LA GRAVITA COME FORZA ENTROPICA E L’ESPANSIONE … in che modo l’ologra a e la forza entropica...

Alma Mater Studiorum · Universita di Bologna

FACOLTA DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI

Corso di Laurea Magistrale in Astrofisica e Cosmologia

LA GRAVITA COME FORZAENTROPICA

E

L’ESPANSIONE ACCELERATADELL’UNIVERSO

Tesi di laurea di:

DANIELEPESOLILLO

Relatore:

FRANCESCORAVANINI

Sessione II

Anno Accademico 2010-2011

Alla mia famiglia, che ha sempre creduto in me.

Indice

Introduzione 1

1 Basi di Relativita Ristretta e Generale 5

1.1 Relativita Ristretta, Spazio-Tempo, metrica, Principi di Re-lativita Generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Formalismo tensoriale, definizione di geodetica, causalita econo-luce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Sistema di coordinate comoventi . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4 Vettori di Killing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5 Spazi massimamente simmetrici e loro costruzione . . . . . . 16

1.6 Le equazioni di campo di Einstein . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Cosmologia 23

2.1 Principio Cosmologico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2 Costruzione della metrica di FRW utilizzando spazi massima-mente simmetrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3 Dalle equazioni di campo di Einstein alle equazioni di Fried-mann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3.1 Significato della costante cosmologica come proprietadello Spazio-Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3.2 Significato della costante cosmologica come energia delvuoto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3 Entropia ed Olografia 39

3.1 Entropia termodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2 Entropia informazionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2.1 Entropia informazionale classica . . . . . . . . . . . . 40

3.2.2 Entropia informazionale quantistica . . . . . . . . . . 42

3.3 Entropia statistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.4 Entropia dei buchi neri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.4.1 Le quattro leggi della termodinamica dei buchi neri . . 47

3.5 Olografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.5.1 Il processo Susskind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

i

ii INDICE

3.5.2 La corrispondenza ADS/CFT . . . . . . . . . . . . . . 52

4 La Gravita come forza entropica 574.1 Proprieta emergente e forza entropica . . . . . . . . . . . . . 574.2 Foglio luce e schermo olografico . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.3 Entropia limite di tipo spazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.4 Entropia limite covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.5 Condizione di non espansione ed equazione di Raychaudhuri . 66

4.5.1 Significato di forza taglio, torsione ed espansione. . . . 674.6 La forza entropica nel modello olografico . . . . . . . . . . . . 684.7 Calcolo della legge di gravitazione di Newton come forza en-

tropica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.8 Studio del potenziale Newtoniano nel modello olografico . . . 724.9 Estensione relativistica della legge di Newton e derivazione

delle equazioni di Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.10 Le equazioni di Friedmann nel modello olografico . . . . . . . 76

5 L’entropia dell’Universo e il suo legame con la gravita comeforza entropica 815.1 Come quantificare l’aumento di Entropia dell’Universo . . . . 815.2 La pressione negativa causata dalla forza entropica come pos-

sibile spiegazione per l’espansione accelerata dell’Universo . . 865.2.1 Interpretazione come Dark Energy . . . . . . . . . . . 865.2.2 Interpretazione come forza entropica . . . . . . . . . . 89

5.3 La forza entropica come possibile spiegazione per l’espansioneaccelerata dell’Universo durante l’epoca inflazionaria . . . . . 955.3.1 La pressione entropica negativa che guida l’inflazione . 965.3.2 Calcolo del numero effettivo dei gradi di liberta e del

valore della correzione sull’entropia . . . . . . . . . . . 97

Conclusioni 101

A Distanze e orizzonti in Cosmologia 103

B Calcolo dei coefficienti dei termini di superficie 107

Ringraziamenti 111

Bibliografia 114

Elenco delle figure

1.1 Grafico del sistema di coordinate[4]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2 Tipi differenti di 4-vettori[4]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3 Diagramma spazio temporale per 3 andamenti differenti: in rosso eventi di

tipo luce (fotoni), in verde eventi di tipo tempo di una particella massiva in

moto uniforme, in blu eventi di tipo tempo di una particella massiva in moto

accelerato. Gli eventi di tipo spazio giacciono all’esterno delle bisettrici rosse. . 12

1.4 Sistema di coordinate comoventi[5]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5 La figura (a) mostra la linea di mondo di una particella massiva come una curva

di tipo tempo, sempre all’interno del cono-luce e con un ds sempre positivo dato

da ds2 = gµνdxµdxν . L’intervallo di tempo τ e sempre positivo. La figura (b)

riporta il caso dell’andamento di una particella non massiva (fotone) in cui le

linee di mondo sono tangenti ai coni-luce, l’intervallo di tempo τ e sempre nullo. 14

2.1 La figura (a) mostra una superficie a curvatura nulla k = 0, la figura (b) mostra

una superficie a curvatura positiva k = 1, la figura (c) mostra una superficie

con curvatura negativa k = −1[8]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2 Il grafico raffigura l’andamento dei vari fattori di scala in base alla curvatura

e al valore della costante cosmologica. La curva (a) rappresenta l’equazione

(2.34); la curva (b) rappresenta l’equazione (2.35); la curva (c) rappresenta

l’equazione (2.36); la curva (d) rappresenta l’equazione (2.33)[6]. . . . . . . 33

2.3 Spazio de Sitter come ipersuperficie a 4 dimensioni, immaginato come un iper-

boloide. Si considera la segnatura della metrica come (+−−−) perche questo

Spazio-Tempo e una 4-sfera lorentziana immerso nel 5-spazio di Minkowski la

cui metrica e ds2 = dt2 − dw2 − dx2 − dy2 − dz2 . . . . . . . . . . . . . . 36

2.4 Spazio-Anti de Sitter, immaginato come un iperboloide. Esso e una 4-sfera

lorentziana in un 5-pseudo spazio di Minkowski con metrica ds2 = dt2 + dw2−dx2 − dy2 − dz2. Si notano le 2 coordinate temporali (t, w) e quelle spaziali

(x, y, z) considerando la segnatura della metrica come (+ +−−−) . . . . . . 37

3.1 Valore massimo dell’entropia a cui corrisponde un valore di p = 0.5. . . . . . 41

iii

iv ELENCO DELLE FIGURE

3.2 (a) Per un gas in una scatola, inizialmente tutto in un angolo, l’entropia cresce

quando il gas comincia a diffondersi, raggiungendo infine lo stato uniforme di

equilibrio termico. (b) Nel caso della gravita, le cose vanno in maniera opposta.

Un sistema di corpi gravitanti all’inizio uniformemente distribuito rappresenta

un’entropia relativamente bassa , e tendono ad aggregarsi quando l’entropia

cresce. Vi e infine un grande aumento di entropia sotto forma di buchi neri[13]. 453.3 Legame teorico tra entropia di un buco nero e bit di informazione . . . . . . 503.4 Schema del processo Susskind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.5 Rappresentazione grafica della corrispondenza ADS/CFT; il cilindro e il dia-

gramma di Penrose dello Spazio-Tempo AdS5. . . . . . . . . . . . . . . 55

4.1 Molecole che interagiscono tra loro dando vita a determinate proprieta quali la

temperatura e la pressione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.2 Un polimero libero e immerso in un bagno termico con temperatura T e portato

fuori dalla sua configurazione di equilibrio da una forza esterna F . La forza

entropica di conseguenza punta nel verso opposto[23]. . . . . . . . . . . . 594.3 Propagazione della luce su una superficie di tipo luce (foglio luce) X+ = cost[17]. 614.4 Famiglia di raggi luce su una superficie X+ fissata, in presenza di un buco

nero[17]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.5 Immagine dell’orizzonte stirato sullo schermo asintotico[15]. . . . . . . . . . 624.6 Una ipersuperficie a t = cost, di regione V e superficie B[26]. . . . . . . . . 634.7 Le quattro ipersuperfici nulle ortogonali alla superficie sferica B[18]. . . . . . 654.8 Una particella di massa m a distanza ∆x dallo schermo olografico[23]. . . . . 694.9 Una particella di massa m vicino allo schermo olografico sferico. L’energia e

ugualmente distribuita sul numero di bit occupati, ed e equivalente alla massa

M che emerge nella parte di spazio circondata dallo schermo[30]. . . . . . . 71

5.1 Queste 2 figure mostrano l’orizzonte delle particelle e l’orizzonte degli eventi in

funzione dela distanza comovente e della distanza propria[43]. . . . . . . . . 835.2 Valori di entropia in un volume comovente[43]. . . . . . . . . . . . . . . 845.3 Entropia della materia all’interno dell’orizzonte degli eventi ed entropia dell’o-

rizzonte degli eventi.[43] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Introduzione

Lo studio della Relativita Generale, negli anni, ha aperto svariate porte allostudio di diversi fenomeni fisici e astrofisici.Il concetto che sta alla base della teoria relativistica e la cosidetta gravita,facente parte, insieme all’interazione forte, all’interazione debole e all’in-terazione elettromagnetica, delle 4 forze fondamentali della natura. Unadelle sue proprieta fondamentali, quella cioe che tutti i corpi in caduta libe-ra all’interno di un campo gravitazionale hanno la stessa accelerazione, fuidentificata da Galileo all’inizio del diciassettesimo secolo.Verso la fine dello stesso secolo, Newton formulo la legge di gravitazioneuniversale, responsabile sia della forza di caduta dei gravi sia della forzadi attrazione tra pianeti ed Einstein, con la teoria della Relativita Genera-le, stabilı la connessione tra campo gravitazionale e struttura dello Spazio-Tempo.Tuttavia, ad oggi disponiamo di pochissimi elementi sulle proprieta dellaforza gravitazionale ed in particolare sulle sue caratteristiche in condizioniestreme, come quelle che presumibilmente dovevano esserci durante l’esplo-sione primordiale (Big Bang) o che compaiono nella trattazione della fisicadei buchi neri. In quest’ultimo campo si sta cercando di trovare un approc-cio alternativo, che lega la gravita alla meccanica quantistica, che potrebbeconsentire di studiare questi oggetti esotici anche in casi di gravita estrema.L’interazione gravitazionale quindi, contrariamente a cio che si potrebbecredere, e la meno conosciuta fra le interazioni fondamentali ed e l’unicadelle 4 forze a non essere stata ancora unificata tramite un’adeguata teoria.Tra i vari metodi di unificazione sviluppati, oltre ad esempio a quelli basatisulla Quantum Gravity o sulla Teoria delle Stringhe, un approccio alterna-tivo e alquanto intrigante potrebbe essere il seguente: e se la gravita nonfosse una forza fondamentale ma una forza emergente dalle proprieta delloSpazio-Tempo?Questo lavoro di tesi viene sviluppato per cercare di dare una possibile rispo-sta a questa domanda, applicare tale approccio allo studio della Cosmologiaed in particolare capire in che modo la gravita partecipi in maniera direttanel dare una spiegazione alternativa alla componente che provoca l’espan-sione accelerata dell’Universo, cioe la Dark Energy.La Dark Energy e sempre stata materia di dibattiti molto accesi tra i fisici

1

2 Introduzione

e gli astrofisici e ad oggi e il vero grande mistero che circonda la scienzadell’Universo. Non si conosce la sua vera natura e si cercano di dare diversespiegazioni sulla sua origine, mediante la formulazione di varie teorie pertentare di risolvere finalmente questo grande interrogativo.In questa tesi si cerca di dare un approccio differente sia per quanto riguardala comprensione della gravita, sia per quanto riguarda l’espansione dell’U-niverso, senza ricorrere alla Dark Energy; quest’ultima risulta direttamentelegata alla gravita intesa come forza entropica, che crea nella sottostrutturadello Spazio-Tempo una pressione negativa che provoca un’espansione acce-lerata.La natura di tale approccio viene pero da piu lontano, ovvero da quello chein fisica viene chiamato principio olografico, che suggerisce che tutto cio chee contenuto in una regione spaziale puo essere descritto da bit di informa-zione confinati sul bordo della regione stessa. La gravita allora intesa comeforza entropica, insieme al fatto che l’olografia suggerisce un legame trala struttura spazio temporale dell’Universo e il bordo di esso (inteso comeorizzonte), permette, anche attraverso il legame tra l’informazione olografa-ta sullo schermo e l’entropia che risiede in esso, di capire come l’orizzonteabbia un ruolo importante nello studio e nella possibile comprensione del-l’espansione accelerata dell’Universo.Questo stesso approccio fisico puo essere utile per cercare di capire anchein che modo l’olografia e la forza entropica possano aver guidato l’Universodurante il periodo inflazionario, fornendo anche in questo caso un’interpre-tazione diversa da quella che si da comunemente in ambito cosmologico.La grande differenza tra l’idea di Guth dell’inflazione, che si basa sulla pre-senza di un campo scalare detto inflatone, e la teoria analizzata in questatesi e costituita dal fatto che la prima e una teoria semi-classica, mentrela correzione sull’entropia che e stata trovata e discussa in questo lavoro elegata a concetti di gravita quantistica.Nella stesura di questo lavoro l’approccio per analizzare le varie tematichediscusse, e capire in che modo collegarle tra loro e stato il seguente.

• Nel primo capitolo vengono introdotte le nozioni basilari di Relati-vita Ristretta e Generale, con una particolare attenzione allo studio deivettori di Killing e alla costruzione di spazi massimamente simmetrici.

• Nel secondo capitolo viene enunciato il principio cosmologico comeintroduzione ai concetti di omogeneita ed isotropia, analizzati pero daun punto di vista piu matematico, ricorrendo agli spazi massimamentesimmetrici per costruire la metrica di Friedmann- Robertson- Walker.Quest’ultima viene utilizzata insieme alle equazioni di campo per arri-vare alle equazioni di Friedmann che governano l’evoluzione dinamicadell’Universo.Vengono dati anche 2 approcci solo in apparenza differenti per spiegareil ruolo della costante cosmologica nelle equazioni di Einstein.

Introduzione 3

• Nel terzo capitolo viene trattata la teoria sull’entropia, enunciando-ne diversi significati, sia in ambito classico sia in ambito quantistico.Successivamente si discute la connessione tra entropia ed informazioneche porta inevitabilmente al principio olografico, cioe ad una possibi-le teoria in cui tutta l’informazione e codificata sulla superficie di unipotetico orizzonte.

• Nel quarto capitolo si da la definizione di proprieta emergente colle-gandola al principio olografico; questa dualita permette di introdurreil concetto di gravita come forza entropica (quindi come forza non fon-damentale ma emergente dalle proprieta dello Spazio-Tempo).Viene accennata la fisica che permette la costruzione dei cosiddetti “fo-gli luce” e di come essi sono collegati alla definizione di un ipoteticoschermo olografico.

• Nel quinto capitolo viene studiato l’Universo come un sistema chiu-so, viene analizzato il comportamento dell’entropia sull’orizzonte percercare di dare una spiegazione alternativa alle teorie cosmologiche chestudiano il comportamento della Dark Energy. Infine si ipotizza chel’olografia possa essere applicata per spiegare anche l’espansione acce-lerata durante il periodo inflazionario, mediante una correzione quan-tistica sull’entropia dovuta ai gradi di liberta codificati sull’orizzontenell’epoca inflazionaria.

Capitolo 1

Basi di Relativita Ristretta eGenerale

La materia insegna alloSpazio-Tempo come curvarsi, loSpazio-Tempo insegna allamateria come muoversi.

Misner,Thorne, Wheeler

.

1.1 Relativita Ristretta, Spazio-Tempo, metrica,Principi di Relativita Generale

Quando si comincia a parlare di Relativita, spesso ci si imbatte in concettiche non sono per nulla intuitivi.La Relativita nel ventesimo secolo ha permesso di modificare drasticamenteil nostro concetto di vedere e capire il mondo e i fenomeni che ci circondano.La Relativita Ristretta si basa su 2 postulati:

1)Le leggi della fisica sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali.

2)La velocita della luce e la stessa in tutti i sistemi di riferimento inerziali.

In particolare la domanda principale che ci si chiede quando si studiano fe-nomeni fisici e astrofisici relativistici e la seguente:

cosa succede ad un corpo e all’ambiente circostante se ci si avvicina a velo-cita prossime a quelle della luce?

In aiuto a questa domanda ci vengono 2 effetti noti in Relativita Ristretta:la contrazione delle lunghezze e la dilatazione del tempo.

