LaTuaMatematica_Aritmetica1

A. Calvi

G. Panzera

S. Morone

1

01 Ari 1° tomo 2010 27-11-2009 10:24 Pagina 1

CORSO DI MATEMATICA PER LA SCUOLA

SECONDARIA DI PRIMO GRADO

di Anna Calvi,Gabriella Panzera,

Simona Morone

Coordinamento editoriale Beatrice Loreti

RedazioneNiccolò Terzi

Art directorMarco Mercatali

Responsabile di produzioneFrancesco Capitano

Progetto grafico e impaginazioneAlberto Sangiorgi

CopertinaAdami Design

© 2010 ELi - La SpigaVia Soperga, 2 MilanoTel. [email protected]

ELiVia Brecce – LoretoTel. [email protected]

La casa editrice ringrazia SaraGentili, Stefania Senigagliesi eFrancesco Tramannoni per ilcontributo fornito nella revisio-ne degli esercizi del corso Latua matematica.

Stampato in Italia pressoGrafiche Flaminia - Foligno10.83.065.0

Aritmetica 1 + Geometria 1 + I linguaggi della Matematica + cd romISBN 978-88-468-2816-3

Guida per l’insegnanteISBN 978-88-468-2796-8

Disponibili anche separatamenteAritmetica 1 + I linguaggi dellaMatematica + cd romISBN 978-88-468-2790-6

Geometria 1ISBN 978-88-468-2793-7

Tutti i diritti riservati.È vietata la riproduzione totale o par-ziale così come la sua trasmissionesotto qualsiasi forma o con qualsiasimezzo senza l’autorizzazione scrittadella casa editrice.

La casa editrice La Spiga e l’ambienteLa casa editrice La Spiga usa carta certificataFSC per tutte le sue pubblicazioni. È un’importante scelta etica, poiché vogliamoinvestire nel futuro di chi sceglie ed utilizza inostri libri sia con la qualità dei nostri prodotti siacon l’attenzione all’ambiente che ci circonda.Un piccolo gesto che per noi ha un forte signifi-cato simbolico.Il marchio FSC certifica che la carta usata per larealizzazione dei volumi ha una provenienza con-trollata e che le foreste sono state sottratte alladistruzione e gestite in modo corretto.

01 Ari 1° tomo 2010 27-11-2009 10:24 Pagina 2

PRESENTAZIONE

■ Struttura del corsoIn ottemperanza alle “Indicazioni per il Curricolo” emanate dal Ministerodella Pubblica Istruzione nel 2007, il corso è stato strutturato in: due tomidi aritmetica e due di geometria per il biennio; un tomo di algebra e uno digeometria per la classe terza; un volume valido per tutto il triennio con queicontenuti a valenza trasversale quali: gli insiemi; le operazioni binarie e lestrutture algebriche; le relazioni; gli strumenti di calcolo, l’approssimazione,la notazione esponenziale e standard, l’ordine di grandezza; i grafici; ele-menti di statistica; cenni di logica; elementi di calcolo delle probabilità.

Ciascun tomo del corso LA TUA MATEMATICA si compone di SEZIONI, checomprendono, a loro volta, le LEZIONI necessarie alla trattazione comple-ta di ciascuna tematica.Ogni lezione si apre con l’indicazione di:PREREQUISITI necessari ad affrontare i contenuti proposti;OBIETTIVI da conseguire;CONTENUTI in essa trattati.La trattazione della teoria adotta un linguaggio rigorosamente scientifico,ma viene sempre proposta in modo semplice e comprensibile da parte ditutti gli alunni; le definizioni e le regole sono graficamente evidenziatenon solo per ragioni estetiche, ma soprattutto per favorire quegli alunniche prediligono lo stile cognitivo di tipo visivo.Al termine dell’esposizione di un contenuto vengono svolti per intero ecommentati uno o più esercizi esemplificativi e significativi del concettoda apprendere (ESEMPIO).Al fine di permettere agli alunni una verifica immediata dell’avvenutacomprensione, agli esempi seguono gli STOPANDGO, batterie di esercizi dirapida esecuzione, da svolgere in classe autonomamente o dietro la guidadell’insegnante; proprio per questo motivo, data anche la loro semplicità,si è deciso di riportare solamente i risultati di quelli più elaborati.

Le grandi tematiche si concludono spesso con schede storiche, denomina-te STORIA&MATEMATICA.Molti degli argomenti trattati sono arricchiti da GIOCHI, CURIOSITÀ,APPROFONDIMENTI ed “escursioni” in altri ambiti disciplinari (ILSALTADISCIPLINA),non solo per evidenziare l’aspetto ludico della materia ma, soprattutto, perfar comprendere ai ragazzi che, nel quotidiano, si usano di frequente con-cetti matematici; la matematica, infatti, non è una disciplina astratta eavulsa da tutte le altre, ma concorre alla formazione globale di ciascun alun-no. Inoltre, essa ben si presta all’inter- e transdisciplinarità delle sezioni.

Ogni lezione si conclude con la sezione dedicata agli ESERCIZI, sempre pre-sentati secondo una gradualità crescente di difficoltà. Il numero di eser-cizi è particolarmente elevato, per consentire all’insegnante la più ampiascelta possibile.

01 Ari 1° tomo 2010 27-11-2009 12:00 Pagina 3

Al termine di ciascuna batteria di esercizi sono presenti:

■ una VERIFICA formativa sull’argomento trattato, che ha lo scopo di avere unriscontro immediato sull’avvenuto apprendimento delle e delle da parte degli alunni;

■ una verifica di RECUPERO, qualora si sia riscontrata la necessità di rivede-re con la classe (o parte di essa) alcuni argomenti considerati nel corsodella lezione;

■ due schede di VERIFICA SOMMATIVA su tutti gli argomenti affrontati nellasezione (fatta eccezione per il volume I linguaggi della matematica): laprima più facile e la seconda relativamente più complessa, per consenti-re di adeguare la prova ai diversi livelli di apprendimento degli alunni.

Al termine di ogni tomo del corso (fatta eccezione per il volume I linguaggidella matematica) sono state inoltre inserite alcune schede di POTENZIAMENTO,suddivise secondo le sezioni, per evidenziare, nonché gratificare, i casi dieccellenza.

I risultati delle verifiche formative, di recupero, sommative e delle schededi potenziamento si trovano tra le pagine 323 e 334 del presente volume.

Al termine dei voluni di Aritmetica e di Algebra si trovano le tavole nume-riche (numeri primi minori di 10 000; quadrati, cubi, radici quadrate e cubi-che e scomposizione in fattori).

Al termine del volume di Algebra è presente una sezione dedicata ai TEMID’ESAME, esercizi destinati alla verifica dell’acquisizione dei contenutiaffrontati nel corso della classe terza e, quindi, preparatori per l’Esame diStato.Al termine del volume Geometria 1 è presente un’appendice, con relativiesercizi, dedicata all’applicativo Cabri-géomètre II, software che facilital’apprendimento dei concetti fondamentali legati alla geometria piana.

Il corso LA TUA MATEMATICA è inoltre corredato di:

■ un CD-ROM interattivo, così articolato:• esercizi da svolgere, svolti e guidati, suddivisi per sezione• una sezione di giochi e curiosità matematiche• una selezione di simulazioni della Prova Nazionale

■ una esaustiva presentazione del corso, unitamente a tutte le necessarieindicazioni metodologiche e al materiale appositamente predisposto peressere fotocopiato e sottoposto agli alunni si trova nella guida per l’in-segnante.

