1 La potenza in alternata In continua esiste una sola potenza, misurata in watt. Essa si calcola...

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La potenza in alternata

In continua esiste una sola potenza, misurata in watt. Essa si calcola facendo il prodotto tra tensione e corrente: P = V*I. Essendo i due valori di tensione e di corrente costanti nel tempo, anche la potenza sarà costante.

Tutto ciò in alternata non è più vero. Infatti sia la tensione che la corrente variano sinusoidalmente, quindi la potenza sarà anch’essa variabile.

Inoltre bisogna distinguere il caso di potenza su un carico resistivo R ed il caso di potenza su carico reattivo (cioè C o L). Le due situazioni sono diverse poiché le sinusoidi di tensione e corrente sono in fase nel primo caso e sfasate di 90° nel secondo.

Un’altra differenza tra carico resistivo R e carico reattivo deriva dalla considerazione che mentre R dissipa energia (la trasforma in altra forma di energia), L e C non dissipano energia, ma la immagazzinano e la restituiscono periodicamente.

Tutto ciò si può verificare partendo dalle sinusoidi di tensione e corrente, ricavando poi la sinusoide della potenza.

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La potenza in alternataPOTENZA ATTIVA

Studiamo il primo caso del carico resistivo R. Di seguito vediamo due equazioni di sinusoidi V e I e poi il loro prodotto, cioè P. Successivamente realizziamo il grafico delle tre equazioni scritte.

)(tp

)()(tp

(A) )()(

(V) )()(

tsen

tsentsentitv

tsentfsenti

tsentfsentv

50212

50245023

502424

502323

2

In queste formule abbiamo tenuto conto che la tensione e la corrente sono in fase (l’angolo dei due seni sono uguali) e si è fatta la semplificazione che la fase iniziale sia zero.

La prossima pagina mostrerà i grafici delle tre formule.

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V,I,P

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025

t

P

I

V

Si nota chiaramente che la potenza P è sempre positiva e che ha frequenza doppia delle altre sinusoidi. Una potenza sempre positiva significa che il suo verso è sempre lo stesso: dal generatore alla resistenza e mai al contrario. A questo grafico si possono applicare tutte le considerazioni fatte sul valore efficace.

4


W

A

A

IV

I

V

EFFEFF

EFF

EFF

62

12

2

4

2

32

4

2

2

3

2

Dal calcolo si nota che il prodotto tra i valori efficaci di tensione e corrente è esattamente il valore medio della curva che rappresenta la potenza. Quindi la superficie racchiusa sotto la curva della potenza vale 6 W. Questa è l’equivalente in continua della potenza in alternata.

In definitiva possiamo quindi calcolare la potenza su un carico resistivo facendo il prodotto tra i valori efficaci di tensione e di corrente (o facendo la metà del prodotto tra le ampiezze).

Tale potenza prende il nome di POTENZA ATTIVA e si misura in WATT.

WIVPEFFEFF

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La potenza in alternataPOTENZA ATTIVADIMOSTRAZIONE

)cos()cos(tp

)cos()(tp

)( )( tp

(A) )()(

(V) )( )(

tIVIVtIV

tIVtsenIV

tsenItsenVtitv

tsenItsenIti

tsenVtsenVtv

EFFEFFEFFEFFEFFEFF

EFFEFFEFFEFF

EFFEFF

EFFM

EFFM

221

2

2122

22

2

2

2

L’ultima espressione ci dimostra matematicamente che la potenza che dissipa una resistenza R è formata da un temine costante (continua) che non viene restituita al

generatore e da un termine variabile, cioè il coseno, con frequenza doppia ( 2) della tensione e della corrente. Quest’ultimo termine ha valore medio zero quindi non aggiunge altra potenza a quella in continua.

6


La formula appena ricavata è applicabile solo alla potenza dissipata sulle resistenze R.

