La prof. Domenico Galli c E · Operatori C, P e T prof. Domenico Galli Fisica delle Alte Energie...

Operatori C, P e T

prof. Domenico Galli

Fisica delle Alte Energie agli Acceleratori Dottorato di Ricerca in Fisica

Stati Fisici

•  Uno stato fisico è rappresentato da un vettore di stato (ket) in uno spazio vettoriale complesso:

•  Un ket contiene tutte le informazioni su di uno stato fisico. •  La somma di due ket è un altro ket:

•  La moltiplicazione di un ket per un numero complesso c è un altro ket:

•  I ket e rappresentano il medesimo stato fisico: –  Soltanto la direzione è significativa nello spazio dei ket. –  Gli stati fisici sono raggi, non vettori. –  Raggio: sottospazio .

2!

α ∈E

α + β = γ α , β , γ ∈E

c α = α c = β c∈, α , β ∈E

α c α , c = Aeiϕ ∈

DOMENICO GALLI — Fisica delle Alte Energie agli Acceleratori — Operatori C, P e T!

c α ∈E;c∈, α ∈E{ }

Osservabili

•  Un osservabile (p. es.: una componente della quantità di moto o dello spin) è rappresentato da un operatore A.

•  In generale un operatore agisce su di un ket da sinistra originando un altro ket:

•  In generale lo stato non è la moltiplicazione dello stato per uno scalare complesso.

•  Tuttavia ci sono dei ket particolarmente importanti (autoket dell’operatore A), che si indicano con:

e che soddisfano la proprietà:

3!

A α = β

A α α

′a , ′′a , ′′′a , …

A ′a = ′a ′a , A ′′a = ′′a ′′a , ecc., ′a , ′′a , ′′′a ∈


Osservabili (II)

•  L’applicazione dell’operatore A a un autoket riproduce lo stesso autoket a meno di un fattore moltiplicativo.

•  Lo stato fisico corrispondente a un autoket è chiamato autostato. •  I numeri dell’insieme:

sono chiamati autovalori dell’operatore A.

4!

′a , ′′a , ′′′a , …{ }


Componenti dei Ket

•  La dimensione N dello spazio vettoriale è determinata dal numero di alternative nel risultato di un esperimento.

•  In tale spazio, gli N autoket dell’osservabile A formano una base. •  Ogni ket arbitrario si può scrivere, per componenti:

5!

α

α = ci ai( )

i=1

N

∑ , ci ∈


Lo Spazio dei Bra

•  Lo spazio dei bra è uno spazio vettoriale E *, duale rispetto allo spazio dei ket E: –  Spazio duale: insieme di tutti i funzionali lineari su E a valori complessi.

–  La linearità implica che:

•  Addizione di bra e moltiplicazione un bra per uno scalare sono definite dalle relazioni:

6!DOMENICO GALLI — Fisica delle Alte Energie agli Acceleratori — Operatori C, P e T!

α + β( ) γ = α γ + β γ

c α( ) γ = c α γ

β ∈E( ) α⎯ →⎯ α β ∈( )

γ cα α + cβ β( ) = cα γ α + cβ γ β , ∀ α , β

Lo Spazio dei Bra (II)

•  A ogni ket corrisponda un bra : dove CD = corrispondenza duale.

•  Una base nello spazio dei bra è costituita dagli autobra corrispondenti duali di una base di autoket:

7!

α α

a i( ) ,i = 1,2,…{ } CD← →⎯⎯ a i( ) ,i = 1,2,…{ }

α CD← →⎯⎯ α


Lo Spazio dei Bra (III)

•  Il corrispondente duale di una somma è la somma dei corrispondenti duali dei singoli addendi:

•  Il corrispondente duale del prodotto di un ket per un numero è il prodotto del bra duale per il complesso coniugato del numero:

•  Per le combinazioni lineari di ket si ha perciò:

8!

c* α CD← →⎯⎯ c α , c∈

α + β +{ } CD← →⎯⎯ α + β +{ }

cα* α + cβ

* β +{ } CD← →⎯⎯ cα α + cβ β +{ }


Prodotto Interno

•  Il prodotto interno è il prodotto di un bra per un ket , che si scrive:

•  Il prodotto interno per definizione soddisfa due proprietà:

•  La norma del ket o del bra è definita come:

9!

