt
)t(dJ)t(F)t(K)t(iK aM
Trasformando con Laplace )s(sJ)s()FK()s(IK aM
)s(V
)s()s(W
a
W(s) deve contenere solo termini riferiti alla macchina, non deve contenere termini “elettrici”. Si devono ricavare equazioni contenenti solo pulsazioni e tensioni di armatura. Dalla equazione meccanica:
La funzione di trasferimento si definisce come :
Si considera anche il II° principio di Kirchoff applicato alla maglia di armatura
)t(Kdt
)t(diL)t(iR)t(v e
aaaaa
)s(K)s(I)sLR(V
)s(K)s(IsL)s(IR)s(V
eaaaa
eaaaaa
Trasformando con Laplace
Per determinare la Funzione di Trasferimento, è necessario che si trovi una equazione con le sole variabili di ingresso e di uscita. Considerando di nuovo la eq. della meccanica e mettendo in evidenza la corrente Ia(s):
Ma K/))s()sJ)FK((()s(I
La inserisco nella equazione elettrica della maglia di ingresso
)s(KK
)s()sJ)FK(()sLR()s(V e
Maaa
)s(K
KK)sJ)FK)((sLR()s(V
M
eMaaa
Tenendo conto della definizione di F.d.T.:
eMaa
M
a KK)sJ)FK)((sLR(
K
)s(V
)s()s(W
Si sviluppa per portarsi alla forma canonica:
)KK)FK(R())FK(LJR(sJLs
K
)s(V
)s()s(W
eMaaaa2
M
a
Ora, per evidenziare la struttura di questa F.d.T, si possono fare alcune ipotesi semplificative: F basso, come dovrebbe essere e K basso (caratteristica della coppia resistente con bassa pendenza). Ciò implica
che RaJ>>La(K+F)
KMKe>>Ra(K+F)
JL2
KJKL4JRJRp
a
eMa2
aa2,1
I poli si calcolano facilmente
Caso A
eMaa2
M
KKJsRJLs
K)s(W
Se è verificata la condizione La<<Ra2J/KMKe
e se ci si avvale della approssimazione valida per piccoli valori di X => (1-X)1/2 =1-X/2
i due poli del sistema possono essere espressi come:
JR
KKp
a
eM1
a
a2 L
Rp
Polo elettromeccanico
Polo elettrico
eM
am KK
JR
a
ae R
L
Normalmente m>e
La F.d.T. può essere scritta come:
)s1)(s1(
1K
)LR
s))(JRKK
(s(
1
JL
K)s(W
em
a
a
a
eMa
M
E descritta con un diagramma di flusso
Una diminuzione della velocità dovuta, ad esempio, all’aumento del carico, porta, a parità di Va, ad un aumento della Ia perché è diminuita la f.e.m. indotta Ke(t), ed ad un aumento della coppia motrice che riequilibra il carico.
aa sLR
1
sJF
1
MK
eK
Va(s)
+
Ia(s) Tm(s) (s)
- Tr(s)
-+
E(s)
Esempio: Funzioni di TrasferimentoEsempio: Funzioni di Trasferimento
Si vuole determinare la funzione di trasferimento per un motore ad eccitazione separata, in cui la variabile di ingresso è la tensione di armatura mentre quella di uscita è la coppia motrice. La coppia di carico è proporzionale alla velocità angolare, siamo in presenza di attriti (coeff. di attrito, F) e masse inerziali (momento di inerzia complessivo, J). L’eccitazione è mantenuta costante.
)t(iK)t(T aMm dt
)t(dJ)t(F)t(K)t(Tm
Trasformando con Laplace
)s(V
)s(T)s(W
a
mDalle equazioni della dinamica consideriamo le:
)t(Kdt
)t(diL)t(iR)t(v e
aaaaa
)s(K)s(I)sLR(V
)s(K)s(IsL)s(IR)s(V
eaaaa
eaaaaa
Per la f.d.t. devo eliminare sia Ia(s) che (s).
