La teoria degli errori - Zanichelli · Il valore del perimetro si calcola con la (1): p 2B 2H 2...

Nell’ambito dei rilievi topografici vengono eseguite misure di vario genere, con diversistrumenti e con l’impiego di differenti tecniche. Tuttavia esse sono accomunate dalla presenza di errori che devono essere controllati e valutati.

La teoriadegli errori

TEORIA

1 Errori nelle misureindirette: funzioni lineari

2 Errore medio unitarioed errore relativo

3 Errori nelle misureindirette: funzioninon lineari

4 Errori nella misuradella distanza ad angoloparallattico costante

5 Errori nellatrasformazione dellecoordinate da polaria cartesiane

6 Errori nella riduzioneal centro di stazione

7 Errori nella livellazioneecclimetrica

8 Errori nella livellazionegeometrica dal mezzo

9 Errori nella livellazionecomposta

RIASSUMENDO

AUTOVALUTAZIONE

Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629]2

LA TEORIA DEGLI ERRORI

1. Errori nelle misure indirette: funzioni lineari

Esempio di una grandezza di questo tipo è il perimetro di un poligono ottenutocome somma dei lati misurati direttamente. La grandezza L, in questo caso, vieneespressa mediante un’equazione lineare del tipo:

L � aX � bY � cZ � … � l (1)

nella quale X, Y, Z, ... sono le grandezze misurate più volte direttamente, mentrea, b, c, ..., l sono delle costanti. Se indichiamo con �mX, �mY, �mZ, ... gli errori medidelle grandezze X, Y, Z, ..., si potrebbe dimostrare che l’errore medio della gran-dezza L è dato da:

(2)

La (2) prende il nome di formula di propagazione degli errori per funzionilineari. Nel caso in cui si ha a � b � c � ... � 1, come, per esempio, nel caso delperimetro di un poligono, la (2) diventa:

(3)

Se, poi, la grandezza L è funzione di n grandezze le cui misure sono affette tuttedallo stesso errore, per cui è �mX � �mY � �mZ � ... � �m, quadrando la (3) si ottiene:

�2mL � n�2

m

da cui si ricava:

(4)�mL � � �m �n�

�mL � � ��2mX �� 2

mY �� 2mZ �� ...�

�mL � � �a2 �2mX� � b2��2

mY � c�2 �2mZ�� ...�

Consideriamo una grandezza L espressa mediante una funzione lineareche leghi fra di loro più grandezze indipendenti misurate direttamente.

Problema 1 Di un appezzamento di forma rettangolare sono stati misurati la base Be l’altezza H. Determinare l’errore medio del perimetro dell’appezzamento. Siano

B � 70,32 m H � 48,15 m

gli elementi misurati e

�b � �0,03 m �h � �0,01 m

i relativi errori medi.

Soluzione

Il valore del perimetro si calcola con la (1):

p � 2B � 2H � 2 � 70,32 � 2 � 48,15 � 236,94 m

L’errore medio di p si calcola con la (2):

�p � � �22 �2b�� 22 ��2

h� � � �4 � 0,0�32 � 4� � 0,01�2� � 0,063 m

Il valore più probabile del perimetro sarà quindi espresso da:

p � 236,94 � 0,063 m

Problema 2 Lungo l’allineamento AC si è fissato un punto B e si sono direttamentemisurate più volte le distanze parziali AB e BC. Determinare il più probabile valore del-

APPLICAZIONI

� A cosa servono le diverse formule di propagazione degli errori?

Consentono di determinare glierrori medi di grandezze che sia-no funzioni lineari o funzioninon lineari di altre grandezzeche siano state misurate diretta-mente.

F A Q

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2. Errore medio unitario ed errore relativoSe misuriamo una grandezza L possiamo sempre immaginarla come somma di unnumero L di unità di misura misurate separatamente: la grandezza è allora unafunzione lineare dell’unità di misura.

Se indichiamo l’errore medio unitario con �u, l’errore medio di L per la (4) è dato da:

�mL � � ��u2 � ��u

2 � ...� � � �L�u2� (5)

Dalla precedente si può agevolmente ricavare l’espressione dell’errore medio unitario:

�u � (6)

Se indichiamo l’errore relativo con �r, si ha:

�r � (7)�mL�

L

Si definisce errore relativo il rapporto tra l’errore medio e la grandezza mi-surata.

�mL��L�

Si definisce errore medio unitario l’errore medio dell’unità di misura.

la distanza AC e il suo errore medio. Nelle tabelle che seguono sono riportati i diversivalori delle misure e gli scarti dal valore medio:

ABm � 528,41/ 7 � 75,487 m BCm � 718,33/ 7 � 102,619 m

Soluzione

Il più probabile valore di AC si calcola con la (1) in cui si ha a � b � ... � 1 ed l � 0:

ACm � 75,487 � 102,619 � 178,106 m

Gli errori medi di ABm e di BCm si calcolano con la (8) dell’unità D3 (volume 1):

�ABm � � �73,43�/ 7 � 6� � �1,32 cm

�BCm � � �126,87�/ 7 � 6� � �1,74 cm

Il più probabile valore dell’errore medio di ACm si calcola con la (3):

�ACm � � �1,322�� 1,74�2� � �2,18 cm

La distanza AC quindi ha elevate probabilità di essere compresa nel seguente intervallodi valori:

AC � 178,106 � 0,0218 m

1 75,48 0,7 0,49

2 75,52 3,3 10,89

3 75,54 5,3 28,09

4 75,47 1,7 2,89

5 75,46 2,7 7,29

6 75,44 4,7 22,09

7 75,50 1,3 1,69

∑ 528,41 9,9 9,8 73,43

i AB (m)vi (cm)

vi2 (cm2)

+ –

1 102,64 2,1 4,41

2 102,71 9,1 82,81

3 102,59 2,9 8,41

4 102,60 1,9 3,61

5 102,57 4,9 24,01

6 102,62 0,1 0,01

7 102,60 1,9 3,61

∑ 718,33 11,3 11,60 126,87

i BC (m)vi (cm)

vi2 (cm2)

+ –

� Cosa esprime l’errore relativo di una grandezza misurata?

È l’errore medio della grandez-za riferito alla sua unità di mi-sura.

