Analisi monovariata: valori caratteristici• Spesso, per motivi di tempo o per convenienza, non si ha la possibilità di

confrontare le distribuzioni di frequenze. Per questo motivo è spesso più conveniente confrontare alcuni elementi informatici sintetici, che sintetizzano appunto alcuni aspetti della distribuzione.

• le caratteristiche fondamentali di una distribuzione di frequenza sono due: la tendenza centrale e la variabilità

• la tendenza centrale indica, genericamente, verso quale modalità della variabile i valori tendono a concentrarsi

• la variabilità, invece, ci informa su come i valori della variabile tendono a disperdersi lontano dai valori di tendenza centrale

Per conoscere con correttezza la distribuzione di una variabile è necessario conoscere il comportamento sia della tendenza centrale sia della variabilità, altrimenti si rischia di fare degli errori di interpretazione.

Analisi monovariata: tendenza centraleCome già visto in precedenza, anche le misure di tendenza centrale

dipendono dal tipo di variabile che si ha a disposizione

Variabile nominale = moda

La moda è la modalità della variabile alla quale è associata la maggiore frequenza

0

10

20

30

40

50

Musulmano Cattol i co Protes tante Buddi s ta

Moda • è un valore molto povero, poiché ci dice solo la modalità con la più alta frequenza e nulla più• è possibile che oltre alla moda si possano individuare delle sottomode, ossia modalità diverse dalla moda ma con frequenze relativamente alte (es. modalità protestante)• se è possibile individuare una sola moda, la distribuzione si definisce unimodale; se è presente una sottomoda, si definisce bimodale e così via

Analisi monovariata: tendenza centrale - 2Oltre alla moda, per le variabili ordinali è possibile rilevare un altro valore

caratteristico:

Variabile ordinale = mediana

La mediana è la modalità del caso che occupa il posto «di mezzo» nella distribuzione ordinata dei casi secondo quella variabile

• Se N è dispari, c’è un solo caso centrale (N+1 /2). Se N è pari, i casi centrali sono due: N/2 e N/2+1. Se entrambi i casi presentano la stessa modalità, la variabile ha una sola mediana; altrimenti le mediane sono due (se la variabile è cardinale, la mediana è uguale alla media dei valori assunti dai due casi)• Se sono disponibili le frequenze cumulate, la mediana corrisponde alla modalità in corrispondenza della quale le frequenze cumulate superano la soglia del 50%

Titolo di studio

Freq. %%

cum.

Nessun titolo 30 2,5 2,5

Lic. Elementare

509 42,4 44,7

Lic. Media 342 28,5 73,4

Diploma 264 22,0 95,4

Laurea 55 4,6 100,0

Totale 1.200 100,0

mediana

Analisi monovariata: tendenza centrale - 3Oltre alla moda ed alla mediana, per le variabili cardinali è possibile rilevare

un altro valore caratteristico, molto conosciuto:

Variabile cardinale = media aritmetica

La media è data dalla somma dei valori assunti dalla variabile su tutti i casi, divisa per il numero di casi

• La formula a sx è la definizione formale di media aritmetica e si legge «sommatoria di X con i, per i che va da 1 a N, fratto N»• è possibile calcolare la media anche se abbiamo a disposizione solo la rappresentazione tabulare con le frequenze assolute. La formula diventa:

Xi × fi

N

X = X1 + X2 +…+ Xn = Xi

N N

N

i =1

N

i =1

poiché per calcolare la media sono necessarie operazioni di addizione, moltiplicazione e divisione, è possibile calcolare la media solo per le variabili cardinali

Analisi monovariata: tendenza centrale - 5Esercizio 1:

Ripartizione geografica %

Italia Nord-occidentale 22,9

Italia Nord-orientale 22,5

Italia Centrale 18,7

Italia Meridionale 26,6

Italia Insulare 9,3

Totale 100,0(N=60.000)

Tipo di comune %

Comuni fino a 2.000 ab. 12,4

Comuni con 2.001 – 10.000 ab. 34,7

Comuni con 10.001 – 50.000 ab 30,9

Comuni con oltre 50.000 ab. 22,0

Totale 100,0(N=48.664)

Che tipo di variabili sono e che valori caratteristici di tendenza centrale posso calcolare?

Analisi monovariata: tendenza centrale - 6Esercizio 2:

N. di furti subìti %

1 50,0

2 25,0

3 25,0

Totale 100,0(N=200)

Settore economico intervistato % % cum.

Agricoltura 8,7 8,7

Attività manifatturiere 27,3 36,0

Servizi – terziario 38,7 74,7

Pubblica amministrazione e istruzione 25,3 100,0

Totale 100,0(N=46.349)

Che tipo di variabili sono e che valori caratteristici di tendenza centrale posso calcolare?

