Lanalisi monovariata Lanalisi monovariata serve a studiare la distribuzione di singole variabili....

L’analisi monovariata

L’analisi monovariata serve a studiare la distribuzione di singole variabili.

Rappresenta il primo risultato empirico del lavoro di ricerca, le sue funzioni sono:

a)descrivere la distribuzione della variabile: cioè descrivere come una singola caratteristica è distribuita fra i casi, anche utilizzando misure di tendenza centrale o di variabilità;

b)propedeutiche ad analisi successive, cioè permette di compiere una serie di operazioni preliminari come:

I. controllare la plausibilità dei valori;II. individuare squilibri nella distribuzione;III. valutare la possibilità di aggregare diverse modalità della

variabile;IV. valutare le possibilità di costruzione di indici sintetici.

Metodologia della ricerca sociale 1

L’analisi monovariata: la distribuzione di frequenza

La distribuzione di frequenza di una variabile è una rappresentazione in cui ad ogni valore (modalità) della variabile viene associato il numero di casi che lo presenta (la sua frequenza).

La distribuzione di frequenza può presentare:

a)le frequenze assolute: il conteggio del numero dei casi che presenta ciascuna modalità della variabile;

b)le frequenze relative: che relativizzano ciascun valore assoluto per permettere il confronto tra diverse distribuzioni, si tratta in genere di proporzioni, le più comunemente utilizzate sono le percentuali;

Inoltre può essere utile, nel caso di variabili ordinali o cardinali, presentare la distribuzione cumulata di frequenza, che per ciascun valore/modalità della variabile presenta la somma delle frequenze (assolute o relative) corrispondenti a quel valore/modalità e a tutti quelli inferiori.


Frequenze assolute

Frequenze relative Frequenze cumulate

Proporzioni

Percentuali

AssoluteRelative

(%)Senza titolo 30 0,025 2,5 30 2,5

Licenza elementare

509 0,424 42,4 539 44,9

Licenza media

342 0,285 28,5 881 73,4

Diploma 264 0,22 22 1145 95,4

Laurea 55 0,046 4,6 1200 100Totale 1200 1 100

L’analisi monovariata: la distribuzione di frequenza


Proporzione = 30/1200 Percentuale= (30*100)/1200

Le caratteristiche della distribuzione

L’analisi monovariata è dunque un analisi puramente descrittiva (e completa) di come una variabile si distribuisce nella popolazione.

Le distribuzioni delle variabili possono essere riportate integralmente (come nella tabella appena presentate e/o sotto forma di grafici) o attraverso misure sintetiche: i valori caratteristici della distribuzione. Si tratta di indici, espressi in forma numerica, utili ad una rappresentazione sintetica delle caratteristiche fondamentali della distribuzione di una variabile.

Le principali caratteristiche che descrivono una distribuzione di dati sono due:

• le misure di tendenza centrale, che mirano ad individuare quale valore sintetizza meglio la distribuzione,

• le misure di variabilità, che mirano a rendere conto del modo in cui le altre modalità si collocano attorno ai valori individuati dalle misure di tendenza centrale.

Naturalmente tali misure differiscono in relazione al “tipo” di variabile che si sta analizzando.


L’analisi monovariata: i tipi di variabili


Tipo di variabile

Operazioni che è possibile compiere

fra le modalità

Misure di tendenza centrale

Misure di dispersione

Nominale = ≠ ModaIndice di

omogeneità

Ordinale= ≠

> <

Moda

Mediana

Indice di omogeneitàDifferenza

interquartile

Cardinale

= ≠

> <

+ - (× ÷)

Moda

Mediana

Media

Indice di omogeneitàDifferenza

interquartileDeviazione standard

Le misure di tendenza centrale

VARIABILI NOMINALIModa: è la modalità che presenta la frequenza maggiore, è la modalità

prevalente nella distribuzione.

VARIABILI ORDINALIMediana: è la modalità del caso che occupa il posto di mezzo nella

distribuzione ordinata dei casi secondo la variabile:• se i casi sono dispari il caso centrale è quello che occupa la

posizione (N+1)/2;• se i casi sono pari ci sono due casi centrali (nelle posizioni

N/2 e (N/2)+1, e se non presentano la stessa modalità la distribuzione può avere due mediane.

