LA TEORIA DELLA RELATIVITA’ - Dipartimento di Matematica...
Transcript of LA TEORIA DELLA RELATIVITA’ - Dipartimento di Matematica...
• �� ������� ������� ������������������� � �� ��� ������������ �������� ���� �� �������� �� �����
��� � � � �
LA TEORIA DELLA RELATIVITA’
���!� � �" �#�����
• ��� ������� ��������� �������$��% ����������� ��$�����&� ���������$�����' ���!��� �&���� ������&�� (����#���&� ����&������ ��)������$�*�
La natura della luce
�������������������� ����������������������������������� ���������� ����� �� ���������������������������� �
����� �����������������! �� ���! ��������������������"�������! �����##���� ��������������������! ����"�$����������%�$�������������� � ��������������� & ���#���������������������������������������
' ���� ���� ����������� ������������� ��������
' ��������� ������ ����������� �(� �����������������������������! �������) �� ��*�����#������������#�����*�������������� ������%������������! ��� �������������������� ������������ ��������� +��#�����, ����������- ! ������� ����! �������) �� ��$�������! ���� �
����
� � � ��
�����������+������- ������������$�� �����������! �����! ��� ����� �������! ���������������" �%�����"�$�����! ������������ ���������%�����������%� ��������������! �������� & ���#����������������������! ����� ������������
' ���� ����� ��������� �������������������������������������� ������������������������������� ������������������������ ����������� ���
����������������������������� ������ ���� ������������������ �������������
���������� ��� ���������������������������
' ������������������ �������� ��������������! �������) �� ����#�����, ! �������%�#�������- �� �����#�� �� �� ���
+��#�����, ����������- ! ���� ����! �������) �� ��$�������! ���� �
. (��������� ! ������������������� �������� �� �������(���������������� �! �� ��! ���������������/0 12 �����������������������
3��������������������#�������! ������������������������� ���
�������������� ���! ��������! ����������� ! � ��������� ������������- ����������������#�����, ��������� �+��������#������� ������������%��! � ���� ���������������������������
� ������� ��������������(��������������������4 ������"�56/6�
������ �������������������� ������- ������
���� ������ �������! ���������������������� �
������������� �� ����! �� ��$�� ������ ���� �� �#��������� �������������������������� �+��#�(��������� ������"���- �%�! �����������%���"�- ��� �! ! ��������#�(����������#������ �+��� �! ! �������������������7���� ��������(���
������� ������! � �������������������� ���������- �����! ��������� �8��! ����������������� ���������� ��� ������� ������� �� �����������! �� �
& �������������� �������������������� ��$�� ����������� �� ��! ��������! � �! ����! ��! ���������� ��#�������%�������� ���������#������������! (������ ��������������%����
����������������, ��������������������������� ������$����������� ���! ���"��- �((�������������������������������� �9 �������! �� ����7���#���������� ������������(�����! �� �����������������%���������������$������%��� �
:�������������� �! ! �������� ���������������������������������������������� �:�������, ���������� #�� ��� ����������������� �! ���� �! ! ����$�
+��#�(���������! �� ���##����������������! �������������������������������"���- ���������%��� �9 ��� ������(�������������� ! ��������#�(���������#�����,���������������������������������"�����������"���������� "������������� ����������������������������������������
♦ �!!�������#����ωωωω+ωωωω,
♦ -������� ∼∼∼∼ ��������% ���� �� �
♦ �������� ∼∼∼∼ !��.���&�νννν ������ �
Scoperta: Hertz 1887
1/2 mv2 = �� - W
Teoria: Einstein 1905
FOTONI
��� ������������#���������������� �����
��������������������
+��! � ����������#�����, ��! ������� �����! ������ �������������� ��������������������
:������������������! ��������������� �����#���������������%���������% ������*�����! ����������� ! � ����������������! �� �"�; � ����2$�����! ������������ ���������������
���� ������(������$�� ������������� �������������"���! ������
���� ����������������������������#�(���������� #�� �������������������- ��#�� ��! �����������
< ����� �������������������������, ����%������=
& ���������� �� ������ �(����, �������������*������������
> �! ������� �������������������������, ��� ��$����� ! ������������ #�� ������� ������ ��������� ���= ����� ������ ��$����$��#�(������������������
�� �����! ����������������� ��������! ����������#��������������(� �������! ���������- �� �(�����#������������ ��������! �������
��������� ���������%�����
< ��� �� ��� �� ����((��! �������� �(����,�
�� ������������������������#��, ����! ��������������������������������� ����������� ����! ��������! ��������� ��� �������������������- ��������
(� > � ����� � ��! �����������! ����� �����"�*������������%������- ������ � �
������
��������������� �#������ �� ��� ���
+��������4 ���?3�#����9 ������������������- ��������������! ���! ���������������� ��, - �������! �������������������@������������$�����������������#�� �! �������������������� �+��� ��������������������, - ��������������#�����, ���������
@
��
+��������8�������9 ��������������������! �������- �������������! ��������������#�� ������ �� �+���������������, ���������>�- ����������� �������������������! ��������#��������������� ����������%���, �����! ��
>
�
��� �������#������������#�� ���� ����������������������#����������������������������%�������! �������#������
Jc
4 Hrot
tH
c1
- Erot
0 Hdiv
4 Ediv
��
��
�
�
π
πρ
=
∂∂=
=
=
+���������%�������! ����� ! �����! �����& �A����
�����! (
� ������������! ������
8������
4 ���?3�#���
3��������� ����� �B@�� @B/
���� ������ �! ��������*�� ����*������
& ����������& �A���� ��������������4 3 ���������������4 3 ������������- ����*����������������"�@"�! �#��- �$��������������� �� ��! �������#���������#��������������� �����>����%���, �����! ��
>*����������& �A�����
tE
c1
Jc
4 Hrot
tH
c1
- Erot
0 Hdiv
4 Ediv
∂∂+=
∂∂=
=
=
���
��
�
�
π
πρ
� ��� � ���� �������������� ���>"���"�ρ, @�$��! ����� ����� �! �������
& ���#������ ���������#�����! �������*��������� ���� �����%�*���������������, ������������"���- ���������$�������� �������������������#�� ����� ���������$�� ����#��� ����������������#����������������������%����������#���! �
& �
���� ��������#�����! �������*����������& �A���� �� ����#����������� ����������� � ��! �����������! ���������������#�� � �+��� �����$�������! � ����������#�����,�@�C�ρ #��D����E�CDFπ@BECDFπρ]D#BECD��#>ED#BE����������������D��#>ECD���>ED����ECD���>ED#BECD�B�ED#BECD�B#�ED#BE/��������D���ECD5B+ECD5B#�EDECD#E
� ����� �������������� � ��! �����������! �������#�����, �! (��#�����
�% C���G #0���% C��
#% C�#��? #0
>�������������#�����! ��������������! �����$����� #�� ����$�� �������������#�����, "������"�������������#�����, ��������� �
>
�
>
�
>
�
>
+��������! �� �� ��������������! ������������������������*����
3��� ���������� �����
+���*����������& �A���� �� ����#������ ������� ���! ��������� � ��! �����������! ������������"�! ��� � ����� � ��! �����#��������*����������%�����"� � ����������� ��$�����! ������������ ��������$�����������! ����������� ! � �������������"����*���������*���������& �A���� ���� ����! ����#������������������������������������- � ���������#�����,
�� �������
���� � ��! �����������! ������#�� ������%���������! � ����������#�����,������������#�����������������#�����, ����������! ������ ���������%�������"�������������#�����,"��������������������������� ��! � ��� �
H �(�����#��������������������������������������������������������! � ���������#�����, �������������� ���������%�����
H ����������(� ��������������������������������������������������� ��������������! ��������������- ����! �� ����������! �#�! �����������"���#�����, ����������������������! � ���"���*����������%����� �
H �� �����������������������������������������������������������+�������! ��������! ������������������������������������ ������������������������������� ��+��! � ����������! ��������������������������*�� �����������������! ���������������"�#"����#�����, �������������� ���������%����� �������������������������
�������� ���� �� �������� �� �����
+
�������������������� ������������
+#��1
#��2
I) �5 = +�+ #�1
��/�/�C�+�? #�/
I II
/� ? #/
II
I#��3
I) (�3)2 = +2 + (#�3 )2
I + II = 2 �3 =2 +
// # −
∆�C�5I�/ G /��J�C�
�5 I�/+ + + =
2 + C
/�+
≅��
�
�
��
�
�
−−
− 221
11
1
ββ+
2β ≡β #
#
�I�#�? #
��������! ���� ���& �$�� � �+�C�55�! ��
#
35
3/
3�� �! ����35?3/��∆�
' �����������K0L �� �� �! ����3/?35��?∆� �M������! �������������������������������������������� ����#��� �� ��������/∆�C�/�+B�� 2β
/�+ 2βλ=
/�A�5"5�A�50J�A50?N
1"K�A�50?1
= 0"J6
�����#�&���� ������&
T = 2 +
⊥ 22 # −T =
2 +
2 –#2
se in �
�#�?��+�
//
+ →T ⊥T = T
• #�����%������������������$�������������������������
���������������������������� ���! ���������+�����.