5

6 Basi di Relativita Ristretta e Generale

La prima mostra che la lunghezza di un corpo nella direzione del moto con

velocita uniforme v e ridotta di un fattore(

1− v2

c2

) 12. Chiaramente il corpo

avra la lunghezza maggiore nel S.D.R. (Sistema di riferimento) nel quale e ariposo, e questa lunghezza e chiamata lunghezza propria. Si noti anche chela lunghezza tende a zero se la velocita tende alla velocita della luce.Per la dilatazione del tempo supponiamo invece di considerare una misuradi intervallo di tempo. in questo caso l’orologio in moto solidale con il riferi-mento inerziale O’ e visto da un altro sistema inerziale O occupare sempre lamedesima posizione rispetto ad O’. Cio significa che si considerano 2 istantidistinti t′1, t′2 misurati da O’ nello stesso punto ~x′ e ci si domanda quantovalgono t1,t2. Facciamo uso della trasformazione di Lorentz inversa per itempi, ottenendo:

t2 = γ

(t′2 + ~v

c2· ~x′)

t1 = γ

(t′1 + ~v

c2· ~x′)

sottraendo membro a membro otteniamo:

T = γT0 , T = t1 − t2 , T0 = t′2 − t′1

ovvero:

T = T0√1− v2

c2

Si puo interpretare questo risultato anche dicendo che per l’orologio in motoil tempo scorre piu lentamente rispetto all’osservatore che lo vede muoversidi quanto non farebbe se fosse in quiete. Il tempo misurato da un orologioin quiete con l’osservatore viene denominato tempo proprio dell’osservatore.Un esempio puo essere tratto dallo studio dei raggi cosmici[1].Alcuni muoni che ci raggiungono e che provengono dagli strati alti dell’atmo-sfera hanno una vita cosı breve (∼ 10−8 sec) che, anche se avessero viaggiatoalla velocita della luce, avrebbero comunque impiegato un tempo dell’ordinedi dieci volte maggiore della loro vita propria, se non si considerano gli effettidella dilatazione del tempo. Queste particelle invece vengono rilevate allasuperficie della Terra perche e come se le loro alte velocita le mantenesserogiovani.Di solito nella vita quotidiana si e abituati a pensare al mondo in cui viviamocome uno spazio 3-D, considerando il tempo come una proprieta a se stantee universale. La Relativita come suo punto cardine tralascia questo modo dipensare e analizza lo spazio e il tempo come un unica proprieta della natura,cioe basa tutti i suoi concetti sul cosiddetto continuo SpazioTemporale qua-drimensionale (3+1 dimensioni). In questo quadro il quadrato dell’intervallo

1.1 Relativita Ristretta, Spazio-Tempo, metrica, Principi diRelativita Generale 7

tra 2 eventi qualsiasi definito da:

ds2 = dt2 − dx2 − dy2 − dz2 (1.1)

e invariante sotto una trasformazione di Lorentz; abbiamo quindi lo Spazio-Tempo di Minkowski.Questo Spazio-Tempo e definito come una varieta quadrimensionale dotatadi una metrica piatta, in cui esiste un particolare sistema di coordinate chericopre l’intera varieta, nel quale la metrica e ds2 = ηµνdx

µdxν1 in cui perηµν si intende la matrice:

ηµν =

1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

Questo particolare sistema di coordinate si chiama sistema di coordinate diMinkowski.Il punto di partenza per lo studio della Relativita Generale e l’estensionedel primo postulato della Relativita Ristretta e che sancisce l’equivalenzafisica di tutti i sistemi di riferimento inerziali; ovvero che le leggi della fisicasono le stesse in tutti i sistemi di riferimento. Questa assunzione porta comeconseguenza al cosiddetto principio di covarianza generale:

Le leggi della fisica sono covarianti rispetto a trasformazioni generali di coor-dinate, ovvero le equazioni della fisica devono avere una forma tensoriale.

Un secondo principio anch’esso importante che mi permette di scegliere unastruttura geometrica compatibile con le proprieta dell’interazione gravita-zionale e il principio di equivalenza tra massa inerziale e gravitazionale, cheporta alla seguente affermazione:

l’interazione gravitazionale e sempre localmente indistinguibile daun’accelerazione

dove “localmente”vuol dire in un punto dato dello Spazio-Tempo e nel suointorno infinitesimo, in cui il campo gravitazionale e statico (~g costante neltempo) e omogeneo (~g uguale in tutti i punti); estendendo infatti tale in-torno, si noterebbero effetti di accelerazione relativa tra i corpi dovuti allaradialita del campo gravitazionale. Tale principio mi dice sostanzialmente

1D’ora in avanti adotteremo la convenzione di Einstein sugli indici, per cui indici ri-petuti una volta in alto e una volta in basso si intendono sommati. Quindi o un indicesi contrae e allora si somma con un altro indice che ha lo stesso nome ma che si tro-va in posizione opposta; oppure e libero e deve comparire tale anche nell’altro membrodell’equazione. Gli indici ripetuti vengono detti muti.


che applicando un’accelerazione uguale e contraria, le forze gravitazionalipossono essere localmente eliminate.Questa completa eliminazione delle forze, per qualunque sistema fisico dato,e possibile grazie all’universalita dell’accoppiamento gravitazionale, dal mo-mento che tutti i corpi rispondono ad un campo gravitazionale esterno conla stessa accelerazione, cioe il rapporto tra la massa gravitazionale e quellainerziale ha lo stesso valore per tutti i corpi. Infatti, sotto queste condizio-ni, e sempre possibile scegliere un opportuno sistema di coordinate, detto“sistema localmente inerziale”, rispetto al quale la metrica di Riemann gµνsi riduce localmente a ηµν in corrispondenza di un punto dato e la geome-tria, nell’intorno di quel punto, ritorna ad essere di tipo Minkowskiano. Inquesto contesto diventa inevitabile rinunciare alla struttura pseudo-euclideadello Spazio-Tempo di Minkowski a favore di una struttura geometrica piugenerale, che sara quella Riemanniana dove la metrica ηµν viene sostituitacon una metrica piu generale gµν dipendente dai punti dello Spazio-Tempo.Il principio di covarianza generale ci porta ad uno Spazio-Tempo con unageometria piu ricca e diversa rispetto a quella di Minkowski (piatta). Pre-cisamente vale il seguente[1]:

Teorema 1. Condizione necessaria e sufficiente affinche una metrica siapiatta e che il suo tensore di Riemann si annulli.2

Il tensore di Riemann dipende dalla metrica e dalle sue derivate primae seconda ed e definito come segue:

Rαβγδ =∂Γαβγ∂xδ

−∂Γαβδ∂xγ

+ ΓρβγΓαρδ − ΓρδβΓαρ (1.2)

in cui la connessione affine (o simbolo di Christoffel) Γαµν e definito da3:

Γαµν=1

2gαλ(∂µgλν + ∂νgλµ − ∂λgµν) (1.3)

Praticamente una generica metrica gµν descive uno Spazio-Tempo curvo see solo se Rαβγδ 6= 0. L’annullarsi del tensore di Riemann e condizione neces-saria e sufficiente affinche esista una trasformazione di coordinate che riducala metrica alla forma di Minkowski gµν = ηµν .

1.2 Formalismo tensoriale, definizione di geodeti-ca, causalita e cono-luce

Per introdurre il formalismo tensoriale utilizzato in Relativita, considero il4-vettore unitario eµ con µ = 0, 1, 2, 3 e un sistema di coordinate in cui ho

2Un tensore che sia nullo in un sistema di riferimento sara necessariamente nullo intutti i sistemi di riferimento.

3Il simbolo di Christoffel non e un tensore.

1.2 Formalismo tensoriale, definizione di geodetica, causalita econo-luce 9

un asse di tipo tempo Ox0 e tre assi di tipo spazio Oxi con i=1,2,3; questi treassi spaziali sono ortogonali all’asse Ox0 [Fig 1.1]. Abbiamo la costruzione< eµ, eν >= ηµν dove <,> denota il prodotto pseudoscalare dello spazio diMinkowski. Se A e un 4-vettore si puo scrivere:

A = eµ ·Aµ (1.4)

Aµ sono chiamate componenti controvarianti di A. In (1.4) abbiamo usatola convenzione di Einstein sulle somme, infatti esplicitamente abbiamo:

eµ ·Aµ = e0A0 + e1A

1 + e2A2 + e3A

3 (1.5)

Analogamente le componenti covarianti di A sono definite da:

Aµ =< A, eµ >= Aν < eν , eµ > (1.6)

o anche

Aµ = ηµνAν (1.7)

Per la componente controvariante la relazione analoga alla (1.7) e

Aµ = ηµνAν (1.8)

dove ηµν e definita dalla relazione ηµνηνσ = 4δµσ [2].Usando la notazione di prodotto scalare introdotta prima, si puo facilmentevedere il segno della norma del 4-vettore A, da cui si puo fare la seguentedistinzione [Fig 1.2]:

AµAµ > 0→ A e di tipo-tempo

AµAµ < 0→ A e di tipo-spazio

AµAµ = 0→ A e di tipo-luce

Utilizzando il formalismo tensoriale si puo riscrivere la (1.1) nella seguenteforma:

ds2 = ηµνdxµdxν (1.9)

In Relativita Generale la (1.9) diventa

ds2 = gµν(x)dxµdxν (1.10)

Definito il formalismo tensoriale possiamo introdurre il concetto di causa-lita, ma prima e utile definire il significato di geodetica.Considereremo le traiettorie di particelle come geodetiche; queste ultimedescrivono la traiettoria di un punto materiale in presenza di un campo

4dove δµσ e il simbolo di Kronecker.


Figura 1.1: Grafico del sistema di coordinate[4].

Figura 1.2: Tipi differenti di 4-vettori[4].

gravitazionale e particelle di tipo tempo percorrono geodetiche che conver-gono, la convergenza e descritta dal Tensore di Riemann tramite la cosidettaequazione di deviazione geodetica[3]:

d2xα

ds2+ Γαµν

dxµ

ds

dxν

ds(1.11)

Ci si puo chiedere se esista una ragione a priori per identificare le geodetichedi tipo tempo e nulle con le traiettorie per le particelle materiali e per i fo-toni, o se fosse possibile anche un’altra scelta ( ad esempio le geodetiche ditipo spazio). Secondo la teoria newtoniana le particelle libere viaggiano inlinea retta, secondo la prima legge di Newton; sembrerebbe dunque naturaleconsiderare le geodetiche come l’analogo delle linee rette.Il significato delle geodetiche di tipo tempo e che la loro scelta, a differenza

1.2 Formalismo tensoriale, definizione di geodetica, causalita econo-luce 11

di quelle di tipo spazio, e consistente con la causalita. Lo Spazio-Tempo diMinkowski ammette un gruppo di simmetria particolare chiamato gruppodi Poincare come proprio gruppo di invarianza.Per questo se 2 eventi vicini P e Q della storia di una particella libera avven-gono su una geodetica di tipo tempo in corrispondenza dei valori di tempoproprio τ e τ + dτ , allora una trasformazione ortocrona (trasformazione chelascia invariato l’ordine temporale degli eventi) di Poincare conserva il fattoche Q avviene dopo P.Questo e consistente con la causalita perche affermiamo che l’arrivo dellaparticella in Q e causato dall’essere stata prima in P.Le geodetiche nulle hanno una proprieta particolare che le rende candidatinaturali per i segnali luminosi, esse sono associate a una velocita caratte-ristica di modulo 1; tale proprieta e fondamentale perche essa si conservasotto una trasformazione di Poincare, e quindi le geodetiche nulle ( o ditipo luce) appaiono i candidati naturali per formalizzare la costanza dellavelocita della luce.A questo punto diamo un breve accenno al gruppo di Poincare[4].Esso consiste nelle trasformazioni lineari non omogenee che lasciano ηµν in-variante; una trasformazione di Poincare e costituita da una trasformazionedi Lorentz e da una traslazione arbitraria nello Spazio-Tempo. Il gruppo diLorentz (formato dalle omonime trasformazioni ) e un sottogruppo di Poin-care e le traslazioni formano un sottogruppo invariante di esso.Il gruppo di Poincare e un gruppo a 10 parametri, di cui 6 parametri diLorentz e 4 parametri di traslazione.In conclusione le trasformazioni di Poincare costituiscono l’insieme com-pleto delle isometrie (trasformazioni di coordinate che lasciano invariata lametrica) della metrica di Minkowski e fisicamente parlando sono importan-ti perche mettono in relazione un sistema inerziale S con un altro sistemainerziale S’ in posizione generica.Un modo utile per visualizzare la struttura dello Spazio-Tempo come emer-ge dalle trasformazioni di Lorentz e quello di ricorrere ai diagrammi spazio-temporali e di conseguenza al concetto di cono-luce.Consideriamo la coordinata spaziale x come una retta unidimensionale, chepercorre l’ascissa su un piano cartesiano e alla coordinata temporale t chepercorre l’ordinata sempre sul medesimo piano. Allora lo Spazio-Tempo sararappresentato da un piano bidimensionale avente coordiante (t, x ).Nel grafico [Fig 1.3] si osservano 3 curve di colore diverso, ognuna delle qualirappresenta un evento differente.Le bisettrici (in rosso) rappresentano gli eventi di tipo luce che si propaganodall’origine in linea retta.Gli eventi di tipo tempo invece hanno la caratteristica di propagarsi sempreall’interno delle bisettrici: infatti la linea verde rappresenta una particellalanciata dall’origine che si muove di moto rettilineo uniforme, mentre la li-nea blu rappresenta sempre una particella lanciata dall’origine, ma che si


muove di moto accelerato. Per propagarsi all’interno delle bisettrici, la par-ticella deve sempre avere velocita minore di quella della luce, quindi la suainclinazione dovra essere sempre maggiore di 45.Gli eventi di tipo tempo, spazio e luce definiscono il cosidetto cono-luce [Fig1.5]. Esso e composto da 2 falde: quella del futuro in cui t > 0, e quella delpassato in cui t < 0. La superficie del cono superiore e il luogo geometricodelle traiettorie di raggi di luce emessi in O (origine), mentre l’interno delcono superiore rappresenta gli eventi che potro raggiungere partendo da Oe viaggiando sempre a velocita inferiori a quelle della luce. Analogamente,la superficie del cono inferiore e il luogo geometrico di eventi del passato chepossono aver emanato un raggio di luce che raggiungono O, mentre l’internodel cono inferiore e l’insieme degli eventi di un segnale che viaggia sempre avelocita minore di c e raggiunge O.

Figura 1.3: Diagramma spazio temporale per 3 andamenti differenti: in rosso eventi di tipo luce(fotoni), in verde eventi di tipo tempo di una particella massiva in moto uniforme, in blu eventidi tipo tempo di una particella massiva in moto accelerato. Gli eventi di tipo spazio giaccionoall’esterno delle bisettrici rosse.

1.3 Sistema di coordinate comoventi

La cosa che ci interessa di piu e vedere come viaggia la luce nello Spazio-Tempo, precisamente come viaggia in un Universo in espansione, conside-rando una sfera che cresce al passare del tempo. Immagino di essere sullasuperficie di questa sfera, per prima cosa caratterizzo i punti della superficiecon un sistema di coordinate. Dal momento che si tratta di una sfera, le

1.3 Sistema di coordinate comoventi 13

coordinate migliori sono quelle polari. Scelto un polo P, avremo le coordi-nate ϑ e ϕ.

Figura 1.4: Sistema di coordinate comoventi[5].

Il punto P [Fig 1.4], ad esempio, potremmo essere noi mentre Q un’altragalassia: Q e caratterizzato dagli angoli ϑ e ϕ (il primo si disegna facilmentementre il secondo e meglio immaginarlo). Il fatto che l’Universo si espandanon fa cambiare le coordinate, ovvero se il raggio della sfera cresce gli angolirimangono invariati. Dunque le coordinate polari di un determinato punto,di una determinata galassia, sono costanti ed e per questo motivo che essevengono chiamate coordinate comoventi.Le richieste per la costruzione di queste coordinate sono che ogni punto delsottospazio dello Spazio-Tempo sia etichettato da tre coordinate che restinocostanti durante l’evoluzione dinamica del sistema. Ogni punto porta ancheun orologio, e tutti gli orologi sono opportunamente sincronizzati. Le trecoordinate saranno r, ϑ ,ϕ . Se accettiamo l’idea di un’evoluzione tempo-rale, dobbiamo avere la possibilita di misurare il tempo in un qualunquepunto dell’Universo in maniera omogenea. Una delle implicazioni del prin-cipio cosmologico che verra trattato nel prossimo capitolo e, come vedremo,la possibilita di definire un tempo cosmico. L’unico modo che abbiamo perdefinire questo tempo in modo fisico sara quello di riferirci a qualche gran-dezza scalare che sia uguale dappertutto, come ad esempio la densita o latemperatura[5][6].Per analizzare invece il modo matematico di definire il tempo cosmico, con-viene studiare le equazioni nel sistema di coordinate comoventi.