Quindi possiamo anche trovare altre formule valide solo per le resistenze ricordando che:

VEFF = V R(eff)

IEFF = I R(eff)

VR(eff) = R*IR(eff)

IR(eff) = VR(eff) / R

Sostituendo o la prima o la seconda formula in quella della potenza si avrà:

P = VEFF * IEFF = R*I2 R(eff)

P = VEFF * IEFF = V2 R(eff) / R

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Richiamo di trigonometria

cos( ) = sen( + /2 )

- cos( ) = sen( - /2 )

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Studiamo il secondo caso di carico induttivo L. Di seguito vediamo due esempi di equazioni di sinusoidi V e I e poi il loro prodotto, cioè QL. Successivamente realizziamo il grafico delle tre equazioni scritte.

La potenza in alternataPOTENZA REATTIVA

)](sen[22

)](sen[2t

:diventa potenza ' 2

)sen(2)cos()sen( :ricava si riatrigonomet dalla

)()cos(t

:diventa potenza '

)cos()2

sen( :che ricava si riatrigonomet dalla

)()(t

(A) )()(

(V) )()(

L

L

L

tt

Q

dellaeespressionlquindi

tsentQ


tsentsentitvQ

tsentfsenti

tsentfsentv

5026502

12

50250212

50242

5023

5024242

50232

23

9


Si nota chiaramente che la potenza QL è alternativamente positiva e negativa e che ha frequenza doppia delle altre sinusoidi. Questa potenza cambia il suo verso ogni mezzo periodo, quindi si sposta dal generatore all’induttanza quando è positiva, in verso opposto quando è negativa. Ciò significa che l’induttanza non dissipa energia, ma la immagazzina per mezzo periodo e la restituisce nell’altro mezzo periodo.

Q L (potenza reattiva induttiva)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025

t

QL

IV

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Per avere un dato sugli scambi energetici tra generatore e induttanza (che comunque ci sono!) si parla di potenza reattiva QL e si calcola tramite il prodotto tra i valori efficaci della tensione e della corrente.

)sen(22

)sen(2t



)()cos(t

:diventa potenza '

)cos()2


)()(t

(A) )(

(V) )(

L

L

L

tIVt

IVQ


tsentIVQ


tsentsenIVtitvQ

tsenIti

tsenVtv

EFFEFFMM

MM

MM

M

M

2

2

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L’ultima espressione ci dimostra matematicamente che la potenza che scambia una

induttanza L è formata da un solo temine variabile con frequenza doppia ( 2) della tensione e della corrente. Quest’ultimo termine ha valore medio zero quindi non dissipa potenza, come già detto.

Nella formula precedente il prodotto VEFF * IEFF NON HA lo stesso significato che ha nella potenza attiva, poiché la tensione e la corrente non sono in fase. Quindi non ha il significato di potenza continua equivalente all’alternata.

Il significato, come già detto, è quello di fornire un dato sugli scambi energetici tra generatore e induttanza.

Per evidenziare questa differenza anche l’unità di misura non è quella della potenza attiva ma si chiama Volt Ampere Reattivi = V.A.R.


)sen(2tL tIVQ EFFEFF

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La formula appena ricavata è applicabile alla induttanza L.

Quindi possiamo anche trovare altre formule valide solo per le induttanze ricordando che:

VEFF = V L(eff)

I EFF = I L(eff)

VL(eff) = XL *IL(eff)

IL(eff) = VL(eff) / XL


QL = VEFF * IEFF = XL*I2 L(eff)

QL = VEFF * IEFF = V2 L(eff) / XL


(V.A.R.) L IVQ EFFEFF

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Studiamo il terzo caso di carico capacitivo C. Di seguito vediamo due equazioni di sinusoidi V e I e poi il loro prodotto, cioè QC. Successivamente realizziamo il grafico delle tre equazioni scritte.


)](sen[22

)](sen[2t



)()cos(t

:diventa potenza '

)cos()2


)()(t

(A) )()(

(V) )()(

C

C

C

tt

Q


tsentQ


tsentsentitvQ

tsentfsenti

tsentfsentv

5026502

12

50250212

50242

5023

5024242

50232

23

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Q C (potenza reattica capacitiva)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025

t

QCI

VC

Si nota chiaramente che la potenza QC è alternativamente positiva e negativa e che ha frequenza doppia delle altre sinusoidi. Questa potenza cambia il suo verso ogni mezzo periodo, quindi si sposta dal generatore al condensatore quando è positiva, in verso opposto quando è negativa. Ciò significa che l’induttanza non dissipa energia, ma la immagazzina per mezzo periodo e la restituisce nell’altro mezzo periodo.