Analisi monovariata: tendenza centrale - 4

• Ricapitolando:

• variabili nominali = moda

• variabili ordinali = moda, mediana

• variabili cardinali = moda, mediana, media aritmetica

• Nel caso sia possibili calcolare tutti i valori di tendenza centrale, non è detto che questi coincidano tra loro. In genere è più opportuno utilizzare la media, poiché riflette il comportamento di tutti i valori della variabile

• La media, tuttavia, risente molto dei valori estremi; quindi, in caso di variabili cardinali che assumono valori molto alti o bassi rispetto alla media, è più opportuno utilizzare la mediana

Analisi monovariata: variabilità - 1

• I valori caratteristici di tendenza centrale ci indicano il “baricentro” della distribuzione, ma non ci dicono nulla sul modo di collocarsi delle altre modalità intorno a questo baricentro

Xi Yi

18 3

20 6

20 9

20 16

21 20

23 30

25 63

Xi = 21 Yi = 21

• Se osserviamo, ad esempio, le due distribuzioni della variabile “età” a lato, possiamo notare che esse hanno la stessa media, pari a 21, ma anche con uno sguardo “rapido” possiamo notare che le modalità sono estremamente differenti. Questa differenza viene computata attraverso i valori caratteristici di variabilità.

• Come per la tendenza centrale, i valori caratteristici di variabilità si differenziano a seconda del tipo di variabile sottoposta ad analisi.

Analisi monovariata: variabilità - 2VALORI CARATTERISTICI DI VARIABILITA’ PER VARIABILI NOMINALI

• Per una variabile nominale possiamo ipotizzare due condizioni:

1. Se tutti i casi si addensano in una sola modalità (che sarà la moda di quella variabile), avremo una situazione di scarsa variabilità, ossia di massima omogeneità (o squilibrio, o concentrazione)

2. Se tutti i casi sono, invece, equidistribuiti fra le modalità, ossia quando ogni modalità raccoglie lo stesso numero di casi, si ha una situazione di forte variabilità, quindi massima eterogeneità (o equilibrio, o dispersione)

Modalità Omogeneità Eterogeneità

Ateo 0 25

Cattolico 100 25

Protestante

0 25

Buddista 0 25

Totale 100 100

E’ quindi necessario individuare un indice che possa sintetizzare la variabilità della distribuzione di una variabile nominale.

Analisi monovariata: variabilità - 3VALORI CARATTERISTICI DI VARIABILITA’ PER VARIABILI NOMINALI

• Il valore caratteristico di variabilità per le nominali è l’indice di omogeneità (O)

O = p21 + p2

2 + … + p2k = p2

ii =1

k

L’indice di omogeneità è dato dalla somma dei quadrati delle frequenze proporzionali (o proporzioni)

• L’indice assume valore massimo quando una sola proporzione assume valore 1 (ossia tutti i casi si concentrano in quella modalità) e tutte le altre hanno valore 0 (ossia nessun caso si concentra in queste modalità). Per tali motivi il valore massimo dell’indice sarà 1

• Il valore minimo dell’indice dipende, invece, dal numero di modalità, ed è pari a 1/k (dove k è il numero di modalità della variabile)

Analisi monovariata: variabilità - 4VALORI CARATTERISTICI DI VARIABILITA’ PER VARIABILI NOMINALI

Modalità Prop. 1 Prop. 2 Prop. 3

Ateo 0,25 0 0,33

Cattolico 0,25 1 0,33

Protestante 0,25 0 0,33

Buddista 0,25 0 1

Totale 1 1

Ind. omogeneità 0,252 + 0,252 + 0,252 + 0,252 = 0,25 02 + 12 + 02 + 02 = 1 0,332 + 0,332 + 0,332 = 0,33

Se si confrontano le distribuzioni in colonna 1 e 3 si noterà che entrambe sono completamente omogenee (ad ogni modalità è assegnato lo stesso numero di casi), ma il risultato dell’indice di omogeneità sarà diverso: nel primo caso è uguale a 0,25 (1/4 modalità), nel secondo è pari a 0,33 (1/3 modalità). Questo perché, come abbiamo già detto, il valore minimo assunto dall’indice dipende dal numero di modalità della variabile. E’ quindi opportuno modificare l’indice affinché il suo campo di variazione sia uguale per tutte le variabili, indipendentemente dalle modalità.

O – 1/k

1 – 1/kIndice di omogeneità relativa Orel

Campo di variazione: 0 ÷ 1

X – Vmin

Vmax - Vmin

Contatti

Domingo Scisci

Università di Milano-Bicocca

Via Bicocca degli Arcimboldi 8 20126 Milano 

Edificio U7/II Piano

Stanza 207

Telefono: 02 64487513Mail: domingo.scisci@unimib.it

Quest'opera è stata rilasciata sotto la licenza Creative Commons Attribuzione-Non commerciale-Condividi allo stesso modo 2.5 Italia. Per leggere una copia della licenza visita il sito web http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/it/ o spedisci una lettera a Creative Commons, 171 Second Street, Suite 300, San Francisco, California, 94105, USA.