ABILITÀCONOSCENZE

01 Ari 1° tomo 2010 27-11-2009 14:24 Pagina 4

INDICESEZIONE AI numeri e le operazioni in N e Z

I numeri e la numerazione 10Il sistema di numerazione decimale 10L’insieme N 12I numeri decimali 13Rappresentazione grafica dei numeri 14

APPROFONDIMENTO

■ I numeri e la numerazione 16■ Numeri sacri 17■ Numeri perfetti 17■ Numeri amicabili 17■ La numerazione romana 18

STORIA&MATEMATICA■ L’abaco: un antenato della calcolatrice 19

202627

Le quattro operazioni 28Addizione 28■ Le proprietà dell’addizione 29■ L’algoritmo o addizione in colonna 31■ 0 e 1 nell’addizione 31Sottrazione 33■ Le proprietà della sottrazione 33■ L’algoritmo o sottrazione in colonna 34■ 0 e 1 nella sottrazione 34L’insieme Z 36Moltiplicazione 38■ Le proprietà della moltiplicazione 39■ L’algoritmo di moltiplicazione in colonna 40■ Moltiplicazione per 10, 100, 1000… 41■ 0 e 1 nella moltiplicazione 41Divisione 43■ Le proprietà della divisione 44■ L’algoritmo della divisione 45■ Divisione per 10, 100, 1000… 45■ Divisione di un prodotto per un numero 46■ 0 e 1 nella divisione 46

APPROFONDIMENTO

■ Moltiplicazione e divisione in Z 47Tabella riassuntiva sulle operazioni 49

ILSALTA:

DISCIPLINADa “Attraverso lo specchio” di Lewis Carroll 50

STORIA&MATEMATICA■ Antiche tecniche di calcolo: la moltiplicazione 51

526263

Le espressioni 64APPROFONDIMENTO

■ Espressioni letterali 66■ Magia con le espressioni 68

STORIA&MATEMATICA■ Leonardo Fibonacci: un uomo poco conosciuto a cui

l’Europa deve molto 69707677

Le potenze 78Elevamento a potenza 78Proprietà delle potenze 790 e 1 nell’elevamento a potenza 81Potenze di numeri decimali 82■ Uso delle tavole 83Espressioni con potenze 84Potenze a base 10 85Notazione scientifica 85Ordine di grandezza di un numero 86Operazioni inverse dell’elevamento a potenza 87■ Estrazione di radice 87■ Logaritmo 89

CURIOSITÀ - QUADRATI PERFETTI 8990

101103104105

SEZIONE B L’applicazione di numeri e operazioni

Le grandezze 108■ Misura di una grandezza 109■ Misure di lunghezza 111■ Misure di superficie 111■ Misure di volume 112■ Misure di capacità 113■ Misure di peso 114■ Peso specifico 115■ Operazioni con grandezze 117

APPROFONDIMENTO

■ Altre unità di misura: le unità di misura inglesi 118■ Le misure antiche 118■ Le unità di misura regionali italiane 119

STORIA&MATEMATICA■ Storia dell’unità di misura 119

120128129RECUPERO

VERIFICA

ESERCIZI

5LEZIONE

VERIFICA SOMMATIVA 2


RECUPERO

VERIFICA

ESERCIZI

9

8

7

6

5

4

3

2

1

4LEZIONE

RECUPERO

VERIFICA

ESERCIZI

3LEZIONE

RECUPERO

VERIFICA

ESERCIZI

6

5

4

3

2

1

2LEZIONE

RECUPERO

VERIFICA

ESERCIZI

4

3

2

1

1LEZIONE

01 Ari 1° tomo 2010 27-11-2009 10:24 Pagina 5

I problemi 130Come si legge e come si imposta un problema 130■ Problemi da risolvere con espressioni aritmetiche 135■ Problemi da risolvere con il metodo grafico 136■ I problemi che non sono problemi 139

APPROFONDIMENTO

■ Problemi da risolvere con diagrammi di flusso 140■ Problema aritmetico 141■ Problema pratico 142■ Problemi 142

144152153154155

SEZIONE CLe altre operazioni in N

La divisibilità 158Multipli e sottomultipli 158Criteri di divisibilità 160■ Criterio di divisibilità per 2 160■ Criterio di divisibilità per 3 160■ Criterio di divisibilità per 5 161■ Criterio di divisibilità per 11 161■ Criterio di divisibilità per 4 162■ Criterio di divisibilità per 9 162■ Criterio di divisibilità per 25 162■ Criterio di divisibilità per 10, 100, 1000… 163Numeri primi e numeri composti 164■ Metodo per stabilire se un numero è primo 164Scomposizione in fattori primi 166■ Criterio generale di divisibilità 167

ILSALTA:

DISCIPLINALode ai numeri primi 169

STORIA&MATEMATICA■ Numeri primi 169■ Eratostene 169

170180181

MCD e mcm 182Massimo Comun Divisore 182■ Rappresentazione grafica del MCD 183■ Calcolo del MCD 184minimo comune multiplo 186■ Rappresentazione grafica del mcm 186■ Calcolo del mcm 188Problemi sul MCD e sul mcm 190

APPROFONDIMENTO

■ Calcolo di MCD e mcm con il metododelle divisioni successive 192

ILSALTA:

DISCIPLINAChimica 193

194200201202203

SEZIONE DI numeri e le operazioni in Q+

Le frazioni 206Unità frazionaria 206La frazione come operatore 207Classificazione delle frazioni 208Frazioni equivalenti 211Semplificazione di una frazione 212Riduzione di frazioni al denominatore comune 214Confronto di frazioni 215

APPROFONDIMENTO

■ Le frazioni degli Egizi 217■ Due indovinelli orientali per “capire” le frazioni 218■ Frazioni paradossali 218■ La matematica al servizio della musica 218

219234235

Le operazioni e i problemi in Q+ 236Addizione 236■ Addizione di frazioni con denominatore uguale 236■ Addizione di frazioni con denominatore diverso 237Sottrazione 238■ Sottrazione di frazioni con denominatore uguale 238■ Sottrazione di frazioni con denominatore diverso 238Frazioni complementari 239Moltiplicazione 240Frazioni inverse o reciproche 241Divisione 242■ Divisioni particolari 243Frazioni frazionarie 243Potenze 245Espressioni in Q+ 247Problemi 249■ Problema diretto 249■ Problema inverso 250

254285287288289VERIFICA SOMMATIVA 2


RECUPERO

VERIFICA

ESERCIZI

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

10LEZIONE

RECUPERO

VERIFICA

ESERCIZI

7

6

5

4

3

2

1

9LEZIONE



RECUPERO

VERIFICA

ESERCIZI

3

2

1

8LEZIONE

RECUPERO

VERIFICA

ESERCIZI

4

3

2

1

7LEZIONE



RECUPERO

VERIFICA

ESERCIZI

1

6LEZIONE

INDICE

01 Ari 1° tomo 2010 27-11-2009 10:24 Pagina 6

SEZIONE ELe misure e le operazioni non decimali

Le misure non decimali 292La misura del tempo 292La misura degli angoli 293Equivalenze nelle misure angolari e orarie 294Le operazioni con le misure angolari e orarie 295■ Addizione 295■ Sottrazione 296■ Moltiplicazione 296■ Divisione 296

APPROFONDIMENTO

■ Misure non decimali 297298302303

Il sistema binario 304Il sistema binario 304■ Passaggio da sistema decimale a sistema binario 305■ Passaggio da sistema binario a sistema decimale 306Le quattro operazioni nel sistema binario 306■ Addizione 306■ Sottrazione 306■ Moltiplicazione 307■ Divisione 307

APPROFONDIMENTO

■ Sistemi di numerazione con base diversa da 2 e 10 307

308310311312313

316318319320322

323325326328330

332332333333334

335

337Quadrati, cubi, radici quadrate e cubichee scomposizione in fattoriTavole numeriche