)s()sJ)FK(()s(sJ)s()FK()s(Tm
)s(IK)s(T aMm
M
ma K
)s(T)s(I )sJ)FK((
)s(T)s( m
)sJ)FK((
)s(TK
K
)s(T)sLR(V m
em
maaa
)s(T))sJ)FK((
K
K
)sLR(()s(V m
e
m
aaa
Tenendo conto della definizione di F.d.T. in forma canonica (rapporto di polinomi in s)
)KK)FK(R())FK(LJR(sJLs
)FK(KJsK
)s(V
)s(T)s(W
eMaaaa2
MM
a
m
emaa
m
a
m
KK)sJ)FK)((sLR(
)sJ)FK((K
)s(V
)s(T)s(W
aa sLR
1
sJF
1
MK
eK
Va(s)
+
Ia(s) Tm(s)
(s)
- Tr(s)
+
+
E(s)
Regolazione della Tensione di EccitazioneRegolazione della Tensione di Eccitazione
Questo controllo è più facile da realizzare da punti di vista degli amplificatori di potenza. L’inconveniente sta nel mantenere costante la corrente di armatura.
dt
)t(diL)t(i)RR()t(v e
eeepe
dt
)t(dJ)t(F)t(T)t(T rm
)t(iKI)t(i'K)t(T emaemm
Applicando la trasformata di Laplace
)s(I)sL)RR(()s(V eeepe
)s(IKI)s(I'K)s(T emaemm
)s(sJ)s(F)s(T)s(T rm m
me K
)s(T)s(I
)s(K)s(Tr
)sJ)FK)((sL)RR((
K
)s(V
)s()s(W
eep
m
e
)sL)RR((
K
)s(V
)s(T)s(W
aap
m
e
m
La prima f.d.t. è caratterizzata da due poli reali di cui uno elettrico e l’altro meccanico.
Tm Ve
Per quanto riguarda la caratteristica meccanica (Tm=f(n, Ve)), si osserva che:
Le caratteristiche coppia-velocità risultano parallele all’asse orizzontale.
eepe I)RR(V
)RR(
VI
ep
ee
)RR(
VKIKT
ep
ememm
Esempio: Equazioni di StatoEsempio: Equazioni di Stato
Si vuole determinare le equazioni di stato per un motore ad eccitazione separata, controllato con la tensione di armatura, avente coppia di carico proporzionale alla velocità angolare, presenza di attriti (coeff. di attrito, F) e masse inerziali (momento di inerzia complessivo, J).
)t(K)t('K)t(e ee
)t(iK)t(iIK)t(T aMaemm
eepe I)RR(V /IN ee
)t(Kdt
)t(diL)t(iR)t(v e
aaaaa
dt
)t(dJ)t(F)t(T)t(T rm
Il sistema è diventato lineare. Posso applicare le trasformate di Laplace alle equazioni che descrivono il modello di macchina considerato:
)s(IK)s(T aMm )s(K)s(IsL)s(IR)s(V eaaaaa
)s(sJ)s(F)s(T)s(T rm
Le equazioni di stato si determinano facilmente tenendo conto che le variabili soggette a derivazione, in condizioni quindi di descrivere lo stato della macchina, sono la ia(t) e la (t).
La variabile di ingresso è rappresentata dalla tensione di armatura va(t) mentre quella di uscita è la velocità angolare.
UDXCY
UBXAX
)s(K)s(Tr
Si mettono in evidenza le variabili di stato derivate
)s(IK)s(T aMm
)s(K)s(IR)s(V)s(IsL eaaaaa
)s(F)s(IK)s(K)s(sJ aM
Si rendono le equazioni in forma canonica
E si passa dalle equazioni in forma normale alla forma matriciale.
)s(K)s(Tr Con
)s(VL
1)s(
L
K)s(I
L
R)s(sI a
aa
ea
a
aa
)s(J
FK)s(I
J
K)s(s a
M
Le equazioni di stato si ricavano facilmente dalla prima e dalla terza equazione del dominio s di Laplace (pag.precedente).