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Per avere un dato sugli scambi energetici tra generatore e condensatore (che comunque ci sono!) si parla di potenza reattiva QC e si calcola tramite il prodotto tra i valori efficaci della tensione e della corrente.

)sen(22

)sen(2t



)()cos(t

:diventa potenza '

)cos()2


)()(t

(A) )(

(V) )(

C

C

C

tIVt

IVQ


tsentIVQ


tsentsenIVtitvQ

tsenIti

tsenVtv

EFFEFFMM

MM

MM

M

M

2

2

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)sen(2tC tIVQ EFFEFF


Anche in questo caso si possono ripetere le stesse considerazioni fatte per le induttanze. Per evidenziare questa differenza anche l’unità di misura non è quella della potenza attiva ma si chiama Volt Ampere Reattivi = V.A.R.

(V.A.R.) C IVQ EFFEFF

La formula appena ricavata è applicabile al condensatore C.

Quindi possiamo anche trovare altre formule valide solo per il condensatore ricordando che:

VEFF = V C(eff)

I EFF = I C(eff)

VC(eff) = XC *IC(eff)

IC(eff) = VC(eff) / XC


QC = VEFF * IEFF = XC*I2 C(eff)

QC = VEFF * IEFF = V2 C(eff) / XC

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La potenza in alternataPOTENZE ATTIVA E REATTIVA

P, Q L , Q C

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025

t

PQL

QC

I tre grafici riportati mostrano che le tre potenze sono tra loro sfasate di angoli che determineremo. Si nota subito che QLe QC sono tra loro sfasate di 180°. Questo dato si ricava anche dalle formule trovate:

QL = V L(eff)*IL(eff)*sen(2t); QC = - V C(eff)*IC(eff)*sen(2t).

Il segno “-” in QC indica appunto lo sfasamento di 180°.

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Resta da capire quale sia lo sfasamento della potenza attiva rispetto a quelle reattive (ricordiamo che anche la potenza attiva varia nel tempo e che quindi ha una relazione di

fase con le Q). Nel prossimo grafico è rappresentata la potenza attiva solo con la sua componente alternata, cioè senza la continua.

Q L , QC , P

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025

t

PQ

L

QC

Da questo grafico si vede che P è sfasata di 90° in ritardo rispetto a QL, e 90° in anticipo rispetto a QC

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Possiamo quindi disegnare il diagramma vettoriale tra le tre potenze. Ricordiamo che un diagramma vettoriale ha significato se è rappresentativo di sinusoidi, quindi l’avere trascurato la componente continua della potenza P è legittimo.

Nel grafico vettoriale a) sono rappresentati i tre vettori come derivano dal grafico delle sinusoidi, però è maggiormente usato il grafico vettoriale b) (equivalente a quello a) ).

QC QL

P

a) QC

QL

P

b)

In questi grafici i vettori hanno tutti la stessa ampiezza (derivano da un esempio numerico!). Questa però è una condizione particolare, mentre in generale le tre ampiezze sono tutte diverse. Quindi il diagramma vettoriale sarà di due tipi: QL>QC e QL<QC.

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La potenza in alternataPOTENZE ATTIVA, REATTIVA ED

APPARENTE

I grafici potranno essere i due seguenti.

QC

QL P

b)

QC - QL

S

QL < QC

QC

QL

P

a)

QL - QC

S

QL > QC

La risultante S è chiamata POTENZA APPARENTE e si misura in Volt – Ampere (V.A.).

Siccome S è la somma vettoriale della potenza attiva dissipata dalle resistenze e della potenza reattiva immagazzinata dai condensatori ed induttori essa è la potenza complessiva proveniente dal generatore. Questo è il significato fisico di S.