Numeri primi minori di 10 000Tavole numeriche

11-12LEZIONIESEZIONE

9-10LEZIONIDSEZIONE

7-8LEZIONICSEZIONE

5-6LEZIONIBSEZIONE

1-2-3-4LEZIONIASEZIONE

RISULTATI POTENZIAMENTO


9-10LEZIONIDSEZIONE

7-8LEZIONICSEZIONE

5-6LEZIONIBSEZIONE


RISULTATI VERIFICA-RECUPERO-VER. SOMMATIVE


9-10LEZIONIDSEZIONE

7-8LEZIONICSEZIONE

5-6LEZIONIBSEZIONE


POTENZIAMENTO



RECUPERO

VERIFICA

ESERCIZI

2

1

12LEZIONE

RECUPERO

VERIFICA

ESERCIZI

4

3

2

1

11LEZIONE

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01 Ari 1° tomo 2010 27-11-2009 10:24 Pagina 8

ARITMETICA 1ASEZIONE

In questa sezione imparerai a cono-scere l’insieme N, l’insieme Z e leoperazioni in essi possibili.

numeri enumerazione

le quattrooperazioni

le espressioni

le potenze

I numeri e le operazioni in N e Z

01 Ari 1° tomo 2010 27-11-2009 10:24 Pagina 9

• Conoscere i simboli rappresentatividelle cifre

PREREQUISITI CONTENUTI OBIETTIVI

• I numeri• La numerazione decimale• L’insieme N• I numeri decimali• Rappresentazione grafica dei numeri

• Conoscere le caratteristiche dellanumerazione

• Saper confrontare i numeri naturali edecimali

I numeri e la numerazione

10

1LEZIONE

1 Il sistema di numerazione decimale

L’uomo, anche quello primitivo, ha sempre avuto la necessità di contare per saperequanti animali o quanti oggetti possedeva. Per fare ciò è ricorso a metodi rudimen-tali usando sassolini, tacche sui bastoni o usando le dita: associando ciascun ogget-to da contare con una delle dita delle mani (o con una tacca, ecc.) poteva determi-nare se gli oggetti erano “tanti quante” le dita; senza saperlo l’uomo ha sempreusato il concetto di corrispondenza biunivoca tra insiemi equipotenti.Il numero è ciò che identifica una quantità.Col passare del tempo, le esigenze dell’uomo aumentavano sempre più, quindi ilconcetto “tanti quanti” non bastava più; fu necessario introdurre i sistemi dinumerazione.

Un sistema di numerazione è formato da simboli, con i quali si rappresentano inumeri, e da regole, mediante le quali combinare i simboli per poter scrivere tutti inumeri.

Nel nostro sistema di numerazione, per comporre i numeri si usano dei simboli chesi chiamano cifre e sono:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

DEFINIZIONE

01 Ari 1° tomo 2010 27-11-2009 10:24 Pagina 10

I numeri e la numerazione1LEZIONE

11

Le cifre 0 2 4 6 8 sono le cifre pariLe cifre 1 3 5 7 9 sono le cifre dispari.

Un numero è pari se termina con una cifra pari; un numero è dispari se termina conuna cifra dispari.

Il nostro attuale sistema di numerazione è detto decimale, poiché usa dieci cifreper comporre i numeri e perché dieci unità di un ordine formano una unità dell’or-dine immediatamente superiore (nel linguaggio comune si usa dire “va di 10 in 10”)ed è posizionale, poiché il valore di una cifra dipende dalla posizione che occupa.Ogni cifra ha un valore assoluto (quantità caratteristica della cifra) e un valorerelativo (che dipende dalla posizione occupata dalla cifra).

Il numero 22 è formato da cifre uguali e quindi conlo stesso valore assoluto, ma il 2 di sinistra indica 2decine, cioè 20 unità, mentre il 2 di destra indicasolo 2 unità.

Vediamo ora le regole alla base della numerazione decimale.

1° Le cifre sono le unità del primo ordine.

dieci unità formano la decina (secondo ordine)dieci decine formano il centinaio (terzo ordine)dieci centinaia formano il migliaio, o unità di migliaia (quarto ordine)dieci unità di migliaia formano le decine di migliaia (quinto ordine)

e così di seguito.

2°Gli ordini si raggruppano tre a tre e vanno a formare le classi.

Per la scrittura di un numero lo si deve scomporre, partendo da destra, in grup-pi di tre cifre, cioè in classi, lasciando uno spazio fra ogni gruppo; lo stesso valeper la lettura del numero.

unitàsemplici (u)

decinesemplici (da)

centinaiasemplici (h)

1°ordine

2°ordine

3°ordine

4°ordine

5°ordine

6°ordine

unitàdi milioni (uM)

decinedi milioni (daM)

centinaiadi milioni (hM)

7°ordine

8°ordine

9°ordine

unitàdi miliardi (uMLD)

decinedi miliardi (daMLD)

centinaiadi miliardi (hMLD)

10°ordine

11°ordine

12°ordine

1a classe - s(classe delle unità)

2a classe - k(classe delle migliaia)

3a classe - M(classe dei milioni)

4a classe - MLD(classe dei miliardi)

unitàdi migliaia (uk)

decinedi migliaia (dak)

centinaiadi migliaia (hk)

2 2{valore

assoluto

due decinedue unità

valorerelativo {

duedue

L’USO DEI NUMERI

L’uomo usa il numero in tremodi diversi:i numeri cardinali rispondo-no alla domanda quanti? Conessi si eseguono le quattrooperazioni perché esprimonodelle quantità.I numeri ordinali rispondonoalla domanda quale postooccupa? Con essi si fannodei confronti per stabilire ilmaggiore o il minore.I numeri identificatori rispon-dono alla domanda quale traloro?Consideriamo come esempio ilnumero 21:Il signor Luigi deve portare 21bottiglie di vino al suo amicoPaolo che è stato il ventunesi-mo estratto di una lotteria eper raggiungerlo prende il bus21. Come vedi il numero èsempre 21 ma indica situazio-ni diverse: 21 bottiglie è uncardinale, ventunesimo è unordinale e il 21 del bus è unidentificatore.

DEFINIZIONE

01 Ari 1° tomo 2010 27-11-2009 10:24 Pagina 11

I numeri e le operazioni in N e ZASEZIONE

12

Ricordati sempre che 0 è una cifra speciale, la sua posizione è molto importante.Osserva i numeri:

140 104 014

Nei primi due casi 0 ha valore, nel terzo no: viene quindi omesso.

437unità

1237unità

decine decinecentinaia centinaia

migliaia

STOPANDGO

Indica, nei seguenti numeri, il valore di ogni cifra.

107 12 342

1275 87 006 987 542

Nei seguenti numeri indica il valore della cifra 3.

134 354 1283 1 300 000

Evidenzia nei seguenti numeri la cifra delle centi-naia.

437 1528 12 587 584 887

Considera i seguenti numeri e indica quante deci-ne, centinaia, migliaia contiene ciascuno.

937 432 24 8050dcba

4

dcba

3

dcba

2

fed

cba

1

2 L’insieme N

Possiamo ormai scrivere, conoscendo il sistema di numerazione decimale, tutti inumeri che vogliamo: basta aggiungere ogni volta una unità per ottenere un nume-ro sempre più grande del precedente. Questa operazione è infinita, non troveremomai il numero finale: abbiamo ottenuto i numeri naturali.

L’insieme N dei numeri naturali è un insieme infinito di numeri ed è formato dalsottoinsieme dei numeri pari NP e dal sottoinsieme dei numeri dispari ND.

N = NP ∪ ND

Con il simbolo N0 si indica l’insieme dei numeri naturali escluso lo zero.Dati due numeri naturali, è sempre possibile il loro confronto in quanto possonoessere uguali (=), diversi (≠), uno maggiore (>) o minore (<) dell’altro.