F A Q



3. Errori nelle misure indirette: funzioni non lineari

Per fare un esempio, l’area di un triangolo data dall’espressione S � bh /2 è unafunzione di questo tipo; infatti, se proiettiamo su un sistema di assi le variabili b eh che forniscono il valore costante 2S, non otteniamo una retta ma un’iperboleequilatera, come sappiamo dalla Geometria.

Supponiamo allora che una generica grandezza Z sia esprimibile medianteuna funzione non lineare che lega tra loro più grandezze X, Y, ... indipendenti emisurabili direttamente:

Z � f (X, Y, ...) (8)

Molte grandezze che vengono determinate in Topografia sono funzioni nonlineari di altre grandezze misurate direttamente.

Problema La distanza tra due punti A e B è stata misurata 10 volte a mezzo di un na-stro d’acciaio lungo 20 m, ottenendo i risultati riportati nella tabella seguente. Calcola-re l’errore medio unitario e l’errore relativo.

APPLICAZIONE

1 135,755 0,5 0,25

2 135,765 1,5 2,25

3 135,705 4,5 20,25

4 135,790 4,0 16,00

5 135,770 2,0 4,00

6 135,785 3,5 12,25

7 135,745 0,5 0,25

8 135,730 2,0 4,00

9 135,735 1,5 2,25

10 135,720 3,0 9,00

∑ 1357,500 11,5 11,5 70,50

i AB (m)vi (cm)

vi2 (cm2)

+ –

Lm � 1357,500/10 � 135,75 m

Soluzione

L’errore medio di una qualunque misura presa a caso, per la (6) dell’unità D3 (volume1) risulta:

� � �70,5/�9� � 2,8 cm

mentre l’errore medio dell’unità di misura (un metro), per la (6) sarà:

�u � � 0,24 cm

L’errore relativo, per la (7), è dato da:

�r � � 0,000206 � � 2 � 10�42�10 000

0,028�135,75

2,8��135,75�



Se indichiamo con gli �X, �Y, ... gli errori medi commessi nella misura di X, Y, ... econ ∂f / ∂X, ∂f / ∂Y, ... le derivate parziali della funzione f rispetto alle grandezzemisurate, si potrebbe dimostrare che l’errore medio della grandezza Z è dato da:

�Z � � ��2

�2X ��2

�2Y �� ...� (9)

La (9) prende il nome di formula di propagazione degli errori per funzioni non lineari.Nei paragrafi successivi si applicheranno i concetti esposti in questo paragrafo,

sia per calcolare il valore più probabile dell’errore commesso nelle varie opera-zioni topografiche, che per confrontare diversi metodi di misurazione in relazio-ne alla loro diversa precisione.

∂f�∂Y

∂f�∂X

Problema 1 Determinare l’errore medio del lato c di un triangolo di cui siano stati mi-surati gli elementi a, , e dei quali si conoscono i relativi errori medi (�FIGURA 1). Glielementi misurati sono:

a � 64,36 m � 53°27′ � 72°14′

e i rispettivi errori medi valgono:

�a � �0,04 m � � �2′ � � �1′20″

Soluzione

Il valore di c si calcola mediante il teorema dei seni:

c � � � 76,29 m

L’errore medio di c si calcola mediante la (9):

�c � � ��2

�2a ��

2

�2 ��

2

�2�

Calcoliamo le derivate parziali:

� �

� � cos � c cotg

� � � � �c cotg

Sostituendo:

�c � � ��2

�2a �� c2 cot�g2 ()��2

��c2 cotg�2 ()��2� �

� �c ��2

� c�otg2 (�)�2 �� cotg2� ()�2

� �

� �76,29 ��2

� c�otg2 7�2°14′��2

� c�otg2 5�3°27′��2� �

� �0,058 m

La misura più probabile del lato c è compresa pertanto nell’intervallo:

c � 76,29 � 0,058 m

120″�206 265

80″�206 265

0,04�64,36

�a�a

c�a

cos �sen

a sen �sen

�a sen cos ��

sen2

∂c�∂

c�sen

a cos �sen

∂c�∂

c�a

sen �sen

∂c�∂a

∂c�∂

∂c�∂

∂c�∂a

64,36 sen 72°14′��

sen 53°27′a sen �sen

APPLICAZIONI



am � 427,52/5 � 85,504 m

C

AB

a b

c

αβ

γ

FIGURA 1 Triangolo relativo ai problemi 1 e 2.

1 85,48 2,4 5,79

2 85,55 4,6 21,16

3 85,51 0,6 0,36

4 85,48 2,4 5,76

5 85,50 0,4 0,16

∑ 427,52 5,2 5,2 33,20

i ai (m)vi (cm)

vi2 (cm2)

+ –

1 62°13′20″ 3″ 9″

2 62°13′25″ 2″ 4″

3 62°13′28″ 5″ 25″

4 62°13′20″ 3″ 9″

5 62°13′24″ 1″ 1″

6 62°13′22″ 1″ 1″

∑ 372°78′139″ 8″ 7″ 49″

i �ivi vi

2

+ –

1 77°05′32″ 1,5″ 2,25″

2 77°05′30″ 0,5″ 0,25″

3 77°05′35″ 4,5″ 20,25″

4 77°05′27″ 3,5″ 12,25″

5 77°05′29″ 1,5″ 2,25″

6 77°05′30″ 0,5″ 0,25″

∑ 462°30′183″ 6″ 6″ 37,50″

i �ivi vi

2

+ –

m � 372°78′139″/ 6 � 62°13′23″ m � 462°30′183″/6 � 77°05′30,5″

Soluzione

Il valore più conveniente del lato c si calcola applicando il teorema dei seni e sostituen-do alle grandezze misurate i rispettivi valori medi:

c � � � 94,198 m

Calcoliamo gli errori medi delle grandezze misurate:

�ma � � �� 1,3 cm � �0,013 m

�m � � �� 1,28″ �m � � �� 1,12″37,5″�6 � 5

49″�6 � 5

33,20�5 � 4

∑ v2i��

n (n � 1)

85,504 sen 77°05′30,5″��

sen 62°13′23″am sen m��

sen m

Problema 2 Determinare l’errore medio del lato c del triangolo di �FIGURA 1 di cuisiano stati misurati direttamente e più volte il lato a e gli angoli e . I risultati dellemisurazioni e gli scarti dal loro valore medio sono riportati nelle seguenti tabelle:



4. Errori nella misura della distanza ad angolo parallattico costante

n Errore medio

Consideriamo la nota espressione della distanza:

D � K � S � sen2 �

Poiché D è una funzione non lineare delle grandezze K, S e �, e considerando�k � 0 in quanto K è una costante strumentale, per la (9) l’errore medio della distanza è dato dall’espressione:

�D � ��2

�2S ��2

�2�� (10)

Nella (10) �S e �� sono gli errori medi commessi, rispettivamente, nella lettura alla stadia e nella misura dell’angolo zenitale.

n Errori nella lettura alla stadia

Se consideriamo �� 0, la (10) diventa:

�D � ��2

�2S� � � � �S (11)

La derivata parziale della distanza D rispetto alla grandezza S vale:

� K sen2 �

per cui la (11) si può scrivere:

(12)

L’intervallo di stadia S è dato, come sappiamo, dalla differenza tra le letture alfilo inferiore e superiore del reticolo:

S � linf � lsup

per cui, se indichiamo con � � �inf � �sup l’errore medio commesso in ogni lettu-ra ai fili distanziometrici, per la (4) si ha:

�S � � �2�

�D � K sen2 � � �S

∂D�∂S

∂D�∂S

∂D�∂S

∂D�∂�

∂D�∂S

Le derivate parziali di c rispetto ad a, e sono le stesse che abbiamo calcolato nel-l’esempio 1. L’errore medio del lato c si ottiene applicando la (9), per cui, dopo aver so-stituito le derivate parziali con le relative espressioni precedentemente calcolate e averraccolto il termine c2, portandolo poi fuori dal segno di radice, si ha:

�mc��94,198��2

�co�tg2 77°�05′30,�5″��2

�co�tg2 62�°13′23�″��2��

� �0,014 m

La misura più probabile del lato c è compresa nell’intervallo:

c � 94,198 � 0,014 m

1,28″�206 265

1,12″�206 265

0,013�85,504



che, sostituita nella (12), consente di scrivere:

(13)

La (13) permette di calcolare l’errore medio nella distanza D dovuto all’erroremedio commesso nelle letture alla stadia necessarie per determinare S.

Per D � 100 m il valore di � è compreso tra 0,2 mm e 1 mm, a seconda che lalettura sia eseguita a coincidenza mediante le lastre pian-parallele, oppure di-rettamente a stima. Per D � 100 m, K � 100, � � 100c, applicando la (13) con� � 1 mm, si ha:

�D � 100 � 1 � �2� � 14,1 cm

mentre con � � 0,2 mm si ha:

�D � 100 � 0,2 � �2� � 2,8 cm

Quindi, a causa degli errori commessi nelle letture ai fili distanziometrici, l’erroremedio in una distanza di 100 metri è di circa 14 cm se le misurazioni sono esegui-te con i comuni distanziometri a stima, di circa 3 cm se vengono impiegate le la-stre pian-parallele.

n Errori nella misura dell’angolo zenitale

Se consideriamo �S � 0, la (10) diventa:

�D � ��2

�2�� (14)

La derivata parziale della distanza D rispetto alla grandezza � vale:

� 2 KS sen � � cos �

e la (14) diventa:

�D � 2 KS sen � � cos � � ��

cioè, moltiplicando numeratore e denominatore per sen �, si ha:

�D � 2 KS sen2 � �� 2 D cotg � � �� (15)

La (15) permette di calcolare l’errore medio nella distanza D dovuto all’erroremedio commesso nella misura dell’angolo zenitale �.

Se l’angolo zenitale viene misurato con l’errore medio �� 0c,01, facendo variarel’angolo � si ottengono i seguenti valori di �D relativi alla distanza D � 100 m:

cos ��sen �

∂D�∂�

∂D�∂�

∂D�∂�

L’errore �, commesso in ogni lettura ai fili del reticolo, dipende dal metododi lettura, dalle caratteristiche del cannocchiale e dalla distanza tra lo stru-mento e la stadia.

�D � K sen2 � � � �2�

�D (cm) 1,6 1,3 1,02 0,75 0,50 0,25

� 70c 75c 80c 85c 90c 95c

Dalla tabella si evince che gli errori permangono molto piccoli anche in corri-spondenza di elevati valori nella inclinazione dell’asse di collimazione; quindi la

� Perché l’impiego della lastra pian-parallela riduce notevolmente l’errore nella distanza determinata ad angolo parallattico costante?

Perché la sua precisione è in-fluenzata per lo più dagli erroricommessi nella lettura alla sta-dia, che possono essere ridottiapplicando la lastra al cannoc-chiale.

F A Q



precisione della distanza è influenzata solo marginalmente dalla misura dell’an-golo zenitale. Pertanto nella misura della distanza ad angolo parallattico costanteè lecito effettuare le misure angolari con una certa approssimazione utilizzando,per esempio, il tacheometro.

n Errore complessivo

Oltre che dagli errori commessi nelle letture alla stadia, nella prima unità di que-sto modulo abbiamo visto che la misura ad angolo parallattico costante è sensi-bilmente influenzata anche da quelli dovuti alla imperfetta verticalità della sta-dia, alla parallasse e alla rifrazione. In definitiva, nella misura della distanzaD � 100 m si possono commettere i seguenti errori medi in relazione alla stru-mentazione impiegata:

• 25 � 30 cm con gli ordinari tacheometri e la stadia verticalizzata con l’ausiliodella livella sferica;

• 8 � 10 cm con la lastra pian-parallela, la stadia di invar verticalizzata con la livellae la misura degli angoli eseguita con l’approssimazione di alcuni secondi; in que-sto caso l’errore nella distanza è determinato solamente dall’errore di verticalitàdella stadia e da quello commesso nelle letture ai fili distanziometrici.