)s(V
0
L
1
)s(
)s(I
J
FK
L
K
J
K
L
R
)s(
)s(Is aa
aa
e
M
a
a
a
)s(
)s(I10Y a
)t(v
0
L
1
)t(
)t(i
J
FK
L
K
J
K
L
R
)t(
)t(i
dt
daa
aa
e
M
a
a
a
)t(
)t(i10Y a
I coeff. M12 ed M21 sono definiti come induttanze di mutua induzione e tengono conto dei flussi generati da un circuito elettrico che si concatenano con un altro circuito elettrico mutuamente accoppiato.
L’induttanza mutua è una quantità positiva se correnti positive nei due avvolgimenti producono flussi propri e mutui concordi, altrimenti è negativa.
Nell’ipotesi di simmetria del circuito magnetico M12=M21=M
Le fem indotte si calcolano di conseguenza.
dt
)t(diL
dt
)t(diM
dt
)t(d)t(e
dt
)t(diM
dt
)t(diL
dt
)t(d)t(e
22
122
211
1
1
Trasformatori: Equazioni di Stato Trasformatori: Equazioni di Stato
La relazione tra correnti e flussi concatenati può essere così riassunta,
in forma sistemica ed in forma matriciale:
)t(iL)t(Mi)t(
)t(Mi)t(iL)t(
221
211
2
1
)t(i
)t(i
LM
ML
)t(
)t(
2
1
2
1
2
1
)t(i
)t(i
dt
d
LM
ML
)t(e
)t(e
2
1
2
1
2
1
In forma matriciale
Se si considera il II° Kirchoff applicato alle maglie di ingresso e di uscita, si ottiene:
dt
)t(diL
dt
)t(diM)t(iR)t(v
dt
)t(diM
dt
)t(diL)t(iR)t(v
22
1222
211111
Si applicano le trasformate di Laplace al sistema:
)s(IsL)s(sMI)s(IR)s(V
)s(sMI)s(IsL)s(IR)s(V
221222
211111
Si consideri ora il vincolo esterno di carico ohmico/induttivo:
Ed inserendo la relazione di uscita nel sistema:
dt
)t(diL)t(iR)t(v 2
c2c2 Trasformando con Laplace:
)s(IsL)s(IR)s(V 2c2c2
)s(IsL)s(sMI)s(IR)s(IsL)s(IR
)s(sMI)s(IsL)s(IR)s(V
221222c2c
211111
)s(I)LL(s)s(sMI)s(I)RR(0
)s(sMI)s(IsL)s(IR)s(V
2c212c2
211111
)s(I*sL)s(sMI)s(I*R0
)s(sMI)s(IsL)s(IR)s(V
22122
211111
0)s(I*R)s(sI*L)s(MsI
)s(V)s(IR)s(MsI)s(sIL
22221
11211 1
Passando alla rappresentazione matriciale
)s(V0
1
)s(I
)s(I
R0
0R
)s(sI
)s(sI
*LM
ML
1
2
1
2
1
2
1
2
1
Ora, per semplicità, si ponga Zc=Rc => L2*=L2
Inoltre, si ipotizza che
21LLkM
Con le posizioni R2*=(R2-Rc) ed L2*=(L2-Lc) si perviene alle equazioni di stato.
Per ottenere una equazione di stato in forma canonica è necessario invertire la matrice dei coefficienti al primo membro
1
LM
MLH
1
21
Dove
)k1(LLMLL 221
221
Quindi
221
211
2
221
12
21
21
221
212
21
2
1
L
1
LL
k
LL
k
L
1
)k1(
1
)k1(LL
L
)k1(LL
LLk
)k1(LL
LLk
)k1(LL
L
H
Se moltiplico H-1 per le altre due matrici delle equazioni di stato:
2
2
21
1
21
2
1
1
2
2
1
221
211
2
L
*R
LL
kR
LL
k*R
L
R
)k1(
1
*R0
0R
L
1
LL
k
LL
k
L
1
)k1(
1
21
1
2
221
211
2
LL
k
L
1
)k1(
1
0
1
L
1
LL
k
LL
k
L
1
)k1(
1
Ora è possibile riunire le sezioni per ottenere le equazioni di stato in forma canonica
Se moltiplico H-1 per le altre due matrici delle equazioni di stato per lo studio della dinamica di un trasformatore monofase:
)s(V
)k1(LL
k
)k1(L
1
)s(I
)s(I
L
*R
LL
kR
LL
k*R
L
R
)k1(
1
)s(I
)s(I1
221
21
2
1
2
2
21
1
21
2
1
1
2
2
1
)s(I
)s(I
R0)s(V
2
1
c2
Le equazioni di stato per i trasformatori trifasi si ricavano come estensione del caso monofase.