Consideriamo i numeri 17 e 28 e confrontiamoli:

• 17 ≠ 28 17 diverso da 28• 17 < 28 17 minore di 28• 28 > 17 28 maggiore di 17

NP ND

PROPRIETÀ

N

ESEMPIO

ESEMPIO

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13

Ogni numero naturale n è sempre minore del suo successivo (n + 1) ed è sempremaggiore del suo precedente (n – 1). Il numero 0 non ha precedente ed è quindiminore di qualunque altro numero naturale.

Alcune volte si usano le espressioni maggiore o uguale a oppure minore o uguale a. Esse si tradu-cono con i simboli ≥ o ≤ .

STOPANDGO

Vero o falso ?

54 è il precedente di 55.10 è il successivo di 11.27 è il precedente di 26.19 è il successivo di 18.1022 è il precedente di 1021.273 è il successivo di 274.

Scrivi il successivo dei seguenti numeri.

45 → ……107 → ……8177 → ……12 313 → ……

Scrivi il precedente dei seguenti numeri.

…… → 18…… → 315…… → 8201…… → 30 710

Scrivi in ordine crescente le seguenti successio-ni di numeri.

8, 27, 3, 57, 108112, 27, 8, 1090, 109

Scrivi in ordine decrescente le seguenti succes-sioni di numeri.

8, 21, 5, 1003, 1300110, 8, 38, 8012, 8102

Completa con i simboli > o <.

27 … 29 31 … 19153 … 154 51 … 48

3 … 7 1021 … 10 021

Scrivi in simboli le seguenti frasi.

Il numero a è maggiore o uguale a 7.Il numero a è minore o uguale a 41.Il costo x deve essere minore di € 30.Una macchina produce al massimo a pezziall’ora.Aldo deve fare almeno 3 goal per vincere.e

d

c

b

a

7

fc

eb

da

6

b

a

5

b

a

4

d

c

b

a

3

d

c

b

a

2

FVfFVeFVdFVcFVbFVa

FV1

3 I numeri decimali

Abbiamo detto che i numeri naturali vengono utilizzati per contare gli oggetti; nellavita pratica può però accadere di avere a che fare con pezzi o parti di oggetti: nonci capiterà di mangiare un’anguria intera, ne mangeremo una fetta, cioè una parte.Da qui la necessità di usare dei numeri più piccoli dell’unità. Se consideriamo l’in-tero e lo dividiamo in dieci parti uguali, otteniamo dei “pezzetti”, ciascuno deiquali si chiama decimo. Il decimo può essere diviso in dieci parti uguali, ciascuna delle quali corrispondealla centesima parte dell’intero e quindi si chiama centesimo. Il centesimo può poi essere diviso in dieci parti uguali, ciascuna delle quali corri-sponde alla millesima parte dell’intero e quindi si chiama millesimo, e così via.

1 decimo si scrive 0,1.1 centesimo si scrive 0,01.1 millesimo si scrive 0,001.

REGOLA

NOTA

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14

Nei seguenti numeri decimali indica la parte inte-ra e la parte decimale.

32,71 5,07 0,507 132,05

In ciascuno dei seguenti numeri indica il valoredella cifra 2.

32,4 5,207 0,025

Cancella gli zeri inutili nei seguenti numeri.

3,02 2,220 0,007 240,030 008,0080

In ciascuno dei seguenti numeri indica il valoredella cifra 0.

30 0,31 2,07 1207dcba

4

edcba

3

cba

2

dcba

1

4 Rappresentazione grafica dei numeri

Consideriamo una semiretta di origine O e, a partire da O, consideriamo una suc-cessione di segmenti adiacenti e uguali tra loro: OA - AB - BC - CD - DE - EF, ecc.

O A B C D E F G H I L

Se all’origine (O) facciamo coincidere il numero 0 e ai successivi estremi di ogni seg-mento, rispettivamente, i numeri naturali 1, 2, 3, 4, 5, ecc. otteniamo una rappre-sentazione grafica dei numeri naturali.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 u

Come si può vedere, la scrittura di questi numeri, che si chiamano numeri decimali,comporta l’uso di una virgola, che ha il compito di separare le unità semplici dalleunità decimali. Consideriamo, per esempio, il numero decimale 397,248, dove 397 è la parte interae 248 la parte decimale:

Esso è composto da 3 centinaia semplici, 9 decine semplici, 7 unità semplici, 2decimi, 4 centesimi, 8 millesimi e si legge: trecentonovantasette e duecentoquaran-totto millesimi.

Lo zero nei numeri decimali non cambia il valore del numero se è scritto a destra dell’ultima cifradecimale. Le scritture 5,7, 5,70, 5,700 rappresentano lo stesso numero decimale, cioè 5 unità e 7 decimi,mentre le scritture 57, 570, 5700 rappresentano numeri diversi.

STOPANDGO

unitàdecine

centinaia

397,248millesimi centesimidecimi

397,248

NOTA

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Ogni estremo di segmento è, quindi, l’immagine di un numero e, poiché la semiret-ta inizia con l’origine ma è poi illimitata, ciò ci permette di rappresentare gliinfiniti numeri naturali.

L’insieme ordinato dei numeri naturali è in corrispondenza biunivoca con l’insiemedei punti che dividono una semiretta in segmenti adiacenti e uguali all’unità dimisura. Tali punti sono l’immagine dei numeri naturali.

Osservando la rappresentazione grafica dei numeri, possiamo dire che il numero 4indica che abbiamo contato 4 unità di misura, cioè quattro segmenti (numero car-dinale), oppure che il 4 occupa il quarto posto (numero ordinale).Per rappresentare un numero decimale, ad esempio 4,3, si fissa l’unità di misura ela si divide in 10 parti uguali per rappresentare così i decimi:

0 1 2 3 44,3 5

u

STOPANDGO

Rappresenta sulla retta orientata i seguenti numeri: 7; 3; 5; 1; 4; 3,5; 2.

Scrivi i numeri corrispondenti ai punti A, B, C.

c

b

a

2

1

0

A

1

B C

0

B

1

A C

0

0

A

2

B C

PROPRIETÀ

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■ I numeri e la numerazione

I numeri sono a volte considerati noiosi e prividi interesse, ma, anche se quasi non ce neaccorgiamo, essi fanno parte della nostra vitaquotidiana.Provate a immaginare di svolgere attività anchesemplici e divertenti senza usare i numeri:chiamare un amico al telefono, scegliere ilcanale TV preferito, arrivare in orario a unappuntamento, trovare l’indirizzo di una perso-na sarebbero azioni impossibili senza conosce-re il simbolo numerico e il suo significato.

Il numero non è un concetto innato nell’uomo:è una sua invenzione, dovuta all’esigenza diconoscere le quantità. Addirittura l’uomo primi-tivo (cacciatore, allevatore e agricoltore) nonpoté farne a meno per svolgere le sue attivitàe si diede da fare…

Da studi compiuti sullo sviluppo della mentedel bambino, da scoperte archeologiche e dallostudio di civiltà ancora primitive si è scopertoche il percorso del concetto di numero, perarrivare a essere quello che noi oggi conoscia-mo, è stato lungo e laborioso.Gli strumenti di numerazione più antichi sonostati quasi certamente le parti del corpo, peresempio le dita, oppure oggetti, come conchi-glie e palline di argilla, ma anche vere e pro-prie “calcolatrici” rudimentali. Sono state infat-ti ritrovate ossa di animali, risalenti a decine dimigliaia di anni fa, incise con tacche tutteuguali, che si pensa potessero essere uno deiprimi metodi per rappresentare graficamente inumeri.Tutte le grandi civiltà umane come Egizi,Sumeri, Maya, Cinesi, Greci e Romani idearonoparticolari simboli per rappresentare i numeri esistemi di numerazione più o meno complessiper eseguire i calcoli.

