Dinamica Dinamica Lavoro di un forza costante

Joule

dyFdxFWB

A

B

A

Y

Y

Y

X

X

X

6032

2

21 WW

x

y

A(0,0)

2 1

P (3,0)

B(3,3)

xF

2

Joule

ssdFWB

A

6)23/3(26

cos232cos21

Se la forza è costante (modulo, direzione e verso),

il lavoro non dipende dal percorso!!!

Dinamica Dinamica

Più in generale, se F costante

F

sd

A

B 1r

2r

B

A

sdFW

)( 12 rrFrFsdFW

B

A

r

Il lavoro dipende solo dal punto di partenza e dal

punto di arrivo ed è indipendente dalla traiettoria

Lavoro di un forza costante

090cos

0cos

PBPB

ABAPAP

mgW

yymgmgW

ABPBAPAB yymgWWW

1

Dinamica Dinamica Il lavoro della forza peso

A

AB

B

A

B

A

rgmsdgmsdFW

)())(( ABAB yymgymgrgmW B mg

1r

2r

r

2

ymgF ˆ

x

y

P

A

B

Dinamica Dinamica Energia potenziale

ABAB mgymgyW

mgyU

UUUW ABAB

Finale Iniziale

Esiste una funzione della posizione del punto materiale P

U(P) = U(x,y,z)

UWAB

Legge della conservazione dell’energia

B

A

B

A

AB sdFsdFW2,1,

02,1,

B

A

B

A

AB sdFsdFW

02,1,

A

B

B

A

AB sdFsdFW

0 sdFWAB

Il lavoro effettuato da una forza conservativa su

un percorso chiuso è nullo

Dinamica Dinamica Forze conservative

L’energia potenziale U(x,y,z) viene sempre definita a meno di

una costante iniziale, che risulta legata alla scelta del sistema

di riferimento e che in ogni caso non va a modificare il calcolo

di U.

WP1P2 U U(P1)U(P2 )

WPoP U U(Po)U(P)

Considerando i punti Po, iniziale, e P, il generico punto dello spazio:

P

PoPPo

oo

sdFPUWPUPU

)()()(

Po punto punto dello spazio a cui viene assegnato un valore

arbitrario dell’energia potenziale. La funzione U (P) definito

rispetto alla costante U(P0)

costante

Dinamica Dinamica Forze conservative

Le forze centrali sono conservative

F sempre nella direzione ed in

generale può dipendere da ru

r

B

A

B

A

drrFsdrFW )()( La soluzione di questo

integrale dipende solo da BA rr

,

)(BA

rr UUW

rU Energia potenziale

ru)dr/dU(F

Dinamica Dinamica

Esempio: Energia elastica

Calcoliamo il lavoro svolto per spostare il corpo da xi ad una x generica

22

2

1

2

1kxkxdxkxdxFL

i

x

x

x

x

e

ii

Definisco quindi l’Energia Potenziale Elastica come:

CkxxUe

2

2

1 xUxUUL

eiee

Se scelgo come posizione iniziale l’origine del sistema di riferimento ovvero:

0i

x 0ie

xU 2

2

1kxxU

e

e assumo

Esempio: Energia potenziale gravitazionale

Calcoliamo il lavoro svolto per spostare il corpo da yi ad una y generica

mgymgydymgdyFLi

y

y

y

y

G

ii

Definisco quindi l’Energia Potenziale Gravitazionale come:

CmgyyUG yUyUULGiGG

Se scelgo come posizione iniziale l’origine del sistema di riferimento ovvero:

0i

y 0iG

yU mgyyUG

y

e assumo

Dinamica Dinamica Piano inclinato

La forza spostamento

non produce lavoro

N

ET si conserva !!

Punto di partenza

Punto di arrivo

Punto generico

EK = 0 U=mgho

EK = ½ mVf2

U = 0

EK = ½ mV 2 U = mgh

mgh0 = ½ mVf

2 Vf = 02gh

V = 02gh V = 02ghV = 02gh1t 21 tt 32 tt

Dinamica Dinamica Piano inclinato

Z Zi

Zf

)( if UUL

)(*)( ijij ZZmgmghmghL

Conta solo la differenza di quota !!

01 mghL

02 L Forza peso allo spostamento

mgFest

mg?3 L

oh

mghdzmgL0

03 )(

rdgmLLL

321

Sistema Corpo + Molla

Per l’energia potenziale e la forza vale:

kxFkxU 2

2

1

Con accelerazione

xm

k

dt

xda

2

2

e se definisco

m

k si ha

22

2

1xmU

Potenziale parabolico con concavità verso l’alto

Il MOTO ARMONICO SEMPLICE avviene sempre in presenza di Potenziale Parabolico... e viceversa se (con concavità

verso l’alto) avremo un moto armonico

2xU

Vediamo ora di seguire l’alternanza delle energie in funzione di x anziché di t (cioè in base a “dove” si trova il punto materiale

L’energia potenziale assume valore massimo agli estremi di oscillazione dove

l’energia cinetica è nulla Mentre nel centro di oscillazione

l’Energia potenziale è nulla e l’energia cinetica assume valore massimo

Da )(2

1

2

1 22 costanteEmvkx

ricavo 22

2

1

2

1kxEmvK

)( 22

maxxx

m

kv e

La seconda equazione mi dice che v=0 negli estremi di oscillazione (x= ±xmax), mentre assume valore massimo per x=0

2

2

1kxEK

2

2

1kxU Quindi si ha:

E sono entrambi descritti da parabole

K

Queste considerazioni energetiche discendono dalla forma delle energie e della legge oraria e possono essere estese anche ad

altri casi di MOTO ARMONICO SEMPLICE, come ad esempio il moto del pendolo

U e K sono in “controfase”. La loro somma è sempre

costante. L’energia si alterna tra potenziale (Molla) e

Cinetica (massa in moto )

Conservazione dell’Energia

nel moto Elastico In questo caso le forze sono di tipo conservativo (FORZA ELASTICA).