Motori Sincroni: Equazioni di StatoMotori Sincroni: Equazioni di Stato
Da un punto di vista modellistico siamo di fronte ad un avvolgimento trifase, fisso nello spazio, attraversato da un sistema di correnti
i2
i1
i3
N
S
2
3
1
mm
i
equilibrate, collegate a stella, che danno origine ad un campo magnetico rotante nello spazio, i.i=2/3(i1+ai2+a2i3) con (i1+i2+i3)=0
Il rotore è sede di un campo statico che ruota solidale con esso.
i
Li
mm
Si considera solo la fondamentale (si trascurano le armoniche di ordine superiore). Ne segue che i vettori i, m e stanno in un piano e possono essere rappresentati da fasori spaziali.
[] = L [ i ] + [ m] l’equazione elettrica è:
dt
diRv
La coppia Tm può anche essere rappresentata dal prodotto interno di due vettori a tre dimensioni:
e
mm
e
mtm d
dip
2
3)t(T
d
][dip)t(T
Trasformazione Trifase / Assi Fissi I vettori a tre componenti vengono riportati nel piano tramite una trasformazione di riferimento
1
3
2
i
i
i
32
i 123 i 3
1
3
10
3
1
3
1
3
2
B
IBB3
2 I trasf. 123 =>
[i] =[B][i]; [] =[B][]; [m] =[B][m];
[] = L [ i ] + [ m]
L’equazione elettrica si trasforma immediatamente da 123 =>
dt
diRv
dt
dBiRBvB
Ed anche la equazione di coppia si trasforma immediatamente da 123 => considerando il legame tra un fasore e la sua derivata:
mmm
m jd
d
d
dip
2
3T
i m
mm j
d
d
)i(p2
3)
d
di(p
2
3T m
mm
)(sinip2
3T mm
Entrambi i vettori sono funzione dell’angolo meccanico. Per renderla lineare serve rendere indipendente il flusso dall’angolo e quindi dal tempo.
Trasformazione Assi Fissi / Assi RotantiSi consideri un sistema di riferimento (d,q) che ruota rispetto al riferimento fisso con una velocità angolare d/dt, scelto in modo tale che per t=0 l’asse d coincide con l’asse . Per portarsi sugli assi rotanti (d, q) si possono individuare delle trasformazioni matriciali che operano direttamente sui vettori
q
d
i
iiq
id
i
cossin
sincos)(A)(A t1
cossin
sincos)(A
L’operatore matriciale A() trasforma le coordinate dello stesso vettore da un sistema di riferimento (, ) fisso ad un altro (d, q) mobile con il rotore e viceversa.
Con la trasformazione assi fissi / assi rotanti ci portiamo su un riferimento fisso con il rotore. E’ necessario conoscere la posizione angolare del rotore stesso mediante misura o ricostruzione algoritmica.In queste condizioni, l’asse d è allineato con il vettore spaziale del flusso mozionale m e si perde la sua dipendenza dal tempo.
A()
angolo
i i dqq
d
iq
mid
)t(ip2
3T qm
solo la componente in quadratura contribuisce alla generazione della coppia. Con questa trasformazione l’espressione della coppia è linearizzata.
trasf. => dq
[i]dq=[A()][i] ; []dq=[A()][[] ; [m]dq=[A()][[m] ;
[]dq = L [ i ]dq + [ m]dq
dt
d)t(jiRv dq
dqdqdq
Riassumendo, le equazioni interne di macchina, con riferimento agli assi rotanti dq, è
mdqdqdq
dqdqdqdq
iL
dt
d)t(jiRv
Il modello è valido per
macchine in linearità e con rotore liscio (isotropo).