Queste saranno le coordinate utilizzate in Cosmologia per descrivere lametrica di Friedman-Robertson-Walker(FRW).

Figura 1.5: La figura (a) mostra la linea di mondo di una particella massiva come una curva ditipo tempo, sempre all’interno del cono-luce e con un ds sempre positivo dato da ds2 = gµνdxµdxν .L’intervallo di tempo τ e sempre positivo. La figura (b) riporta il caso dell’andamento di unaparticella non massiva (fotone) in cui le linee di mondo sono tangenti ai coni-luce, l’intervallo ditempo τ e sempre nullo.

1.4 Vettori di Killing

Siamo interessati alle trasformazioni di coordinate che lasciano invariata lametrica, cioe le trasformazioni di isometria.Considero la metrica gµν , essa e invariante sotto una trasformazione di coor-dinate x→ x′, se la metrica trasformata g′µν(x′) e funzione del suo argomentox′ allo stesso modo di come lo e gµν(x) del suo argomento x. Quindi devoavere:

g′µν(x′) = gµν(x) (1.12)

In generale ho:

g′µν(x′) =∂xα

∂x′µ∂xβ

∂x′νgαβ(x) (1.13)

e utilizzando la (1.12) posso ottenere la trasformazione di isometria:

gµν(x) =∂x′α

∂xµ∂x′β

∂xνgαβ(x′) (1.14)

1.4 Vettori di Killing 15

Utilizziamo adesso la (1.14) per caratterizzare le isometrie nel caso di tra-sformazioni infinitesime di coordinate. Una trasformazione infinitesimale edella forma:

x′µ = xµ + εξµ(x) con ε→ 0 (1.15)

Utilizziamo quest’ultima per ottenere la (1.14) al primo ordine in ε.Per prima cosa consideriamo le seguenti relazioni[7]:

∂x′α

∂xµ = δαµ + ε ∂ξα

∂xµ

∂x′β

∂xν = δβν + ε ∂ξβ

∂xν

gµν(x′) = gµν(x+ εξ) ' gµν(x) + εξγ∂gµν(x)∂xγ

Utilizzando queste relazioni all’interno di (1.14) si ottiene la seguente rela-zione5:

∂νξβ(x)gµβ(x) + ∂µξ

α(x)gαν(x) + ∂γgµν(x)ξγ(x) = 0 (1.16)

Riscriviamo ora la (1.16) in termini di componenti covarianti:

∂νξµ + ∂µξν + ξγ(∂γgµν − ∂µgγν − ∂νgγµ) = 0 (1.17)

Considerando adesso la definizione di derivata covariante in spazi curvi:

DνAµ = ∂νAµ − ΓγµνAγ (1.18)

dove Γγµν e la connessione affine, possiamo riscrivere la (1.17) nel modoseguente:

Dνξµ +Dµξν = 0 (1.19)

Quest’ultima viene chiamata equazione di Killing.Un vettore ξµ che soddisfa la (1.19) e detto vettore di Killing della metricagµν .Il problema della determinazione delle isometrie infinitesime di una data me-trica e risolto dall’individuazione dei vettori di Killing associati alla metrica.A questo punto ci si puo chiedere quale sia il numero massimo di vettori diKilling ammessi da una metrica D-dimensionale, introducendo il concetto dispazio massimamente simmetrico.

5dove abbiamo utilizzato la notazione ∂µ ≡ ∂∂xµ

.


Uno spazio metrico si dice omogeneo nell’intorno diun punto X se esistono isometrie tali da trasformare questo

punto in ogni altro punto appartenente all’intorno.Considerando i vettori di Killing, questo vuol dire che esistonovettori di Killing della metrica che in un dato punto possono

assumere qualsiasi valore (questo lo possiamo notare da (1.15)).In uno spazio D-dimensionale si possono scegliere D vettori

di Killing indipendenti che soddisfano tale requisito.

Uno spazio metrico si dice isotropo nell’intorno di un punto Xse esistono isometrie tali da lasciare il punto X invariato, cioe tali daammettere dei vettori di Killing per cui ξµ(X) = 0; per tali vettori

nel punto X vale l’equazione di Killing (1.19),per cui in D dimensioni sara possibile

scegliere D(D−1)2 vettori di Killing indipendenti.

1.5 Spazi massimamente simmetrici e loro costru-zione

Gli spazi con numero massimo possibile di vettori di Killing sono detti spazimassimamente simmetrici.Si puo far vedere che il massimo numero di vettori di Killing associabili aduno spazio metrico D-dimensionale ha D(D+1)

2 simmetrie. Uno spazio metri-co e pertanto detto massimamente simmetrico se i vettori di Killing associatialla sua metrica sono D(D+1)

2 . E chiaro che ne uno spazio globalmente omo-geneo ne tantomeno uno spazio con regioni isotrope realizzano la condizionedi spazio massimamente simmetrico. Valgono pero le seguenti proprieta:

1. Si puo dimostrare tramite le proprieta dei vettori di Killing, che unospazio isotropo in ogni suo punto e anche omogeneo e che questo tipodi spazio e massimamente simmetrico.

2. Uno spazio massimamente simmetrico e necessariamente omogeneo eisotropo in ogni suo punto.

In conseguenza di cio possiamo affermare che:

1.5 Spazi massimamente simmetrici e loro costruzione 17

uno spazio omogeneo e isotropo ha:

D + D(D−1)2 = 2D+D2−D

2 = D(D+1)2

vettori di Killing linearmente indipendenti.

In uno spazio massimamente simmetrico il Tensore di Riemann ha laproprieta di essere fissato a meno di una costante K detta costante dicurvatura:

Rαβγδ = K(gαγgβδ − gβγgαδ) (1.20)

Inoltre possiamo scrivere anche il tensore di Ricci:6

Rαβ = K(D − 1)gαβ (1.21)

ed il cosidetto scalare di curvatura:7

R = KD(D − 1) (1.22)

E possibile dimostrare, a partire dalla (1.20), che, dati due spazi massima-mente simmetrici con stesso valore della costante di curvatura K, e semprepossibile trovare una trasformazione di coordinate che trasforma uno spazionell’altro, ovvero che gli spazi massimamente simmetrici sono sostanzial-mente unici, determinati dal valore di K. Precisamente vale il seguenteteorema[7]:

Teorema 2. Date due metriche diverse, massimamente simmetriche, conuguale:

• Dimensione D dello spazio descritto.

• Curvatura K.

• Segnatura P.

posso sempre trovare una trasformazione che mandi l’una nell’altra. Quindidue metriche con stessi D,K,P descrivono lo stesso spazio.

Come si costruisce uno spazio massimamente simmetrico?L’idea e di trovarli come immersi in uno spazio D+1 dimensionale, piatto,con coordinate (x1, ...., xD, z) e metrica data da8:

ds2 = gαβdxαdxβ = Cµνdx

µdxν +K−1dz2 (1.23)

6Si ottiene facendo la contrazione del primo e terzo indice del tensore di Riemann erinominando opportunamente gli indici

7Si ottiene calcolando la traccia del tensore di Ricci, considerato come una matrice 4x4simmetrica a 10 componenti. R = gµνRµν = Rµµ

8Cµν e una matrice costante e simmetrica; µ, ν =0,1....D-1 e K costante.


Individuo un sottospazio curvo non-Euclideo D-dimensionale di tale spazio,ad esempio una superficie di una sfera che ha equazione:

KCµνxµxν + z2 = 1 (1.24)

Sulla superficie sferica dz2 e dato da:

dz2 =K2(Cµνx

µdxν)

z2

=K2(Cµνx

µdxν)

(1−KCµνxµxν)

(1.25)

Da quest’ultima possiamo ricavare la metrica della sfera da (1.23):

ds2 = Cµνdxµdxν +

K(Cµνxµdxν)2

(1−KCµνxµxν)(1.26)

Questa metrica e associata ad uno spazio massimamente simmetrico con co-stante di curvatura K.Dalla metrica (1.26) potremo ricavare la metrica di FRW; l’idea e di co-struire uno Spazio-Tempo il cui sottospazio delle tre dimensioni spaziali siamassimamente simmetrico, ovvero omogeneo ed isotropo.Ricordiamo anche che il nostro Universo non e massimamente simmetrico intutte le sue dimensioni. Esso e omogeneo e isotropo e massimamente sim-metrico solo nelle dimensioni spaziali, ma non nel tempo. Quindi il nostroUniverso e uno spazio che ha un sottospazio massimamente simmetrico. Pri-ma di addentrarci nel pieno della cosmologia diamo una breve spiegazione aquelle che sono le equazioni sicuramente piu importanti in ambito relativi-stico, che ci serviranno come base per sviluppare le equazioni di Friedmanndi cui parleremo nel paragrafo 2.3.

1.6 Le equazioni di campo di Einstein

Albert Einstein propose nel 1916 delle equazioni per determinare le com-ponenti del tensore metrico gµν , nota la distribuzione di massa che gene-ra il campo gravitazionale. Queste equazioni sono chiamate equazioni dicampo[8][9]:

Gµν = 8πGTµν (1.27)

in cui:

Gµν = Rµν − 1

2gµνR =⇒ tensore di Einstein

8πG = κ =⇒ costante di accoppiamento gravitazionale

Tµν =⇒ tensore energia− impulso

1.6 Le equazioni di campo di Einstein 19

Le equazioni di campo possono essere lette in 3 maniere differenti:

1. Ricordiamo innanzitutto che queste equazioni sono equazioni differen-ziali che permettono di determinare gµν a partire dal tensore energia-impulso Tµν . In questo modo e come se leggessimo le equazioni dadestra a sinistra, ovvero si specifica la distribuzione di materia e poisi risolvono le equazioni per verificare la geometria che ne risulta. Inquesto modo ci si chiede che tipo di geometria corrisponda ad un datotensore energia impulso. Nel caso in cui Tµν = 0 si possono trovare lesoluzioni nel vuoto.

2. Dato un tensore metrico gµν si puo ricavare il tensore energia-impulso.In questo modo e come se leggessimo le equazioni da sinistra a destra,ma questo metodo e poco utile perche i Tµν che risultano non sonofisicamente realistici. Spesso risulta che la densita di energia diventanegativa in qualche regione, e questa e una condizione non fisica perchenella teoria della gravitazione la densita di energia e positiva.

3. Le equazioni di campo sono viste come vincoli sulla scelta simultaneadi Tµν e gµν , visto che esse consistono di 10 equazioni che legano 20quantita (10 di Tµν e 10 di gµν). Questo approccio e utilizzato quandoe possibile specificare la geometria e il tensore energia-impulso a par-tire da condizioni fisiche, e le equazioni vengono utilizzate per trovareentrambe le quantita[10].

Le equazioni di campo dovranno soddisfare questi requisiti:

• Deve valere il principio di covarianza generale.

• Nel limite classico dovranno ridursi all’equazione di Poisson ∇2φ =4πGρ.

• Devono essere del secondo ordine in gµν , cioe si deve considerare iltensore di Riemann che al suo interno ha le

• Poiche gµν ha 10 componenti, dovranno esserci 10 equazioni.

• Devono legare gµν alla distribuzione di materia attraverso un tensorea 10 componenti, cioe il tensore energia-impulso.

Calcolo della costante di accoppiamento gravitazionale dal limitedi campo debole

Consideriamo il moto di un corpo di prova di massa m, che interagisce conuna forza centrale descritta da un potenziale scalare φ = φ(r). Il moto e


governato dalla Lagrangiana relativistica9:

L = −mc2

√1− v2

c2−mφ (1.28)

Prendiamo una particella che interagisce con un campo gravitazionale de-scritto dal potenziale newtoniano φ(x) e supponiamo che il campo sia debole:

|φ| c2 (1.29)

(ossia che l’energia gravitazionale sia trascurabile rispetto all’energia dimassa a riposo), che sia statico:

φ = 0 (1.30)

e infine che le velocita siano non relativistiche:

|vi| =∣∣∣dxidt

∣∣∣ c (1.31)

In questo regime, l’azione associata alla lagrangiana (1.28) assume la forma:

S = −mc2

∫dt(√

1− v2

c2+φ

c

)'∫dt(−mc2 +

1

2mv2 −mφ

) (1.32)

D’altra parte l’azione di una particella massiva immersa in una geometriaspazio-temporale descritta dalla metrica gµν si puo scrivere come:

S = −mc∫dt(√

gµνdxµ

dt

dxν

dt

)= −mc

∫dt(g00c

2 + gijvivj + 2g0icv

i) 1

2(1.33)

Se consideriamo la metrica data da:

g00 = (1 + 2 φ

c2)

gij = −δij

g0i = 0

9Per questo procedimento useremo valori di c 6= 1.

1.6 Le equazioni di campo di Einstein 21

l’azione diventa:

S = −mc2

∫dt(

1 +2φ

c2− v2

c2

) 12

(1.34)

Usando le approssimazioni (1.29), (1.30), (1.31), ed espandendo la radicequadrata all’ordine piu basso arriviamo all’espressione:

S = −mc2

∫dt(

1− v2

2c2+φ

c2

)(1.35)

che coincide con l’azione (1.32).Abbiamo visto che nel limite Newtoniano di campi gravitazionali deboli,statici e con velocita non relativistiche, la deviazione del valore di g00 elegata a η00 da:

g00 − η00 =2φ

c2= h00 (1.36)

Ricordando che l’equazione di Poisson e data da ∇2φ = 4πGρ, possiamoconsiderare:

∇2h00 = κρc2 (1.37)

Il valore di h00 dobbiamo ritrovarlo anche nelle equazioni di Einstein, sevogliamo che esse descrivano l’interazione gravitazionale. Sostituendo (1.36)in (1.37) otteniamo:

∇2φ =1

2κρc4 (1.38)

Ma il potenziale newtoniano deve soddisfare l’equazione di Poisson e quindi:

4πGρ =1

2κρc4 (1.39)

Ne consegue che le equazioni di Einstein sono consistenti con la teoria gra-vitazionale di Newton, purche la costante di accoppiamento gravitazionalesia:

κ =8πG

c4(1.40)

Il valore della costante κ (a parte la costante c che puo essere posta uguale ad1) e lo stesso che ritroveremo piu avanti quando ricaveremo la prima equa-zione di Friedmann; quindi gia in questo caso si nota una piccola relazionetra la Relativita e la Cosmologia.

Capitolo 2

Cosmologia

Due cose sono infinite: l’universoe la stupidita umana, mariguardo l’universo ho ancora deidubbi.

Albert Einstein

2.1 Principio Cosmologico

Abbiamo visto che l’idea fondamentale della Relativita e quella di descriverespazio e tempo non piu come due enti separati, ma come un tutt’uno (loSpazio-Tempo), che puo essere piatto (nel caso della Relativita Ristretta) equindi descritto da una metrica di Minkowski, ma piu in generale curvo inpresenza di corpi massivi (Relativita Generale).Che forma avra la metrica che descrive il nostro Universo nel suo complesso?Per semplificare il problema si richiede che valga il cosidetto Principio Co-smologico:

L’Universo appare omogeneo e isotropo su larga scala.