• +����������, ����%���������� ���� �����#��������� ����! ����! ���O����� ��������! �#�! ������ ���������%������ �! ������� ���������! ! �(����, �� ���������%�����O�
M.&M. :
�)��$���&����* ���������
:���������������
• ��������� ��#�(���������������������� � ��O
H ���#�����, ����������- ���� ����"����������������� ��������! ��������%� ��#�����
H ������������! ����- �! ����������#���#�����������������������#��,
�� �������
H ��������������������#��, ��������� #��! ��������
H ��� � �������! ��������� �! �������, � ����� �
H��������! ��������������������#�����, #��! �������� �
��� # ���
P �������� �� ����������(� ��������������>� ���
5� +�� ������- �! ����������� ������ ������! ���- �! �����
/������#����������! ������� ����� �������� ������� �� ������������ � ��! �����������! ������! ����������������������! ������� ���������%����� �
J��:' P �����������������! ����$������ �� �����! ������������ � ��! �����������! ������������ �������������� ���! ���������P ������
��� ������������%>& ���#��� � ����� � ��! �����#��������"��%������
5��+�� ������- �! ����������� ������ ������! ���- �! �����
/��+��#�����, ����������- ��� �� ������������ � ��! �����������! ������������������������������������
J��:' >������������������������� ��$������ �� �����! ������������ � ��! �����������! ������������ �������������� ���! ���������+�����
����������������! �������#����� ����! ���������
��! ���������� �������#���� ��� �! ������= 3������������� ���! � ��������������� �� ��� �������������*���� ��������������#���
:����%� ��#������ ����������� ��� �! ������"�����*������ �������� �$��$���������=�>���! (�"���� �! �������, - ������#�O
+Q+ ≠
R�QR� ≠
S
'S
�Q
+Q
�
+
∆=
∆=
'SS
u�- ��� �� ������������ � ��! �����������! ���
+
+%
�����0 ��������������� ��������% ��������
H +������������� �������������#�����, �����
H3��#������ ����������������������$�� �����#������� ���������������#��������������������������$�� �������������� �! (�������������! ��������������������������#������������������� ����! �����������! ��������- � �������! ��#���������#�����, �����
H 3���������������� ������! � ����� ���������%�������� � ������������������������� ���� �����#������������#�����, ��������� �
H 3���������������� �����! ��� ����� ���������%�����"��%������������#���� ������������ ����� ������������������%������! �� � �:������������ *�� ���������������������#������ �������#�����, � ����������������� ���������%�����"�*�����, $����- �� �(����! � �����
. �������� ����� ���"������� �����
La dilatazione dei tempi
Simultaneamente allo start premo il cronometro e lo premo ancora simultaneamente al taglio del traguardo.
Un intervallo di tempo è relativo!
La simultaneità è relativa
Come misuro il tempo di un atleta nella gara dei cento metri?
2
2
'
v-1
t t
c
∆=∆ t t ' ∆>∆
cd 2 t =∆
2t BA '∆= c
2t v HA '∆=2t d ∆= c
222 d HA BA +=
S S’
La durata di un fenomeno è minima se misurata nel sistema solidale (proprio) con esso
(evento avviene nello stesso punto) ; l’orologio in movimento ritarda rispetto a quello in quiete
(il tempo scorre più lentamente)
S legge ∆ t =1 s, S’ legge ∆ t =1.2 s; per S’ l’orologio in S (che per S’ è in movimento) ritarda.
