L’operazione finanziaria elementare F= $#,(%,&) scambia le coppie … · 2020. 2. 24. ·...
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Schema:! conferisce a " all’epoca # l’importo $ in cambio dell’importo % che " conferirà ad !all’epoca &, con & > #.
t sA ® B A ¬ B
P M
Esempi1. Acquisto oggi (epoca #) un BOT (Buono Ordinario del Tesoro) al prezzo di € 95,817
ed incasserò tra un anno €100.Assumendo l’anno come unità di misura del tempo, l’operazione può scriversi come
( = {(−95,817, #), (100, # + 1)}
2. Presento oggi (epoca #) all’incasso un credito per € 1.000 che maturerà tra 30 giorni. Ricevo dalla controparte € 995.Assumendo il giorno come unità di misura del tempo, l’operazione può scriversi come
( = {(995, #), (−1.000, # + 30)}
Operazioni finanziarie.L’operazione finanziaria elementare
L’operazione finanziaria elementare F = $ # , (%, &) scambia le coppie coppie ($, #) ed (%, &), con & ¹ # ; # ≥ 0, & ≥ 0.
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L’operazione finanziaria elementare (segue)
Ipotesi:
1. Gli importi ! ed " sono espressi nella stessa unità di misura monetaria
2. I soggetti che attuano lo scambio sono razionali:
a) #$, & ≻ #(, & se I1 > I2
b) (#, &$) ≻ #, &( se &$ < &(Criteri di preferenza assoluta
Operazioni finanziarie.L’operazione finanziaria elementare (segue)
Principio di equivalenza finanziaria
«E’ finanziariamente equivalente ricevere [corrispondere] un importoimmediatamente oppure riceverlo [corrisponderli] in un’epoca successivapurché — in questa seconda eventualità — all’importo si aggiunga uninteresse per il differimento della transazione.»
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Schema:
Esempi3. Acquisto oggi (epoca t) un BTP (Buono del Tesoro Poliennale) con scadenza tra tre
anni al prezzo di € 101.25 che paga cedole semestrali in base al tasso annuo del 4%.Assumendo l’anno come unità di misura del tempo, l’operazione può scriversi come
! = { -101,25, ) , 2, ) + 0,5 , 2, ) + 1 , 2, ) + 1,5 , 2, ) + 2 , 2, ) + 2,5 , (102, ) + 3)}4. Acquisto oggi (epoca t) un’auto del valore di € 15.000 e la pago con rate mensili di €
300 per i prossimi 5 anni (numero di rate = 12´5 = 60). Assumendo il mese come unità di misura del tempo, l’operazione può scriversi come
! = { 15.000, ) , −300, ) + 1 , −300, ) + 2 ,… , (−300, ) + 60)}
Operazioni finanziarie.L’operazione finanziaria complessa
L’operazione finanziaria complessa è del tipo F = { 45, )5 , 6 = 1,2, . . , 7;7 > 2}
):4:
);4;
)<4<
)=4=
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L’operazione finanziaria elementare ! = { $, & , ', ( } è detta
di investimento (o impiego)
se, noto $, deve determinarsi '(… se $ rappresenta un’uscita)
& è l’epoca di investimento( è l’epoca di scadenza$ è il capitale impiegato (o investito) all’epoca &' è il montante alla data ( del capitale investito alla data &.
di anticipazione (o sconto, ofinanziamento)se, noto ', deve determinarsi $(… se $ rappresenta un’entrata)
& è l’epoca di anticipazione( è l’epoca di scadenza$ è il valore attuale all’epoca & del-
l’importo ' disponibile all’epoca (' è l’importo disponibile all’epoca (
& ($ ' (incognita)
& ($ '(incognita)
In entrambi i casi, per il principio di equivalenza finanziaria, deve aversi
' ≥ $, ∀ ( ≥ &
Operazioni finanziarie.L’operazione finanziaria elementare: investimento e anticipazione
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Esempi
(investimento)
5. A presta a B la somma ! in cambio della restituzione, tra un mese, della somma " > ! (da determinare nell’accordo che intercorre tra A e B).