βα

α β ∈

β α = α β*

α α ≥ 0 α α = 0 ⇔ α = 0( )α α

α α


Ortonormalità

•  Dato un ket non nullo si può formare il ket normalizzato , definito come: che rappresenta il medesimo stato fisico.

•  Due ket e si dicono ortogonali se:

10!

α

α β = 0

α̂

α̂ = 1

α αα

α β


Operatori

•  Un operatore X agisce su di un ket da sinistra e il prodotto risultante è ancora un ket:

•  Due operatori X e Y si dicono uguali se:

•  Un operatore X si dice nullo se:

11!

X α = β

X α = Y α , ∀ α

X α = 0, ∀ α


Operatori (II)

•  Gli operatori possono essere sommati:

•  La somma è commutativa e associativa:

•  Un operatore X si dice lineare se:

•  Vedremo che gli operatori C e P sono lineari, mentre l’operatore T è anti-lineare:

12!

X + Y = Y +X

X + Y +Z( ) = X + Y( ) +Z

X cα α + cβ β( ) = cαX α + cβX β , ∀ α , β

X + Y( ) α = X α + Y α , ∀ α


T cα α + cβ β( ) = cα

*T α + cβ*T β , ∀ α , β

Operatori (III)

•  Un operatore X agisce su di un bra da destra e il prodotto risultante è ancora un bra:

•  Il ket e il bra non sono in generale duali tra loro. •  Si definisce operatore hermitiano coniugato o aggiunto

dell’operatore X, l’operatore X † tale che:

•  Un operatore si dice hermitiano o autoaggiunto se e è uguale al suo aggiunto:

13!

α X = β

α X

X α

α X † CD← →⎯⎯ X α

X † = X


Operatori (IV)

•  Gli operatori X e Y possono essere moltiplicati:

•  La moltiplicazione, in generale, non è commutativa: ma è associativa:

•  Si noti che:

14!

XY( ) α = X Y α( ), ∀ α

β XY( ) = β X( )Y , ∀ β

XY ≠ YX

X YZ( ) = XY( )Z

XY( )†

= Y †X †

α Y †( )X † CD← →⎯⎯ X Y α( ) ⇒ α Y †X †( ) CD← →⎯⎯ XY( ) α


Assioma Associativo e Prodotto Esterno

•  Assioma associativo: La proprietà associativa vale in generale, fintanto che abbiamo a che fare con moltiplicazioni consentite tra bra e ket e operatori lineari. –  Non vale per operatori anti-lineari.

•  In particolare, per l’assioma associativo, si ha: dove è semplicemente un numero, mentre è definito prodotto esterno.

•  Come si vede, un prodotto esterno, applicato a un ket produce un altro ket.

•  Il prodotto esterno di un ket e un bra può essere considerato come un operatore.

•  L’operatore ruota nella direzione di .

15!

β α( )prodottoesterno

γket

= βket

α γ( )numero

=def

β α γ ∀ β , α , γ

α γ β α

β α γ βDOMENICO GALLI — Fisica delle Alte Energie agli Acceleratori — Operatori C, P e T!

Assioma Associativo e Prodotto Esterno (II)

•  Si osservi che: e dunque:

•  Inoltre si osservi che, per l’assioma associativo, si ha, per operatori lineari:

16!

γ α β CD← →⎯⎯ β α γ

γ X † CD← →⎯⎯ X γ

β α( )† = α β

βbra

X α( )ket

= β X( )

bra

αket

=def

β X α


Assioma Associativo e Prodotto Esterno (III)

•  Poiché: si ha:

17!

γ X † CD← →⎯⎯ X γ

β α = α β*

β X α = β X α( ) = α X †( ) β{ }* = α X † β*

β X α = α X † β*


Operatori Hermitiani

•  Teorema: Gli autovalori di un operatore hermitiano sono reali; gli autoket corrispondenti ad autovalori distinti sono ortogonali.

18!

A = A†

A a i( ) = a i( ) a i( ) ⇒ a j( ) A a i( ) = a i( ) a j( ) a i( )

A a j( ) = a j( ) a j( ) CD← →⎯⎯ a j( ) A† = a j( )* a j( )

a j( ) A = a j( )* a j( ) ⇒ a j( ) A a i( ) = a j( )* a j( ) a i( )

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

0 = a i( ) a j( ) a i( ) − a j( )* a j( ) a i( ) ⇒ a i( ) − a j( )*( ) a j( ) a i( ) = 0

j = ij ≠ i

a i( ) = a i( )*

a j( ) a i( ) = 0

⎧⎨⎪

⎩⎪

a j( ) ∈, a j( ) a i( ) = δ j ,iDOMENICO GALLI — Fisica delle Alte Energie agli Acceleratori — Operatori C, P e T!