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La potenza in alternataPOTENZE ATTIVA, REATTIVA ED APPARENTE

Una importante applicazione delle formule e diagrammi vettoriali riguarda i circuiti R-C ed R – L. Ricordiamo che ogni circuito si può ridurre ad uno dei due citati.

VG

R

VRI

VC

C

VR I

VC

VG

φ

Utilizziamo i valori efficaci di tensione e corrente:P = VR * I (W)QC = VC * I (VAR)

Dal diagramma vettoriale disegnato a lato si ricavano le seguenti formule:

VR = VG * cos ( φ )VC = VG * sen ( φ )

Quindi possiamo riscrivere le potenze così:P = VG * cos ( φ ) * I (W)QC = VG * sen ( φ ) * I (VAR)Cioè:P = VG * I * cos ( φ ) (W)QC = VG * I * sen ( φ ) (VAR)

DA RICORDARE

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DIAGRAMMI VETTORIALI DELLE POTENZE ATTIVA, REATTIVA ED

APPARENTE

VR I

VC

VG

φ

P

QC S

P = VR * I ; QC = VC * I

La P e la Q sono vettori proporzionali ad I e quindi non cambia l’angolo tra di loro ed S.I diagrammi vettoriali hanno gli stessi sfasamenti

Dal diagramma delle potenze si ricavano anche le formule riportate a lato.

)(

)cos(

senSQ

SP

C

23

(V.A.)

)()cos()()cos(

)()cos(

22222

2222

IVS

senIVsenIVS

senIVIVQPS

G

GG

GG

Quanto vale S?Per effettuare la dimostrazione ricordiamo le formule ricavate:

P = VG * I * cos ( φ ) (W)QC = VG * I * sen ( φ ) (VAR)


ESPRESSIONE MATEMATICA DELLA POTENZA APPARENTE

(V.A.) IVS G

24


IL FATTORE DI POTENZA

)(

)cos(

senSQ

SP

C

Facciamo una riflessione sulle formule e sul diagramma vettoriale.

Nella figura A l’angolo φ è maggiore dell’angolo φ1 della figura B, ma la potenza P resta invariata.

Se l’angolo φ diminuisce, il cos(φ) aumenta. Se la potenza attiva P resta uguale, allora significa che la potenza reattiva QC diminuisce.

Il fattore di potenza cos(φ) deve essere mantenuto sufficientemente alto (maggiore di 0,8 per legge, ma tecnicamente è auspicabile che sia maggiore di 0,95) per un problema tecnico-economico che verrà affrontato quando si parlerà del “RIFASAMENTO”.

P

QC S

P

QCS

1

A

B

25


Nei circuiti R – L le formule restano identiche, fatta eccezione del diagramma vettoriale, riportato di seguito.

VR I

VL

VG

φ

P

QL S

FORMULE

P = VR * I ; QL = VL * I

P = VG * I * cos ( φ ) (W)QL = VG * I * sen ( φ ) (VAR)

(V.A.) IVS G

Dal diagramma delle potenze si ricavano anche le formule riportate a lato. )(

)cos(

senSQ

SP

L

26


IL FATTORE DI POTENZA

Per il circuito R-L valgono le stesse considerazioni fatte per il circuito R-C proposito del fattore di potenza cos(φ).

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La potenza in alternataIL PROBLEMA DEL “RIFASAMENTO”

In ogni impianto elettrico, in generale, sono presenti utenti che richiedono potenza attiva (le resistenze) ed altri richiedono potenza reattiva (condensatori ed induttanze). Le resistenze possono essere le lampade, i forni, le stufe ecc. In generale sono utenti che convertono l’energia elettrica in altre forme di energia e quindi mettono in atto un processo fisico irreversibile (cioè l’energia utilizzata non ridiventerà mai più elettrica). Questa potenza attiva dobbiamo pagarla all’ente che la fornisce.

Per quanto riguarda la potenza reattiva, essa può servire per il funzionamento di motori (che sono essenzialmente delle induttanze) o per caricare dei condensatori.