Quasi tutte le numerazioni antiche erano addi-tive: per leggere i numeri bisognava sommare ivalori dei singoli segni grafici.Nella numerazione romana, per esempio, LXXXIIcorrisponde a 82:

(L)50 + (X)10 + (X)10 + (X)10 + (I)1 + (I)1 = 82

Questo tipo di scrittura rendeva l’esecuzionedelle operazioni estremamente complicata.

Fu l’introduzione del numero zero e delle cifrearabe che semplificò la numerazione e i calcoli.Le cifre chiamate arabe, in effetti, furono quasicertamente inventate dagli Indù, ma venneropubblicate su testi da studiosi arabi e diffusein Europa con questo nome.Lo zero non esisteva negli antichi sistemi dinumerazione. Furono probabilmente gli Indù e,conseguentemente, gli Arabi che diedero una

Tavola delle numerazioni antiche

APPROFONDIMENTO

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forma grafica alla quantità nulla. Gli Arabi lochiamarono “sifr”, vocabolo che venne tradottoin latino come “zephirus” e quindi “zero”. L’introduzione in Europa dello zero e delle cifrearabe, che diedero vita al sistema di numera-zione posizionale (i simboli acquistano valoridifferenti a seconda della posizione che occupa-no nel numero) oggi in uso, è dovuta aLeonardo Fibonacci (1170-1250). Il padre diLeonardo era un magistrato della colonia com-merciale pisana in Algeria e fu proprio in que-sto paese che il giovane, studiando con unmaestro musulmano, si rese conto che il siste-ma di numerazione più semplice ed efficace eraquello indiano. Nel 1202 la pubblicazione delsuo Liber Abaci cambiò e semplificò i calcolidegli Europei. Pensate che una cifra all’appa-renza insignificante come lo zero, cambiò ildestino della matematica!Come avresti potuto riconoscere il diverso valo-re dei numeri 22, 202 e 2002 senza l’uso delsimbolo 0?

■ Numeri sacri

La scuola Pitagorica affermava che la spiega-zione dell’esistenza e del mutare delle cose ècontenuta nei numeri: basta saperli leggere nelmodo giusto.Il 2 è sacro perché esprime la dualità dellaNatura: luce e buio, Sole e Luna, acqua e terra,maschile e femminile. Esso esprime inoltre lecoppie di parti del nostro corpo (occhi, orec-chie, braccia, gambe, mani, piedi, narici, lab-bra…) e due sono anche i tropici (Cancro eCapricorno), i poli (Nord e Sud) e gli emisferiterrestri (Australe e Boreale)Il 3 è un numero sacro poiché Dio creò la luce ilterzo giorno. Esso inoltre rappresenta la perfezio-ne, perché visualizza il triangolo, fonte di abbon-danza e fertilità presso numerose civiltà antiche esimbolo della Trinità nella religione cristiana.Nell’Induismo, le divinità sono raffigurate conla Trimurti (Brahma, Shiva e Visnù) e per gliantichi Romani gli dei più importanti erano tre:Giove, Giunone e Minerva.

Tre sono anche i re Magi, i mesi in una stagio-ne, le tre Grazie, le teste di Cerbero (il caneguardiano degli Inferi).Il 7 è sacro perché scandisce i giorni e i ciclidella vita umana.Sette volte sette e settanta volte sette sonoespressioni bibliche che indicano un numerograndissimo. Per gli Ebrei, la sacralità del sette era data dallasomma 6 + 1 per ricordare i 6 giorni della crea-zione del mondo e il numero 1 che simboleggial’unicità di Dio. Sono 7 i colori dell’iride (rosso, arancione, gial-lo, verde, azzurro, indaco e violetto), i giornidella settimana, i re dell’antica Roma, iSapienti (Savi) dell’antica Grecia, le stelle checompongono il Grande Carro ed il Piccolo Carro,i bracci del candelabro ebraico, i sacramentireligiosi e i vizi capitali.

■ Numeri perfetti

I numeri perfetti sono i numeri interi cherisultano uguali alla somma dei propri divisoricon esclusione del numero stesso.Il primo numero perfetto è il 6, in quanto i suoidivisori sono 1, 2, 3, 6 e 1 + 2 + 3 = 6.Il secondo è il 28, i cui divisori sono 1, 2, 4, 7,14 e 28. Prova a sommarli e otterrai 28!I matematici per ora ne hanno identificati solo47, ma, se è vero che i numeri sono infiniti, losaranno anche i numeri perfetti?

■ Numeri amicabili

Dati due numeri, se la somma dei divisori pro-pri (escluso cioè il numero stesso) del primo èuguale al secondo e, viceversa, la somma deidivisori propri del secondo è uguale al primo,questi sono detti amicabili.I divisori propri di 220 sono 1, 2, 4, 5, 10, 11,20, 22, 44, 55, 110 e la loro somma è 284.I divisori propri di 284 sono 1, 2, 4, 71, 142 ela loro somma è 220. 220 e 284 sono per que-sto motivo due numeri amicabili.

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Disegna il simbolo mancante: Quanti mesi arrivano a 28 giorni?

Una lumaca deve salire un muro di 5 metri. Digiorno sale di 3 metri, ma di notte scende di 2.Dopo quanti giorni arriva in cima al muro?

In uno scavo archeologico nei pressi di Roma futrovata una moneta. Essa era d’argento e portavaincisa la data 41 a.C. È vero o falso?

4

3

21

■ La numerazione romana

Avviciniamoci a noi nel tempo e vediamo come i romani indicavano i numeri. Questo popolo scri-veva i numeri per mezzo di lettere.I simboli usati erano:

I V X L C D M↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓1 5 10 50 100 500 1000

La numerazione romana viene usata ancora oggi soprattutto per scrivere le date su targhe comme-morative e per indicare i numeri ordinali; è quindi importante conoscere questo sistema di nume-razione e le sue regole.Il sistema di numerazione romana non è un sistema posizionale, in quanto ogni simbolo conserva sem-pre il suo valore assoluto, ma la posizione è comunque importante perché se i simboli sono scritti inordine decrescente i loro valori si sommano (sistema additivo), se invece i simboli sono scritti in ordi-ne crescente bisogna sottrarre dal valore più grande il valore più piccolo (sistema sottrattivo).

XI ordine decrescente → X + I cioè 10 + 1 → 11IX ordine crescente → X – I cioè 10 – 1 → 9

Per comporre i numeri, bisogna seguire le seguenti regole.

I simboli I, X, C, M possono essere ripetuti al massimo tre volte; si sommano ad altri di valoremaggiore o uguale se sono scritti alla loro destra; si sottraggono da altri di valore maggiore sescritti alla loro sinistra, ma con i seguenti limiti:I può essere sottratto solo da V e X;X può essere sottratto da L e C.I simboli V, L, D possono essere scritti solo una volta e non si sottraggono.Un simbolo scritto tra due di valore maggiore viene sottratto da quello di destra e non somma-to a quello di sinistra. Ad esempio:

c

b

a

22

44

66

8877

33

11

GIOCHIAMO CON I NUMERI risultati a pag. 323

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19

XIX va interpretato come X + IX cioè 10 + 9 → 19e non XI + X cioè 11 + 10 → 21

CIV va interpretato come C + IV cioè 100 + 4 → 104e non CI + V cioè 101 + 5 → 106

Uno o più simboli, sormontati da un tratto orizzontale, vengono moltiplicati per 1000; sormon-tati da due tratti orizzontali vengono moltiplicati per 1 000 000.