5. Errori nella trasformazione delle coordinate da polari a cartesianeQuando le origini O del sistema polare e di quello cartesiano coincidono, per cal-colare le coordinate cartesiane di un punto A, misurate le coordinate polari (d, ), si applicano le formule:

xA � d sen (16)

yA � d cos (17)

Gli errori medi dell’ascissa e dell’ordinata sono dati dalle espressioni:

�x � � ��2

�d2 ��2

�2 � (18)

�y � � ��2

�d2 ��2

�2 � (19)

nelle quali �d e � sono gli errori medi commessi nelle misure di d e . Le deriva-te parziali delle (16) e (17) rispetto a d e valgono:

� sen � d � cos � yA � cos � �d sen � �xA

quindi, sostituendole nelle (18) e (19), si ottiene:

(20)

(21)

Le (20) e (21) consentono di calcolare gli errori medi delle coordinate cartesianein funzione degli errori medi commessi nella misura delle coordinate polari.

�y � � �cos2 �� 2d �� x2

A � ��2 �

�x � � �sen2 � � �2d �� y2

A � ��2 �

∂yA�

∂

∂yA�∂d

∂xA�∂

∂xA�∂d

∂yA�∂

∂yA�∂d

∂xA�∂

∂xA�∂d



6. Errori nella riduzione al centro di stazioneLa correzione � da apportare alla lettura eseguita in una stazione fuori centro èdata dalla nota formula:

�rad � � (22)

Poiché � è una funzione non lineare delle grandezze e, V e D, l’errore medio della correzione è dato dall’espressione:

�� 2

�2e ��2

�2V ��2

�2D� (23)

in cui �e, �V e �D sono gli errori medi commessi nella misura delle grandezze e, V eD. Le derivate parziali di � rispetto alle grandezze e, V e D valgono rispettivamente:

� � � � �

Sostituendo nella (23), si ha:

�� 2

� ��2

� ��2� (24)

in cui �V e �� sono espresse in radianti.La (24) consente di calcolare l’errore medio della correzione dovuto agli

errori medi commessi nella misura di e, V e D.Se, per esempio, le grandezze misurate assumono i valori: D � 5000 m;

�D � �50 m; e � 3,00 m; �e � 0,01 m; V � 45°; �V � 10′ � 60″ / 206 265 � 0r,002909,applicando la (24), si ottiene:

�� 2

� ��2

� ��2� �

� �4rad,64 � 10�6 � 0″,96 � 1″

7. Errori nella livellazione ecclimetrica

n Errore medio

Nel determinare la precisione del dislivello tra due punti calcolato con la livellazioneecclimetrica, si trascura l’influenza degli errori commessi nella misura dell’altezzastrumentale h e nella lettura l alla stadia; in pratica queste misure, effettuate senzaparticolari accorgimenti, sono affette da un errore di 1 � 3 mm e quindi notevol-

Possiamo osservare che per ottenere la correzione � con l’errore medio di1″ occorrerà misurare l’eccentricità e con la precisione dell’ordine del cen-timetro, mentre le altre due grandezze possono essere misurate con ap-prossimazioni molto elevate, e quindi anche per via grafica o con collima-zioni approssimative.

3 � 50��2� � 50002

3 � 0,002909��2� � 5000

�0,01��2� � 5000

e sen V � �D��

D2

e cos V � �V��

D

sen V � �e��

D

e sen V�

D2

∂��∂D

e cos V�

D

∂��∂V

sen V�

D

∂��∂e

∂��∂D

∂��∂V

∂��∂e

e sen V�

D



mente inferiore all’approssimazione conseguita con questo tipo di livellazioni. Se, al-lora, nella (11) dell’unità precedente poniamo h � l � 0, si ottiene:

� � D cotg � (25)

Poiché � è una funzione non lineare delle grandezze D e �, l’errore medio del dislivello è dato dall’espressione:

�� 2

�2D ��2

�2�� (26)

in cui �D e �� sono gli errori medi commessi nella misura, rispettivamente, di D e�. Le derivate parziali della (25) rispetto a D e � valgono:

� cotg � � �

Sostituendo le precedenti nella (26), si ottiene:

�� cotg2 �� 2D �� 2

�� (27)

La (27) consente di calcolare l’errore medio del dislivello, determinato con la li-vellazione ecclimetrica, dovuto agli errori medi commessi nella misura di D e �.

n Errori con l’impiego del teodolite

Se, per esempio, si esegue una livellazione ecclimetrica con un teodolite con le se-guenti approssimazioni:

�D � �5 � 10�4 � D (5 cm / 100 m, distanza misurata ad angolo parallattico varia-bile e mira verticale)�� 0c,0005

si ottengono, per D � 100 m, i seguenti errori del dislivello in corrispondenza deidiversi valori dell’angolo zenitale:

D 2

�sen4 �

D�sen2 �

∂��∂�

∂��D

∂��∂�

∂��∂D

(cotg �) � �D (cm) 3,63 2,55 1,62 0,80

(D/ sen2 �) � �� (cm) 0,12 0,10 0,09 0,08

�� (cm) 3,63 2,55 1,62 0,80

� 60c 70c 80c 90c

L’errore complessivo è influenzato unicamente da quello commesso nella misuradella distanza a causa della elevata precisione con la quale vengono misurati gliangoli impiegando il teodolite.

Nella tabella si evidenzia che l’errore sul dislivello, per D � 100 m, si mantienesull’ordine del centimetro solamente quando si opera su un terreno pianeggiante(� � 90g � 100g). Quando si opera fra punti posti in terreno mediamente acciden-tato (� � 70g � 80g), caso più frequente nella topografia operativa in collina, l’er-rore complessivo si mantiene nell’ordine di 1,5 � 3 cm.

n Errori con l’impiego del tacheometro

Se, per esempio, si esegue una livellazione ecclimetrica con un tacheometro con leseguenti approssimazioni:

� Perché nella livellazione ecclimetrica è importante curare la precisione della distanza?

Perché l’errore complessivo deldislivello è determinato esclusi-vamente dall’errore commessonella misura della distanza.

F A Q



Come si vede dalla tabella, operando su un terreno mediamente accidentato laprecisione del dislivello è molto scarsa, in quanto si commettono errori dell’ordi-ne di 5 � 10 cm.