Per ottenere una sua rappresentazione di stato (tensioni come variabili di ingresso e correnti come variabili di stato) è necessario fare delle ulteriori considerazioni per minimizzare l’influenza di dq.
La trasformazione => dq della equazione elettrica introduce un termine mozionale j(t) dq che tiene conto che il riferimento dq ruota con pulsazione (t).
qmmm ip2
3)(sinip
2
3T
Se si evidenziano le componenti d e q di dq :
qmqqq
mdmddd
mdqdqdq LiLi
LiLiiL
Avendo scelto di far coincidere l’asse d con la direzione nord del flusso di rotore abbiamo che md = m e mq = 0
Analogamente, per la equazione elettrica
dt
d)t(jRiv
dt
d)t(jRiv
dt
d)t(jiRv
qqqq
dddd
dqdqdqdq
q
d
dq
jdq 2
dt
d)t(Riv
dt
d)t(Riv
qdqq
dqdd
Tenendo conto che i vettori dq e jdq sono ortogonali tra loro,
dq
qd
j
j
Sostituendo le espressioni di d e q nella equazione elettrica,
ricordandoci che (dm / dt ) = 0, md = m , q=0 perché siamo sul
riferimento fisso sul rotore
mdd
Li
Li
dt
diL)t(Li)t(Riv
dt
diLLi)t(Riv
dt
d)t(Riv
dt
d)t(Riv
qmdqq
dqdd
qdqq
dqdd
Risolvendo rispetto alle derivate delle correnti, si ottiene l’espressione delle equazioni di stato.
mdqqq
qddd
)t(Li)t(Rivdt
diL
Li)t(Rivdt
diL
Che risulta lineare ed autonoma se (t)costante, altrimenti è una equazione di stato non lineare a coefficienti variabili nel tempo.Se attraverso una retroazione di corrente si riesce ad imporre che id=0 ed i=iq allora l’equazione di asse q diventa analoga a quella del motore in cc.
mq
d
q
d
q
d
)t(v
v
L
1i
i
L
R)t(
)t(L
R
i
i
dt
d
mq
qd
qmdqq
dqdd
)t(dt
diLRiv
Li)t(v
dt
diL)t(Li)t(Riv
dt
diLLi)t(Riv
)t(Kdt
diLRiv a
aa
P.I. At()i*dq
-
v*dq
idq
mo
d.
23
2 3 ij = 0A()
v* v*123
ii123
v123 = [v] ; i123 = [ i ]
Esempio di una possibile soluzione per la realizzazione delle condizioni poste per ottenere la equazione di stato vista.
E di un algoritmo per eliminare la interazione tra gli assi d e q.
m
-1
R + sL
L
L
1R + sL -
m
-+++
+ --+
vd
vq iq
idi*d=0
i*q
-
Se così è, allora:q
d
mm i
ip
2
30T
RiassumendoRiassumendo
La macchina viene descritta da un sistema di equazioni non lineari.Per poterla controllare è necessario formulare delle ipotesi semplificative o delle ipotesi di lavoro che riducano la complessità del sistema.In base alle ipotesi formulate si realizzano diverse tipologie di azionamenti.In particolare, abbiamo visto come una particolare retroazione di corrente (id, iq) diventi un controllo di macchina.Sono necessarie delle trasformazioni di riferimento che richiedono la conoscenza della velocità o della posizione del rotore ed, almeno, otto moltiplicazioni.Altre soluzioni sono possibili e verranno descritte nella sezione azionamenti perché non riguardano il funzionamento proprio della macchina.
rmeer
rr )(jdt
)(diR0
ses
ssfj
dt
)(diRV
s
srrr
rsss
iMiL
iMiLLegame correnti, flussi
Equazione di statore
Equazione di rotore
Motori Asincroni Equazioni su Riferimento eMotori Asincroni Equazioni su Riferimento e
rrrsrm L
MK)i(pK
2
3T
Coppia motrice (Kr è il coefficiente di accoppiamento rotorico.
