Esercizio 1 Fisica Generale A - Università di...

5. Esercizi di Statica

Fisica Generale A

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December 20, 2011

Esercizio 1

•! Un’asta di peso (vedi figura) è appoggiata su due supporti A e B, distanti, dal baricentro G dell’asta, rispettivamente a = 1.1 m e .

•! Calcolare la forza d’appoggio dell’asta sul supporto A. •! ! = 573.

p =

! +110

N

b =

! +101000

m

2!Domenico Galli – Fisica Generale A – E 5. Esercizi di Statica!

G

A Ba b

Esercizio 1 (II)

•! Poiché l’asta si trova in equilibrio, per le equazioni cardinali della statica debbono essere nulli sia la risultante delle forze applicate, sia il momento risultante delle forze esterne applicate:

•! Nel nostro caso le forze esterne sono la forza peso, applicata nel baricentro G e diretta verso il basso e le reazioni vincolari (forze di appoggio) applicate in A e B e dirette verso l’alto.

•! Prendendo soltanto le componenti verticali (le uniche non nulle), la prima equazione cardinale della statica si scrive:

p = RnA + RnB

!R e( ) =

!0,

!M e( )

O( ) =!0

!RnA

!RnBG

A Ba b!p


Esercizio 1 (III)

•! Considerando il baricentro G come centro di riduzione, la seconda equazione cardinale della statica si scrive:

•! Il sistema di equazioni: ha 2 equazioni e 2 incognite e consente quindi di calcolare RnA e RnB.

•! Nel nostro caso:

nA nBaR bR=

nA nB

nA nB

p R RaR bR= +!

" =#

1 573 1N N 57.4N10 101.1m10 573 10m m 0.583m

1000 1000

p

a

b

!

!

+ += = =

=+ += = =


!RnA

!RnBG

A Ba b!p

Esercizio 1 (IV)

•! Per cui si ha: 57.4N

1.1 0.5831.1 1.8870.5831.887 57.4N

2.887 57.4N57.4 N 19.9N2.887

nA nB

nA nB

nB nA nA

nA nA

nA

nA

R RR R

R R R

R RR

R

+ =!" =#

= =

+ ==

= =


!RnA

!RnBG

A Ba b!p

Esercizio 2

•! Su di un tavolo, di peso pari a p = 100 N, appoggiato sul pavimento, si esercita una forza attiva con direzione orizzontale e modulo pari a F = 10 N, applicata ai suoi piedi.

•! Il coefficiente di attrito statico vale f = 0.20 e il coefficiente di attrito dinamico vale µ = 0.15.

•! Quanto vale l’intensità della forza di attrito?


Esercizio 2 (II)

•! La forza di attrito radente è data da:

•! Per calcolare la forza di attrito radente, è quindi necessario innanzitutto determinare la forza di soglia Fsoglia per sapere se si tratti di attrito radente statico o di attrito radente dinamico, ovvero se il tavolo rimane fermo o si muove.

•! Nel nostro caso: per cui il tavolo rimane fermo (l’attrito è statico).

!Rt2

!Rt1

!F


!Rt =

!Rts( ) =

!F se

!F < Fsoglia = f

!Rn

!Rtd( ) = µ

!Rn se

!F ! Fsoglia = f

!Rn

"#$

%$

Fsoglia = f!Rn = 0.20 !100N = 20N

!F = 10N < 20N = Fsoglia

Esercizio 2 (III)

•! Siamo perciò in condizioni di equilibrio statico. •! Per la prima equazione cardinale della statica si deve avere:

•! L’intensità della forza di attrito vale perciò:

!Rt2

!Rt1

!F

!R e( ) =

!0 !

!Rts( ) +!F =!0


!Rt =

!Rts( ) =

!F = 10 N

Esercizio 3

•! Su di un tavolo, di peso pari a p = 100 N, appoggiato sul pavimento, si esercita una forza attiva con direzione orizzontale e modulo pari a F = 30 N, applicata ai suoi piedi.

•! Il coefficiente di attrito statico vale f = 0.20 e il coefficiente di attrito dinamico vale µ = 0.15.

•! Quanto vale l’intensità della forza di attrito?