8. Errori nella livellazione geometrica dal mezzoNell’unità precedente abbiamo visto che nella livellazione geometrica dal mezzo ildislivello tra due punti A e B è dato dalla differenza tra la controbattuta e la battuta:

�AB � lA � lB (28)

Le principali cause d’errore nella determinazione del dislivello mediante questoprocedimento operativo sono dovute alla lettura alla stadia e al centramento del-la livella.

n Errore di lettura alla stadia

L’errore �1 che si commette leggendo con un cannocchiale a una stadia posta auna certa distanza D, possiamo ritenerlo coincidente con la minima grandezza ni-tidamente visibile alla stessa distanza. Se il cannocchiale è provvisto di un certonumero I di ingrandimenti si ha:

�1 � �

dove �″ è l’angolo minimo di visibilità a occhio nudo (grandezza apparente).Poiché il dislivello espresso dalla (28) è una funzione lineare sia della controbat-

tuta lA che della battuta lB, entrambe affette dello stesso errore �1, per la (4) si ha:

�1� � � �1 � �2� � � �2� � (29)

La (29) consente di calcolare l’errore medio del dislivello dovuto agli errori medicommessi nelle letture alla stadia.

Supponiamo di dover determinare il dislivello tra due punti distanti reci-procamente 100 m, in modo che la lunghezza della controbattuta e della battutasia D � 50 m; poniamo �″ � 80″. Se operiamo con un livello di media precisio-

D�″��I � 206 265

D�″��I � 206 265

Le livellazioni ecclimetriche trovano applicazione quando il dislivello puòessere determinato con una precisione non molto elevata, come, per esem-pio, nei rilievi a scopo cartografico e nella rappresentazione del terreno conpiani quotati.

cotg � � �D (cm) 11,00 7,64 4,87 2,38

D/ sen2 � � �� (cm) 2,40 1,98 1,74 1,61

�� (cm) 11,26 7,89 5,17 2,87

� 60c 70c 80c 90c

�D � 15 � 10�4 � D (15 cm / 100 m, distanza misurata ad angolo parallattico co-stante e stadia verticale)�� 0c,0100

applicando la (27), al variare dell’angolo zenitale si ottengono i seguenti erroridel dislivello fra due punti posti alla distanza D � 100 m:



ne provvisto di un cannocchiale con I � 24 ingrandimenti, applicando la (29), siottiene:

�1� � �1,14 mm

Se utilizziamo un livello di precisione provvisto di un cannocchiale con I � 32 in-grandimenti, si ottiene:

�1� � �0,86 mm

Per le livellazioni effettuate con livelli di grande precisione, l’errore di letturaviene sensibilmente ridotto ricorrendo alla lamina pian-parallela; in questo casosi può avere:

�1� � �0,1 mm

n Errore di centramento della livella

Prima di ogni lettura alla stadia la bolla della livella viene centrata mediante lavite di elevazione; l’errore residuo di centramento è direttamente proporzio-nale alla radice quadrata della sensibilità s″ della livella ed è dato dalle espres-sioni:

″ � 0,15 �s″� per livelle a graduazione

″ � 0,06 �s″� per livelle a coincidenza

Per una singola battuta di lunghezza D l’errore ″ causa l’errore di lettura allastadia:

�2 �

Per le stesse considerazioni espresse nel paragrafo precedente, applicando la (4),si ha:

�2� � � �2 � �2� � � �2� � (30)

La (30) consente di calcolare l’errore medio del dislivello dovuto agli errori medi residui commessi nei centramenti della livella.

In una livellazione geometrica dal mezzo fra due punti distanti reciprocamen-te 100 m, la lunghezza della battuta e della controbattuta vale D � 50 m. Se ope-riamo con un livello di media precisione la cui livella a graduazione ha la sensibi-lità s″ � 50″, applicando le precedenti si ottiene:

″ � 1″,06 �2� � �0,36 mm

Utilizzando un livello di precisione oppure un livello di grande precisione provvi-sti di livella a coincidenza con sensibilità s″ � 5″, si ottengono i seguenti valori:

″ � 0″,13 �2� � �0,05 mm

n Errore complessivo

L’errore medio totale del dislivello, nella livellazione geometrica dal mezzo, perl’accidentalità degli errori considerati in precedenza, viene calcolato con l’espressione:

�� 21� �� 2

2��

Nella determinazione, per esempio, del dislivello tra due punti distanti reciproca-

″D�206 265

″D�206 265

� Perché nelle livellazioni di alta precisione è opportuno utilizzare stadie in invar?

Perché la precisione del disli-vello è influenzata quasi esclu-sivamente dagli errori di letturaalla stadia, che vengono ridottiimpiegando stadie in invar.

F A Q



mente 100 m (D � 50 m, lunghezza della battuta), si ottengono i seguenti errorimedi totali, calcolati con gli errori ricavati nei due paragrafi precedenti:

• con un livello di media precisione: �� 1,142 �� 0,362� � �1,20 mm

• con un livello di precisione: �� 0,862 �� 0,052� � �0,86 mm

• con un livello di alta precisione: �� 0,102 �� 0,052�� 0,11 mm

In questo tipo di livellazioni è opportuno adottare i seguenti accorgimenti tecnici:

• utilizzare una stadia con nastro in invar a doppia graduazione;• assicurare la verticalità e la stabilità della stadia mediante appositi bastoni te-

lescopici;• appoggiare la stadia su apposite piastre metalliche che ne assicurino la rota-

zione senza che affondi sul terreno.

9. Errori nella livellazione compostaPer determinare il dislivello tra due punti A e B con la livellazione geometricacomposta, si divide la linea di livellazione di lunghezza L in n � L /2D tratti, incui D rappresenta la lunghezza della battuta; quindi si determina, mediante li-vellazioni geometriche dal mezzo, il dislivello relativo agli estremi di ogni tratto.Poiché il dislivello tra i punti A e B è dato dalla somma dei dislivelli determina-ti per ogni tratto, se indichiamo con ��i l’errore medio del generico dislivello, perla (3) si ha:

(31)

La (31) consente di calcolare l’errore medio del dislivello totale dovuto agli erro-ri medi commessi in ogni singolo dislivello.