Basi di Autoket

•  Gli autoket normalizzati dell’operatore A: formano un insieme completo ortonormale.

•  Un generico ket si può scrivere, per componenti:

•  Moltiplicando per a sinistra si ottiene la componente j-esima:

19!

′a , ′′a , ′′′a , …, a N( ){ } = a i( ) ,i = 1,…,N{ }α

α = α i ai( )

i=1

N

∑ , α i ∈

a j( )

a j( ) α = a j( ) α i ai( )

i=1

N

∑ = α i aj( ) a i( )

i=1

N

∑ = α iδ j ,ii=1

N

∑ =α j

α j = a j( ) α


Relazione di Chiusura

•  Per quanto detto possiamo scrivere: (relazione di chiusura o di completezza).

20!

α = α i ai( )

i=1

N

∑ , α i ∈

α j = a j( ) α

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

α = a i( ) α a i( )i=1

N

∑ = a i( ) a i( ) αi=1

N

∑

a i( ) a i( )i=1

N

∑ = 11


Relazione di Chiusura (II)

•  Dalla relazione di chiusura troviamo:

21!

a i( ) a i( )i=1

N

∑ = 11

α α = 1

α α = α a i( ) a i( )i=1

N

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟α = α a i( ) a i( ) α

i=1

N

∑ =

= a i( ) α*

a i( ) αi=1

N

∑ = a i( ) αi=1

N

∑2

α i

2

i=1

N

∑ = a i( ) α2

i=1

N

∑ = 1


Operatori di Proiezione

•  Consideriamo l’operatore: detto operatore di proiezione.

•  Esso seleziona la parte del ket parallela ad :

•  La relazione di chiusura si può scrivere come:

22!

Λii=1

N

∑ = 11

Λi = ai( ) a i( )

Λi a = a i( ) a i( )( ) a = a i( ) a i( ) α =α i ai( )

α a i( )


Operatori Unitari e Cambiamento di Base

•  Si chiama operatore unitario un operatore che conserva il prodotto interno:

•  Un operatore unitario soddisfa la relazione:

•  Teorema: Date due basi di ket ortonormali e complete: esiste un operatore unitario U tale che:

23!

U †U = UU † = 11 ⇒ U −1 = U †

a i( ) ,i = 1,…,N{ } b i( ) ,i = 1,…,N{ }

b i( ) =U a i( ) , i = 1,…,N

α U †U β = α β


Operatori Unitari e Cambiamento di Base (II)

•  Infatti, definito: U soddisfa la relazione richiesta: inoltre U è unitario:

24!

U = b k( ) a k( )k=1

N

∑

U a i( ) = b k( ) a k( )k=1

N

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟a i( ) = b k( ) a k( ) a i( )

k=1

N

∑ = δk ,i bk( ) =

k=1

N

∑ b i( )

UU † = b k( ) a k( )k=1

N

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟

a l( ) b l( )l=1

N

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟= b k( ) a k( ) a l( ) b l( )

l=1

N

∑k=1

N

∑ =

= b k( ) δ k ,l b l( )l=1

N

∑k=1

N

∑ = b k( ) b k( )k=1

N

∑ = 11


Operatori Unitari e Cambiamento di Base (III)

•  La matrice di trasformazione relativa al cambiamento di base si scrive, essendo :

•  Inoltre, poiché: La matrice colonna delle nuove componenti di un ket si ottengono dalla matrice colonna delle vecchie, moltiplicando per la matrice U†

i,j:

25!