Il caso più frequente è quello dei motori e quindi di carichi induttivi.

Come abbiamo già studiato la potenza reattiva non viene convertita in altre forme di potenze e quindi periodicamente restituita all’ente che in precedenza l’aveva fornita. Ne deriva che non c’è un “consumo” e quindi non può esserci un pagamento.

Tuttavia per fornire una potenza reattiva occorre far fluire una corrente nei cavi che collegano il generatore all’utente:

QL = VG * I

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Quindi la corrente che occorre per “trasportare” la potenza reattiva rende necessario la realizzazione di cavi elettrici di sezione maggiore di quella sufficiente ad una data potenza attiva.

Questa maggiore sezione dei cavi rende l’impianto più costoso per l’ente che eroga energia. Per evitare delle pesanti penali a carico dell’utente si deve procedere alla realizzazione del “RIFASAMENTO” dell’impianto.

Si tratta in pratica di generare localmente la corrente reattiva necessaria all’utente, senza gravare sull’ente erogatore e quindi senza appesantire l’impianto con rame in più.

Facciamo un esempio numerico.

Supponiamo di avere una resistenza (ad es. una lampada) che assorba una potenza attiva di 40 W. Colleghiamo questa lampada prima da sola al generatore e poi in serie ad una induttanza di 1000 mH. Valutiamo in tutti e due i casi quanto vale la corrente che il generatore deve erogare. Naturalmente la frequenza vale 50 Hz ed il generatore eroghi la 200 V.

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VG RVR

I

VG

R

VR1I1

VL

A B

I = P / VG = 40 / 220 = 0,181 A

R = VG/ I = 220 / 0,181 = 1215

XL= 2 f L = 6,20*50*1000*10-3 = 314

VL= XL* I1 = 314 * I1

VR = R * I1= 1215 * I1

arctang ( VL/VR) = arctang ( 314 / 1215)

= 14,5°

P = VG*I1*cos()= 220*I1*0,97

I1= 40 / (220*0,97)= 40/213 = 0,188 A

Da questi semplici calcoli si nota che la corrente con l’induttanza in serie (a parità di potenza attiva richiesta) è maggiore di quella con solo la resistenza.

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Questo problema si risolve utilizzando un condensatore di rifasamento che di solito si pone in parallelo al generatore. La sua funzione è quella di immagazzinare potenza reattiva e di fornirla all’induttanza quando questa la richiede.

VG

I1

CS

IC

ZL = carico induttivo

I

VG

IC

I

I1φ

φ1

Dal diagramma vettoriale si ricava che il condensatore provoca una diminuzione delle corrente erogata dal generatore che passa da I ad I1 ed una diminuzione dello sfasamento da φ a φ1, con un aumento del fattore di potenza cos(φ1).

Questo è proprio quello che si cerca di ottenere. Contestualmente si può dire che il problema si risolve aumentando il fattore di potenza.

Calcoliamo adesso il valore del condensatore di rifasamento da inserire nel circuito.

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CALCOLO DI “C”

VG

IC

I

I1φ

φ1

(F) 2 2

Vf

QC

G

C

Vf

Q

V

Q

VV

Q

V

IC

VC

C

V

X

VI

V

QI

IVQ

G

C

G

C

G

G

C

G

C

GG

C

GC

G

CC

CGC

22 2

1

Dimostrazione

Il problema del rifasamento si può studiare anche facendo riferimento al diagramma vettoriale delle potenze, affrontato nella prossima diapositiva.

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CALCOLO DI “C”

P

QL

S

QC = QL – Q1

P

QL

S

S11

Q1

Prima del rifasamento la potenza reattiva vale:

QL = P*tang(φ)

Dopo il rifasamento la potenza reattiva vale:

Q1 = P*tang(φ1)

Dal secondo grafico delle potenze si ricava che QL si sottrae alla la potenza del condensatore QC. La potenza risultante sarà quindi:

Q1 = QL – QC

Da questa formula ricaviamo la QC.

QC = QL – Q1 = P*tang(φ) - P*tang(φ1) = P*[tang(φ) - tang(φ1)]

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