Vediamo alcuni esempi:

6 VI14 XIV49 XLIX (e non IL)99 XCIX (e non IC)

490 CDXC (e non XD)499 CDXCIX (e non ID)990 CMXC (e non XM)999 CMXCIX (e non IM)

4000 IV750 MMDCCL

6322 VICCCXXII200 000 CC

14 358 957 XIVCCCLVIIICMLVII

STORIA&MATEMATICA

■ L’abaco: un antenato della calcolatrice

I romani e altri popoli, per effettuare i calcoli più rapidamente, usavano uno strumento dettoaabbaaccoo che poteva consistere in tavole di pietra con scanalature in cui mettere i calculi, cioè deisassolini, assicelle verticali su cui infilare anelli, bacchette cosparse di cera per poter incideredelle tacche.In ogni caso, l’abaco avevadelle colonne corrispon-denti ai vari ordini di unitàe nella numerazione a base10 ogni colonna aveva ilposto per soli nove oggetti,poiché dieci oggetti di unacolonna formavano un og-getto della colonna di ordi-ne superiore.

d

M D L V

C X I

Abaco romano cherappresenta dak uk h d u

Abaco a base 10 che rappresentail numero 21 415.

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ESERCIZI

Vero o falso ?

5 è una cifra più piccola della cifra 2.75 è una cifra con due numeri.57 è un numero con due cifre.Le cifre sono infinite.Con le cifre si possono comporre i numeri.Le cifre coincidono con i primi diecinumeri.Il mio libro ha una cifra di pagine paria 245.

Indica se il simbolo 9 esprime una cifra o unnumero .

29 caramelle9 matite9 libri900 spilli359 francobolli1 009 coriandoli491 biglie09 fogli9 cioccolatini49 farfalle

Scrivi il numero più piccolo e il più grande for-mati da tre cifre uguali.

Scrivi il numero più piccolo e il più grande for-mati da tre cifre diverse fra loro.

Scrivi il numero più piccolo e il più grande for-mati da quattro cifre uguali.

Scrivi il numero più piccolo e il più grande for-mati da quattro cifre diverse fra loro.

Scrivi il numero più piccolo e il più grande for-mati dalle cifre 1-3-5-8-9.

Scrivi in cifre i seguenti numeri.

quarantottonovantacinquesessantaseiottantunotrentanoveduecentoventinovequattrocentotrésettecentoundicinovecentoquattro

trecentotrentacinquecentodiciassettecentonovantunoottocentounotremiladuecentoventiseimilaseinovemilaquarantasettetremiladieci

ventimilaquattrocentoquattrotrentamilaquindicitredicimilacentodueottantottomiladuecentocinquequarantamiladuecinquantaseimilasette

centodiciannovemilatrecentoquarantaseiduecentomilacentodiecisettecentoquattordicimilanovecentonoveunmilionecinquecentodiciannovemila

ottomilasettecentoventiventinovemilaunoquattordicimilacinquecentomilaquarantaduequattromilioniventisettemilaquindiciquattromiliardiquindicimilioniventiquattromilioniottocentoventimilasettenovantanovemilanovecentonovantasettemiliardiquarantaduemilioniottocentomila

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

NCl

NCi

NCh

NCg

NCf

NCe

NCd

NCc

NCb

NCa

NC2

FVg

FVf

FVe

FVd

FVc

FVb

FVa

FV1

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I numeri e la numerazioneESERCIZI1LEZIONE

21

Scrivi in lettere i seguenti numeri.

224 507 941 107 840103 612 998 395 114

1021 4705 2900 1901 84007048 8407 6003 9909 1111

24 024 13 900 97 503 34 50157 008 78 505 31 003 93 014

845 000 831 103 505 505800 018 700 204 418 300

2 418 913 10 405 507 117 400 203204 029 010 871 003 004 188 077 221

125 924 724 502 10 002101 910 4 741 541 5 221 000

Scrivi i seguenti numeri.

7 centinaia 4 decine 3 unità4 migliaia 2 centinaia 1 decina 4 unità 8 migliaia 3 centinaia 3 decine 6 unità6 centinaia 4 unità 9 migliaia 8 decine

54 centinaia 2 decine 5 unità27 decine 8 unità41 migliaia 73 unità8 decine di migliaia 8 migliaia8 centinaia 8 decine 8 unità21 migliaia 3 centinaia 5 decine 4 unità

95 migliaia 13 unità6 centinaia di migliaia 8 centinaia 3 decine4 decine di migliaia 14 unità7 unità di milioni 1 decina di migliaia 9 migliaia4 centinaia 25 unità1 decina di milioni 1 decina di migliaia 1 decina

8 decine 3 unità14 decine 7 unità2 centinaia 5 unità3 centinaia 4 decine 1 unità3 centinaia di migliaia 1 unità800 milioni 4 migliaia 15 unità10 milioni 3 centinaia 4 decine27 milioni 27 migliaia13 centinaia 2 decine 8 unità2 miliardi 14 migliaia17 migliaia 4 decine1 milione 1 migliaio 1 decina

22

21

20

19

18

17

16

15

14

13

Completa le seguenti tabelle.

30 956 024

7 4 5 9 3 2 4

8 5 4 6 8 3 5

9 5 6 9 8 4 1

8 7 5 4 1

7 4 1 9 7 5 4 3

3 9 5 6 2 4

12°ordine

4a classe 3a classe 2a classe 1a classe

11°ordine

10°ordine

9°ordine

8°ordine

7°ordine

6°ordine

5°ordine

4°ordine

3°ordine

2°ordine

1°ordine

Numero

23

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22

Numero

2 500 974

694 531

35 641 003

947 595 348

40 000 313

12 008 800

671 004

400 004 004

2 941 304

52 9 7 4

hM daM uM hk dak uk h da u25

Numero

6 1 3 4 9 2

5 3 4 7 8 3

7 4 1

968 3

7 5 4 1 2

94 2 5 1

2

5

hM daM uM hk dak uk h da u

8 3 4 5 2 3

5 69 7 48

2 9 54 6 1

490 251

24

Qual è il valore posizionale della cifra 8 neiseguenti numeri?

2805 → 8 ...............................48 → 8 ...............................

228 400 → 8 ...............................285 → 8 ...............................

8500 → 8 ...............................280 731 → 8 ...............................844 535 → 8 ...............................

1 387 917 → 8 ...............................

Indica il valore posizionale di ciascuna cifra deiseguenti numeri.

45 765 291 2430 58 740 25 046

571 948 235 680 418 935947 531 85 976 12 345

218 947 975 831 834 561704 328 2 458 763 765 432

568 431 2 345 678 12 345 67845 987 623 941 256 98 765 432

1,23 81 191 1000,425 125,004870,4 10,007 825,37 7,9242

Scomponi i seguenti numeri nei diversi ordini.1327 272 021 94 579 100 103 10 327 0518 127 031 127

32

31

30

29

28

27

26

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23

Qual è il numero formato da 10 cifre uguali a 1?E il suo successivo?Qual è il più piccolo numero di quattro cifre?E il suo successivo?Qual è il più piccolo numero di sette cifre?E il suo precedente?Qual è il più grande numero di tre cifre?E il suo successivo?Qual è il più grande numero di sei cifre?E il suo precedente?

Un libro è formato da 289 pagine; nel numerarlequante volte è stata adoperata la cifra 7 per leunità? La cifra 9 per le decine? Per quali pagineè stata usata due volte la cifra 8? Per quali pagi-ne è stata usata tre volte la stessa cifra?

Inserisci l’opportuno segno (> maggiore oppure< minore) tra i numeri delle seguenti coppie.