VARIABILI CARDINALIMedia aritmetica: è data dalla somma dei valori assunti dalla variabile

su tutti i casi divisa per il numero dei casi:


Le misure di tendenza centrale: esempi


Titolo di studio

n. %f.c. (n.)

f.c. (%)

Senza titolo

30 2,5 30 2,5

Licenza elementare

50942,

4 539 44,9

Licenza media

34228,

5 881 73,4

Diploma 26422,

0 1145 95,4

Laurea 55 4,6 1200 100

Totale120

010

0

Religione n. %

Cattolica 560 46,7

Protestante 194 16,2

Ebraica 156 13,0

Musulmana 264 19,5

Altro 55 4,6

Totale120

0100

VARIABILI NOMINALI VARIABILI ORDINALI

Moda: “Cattolica” Moda: “Licenza elementare”Mediana: “Licenza media”

Un modo semplice di individuare la mediana è guardare la distribuzione delle frequenze cumulate: se le modalità della variabile ordinale sono in ordine, la mediana è la classe in cui cade il 50 %, o il/i casi che occupano il posto (N+1)/2 oppure N/2 e (N/2)+1.

Le misure di tendenza centrale: esempi


Voto in matematic

an. %

f.c. (n.)

f.c.(%)

3 23 1,9 23 1,9

4 67 5,6 90 7,5

4,5 118 9,8 208 17,3

5 128 10,7 336 28,0

5,5 244 20,3 580 48,3

6 312 26,0 892 74,3

6,5 117 9,8 1009 84,1

7 95 7,9 1104 92,0

8 64 5,3 1168 97,3

8,5 32 2,7 1200 100,0

Totale 1200 100,0

VARIABILI CARDINALI

Moda: 6

Mediana: 6

Media= [(3*23)+(4*67)+(4,5*1188)+ (5*128)+(5,5*244)+(6*312)+ (6,5*117)+(7*95)+(8*64)+ (8,5*32)]/1200= 5,77

Se infatti per ogni valore abbiamo la frequenza con cui si presenta la media può essere calcolata come la somma dei prodotti tra i valori e le rispettive frequenze

Le misure di variabilità

Le misure della variabilità ci informano su quanto i valori della distribuzione mutano/sono dispersi, e sono diverse a seconda del tipo di variabile che si sta analizzando.

VARIABILI NOMINALIUna variabile nominale ha una distribuzione massimamente omogenea quando tutti i casi presentano la stessa modalità, massimamente eterogenea quando i casi sono equidistribuiti tra le modalità.

Indicando con pi le proporzioni di una distribuzione di frequenza, l’indice di omogeneità è dato da:

cioè dalla somma dei quadrati delle proporzioni. Varia tra un minimo pari a 1/k (dove k è il numero delle modalità) e un massimo di 1.Il complemento a 1 dell’indice di omogeneità è detto indice di eterogeneità:


Le misure di variabilità: indici di omogeneità/eterogeneità


Religione n. p. %

Cattolica 5600,4

746,

7

Protestante 1940,1

616,

2

Ebraica 1560,1

313,

0

Musulmana 2640,1

919,

5

Altro 550,0

54,6

Totale 1200 1 100

VARIABILI NOMINALI

O= (0,47)2+(0,16)2+(0,13)2+ (0,19)2+(0,05)2= 0,302

E= 1- 0,302=0,698

In alcuni casi può essere utile normalizzare l’indice di omogeneità o di eterogeneità, per neutralizzare l’influenza del numero delle modalità:

Orel=(k*O-1)/(k-1)

Erel=1-[(k*O-1)/(k-1)]

Normalizzare gli indici di omogeneità/eterogeneità


Religione n. p. %

Cattolica 5600,4

746,

7

Protestante 1940,1

616,

2

Ebraica 1560,1

313,

0

Musulmana 2640,1

919,

5

Altro 550,0

54,6

Totale 1200 1 100

La normalizzazione permette di confrontare la dispersione di variabili che hanno un diverso numero di modalità.

O= 0,302 E= 0,698Orel=(k*O-1)/(k-1)

Orel=(5*0,302-1)/(5-1)=0,128

Erel=1-[(k*O-1)/(k-1)]=1-Orel

Erel=1-0,128=0,872

Settore lavorativo

n. p. %

Primario 237 0,20 19,8

Secondario 276 0,23 23,0

Terziario 687 0,57 57,3

Totale 1200 1,00100,

0

O= 0,419 E= 0,581Orel=(k*O-1)/(k-1)

Orel=(3*0,419-1)/(3-1)=0,128

Erel=1-[(k*O-1)/(k-1)]=1-Orel

Erel=1-128=0,872

Le misure di variabilità

VARIABILI ORDINALIDividendo la distribuzione ordinata di una variabile in quattro parti,

possiamo individuare i valori sui casi che segnano i confini tra i quarti, detti quartili.