6. A effettua un versamento di importo ! su un conto corrente bancario e, senza movimentare il conto, preleva a fine anno l’importo " > !.
(anticipazione)
7. A cede all’epoca $ un credito a B di importo " che scade all’epoca % > $ ed ottiene in cambio l’importo ! < ".
Operazioni finanziarie.L’operazione finanziaria elementare: esempi di investimento e anticipazione
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nelle operazioni di investimento,interesse (sul capitale investito !) edè indicata come "#,%.
l’interesse "#,% è la somma che fruttal’investimento dell’importo ! tra leepoche & e '
La differenza (non negativa) ( − ! è detta
nelle operazioni di anticipazione,sconto (sul capitale dovuto () ed èindicata come *#,%.
lo sconto *#,% è la somma che fruttal’anticipazione all’epoca & dell’importo( dovuto all’epoca '
Pertanto
Osservazione. Si consideri che per definizione è "#,% = *#,%
Operazioni finanziarie.L’operazione finanziaria elementare: interesse e sconto
( − ! = "#,% ⟺ ( = ! + "#,% Il montante dell’importo . è pari alla somma dello stesso importo . e dell’interesse da questo prodotto
( − ! = *#,% ⟺ ! = ( − *#,% Il valore attuale dell’importo / è pari alla differenza tra lo stesso importo / e lo sconto
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Le ipotesi formulate circa il funzionamento del mercato dei capitali ideale (competitività, non frizionalità, assenza di opportunità di arbitraggio) garantiscono che vale la
Operazioni finanziarie.L’operazione finanziaria elementare: la legge del prezzo unico
Legge del prezzo unico (Law of one price, LOOP). In condizioni di certezza, attività finanziarie che a scadenza hanno lo stesso valore, devono avere lo stesso prezzo.
Siano infatti !" = $", & , ((, )) e !+ = $+, & , ((, )) (& < )) due operazioni finanziarie che assicurano lo stesso importo ( alla stessa scadenza ). Se fosse (a) $" < $+ ciascun agente comprerebbe !" e venderebbe (allo scoperto) !+, generando un arbitraggio (se fosse (b) $" > $+ si agirebbe specularmente).
(a) . /Compro !" −$" (Vendo !+ +$+ −(Saldo 23−24> 5 5
(b) . /Compro !+ −$+ (Vendo !" +$" −(Saldo 24−23> 5 5
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La legge del prezzo unico implica che esiste una funzione ! che, nota la terna ", # e $, con " ≤ #, individua univocamente &, cioè:
!: $, ", # → & ⟺ & = ! $, ", #Ipotesi sulla funzione ,Assumeremo che la funzione ! sia:• continua su un insieme costituito da opportuni intervalli di definizione delle variabili• derivabile parzialmente rispetto alle tre variabili
Stante il significato finanziario della funzione !, dovrà anche essere
• $ = ! $, ", " , ∀ " ≥ 0; ∀ $• 12
13 > 0 (! crescente al crescere di $)
• 1215 > 0 (! crescente al crescere di #)
• 1216 < 0 (! decrescente al crescere di ")
Operazioni finanziarie.L’operazione finanziaria elementare: la funzione valore
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Ipotesi sulla funzione ! (segue)
• Ipotesi di proporzionalità (o indipendenza dall’importo)
" = $ %, ', ( = % ) $(1, ', ()
essendo $(1, ', () la funzione di importo unitario.
Operazioni finanziarie.L’operazione finanziaria elementare: la funzione valore
Osservazioni
• Dal punto di vista economico, l’ipotesi di proporzionalità traduce l’assunto che l’utilità marginale del denaro sia costante
• L’ipotesi è realistica nel caso di importi contenuti o di periodi non molto lunghi
• $(1, ', () può interpretarsi come il prezzo all’epoca - di una unità di capitale (per esempio un euro) disponibile all’epoca .