L’omogeneita e verificata dai conteggi di galassie (test di Hubble), mentrel’isotropia e verificata dalla Radiazione Cosmica di Fondo(CMB).A piccole scale, dove osserviamo grandi concentrazioni di massa come stel-le e pianeti contrapposte ad enormi vuoti interstellari, questo non e vero;mentre a scale piu grandi la materia sembra effettivamente distribuita inmaniera omogenea.Per descrivere l’Universo alle grandi scale occorre utilizzare la Teoria dellaRelativita Generale e costruire la metrica spazio temporale che soddisfi lecaratteristiche di omogeneita e isotropia ottenute dai dati osservativi. Perla parte spaziale tale Spazio-Tempo deve essere a simmetria sferica in unqualunque punto dello spazio, ovvero invariante per rotazioni (isotropia), e

23

24 Cosmologia

uguale in ogni punto dello spazio, ovvero invariante per traslazioni (omoge-neita). Per quanto riguarda le coordinate spaziali, l’assunzione di omoge-neita e isotropia permette di scegliere un sistema di coordinate generalizzatein quiete rispetto agli elementi fluidi, che non e altro che il sistema di coor-dinate comoventi discusso nel paragrafo 1.3.In tal modo le coordinate degli elementi fluidi non cambiano nel tempo: l’e-voluzione viene rappresentata dalla variazione nel tempo di una scala spazia-le. Bisogna pero definire un tempo rispetto al quale calcolare l’evoluzione.Sappiamo dalla teoria della Relativita che, a causa della velocita finita del-la trasmissione delle informazioni, i tempi misurati da osservatori in motorelativo non coincidono; eventi simultanei per un certo osservatore non losono per un altro. In effetti l’Universo appare diverso a diverse distanzedall’osservatore comovente perche la visione locale dell’Universo alle variedistanze e influenzata dal ritardo temporale della ricezione dei fotoni cheviaggiano ad una velocita finita. Perche il principio cosmologico abbia sensooccorre poter definire un tempo cosmico o universale, cui tutti gli osservatoripossano riferirsi.Assumiamo che ad un tempo iniziale t = 0 tutte le componenti materialidell’Universo, le galassie, siano state in connessione causale tra di loro e sisiano sincronizzate su un tempo che appunto chiamiamo tempo cosmico t.Successivamente le diverse componenti materiali si sono evolute in modoindipendente, ciascuna con un tempo proprio τ misurato da un orologio ariposo con la materia circostante. In ciascun punto il tempo proprio τ coin-cide con il tempo cosmico t, ma non con il tempo di un osservatore lontanoa causa dei ritardi nella trasmissione dei segnali (che ricordiamo hanno ve-locita finita). Tuttavia la sincronizzazione iniziale permette, sulla base dellalegge di evoluzione cosmologica data dal modello utilizzato, di ricavare i ri-tardi degli osservatori lontani e ricondurre gli eventi al tempo cosmologico.Si puo pertanto descrivere l’evoluzione dell’Universo utilizzando un sistemadi riferimento basato sulle coordinate comoventi con la materia rispetto al-la quale gli osservatori siano a riposo e utilizzando il tempo proprio cometempo cosmico.A questo punto dopo aver dato una definizione sia matematica (tramite ivettori di Killing) che fisica di omogeneita e isotropia, utilizzando i concettimatematici espressi nei paragrafi 1.4 e 1.5 possiamo ricavare la metrica diFRW. La costruzione di uno spazio massimamente simmetrico con curvaturaK puo quindi essere fatta scegliendo un sistema di coordinate arbitrario.

2.2 Costruzione della metrica di FRW utilizzandospazi massimamente simmetrici

In generale, dato uno spazio metrico S in D dimensioni, M delle quali rea-lizzano un sottospazio S1 massimamente simmetrico, e possibile scegliere un

2.2 Costruzione della metrica di FRW utilizzando spazimassimamente simmetrici 25

particolare sistema di coordinate che separi il sottospazio S1 dal restantesottospazio S2[7][10].Scegliamo M coordinate ui associate ad S1 e D−M coordinate vi associatead S2. Per valori costanti di vi, le coordinate ui descrivono un sottospa-zio massimamente simmetrico. Ad esempio, uno spazio tridimensionale asimmetria sferica puo essere descritto dalle coordinate sferiche (r, ϑ, ϕ ).La sfera puo essere decomposta in una serie di superfici sferiche per valoricostanti di r (in questo caso l’unica coordinata v). Ogni superficie sferica epoi uno spazio a due dimensioni omogeneo ed isotropo, descritto dalle duecoordinate (ϑ ,ϕ) (ovvero (u1,u2)). Nel linguaggio dei vettori di Killing, lapresenza di un sottospazio massimamente simmetrico e data dall’invarianzadell’intero spazio metrico sotto un gruppo di trasformazioni infinitesime deltipo: ui −→ u

′i = ui + εξi(u, v)

vi −→ v′i = vi

con D(D+1)2 vettori di Killing ξi indipendenti. Utilizzando le coordinate ui

e vi possiamo scrivere la metrica dello spazio S nel modo seguente:

ds2 = gab(v)dvadvb + h(v)[Cijdu

iduj +K(Ciju

iduj)2

(1−KCijuiuj)

](2.1)

dove h(v) e una generica funzione delle coordinate v.Per scrivere la metrica di FRW il caso che ci interessa e D=4 ed M = 3,per cui in quest’ultima equazione il primo termine a secondo membro puoessere scritto semplicemente g(v)dv2. La parte spaziale deve ora permetterel’introduzione di coordinate locali Euclidee, allora per K 6= 0:

Cij =

|K|−1δij per K 6= 0

δij per K = 0(2.2)

Quindi la (1.26) diventa:

ds2(3) = K−1

[d~x2 + (~x·d~x2)2

1−x2

]per K > 0

ds2(3) = |K|−1

[d~x2 − (~x·d~x2)2

1+x2

]per K < 0

ds2(3) = d~x2 per K = 0

ove con ds2(3) abbiamo indicato la metrica del sottospazio tridimensionale

S2.1 Prima di poter scrivere la metrica che ci interessa dobbiamo definirecerte quantita[7]:

1ds2 = g(v)dv + h(v)ds2(3).

26 Cosmologia

f(v) ≡

h(v)|K|−1 per K 6= 0

h(v) per K = 0(2.3)

e

k ≡ K|K| =

+1 per K > 0

−1 per K < 0

0 per K = 0

Una volta definite queste quantita la (2.1) diventa, per D=4:

ds2 = g(v)dv2 + f(v)[d~u2 +

k(~u · d~u)2

1− k~u2

](2.4)

Questo Spazio-Tempo ha un sottospazio 3-dimensionale massimamente sim-metrico. In questo caso, considerando le coordinate u, v abbiamo una coor-dinata v (quella temporale) e tre coordinate u (quelle spaziali). A questopunto possiamo fare il seguente cambiamento di variabili, introducendo lecoordinate comoventi trattate nel primo capitolo:

u1 ≡ r sinϑ cosϕu2 ≡ r sinϑ sinϕu3 ≡ r cosϑ

t ≡∫g(v)

12dv

Con l’introduzione delle coordinate comoventi e radiali otteniamo finalmentela metrica di Friedman-Robertson-Walker (FRW)2:

ds2 = dt2 − a2(t)[ dr2

1− kr2+ r2(dϑ2 + sin2 ϑdϕ2)

](2.5)

dove a(t) =√f(v(t)) e il fattore di scala, legato alla velocita relativa di

allontanamento degli elementi fluidi da:

H(t) =a(t)

a(t)(2.6)

ove H(t) e detto parametro di Hubble.3

Da notare come questa metrica sia stata ricavata solamente da assunzionidi omogeneita e isotropia, senza ancora far uso delle equazioni di campodi Einstein. Nella prossima sezione useremo le equazioni di campo di Ein-stein per determinare un’equazione differenziale che governi l’evoluzione delparametro di Hubble e della scala dell’Universo nel tempo t.

2Da qui in poi useremo unita naturali con c=1.3Il suo valore a t = t0= eta attuale dell’Universo e H0 = H(t0) = 70km/s/Mpc.

2.3 Dalle equazioni di campo di Einstein alle equazioni diFriedmann 27

Figura 2.1: La figura (a) mostra una superficie a curvatura nulla k = 0, la figura (b) mostra unasuperficie a curvatura positiva k = 1, la figura (c) mostra una superficie con curvatura negativak = −1[8].

2.3 Dalle equazioni di campo di Einstein alle equa-zioni di Friedmann

Per studiare il comportamento del tensore energia-impulso scriveremo l’e-quazione (1.27) nel modo seguente:

Rµν = 8πG(Tµν −

1

2gµνT

)(2.7)

Nel nostro caso, vogliamo legare il tensore energia-impulso (che sara quellodi un fluido perfetto) alla metrica di FRW. E chiaro che, se un fluido per-fetto, isotropo in un qualche sistema di riferimento, e legato ad una metricaisotropa in ogni suo punto in un qualche altro sistema di riferimento, allora idue sistemi di riferimento coincideranno. Ovvero, la metrica (2.5), descriveil sistema di riferimento in cui il fluido perfetto e a riposo.Consideriamo un Universo non vuoto, riempito da un fluido perfetto. Unfluido perfetto e caratterizzato dall’avere un campo di velocita costante, ov-vero tale che ogni punto si muove con velocita ~v. Un osservatore che si

28 Cosmologia

muove con la stessa velocita ~v, vedra intorno a se il fluido come isotropo.In altri termini, definiamo un fluido perfetto come un fluido isotropo nelsuo sistema localmente a riposo. Il tensore energia-impulso che descrive unfluido perfetto e il seguente :

Tµν = (ρ+ p)uµuν − pgµν (2.8)

dove uµ e la 4-velocita del fluido, p e la pressione nel sistema localmente ariposo e ρ e la densita di energia del sistema localmente a riposo. Nel sistemadi riferimento solidale con il fluido la 4-velocita assume la forma uµ = (1,~0)e, sostituendo quest’ultima in (2.8) si ottiene il tensore energia-impulso nellecoordinate con cui abbiamo definite la metrica di FRW[8]:

Tµν =

ρ 0 0 00 −p 0 00 0 −p 00 0 0 −p

facendo la traccia di questa matrice diagonale ottengo:

T = ρ− 3p (2.9)

Esplicitiamo adesso la forma delle equazioni di Einstein. Consideriamo, nel-la formulazione seguente, un generico tensore energia-impulso che descriveun fluido perfetto. Utilizzando (1.2), (1.3) e il tensore di Ricci ricaviamo lecomponenti del tensore di Ricci:

R00 = −3 aa

Rij = −gij(aa + 2 a

2

a2+ 2 k

a2

)Consideriamo le componenti diagonali di:

Tµν −1

2gµνT = Sµν (2.10)

e utilizziamo il tensore energia-impulso del fluido perfetto per trovare lecomponenti di Sµν :

S00 = ρ− 12(ρ− 3p) = 1

2(ρ+ 3p)

Sij = −12(ρ− p)gij

La componente S00 assieme alla componente R00 mi da:

− 3a

a=

1

2(ρ+ 3p)8πG =⇒ − a

a=

4πG

3(ρ+ 3p) (2.11)


La componente Sij assieme alla componente Rij mi da:

a

a+ 2

a2

a2+ 2

k

a2=

1

2(ρ− p)8πG (2.12)

Sostituendo poi il primo termine del membro di sinistra con l’equazione(2.11) otteniamo:

2a2

a2=

4π

3G(3ρ− 3p) +

4π

3G(ρ+ 3p)− 2

k

a2(2.13)

da cui: ( aa

)2=

8πG

3ρ− k

a2(2.14)

Le equazioni (2.11) e (2.14) sono chiamate Equazioni di Friedmann:

(aa

)2= 8πG

3 ρ− ka2

=⇒ Prima equazione di Friedmann

aa = −4πG

3 (ρ+ 3p) =⇒ Seconda equazione di Friedmann

Un Universo descritto da una metrica (2.5) che soddisfa le equazioni di Fried-mann e detto Universo di Friedman-Robertson-Walker. Da queste equazioniricaviamo subito un risultato importante: in un’era dominata dalla materiaposso porre uguale a zero la pressione nella seconda equazione di Friedmann,per cui:

a

a= −4πG

3ρ (2.15)

Se richiediamo che l’Universo sia statico, cioe che la derivata temporaledel fattore di scala a sia nulla ho di conseguenza a = 0 ⇒ ρ = 0 percui se la densita di materia e diversa da zero allora non puo esistere unasoluzione statica delle equazioni di Einstein. Questo risultato, messo in luceda Einstein stesso, lo spinse ad introdurre nel 1917 un ulteriore termine nellesue equazioni che rendesse possibile ρ+3p = 0 anche in presenza di materia.Questo termine venne (e viene) chiamato costante cosmologica e puo essereinterpretato in due modi:

• se inserito nel lato sinistro delle equazioni di Einstein lo si considerauna proprieta (controversa) dello Spazio-Tempo.

• se posto nel lato destro delle equazioni di Einstein diventa una formapiuttosto insolita di densita di energia.

Vediamo ora di capire concettualmente queste due importanti differenze.

30 Cosmologia

2.3.1 Significato della costante cosmologica come proprietadello Spazio-Tempo

La costante cosmologica puo essere inserita anche nel membro di sinistradelle equazioni di campo di Einstein. In questo caso essa e strettamentecollegata al tensore di Ricci, e tramite la definizione (1.21) per spazi massi-mamente simmetrici possiamo ricavare i valori di Λ.In questo caso utilizziamo la forma (2.7) delle equazioni di campo:

Rµν − Λgµν = 8πG(Tµν −

1

2gµνT

)(2.16)

E’ importante notare che il termine Λ permette di ottenere soluzioni delleequazioni di Einstein anche in assenza di sorgenti; in questo caso il tensoreenergia-impulso e dato da Tµν = 0.Considerando quest’ultima situazione, la (2.16) si riduce semplicemente a:

Rµν = Λgµν (2.17)

e tramite la definizione del tensore di Ricci per spazi massimamente simme-trici D-dimensionali:

Rµν = K(D − 1)gµν (2.18)

sostituendo (2.17) in (2.18) otteniamo:

Λgµν = K(D − 1)gµν (2.19)

da cui:

K =Λ

D − 1(2.20)

In base al valore della costante cosmologica possiamo avere due casi: Λ > 0 =⇒ K > 0

Λ < 0 =⇒ K < 0(2.21)

E’ importante notare che, per D=4, la (2.20) da esattamente il valore Λ3 che

troveremo anche per l’andamento del fattore di scala, per le soluzioni di DeSitter e anti-De Sitter che analizzeremo nel prossimo paragrafo.

2.3.2 Significato della costante cosmologica come energia delvuoto

E possibile descrivere dei modelli di Universo contenenti un valore non nullodi energia del vuoto. Introdurre un’energia del vuoto non nulla e equivalen-te all’introduzione nelle equazioni di Einstein di una costante cosmologica.Utilizziamo la forma (1.27) delle equazioni di campo[11]:

Rµν −1

2gµνR = 8πGTµν + Λgµν (2.22)


La parte destra puo essere riscritta in termini del tensore energia-impulsomodificato dalla presenza di Λ:

8πGTµν + Λgµν = 8πGTµν (2.23)

dove:

Tµν ≡ Tµν +Λ

8πGgµν (2.24)

Come tensore energia-impulso Tµν consideriamo quello del fluido perfettodato dall’equazione (2.8), che in questo caso puo essere riscritta:

Tµν = (p+ ρ)uµuν − pgµν (2.25)

Le quantita p e ρ sono definite nel modo seguente:p = p− Λ

8πG

ρ = ρ+ Λ8πG

(2.26)

Possiamo riscrivere le equazioni di Friedmann introducendovi la costantecosmologica:

(aa

)2= 8πG

3 ρ− ka2

aa = −4πG

3 (ρ+ 3p)(2.27)

De Sitter studio il caso limite di un Universo vuoto in cui le equazioni (2.26)saranno:

p = − Λ8πG

ρ = Λ8πG

(2.28)

dove p e ρ rappresentano rispettivamente la pressione del vuoto e la densitadi energia del vuoto.Da queste ultime possiamo ricavare:

p = −ρ = − Λ

8πG(2.29)

che costituisce l’equazione di stato del vuoto, con parametro di stato4 (oindice barotropico) w = −1.Andiamo a vedere la forma delle soluzioni delle equazioni di Friedmann nelcaso di un Universo dominato dall’energia del vuoto. La forma delle soluzionidipende ovviamente dal segno di Λ.

4Considerando l’equazione di stato p = wρ, l’indice barotropico puo avere diversi valori,a seconda se si considera un Universo di materia (w = 0), di radiazione (w = 1

3) o dominato

dall’energia del vuoto (w = −1).