7 4 9 12 13 2134 18 45 38 25 1559 61 74 78 95 9068 67 5 15 81 80

151 160 235 60613 914 715 800904 895 431 441510 600 38 380841 630 41 401

12 416 12 41025 931 25 93469 458 70 530

845 945 845 951789 356 789 358

45 987 643 45 987 642

Trova tutti i valori di x, sapendo che:x ≤ 82 ≤ x ≤ 70 < x ≤ 5

Trova il precedente e il successivo dei seguentinumeri.

……… 12 ……………… 48 ……………… 109 ……………… 10 001 ……………… 271 ……………… 481 005 ………

Disponi in ordine crescente i seguenti numeri.

58; 95; 431; 254; 3; 45; 744; 21; 945; 631; 12; 997

450; 45; 981; 744; 477; 447; 474; 121; 211; 958;998; 215

431; 13; 918; 715; 29; 87; 780; 498; 565; 658;930; 19; 910

Disponi in ordine decrescente i seguenti numeri.

330; 451; 18; 75; 57; 940; 13; 990; 158; 815;721; 843

24; 240; 420; 402; 204; 741; 474; 913; 871; 784;945; 581

6527; 4231; 415; 2431; 715; 914; 1321; 3211; 4312; 58; 271; 485

Scrivi i numeri cardinali corrispondenti aiseguenti ordinali.

Quarto; ottavo; quindicesimo; ventunesimo;primo; trentanovesimo; tredicesimo; settanta-treesimo; centounesimo; trecentesimo; centocin-quesimo.

Ventottesimo; millequattordicesimo; settecento-novesimo; nono; duemilaquattrocentoduesimo;ventimilaquattresimo; milleunesimo.

Scrivi i numeri ordinali corrispondenti aiseguenti cardinali.

50; 7; 25; 39; 86; 42; 61; 103; 108; 294; 6; 320.

451; 677; 222; 999; 130; 263; 491; 654; 236;568; 390; 844.

1024; 2312; 9400; 3701; 517; 2928; 35 919; 40 003.

Scrivi i seguenti numeri decimali.

3 decine 2 unità 4 decimi 1 centesimo4 decine 0 unità 0 decimi 7 centesimi1 centinaio 6 decine 1 unità 4 decimi 1 unità 3 decimi 0 centesimi 7 millesimi 0 unità 9 decimi 5 centesimi 0 unità 0 decimi 0 centesimi 2 millesimi

51

50

49

48

47

46

45

44

43

42

41

40

39

c

b

a

38

37

36

35

34

e

d

c

b

a33

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24

9 unità 0 decimi 7 centesimi4 decine 0 unità 3 decimi 0 centesimi 4 millesimi6 unità 0 decimi 4 centesimi 8 millesimi4 unità 3 decimi 0 centesimi 7 millesimi1 centinaio 3 decine 4 unità 0 decimi 2 centesi-mi 1 millesimo9 decine 5 unità 0 decimi 7 centesimi

Quanti decimi ci sono in 3 unità? E in 7 decine?E in 5 centinaia?

Quanti centesimi ci sono in 4 decine e 2 unità?E in 3 centinaia?

Quanti decimi ci sono in 5 centinaia?E in 3 decine e 8 unità?

55

54

5352

Completa la seguente tabella.

5

9

4

4

9

5

7

2

9

5

1

1

25

3

34

5

7 5 3

38

7

2

19

4 3

4

7

2

9

3

1

decimi centesimi millesimi

1 4

5 1

9

3

2 4

9

6

Numero

1059,043

hk dak uk h da u

56

Nei numeri seguenti cancella gli zeri che è possi-bile sopprimere senza cambiare il valore deinumeri stessi.0,058 0,570 1,047 2,42020,4200 12,0508 3,040 2,0045,700 15,001 13,010 100,400,0010 4,003 25,030 31,30043,401 204,400 2,003 4,04100,001 18,04100 1,300 70,050

Indica il valore posizionale di ciascuna cifra deiseguenti numeri.

0,38 4,51 78,4359,304 124,3 243,607

3,458 71,625 43,20512,879 1,506 38,007

Inserisci l’opportuno segno (> maggiore oppure <minore) tra i numeri decimali delle seguenti coppie.

0,5 0,8 0,04 1,122,45 2,4 5,75 5,751

9,38 9,83 0,06 0,63,51 3,518 6,971 6,974,3 4,35 12,7 12,079,71 9,08 3,50 3,05

25,3 25,31 6,07 6,54,38 4,3 0,05 0,0042,49 2,94 4,31 4,138,09 8,1 8,1 8,01

13,3 13,03 1,7 1,712,3 2,29 4,51 4,15

Disponi in ordine crescente i seguenti numeridecimali.

0,06; 0,71; 0,45; 1,4; 1,045; 1,521; 1,02; 0,92;1,41; 0,74

1,67; 1,6; 1,7; 0,2; 0,48; 0,205; 0,741; 0,984;1,14; 1,9

0,04; 0,004; 1,04; 1,401; 1,410; 1,14; 1,104;1,014; 1,4011; 0,404

64

63

62

61

60

59

58

57

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42,593456; 723,74321; 1224,7224; 0,10015; 0,027027; 0,003915; 1,000148; 0,000923.

Disponi in ordine decrescente i seguenti numeridecimali.

4,01; 4,12; 4,21; 2,01; 2,10; 2,12; 1,22; 0,04;4,001; 4,102.

0,007; 0,07; 0,7; 0,711; 0,117; 0,711; 0,171;0,112; 0,1; 0,71.

2,48; 2,048; 2,408; 2,4; 2,804; 2,041; 2,084;0,204; 2,04; 2,008.

123,132; 7214,002; 92 415,14156; 8234,01248;1 001 001,1001; 93 458,934853; 0,0048; 0,0000015

Scrivi in cifre i seguenti numeri decimali.settecento unità e tredici centesimisedicimilaquattro unità e settantadue millesiminovantasettemilaquattordici unità e dodici deci-millesimimilletredici unità e centodue millesimiottantadue millesimimilletredici centimillesimi

Scrivi in cifre i seguenti numeri decimali.otto centinaia quattro decine e cinque deciminove migliaia quattro unità e sette centesimicinque centinaia di migliaia cinque decine equattordici millesimiventiquattro centinaia e ventiquattro millesimi

Rappresenta su una retta orientata le seguentisuccessioni di numeri.

8; 10; 15; 22,4; 3; 1,5; 41,8; 2,1; 2; 3,4

Scrivi con la numerazione romana i seguentinumeri.

10 7 5 12 19 25 31 5165 49 22 80 95 100 99

6 9 14 45 87 91 78 4320 92 104 110 118 150 164

151 168 205 438 397 500 541 605709 845 901 990 630 421 915

954 1231 1470 15051689 1690 1848 1964

2545 3950 3109 19942109 2009 3748 1555

4700 4900 3693 543112 430 25 651 100 000 350 350

64 950 240 500 318 957795 324 834 752 948 56

399 999 645 000 945 970843 000 725 041 931 300

Scrivi nel sistema di numerazione decimale iseguenti numeri romani.

VIII XII XIV XXIVXXIX XXXVII LXVI XLIX

LXXI XCVI LXXIV LXXXIXC LXVII LXIX LV

CCXXII CCCLV CCXXVIIICCXCIII CCXLIX CCCXCIX

DCL CDXXIX DLVDCCCLXXXIV CMXCIX MVIII

DXLVI DLXXXVIII MCMLIXMCMXCIII MMMDCCLXXXV MMIV

XX XCDXXXII VCCCXCXIICDXC LIVDCLVI CCL

XIVXCII DLVI DXXXIVDXXXVIDCDXIX MMMIV VDCCC

CCCXVICMXXIX MDXIX CCCXCDCCX VII CXI

MMMCCIVDCCLXXIV DCCCDXCIX

CCDCXXDCCCLXXIX

89

88

87

86

85

84

83

82

81

80

79

78

77

76

75

74

73

c

b

a

72

71

70

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68

67

66

65

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risultati a pag. 321

VERIFICA1LEZIONE

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Vero o falso ?

