LAVORO ED ENERGIALAVORO ED ENERGIALAVORO di una forza costanteLAVORO di una forza costante

cosFssFL

s

s

s

FsL 0

0

90

L

FsL

180

cosmgssFL

scosmgcossmgsFL

Forza nella direzione dello spostamento

Spostamento nella direzione della forza

coss

cosmg

LAVORO di una forza costanteLAVORO di una forza costante

y

x

a

gm

bs

Interpretazione geometrica del lavoroInterpretazione geometrica del lavoro

y

yF

yF

yF

yF

1y

2y

F 12y yyF

cosmgssFL

lavoro

F

y1y 2y

yF

LAVORO di una forza variabileLAVORO di una forza variabile

1F

2FnF

1s

2s

ns

s

111 sFL

222 sFL

nnn sFL

…………..…

dscosFsdFsFL2

1

2

1i ii0s

lim

xF

x1x 2x

lavoro

xF

x1x 2x

lavoro

lim0x

LAVORO di una forza variabileLAVORO di una forza variabileForza elasticaForza elastica

1xx

elF

3xx

elF

0x

0elF

x

2xx

elF

xkFel

22

21

x

x

2x

x

x

x

x

x

kx2

1kx

2

1

x2

1kxdxkkxdxsdFL

kxF2

1

2

1

2

1

2

1

LAVORO di una forza variabileLAVORO di una forza variabileForza elasticaForza elastica

0x1xx

1F

x

2F

2xx 0x

PotenzaPotenza

potenza =lavoro

tempo)(wattW

s

J

t

LW

)( sFdt

d

dt

dLsFL

vFdt

sdF

dt

sFd

dt

dLW

)(

Forza costante

Energia cineticaEnergia cinetica

m 2v

Energia Cinetica

cin2

12

2 Emv2

1mv

2

1

dscosFL

2

121

dt

dvmmaF vdtds

dt

dsv

vdtdt

dvm

2

1 2

1mvdv

m v

1vm

F

cin2

12

2

2

1

2 Emv2

1mv

2

1mv

2

1

Teorema del lavoro e dell’energia cineticaTeorema del lavoro e dell’energia cinetica

2cin mv

2

1E

1cos

Energia cineticaEnergia cinetica

y

1y

2y

gmF

)yy(mgcosmgssFL 12

)yy(g2vv 1220

2

)yy(g2vv 1220

2

)yy(g2m2

1)vv(m

2

112

20

2

L)yy(mgmv2

1mv

2

112

20

2

LEcin

Forze conservativeForze conservative

A

B

BAL Non dipende dal percorso

0 ABBAABBA LLLL

Il lavoro su un pecorso chiuso è nullo

ESEMPIESEMPIdi forze conservative:di forze conservative:

Forza pesoForza pesoForza di gravitàForza di gravitàForza elasticaForza elasticaForza elettricaForza elettrica

Energia potenzialeEnergia potenziale

ABBAAB LLUU

BAL Dipende solo dalla coppia di punti Un numero

Energia meccanicaEnergia meccanica

UEEEE cinpotcinmecc

Energia potenziale della forza pesoEnergia potenziale della forza peso

mghcosmgsFL h0

F

y

h

hy2

0y1 F

mghL)y(U)y(U h012

a

gm

bs

h

x gm

Energia potenziale della forza elasticaEnergia potenziale della forza elastica

0x

1F

x1xx

2xx

2F

21

22

x

x

2x

x

x

x

x

x12

kx2

1kx

2

1x

2

1kxdxk

kxdxsdFLUU

2

1

2

1

2

1

2

1

22

21

221 kx

2

1kx

2

1kx

2

10xse

2Kx2

1)x(U

Scostamento dallaPosizione di equilibrio

7/04/06

Energia potenzialeEnergia potenzialegravitazionalegravitazionale

rr

MmGFg ˆ

2

if

r

r

r

r

r

r

r

r

if

rrGMm

rGMmdr

rGMm

drr

MmGrd)r(FUU

f

i

f

i

f

i

f

i

11

112

2

0)r(Urper ii

ff r

GMm)r(U1

Forzaconservativa

Lavoro positivoperché compiuto

dalla forza di gravità

ir

r̂

M m

fr

gF

f

i

rd

ifif r

GMmr

GMmUU11

Energia potenzialeEnergia potenzialegravitazionalegravitazionale

M m

ir

gF

i

f

if

r

r

r

r

r

r

r

r

if

rrGMm

rGMmdr

rGMm

rdr̂r

MmGrd)r(FUU

f

i

f

i

f

i

f

i

11

112

2

0 )r(Urper ff

ii r

GMm)r(U1

fr

r̂

ifif r

GMmr

GMmUU11

rdSe voglio portare la

massa da i all’infinito devo lavorare contro la forza di gravità

Lavoro negativoperché compiuto

controla forza di gravità

Energia di legame

BAAB LUU

Conservazione Conservazione Energia meccanicaEnergia meccanica

UEEEE cinpotcinmecc

BAcinAcinB LEE

0 BABAcinAcinBAB LLEEUU

0 cinAAcinBB EUEU cinAAcinBB EUEU meccAmeccB EE

Definizione diDefinizione diEnergia potenzialeEnergia potenziale

Per forze conservativePer forze conservative

Teorema del lavoro e Teorema del lavoro e dell’energia cineticadell’energia cinetica

Definizione diDefinizione diEnergia meccanicaEnergia meccanica

In un sistemaIn un sistema isolato isolato di oggetti che interagiscono di oggetti che interagiscono solo mediantesolo mediante forze conservative forze conservative l’energia l’energia

meccanica rimane costantemeccanica rimane costante

y

0

mgh

h

U

0

2mv2

1

cinE

1

Presenza di forzePresenza di forzenon conservativenon conservative

Lavoro di tutte le forze = variazione dell’energia cineticaLavoro di tutte le forze = variazione dell’energia cinetica

Forza gravitazionale Forza gravitazionale ++

Forza di attritoForza di attrito

Lavoro delle forze Lavoro delle forze non conservativenon conservative

==variazione variazione

dell’energia meccanicadell’energia meccanica

...... CINconsnoFconsF ELL .... CINconsnoF ELU

.... MECCconsnoF EL

Conservazione Conservazione energia in energia in generalegenerale

In un sistema chiuso l’energia totale

si conserva (si trasforma)

20/4/06

Energia potenzialeEnergia potenziale e forzae forza

dx

dUFx

)xx(FLUU ifxxxif fi

Lungo l’asse x

if

ifx xx

UUF

Forza uniforme In generale

dxFUUf

i

x

x

xif

x

UFx

x

)(xU

0x

1F

x1xx

dx

dUFx

2xx

2F

1F2F

0F

2Kx2

1)x(U

KxFx

x

)(xF

1F 2F0F

)(xU

xEquilibrio

stabile

Equilibrioinstabile

dx

dUFx