32 Cosmologia

Prendiamo la prima equazione in (2.27) e cerchiamo la soluzione per il fattoredi scala a(t):

a2 =8πG

3ρa2 =

8πG

3a2 Λ

8πG=

Λ

3a2 (2.30)

Mettendo tutto sotto radice otteniamo:

a =

√Λ

3a⇒ da

dt=

√Λ

3a⇒ da

a=

√Λ

3dt (2.31)

integrando la (2.31) otteniamo:

lna

A=

√Λ

3t (2.32)

ed infine:

a(t) = A exp

(√Λ

3t

)(2.33)

dove A e una costante di integrazione. Questa soluzione per il fattore discala e quella con Λ > 0 e k = 0.Esistono anche altre soluzioni per il fattore di scala[6][12], che interessano icasi k = 1 e k = −1:

a(t) =

√3

Λcosh

(√Λ

3t

)=⇒ k = 1 (2.34)

a(t) =

√3

Λsinh

(√Λ

3t

)=⇒ k = −1 (2.35)

Le soluzioni (2.33), (2.34) e (2.35) descrivono lo stesso Spazio-Tempo, main coordinate differenti. Questo Spazio-Tempo, massimamente simmetrico,e noto come Universo di De Sitter.Nel caso in cui Λ < 0 la soluzione e la seguente:

a(t) =

√− 3

Λsin

(√−Λ

3t

)=⇒ k = −1 (2.36)

Quest’ultima soluzione descrive un altro Spazio-Tempo massimamente sim-metrico, chiamato Universo Anti-De Sitter, rilevante nell’ambito di al-cuni modelli gravitazionali supersimmetrici e in sviluppi moderni di Teoriedi Stringa.In definitiva le interpretazioni della costante cosmologica come energia delvuoto o come proprieta dello Spazio-Tempo per spazi massimamente sim-metrici sono equivalenti.Di seguito diamo una spiegazione piu accurata di spazi De Sitter e anti-DeSitter.


Figura 2.2: Il grafico raffigura l’andamento dei vari fattori di scala in base alla curvaturae al valore della costante cosmologica. La curva (a) rappresenta l’equazione (2.34); la curva (b)rappresenta l’equazione (2.35); la curva (c) rappresenta l’equazione (2.36); la curva (d) rappresental’equazione (2.33)[6].

Spazio De Sitter

Per far capire meglio la geometria dello spazio di de Sitter consideriamo unaipersuperficie a 4 dimensioni con segnatura pseudo-euclidea (+−−−), para-metrizzata dalle coordinate intrinseche xµ = (t, xi) e immersa in uno Spazio-Tempo di Minkowski a 5 dimensioni con coordinate zA, con A=0,1,2,3,4.L’ipersuperficie e descritta dalle seguenti equazioni parametriche:

z0 = 1H sinh(Ht) + H

2 eHtxix

i

zi = eHtxi

z4 = 1H cosh(Ht)− H

2 eHtxix

i

(2.37)

dove H e una costante. Verificheremo che tale ipersuperficie rappresentauna pseudo-sfera (o iperboloide) a 4 dimensioni, e determineremo la metricaindotta su questa iperuperficie dalle equazioni (2.37).Elevando al quadrato le coordinate zA, e contraendole con la metrica diMinkowski della varieta a 5 dimensioni troviamo che l’ipersuperficie soddisfal’equazione:

ηABzAzB = (z0)2 − (z1)2 − (z2)2 − (z3)2 − (z4)2 = − 1

H2= cost (2.38)

34 Cosmologia

Questa equazione mi descrive una pseudo-sfera a 4 dimensioni di raggioa = 1

H . Visto che la metrica esterna ha carattere pseudo-euclideo, le sezionispazio-temporali di questa ipersuperficie (cioe le sezioni con z2 = z3 = z4 =0) rappresentano iperboli anziche cerchi. Ecco il motivo per cui l’ipersu-perficie considerata viene interpretata come un iperboloide di rotazione a 4dimensioni [Fig 2.3].La sua metrica intrinseca gµν indotta dalle equazioni parametriche zA =zA(xµ) e definita come:

gµν =∂zA

∂xµ∂zB

∂xνηAB (2.39)

derivando le equazioni (2.37) rispetto a xµ otteniamo:g00 = 1

gij = −δije2Ht

g0i = 0

(2.40)

L’elemento di linea intrinseco dell’iperboloide a 4 dimensioni e dato da:

ds2 = gµνdxµdxν = dt2 − e2Ht | d~x |2 (2.41)

A questo punto prendiamo in considerazione uno Spazio-Tempo 4-dimensionalecon curvatura costante positiva, descritto in coordinate polari:

ds2 =(

1− r2

a2

)dt2 −

(1− r2

a2

)−1dr2 − r2(dϑ2 + sin2 ϑdϕ2) (2.42)

dove a e una costante. Verificheremo che questa metrica e la (2.41) corri-spondono a diverse parametrizzazioni della stessa varieta spazio-temporale.Procediamo considerando l’ipersuperficie immersa nell spazio di Minkowski5-dimensionale con le coordiante zA descritte in precedenza, le equazioniparametriche questa volta sono:

z0 =√a2 − r2 sinh

(ta

)z1 = r sinϑ cosϕ

z2 = r sinϑ sinϕ

z3 = r cosϑ

z4 =√a2 − r2 cosh

(ta

)(2.43)

Tale ipersuperficie soddisfa l’equazione:

ηABzAzB = −a2 (2.44)


e quindi riproduce esattamente la pseudo-sfera dell’equazione (2.38) conraggio a2 = 1

H2 . Differenziando le equazioni (2.43) rispetto a t, r, ϑ, ϕ esostituendo l’elemento di linea dello spazio di Minkowski 5-dimensionale, siottiene:

ds2 = ηABdzAdzB

=(

1− r2

a2

)dt2 − dr2

1− r2

a2

− r2(dϑ2 + sin2 ϑdϕ2)(2.45)

cioe esattamente (2.42). Abbiamo ottenuto in questo modo la stessa va-rieta, descritta con sistemi di coordinate differenti. Per concludere questadescrizione notiamo che ne il sistema (2.37) ne quello (2.43) ricoprono com-pletamente la varieta di De Sitter.Per le coordinate (2.37) si vede che al variare di xi e t da −∞ a +∞ lacondizione z0 ≥ −z4 e sempre soddisfatta (la condizione di bordo z0 = −z4

si raggiunge nel limite t→ −∞). Se prendiamo le sezioni xi = 0 dello spaziodi De Sitter troviamo che le coordiante scelte parametrizzano solo il ramoz4 > 0 dell’iperbole z2

4 − z20 = 1

H2 , ma non l’altro ramo. Analoga cosa suc-cede per le coordinate parametriche (2.43), si ha in questo caso z0 ≥ −z4 ez0 ≤ z4.Dobbiamo cercare un ricoprimento completo della varieta di De Sitter, for-nito ad esempio dalla carta xµ = (t, χ, ϑ, ϕ) definita dalle seguenti equazioniparametriche:

z0 = H−1 sinh(Ht)

z1 = H−1 cosh(Ht) sinχ sinϑ cosϕ

z2 = H−1 cosh(Ht) sinχ sinϑ sinϕ

z3 = H−1 cosh(Ht) sinχ cosϑ

z4 = H−1 cosh(Ht) cosχ

(2.46)

dove 1H = a e dove t varia tra −∞ a +∞, χ e ϑ variano tra 0 e π, mentre

ϕ varia tra 0 e 2π. in questo modo l’elemento di linea della varieta di DeSitter assume la forma:

ds2 = dt2 − 1

H2cosh2(Ht)

[dχ2 + sin2 χ(dϑ2 + sin2 dϕ2)

](2.47)

ponendo r = H−1 sinχ l’elemento di linea puo essere riscritto nella forma:

ds2 = dt2 − cosh2(Ht)[ dr2

1−H2r2+ r2(dϑ2 + sin2 dϕ2)

](2.48)

36 Cosmologia

Figura 2.3: Spazio de Sitter come ipersuperficie a 4 dimensioni, immaginato come uniperboloide. Si considera la segnatura della metrica come (+ − −−) perche questo Spazio-Tempo e una 4-sfera lorentziana immerso nel 5-spazio di Minkowski la cui metrica e ds2 =dt2 − dw2 − dx2 − dy2 − dz2 .

Spazio Anti-de Sitter

In matematica e fisica, uno spazio Anti de Sitter D-dimensionale, AdSD,e una varieta Lorentziana massimamente simmetrica con curvatura scala-re costante negativa. E’ l’analogo lorentziano dello spazio iperbolico D-dimensionale, cosı come lo spazio di Minkowski e lo spazio di de Sitter sonol’analogo dello spazio euclideo e dello spazio ellittico rispettivamente. E co-nosciuto soprattutto per il suo ruolo nella corrispondenza AdS/CFT di cuiparleremo in (3.5.2). Questo spazio puo essere visualizzato come l’analogoLorentziano di una sfera in uno spazio con una dimensione aggiuntiva, chee quella temporale[Fig 2.4].La geometria puo essere descritta da coordinate adimensionali t, r,Ω dove te il tempo, r e la coordinata radiale (0 ≤ r ≤ 1) e Ω parametrizza la 3-sfera.La geometria ha curvatura uniforme R−2 dove R e il raggio di curvatura.La metrica sara:

ds2 =R2

(1− r2)2

[(1 + r2)2dt2 − 4dr2 − 4r2dΩ2

](2.49)

Un’altra forma della metrica che si usa di solito e la seguente:

ds2 =R2

y2[dt2 − dxidxi − dy2] (2.50)

dove i=1,.....,3. La metrica (2.50) viene espressa in termini delle coordinatez = 1

y :

ds2 = R2[z2(dt2 − dxidxi)− 1

z2dz2]

(2.51)


In questa forma e chiaro che c’e un orizzonte a z = 0 e il bordo e a z =∞.Questi spazi hanno anche delle proprieta che sono:

1. Il punto r = 0 e il centro dello spazio Anti de Sitter ed r varia tra 0 e 1nello spazio. Una geodetica nulla radiale soddisfa (1 + r2)2dt2 = 4dr2.

2. La metrica e singolare per r = 1 in tutte le sue componenti.

3. Vicino ad r = 1 la metrica e approssimativamente conforme.

4. La metrica spaziale, generalmente, e quella di uno spazio curvo uni-forme, ovvero un piano iperbolico (o disco di Poincare).

Figura 2.4: Spazio-Anti de Sitter, immaginato come un iperboloide. Esso e una 4-sfera loren-tziana in un 5-pseudo spazio di Minkowski con metrica ds2 = dt2 + dw2 − dx2 − dy2 − dz2. Sinotano le 2 coordinate temporali (t, w) e quelle spaziali (x, y, z) considerando la segnatura dellametrica come (+ +−−−) .

Capitolo 3

Entropia ed Olografia

I dati possono essere scritti suuna superficie.

’t Hooft

3.1 Entropia termodinamica

In termodinamica l’entropia e una funzione di stato che si introduce insiemeal secondo principio della termodinamica e che viene interpretata come unamisura del disordine di un sistema fisico o piu in generale dell’Universo. Inbase a questa definizione possiamo dire che quando un sistema passa da unostato ordinato ad uno disordinato la sua entropia aumenta. Per chiariremaggiormente il concetto di entropia possiamo fare un esempio:

• Facciamo cadere una gocciolina d’inchiostro in un bicchiere d’acqua:quello che si osserva immediatamente e che, invece di restare una goc-cia piu o meno separata dal resto dell’ambiente (che sarebbe uno statocompletamente ordinato), l’inchiostro inizia a diffondere e, in un certotempo, otteniamo una miscela uniforme (stato completamente disor-dinato). E esperienza comune che, mentre questo processo avvienespontaneamente, il processo inverso (separare l’acqua e l’inchiostro)richiederebbe energia esterna.

L’entropia come funzione di stato e data da:

∆S =∆QrevT

(3.1)

dove ∆Qrev e la quantita di calore assorbito in maniera reversibile dal siste-ma a temperatura T .

39

40 Entropia ed Olografia

Se assumiamo che l’Universo sia un sistema isolato (ovvero un sistema peril quale e impossibile scambiare energia con l’esterno) possiamo affermareche:

l’energia totale dell’Universo e costantee l’entropia totale e in continuo aumento.

Questo vuol dire che non solo non si puo ne creare ne distruggere l’energia,ma nemmeno la si puo completamente trasformare da una forma all’altrasenza che una parte venga dissipata sotto forma di calore. Lo stato in cuil’entropia raggiunge il massimo livello e non vi e piu energia libera dispo-nibile per compiere ulteriore lavoro e detto stato di equilibrio. Per l’interoUniverso concepito come sistema isolato cio significa che la progressiva con-versione di lavoro in calore (per il principio di aumento dell’entropia totale),a fronte di una massa dell’Universo finita, portera infine ad uno stato incui l’intero Universo si trovera in condizioni di temperatura uniforme; lacosidetta morte termica.

3.2 Entropia informazionale

Dopo aver dato una spiegazione standard dell’entropia, vediamo che ruologioca nella teoria dell’informazione; che puo essere studiata sia a livelloclassico, sia a livello quantistico.

3.2.1 Entropia informazionale classica

Supponiamo di avere a che fare con un messaggio formato da una stringa din caratteri:

(a1, a2, ....., ak)

Come in ogni linguaggio, alcune lettere compaiono piu frequentemente dialtre. In una data posizione ciascuna lettera ai avra una certa probabilitap(ai) di comparire, con la condizione data da:

k∑i=1

p(ai) = 1 (3.2)

Il caso piu semplice si ha quando si considera un alfabeto binario, dove l’unoappare con probabilita p e lo zero con probabilita 1−p. Ci chiediamo: datoun messaggio di n caratteri, fino a che punto possiamo comprimerlo purmantenendo la stessa informazione?

3.2 Entropia informazionale 41

Per grandi n, un messaggio nel caso binario conterra n(1− p) caratteri “0”,e np “1”. Il numero possibile di messaggi sara

(nnp

)ed usando la formula di

Stirling, 1 otteniamo:

log

(n

np

)= n log n− n− np log np

+ np− n(1− p) log n(1− p)+ n(1− p)= nS(p)

(3.3)

dove:S(p) = −[p log p+ (1− p) log(1− p)] (3.4)

e la funzione entropia e il logaritmo e in base 2 (in questo modo l’entropiaha il valore S(p) = 1 nel punto p = 1

2 [Fig. 3.1]. L’entropia di un sistemarappresenta l’incertezza o la mancanza di informazione sulla sua configura-zione interna. Un’espressione dotata di un certo numero di proprieta che sipossono richiedere per una misura di incertezza e la cosidetta entropia diShannon,2 data da:

SSh = −∑i

pi log pi (3.5)

per un sistema che puo assumere N configurazioni diverse,a ciascuna dellequali attribuiamo una diversa probabilita pi. Come abbiamo visto primaSSh e massima per probabilita tutte uguali pi = 1

N , ma ogni volta che sirendono disponibili nuove informazioni sul sistema, vengono imposti nuovivincoli sulle pi e l’entropia diminuisce.

Figura 3.1: Valore massimo dell’entropia a cui corrisponde un valore di p = 0.5.

A questo punto possiamo dare la definizione di informazione come l’oppostodella variazione di SSh:

∆I = −∆SSh (3.6)

1 logn! = n logn− n.2Questa entropia e adimensionale.


L’informazione si misura in bit, nelle nostre unita un bit equivale a log 2di informazione. In definitiva l’entropia di Shannon di un sistema termo-dinamico non all’equilibrio cresce perche l’informazione iniziale sulla suaconfigurazione interna perde significato durante la sua evoluzione dinamica,mentre va diminuendo la dipendenza dello stato del sistema dalle sue con-dizioni iniziali.Per far capire la correlazione tra entropia informazionale e quella termodi-namica possiamo fare il seguente esempio:

• Consideriamo un sistema fisico con date condizioni di temperatura,pressione, volume, e stabiliamone il valore dell’entropia; in connessionee possibile stabilire il grado di ordine e quindi l’ammontare delle nostreinformazioni( in senso microscopico). Supponiamo ora di abbassare latemperatura lasciando invariati gli altri parametri: osserviamo che lasua entropia diminuisce poiche il suo grado di ordine aumenta e conesso il nostro grado di informazione. Al limite, cioe alla temperaturaprossima allo zero assoluto, tutte le molecole sono quasi ferme, alloral’entropia tende al minimo e l’ordine e il massimo possibile e con essosi ha la massima certezza di informazione.

