La struttura a termine dei tassi d’interesse

Benedetto Matarazzo

Struttura per scadenzadei tassi di interesse

La strutturaper scadenza

deitassi d’interesse

Tassi forward

Tassi spot

Metodi di

misurazione

Corso di

Matematica Finanziaria

Generalitàsul

mercato dei capitali

Relazione tra tassi spot e farward

Prezzi dei titoli e tassi di interesse di mercato

Indice

1. Struttura a termine dei tassi d’interesse “SPOT”.

2. Struttura per scadenza implicita “FORWARD”.

3. Teorie e forme della struttura per scadenza

4. La misurazione della struttura per scadenza.

Struttura “SPOT”

• Mercato dei capitali strutturato su m periodi

t0, t1, t2, …, tm

• V(t0, tk): prezzo a pronti (in t0) di uno zero – coupon bond unitario, con k = 1, 2, …, m.

Mercato “completo” rispetto alla struttura dei tassi SPOTi(t0, tk), ossia dei tassi ivi vigenti nel periodo [t0, tk].

La struttura a termine o per scadenza dei tassi di interesse al tempo t rappresenta la relazione tra i prezzi (o i tassi di rendimento) dei titoli presenti su un dato mercato e le loro scadenze T o durate T-t

Struttura “SPOT”

),0(

1),0(

tVtr

ttetitr ),0(1),0(

V(0,t): prezzo di uno zero – coupon bond unitario scadente al tempo t e valutato al tempo 0 [tsc(t)]; N.B: V(0,s)>V(0,t) per s<t; V(0,0)=1=V(t,t).

0 t

-V(0,t) 1

r(0, t)

V(0, t) r(0, t) = 1

Legge finanziaria ad una variabile

Fattore di attualizzazione (decrescente con t): v(0, t) = r(0, t)-1 V(0, t) = v(0, t).

i(0, t): tasso periodale vigente in [0, t], valutato in 0.

(0, t): tasso istantaneo vigente in [0, t], valutato in 0.

(segue)

Struttura “SPOT”

;1,0),0(1

ttrti

tttetitr ),0(),0(1),0(

titrt

t ,01log,0log1

),0(

tV ,0 t

ti ,01 tV ,0 1,0 tte

Tasso di rendimento effettivo del tsc(t) spot o a pronti (valutato e praticato in 0)

Mercato finanziario: tsc scadenti in tempi diversi valori dei tassi spot per possibili

durate t (“curva zero-coupon”, che descrive le relazioni “scadenza-rendimento”).Interpolando ed estrapolando tali valori struttura a termine (o per “scadenza”,

intesa come “vita residua” del titolo) dei tassi d’interesse vigenti ed osservati inquell’istante (ossia tassi a pronti per tutte le possibili scadenze), detta anche yeld curve:

,,0 e ,0 tti 0t

Struttura piatta: i(0, t) = i(0) = i>0, t , (0, t) = (0) = 0, t

ossia si considera un unico “tasso di mercato” per tutte le scadenze future

(segue)

ti ,0

1,0

11

t

tV

(in termini di prezzo)

, ossia:

Struttura “SPOT” (segue)

Esempi di struttura a termine (prima dell’euro) Informazioni statiche, dinamiche, spaziali:

Contratti a termineV(t0, t1, t2) : prezzo fissato in t0 per esecuzione (consegna/pagamento) a termine di uno zero – coupon bond unitario per il periodo tra due scadenze t1,t2, (t0 < t1< t2)

I tassi SPOT per i periodi (t0, t1) e (t0, t2) individuano il tasso in vigoretra il tempo t0 della stipula ed esecuzione del contratto e la scadenza (rimborso del titolo) dello stesso (rispettivamente t1 e t2)

Tassi FORWARD i(t0, t1, t2): si riferiscono ad operazioni di acquisto di tsc con epoca della stipula (t0) antecedente quella dell’esecuzione (t1) e del rimborso (t2), ossia, ad un “contratto a termine” (t0 < t1< t2), che piùin generale è un accordo stipulato al tempo t0 per lo scambio ad una data futura prefissata (scadenza del contratto forward) di un bene (detto sottostante) ad un prezzo prefissato in t0

(detto prezzo a termine o forward) con consegna e pagamento al tempo t1;Tali tassi sono perciò chiamati tassi forward di mercato.

N.B. Al momento della stipula (t0) il valore del contratto è, per definizione, nullo.Se il sottostante è un tsc, esso avrà una sua scadenza (data del rimborso unitario). Il prezzo forward V(t0, t1, t2) dipende allora dalla data di stipula (t0), dalla scadenza del contratto (t1) e dalla scadenza del sottostante (t2) .