Esercizio 3 (II)

•! La forza di attrito radente è data da:

•! Per calcolare la forza di attrito radente, è quindi necessario innanzitutto determinare la forza di soglia Fsoglia per sapere se si tratti di attrito radente statico o di attrito radente dinamico, ovvero se il tavolo rimane fermo o si muove.

•! Nel nostro caso: per cui il tavolo si muove (l’attrito è dinamico).

!Rt2

!Rt1

!F


!Rt =

!Rts( ) =

!F se

!F < Fsoglia = f

!Rn

!Rtd( ) = µ

!Rn se

!F ! Fsoglia = f

!Rn

"#$

%$

Fsoglia = f!Rn = 0.20 !100N = 20N

!F = 30N > 20N = Fsoglia

Esercizio 3 (III)

•! Non siamo dunque in condizioni di equilibrio statico. •! Trattandosi di attrito radente dinamico, l’intensità della forza di

attrito vale:

!Rt2

!Rt1

!F


!Rt =

!Rtd( ) = µ

!Rn = 0.15!100N = 15 N

Esercizio 4

•! Sia dato il sistema di carrucole di massa trascurabile mostrato in figura.

•! Determinare la forza F necessaria per stabilizzare il sistema se la massa M ha peso p = 1000 N.

•! Determinare inoltre la reazione vincolare totale del soffitto.

F

M


Esercizio 4 (II)

•! Applicando le equazioni cardinali della statica alla carrucola 1 si ha:

•! Per la carrucola 2 si ha:

•! Infine per la carrucola 3 si ha:

!R =

!0

M u( ) = 0

!"#

$#%

!T1 +!T2 +!p =!0

T1r &T2r = 0

!"#

$#%

T1 +T2 & p = 0T1 = T2

!"#

$#% T1 = T2 =

p2

!T1

!T2

!p

1!T3

!T4

!T1

2 !F

!T3

!T5

3

!R =

!0

M u( ) = 0

!"#

$#%

!T3 +!T4 +!T1 =!0

T3r &T4r = 0

!"#

$#%

T3 +T4 &T1 = 0T3 = T4

!"#

$#% T3 = T4 =

T12

!R =

!0

M u( ) = 0

!"#

$#%

!F +!T3 +!T5 =!0

Fr &T3r = 0 % F = T3

!"#

$#F

M

1

23 !

T2!T1

!T3

!T4


Esercizio 4 (III)

•! Avremo perciò:

•! Per quanto riguarda la reazione vincolare totale del soffitto, considerato che la carrucola 3 non è appesa al soffitto, si ha:

F = T3 =T12= p4= 1000N

4= 250N

R = T2 +T4 =p2+ p4= 34p = 3

41000N = 750N


F

M

1

23 !

T2!T1

!T3

!T4

Esercizio 5



•! Se la forza stabilizzante F è diretta lungo la verticale verso terra, determinare inoltre la reazione vincolare totale del soffitto.

F

M


Esercizio 5 (II)




!T1

!T3

!p

1

!T2

!T1

!T4

2!T2

F

M

!T1

!T2

!T3

1

2

3!T4

!T5

!T4

!T5

3!T3

!F

!R =

!0

M u( ) = 0

!"#

$#%

!T1 +!T2 +!T3 +!p =!0

T1r &T3r = 0

!"#

$#%

T1 +T2 +T3 & p = 0T1 = T3

!"#

$#

!R =

!0

M u( ) = 0

!"#

$#%

!T1 +!T2 +!T4 =!0

T1r &T2r = 0

!"#

$#%

T1 +T2 &T4 = 0T1 = T2

!"#

$#

!R =

!0

M u( ) = 0

!"#

$#%

!F +!T4 +!T3 +!T5 =!0

Fr &T3r = 0

!"#

$#%

F +T4 +T3 &T5 = 0F = T3

!"#

$#


Esercizio 5 (III)

•! Riassumendo:

1 2 31 2 3

1 3

1 2 4

1 2 4 4

4 3 5

5 53

0

3 030

22 0 23

0 42 0 43

T T T FT T T ppT T F p F

T T TT T F T T F pF T T T

F F F T T F pF T

= = =! + + " = !!#$ $=%$ $ " = & =

$ $+ " =!$ $&## #= " = & = =%$ $$ $+ + " =!$ $# + + " = & = ==$ $% %%

F = p3= 1000N

3= 333N

T5 =43p = 4 !1000N

3= 1333N

"

#$$

%$$


F

M

!T1

!T2

!T3

1

2

3!T4

!T5

Esercizio 6



•! Se la forza stabilizzante F è diretta lungo la verticale verso terra, determinare inoltre la reazione vincolare totale del soffitto.