Ui, j = a i( ) U a j( ) = a i( ) b j( )

b i( ) = U a i( )

b j( ) α

nuovacomponente

= b j( ) a k( ) a k( ) αk=1

N

∑ = a j( ) U † a k( )

U j ,k†

a k( ) α

vecchiacomponente

k=1

N

∑

a k( ) a k( )k=1

N

∑ = 11

b j( ) = a j( ) U †


Operatori Unitari e Cambiamento di Base (IV)

•  Troviamo ora la relazione tra i vecchi e i nuovi elementi di matrice. •  Essendo:

•  Si ottiene la trasformazione di similarità :

26!

b i( ) X b j( )

nuovo elementodi matrice

= b i( ) a m( ) a m( ) X a n( ) a n( ) b j( )

n=1

N

∑m=1

N

∑ =

= a i( ) U † a m( )

Ui ,m†

a m( ) X a n( )

vecchio elementodi matrice

a n( ) U a j( )

Un ,l

n=1

N

∑m=1

N

∑

a m( ) a m( )m=1

N

∑ = 11, a n( ) a n( )n=1

N

∑ = 11

b j( ) = U a j( ) , b i( ) = a i( ) U †

′X = U †X U


Traccia di un Operatore

•  La traccia di un operatore è la somma dei suoi elementi diagonali: e risulta indipendente dalla rappresentazione scelta.

•  Si può anche dimostrare che:

27!

Tr XY( ) = Tr YX( )Tr U †XU( ) = Tr X( )Tr a i( ) a j( )( ) = δ i, jTr b i( ) a i( )( ) = a i( ) b i( )

Tr X( ) = a i( ) X a i( )i=1

N

∑a i( )


Spettri Continui

•  Vi sono osservabili (come lo spin) con uno spettro discreto di autovalori.

•  Vi sono osservabili (come le componenti dell’impulso) con uno spettro continuo di autovalori.

•  Molti risultati sono generalizzabili

28!

a i( ) a j( ) = δ i, j ← →⎯ ′ξ ′′ξ = δ ′ξ − ′′ξ( )

a i( )i=1

N

∑ a i( ) = 11 ← →⎯ ′ξ d ′ξ ′ξ∫ = 11

α = a i( ) a i( ) αi=1

N

∑ ← →⎯ α = ′ξ d ′ξ ′ξ α∫

a i( ) α2

i=1

N

∑ = 1 ← →⎯ d ′ξ ′ξ α2

∫ = 1


Spettri Continui (II)

29!

β α = β a i( )i=1

N

∑ a i( ) α ← →⎯ β α = β ′ξ d ′ξ ′ξ α∫

a i( ) A a j( ) = a j( )δ i, j ← →⎯ ′ξ A ′′ξ = ′′ξ δ ′′ξ − ′ξ( )


Spazio delle Coordinate

•  Gli autoket dell’operatore posizione X, soddisfano l’equazione agli autovalori:

•  Il ket di stato per un arbitrario stato si può scrivere come:

•  Consideriamo una misura della posizione: –  Mettiamo un rivelatore sottile nella posizione x′ che scatta quando una

particella si trova in un piccolo intervallo intorno a x′: [x′−Δ, x′+Δ]; –  Quando si registra un conteggio il ket cambia come:

30!

X ′x = ′x ′x

α

α = ′x d ′x ′x α−∞

+∞

∫

α = ′′x d ′′x ′′x α−∞

+∞

∫ ⎯→⎯ ′′x d ′′x ′′x α′x −Δ

′x +Δ

∫


Spazio delle Coordinate (II)

•  La condizione di ortonormalità della base di ket si scrive:

•  Si chiama funzione d’onda per lo stato il prodotto interno:

•  Spesso, per indicare lo stato avente come funzione d’onda si scrive:

31!

′x ′′x = δ ′x − ′′x( )α

ψα ′x( ) = ′x α

α ψα x( )

α = ψα x( )


Operatori di Simmetria

•  Dato un ket consideriamo uno stato simmetrico che supponiamo sia stato ottenuto applicando un operatore O.

•  Poiché O è un operatore di simmetria, l’azione di O non deve cambiare il risultato di una misura. Dovrà perciò valere la condizione:

•  Questa condizione può essere soddisfatta in due modi:

32!

α O†O β2

= α β2

α

α O†O β = α β operatore unitario( )α O†O β = α β

*operatore anti-unitario( )

⎧⎨⎪

⎩⎪


Inversione Spaziale

•  Dato un ket consideriamo uno stato spazialmente invertito che supponiamo sia stato ottenuto applicando un operatore P, noto come operatore di parità:

•  Detto l’operatore posizione, ci aspettiamo che il valor medio delle coordinate — preso rispetto allo stato spazialmente invertito — sia l’opposto:

•  Questo è vero se:

33!