3.2.2 Entropia informazionale quantistica

Mentre nella visione classica l’entropia e sempre espressa in termini di va-riazione, in meccanica quantistica e possibile definire l’entropia in terminiassoluti, ad esempio attraverso l’entanglement[13].3

Per capire meglio di cosa si tratta, consideriamo due sistemi A e B, ognunocon associato uno spazio di Hilbert4 Ha, Hb; il sistema allora e dato da:

|Ψ〉 ∈ Ha ⊗Hb (3.7)

In generale, non e possibile associare uno stato puro alla componente A.Tuttavia e comunque possibile associarvi una particolare matrice, chiamatamatrice di densita. Sia definito l’operatore proiezione:

ρT = |Ψ〉〈Ψ| (3.8)

Lo stato di A e la traccia parziale di ρT sulle basi del sistema B:

ρA ≡∑j

B 〈j|(|Ψ〉〈Ψ|)|j〉B (3.9)

3Proprieta di uno stato quantistico. La parola entanglement sta per non “separabilita”.4Uno spazio di Hilbert e una coppia H=(H,< ., . >) dove H e uno spazio vettoriale

reale o complesso e < ., . > e un prodotto scalare su H tale che, detta d la distanza daesso indotta su H, lo spazio metrico (H,d) sia completo. La definizione si basa sul fattoche il prodotto scalare definito positivo definisce una norma, che definisce a sua volta unadistanza, permettendo cosı di caratterizzare uno spazio metrico.

3.2 Entropia informazionale 43

Ad esempio per lo stato entangled di A e B, ognuno composto da 2 statipuri “0” e “1”:

1√2

(|0〉A ⊗ |1〉B − |1〉A ⊗ |0〉B

)(3.10)

la matrice densita e:

ρA =1

2

(|0〉AA〈0|+ |1〉AA〈1|

)(3.11)

e la matrice densita dello stato puro A e:

ρA = |Ψ〉AA〈Ψ| (3.12)

ossia semplicememte l’operatore proiezione di |Ψ〉A. Da notare che la matricedensita del sistema composto, ρT , ha la stessa forma. Cio non sorprende, inquanto lo stato entangled classico e uno stato puro.Data una matrice densita qualsiasi ρ possiamo calcolare la seguente quantita:

SV N = −kBTr(ρ ln ρ) (3.13)

Dove kB e la costante di Boltzmann, e la traccia e presa sullo spazio H incui e definita ρ. Risulta che S e esattamente l’entropia del sistema corri-spondente ad H, ed e chiamata entropia di Von Neumann.L’entropia di ogni stato puro e zero, in quanto non vi e indeterminazionesullo stato del sistema. L’entropia di ciascuno dei due sottosistemi A e Bentangled e semplicemente uguale a k ln 2, cioe il massimo ammissibile perun sistema a due stati. Notiamo subito che ln 2 e lo stesso valore che ha unbit nell’entropia informazionale classica, quindi anche nel caso quantisticoc’e un legame tra informazione ed entropia. L’entropia di Von Neumann hadelle importanti proprieta che sono:

• Purezza. Uno stato puro ha entropia nulla.

• Invarianza. L’entropia e invariante per trasformazioni unitarie:

S(UρU−1) = S(ρ)

• Massimo. Se ρ ha dimensione d × d, allora S(ρ) ≤ log d. L’ugua-glianza vale solo nel caso di equipartizione.

• Concavita. Per λ1, λ2 ≥ 0 e λ1 + λ2 = 1, si ha

S(λ1ρ1 + λ2ρ2) ≥ λ1S(ρ1) + λ2S(ρ2)

• Subadditivita. Dato un sistema bipartito AB nello stato ρAB, vale:

S(ρAB) ≤ S(ρA) + S(ρB)

dove ρA = TrB(|Ψ〉CC〈Ψ|) e ρB = TrA(|Ψ〉CC〈Ψ|).


3.3 Entropia statistica

In meccanica statistica l’entropia e il tramite per ottenere informazioni ma-croscopiche a partire dalle configurazioni microscopiche. Intuitivamente siimmagina che ad una certa condizione macroscopica di equilibrio del si-stema corrispondano una moltitudine di configurazioni microscopiche. Taliconfigurazioni microscopiche occupano un volume nello spazio delle fasi ilquale viene indicato con V . Allora possiamo definire l’entropia di Boltzmanncome:

SB = kB lnV (3.14)

Si puo dimostrare che l’entropia cosı definita possiede tutte le caratteristi-che dell’entropia termodinamica ed in modo particolare si dimostra che eestensiva, ovvero gode della proprieta di additivita (per cui e calcolabile lavariazione d’entropia e la funzione entropia e differenziabile, ovvero ha sensoparlare di entropia in termini microscopici).La differenza fisica di significato tra entropia e temperatura e che la primamisura lo stato di disordine (fisico) del sistema e la seconda, lo stato di agi-tazione molecolare. Volendo informazioni macroscopiche del sistema bastaderivare l’entropia rispetto una delle sue variabili naturali E, N e V (energia,numero di particelle e volume) tenendo costanti le altre.Di solito siamo abituati a pensare all’entropia in termini di un gas ordina-rio: gas concentrato in piccole regioni significa entropia bassa, gas dispersouniformemente vuol dire stato di equilibrio ad alta entropia[Fig. 3.2].Nel caso in cui volessimo considerare un sistema uniformemente distribuitodi corpi gravitanti, esso rappresenta un sistema ad entropia relativamentebassa (a meno che le velocita dei corpi siano molto alte e/o i corpi sianomolto piccoli e/o molto lontani, in modo che i contributi gravitazionali sia-no trascurabili), mentre si ottiene un’entropia alta quando i corpi gravitantisi agglomerano[Fig. 3.2].Ora ci chiediamo, cosa si intende per stato di massima entropia?Mentre per un gas l’entropia massima di equilibrio termico corrisponde algas uniformemente distribuito in tutta la regione, nel caso di grandi corpigravitanti, l’entropia massima e ottenuta quando tutta la massa e concen-trata in un solo posto (i cosidetti buchi neri, di cui parleremo nel prossimoparagrafo).

3.4 Entropia dei buchi neri

In questa sezione vedremo che e possibile sviluppare una serie di analogietra la termodinamica dei buchi neri e la termodinamica dei “sistemi ordi-nari all’equilibrio”. Entambe sono caratterizzate da un numero piccolo diparametri “macroscopici” e per entrambe si possono scrivere quattro leggifondamentali molto simili.

3.4 Entropia dei buchi neri 45

Figura 3.2: (a) Per un gas in una scatola, inizialmente tutto in un angolo, l’entropia crescequando il gas comincia a diffondersi, raggiungendo infine lo stato uniforme di equilibrio termico.(b) Nel caso della gravita, le cose vanno in maniera opposta. Un sistema di corpi gravitantiall’inizio uniformemente distribuito rappresenta un’entropia relativamente bassa , e tendono adaggregarsi quando l’entropia cresce. Vi e infine un grande aumento di entropia sotto forma dibuchi neri[13].

E’ anche possibile dare un contenuto fisico all’identificazione dei parametri“macroscopici” dei buchi neri e quelli della termodinamica. Vedremo che epossibile interpretare l’area dell’orizzonte degli eventi5, che per i buchi nerigioca il ruolo di entropia, come entropia informazionale di Shannon.La proprieta principale dei sistemi termodinamici all’equilibrio e l’essere ca-ratterizzati da un numero piccolo di grandezze macroscopiche, come l’energiainterna, il volume e la pressione. Ad ogni stato macroscopico corrispondonopossibili stati microscopici e dal punto di vista dell’informazione , un buconero formatosi per collasso gravitazionale e molto simile a un sistema termo-dinamico. Nella fase finale, il campo esterno del buco nero non “ricorda”,per cosı dire, la configurazione iniziale dello Spazio-Tempo e dei campi dimateria. In altre parole il buco nero caratterizzato dai soli parametri M,Q eJ6 puo aver avuto origine da moltissime distribuzioni iniziali di materia, chesi riflettono nella fase finale in diverse configurazioni della metrica internadel buco nero, ma non del campo esterno.Tutte le informazioni che riguardano la metrica interna, pero sono inacces-sibili per un osservatore esterno: possiamo allora assegnare al buco neroun’entropia di Shannon relativa all’indisponibilita di questa informazione.Nella [Fig 3.2] nel caso di corpi gravitanti, essi tendono ad aggregarsi quan-do vi e un aumento di entropia. In astrofisica gli oggetti esotici che hannoentropia maggiore sono i buchi neri (questo perche l’entropia e proporzionalealla loro area, come vedremo tra poco).Quando si forma un buco nero, l’orizzonte degli eventi si stabilizza rapida-mente nella forma di una sfera perfettamente regolare e liscia ed a parte la

5Superficie di la della quale nulla puo sfuggire alla singolarita di un buco nero.6 Il teorema no-hair afferma che questi sono i soli 3 parametri che caratterizzano un

buco nero stazionario.


massa, la velocita di rotazione (nel caso dei buchi neri di Kerr) e la carica(nel caso dei buchi neri Reissner-Nordstrom), ogni buco nero e uguale all’al-tro.Parlando in termini di informazione, aggiungere un bit (unita fondamen-tale di informazione) di informazione fa crescere la superficie dell’orizzontedegli eventi di un buco nero di una unita di Planck di area, cioe di unalunghezza di Planck7 al quadrato. Immaginiamo di costruire un buco neroun bit alla volta. Ogni volta che aggiungiamo un bit di informazione l’areadell’orizzonte degli eventi aumenta di una unita di Planck. Quando il buconero e finito, l’area del suo orizzonte sara uguale al numero totale di bit diinformazione nascosti nel buco nero; ci sara ovviamente un limite ai bit cheposso aggiungere per formare l’area dell’orizzonte, questo limite sara datodall’entropia del buco nero, dal momento che vale la seguente equazione8:

SBH ≤A

4

c2kBG~

(3.15)

che in unita di Planck diventa

SBH ≤A

4(3.16)

Quest’ultima disuguaglianza puo essere interpretata nel modo seguente:

L’entropia (misura dell’informazione nascosta) di un buco nero,misurata in bit, e proporzionale ad un quarto dell’area del suo

orizzonte degli eventi, misurata in unita di Planck.

Il celebre fisico Stephen Hawking intuı che non solo i buchi neri hanno unaentropia, ma anche una temperatura. Hawking calcolo che la perturbazionedelle fluttuazioni del vuoto causata dalla presenza del buco nero fa sı chevengano emessi fotoni, esattamente come se il buco nero fosse un corpo nerocaldo. Questi fotoni vengono chiamati radiazione di Hawking. Hawking riu-scı a calcolare esattamente la temperatura e, procedendo a ritroso, l’entropiadel buco nero.Bekenstein si era limitato ad affermare che l’entropia era proporzionale al-l’area dell’orizzonte degli eventi misurata in unita di Planck[14] e Hawkingtrovo che l’entropia di un buco nero e esattamente un quarto dell’area del-l’orizzonte misurata in unita di Planck.La formula ricavata da Hawking per la temperatura di un buco nero e la

7Lp '√

~Gc3' 1.7 · 10−33cm.

8c = 3 · 108(velocita della luce); kB = 1.4 · 10−23(costante di Boltzmann); G = 6.7 ·10−11(costante gravitazionale); ~ ' 10−34(costante di Planck).

3.4 Entropia dei buchi neri 47

seguente:

TH =~c3

8πGMkB' 10−7[K]

(MM

)(3.17)

Notiamo subito una cosa: la massa del buco nero e al denominatore; questovuol dire che piu il buco nero e massiccio, piu bassa e la sua temperatura eviceversa. Se teniamo presente l’entropia della radiazione cosmica di fondo a2.7 K (CMB) che negli anni Sessanta, si pensava fosse il maggior contributoall’entropia dell’Universo risulta che essa e di gran lunga minore di quelladei buchi neri (infatti in unita naturali, la sua entropia e 108 − 109 per ba-rione, contro ad esempio l’entropia di un buco nero come quello della nostragalassia che ha un entropia di ∼ 1021). Si nota anche che la radiazione diHawking e trascurabile per buchi neri che hanno avuto origine da processidi collasso gravitazionale stellare (M > M), ma puo diventare importanteper buchi neri piu piccoli che potrebbero essersi formati a causa delle flut-tuazioni di densita nelle prime fasi dell’universo primordiale.Sostanzialmente l’analogia piu stretta tra entropia e area dell’orizzonte deglieventi e data dalla legge dell’area, ma piu in generale abbiamo tutta una se-rie di leggi che legano la termodinamica e i buchi neri. Queste leggi sarannoanalizzate nel prossimo paragrafo.

3.4.1 Le quattro leggi della termodinamica dei buchi neri

Negli anni ’70, si avevano finalmente a disposizione le soluzioni delle equa-zioni di campo per buchi neri carichi e ruotanti. In seguito a cio furonodimostrate alcune leggi a cui obbediscono i buchi neri.La prima cosa che venne notata e la stretta analogia tra queste leggi e quelledella termodinamica, in seguito vedremo piu in dettaglio queste analogie.

Legge zero

In un buco nero stazionario, la gravita superficiale κ dell’orizzonte deglieventi e costante ovunque. Quest’ultima dipende solo dalle quantita chedescrivono completamente un buco nero, ovvero M, Q, J (massa ,carica emomento angolare). Per un buco nero di Kerr-Neumann la gravita e data da:

κ =

√M2 − a2 −Q2

2M(M +

√M2 − a2 −Q2

)−Q2

(3.18)

L’analogia con la legge zero della termodinamica e dovuta al fatto che latemperatura rimane costante in situazioni di equilibrio termodinamico. Eccoquindi l’analogia con i buchi neri per cui κ = cost.


Prima legge

Consideriamo due buchi neri stazionari definiti dalle solite costanti del motoM, Q, J. Un buco nero puo essere ottenuto deformando adiabaticamentel’altro in accordo con la formula:

δM =κ

8πδA+ ΩHδJ + ΦHδQ (3.19)

ove ΩH e ΦH sono la velocita angolare e il potenziale elettrostatico all’oriz-zonte degli eventi, che sono costanti come la gravita superficiale. In questocaso l’analogia con la prima legge della termodinamica

δE = TδS − PδV + µδN (3.20)

e piu che evidente.

Seconda legge

Sotto le seguenti ipotesi:

• validita della relativita generale.

• validita del censore cosmico.9

• validita della condizione debole sull’energia Tµνvµvν ≥ 0, per qualun-

que vettore vµ di tipo tempo (vµvµ > 0).

vale la legge che in un qualunque sistema fisico classico, ma non quantisti-co, l’area dell’orizzonte degli eventi non puo mai diminuire, quindi δA ≥ 0.L’analogia e dovuta al fatto che in termodinamica l’entropia non puo maidiminuire (δS ≥ 0).L’entropia della regione esterna al buco nero e legata all’incertezza relativaallo stato della materia “ordinaria”; dopo che una parte di essa (caratteriz-zata da un’entropia ∆S) ha attraversato l’orizzonte degli eventi l’incertezzariguardante il suo stato si riferisce ora alla configurazione interna del buconero. In questo caso l’entropia della regione esterna diminuisce di ∆S, macontemporaneamente l’entropia del buco nero aumenta almeno dello stessovalore.In poche parole non e possibile eliminare il disordine dell’Universo, ma solonasconderlo.Dal momento che A e legata all’entropia dalla formula di Bekenstein-Hawking,possiamo formulare una seconda legge generalizzata che afferma: la sommadell’entropia del buco nero (SBH) e dell’entropia della regione esterna (Sext)non puo mai decrescere, allora si ha

∆(SBH + Sext) ≥ 0 (3.21)

9Se si forma una singolarita nello Spazio-Tempo, essa e racchiusa sempre da unorizzonte degli eventi. Ovvero non puo esistere una singolarita nuda.

3.5 Olografia 49

Terza legge

Si puo dimostrare che la deformazione dei parametri di un buco nero or-dinario, per ottenere un buco nero estremale (il che vuol dire con gravitasuperficiale nulla) richiederebbe un numero infinito di processi; in analo-gia col fatto che in termodinamica la temperatura di zero assoluto non puoessere raggiunta con un numero finito di trasformazioni termodinamiche.

3.5 Olografia

Dal momento che abbiamo notato una relazione tra entropia (misura del-l’informazione nascosta) e temperatura dei buchi neri, la domanda che ciponiamo e la seguente:

Cosa accade all’informazione caduta precedentementenel buco nero quando esso evapora?