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Operazioni finanziarie.L’operazione finanziaria elementare: invertibilità della funzione valore
Richiamo (dal Corso di Matematica Generale)
Data la funzione ! = #(%):• continua, e;• strettamente crescente (decrescente) nell’intervallo 'esiste la sua funzione inversa #() che risulta:• continua, e • strettamente crescente (decrescente) nell’intervallo *, con * = #(').
f
f
f -1
f -1
x
y
y = f(x)
x = f -1(y)
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Operazioni finanziarie.L’operazione finanziaria elementare: invertibilità della funzione valore (segue)
Per ipotesi, la funzione ! è continua e strettamente crescente rispetto all’importo ". Esiste dunque la sua funzione inversa (rispetto a "). Indichiamo tale funzione inversa con #.Pertanto
Valendo l’ipotesi di proporzionalità si ha anche che
$ = ! ", ', ( restituisce l’importo $ disponibile all’epoca ( in cambio dell’importo " disponibile all’epoca '
" = # $, ', ( restituisce l’importo " disponibile all’epoca ' in cambio dell’importo $ disponibile all’epoca (
$ = " ) ! 1, ', ( ⟺ $" = !(1, ', () Per definizione poniamo
. ', ( ≔ !(1, ', ()
" = $ ) # 1, ', ( ⟺ "$ = #(1, ', () Per definizione poniamo
0 ', ( ≔ #(1, ', ()
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!(#, %) può interpretarsi come:1. numero di unità di capitale disponibili all’epoca % in
cambio di una unità di capitale disponibile all’epoca #.2. prezzo all’epoca % di un importo unitario disponibile
all’epoca #.3. fattore di capitalizzazione in quanto fornisce il
montante all’epoca % per ogni unità di capitale 'investito all’epoca #
# s!(#, %)1
# %((#, %) 1
((#, %) può interpretarsi come:1. numero di unità di capitale disponibili all’epoca # in
cambio di una unità di capitale disponibile all’epoca %.2. prezzo all’epoca # di un importo unitario disponibile
all’epoca %.3. fattore di attualizzazione in quanto fornisce il valore
attuale all’epoca # per ogni unità del capitale) dovutoall’epoca %
Operazioni finanziarie.L’operazione finanziaria elementare: significato della funzione valore
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Essendo per definizione
!" = $ %, ' ( "
! = ) %, '
segue banalmente:
!" *
"! = $ %, ' * ) %, ' = 1
Dalla quale si ha
$ %, ' = 1) %, '
) %, ' = 1$ %, '
Operazioni finanziarie.L’operazione finanziaria elementare: relazione tra $(%, ') e )(%, ')
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8. Investo il 02.03.2018 un capitale di € 100 ed ho in restituzione il 02.08.2018 un capitale di € 102,5.
!"#."%.&% = ("#."%.&% × )(02.03.18, 02.08.18)
102,5 = 100 × )(02.03.18, 02.08.18)
da cui
) 02.03.18, 02.08.18 = 102,5100 = 1,025
Fattore di capitalizzazione
3 = 02.03.18 4 = 02.08.18P = 100 M = 102,5
Operazioni finanziarie.L’operazione finanziaria elementare: esempi
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9. Disporrò il 02.12.2018 un importo di € 100 e cedo tale disponibilità in cambio di € 90 che mi vengono corrisposti il 02.10.2018.
!"#.%".%& = ("#.%#.%& × )(02.10.18, 02.12.18)
90 = 100 × )(02.10.18, 02.12.18)
da cui
) 02.10.18, 02.12.18 = 90100 = 0,90
Fattore di attualizzazione
t = 02.10.18 s = 02.12.18
! = 90 ( = 100
Operazioni finanziarie.L’operazione finanziaria elementare: esempi
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Operazioni finanziarie.L’operazione finanziaria elementare: tasso effettivo di interesse periodale
Nelle operazioni di investimento, si è definito l’interesse !",$ come
!",$ = &-' (a)
essendo & il montante all’epoca ( dell’importo ' investito all’epoca ).