La contrazione delle lunghezze
Come misuro la lunghezza di una asta se questa è in movimento?
Una lunghezza è relativa!
La simultaneità è relativa
Devo simultaneamente determinare la posizione del punto iniziale e del punto finale dell’asta
Sistema asta ferma
smile impiega un tempo t = L/v per
andare da un estremo all’altro dell’asta.
Sistema smile fermo
smile legge sul suo orologio un tempo τ tra il passaggio dei due estremi dell’asta. Per smile l’asta è lunga L’
2
2
2
2
c
c
v - 1
vL
vv
- 1t vvL' === τ
v
L
v
L’
Un oggetto in moto si contrae lungo la direzione del moto rispetto
ad uno identico a riposo
Il paradosso dei gemelli
v = 0.8 c
L = 4 a.l., t = 5 a.
L’ = 2.4 a.l., τ = 3 a.
impiega 5 +5 = 10 anni per andare e tornare, ma
invecchia solo 3+ 3 = 6 anni.
dopo τ = 3 anni per
sono passati t = 1.8 anni
Premessa:se viaggia sempre con velocità
v = 0.8 csi può incontrare
una volta sola con ; un secondo confronto deve avvenire
a distanza nello stesso istante .
Spiegazione:
e non sono osservatori equivalenti. Non vi è una
simmetria di ruoli tra loro.deve invertire la direzione per tornare indietro.
Per l’evento simultaneo su al suo arrivo su
alla sua partenza da
che avviene su a t=1.8 anni dopo la sua partenza.
prima del suo ritorno.è qualcosa
����� �� ��1�� �1�
P ������� >� ���
�
��
�� ���
�:
�
��
�
��
� ��
�2��
�:
�� �
$�
���
�% C���� ���, ���������� ������ ���"��%
, ,�
$
���
�2��
& &�
>#�����*���� ��$�� ����������������! ������:����%� ������
+���������#�� ��������$���� ��#���%�#����������! �������������������
�
��
�� ���
:
:�������! ����3�������������������������������:�������! ����3%
�������������������%� ��� �������������������%� ���%
�
��
�� ���
����������#�� ������������������������������������F1LA�C��"��A% C��%
�
��
�� ���
�
��
�� ���
' �����#��, ����� �! �������,
� (
�� C��(
��
�(���! ����3
���! ����3%
������������
' ���!��� �&���� ������&
, ,�$
���
�2��
& &�
, ,����
�2��
& &�
������#��,����! ���
$
����������#�� ������%����������3%���������A�C�#� ��3"���A% C0������3%
����������#�� ������%����������3����������A�C�0����3����A% C?#�% ��3%
���������������A�C��"�A%C�%
��Q��5���������Q�#����Q�����
�?��5���Q������#�?�������Q�
βγγβγγ+=→+=
=→= )5
#?�5
5
�?�5
5��
��5���?�5�
�Q?�5����Q�5�?�5���Q
/
//
�//
/�/
>==
=�
=+=
βγ
βγβγβγβγ )
t)v-(x x' γ=→
) t' v(x' x +=→ γ
��Q�#��AQ��A
���#?�A��AQ
+==
γγ
� ������������� ��! ���� ��#����A%"��% ������������A"�γ
��#����?�5�A���Q�#�����Q�#����#�A���A // γγγγγ +=→+−=
A��
#?��������?�5
#
A��������Q
//
/γγ
γγ =+=
������
//
//
//
/
#�?��
#�
#?��5�??�5
#
5�5�?