F

M


Esercizio 6 (II)




!R =

!0

M u( ) = 0

!"#

$#%

!T1 +!T2 +!T3 +!p =!0

T1r &T3r = 0

!"#

$#%

T1 +T2 +T3 & p = 0T1 = T3

!"#

$#

!T1

!T3

!p

1

!T2

!F

!T4

2!T1!T4

!T5

3!T2

F

M

12

3

!T1

!T2

!T3

!T4

!T5

!R =

!0

M u( ) = 0

!"#

$#%

!F +!T1 +!T4 =!0

Fr &T1r = 0

!"#

$#%

F +T1 &T4 = 0F = T1

!"#

$#

!R =

!0

M u( ) = 0

!"#

$#%

!T4 +!T2 +!T5 =!0

T4r &T2r = 0

!"#

$#%

T4 +T2 &T5 = 0T4 = T2

!"#

$#


Esercizio 6 (III)

•! Riassumendo:

1 2 31 3

1 32 4

1 44 2 4

1

4 2 5

4 2 5 5

0

00 2

2 00 42 2 0 4

T T T pT T FT TT T

F T TF F T T T F

F TpF F F p FT T T

T T F F T T F p

!! + + " =!# = =$# = #%# =## + " =!# #& + " = & = =$$ $=%# #

# # + + " = & =+ " =!# #$ =# # + " = & = =%% %

F = p4= 1000N

4= 250N

R = T5 +T3 = p +p4= 54p = 5

41000N = 1250N

!

"##

$##


F

M

12

3

!T1

!T2

!T3

!T4

!T5

Esercizio 7

•! Un punto materiale di peso p = 11.8 N è fissato al soffitto tramite un cavo inestensibile di massa trascurabile e lunghezza r = 1.2 m e tramite una molla di lunghezza a riposo trascurabile (l0 = 0 m) e costante elastica k = 40 N/m.

•! Cavo e molla sono entrambi fissati in un’estremità al soffitto (a distanza r l’uno dall’altro) e nell’altra al punto materiale.

•! Calcolare, all’equilibrio, la distanza d del punto dal soffitto.

rr

p

k


Esercizio 7 (II)

•! La condizione di equilibrio si scrive:

•! Facendo riferimento alla figura e considerando le componenti lungo j, in modo da eliminare la tensione T del cavo, si ha:

•! !l si può esprimere mediante il teorema dei seni: per cui: r

r

!p

l!

ı !

2 2! "#

!

2!

!

!

R =!T +!Fe +!p =!0

cos cos cos2 2ep F k l! !! = = "

sin cossin sin2 2 2

cos2

l rl r r

! " "" "

"

# $%& '( )= = * + =+

sincos cos cos sin

2 2cos2

p k l k r kr! ! !! !!

" #$ %

= & = =$ %$ %' (


Esercizio 7 (III)

•! Abbiamo dunque:

pcos! = kr sin! " tan! = pkr

= 11.840 #1.2

= 0.245833

! = arctan0.245833= 0.241053d = r sin! = 1.2m # 0.238725 = 0.286m


rr

!p

l!

ı !

2 2! "#

!

2!

!

Esercizio 8

•! Una scala, il cui peso è distribuito uniformemente lungo tutta la sua lunghezza, poggia con una estremità su di un piano orizzontale scabro (coefficiente di attrito statico f = 0.2) e con l’altra contro una parete verticale, anch’essa scabra (f = 0.2).

•! Si determini l’angolo di minima inclinazione !min che la scala può formare con il piano orizzontale senza scivolare.

A

B

!


Esercizio 8 (II)

•! Le forze che agiscono sulla scala sono 5: la forza peso, le reazioni vincolari del piano orizzontale e della parete verticale, infine le forze di attrito statico esercitate dal piano orizzontale e dalla parete verticale.

•! Chiamiamo p il peso della scala e 2l la sua lunghezza. Le forze peso esercitate su ogni sua parte sono equivalenti a una forza con direzione verticale applicata al suo baricentro.