Dividendo entrambi i membri della (a) per ' si ottiene
!",$' = & − '
' = &' − 1
Per definizione poniamo
, ), ( ≔ !",$'
Il numero puro ,(), () rappresenta l’interesse prodotto tra le epoche ) ed ( da ogni unità di capitale investito ' e prende il nome di tasso effettivo di interesse
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Operazioni finanziarie.L’operazione finanziaria elementare: tasso effettivo di sconto periodale
Analogamente, nelle operazioni di anticipazione, si è definito lo sconto !",$ come
!",$ = &-' (b)
essendo & il capitale disponibile all’epoca ( e ' il capitale anticipato all’epoca ).Dividendo entrambi i membri della (b) per & si ottiene
!",$& = & − '
& = 1 − '&
Per definizione poniamo
, ), ( ≔ !",$&
Il numero puro ,(), () è lo sconto corrisposto per ogni unità di capitale &disponibile all’epoca ( e anticipato all’epoca ), e prende il nome di tasso effettivo di sconto
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Operazioni finanziarie.L’operazione finanziaria elementare: tasso effettivo di sconto periodale
OsservazioneTanto il tasso effettivo di interesse ! ", $ quanto il tasso effettivo di sconto% ", $ appena definiti sono tassi periodali, relativi cioè al periodo di tempo cheintercorre tra le epoche " ed $.
Una notazione più esplicita che sottolinea l’essenza periodale di tali tassi fa usodi un pedice che, assegnata l’unità di misura del tempo, riporta la differenza tra ledue epoche " ed $. Cioè:
!&'( ", $
%&'( ", $
L’utilizzo di tale notazione sarà discusso con maggior dettaglio quando siintrodurranno i tassi effettivi per periodo unitario e si tratterà del problema deitassi equivalenti.
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Operazioni finanziarie.L’operazione finanziaria elementare: relazioni tra grandezze finanziarie
Definiti il:
• fattore di capitalizzazione !(#, %)• fattore di sconto '(#, %)• tasso effettivo di interesse ((#, %)• tasso effettivo di sconto )(#, %)
è necessario esplicitare le relazioni che intercorrono tra le quattro funzioni finanziarie.
Ciò consentirà di dedurre ciascuna esse da ciascuna delle rimanenti e di approfondire il significato finanziario
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Operazioni finanziarie.L’operazione finanziaria elementare: relazione tra !(#, %) e '(#, %) e ((#, %)
! #, % = ' #, % − 1 ⟺ ' #, % = 1 + !(#, %)
Dalla definizione di tasso effettivo di interesse segue
! #, % = ./,01 = 2 − 1
1 = 21 − 1 = ' #, % − 1
Pertanto
Ricordando che è anche
' #, % = 1((#, %)
segue, sostituendo
! #, % = 1( #, % − 1 = 1 − ( #, %
( #, %
( #, % = 11 + ! #, %
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Operazioni finanziarie.L’operazione finanziaria elementare: relazione tra !(#, %) e '(#, %) e ((#, %)
! #, % = 1 − ( #, % ⟺ ( #, % = 1 − !(#, %)
Dalla definizione di tasso effettivo di sconto segue
! #, % = -.,/0 = 0 − 1
0 = 1 − 10 = 1 − ( #, %
Pertanto
Ricordando che è anche
( #, % = 1'(#, %)
segue, sostituendo
! #, % = 1 − 1' #, % = ' #, % − 1
' #, %
' #, % = 11 − ! #, %
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Operazioni finanziarie.L’operazione finanziaria elementare: relazione tra !(#, %) e '(#, %)