Equazioni Esterne per la DinamicaEquazioni Esterne per la DinamicaAlimentazione con terna di tensioni concatenate che possono essere variate a piacere [v]=f(t).Carico rappresentato da una coppia resistente, Tr(t), che varia in
funzione della applicazione Tm(t)=Tr(t)+Fm (t)+Jdm (t)/dt
rmeer
rr )(dt
)(diR0
ses
ssf dt
)(diRV
s
srrr
rsss
iMiL
iMiL
Equazione di statore
Equazione di rotore
Dalle Equazioni Interne alle Equazioni di StatoDalle Equazioni Interne alle Equazioni di Stato
rrrsrm L
MK)i(pK
2
3T Equazione delle coppie
t
r
t
s
tt
r
t
s
rrss
rrss
iiiiii
vvv
Sono state ricavate le equazioni interne di macchina in regime di tempo considerando le variabili nei riferimenti bifasi:
Legame correnti=> flussi sul riferimento e
rmeer
rs
sr )(dt
)(d)
LM(R0
ses
rsr
sf dt
)(d)
ML(RV
s
rrsr
rsss
iLiM
iMiL
Si considerino i flussi di rotore e statore come variabili di stato
=>r
s
r
s
r
s
i
i
LM
ML
Sia il determinante della matrice delle induttanze
2rs MLL
r
s
s
r
r
s
LM
ML1
i
i
rs
sr
rsr
s
LMi
MLi
rs
srs
efs MR
)LR
(Vdt
)(ds
rmeesr
srr ))(
LR(
MR
dt
)(d
Le equazioni di stato si ricavano facilmente
r
s
meesrr
srse
r
s
))(LR
(MR
MR)
LR(
))(LR
(MR
MR)
LR(
A
meesrr
srse
sfV0
1B
Analogamente al caso del sincrono, nella matrice di stato rimangono coefficienti legati alla velocità angolare.
Si possono ricavare altre matrici di stato considerando, a coppie, correnti e flussi.
rmeer
rr )(dt
)(diR0
ses
ssf dt
)(diRV
s
Partendo dalle equazioni interne in regime dinamico, si esprimono i r e s in funzione di is e r
=>
rrrsrm L
MK)i(pK
2
3T
Tenendo conto che la coppia è comunemente espressa come:
Si ricavano le equazioni di stato con is e r come variabili di stato.
r
s
r
rr L
iM
Li
rr
sr
2
ss
r
s
r
rsss
L
Mi)
L
ML(
)L
iM
L(MiL
rr
sksrs
2
sk L
MiL)
LL
M1(LL ponendo
Si sostituiscono ir e s nelle equazioni elettriche
rrsr
rsss
iLiM
iMiL
rmeer
r
s
r
rr )(
dt
)(d)
L
iM
L(R0
)L
MiL(
dt
)LM
iL(d
iRV rr
ske
rr
sk
ssf s
rr
esker
r
skssf L
MiL
dt
)(d
L
M
dt
)i(dLiRV
s
dt
)(d
L
M
L
M
dt
)i(dLi)LR(V r
rr
re
skskesf s
Nella seconda equazione elettrica
dt
)(d))(
L
R(i
L
MR0 r
rmeer
rs
r
r
rmeer
rs
r
r
rr
re
skskesf
)))(L
R(i
L
MR(
L
M
L
M
dt
)i(dLi)LR(V
s
Devo rendere le equazioni omogenee per la trasformazione in equazioni di stato. Dalla seconda evidenzio la derivata del flusso e la sostituisco nella prima.