α

α P⎯ →⎯ α P = P α

α P †X P α = − α

X α

P †X P = −

X

P †X P = −

X ⇒ PP †

X P = −P

X ⇒

X P = −P

X ⇒

X P +P

X = 0

X


Inversione Spaziale (II)

•  Dunque P anticommuta con :

•  Vediamo ora come si trasforma per parità un autoket delle coordinate:

•  Dunque è un autoket di corrispondente all’autovalore . •  Si ha anche, per definizione:

•  Pertanto deve essere uguale all’autoket delle coordinate a meno di un fattore di fase:

34!

′x ⎯→⎯ P ′xX P

′x( ) = X P ′x = −PX′x = −P ′x ′x = − ′x( ) P ′x( )

X

P,X{ } = 0

P′x

X − ′x

P′x − ′x

X − ′x = − ′x( ) − ′x

P′x = eiδ − ′x


Inversione Spaziale (III)

•  Per convenzione si sceglie:

•  Per cui si ha:

•  Inoltre:

•  Per cui:

•  Pertanto l’operatore P è hermitiano oltre che unitario:

35!

P′x = − ′x

eiδ = 1

P 2′x = PP ′x = P − ′x = ′x

P 2 = 11

P −1 = P † = P


P eL− = eR

−

P π 0 = − π 0

P n = + n

Coniugazione di Carica

•  L’operazione della coniugazione di carica cambia il segno della carica e del momento magnetico, lasciando inalterate le altre coordinate.

•  Nella fisica classica la coniugazione di carica cambia in segno della densità di carica, della densità di corrente, del campo elettrico e del campo magnetico:

•  Le equazioni di Maxwell sono invarianti per coniugazione di carica. •  Nella fisica quantistica relativistica implica anche lo scambio di

particella e antiparticella. –  Per i leptoni implica anche un cambio di segno nel numero leptonico. –  Per i barioni implica anche un cambio di segno nel numero barionico.

36!

ρ C⎯ →⎯ −ρ, C⎯ →⎯ − ,

E C⎯ →⎯ −

E,

B C⎯ →⎯ −

B.


Coniugazione di Carica (II)

•  Consideriamo particelle di spin ½, nella rappresentazione delle coordinate .

•  Per un elettrone l’equazione di Dirac si scrive:

•  Prendendo , si scrive:

•  Una lacuna nel mare delle energie negative registra l’assenza di una energia −E (E > 0) e l’assenza di una carica +e (e < 0).

•  Essa è equivalente alla presenza di un positrone di energia +E > 0 e carica −e > 0.

•  Ma si può scrivere direttamente anche l’equazione di Dirac per il positrone.

37!

p − ecA − mc

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ψ = i∂ − e

cA − mc

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ψ = i

∂∂xµ

− ecAµ

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟γ µ − mc

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ψ = 0


= c = 1!"#$%&'

(!"!

"!"#

#

##

$")""! $")"!

p − eA − m( )ψ = i∂ − eA − m( )ψ = i∂∂xµ

− eAµ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟γ µ − m

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ψ = 0

E = ± me2 + p2

ψα ′x( ) = ′x α

Coniugazione di Carica (III)

•  Corrispondenza 1-1 tra soluzioni a energia negativa dell’equazione di Dirac per l’elettrone: e soluzioni a energia positiva dell’equazione di Dirac per il positrone:

•  Cerchiamo un operatore che trasformi le due equazioni l’una nell’altra.


p + eA − m( )ψ C = i∂ + eA − m( )ψ C = i∂∂xµ

+ eAµ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟γ µ − m

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ψ C = 0

p − eA − m( )ψ = i∂ − eA − m( )ψ = i∂∂xµ

− eAµ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟γ µ − m

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ψ = 0

Coniugazione di Carica (IV)

•  Prendendo la complessa coniugata dell’equazione di Dirac per l’elettrone, moltiplicando per −1 e ricordando che Aµ è reale si ottiene:

•  Se riusciamo a trovare una matrice non-singolare tale che:

•  Allora avremo, come cercato:


i∂∂xµ

= − i∂∂xµ

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

*

, Aµ = Aµ( )* ⇒

i∂∂xµ

− eAµ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟γ µ − m

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ψ = 0

i∂∂xµ

+ eAµ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟γ µ( )* + m⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ψ * = 0