Se gli errori medi ��i in ogni dislivello sono uguali tra loro, si ha:

��1 � ��2 � ... � ��n � ��

e la (31) diventa:

(32)

Se consideriamo L � 1 km, la precedente relazione consente di determinare l’er-rore medio chilometrico �K. Effettuando, per esempio, delle battute di lunghezzaD � 50 m si ha n � 1000 / 2 � 50 � 10, e quindi:

�K � � �� 10�

Con i valori determinati al paragrafo precedente, si ottengono, per esempio, i se-guenti errori medi chilometrici:

• livellazione di media precisione: �K � �1,20 �10� � �3,80 mm

• livellazione di precisione: �K � �0,86 �10� � �2,72 mm

• livellazione di alta precisione: �K � �0,11 �10� � �0,35 mm

��AB � � �� n�

��AB � � ��2�1 �� 2

�2 �� ... � ��2�n�

Nelle livellazioni di precisione e di alta precisione l’errore medio totale è in-fluenzato esclusivamente, come risulta dai suddetti valori, dall’errore com-messo nella lettura alla stadia; pertanto, la lettura alla stadia deve essere ef-fettuata con la massima cura.

� Che relazione lega l’errore totale di una livellazione composta con quelli sui dislivelli dei vari tratti?

L’errore sul dislivello totale è unafunzione lineare degli erroricommessi sui dislivelli dei trattiche compongono la linea di li-vellazione.

F A Q



Errori nelle misure indirette funzioni lineari: sia Luna grandezza calcolata con l’equazione lineare

L � aX � bY � cZ � … � l

in cui X, Y, Z, ... sono altre grandezze misurate diretta-mente e a, b, c, ..., l sono delle costanti. Se indichiamo con�mX, �mY, �mZ, ... gli errori medi commessi nelle misure diX, Y, Z, ..., l’errore medio commesso in L viene calcolatocon la formula di propagazione degli errori per funzionilineari:

�mL � � �a2 �2mX� � b2��2

mY � c�2 �2mZ�� ...�

• Nel caso in cui si ha:

a � b � c � ... � 1

come, per esempio, nel caso del perimetro di un poli-gono, la formula di propagazione diventa:

�mL � � ��2mX �� 2

mY �� 2mZ �� ...�

• Se le grandezze misurate X, Y, Z, ... sono n e tutte affet-te dallo stesso errore, per cui si ha:

�mX � �mY � �mZ � ... � �m

la formula di propagazione assume la forma:

�mL � � �m �n�

Errore medio unitario: è l’errore medio dell’unità di mi-sura di una grandezza. Indicando con �mL l’errore mediodella grandezza L, l’errore medio unitario �u è dato dalrapporto:

�u �

Errore relativo: è il rapporto tra l’errore medio �mL diuna grandezza e il suo valore L:

�r �

Errori nelle misure indirette funzioni non lineari:sia Z una grandezza calcolata con la funzione non lineareZ � f (X, Y, …) in cui X, Y, ... sono altre grandezze misu-rate direttamente. Se indichiamo con �X, �Y, ... gli errorimedi commessi nelle misure di X, Y, ... l’errore mediocommesso in Z viene calcolato con la formula di propaga-zione degli errori per funzioni non lineari:

�Z � � ��2

�2X ��2

�2Y �� ...�∂f

�∂Y

∂f�∂X

�mL�

L

�mL��L�

Errori nella distanza ad angolo parallattico costan-te: sono gli errori commessi nella distanza calcolata conl’espressione D � KS sen2 �. Indichiamo con � l’erroremedio commesso in ogni lettura fatta ai fili distanziometri-ci per ricavare S e con �� l’errore medio commesso nellalettura dell’angolo zenitale �. L’errore �D1 dovuto alle let-ture alla stadia e l’errore �D2 dovuto alla misura dell’an-golo sono dati da:

�D1 � K sen2 � � � �2�

�D2 � 2 D cotg � � ��

• L’errore �D2 è molto piccolo e quindi trascurabile an-che in corrispondenza di elevati valori di �. L’errorepreponderante �D1 può essere ridotto notevolmenteleggendo alla stadia con la lastra pian-parallela anzichéa stima.

• La precisione della distanza D misurata con il metodoad angolo parallattico costante è influenzata anchedall’errore di verticalità della stadia, dalla parallasse edalla rifrazione.

Errori nella trasformazione delle coordinate da po-lari a cartesiane: sono gli errori commessi nelle coordi-nate cartesiane di un punto A calcolate con le espressionixA � d sen e yA � d cos , in cui d e sono le coordinatepolari misurate di A. Se �d e � sono gli errori medi com-messi nelle misure di d e di , gli errori medi in x e in ysono dati, rispettivamente, da:

�x � � �sen2 � � �2d �� y2

A � ��2 �

�y � � �cos2 �� 2d �� x2

A � ��2 �

Errori nella riduzione al centro di stazione: sono gli errori che vengono commessi nella correzione

�rad � �

da apportare a una misura angolare eseguita in una sta-zione fuori centro. Se �e, �V e �D sono gli errori medicommessi nella misura delle grandezze e, V e D, l’erroremedio della correzione �� è dato da:

��2

� ��2

� ��2�• Per ottenere la precisione di 1″ nella correzione � oc-

corre misurare l’eccentricità e con l’approssimazione di1 cm, mentre V e D possono essere misurati grafica-mente o con collimazioni approssimative.

e sen V � �D��

D2

e cos V � �V��

D

sen V � �e��

D

e sen V�

D

Riassumendo



Errori nella livellazione ecclimetrica: sono gli erroriche si commettono determinando il dislivello � tra duepunti con una livellazione ecclimetrica in modo da poterapplicare la formula:

� � D cotg � � h � l

Trascurando gli errori commessi nella misura dell’altezzastrumentale h e nella lettura alla stadia l, indicando con �D

e �� gli errori medi commessi nella misura, rispettivamen-te, della distanza D e dell’angolo zenitale �, l’errore medio�� sul dislivello � è dato da:

�� cotg2 �� 2D �� 2

��• Se si usa un teodolite, l’errore �� sul dislivello è dovuto

in pratica solo a quello commesso sulla distanza D; er-rore �� che è comunque elevato, essendo dell’ordine di1 cm / 100 m, anche se la distanza D è misurata conbuona precisione.

• Se si usa un tacheometro, l’errore �� risente anche del-l’imprecisione nella misura di � e quindi assume valoripiù elevati dei precedenti, circa 5 cm/100 m.

• Le livellazioni ecclimetriche, a causa della loro scarsaprecisione, vengono utilizzate per rilievi particolariquali sono, per esempio, quelli a scopo cartografico.