rmeer
rs
r
rr ))(L
R(i
L
MR
dt
)(d
rmeer
r
r
sks2
r
2r
kesf))2
L
R(
L
M
dt
)i(dLi)
L
MRLR(V
s
Da cui si prosegue per le equazioni di stato
sfrmeer
r
rs2
r
2r
kess
k V))2L
R(
L
Mi)
L
MRLR(
dt
)i(dL
rmeer
rs
r
rr ))(L
R(i
L
MR
dt
)(d
sfk
rmeer
r
rks2
r
2r
kesk
s VL
1))2
L
R(
LL
Mi)
L
MRLR(
L
1
dt
)i(d
rmeer
rs
r
rr ))(L
R(i
L
MR
dt
)(d
r
s
meer
r
r
r
meer
r
rk2
r
2r
kesk
r
si
))(L
R(
L
MR
))2L
R(
LL
M)
L
MRLR(
L
1
i
sfk V
0
L
1
B ))(
L
R(
L
MR
))2L
R(
LL
M)
L
MRLR(
L
1
A
meer
r
r
r
meer
r
rk2
r
2r
kesk
ESEMPIO:
Dati di un motore ad induzione di cui si vuole studiare la dinamicaVs=380; % Tensione concatenata di rete (valore efficace)
f=50; % Frequenza di rete
P=2; % Numero di coppie polari
Rs=0.183; % Resistenza di statore in Ohm
Rr=0.277*0.5; % Resistenza di rotore in Ohm
Lm=0.0538; % Induttanza di magnetizzazione in H
Ls=0.0553; % Induttanza di statore in H (Ls = Lls + Lm)
Lr=0.056; % Induttanza di rotore in H (Lr = Llr + Lm)
B=0; % Coefficiente di attrito
Jm=0.0165*10; % Inerzia meccanica kg*m^2
Equazioni motore asse dqEquazioni elettriche:
Vsd=Rs*Isd + d/dt(λsd) - ωe λsq
Vsq=Rs*Isq + d/dt(λsq) + ωe λsd
Vrd=Rr*Ird + d/dt(λrd) – (ωe- ωme) λrq
Vrq=Rr*Irq + d/dt (λrq) + (ωe- ωme) λrd
Equazioni di legame:
λsd=Ls*Isd + Lm*Isd
λsq=Ls*Isq + Lm*Irq
λrd =Lr*Ird + Lm*Isd
λrq =Lr*Irq + Lm*Isq
ωe : pulsazione elettrica del sistema di riferimento d-q arbitrario
ωme : pulsazione elettrica di rotore (ωme = P* ωm)
Sostiuendo le equazioni di legame nelle equazioni elettriche si ottiene:
|V|=|R|*|I| + |L|*d|I|/dt + |J|*|I|
Con:
R =
Rs 0 0 0
0 Rs 0 0
0 0 Rr 0
0 0 0 Rr
|V|=
Vsd
Vsq
Vrd
Vrq
|I|=
Isd
Isq
Ird
Irq
|L| =
Ls 0 Lm 0
0 Ls 0 Lm
Lm 0 Lr 0
0 Lm 0 Lr
|J| =|JL|* ωr + |JC|* ωc
0 0 0 0
0 0 0 0
0 Lm 0 Lr
Lm 0 Lr 0
|JL| =
0 -Ls 0 -Lm
Ls 0 0 0
0 -Lm 0 -Lr
Lm 0 -Lr 0
|JC| =
Con le notazioni appena poste si ricava l’eq. di stato:
d|I|/dt = -|L|-1*( |R|+|JL|* ωr + |JC|*ωc )*|I| + |L|-1*|V| d|X|/dt= A * X + B * U dove la variabili di stato sono date dalle correnti statoriche e rotoriche di assi d e q. Questa equazione si risolve per via numerica; la condizione iniziale |I|(0-) si ricava sempre dalla stessa eq. ponendo d|I|/dt (0-)=0.
Equazioni meccaniche:
Si dimostra che la coppia elettromeccanica vale
Te = 3/2 * P * Lm *( Iqs*Idr – Ids * Iqr)
dove P è il numero di coppie polari.
L’equazione meccanica è data da:
Te – Tc = Jm *dωm/dt + B* ωm
Anche la parte meccanica può essere scritta sottoforma di equazione di stato:
dωm/dt = - B/Jm *ωm + 1/Jm*(Te - Tc)
Transitori
Velocità del motore
Modulo corrente statore istantaneo (Valore di picco)
Correnti di fase
Correnti di statore
Coppia motrice