Dunque l’energia totale E si conserva nel tempo (in ogni

configurazione del sistema)

La legge oraria è:

m

kcontxx Max cos

tkxtkxtU Max

222 cos2

1

2

1

Ora si ha che txdt

dxtv Max sin

Quindi tkxtmxtmvtK MaxMax

222222 sin2

1sin

2

1

2

1

Dunque: 22222

2

1sin

2

1cos

2

1MaxMaxMax kxtkxtkxtKtUE

Conservazione dell’Energia

nel moto del Pendolo

Dinamica Dinamica Il pendolo

gm

T

Forza conservativa

Forza non conservativa,

ma non compie lavoro

ET Si conserva !

U=0

0

0l

Z0=l(1-cos0

Punto più alto

Punto più basso

Punto generico

)cos1(

0

00

mglmgzU

Ek

0

2

1 2

0

U

mvEk

)cos(

2

1 2

mglmgzU

mvEk

(Ek + U) punto generico = (Ek + U) punto più alto

Nel punto più basso, la velocità è massima:

)cos(cos2v 0 gl

)cos1(2v 0 glo

E

0

)cos)(cos2(2

1v

2

10

2 glmmEk

U=mgl(1-cos )

Ek + U = costante

0

2 cos1v2

1cos1 mglmmgl

Dinamica Dinamica Il pendolo

0

Dinamica Dinamica Il giro della morte

Da quale altezza si deve partire

per fare correttamente il giro?

ghvB 2mghmvB 2

2

1

mghmvE BkB 2

2

1

0BU22/1 ckc mvE

gRmUc 2

Dinamica Dinamica Il giro della morte

h

0cv

0N Altrimenti il corpo si stacca!!

Fcentr. = mg+N

mg+N=(mv2C )/R

In C : mg+N= (mv2C )/R Condizione limite: N

diventa nullo in C

mg=(mv2C )/R gRvc

Conservazione dell’energia tra A e C

mgh=1/2 mv2C+2gRm h=5/2R

Dinamica Dinamica Il giro della morte

0cv

Ancora sull’energia potenziale

)()( UdWd

UW

dUsdF

dUdW

dUcosFds dUdsFT

ds/dUFT La componente della forza nella direzione dello spostamento,

si ottiene derivando la funzione U, rispetto alla coordinata

relativa

Dinamica Dinamica

Ancora sull’energia potenziale

In generale U(x,y,z) xX uxUF ˆ)/(

yY uyUF ˆ)/(

zZ uzUF ˆ)/( )/( xU Significa derivare

solo rispetto a X

Dinamica Dinamica

mgudzdUF xX ˆ)/(

mgzU

Ancora sull’energia potenziale

Percorso 1 : W = 0

Percorso 2 : W = mg(h2-h1)

Percorso 3 : W = mg(h2-h1)

Superficie “equipotenziale”

La forza è sempre diretta

perpendicolarmente alla superficie

equipotenziale diretta nel verso in

cui essa decresce.

gm

zz udZdUF ˆ)/(

Dinamica Dinamica

mgzU

Le curve di energia potenziale

Forza elastica

KxdxdUF )/(

Dinamica Dinamica

Politecnico di Bari Ingegneria Elettrica, Corso di Fisica Generale Prof. G. Iaselli

2

02

1KxU

00 1 FxSe

00 2 FxSe

Le curve di energia potenziale

In generale

Dinamica Dinamica

)/( dxdUF

MinMaxUdxdUSe /0/

Curve dell’energia potenziale

x

U(x)

Emec

K=Emec-U

A

Regione

proibita

(K<0)

Equilibrio stabile

(U minima)

B D

C

Equilibrio instabile

(U massima)

E

Equilibrio indifferente

(U costante)

Forze Conservative, Sistema Isolato

costante KU 0 KU

Forze Conservative + Dissipative, Sistema Isolato

0Int

EKU

Ad Es. Riscaldamento per frizione

[Se consideriamo come sistema: il blocco più il piano

inclinato, che si scaldano durante il processo]

Sistema non Isolato

A) Agiscono Forze dall’esterno sul sistema (Lavoro fatto sul sistema)

B) Il sistema agisce sull’ambiente con una Forza (Lavoro fatto dal Sistema)

extInt

LEKU

Ad Es. dFEKUextInt

Fext

Se agiscono anche forze non conservative:

kEW

UWc cnc WWW

nck WUE L’energia meccanica non resta costante e la sua variazione

è pari al lavoro delle forze non conservative.

Dinamica Dinamica

33

forze non conservative?

è sempre valida

FaTinTfin WEE

Sistema non Isolato, con attrito dinamico

Nfkk

mgddFLLEkAttrF

Valgono le seguenti formule:

Se cambio la definizione di sistema si ha:

dFEKUInt

Con: mgdEkInt

E quindi ExtInt

LEE )(

Più in generale si ha:

...)( ElettrMagnChimIntExt

EEEEL

In un sistema ISOLATO l’Energia (in senso “ampio”) si conserva

Un esempio

)sin/(cos hmgW dFa

)sin/(cos2/1 2 hmgmghmv df

)/1(2 tgghv df

Senza attrito sarebbe ghv f 2

Dinamica Dinamica

?

0

f

i

v

v

02/1

0

2

ffkfin

ikin

UmvE

mghUE

FaTinTfin WEE