Ciascun bit di informazione e trasferito nei fotoni e nelle altre particelleche portano via l’energia da un buco nero; in altre parole l’informazionee immagazzinata nelle svariate particelle che costituiscono la radiazione diHawking.Prendiamo il caso di una regione sferica, contenente materia individuata daun immaginario bordo matematico. La cosa piu “pesante” che possiamofarci entrare e un buco nero, il cui orizzonte coincide perfettamente con ilbordo della regione sferica. A questo punto ci possiamo chiedere:

Esiste un limite sul numero di bit di informazionecontenuti nella materia?

Consideriamo un guscio sferico fatto di vera materia, che contenga l’interaregione. Il guscio in questo caso ha una massa e puo essere compresso finoad entrare perfettamente nella sfera. Aggiustando la massa del guscio, pos-siamo arrivare ad avere un orizzonte degli eventi che coincida perfettamentecon il bordo della regione sferica di partenza. La materia ha un valore inizia-le di entropia di cui non specifichiamo il valore, ma l’entropia finale e quelladel buco nero, cioe la sua area espressa in unita di Planck[15].Per il secondo principio della termodinamica, l’entropia puo solo aumenta-re; quindi l’entropia del buco nero deve avere un valore maggiore rispetto aquello della materia iniziale contenuta nella regione sferica. In questo modosi e dimostrata la seguente affermazione:


Il massimo numero di bit immagazzinati in una regione spazialee uguale al numero di pixel planckiani in cui si puo suddividere

l’area della superficie di confine

Da questo deriva che in una cella di area di Planck puo risiedere al piu ungrado di liberta, quindi l’area della superficie totale in unita di Planck con-teggia il numero massimo di gradi di liberta.

Figura 3.3: Legame teorico tra entropia di un buco nero e bit di informazione

Dalla [Fig 3.3], e come se tutta l’informazione contenuta nel buco nero po-tesse essere “trascritta” sulla superficie dell’orizzonte usando come bit diinformazione “caselle” della dimensione di Planck.In meccanica quantistica l’informazione non viene mai distrutta, quindi none possibile far sparire l’informazione dietro l’orizzonte di un buco nero[16].Esso quindi, evapora in una varieta di particelle, ma l’informazione si “con-serva” pur se in un’altra forma.I buchi neri in sostanza sono dei serbatoi di informazione in cui i bit sonodensamente stipati.La struttura dell’inaccessibile buco nero sarebbe in corrispondenza con l’in-formazione “codificabile” sulla superficie dell’orizzonte, che costituirebbe unologramma, una rappresentazione 2D del contenuto informativo di uno spa-zio 3D; costituita dall’insieme dei bit di informazione costruibili sull’oriz-zonte del buco nero. L’ologramma non e il contenuto 3D che ci e precluso,bensı ne e una rappresentazione alternativa, che ne conserva il contenutoinformativo.L’entropia di un buco nero e proporzionale alla superficie del suo orizzonte,e questo implica una corrispondenza tra la configurazione interna del buco

3.5 Olografia 51

nero (in termini di meccanica statistica, i gradi di liberta interni che so-no inaccessibili da un osservatore esterno) e la configurazione superficiale ilcui “quanto” minimo e della dimensione della lunghezza di Planck. Questacorrispondenza richiama il concetto di ologramma, inteso in modo generalecome rappresentazione a D − 1 dimensioni di un oggetto D-dimensionale.Le assunzioni fatte precedentemente portano implicitamente al cosiddettoprincipio olografico:

Tutto cio che e contenuto in una data regione spazialepuo essere descritto da bit di informazione

confinati sul bordo della regione stessa

Dal principio olografico possiamo dedurre il seguente:

Corollario 1. Studiare la fisica della superficie olografica e equivalente astudiare la fisica del volume in essa racchiuso.

Se tutta l’informazione presente in un volume di spazio deve poter es-sere “trascritta” sulla superficie dello spazio stesso in caselle di dimensionefissata, vuol dire che la densita dell’informazione (e quindi materia, per ogniparticella di materia → informazione) non puo superare un limite massi-mo, oltre il quale “non ci sarebbe abbastanza spazio” sulla superficie perolografare tutta l’informazione contenuta. Se vale il principio olografico:

Corollario 2. Deve esistere una granularita minima alla quale e possibileosservare le proprieta microscopiche della materia e dello Spazio-Tempo.

Questo principio mi permette di semplificare notevolmente le teorie nelloro numero di gradi di liberta. Un esempio semplice e intuitivo e dato dalcosidetto processo Susskind che illustreremo adesso.

3.5.1 Il processo Susskind

Consideriamo un guscio collassante al cui interno vi e un sistema Γ, pro-seguendo nel collasso arriveremo ad un punto in cui si formera un buconero[Fig 3.4]. Compariamo l’entropia massima del sistema (Γ+guscio checollassa), con l’entropia del buco nero formatosi. Avremo che:

SI = SΓ + SG

SF = A4c2kBG~

(3.22)

Considerando che l’entropia di un sistema chiuso non puo mai diminuire, neconcludiamo che:

SI ≤ SF =⇒ SΓ ≤A

4

c2kBG~

(3.23)


Ricordando cio che abbiamo detto in 3.5, il numero di gradi di liberta diun sistema e sempre minore o al massimo uguale al numero di stati che sipossono codificare sulla superficie del buco nero che si forma dal collasso delsistema[17].

Figura 3.4: Schema del processo Susskind

Il Principio olografico ha la sua maggior interpretazione fisica nella cosidettacorrispondenza ADS/CFT (Anti-De Sitter/ Conformal Field Theory).

3.5.2 La corrispondenza ADS/CFT

Occorre dire che il principio olografico ha trovato inaspettati riscontri nellaTeoria delle Superstringhe. In questa teoria si trovano varie soluzioni ditipo olografico. La piu celebre e la cosiddetta corrispondenza AdS/CFT:essa significa in sostanza l’equivalenza tra la teoria della Superstringa in 10dimensioni in un determinato ambiente geometrico, da un lato, e una teoriadi campi di gauge in uno spazio di Minkowski a quattro dimensioni (cherappresenta il bordo dell ambiente geometrico) dall’altro. In altre parolel’informazione contenuta nella teoria di Superstringa in dieci dimensioni sipuo proiettare, o meglio, “codificare” in una teoria di campo quadridimen-sionale, e viceversa.La teoria-schermo a quattro dimensioni di cui sopra non ha caratteristicheinteressanti dal punto di vista fenomenologico (cioe non e una teoria chepossa ambire a rappresentare il mondo fisico che conosciamo). Tuttavia,nelle versioni via via piu sofisticate proposte per questa corrispondenza, lateoria di campo quadridimensionale ha assunto caratteristiche sempre piurealistiche. Sembrerebbe quasi che possiamo interpretare il nostro Universoquadridimensionale come immerso in un mondo molto piu ampio, a dieci

3.5 Olografia 53

dimensioni, e che, per descriverlo, abbiamo due possibilita: o lo descriviamocome una teoria di campo a quattro dimensioni oppure lo descriviamo comerisultato delle interazioni di superstringa in dieci dimensioni, che significauna maggiore complessita ma anche la possibilita di risolvere le ambiguita elimitazioni delle teorie di campo.Il prototipo di tale corrispondenza, come congetturato da Maldacena[18],consiste nell’equivalenza esatta tra la teoria di stringa quantistica di tipoIIB compattificata su AdS5 × S5 e la teoria di Yang-Mills supersimmetrica(SYM) N = 4 in quattro dimensioni. Gli spazi Anti-de Sitter sono soluzionimassimamente simmetriche, a curvatura costante e con una costante co-smologica negativa, dell’equazione di Einstein, come avevamo visto in 2.3.2.Il gruppo delle isometrie dello spazi Anti-de Sitter in cinque dimensionicoincide esattamente con il gruppo delle simmetrie conformi della teoria diYang-Mills supersimmetrica N = 4 in quattro dimensioni. Il termine “cor-rispondenza AdS/CFT” trae origine da questo particolare esempio.La teoria di Superstringa a 10 dimensioni di tipo IIB, ha una metrica datada[15]:

ds2 =(

1 +R4

r4

)− 12(−dt2 + d~x2) +

(1 +

R4

r4

) 12(dr2 + r2dΩ2

5) (3.24)

Se si considera il limite r R, otteniamo uno Spazio-Tempo piatto a 10dimensioni; invece nel caso r < R la metrica sembrerebbe singolare perr R. Se effettuiamo il cambio di coordinate z = R2

r e consideriamo illimite a grandi z, la metrica diviene nella forma asintotica:

ds2 =R2

z2(−dt2 + d~x2 + dz2) +R2dΩ2

5 (3.25)

la quale corrisponde ad una geometria prodotto di una 5-sfera (S5) conmetrica R2dΩ2

5 e lo spazio iperbolico AdS5. Quindi la geometrica per r ∼ 0e z ∼ ∞, e regolare, massimamente simmetrica e puo essere scritta comeAdS5×S5 [Fig 3.5]. Siccome entrambi i fattori dello spazio AdS5×S5 sonomassimamente simmetrici vale:

Rαβγδ = − 1R2 (gαγgβδ − gβγgαδ) per AdS5

Rαβγδ = 1R2 (gαγgβδ − gβγgαδ) per S5 (3.26)

Questo mostra che tutte le componenti del tensore di curvatura diventanopiccole per grandi valori di R.Quindi la corrispondenza AdS/CFT e olografica, poiche stabilisce che la gra-vita quantistica in cinque dimensioni (trascurando la 5-sfera) e equivalentead una teoria di campo locale in quattro dimensioni.La teoria di Superstringa a 10 dimensioni ha due parametri adimensionali,che sono:


• Il raggio di curvatura dello spazio Anti-de Sitter misurato in unita distringa R

ls.

La relazione tra la stringa e la lunghezza di Planck e data da:

g2l8s = l8p (3.27)

• La costante di accoppiamento adimensionale di stringa.La costante di accoppiamento di stringa e la lunghezza di scala sonorelazionati con la lunghezza di Planck 10-dimensionale e la costante diNewton da:

l8p = g2l8s = G (3.28)

La teoria di gauge ha anche due costanti, che sono:

• Il rango del gruppo di gauge N della teoria di gauge supersimmetricacon N = 4.

• Costante di accoppiamento di gauge gym.

Ovviamente i parametri R e g devono essere determinati da N e gym:Rls

= (Ng2ym)

14

g = g2ym

(3.29)

Vi sono due limiti distinti di particolare interesse.

1. La corrispondenza ADS/CFT e stata ampiamente studiata[15][17][18][19][20] nelle teorie di gauge nel limite dell’accoppiamento forte di ’tHooft. Dal punto di vista della teoria di gauge, il limite di ’t Hooft edefinito da:

gym → 0

N →∞

g2ymN = costante = λ

(3.30)

Dal punto di vista della teoria di stringa il limite e:g → 0

Rls

= costante = λ14

(3.31)

In questo modo il limite dell’accoppiamento forte di ’t Hooft e ancheil limite classico della teoria di stringa in uno spazio AdS fissato[21].Questo limite e dominato dalla teoria classica di supergravita.

3.5 Olografia 55

2. Il limite di interesse dal punto di vista del principio olografico e diffe-rente, come detto prima esso trae origine dagli studi sulla termodina-mica dei buchi neri. Sappiamo che questi ultimi possono essere visticome un sistema termodinamico caratterizzato da una certa tempera-tura ed entropia e la temperatura e direttamente legata alla radiazionedi corpo nero emessa dal buco nero, mentre l’entropia e data da S = A

4Gin unita di Planck; con queste definizioni le equazioni di Einstein sonoconsistenti con le leggi della termodinamica. Come abbiamo visto nelparagrafo 3.3 l’entropia e una misura del numero di gradi di libertadel sistema, e sorprendente scoprire che l’entropia di un buco nero siaproporzionale all’area dell’orizzonte. Infatti, se la gravita si compor-tasse come una teoria di campo locale, ci si aspetterebbe di trovareun’entropia proporzionale al volume. E possibile ottenere un quadroconsistente se la gravita in D dimensioni e in qualche modo equivalentead una teoria di campo locale in D-1 dimensioni. Possiamo considera-re il comportamento della teoria nel caso aumenti il raggio AdS , macon i parametri che governano la fisica microscopica nel bulk fissati.In questo modo abbiamo il limite:

g = costante

Rls→∞ (3.32)

Per la teoria di gauge sul bordo questo equivale a:gym = costante

N →∞ (3.33)

Figura 3.5: Rappresentazione grafica della corrispondenza ADS/CFT; il cilindro e il diagrammadi Penrose dello Spazio-Tempo AdS5.

Capitolo 4

La Gravita come forzaentropica

Sono convinto che la gravita siaun fenomeno che emerge dalleproprieta fondamentali dellospazio e del tempo.

Erik Verlinde

4.1 Proprieta emergente e forza entropica

Per studiare la gravita come forza non fondamentale si propone di consi-derare lo Spazio-Tempo come un’entita emergente dal principio olografico edalla sua interpretazione come entropia “dell’informazione”. Per prima cosavediamo di capire cosa si intende per “emergente”.Prendiamo una molecola di ossigeno in un contenitore chiuso. In un datoistante questa molecola e descritta da 6 variabili: 3 della posizione (x, y, z) e3 della velocita (v1, v2, v3). Non ha senso per questa molecola parlare di pro-prieta come la temperatura o la pressione; se aggiungiamo un gran numerodi molecole nel contenitore[Fig. 4.1], le posizioni e le velocita delle singoleparticelle prese nel loro insieme danno luogo a grandezze fisiche che per unasingola molecola non esistono, come la temperatura. Quest’ultima e unagrandezza fisica che nasce dall’effetto complessivo di grandezze fondamenta-li prese su scala macroscopica. Questo e in breve il concetto di proprietaemergente.Un’analogia piu precisa e l’osmosi. Separiamo una miscela di due tipi dimolecole di gas con una membrana, che permette il passaggio di un tiposolo di molecole. Se la concentrazione di quest’ultima molecola e piu elevatada una parte della membrana rispetto all’altra, possiamo misurare una forzanetta. Si puo calcolare questa forza usando metodi statistici[22][23].

57

58 La Gravita come forza entropica

Nel caso della gravita, la forza e la conseguenza del cambiamento di proba-bilita, quando due oggetti pesanti vengono spostati l’uno rispetto all’altro ela membrana diventa invece uno schermo olografico (mostreremo questo piuavanti).

Figura 4.1: Molecole che interagiscono tra loro dando vita a determinate proprieta quali latemperatura e la pressione.

Ai fini di questa tesi, la natura di questa forza (che chiamaremo entropica)puo essere meglio compresa introducendo l’esempio del polimero[24][25].Una catena polimerica1, pensiamo ad esempio ad una proteina, puo essereassimilata, in prima approssimazione, ad una collana di perle, essendo leperle i singoli aminoacidi, immersi in una bagno termico con temperatura T[Fig. 4.2] . Fissiamo un punto, ad esempio nell’origine e stiriamo la molecolalungo l’asse ~x , essa oppone resistenza e si manifesta cosı una tensione (insenso opposto) che tende a riportare la proteina nella struttura originale. Inquesto caso il polimero si trovera fuori dalla configurazione di equilibrio cheaveva all’inizio a causa di una forza esterna F , come mostrato nella [Fig.4.2]. L’origine entropica di questa tensione di richiamo si puo ben capirepensando che la struttura originale e quella in cui la molecola possiede lamassima entropia S, mentre la perturbazione applicata tende a produrreuna struttura elongata e quindi a creare una situazione di minore entropia(al limite della massima elongazione, la macromolecola avrebbe una entropianulla).L’entropia e uguale a:

S(E, x) = kB log Ω(E, x) (4.1)

1Un polimero e una macromolecola, ovvero una molecola con un elevato peso molecola-re, costituita da un gran numero di gruppi molecolari uguali o diversi chiamati monomeri,uniti a catena mediante la ripetizione dello stesso tipo di legame covalente. Esempi di poli-meri sono il Polietilene (CH2)N , Polistirene(C8H8)N e la gomma(C5H8)N dove il numerodi monomeri N > 100000.

4.1 Proprieta emergente e forza entropica 59

dove Ω(E, x) rappresenta il volume dello spazio delle configurazioni per l’in-tero sistema come funzione dell’energia E del bagno termico e della posizionex. Da notare subito l’analogia con l’entropia statistica (3.14) del paragrafo3.3.

Figura 4.2: Un polimero libero e immerso in un bagno termico con temperatura T e por-tato fuori dalla sua configurazione di equilibrio da una forza esterna F . La forza entropica diconseguenza punta nel verso opposto[23].