Struttura implicita “FORWARD”

V(0, s, t): prezzo convenuto al tempo 0 di uno zero – coupon bond scambiato al tempo s e scadente al tempo t (0 < s < t).

0 t

-V(0,s,t) 1

s

r(0,s, t)

Esecuzione

(Titolo/Prezzo)

Fine

(Rimborso)V(0, s, t) r(0, s, t) = 1

tsV

tsr,,0

1,,0

Legge finanziaria a due variabili

i(0, s, t): tasso periodale vigente in [s, t], valutato in 0.

(0, s, t): tasso istantaneo vigente in [s, t], valutato in 0.

st

tsitsr ,,01,,0 sttse ,,0

Stipula

(Impegno)

Struttura implicita “FORWARD”

;1,,0,,01

sttsrtsi

tsrst

ts ,,0log1

,,0 tsi ,,01log

tsV ,,0 1 tsi ,,0st

tsV ,,0 e ts,,0 st 1

Tasso di interesse (di rendimento) forward o a termine effettivamente praticatosul mercato al tempo 0 per il periodo [s, t] (0 < s < t).

Vendite “allo scoperto” (short sales):

Equivalente ad un finanziamento (o all’emissione di un tsc) per il periodo [0, t] allo stesso tasso i(0, t)

0 t

+V(0,t) -1

tV

tr,0

1,0

ti ,0 1,01

ttr

1,0

11

t

tV

st

tsitsr ,,01,,0 sttse ,,0

(segue)

Relazioni tra tassi spot e forwardIpotesi:

- Condizione di scindibilità (capitalizzazione composta):

- Assenza di arbitraggio (assioma di coerenza):non è possibile realizzare un profitto esente da rischio ed illimitato senza impiegare capitale proprio, ossia semplicemente effettuando sul mercato operazioni a pronti e a termine.

t

r(0,s, t)

0 s

r(0,s)

r(0, t)

NO: r(0, s) r(0, s, t) <[>] r(0, t)

trtsrsr ,0,,0,0 1 si ,0 1s tsi ,,0

st 1 ti ,0 t

Equivalente a:

, ossia:

Considerando tutti i periodi unitari [tk-1, tk] tra s e t: operazioni roll-over didisinvestimento ed investimento immediato ai tassi periodali i(t0, tk-1, tk).

Relazioni tra tassi spot e forward

1 tsi ,,0 st

1

1

ti ,0

si ,0

t

s

(forward) (spot)

ovvero: st ts,,0 t t,0 s s,0

I tassi forward sono contenuti implicitamente nella struttura (a termine)dei tassi spot (tassi a pronti); sono pertanto anche detti “tassi impliciti”

(segue)

trtsrsr ,0,,0,0

1 si ,0 1s tsi ,,0

st 1 ti ,0 t

),0(

),0(

),0(

),0(),,0(

tV

sV

sr

trtsr (0<s<t)

ossia, in termini di tassi (periodali ed istantanei):

e quindi in capitalizzazione continua il tasso a lunga [(0,t)] è una media aritmetica ponderata dei tassi a breve spot [(0,s)] e forward [(0,s,t)]

Relazioni tra tassi spot e forward(segue)

.,...,1,),0(

),0(...

),0(

),0(),0(),0(

10

10 nk

tr

tr

tr

trtrtr

k

kk

Siano 0=t0<t1<…<tn-1<tn=t e 0 th-1 s <th t.

Per la condizione di coerenza, si ha: kkkk trttrtr ,0,,0,0 11

ossia:),0(

),0(),,0(

1

1

k

kkk

tr

trttr

Per leggi a termine: ).,,0()...,,0(),,0(),,0(),,0( 1211 kkhhhhhk ttrttrttrtsrtsr

In termini di tassi periodali, per tk= tn = t :

.),,0(1),,0(1),,0(1),,0( 1

11

jjh

st tt

jj

n

hj

st

h ttitsitsitsr

Pertanto, il tasso periodale (costante) i(0,s,t), s=0,1,…,tn-1 è una particolare media funzionale dei tassi i(0,s,th)=i(t0,s,th), i(0,th,th+1),…,i(0,tn-1,tn)=i(0,tn-1,t),ossia è una media dei tassi a termine nell’intervallo [s,t]; il primo di tali tassi sarebbe un tasso a pronti se fosse s=0.

da cui ).,,0()...,,0(),,0(),0(),0( 121100 kkk ttrttrttrtrtr

Relazioni tra tassi spot e forward(segue)