5�
#
5���?�5
#
5 ==== βγ
γγ
+��������������������������������������������! ����������#����������� � ��! ����������������#��������%C��"��% C�� �
��� ���! ���������+������
��AQ�
#����Q�����������A��
#�?������Q
�Q������������������������������Q
��Q�����������������������������Q
��Q��
#���AQ���A�������������
#?�A��AQ
+==
====
+==
γγ
γγ
����� ��������������� ���! ���������+����� �������((�����*����������P ������ �+��������������������������������� ���! ������- �������� $��#���! ���#/B/
+����� ���! ���������+����� �������������������! ��������������, �������� � ��! �����������! ���
���, ������$�������3%� ��! ������������������A%C0"�%C0��?? �A%C5"�%C0��
��3�
���, �����! �����3%� ��! ����������������A%C0"��%C0��?? �A%C0"��%C5��������������
�
#���5��
#���0����
����0��#���5���A
γγ
γγ
=+=
=+=�
#���"?�A?0���0"�A γγ ====
��3��
γγ
γγ
��0�
#��5��
#���5��
#���0��A
=+=
=+=���"
#�?�A?0���0"�A γγ ====
9 ��, ������$����� �5"0���� � = ��"�����Q γβγ=
9 ��, �����! ���� �0"5���� � = ��"�����Q γγβ=
�
��
�� ���
�A%
��%
�A
��
5?5
��5�
5
�
�
�
�
�/
///
�
�Q
A
AQ >+
=+
==βββγγ 2
� ������� � ��! ���������������3�
+���������������% � ���! ������A% ���#����������β �� ��#����������(�������*��������A/ G ���/ C5���� ������AC��"�A�C�? � ��
A����"����
�����"�A����Q ==→=== γγ
βγβγ
//
//
//
//
/
/
/
/
/
//
AQ����?�A
���A�
����?
�������
���?�5
����5
��?5
��5����
+=+=+
=+=γγ
γ
γββ
5���A���A���� /////AQ =−→+=! �
+���������������% � ���! �������% ���#����������β �� ��#����������(�������*��������A/ G ���/ C?5���� ������AC��"�A�C�? � ��
�
��
�� ���
�A%
��%
�A
��
:�) ��! ����β ��) ������, ������$���������! ������� � ��! ���! ���� ���������
��������� ���������$����
3(����������������! ����3������������#�� ���������������������%� ��� :���! � ������������$����������� (�������3% ��#��#������������� �������������� ���! ������� �� ��� �������3%
��3% ��� (�����- ��) ��������� ��! �����������
�
��
�� ���
+
�
(
+/ C��/ I�(/� C�5�I�(/ ! � ��������3 �:��� ������*�����#����*�� ���� �����! � ��������������, ���3% ��#����#��������������������
/
/
A
AQ
?5
��5�
�
�
ββ+
=
$��! ������*�����#�������� ��! ����+�������� �����#�����������, �A� ������������ ��! ���������������3%"���- �A% :������#����(�� �� �! ���������������������� βγβγ ��(�������(��5 =→=
/
/
/
/
A�AQ
?5�
?5
5
��5��
��
+ β
βββ
=+
+=
/8������������������
�����������������! ��
�
��
�� ���
������������! �����%�����������3%������#����������! �������������3%- �� ���������� ��! ������% �+�� �� ������#�����#� �����3�- ! ������������
�����������3�
+%�����#����������! ���! � ��������3�-
��"�����Q γγβ=
/?5
5�
βγ =
:������ ��#�������� ������������������ � ��! �����! �#�! �������������� ��������*���������� ��� � ��! � �:����%� ��#�������� �������! ��� ������) ����! ������� � ��! ����! �#�! ��� �:������ ��#�������� �"���� � ��! ��$��#���������������! ���- ���! �"���% ��#����������
8��������������������
' �����#��, ����! ���
:������ ��#������ ����������3�- ��� � ��! ��3% $�� ���! ��#���#�����, #"�! ��������� ��#������ ����������3% - 3�$�� ��! ��#���#�����, G# �:���*�� ���� ��#������- �%������������3�$����#����������� ������������! ����3������#��������������� �+%����#��������� ��������3% - ���������������������������������A%
�
��
�� ���
+%�����#�����! � ��������3%- ! �������������% �
+%�����������3����������� ���������������������3%
. ��������������#�����,
P �������
�����Q
��#�?����Q�
∆=∆∆∆=∆
���
+������
#�?����Q����
=
��
Q����
�Q�
Q����Q�
∆∆=
∆∆=
���
�
��#?��������Q
���Q�
���#�?��������Q
/
∆∆=∆
∆=∆∆∆=∆
⊥⊥
γ
�
��
��((��! ���� ������������������������������������������������! ����������#���������� � ��! �
#�
⊥�
��
��#?��5
���
���#
?��
���
�Q
Q���Q�
��#
?�5
#�?�����
���#
?��
���#�?�������
�Q
�Q���Q
//
//
γγ
γ
γ
⊥⊥⊥⊥ =
∆∆
∆=∆∆=
=∆∆
∆∆=∆∆=
����
3����� ��������������#���! ! �����������������������������#�����, ��P ������ ����������$������! �������������������������������������
#�����, #��������������! ��������� ����������� � ��! �����������! ����������������! �����$������������������#�������#�����,#���������� ���������� � ��! �����������! ��� ���
+��#�����, ��������������7�� ���� �������
+���$��#�������������������������� ��� �< �����- ���#�����, �������������� � ��! ��$�� ��! ��#��
�#�?��
5#?�
��
�#?5
#?���Q
/
===
��������� �� �������������#�����, #
��������������������������������#�����, #
��
#?��5���#�
�#��Q����Q��Q
��Q�����#�?��Q
/
///
/
///�/ =+=+=+=
==
⊥
⊥
γ
γ
. (������������������
+������#�����! � ������������������������������ ������! ��#���� ��#���� �����������$�� �� ���! ��#������ ����������� ��������#�����, #M . �! ��! ��$����� �������! ����������������������������������������������%��(��������� ��� �3����������� ��, � ��#������$�K0L ���$S $���*�� ���������! ����������������������������%��(��� �
#�
#��
�������#��
MMM
M
MM
M�
≅=
==
⊥
⊥
γ
γ
+�������! �������! �#�! ��������������8������
+��#�����, ��������������! �����- B
+��������8������� �� ���#������������������������������*���$������ ����#�����, #"����#�����, ������������ �����
�
5?��5�#�?
/
� ������$�� ��� �! ��! ��$���%������ ��� �������������#�����,��#��((��� ����B�! ����� ���%�*������ ����� ���%���������P ��������#��! ! ��B�G #
� ���������������� ��! �������8�� ��
�
##?
��
#��5?
�
#
?5
#?�Q
/
/
+≅+≅=#
3�������������������#���
+�� ���������� ������������! ����������������#����- �������������#� 9 ��*�����, �#������"���- $��$����� �� ��#���������������� � ��! ����������! ����- �%����#���� ���������! �����������*���������������� ����� ������������*�������������������#�����! �������� �������! ����������*���������������� �� � �
����?��?���?�����?���A�?�A���?���� /5/
//5/
/5/
/5/
/// ++=∆∆=∆
��$��! ����C����
����?�����?�����?���A�?�A�� /5/
/5/
/5/
/5/ +++=∆
∆ �����������! ����������! ����! ! ��������$����������������! ������������ ��������! ���������������
/////
/
///
/
///
//
//
/////
����?������������
�
#?�5��?����
#?�5��������
�
��#?���������#�?������������
�Q�?�Q����Q Q
∆=∆∆+∆=
∆∆+∆=
∆∆−∆+∆∆=
∆∆+∆=∆
⊥
⊥
⊥
⊥
�
�
�
�
22
222
γγ
γγ
��������
+%����#����"���� ���! ������� ���������� ��������! ��"���$��� �����������"�! ���������� ��������! ������- �! ����� ���#�
��� �������������������#�����
�
��
�� ���
∆ / T�0
∆ / U�0 ∆ / C�0∆ / T�0��#������������ ������ � ����� � ��! �����������! ���������������#�����"�:� �����������
∆ / C�0��#���������������
∆ / U�0��#��������������! ��� � ����� � ��! �����������! ���������������#�����"�M� ��� �! ������
:
�
M
�����! ������! ������
�
��
�� ���
∆ / U�0
�
M
�
��
�����
∆ / U�0
�
M
∆ / U�0
��*��� �� �� � ��! �����������! �����%�#������M��##���������*��������
�
��
�� ���
∆ / T�0
�
:
∆ / T�0
� ��� � ��! ��3��%�#������:��##�������� �%�#�������
� ��� � ��! ��3% �%�#������:��##������! � ����%�#�������
� ��#����7�� ��������������������� ����, ���������#����:����� & �����$S ∆ / T�0��� ∆A/ T�∆�/ "������������������#����������������,�����������:�*������������#���� ��������! ������ �� �