La differenza tra i valori del primo e del terzo quartile definiscono un indice di dispersione: la differenza interquartile. Se infatti questa differenza è piccola la distribuzione sarà molto concentrata attorno alla mediana, se è molto grande la distribuzione sarà dispersa:

Q= Q3 – Q1


n. % c.(n) c.(%)

1 30 2,5 30 2,5

2 509 42,4 539 44,9

3 342 28,5 881 73,4

4 264 22,0 1145 95,4

5 55 4,6 1200 100

Totale

1200

100

n. % f.c.(n)f.c.(%)

1 860 71,7 860 71,7

2 194 16,2 1054 87,9

3 56 4,7 1110 92,6

4 35 2,9 1145 95,5

5 55 4,6 1200 100,1

Totale 1200 100,0

Mediana=3 Q=4-2=2

Mediana=1 Q=2-1=1

Q1

Q3

n. % c.(n) c.(%)

1 145 14,5 145 14,5

2 162 16,2 307 30,7

3 134 13,4 441 44,1

4 138 13,8 579 57,9

5 135 13,5 714 71,4

6 124 12,4 838 83,8

7 162 16,2 1000 100,0

Totale 1000 100,0

Le misure di variabilità: la differenza interquartile


n. % c.(n) c.(%)

1 50 5,0 50 5,0

2 397 39,7 447 44,7

3 234 23,4 681 68,1

4 138 13,8 819 81,9

5 125 12,5 944 94,4

6 44 4,4 988 98,8

7 12 1,2 1000 100,0

Totale 1000 100,0

Mediana=3 Q=4-2=2

Mediana=1 Q=6-2=4

Q1

Q3

Le misure di variabilitàVARIABILI CARDINALI

La media aritmetica degli scarti dalla media (in valore assoluto) di una variabile è una prima misura di variabilità: lo scostamento semplice medio.

Se, invece di considerare i valori assoluti, per annullare il segno degli scarti li si eleva al quadrato, si calcola la media e di estrae dalla radice quadrata, ottenendo lo scarto quadratico medio, o deviazione standard:

La varianza è il quadrato della deviazione standard:


Il valore assoluto serve ad evitare che il risultato dell’operazione sia zero: infatti è una caratteristica propria della media aritmetica che la somma degli scarti dei singoli valori da essa sia pari a zero.

L’elevare al quadrato gli scarti dalla media dei singoli valori permette di conferire un peso maggiore agli scarti maggiori, oltre che di annullamento il segno degli scarti negativi.

Per l’analisi monovariata si utilizza la deviazione standard perché ha lo stesso ordine di grandezza dei valori della variabile, ma la varianza è una misura centrale nella statistica: tutta l’analisi dei dati gira intorno al concetto di varianza spiegata.

Le misure di variabilità: ssm, deviazione standard e varianza


VARIABILI CARDINALI

ssm={[23*(3-5,77)]+[67*(4-5,77)]+…+ [64*(8-5,77)]+[32*(8,5-5,77)]}/1200 =1000,2/1200=0,83

Media=5,77

S2={[23*(3-5,77)2]+[67*(4-5,77)2]+…+ [64*(8-5,77)2]+[32*(8,5-5,77)2]}/1200 =1449,72/1200=1,21

S=√ {[23*(3-5,77)2]+[67*(4-5,77)2]+…+ [64*(8-5,77)2]+[32*(8,5-5,77)2]}/1200 =√(1449,72/1200)=√1,21=1,1

Voto in matematic

an. %

f.c. (n.)

f.c.(%)

3 23 1,9 23 1,9

4 67 5,6 90 7,5

4,5 118 9,8 208 17,3

5 128 10,7 336 28,0

5,5 244 20,3 580 48,3

6 312 26,0 892 74,3

6,5 117 9,8 1009 84,1

7 95 7,9 1104 92,0

8 64 5,3 1168 97,3

8,5 32 2,7 1200 100,0

Totale 1200 100,0

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