Errori nella livellazione geometrica dal mezzo: sonogli errori che si commettono determinando il dislivello �tra due punti A e B distanti fra loro D con una livella-zione geometrica dal mezzo così da poter applicare laformula:

�AB � lA � lB

Gli errori che influenzano il dislivello sono �1� dovutoalla lettura alla stadia e �2� dovuto al centramento della li-vella. Indicando con I gli ingrandimenti del cannocchialedel livello, con �″ � 80″ l’angolo di minima visibilità a oc-chio nudo (limite di visibilità), con ″ l’errore residuo dicentramento della bolla della livella, si ha:

�1� � � �2� �D�″

��I � 206 265

D2

�sen4 �

�2� � � �2� �

• L’errore medio totale �� che si commette nel dislivello� è dato dall’espressione:

�� 21� ��2

2��

• I livelli di media precisione sono provvisti, generalmen-te, di un cannocchiale con I � 24 ingrandimenti e diuna livella torica con ″ � 1″. Con questi valori, peruna distanza D � 100 m, si ottiene un dislivello conl’errore medio totale:

�� 1,20 mm.

• I livelli di alta precisione sono provvisti, generalmente,di un cannocchiale con I � 32 ingrandimenti e di unalivella a coincidenza di immagini con ″ � 0″,13. Conquesti valori, utilizzando una lastra pian-parallela cheriduce sensibilmente gli errori di lettura alla stadia, peruna distanza D � 100 m si ottiene un dislivello conl’errore medio totale:

�� 0,10 mm.

• Nelle livellazioni geometriche dal mezzo, che sono lepiù precise e le più usate nella pratica operativa, è op-portuno utilizzare stadie in invar, curare la verticalitàdella stadia con aste telescopiche e appoggiare la stadiasu apposite piastre metalliche in modo che non affondisul terreno durante la rotazione.

Errori nella livellazione composta: sono gli errori chesi commettono lungo una linea di livellazione di lunghez-za L divisa in n tratti di lunghezza D, per ognuno dei qua-li si esegue una livellazione geometrica dal mezzo. Il disli-vello �AB tra gli estremi A e B della linea è dato dallasomma dei dislivelli �i relativi a ogni tratto; quindi, indi-cando ��AB l’errore medio del dislivello totale e con ��i

gli errori medi commessi nei dislivelli di ogni tratto, si ha:

��AB � � ��2�1 �� 2

�2 �� ... ��2�n�

• Se gli errori medi ��i in ogni dislivello sono uguali traloro, si ha ��1 � ��2 � ... � ��n � �� e quindi l’erroremedio totale è dato da:

��AB � � �� n�

D″�206 265


AU

TOVA

LUTA

ZIO

NE

Autovalutazione


A. Verifica delle conoscenze

V FL’area di un rettangolo è una funzione lineare della base e dell’altezza ��

Se nel misurare i lati di un quadrilatero si commette in ciascuno lo stesso errore �,quello commesso nel perimetro è dato da 4 � ��

L’errore medio unitario di una grandezza è l’errore medio dell’unità di misura ��

Nel passaggio dalle coordinate polari a quelle cartesiane l’ascissa è una funzione lineare delle coordinate polari misurate ��

Il volume di un parallelepipedo è una funzione non lineare dei tre spigoli ��

L’intervallo di stadia S è una funzione non lineare delle letture ai fili estremi del reticolo ��

La precisione della misura della distanza D � KS sen2 � è influenzata soprattutto dagli errori commessi nelle letture alla stadia ��

In una stazione fuori centro, la precisione della correzione � dipende da quella dell’eccentricità e ��

Le precisioni dell’altezza strumentale e della lettura alla stadia influenzano notevolmente il dislivello � determinato con una livellazione ecclimetrica ��

Nelle livellazioni geometriche dal mezzo il dislivello � è una funzione non lineare della battuta e della controbattuta ��

Nelle livellazioni geometriche dal mezzo la precisione del dislivello � è influenzata esclusivamente da quella delle letture alla stadia ��

Il dislivello totale determinato con una livellazione geometrica composta è una funzione non lineare dei dislivelli dei singoli tratti che la compongono ��

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

QUESITI VERO/FALSO Scrivere tre grandezze che siano funzioni lineari di al-tre grandezze misurate direttamente.

Scrivere tre grandezze che siano funzioni non lineari di altre grandezze misurate direttamente.

Che cos’è l’errore relativo di una grandezza?

Sia G � aX � bY � c; qual è la formula di propaga-zione degli errori per la grandezza G?

Sia G � f (X,Y); qual è la formula di propagazione de-gli errori per la grandezza G?

Perché è superfluo impiegare un teodolite per deter-minare una distanza D con il metodo ad angolo paral-lattico costante?

Effettuando una livellazione ecclimetrica con un teo-dolite, quali grandezze influiscono sulla precisione deldislivello �?

Perché nella livellazione geometrica dal mezzo l’erro-re del dislivello è influenzato esclusivamente da quellocommesso nelle letture alla stadia?

Elenca gli accorgimenti da adottare nelle livellazioni geometriche dal mezzo di alta precisione.

Come si determina l’errore medio chilometrico di una livellazione geometrica dal mezzo composta?

Se una grandezza G è funzione lineare di n grandezze tutte affette dallo stesso errore �m, l’errore della gran-dezza G è dato da

��m � n ��m / �n��m �n� ��m / n

Una distanza D � 123,21 m è stata misurata con l’er-rore medio �mD � 2,5 cm; ricavare l’errore medio perogni metro di lunghezza

0,203 mm 1,42 mm 2,25 mm 0,128 mm

Quale grandezza influenza maggiormente l’errore �D

della distanza D determinata con la formula KS sen2 �

�

SKtutte le suddette grandezzed

c

b

a

25

dc

ba

24

dc

ba

23

QUESITI A RISPOSTA MULTIPLA

22

21

20

19

18

17

16

15

14

13

QUESITI A RISPOSTA SINGOLA


AU

TOVA

LUTA

ZIO

NE


B. Verifica delle competenze

� Esercizi e problemi

Di un appezzamento di forma triangolare ABC sono state misurate le lunghezze dei lati ottenendo i se-guenti valori e i relativi errori medi:

AB � 72,36 m �AB � �0,04 m

BC � 81,74 m �BC � �0,01 m

CA � 60,15 m �CA � �0,03 m

Calcolare l’intervallo di valori in cui è compreso moltoprobabilmente quello del perimetro dell’appezzamen-to triangolare. [214,25 � 0,051 m]

Per calcolare la distanza tra due punti A e B, con un ecclimetro provvisto di cannocchiale anallattico con lacostante K � 100 sono state effettuate letture alla sta-dia e in corrispondenza del cerchio verticale. Si sonoottenuti i seguenti valori con i relativi errori medi:

S � 1,5364 m �S � 0,0008 m

� � 82c,5450 �� 0c,0050

Calcolare il valore della distanza e quello del suo erro-re medio. [D � 154,57 m; �D � �0,08 m]

Di un triangolo ABC sono stati misurati il lato AB � ae gli angoli C � e B � �. Si sono ottenuti i seguenti valori con i relativi errori medi:

a � 64,36 m �a � �0,04 m

� 53°27′00′′ � � �2′

� � 72°14′00′′ �� 1′20′′

Calcolare il lato AC e il suo errore medio.[AC � 76,29 m; �AC � 0,058 m]

Di un triangolo ABC sono stati misurati due lati e l’angolo compreso. Si sono ottenuti i seguenti valori:

AB � a � 102,60 m �a � �0,05 m

BC � b � 86,30 m �b � �0,03 m

B � � 64c,75 � � 0c,0100

Determinare l’area del triangolo e il suo errore medio.[S � 4132,32 m2; �S � 2,36 m2]

Di un appezzamento di forma rettangolare sono stati misurati la base b e l’altezza a ottenendo i seguenti va-lori:

b � 128,10 m �b � �0,05 m

a � 82,70 m �a � �0,03 m

Calcolare l’area e il suo errore medio.[S � 10 593,87 m2; �S � 5,64 m2]

37

36

35

34

33

L’errore che si commette nelle letture alla stadia può essere sensibilmente ridotto

curando la verticalità della stadiaeffettuando un ottimo adattamento alla distanzaeffettuando più lettureapplicando una lastra pian-parallela al cannocchiale

Nella trasformazione delle coordinate da polari (d, ) a cartesiane (x, y) l’errore medio nella coordinata x èdato da

� �sen2 � �d2 ��y2 �

2�

� �sen2 � �d2 � y�2 �

2�

� �sen2 � �d2 ��y2 �

2�

� �sen ��d2 � y ��

2�

Nella riduzione al centro di stazione, per ottenere la correzione � � (�e sen V)/D con l’errore di 1″ occorre

misurare l’eccentricità e con l’errore del centimetromisurare D con l’errore del centimetromisurare V con l’errore di 1″commettere tutti i suddetti errori

Per annullare l’influenza della precisione di � su quel-la del dislivello � determinato con una livellazione ec-climetrica è necessario

operare con bassi valori di �operare con elevati valori di �utilizzare un tacheometroutilizzare un teodolite

In una livellazione geometrica dal mezzo, con una li-vella di errore residuo �″ � 1″, il relativo errore suldislivello per D � 50 m è

5,83 mm 2,62 mm1,31 mm 0,34 mm

In una livellazione geometrica dal mezzo, se gli errori dovuti alle letture e al residuo centramento sono �1� e�2�, �� totale è

��1� �� 2 �� 1� � �2 �

��21� �� 2

2 �� 21� �� 2

2 ��

Nella livellazione geometrica dal mezzo di alta preci-sione l’errore medio sul dislivello è dovuto esclusiva-mente agli errori

commessi nel centramento della bolla della livellacommessi nelle letture alla stadiacommessi nella mancata verticalità della stadiacommessi nello stazionamento del livellod

c

b

a

32

dc

ba

31

dc

ba

30

d

c

b

a

29

d

c

b

a

28

d

c

b

a

27

d

c

b

a

26


AU

TOVA

LUTA

ZIO

NE


Sono state rilevate le coordinate polari d e di un punto A. Si sono ottenuti i seguenti valori:

d � 85,60 m �d � �0,10 m

� 37c,4100 � � �0c,10

Calcolare le coordinate cartesiane del punto A e illoro errore medio nel caso in cui le origini dei due si-stemi coincidono. [XA � 47,45 m; YA � 71,24 m;

�X � �0,054 m; �Y � �0,0832 m]

Per determinare il dislivello tra due punti A e B, si è stazionato un ecclimetro nel punto A e una stadia nelpunto B. Gli elementi misurati sono i seguenti:

D � 72,28 m �D � �0,13 m

� � 85°38′50′′ �� 1′

h � 1,60 m l � 2,75 m

Determinare il dislivello tra i due punti e il suo erroremedio. [�AB � 4,35 m; �� 2,33 cm]

Per determinare il dislivello tra due punti A e B, si ef-fettua una livellazione tacheometrica. I dati misurati ei relativi errori medi sono i seguenti:

D � 87,73 m �D � �0,18 m

� � 89°35′ �� 30′′

h � 1,58 m l � 1,95 m

40

39

38 Determinare il dislivello tra i due punti e il suo erroremedio. [�AB � 0,27 m; �� 1,28 cm]

Per determinare il dislivello tra due punti A e B, di-stanti reciprocamente 130,00 m, si effettua una livella-zione geometrica dal mezzo mediante un livello diprecisione provvisto di 30 ingrandimenti. I valori dellacontrobattuta e della battuta sono i seguenti:

lA � 2,754 m lB � 1,986 m

Sapendo che la livella è a coincidenza con sensibilitàs � 5′′, e assumendo per il limite di visibilità il valore� � 80′′, determinare il dislivello tra i due punti e ilsuo errore medio. [�AB � 0,768 m; �� 0,12 cm]

Risultati dei quesiti vero/falso1F, 2F, 3V, 4F, 5V, 6F, 7V, 8V, 9F, 10F, 11V, 12F.

Risultati dei quesiti a risposta multipla23c, 24c, 25b, 26d, 27a, 28a, 29d, 30d, 31c, 32b.

41

La teoria degli errori - Zanichelli · Il valore del perimetro si calcola con la (1): p 2B 2H 2...

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