Un numero pari termina con cifra pari.Il numero 43 è dispari.Il simbolo > si legge minore.Il simbolo ≥ si legge maggiore o uguale.Il precedente di un numero a è a + 1.L’insieme dei numeri pari è infinito.L’insieme dei numeri dispari è un sot-toinsieme di N.31,75 > 327,001 < 7,01

Individua la risposta esatta.

Nel sistema di numerazione decimale si raggrup-pano le cifre per:

dieci due cinque

Un sistema di numerazione è posizionale se:

si sommano tra di loro i valori dei singoli sim-boli.le cifre assumono valore diverso a secondadella loro posizione.le cifre assumono lo stesso valore qualunquesia la loro posizione.

I numeri 22, 8, 142, 207 440 sono pari o dispa-ri? Giustifica la tua risposta.

Scrivi l’antecedente del numero 8 e il successivodi 13.

Scrivi in ordine crescente la seguente successio-ne di numeri e rappresentala su una semirettaorientata.

4; 2,7; 3,1; 2; 1,5

Scrivi in lettere i seguenti numeri scritti in cifre.

71 =312 =3180 =20 012 =

Scrivi il valore delle cifre nei seguenti numeri.

71,0581 207 589

Inserisci il simbolo >, < o = tra i seguenti numeri.

21 241050 105145,04 4658 57,912 367 12 367,047,2 7,020,1 0,105,2 5,191001 100212,07 12,07017,1 17,1112 070 12 069n

m

l

i

h

g

f

e

d

c

b

a

10

b

a

9

d

c

b

a

8

7

5

ABILITÀ

4

c

b

a

3

cba

2

FViFVh

FVgFVfFVeFVdFVcFVbFVa

FV1

CONOSCENZE

Scrivi i numeri corrispondenti ai punti indicati sulla semiretta.u

0 A B C D E F 0,5

6

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Indica nei seguenti numeri il valore posizionale di ogni cifra.

608 6 0 8

1324 1 3 2 4

Scrivi i seguenti numeri, conoscendo il valore posizionale delle cifre che li compongono.

6 unità0 decine N1 = 8 centinaia

6 migliaia7 decine N2 = 8 unità

Scrivi in ordine decrescente i seguenti numeri.

7 21 107 109 1

Scrivi in ordine crescente i seguenti numeri.

3 2,9 1,07 5 1,003 2

Inserisci l’opportuno simbolo < o > tra le coppie di numeri.

13 5 107 1007

14 27 200 199

Scrivi il successivo dei seguenti numeri.

Il successivo di 21 è .

Il successivo di 101 è .

Il successivo di 2 100 è .c

b

a

6

dc

ba

5

4

3

b

a

2

udcm

udcm

udcm

udcmb

udcm

udcm

udcma

1


RECUPERO1LEZIONE

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01 Ari 1° tomo 2010 27-11-2009 10:24 Pagina 27

• Conoscere il sistema di numerazionedecimale

• Conoscere gli algoritmi più semplicidelle quattro operazioni

PREREQUISITI CONTENUTI OBIETTIVI

• Proprietà e algoritmi delle quattrooperazioni

• 0 e 1 nelle quattro operazioni• L’insieme Z• Le quattro operazioni in Z

• Consolidare la conoscenza degli algo-ritmi delle quattro operazioni

• Conoscere e applicare le proprietàdelle quattro operazioni

Le quattro operazioni

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2LEZIONE

Alla scuola primaria hai imparato gli algoritmi, cioè le tecniche di calcolo, dellequattro operazioni. Ora, oltre al ripasso di tali tecniche, ne imparerai il significatoe le proprietà.

1 Addizione

Questa operazione è spontanea e intuitiva: se vogliamo infatti sapere quanto siottiene da 3 + 2, basta aggiungere due unità al numero tre. Rappresentiamo l’ope-razione su una retta:

3 2

u0 1 2 3 4 5 6

Come puoi osservare, abbiamo fissato l’unità di misura e abbiamo contato di segui-to 3 unità e poi 2: abbiamo così raggiunto il numero 5. Se usiamo il simbolo + perrappresentare la parola aggiungere, possiamo scrivere in simboli:

3 + 2 = 5

L’addizione è l’operazione aritmetica che associa a due numeri, detti addendi, unterzo numero, detto somma, la quale si ottiene contando, di seguito al primo adden-do, tante unità quante ne indica il secondo addendo.

DEFINIZIONE

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Se si sommano due o più numeri naturali, la somma è sempre un numero naturale.

L’addizione è una operazione interna all’insieme N, cioè l’insieme dei naturali Nè chiuso rispetto all’addizione.

■ Le proprietà dell’addizione

Proprietà commutativaLa somma di due o più numeri non cambia se si cambia l’ordine degli addendi.

Usando la retta orientata eseguiamo le addizioni 4 + 2 e 2 + 4:

4 2

4 + 2 = 60 1 2 3 4 5 6

2 4

2 + 4 = 60 1 2 3 4 5 6

Come già sapevi, 4 + 2 o 2 + 4 danno sempre lo stesso risultato: 6.Proviamo ancora con 2 + 1 + 3 e 3 + 1 + 2:

2 1 3

2 + 1 + 3 = 60 1 2 3 4 5 6

3 1 2

3 + 1 + 2 = 60 1 2 3 4 5 6

Quindi 2 + 1 + 3 = 3 + 1 + 2 = 6.

Proprietà associativaLa somma di tre o più numeri non cambia se a due o più di essi si sostituisce la lorosomma.

Per eseguire l’addizione 2 + 8 + 7, possiamo procedere in più modi, associando gliaddendi:

2 + 8 + 7 = sommiamo 2 + 8 10 + 7 = 17

2 + 8 + 7 = sommiamo 8 + 7 2 + 15 = 17

Quindi (2 + 8) + 7 = 2 + (8 + 7) = 2 + 8 + 7 = 17.

∀a, b, c ∈ N (a + b) + c = a + b + c

∀a, b ∈ N a + b = b + a

Le quattro operazioni2LEZIONE

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PROPRIETÀ

PROPRIETÀ

PROPRIETÀ

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Le proprietà commutativa e associativa sono utili per il calcolo mentale; osserva gliesempi.

• 17 + 51 + 3 = 17 + 3 + 51 = 20 + 51 = 71

• 8 + 120 + 2 = 120 + 2 + 8 = 120 + 10 = 130

• 91 + 321 + 9 = 91 + 9 + 321 = 100 + 321 = 421

Come avrai notato, è più facile sommare a un numero 10, 100, 1 000 o i loro multipli.

• 2 + 21 + 8 + 9 = associamo 2 e 8 21 e 9 10 + 30 = 40

• 124 + 8 + 6 + 2 = associamo 124 e 6 8 e 2 130 + 10 = 140

Proprietà dissociativaLa somma di due o più numeri non cambia se a uno o più numeri se ne sostitui-scono altri la cui somma è pari al numero o ai numeri sostituiti.

Se dobbiamo eseguire la somma 17 + 5 + 3, possiamo procedere dissociando unnumero nella somma di altri più convenienti:

17 + 5 + 3 = 10 + 7 + 5 + 3

Anche la proprietà dissociativa è utile per il calcolo mentale; osserva gli esempi.

17 + 18 + 5 = 108 + 12 + 15 + 5 =

10 + 5 + 2 + 18 + 5 = 100 + 8 + 2 + 10 + 15 + 5 =

10 + 10 + 20 = 40 100 + 10 + 10 + 20 = 140

ESEMPI

ESEMPI

PROPRIETÀ

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LaTuaMatematica_Aritmetica1

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