•! Prendendo G come centro di riduzione, le equazioni cardinali della statica si scrivono:

•! Scomponiamo la prima nelle componenti orizzontale e verticale.

!R e( ) =

!p +!RnA +

!RtA +

!RnB +

!RtB =

!0

!M e( )

G( ) =!RnA +

!RtA( )! A"G

" !""""( ) + !RnB + !RtB( )! B "G" !""""( ) = !0

#$%

&%


!RtA A

B

G!p

!RtB !

RnB

!RnA

!

!

Esercizio 8 (III)

•! Se indichiamo con i simboli dei vettori senza freccia i moduli (non le componenti) abbiamo:

•! Prendendone il modulo e scegliendo G come centro di riduzione, la seconda equazione cardinale della statica può essere scritta come:

!p +!RnA +

!RtA +

!RnB +

!RtB =

!0 !

RtA " RnB = 0p " RnA " RtB = 0

#$%

&%!

RnB = RtARnA + RtB = p

#$%

&%

!RnA +

!RtA( )! A" G( ) + !RnB +

!RtB( )! B " G( ) = !0

RnAl sin#2"$

%&'

()*

cos$" #$ %$

" RtAl sin$ " RtBl sin#2"$

%&'

()*

cos$" #$ %$

" RnBl sin$ = 0

RnA " RtB( )cos$ " RnB + RtA( )sin$ = 0

tan$ =RnA " RtB

RtA + RnB


!RtA A

B

G!p

!RtB !

RnB

!RnA

!

!

Esercizio 8 (IV)

•! Se aggiungiamo le due espressioni della massima forza di attrito radente statico (sul pavimento e sulla parete), otteniamo un sistema di 3 equazioni e 2 disequazioni:

•! Utilizzando una parte di queste relazioni siamo in grado di risolvere il problema.

RnB = RtA

RnA + RtB = p

tan! =RnA " RtB

RtA + RnB

RtA # f RnA

RtB # f RnB

$

%

&&&&

'

&&&&


!RtA A

B

G!p

!RtB !

RnB

!RnA

!

!

Esercizio 8 (V)

RnB = RtA

RnA + RtB = p

tan! =RnA " RtB

RtA + RnB

RtA # f RnA

RtB # f RnB

$

%

&&&&

'

&&&&

tan! =RnA " RtB

RtA + RnB

=RnA " RtB

2RtA

#RnA " f RnB

2RtA

=

=RnA " f RtA

2RtA

#RnA " f f RnA( )

2 f RnA( ) =RnA " f 2 RnA

2 f RnA

=

=1" f 2

2 f28!Domenico Galli – Fisica Generale A – E 5. Esercizi di Statica!

!RtA A

B

G!p

!RtB !

RnB

!RnA

!

!

Esercizio 8 (VI)

•! Otteniamo infine:

tan! " 1# f2

2 f= 1# 0.2

2

2 $ 0.2= 2.40

!min = arctan 2.40( ) = 1.176 rad = 67.38°


!RtA A

B

G!p

!RtB !

RnB

!RnA

!

!

Esercizio 9

•! Un punto materiale di peso p = 0.98 N è situato all’estremità di una sbarretta indeformabile, di peso trascurabile e lunghezza r = 0.1 m.

•! L’estremità opposta della sbarra è incernierata in O a una parete verticale in modo tale che la sbarra stessa si possa muovere soltanto in senso verticale.

•! A una distanza h = 0.2 m da O, verticalmente sopra al punto, è fissato l’estremo di una molla (k = 50 N/m) di lunghezza a riposo pari a l = 0.12 m.

•! La molla è fissata al punto materiale nel suo estremo opposto.

•! Determinare, all’equilibrio statico, l’allungamento della molla.

Or

p

k

h


Esercizio 9 (II)

•! Trattandosi di un punto materiale, soggetto alla forza peso p, alla reazione vincolare della sbarra R e alla forza elastica della molla Fe, la condizione di equilibrio si scrive:

•! Scegliendo i due versori cartesiani i e j in modo tale che i sia nella direzione della sbarra (vedi figura), e scomponendo l’uguaglianza in tali due componenti, si ha: dove abbiamo indicato con !l l’allungamento della molla (la lunghezza della molla è quindi l + !l). Per il teorema dei seni:

Or

!p

k

h!

!

ı!

!

R = !p +!R +!Fe =!0

ı!