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

Cγ 0

Cγ 0( ) γ µ( )* Cγ 0( )−1 = −γ µ

Cγ 0( ) i∂∂xµ

+ eAµ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟γ µ( )* + m⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ Cγ 0( )−1 Cγ 0( )ψ * = 0

− i∂∂xµ

+ eAµ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟γ µ + m

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ Cγ 0( )ψ * = 0 ⇒ i

∂∂xµ

+ eAµ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟γ µ − m

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ Cγ 0ψ *( )C ψ †γ 0( )T =Cψ T

ψC

= 0

ψ =ψ †γ 0

Coniugazione di Carica (V)

•  Costruiamo esplicitamente nella rappresentazione in cui: Si ha:


γ 0 =

1 0 0 00 1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

, γ 1 =

0 0 0 10 0 1 00 −1 0 0−1 0 0 0

, γ 2 =

0 0 0 −i0 0 i 00 i 0 0−i 0 0 0

, γ 3 =

0 0 1 00 0 0 −1−1 0 0 00 1 0 0

γ µ ,γ ν{ } = 2gµν 11, µ,ν = 0,1,2,3

γ 0( )† = γ 0( )* = γ 0( )−1 = γ 0( )T = γ 0 , γ α( )† = −γ α , α = 1,2,3

γ 0 γ α( )* γ 0 = γ 0 γ αγ 0( )* = −γ 0 γ 0γ α( )* = −γ 0γ 0 γ α( )* = − γ α( )* = γ α( )†⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

*

= γ α( )T

γ 0 γ 0( )* γ 0 = γ 0γ 0γ 0 = γ 0 = γ 0( )T⎧

⎨⎪

⎩⎪⎪

γ 0 γ µ( )* γ 0 = γ µ( )T , µ = 0,1,2,3

Cγ 0( ) γ µ( )* Cγ 0( )−1 = Cγ 0 γ µ( )* γ 0( )−1C−1 = Cγ 0 γ µ( )* γ 0C−1 = C γ µ( )T C−1

Cγ 0

γ µ( )T = γ µ , µ = 0,2−γ µ , µ = 1,3

⎧⎨⎪

⎩⎪

gµν =

1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

Coniugazione di Carica (VI)

•  Per cui si deve avere:

•  Una possibile scelta è:


Cγ 0( ) γ µ( )* Cγ 0( )−1 = −γ µ

C γ µ( )T C−1 = −γ µ

γ µ( )T = −C−1γ µC

C γ µ( )T = −γ µC

Cγ µ = −γ µC, µ = 0,2Cγ µ = γ µC, µ = 1,3

⎧⎨⎪

⎩⎪

γ µ( )T = γ µ , µ = 0,2−γ µ , µ = 1,3

⎧⎨⎪

⎩⎪

C = iγ 2γ 0γ µ ,γ ν{ } = 2gµν 11, µ,ν = 0,1,2,3

Cγ 0 = iγ 2γ 0γ 0 = −iγ 0γ 2γ 0 = −γ 0CCγ 1 = iγ 2γ 0γ 1 = −iγ 2γ 1γ 0 = +iγ 1γ 2γ 0 = γ 1CCγ 2 = iγ 2γ 0γ 2 = −iγ 2γ 2γ 0 = −γ 2CCγ 3 = iγ 2γ 0γ 3 = −iγ 2γ 3γ 0 = +iγ 3γ 2γ 0 = γ 3C

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

Coniugazione di Carica (VII)

•  Per si ottengono pertanto le proprietà:

•  Avremo quindi, per l’operatore C di coniugazione di carica:


C† = iγ 2γ 0( )† = −i γ 0( )† γ 2( )† = −iγ 0 −γ 2( ) = −iγ 2γ 0 = −C

C−1 = iγ 2γ 0( )−1 = i−1 γ 0( )−1 γ 2( )−1 = −iγ 0 −γ 2( ) = −iγ 2γ 0 = −C

CT = iγ 2γ 0( )T = i γ 0( )T γ 2( )T = iγ 0γ 2 = −iγ 2γ 0 = −C

γ µ( )† = γ µ , µ = 0−γ µ , µ = 1,2,3

⎧⎨⎪

⎩⎪

γ µ( )−1 = γ µ , µ = 0−γ µ , µ = 1,2,3

⎧⎨⎪

⎩⎪

γ µ( )T = γ µ , µ = 0,2−γ µ , µ = 1,3

⎧⎨⎪

⎩⎪

C = iγ 2γ 0

C† = C−1 = CT = −C

ψ C = Cψ = Cγ 0ψ * = iγ 2γ 0γ 0ψ * = iγ 2ψ *

Cψ = Cγ 0ψ * = iγ 2ψ *

C eL− = eL

+

C u = u

C d = d

C n = n

C γ = − γ

C π 0 = + π 0

C 2ψ = CCψ = C iγ 2ψ *( ) = iγ 2 iγ 2ψ *( )* = iγ 2 −i( ) −γ 2( )ψ⎡⎣

⎤⎦ =

= iγ 2 iγ 2ψ( ) = −γ 2γ 2ψ =ψ

C 2 = 11 C −1 = C † = C

Operatori Anti-Lineari

•  Sia un operatore lineare L, sia un operatore anti-lineare A mappa uno spazio di ket E in se stesso:

•  Tuttavia essi hanno un diverso comportamento quando si applicano a combinazioni lineari di ket. Per un operatore lineare:

•  Si definisce invece anti-lineare un operatore per il quale:

•  In particolare un operatore anti-lineare non commuta con una costante, quando essa è considerata come un operatore moltiplicativo alla sua destra:


α ∈E( ) L⎯ →⎯ L α ∈E( )α ∈E( ) A⎯ →⎯ A α ∈E( )

Ac = c*A

L cα α + cβ β( ) = cαL α + cβL β , ∀ α , β ∈E ∀cα ,cβ ∈

A cα α + cβ β( ) = cα*A α + cβ*A β , ∀ α , β ∈E ∀cα ,cβ ∈

Operatori Anti-Lineari (II)

•  Il prodotto di n operatori lineari o anti-lineari è: –  Lineare se il numero di fattori anti-lineari è pari; –  Anti-lineare se il numero di fattori anti-lineari è dispari.

•  Un bra, per definizione è un funzionale lineare:

•  Per gli operatori lineari vale l’assioma associativo:

•  Nel caso di un operatore anti-lineare A l’assioma associativo non vale, in quanto è un funzionale anti-lineare, mentre si suppone che un bra sia un funzionale lineare. Dobbiamo perciò introdurre una coniugazione complessa per rendere lineare:


β A

β L( ) α = β L α( ) =def

β L α

β ∈E( ) α⎯ →⎯ α β ∈( )

β A( ) α = β A α( )⎡⎣

⎤⎦*=def

β A α⎡⎣

⎤⎦*

β A

Operatori Anti-Lineari (III)

•  Dalla definizione di coniugato hermitiano e di prodotto interno: abbiamo trovato, per gli operatori lineari:

•  Per gli operatori anti-lineari troviamo invece:


γ X † CD← →⎯⎯ X γ

β α = α β*

β L α = β L α( ) = α L†( ) β{ }* = α L† β*

β L α = α L† β*

β A α( ) = α A†( ) β{ }* = α A† β( )β A α( ) = α A† β( )

Operatori Anti-Unitari

•  Un operatore anti-lineare Θ che trasforma: si dice anti-unitario se:

•  Dovendo essere: segue che:

46!

α Θ⎯ →⎯ αΘ =Θ α

β Θ⎯ →⎯ βΘ =Θ β

βΘ αΘ = β Θ†( ) Θ α( ) = β α*= α β , ∀ α , β


β Θ†( ) Θ α( ) = β Θ†Θ α( )⎡⎣

⎤⎦*

β Θ†( ) Θ α( ) = β α*

Θ†Θ =ΘΘ† = 11

Operatori Anti-Unitari (II)

•  Un operatore anti-unitario Θ si può sempre scrivere nella forma: dove:   U è un operatore unitario;   K è l’operatore di complessa coniugazione:

•  Genera il complesso coniugato di ogni coefficiente che moltiplica un ket e sta alla destra di K:

•  Infatti Θ è antilineare, in quanto:

47!

Θ = UK

Kcα α = cα*K α

Θ cα α + cβ β( ) = UK cα α + cβ β( ) = U Kcα α +Kcβ β( ) == U cα

*K α + cβ*K β( ) = Ucα*K α + Ucβ

*K β =

= cα*UK α + cβ

*UK β = cα*Θ α + cβ

*Θ βDOMENICO GALLI — Fisica delle Alte Energie agli Acceleratori — Operatori C, P e T!