' #, % = ! #, %1 + ! #, %
! #, % = '(#, %)1 − ' #, %
Abbiamo appena dedotto che
' #, % = , -,. /0, -,. (1)
e che
1 #, % = 1 + !(#, %) (2)
Sostituendo la (2) nella (1) segue immediatamente che
Abbiamo anche dedotto che
! #, % = 0/2 -,.2 -,. (3)
e che
3 #, % = 1 − '(#, %) (4)
Sostituendo la (4) nella (3) segue immediatamente che
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Operazioni finanziarie.L’operazione finanziaria elementare: significato finanziario relazione tra !(#, %) e '(#, %)
Si consideri la catena di uguaglianze
' #, % = !(#, %)1 + !(#, %) = ! #, % + 1
1 + ! #, % = ! #, % + 1, #, % = ! #, % + -(#, %)
L’uguaglianza tra primo e ultimo membro
consente di interpretare finanziariamente
# %'(#, %) !(#, %)
!(#, %)×-(#, %)
' #, % = ! #, % + -(#, %)
il tasso di sconto come valore attuale del tasso di interesse
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Operazioni finanziarie.L’operazione finanziaria elementare: significato finanziario relazione tra !(#, %) e '(#, %)
Analogamente, si consideri la catena di uguaglianze
! #, % = '(#, %)1 − '(#, %) = ' #, % + 1
1 − ' #, % = ' #, % + 1, #, % = ' #, % + -(#, %)
L’uguaglianza tra primo e ultimo membro
consente di interpretare finanziariamente
# %'(#, %) !(#, %)
'(#, %)×-(#, %)
! #, % = ' #, % + -(#, %)
il tasso di interesse come montante del tasso di sconto
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Operazioni finanziarie.L’operazione finanziaria elementare: tavola delle relazioni fondamentali
!(#, %) '(#, %) ((#, %) )(#, %)
!(#, %) !(#, %) 1!(#, %) ! #, % − 1 ! #, % − 1
!(#, %)
'(#, %) 1'(#, %) '(#, %) 1 − ' #, %
'(#, %) 1 − ' #, %
((#, %) 1 + ( #, % 11 + ((#, %) ((#, %) ((#, %)
1 + ((#, %)
)(#, %) 11 − )(#, %) 1 − )(#, %) )(#, %)
1 − )(#, %) )(#, %)
QuestefunzioniIn
funzione di queste
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Operazioni finanziarie.L’operazione finanziaria elementare: esempi
!(#, %) '(#, %) ((#, %) )(#, %)
!(#, %)!(#, %)
1,025
1!(#, %)
..,/01~0,9756…
! #, % − 1
1,025 − 1~0,025
! #, % − 1!(#, %)
1,025 − 11,025 ~0,0244…
QuestefunzioniIn
funzione di queste
Nell’esempio 8 era ! 02.03.18,02.08.18 = ./0,1.// = 1,025
Quindi sarà
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Operazioni finanziarie.L’operazione finanziaria elementare: esempi
!(#, %) '(#, %) ((#, %) )(#, %)
'(#, %)
1'(#, %)
10,90 = 1, .1
'(#, %)
0,90
1 − ' #, %'(#, %)
1 − 0,900,90 ~0, .1
1 − ' #, %
1 − 0,90 = 0,1
QuestefunzioniIn
funzione di queste
Nell’esempio 9 era ' 02.10.18,02.12.18 = 45655 = 0,90
Quindi sarà
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Operazioni finanziarie.L’operazione finanziaria elementare: esempi
10.Si deve corrispondere alla scadenza ! l’importo di €1.000. Il tasso effettivo di interesse periodale è del 2,5%. Si determini all’epoca * (con * < !) la somma da anticipare, lo sconto ed il tasso effettivo di sconto dell’operazione.
, = . / 0 *, ! = . / 11 + 2 *, ! =
= 1.000 / 11 + 0,025 = 975,61
67,8 = . − , = 1.000 − 975,61 = 24,39
< *, ! = 67,8. = 24,39
1.000 = 0,02439
* !975,61 1.000
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