! pcos" + R ! k #l cos$ = 0! psin" + k #l sin$ = 0

%&'

sin!h

= sin"l + #l

$ sin" = l + #lhsin!


Esercizio 9 (III)

•! Abbiamo quindi:

! psin" + k #l sin$ = 0

sin" =l + #l

hsin$

%&'

(') ! p l + #l

hsin$ + k #l sin$ = 0

! p lh! p #l

h+ k #l = 0 ) #l k !

ph

*+,

-./=

plh

#l = pl

h k ! ph

*+,

-./

=pl

hk ! p=

0.98 0 0.120.2 0 50 ! 0.98

= 0.013m


Or

!p

k

h!

!

ı!

Esercizio 10

•! Una sbarra rigida di peso trascurabile e lunghezza l = 30 cm è sospesa al soffitto tramite 2 cavi inestensibili di ugual lunghezza, applicati alla sbarra a distanza a1 = 0 e a2 = (2/3)l dall’estremo sinistro.

•! Alla sbarra sono applicate 3 massette, di peso p1 = (!/500) N, p2!= 5 N e p3 = 10–6 ! 2 N, a distanze b1 = (1/3)l, b2 = (2/3)l e b3!=!l dall’estremo sinistro.

•! Determinare, in condizione di equilibrio statico, le tensioni dei due cavi.

•! ! = 500.! T1

p1

p2

p3

T2

!

!

! !

!


Esercizio 10 (II)

•! Prendendo come centro di riduzione O il punto sulla sbarra a distanza b2 = (2/3)l dall’estremo sinistro, le equazioni cardinali della statica si scrivono:

•! Da qui si ottiene:

•! Con i dati del problema:

RM

p1 + p2 + p3 = T1 + T2

T123 ! p1

13 + p3

13 = 0

"#$

%$

T1 =12 p1 !

12 p3

T2 = p1 + p2 + p3 ! T1 = p1 + p2 + p3 !12 p1 +

12 p3 =

12 p1 + p2 +

32 p3

"#$

%$

T1

p1

p2

p3

T2

!

!

! !

!

Op1 = 1 Np2 = 5 Np3 = 0.25 N

!

"#

$#

%T1 =

12 p1 &

12 p3 = 0.375 N

T2 =12 p1 + p2 +

32 p3 = 5.875 N

!"#

$#


Esercizio 11

•! Nel dispositivo in figura, M = (! /500) kg, m = 3!10–6 ! 2 kg, " = (!/6) rad, mentre la molla ha costante elastica k!=!(1/1000) ! 2!N/m.

•! Determinare, in condizione di equilibrio statico:

–! Il modulo della reazione vincolare T del soffitto;

–! L’allungamento ##l della molla;

–! Il modulo della reazione vincolare R esercitata dal piano inclinato sulla carrucola fissa.

•! ! = 500.

k

m

!M

T


Esercizio 11 (II)

•! Per quanto riguarda la carrucola mobile, si ha:

•! Per quanto riguarda la carrucola fissa, si ha:

•! Per quanto riguarda la massa m si ha:

k

m

!M

T

!!T

!T

!p = M!g

1

!!!T

!!T

!R

3

p = Mg = T + !TTr = !T r"#$

% T =M2

g

!R = !

!"T +!""T( )

"T r = ""T r

#$%

&%'

""T = "T = T

R = T 2 + T 2 ! 2T 2 cos 90°+(( ) = T 2 1+ sin(( )#$%

&%

mg sin! + k" l # T = 0 $ " l = T # mg sin!

k


Esercizio 11 (III)

•! Introducendo i dati del problema:

•! Si ha:

k

m

!M

T

! = 500 "

M = !500 = 1 kg

m = 3#10$6!2 = 0.75 kg% = &

6 rad

k = !2

1000 = 250 N m

'

(

))

*

))

T = M2g = 0.5! 9.81= 4.90 N

R = T 2 1+ sin"( ) = 4.90 2 1+ 12( ) = 4.90 3 = 8.49 N

# l = T $ mg sin"k

=4.90 $ 0.75! 9.81! 1

2

250= 4.89 !10$3 m

%

&

'''

(

'''


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Domenico Galli Dipartimento di Fisica

[email protected] http://www.unibo.it/docenti/domenico.galli https://lhcbweb.bo.infn.it/GalliDidattica

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