Siano 0=t0<t1<…<tn-1<tn scadenze periodiche unitarie, ossia tk=k, k=0,1,…,n.Si considerino i tassi farward monoperiodali i(0,k,k+1), detti anche tassi short,valutati in t0=0, relativi al singolo periodo k,k+1, in funzione dei corrispondenti tassi spot i(0,k), i(0,k+1).Si ha:

.),0(1

)1,0(1)1,0(1

),0(1

)1,0(1)1,,0(1

1 k

k

k

ki

kiki

ki

kikki

Allora, se i tassi spot monoperiodali sono crescenti, ossia i(0,k)<i(0,k+1), il corrispondente tasso farward (short) i(0,k,k+1) sarà maggiore di tali tassi, essendoi(0,k,k+1)>i(0,k+1)>i(0,k). Pertanto, la curva rappresentativa dei tassi farwardmonoperiodali (tassi short) giacerà al di sopra di quella dei tassi spot.Se, invece, i tassi spot decrescono, i corrispondenti tassi short saranno minori di essi e la curva rappresentativa dei tassi farward monoperiodali (tassi short) giacerà al di sotto di quella dei tassi spot.Di conseguenza, la curva dei tassi farward monoperiodali intersecherà quella dei tassi spot rispettivamente in corrispondenza dei punti di massimo o di minimo relativo.Pertanto, tra i tassi short ed i tassi spot valgono le stesse relazioni intercorrenti tra grandezze “marginali” (tassi short) e “medie” (tassi spot).

Relazioni tra prezzi spot e forward

Determinazione del prezzo forward V(0, s, t) compatibile con l’assenza di opportunità di arbitraggio (0<s<t)

Flussi di cassa di una strategia di trading che prevede:* al tempo 0 emissione di un tsc con scadenza in t al prezzo V(0,t), acquisto di

Q=V(0,t)/V(0,s) tsc scadenti in s al prezzo V(0,s)* al tempo s incasso dei Q tsc ivi scadenti* al tempo t rimborso del tsc ivi scadente

Tempo 0 s t

Operazione

emissione di un tsc(t) +V(0,t) -1 acquisto di Q tsc(s) - [V(0,t)/V(0,s)]V(0,s) +V(0,t)/V(0,s)

contratto forward -V(0,s,t) +1

Totale 0 V(0,t)/V(0,s)-V(0,s,t) 0

e quindi: V(0,s,t)= V(0,t)/V(0,s)= r(0,s)/r(0,t) (unico prezzo compatibile con l’ipotesi).

Le principali teorie e le possibili forme della struttura a termine

- Crescenti (incremento)- Decrescenti (ribasso)- Piatte (invarianza)

- Con la “gobba” (rialzo seguito da un ribasso)

- Con un “minimo” intermedio (ribasso seguito da un rialzo)

• statiche (osservazioni allo stesso tempo): forma della curva dei tassi per diverse scadenze• dinamiche (osservazioni in tempi diversi): l’evoluzione della struttura a termine• spaziali (osservazioni in mercati diversi): confronti tra diversi Paesi

La differenza tra tassi a breve e tassi a lungo: risk premium e liquidity premium;giustificherebbe una curva dei tassi crescente

Teoria delle aspettative: le diverse forme riflettono le attese del mercato circal’andamento futuro dei tassi di interesse: tassi forward attuali i(0,1,k) spot a 1 anno.Dinamica dei tassi spot fondata sulle aspettative.

Teoria del premio per la liquidità: aspettative di maggior rendimento per titoli conscadenza più lunga, con minore liquidità e più sensibili a variazioni di tasso di mercato.

Teoria della segmentazione dei mercati: chiare preferenze degli investitori per alcuniintervalli di scadenze (domanda ed offerta).

Informazioni ottenibili:

La misurazione della struttura a termine

Osservazione dei prezzi degli zero – coupon bonds e di altri titoli obbligazionari con opportune scadenze

- problemi di stima (bootstrapping: tsc + titoli con cedola)- approssimazioni con T.I.R. e scadenze medie per i titoli

complessi

1. Misurazione come problema di algebra lineare (sistema lineare mn,m titoli con cedola ed n scadenze dei flussi)

2. Modelli parametrici (adattamento di opportune funzioni: interpolazionelineare, logaritmica (Bradley e Crane), metodi di McCulloch, Houglet,…);stima dei parametri, spesso col metodo dei minimi quadrati

3. Stima come problema di programmazione lineare (ottimizzazione diportafoglio)