•  Consideriamo inoltre l’operatore K:

•  Sviluppando in una base di autoket , si ha: in quanto l’operatore K non modifica i ket della base (avendo essi componenti 0 o 1 rispetto alla base stessa):

α = a i( ) a i( ) αi=1

N

∑

αK = K α = K a i( ) a i( ) αi=1

N

∑ = K a i( ) α a i( )i=1

N

∑ = a i( ) α*

K a i( )i=1

N

∑ =

= a i( ) α*

a i( )i=1

N

∑

Operatori Anti-Unitari (III)

48!

α K⎯ →⎯ αK = K α

α

a i( ) a j( ) = δ i, j

a i( ) ,i = 1,…,N{ }


Operatori Anti-Unitari (IV)

•  Avremo quindi:

•  Per quanto riguarda il corrispondente duale :

49!

αΘ =Θ α = UK α = UK a i( ) α a i( )i=1

N

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟= U a i( ) α

*

a i( )i=1

N

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟=

= a i( ) α*

U a i( )i=1

N

∑

βΘ =Θ β = UK β = UK a i( ) β a i( )i=1

N

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟= U a i( ) β

*

a i( )i=1

N

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟=

= a i( ) β*

U a i( )i=1

N

∑βΘ

CD← →⎯⎯ βΘ

βΘ = β Θ† = a i( ) β a i( ) U †i=1

N

∑DOMENICO GALLI — Fisica delle Alte Energie agli Acceleratori — Operatori C, P e T!

Operatori Anti-Unitari (V)

•  Per cui si ha: e l’operatore Θ = UK risulta anti-unitario.

50!

βΘ αΘ = a i( ) β a i( ) U †i=1

N

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟

a j( ) α*

U a j( )j=1

N

∑⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟=

= a i( ) β a i( ) U †U a j( ) a j( ) α*

j=1

N

∑i=1

N

∑ =

= a i( ) β a i( ) a j( ) a j( ) α*

j=1

N

∑i=1

N

∑ = a i( ) β δ i, j aj( ) α

*

j=1

N

∑i=1

N

∑ =

= a i( ) β a i( ) α*

i=1

N

∑ = a i( ) β α a i( )i=1

N

∑ = α a i( ) a i( ) βi=1

N

∑ =

= α β = β α*


Inversione Temporale

•  Dato un ket consideriamo uno stato temporalmente invertito che supponiamo sia stato ottenuto applicando un operatore T, noto come operatore di inversione temporale:

•  Consideriamo l’evoluzione temporale di uno stato fisico. Detto lo stato (al tempo t) di un sistema che al tempo t0 è rappresentato dal ket , si ha, essendo H l’operatore hamiltoniano:

51!

α

α T⎯ →⎯ αT = T α


α

α ,t0;t

α ,t0 = 0;t = δt = 11 − iHδt

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟α

Inversione Temporale (II)

•  Se il moto soddisfa la simmetria per inversione temporale ci aspettiamo di ottenere lo stesso stato: 1.  Applicando T al sistema al tempo t = 0 e lasciando evolvere il sistema per

il tempo δt > 0 sotto l’azione della hamiltoniana H; 2.  Facendo evolvere il sistema per il tempo t = −δt < 0 e quindi applicando T:

•  Affinché questa relazione sia vera per ogni ket deve essere:


11 − iHδt

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟T α = T 11 − iH

−δt( )⎛

⎝⎜⎞⎠⎟α

−iHT α = T i H α

Inversione Temporale (III)

•  Se T fosse unitario: –  Avremmo:

–  Nel caso di una particella libera, detto l’impulso, si ha:

–  Ma ci aspettiamo che cambi segno, ma non . •  Se invece T è anti-unitario:

–  Si ha:

–  Nel caso di una particella libera otteniamo, come atteso:


−iHT α = TiH α = iTH α ⇒ −HT = TH ⇒ T −1HT = −Hp

T −1p2

2mT = −

p2

2m p

p2

−iHT α = T iH α = −iT H α ⇒ HT = T H ⇒ T −1HT =H

T −1p2

2mT =

p2

2m

H =p2

2m⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

Prof. Domenico Galli Dipartimento di Fisica

[email protected] http://www.unibo.it/docenti/domenico.galli

http://lhcbweb2.bo.infn.it/bin/view/GalliDidattica

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