La forza F e introdotta tramite la funzione di partizione di un ensemblecanonico2:

Z(T, F ) =

∫dE dx Ω(E, x) e−(E+Fx)/kBT (4.2)

come una variabile esterna duale alla lunghezza x del polimero. La forzaF richiesta per mantenere il polimero ad una lunghezza x fissata, per unadata energia E puo essere dedotta dalle equazioni ricavate con il metodo delpunto di sella[24][25]3:

1T = ∂S

∂E

F = ∂E∂x

FT = ∂S

∂x

(4.3)

Dall’equilibrio delle forze, la forza esterna F deve essere uguale alla forzaentropica, che tende a riportare il polimero nella sua configurazione di equili-brio. Questa forza entropica punta nella direzione di aumento dell’entropia,ed e proporzionale alla temperatura. Per il polimero in questione la forza

2E’ un insieme statistico che rappresenta una misura di probabilita degli stati micro-scopici del sistema; si tratta di un sistema chiuso in equilibrio termico con una grandesorgente di calore, nel nostro caso il bagno termico in cui e immerso il polimero.

3E’ un procedimento matematico utilizzato in meccanica statistica per trattare integralidi funzioni rapidamente variabili.


obbedisce alla legge di Hooke:

Fpolimero ∼ −cost · kBT 〈x〉 (4.4)

Da questo si deduce che a livello macroscopico una forza entropica puo essereconservativa, nel caso in cui la temperatura si mantenga costante. Prima dianalizzare in dettaglio come ricavare la forza entropica utilizzando il concettodi schermo olografico, e successivamente estendere tale concetto per arrivarea dimostrare la seconda legge di Newton, daremo nel prossimo paragrafo ladefinizione di schermo olografico e di foglio luce ad esso legato, analizzandoanche le loro proprieta.

4.2 Foglio luce e schermo olografico

In questa sezione verra dato solo un accenno ai cosidetti fogli luce, che spie-gheremo piu in dettaglio nel paragrafo 4.4 quando introdurremo il concettodi entropia limite covariante.Assumiamo che uno spazio piatto di Minkowski di coordinate X+, X−, xj

possa essere definito a distanze asintotiche. X+ e tradotto come un conoluce variabile temporalmente; consideriamo un set di tutti i raggi di luce chesi trovano nella superficie X+ = X+

0 nel limite X− → +∞.In uno spazio piatto ordinario questa congruenza di raggi definisce una su-perficie piatta 3-D di tipo luce. In definitiva una superficie di tipo luce inquesto caso e chiamata foglio luce[Fig. 4.3]. Considerando come esempioun buco nero che passa attraverso un foglio luce, che a sua volta varia lungoX+ [Fig. 4.4], i fogli luce risultanti riempiono tutto lo Spazio-Tempo eccettoper una singolarita, che viene detta caustica, che si trova dietro l’orizzontedel buco nero. Prendendo un punto p nello Spazio-Tempo, ed assegnatoglicoordinate di cono-luce nel modo seguente, cioe se il punto si trova sul fo-glio luce X+

0 , gli assegniamo il valore X+ = X+0 ; e se si trova su un raggio

luce che asintoticamente ha coordinate trasverse xi0, gli assegniamo il valorexi = xi0 e il valore di X− che gli assegniamo non ci importa. Il piano 2-D xi

e chiamato lo schermo.Il prossimo passo e quello di considerare l’orizzonte stirato4 del buco neroche descrive una superficie 2-D in un foglio luce 3-D [Fig. 4.4]. Ogni puntosull’orizzonte stirato ha coordinate uniche X+, xj come si vede in [Fig. 4.5],quindi piu in generale se ci sono diversi buchi neri che passano attraverso ilfoglio luce, possiamo mappare ognuno dei suoi orizzonti stirati sullo scher-mo in modo unico. Nel caso di un singolo buco nero osserviamo che none possibile mappare sullo schermo asintotico la parte interna all’orizzontedegli eventi.

4E’ una membrana fittizia a distanza dell’ordine della lunghezza di Planckdall’orizzonte, dove gli effetti gravitazionali quantistici e di stringa diventano importanti.

4.2 Foglio luce e schermo olografico 61

Figura 4.3: Propagazione della luce su una superficie di tipo luce (foglio luce) X+ = cost[17].

Figura 4.4: Famiglia di raggi luce su una superficie X+ fissata, in presenza di un buco nero[17].

Riprendiamo l’analisi sull’entropia e cerchiamo di collegarla ai concetti espres-si in precedenza. Considerando che l’entropia di un buco nero e dell’ordinedi 1

4G volte l’area dell’orizzonte, possiamo definire una densita di entropia di1

4G sull’orizzonte stirato. La mappatura dello schermo definisce quindi unadensita di entropia nel piano xi data da σ(x); la cosa importante da notaree che σ(x) e sempre minore o uguale a 1

4G . Per provare questo useremo ilteorema di messa a fuoco della relativita generale.


Figura 4.5: Immagine dell’orizzonte stirato sullo schermo asintotico[15].

Teorema di messa a fuoco

Questo teorema dipende dalla positivita dell’energia ed e basato sulla ten-denza della luce a curvarsi attorno a regioni di energia diversa da zero[15].Consideriamo un fascio di raggi luce con sezione d’urto di area α, i raggiluce sono parametrizzati da un parametro affine λ; il teorema di messa afuoco mi dice che:

d2α

dλ2≤ 0 (4.5)

Adesso considero un fascio di raggi luce nel foglio luce che iniziano sull’oriz-zonte stirato e terminano a X− =∞. Dato che i raggi luce che definisconoil foglio luce sono paralleli nella regione asintotica dα

dλ → 0, il teorema cidice che mentre consideriamo il percorso a ritroso verso l’orizzonte, l’areadel fascio diminuisce. Ne consegue che l’immagine di una patch di orizzontesullo schermo e piu grande della patch stessa[Fig. 4.5]. Il confine olograficosegue immediatamente e vale

σ(x) ≤ 1

4G(4.6)

Quindi non importa come si distribuiscono i buchi neri nello spazio 3-D,l’immagine dell’entropia sullo schermo soddisfa sempre l’equazione (4.6).

4.3 Entropia limite di tipo spazio

Discuteremo adesso la migliore generalizzazione per la formula dell’entropiadi una superficie sferica, data dalla da (3.16); ma al tempo stesso questaentropia non ha validita generale, da qui l’introduzione dell’entropia limitecovariante che analizzeremo nel prossimo paragrafo.

4.3 Entropia limite di tipo spazio 63

Definizione 1. L’entropia contenuta in una regione spaziale non eccedel’area della superficie della regione.

Sia V una porzione compatta di ipersuperficie5 con t = cost nello Spazio-Tempo M, sia S(V ) l’entropia di tutti i sistemi situati in V , B la superficiedi V e A l’area della superficie di V [Fig. 4.6]. Quindi:

S(V ) ≤ A[B(V )]

4(4.7)

Figura 4.6: Una ipersuperficie a t = cost, di regione V e superficie B[26].

L’equazione (4.7) pero e contraddetta da una varieta di esempi, ne citeremotre. Gli spazi chiusi, l’Universo e il collasso stellare.

Spazi chiusi

E’ sufficiente assumere che lo Spazio-Tempo M contenga una ipersuperficieV chiusa di tipo spazio. Assumiamo inoltre che V contenga un sistema dimateria che non occupi tutto V , e che questo sistema abbia entropia nonnulla S0. Il volume V occupa tutta l’ipersuperficie, eccetto una piccolaregione compatta Q fuori dal sistema di materia; per cui:

Smateria(V ) = S0 > 0 (4.8)

La superficie B di V coincide con la superficie di Q, la sua area puo essereresa arbitrariamente piccola contraendo Q in un punto e cosı otteniamo:

Smateria(V ) > A[B(V )] (4.9)

e la condizione (4.7) e violata.

5In questo caso V rappresenta sia la regione spaziale che il suo volume.


L’Universo

Su larga scala, l’Universo si puo ben approssimare come uno spazio 3-D,piatto, omogeneo ed isotropo, che si espande nel tempo. Scegliamo semprela solita ipersuperficie a t = cost, questa volta omogenea; il suo contenutodi entropia puo essere caratterizzato da una densita di entropia media σ chee una costante positiva su V . La piattezza implica che la geometria di V eEuclidea (<3).Quindi sia il volume sia l’area di una 2-D sfera crescono con il raggio:

V =4π

3R3 , A[B(V )] = 4πR2 (4.10)

L’entropia nel volume V e data da:

Smateria(V ) = σV =σ

6√πA

32 (4.11)

in unita di Planck. Prendendo il raggio della sfera abbastanza grande:

R ≥ 3

4σ(4.12)

troviamo un volume per cui la condizione (4.7) e violata[16].

Collasso stellare

Consideriamo una stella sferica con entropia non nulla S0, che consuma idro-geno e subisce un collasso gravitazionale catastrofico.Dal punto di vista di un osservatore esterno, la stella formera un buco neroche avra un’area della superficie dell’orizzonte di almeno 4S0, in accordo conla formula di Bekenstein-Hawking. Supponiamo di seguire la stella mentreattraversa il suo orizzonte durante il collasso, alla fine ridurra il suo raggiofino ad una singolarita. In particolare, la sua area superficiale diverra arbi-trariamente piccola: A→ 0.Dalla condizione (3.16), l’entropia in un volume (in questo caso quello dellastella) deve essere almeno S0, quindi anche in questo caso la condizione (4.7)e violata.

4.4 Entropia limite covariante

Questa entropia stabilisce una relazione generale tra le informazioni quan-tistiche e la geometria classica: l’entropia della materia su un foglio lu-ce L(ovvero una ipersuperficie nulla che non si espande) ortogonale al li-mite spaziale B non eccede l’area A della superficie, misurata in unita diPlanck[26].Ci sono 2 differenze profonde tra questa entropia e quella descritta nel pa-ragrafo 4.3.

4.4 Entropia limite covariante 65

Figura 4.7: Le quattro ipersuperfici nulle ortogonali alla superficie sferica B[18].

• La prima differenza e che una superficie B serve come punto di partenzaper la costruzione di una regione L, chiamata foglio luce [Fig. 4.7].

• La seconda differenza e che L e una ipersuperficie nulla6, mentre V euna ipersuperficie di tipo spazio7.

La spiegazione nel paragrafo 4.3 comincia con una scelta di un volume spa-ziale V , ed esso definisce un limite B = ∂V la cui area A e supposta essereun limite superiore su S(V ), cioe l’entropia in V . Invece l’entropia limitecovariante procede in senso opposto.Dalla figura si nota come il foglio luce venga costruito dai raggi luce ema-nati dalla superficie B, fintanto che non si espandono; quando i raggi lucesi intersecano, cominciano ad espandersi. I fogli luce terminano in un puntofocale, come si nota anche dalla figura. Infatti F1 ed F3 sono fogli luce,mentre F2 ed F4 no.

Definizione 2. L’entropia di ogni foglio luce di una superficie B non eccedel’area di B:

S[L(B)] ≤ A(B)

4(4.13)

Le ipersuperfici nulle giocano un ruolo primario, questo perche il prin-cipio olografico lega l’area della superficie al numero dei gradi di liberta suun foglio luce, e i fogli luce sono ipersuperfici nulle (il contrario non e vero,come dimostrato precedentemente).

6Una ipersuperficie L e un sottoinsieme D-1 dimensionale dello Spazio-Tempo, L haD-1 vettori tangenti linearmente indipendenti e un vettore normale in ogni punto. Se ilvettore normale e ovunque nullo, allora L e chiamata ipersuperficie nulla.

7Una Ipersuperficie di tipo spazio puo essere interpretata come “il mondo allo stessoistante di tempo”, cosa che si nota anche dalla [Fig. 4.6].


Nel prossimo paragrafo spiegheremo in dettaglio la condizione di non espan-sione (ϑ ≤ 0) per un foglio luce, dal momento che esso termina in un puntofocale senza potersi espandere.

4.5 Condizione di non espansione ed equazione diRaychaudhuri

Matematicamente la condizione si esprime come segue:

ϑ(λ) ≤ 0 per λ = λ0 (4.14)

dove λ e un parametro affine per tutti i raggi luce che generano gli Fi coni = 1, 2, 3, 4 e assumiamo che λ aumenti lontano da B. λ0 e il valore di λ suB. Prendiamo in considerazione una serie di raggi luce infinitamente viciniche coprono una superficie di area A, quindi:

ϑ(λ) ≡ dA/dλ

A(4.15)

L’espansione ϑ di una famiglia di raggi luce viene studiata attraverso l’e-quazione di Raychauduri[15][27].Una famiglia di raggi luce, che di solito formano un foglio luce, e caratte-rizzata localmente dallo scalare di espansione, dal tensore di taglio e daltensore di torsione, nel modo seguente.Sia B una superficie di dimensione spaziale D−2, parametrizzata dalle coor-dinate xα (α = 1, ...., D − 2), scegliamo una delle 4 famiglie di raggi luceF1, ...., F4 che provengono da B nelle direzioni passato e futuro [Fig. 4.7].Ogni raggio luce soddisfa l’equazione delle geodetiche:

dka

dλ+ Γabck

bkc = 0 (4.16)

dove λ e il solito parametro affine e il vettore tangente ka e definito da:

ka =dxa

dλ(4.17)

che soddisfa la condizione nulla kaka = 0. I raggi luce generano una ipersu-perficie nulla L parametrizzata dalle coordinate (xα, λ). La metrica indottaD − 2 dimensionale sulla superficie B e data da:

hab = gab +1

2(kalb + kbla) (4.18)

con la vettore di campo nullo su B ortogonale a B e curvatura estrinsecanulla:

Bab = hcahdb∇ckd (4.19)

4.5 Condizione di non espansione ed equazione di Raychaudhuri67

dove ∇ e la derivata covariante. Il termine Bab contiene informazioni sulloscalare di espansione ϑ, sul tensore di taglio σab e il tensore di torsione ωabdi una famiglia di raggi luce L:

ϑ = habBab

σab = 12(Bab +Bba)− 1

D−2ϑhab

ωab = 12(Bab −Bba)

A questo punto si potrebbe calcolare il valore di ϑ su B e una volta appura-to che il suo valore e positivo, si puo scartare l’ipersuperficie nulla inerentea quel preciso valore di ϑ, e scegliere una direzione nulla differente per lacostruzione di un foglio luce. Questo perche non sarebbe rispettata la con-dizione (4.14). L’equazione che descrive il cambiamento dello scalare diespansione lungo i raggi luce e:

dϑ

dλ= − 1

D − 2ϑ2 − σabσab + ωabω

ab − 8πTabkakb (4.20)

chiamata equazione di Raychaudhuri.Per una famiglia di superfici ortogonali di raggi luce (come L), il termine ωsparisce; il termine finale nel membro di destra e non positivo se la condizionenulla sull’energia e soddisfatta. A questo punto risolvendo la disuguaglianzadifferenziale:

dϑ

dλ= − 1

D − 2ϑ2 (4.21)

si arriva al teorema di messa a fuoco (4.5), che puo essere reinterpretato nelmodo seguente: se l’espansione di una famiglia di raggi luce prende valorinegativi ϑ1 ad ogni punto λ1, ϑ divergera a −∞ verso un certo parametroaffine:

λ2 ≤ λ1 +(D − 2)

|ϑ1|(4.22)

Per costruzione, l’espansione su fogli luce e zero o negativa. Se e zero ilteorema di messa a fuoco non si applica.

4.5.1 Significato di forza taglio, torsione ed espansione.

Per capire da dove fisicamente le considerazioni precedenti vengono fuori,consideriamo il caso della deformazione elastica in fisica Newtoniana.Se u(x, y, z) e lo spostamento del punto con coordinate (x, y, z), l’aumentodel volume di una regione limitata da una superficie S e data da

∮~u d~s, dove

l’integrale e fatto sull’intera superficie S. Dal teorema di Gauss:∮~u d~s =

∫V∇~u dv (4.23)


Il volume di integrazione V e limitato dalla superficie S, da qui l’espansioneϑ = ∇ · ~u. Come e noto, ∇ × ~u rappresenta una rotazione e possiamosuddividere il tensore cartesiano ∂ui

∂xkcome segue[27]:

∂ui∂xk

=[1

2

( ∂ui∂xk

+∂uk∂xi

)− 1

3ϑδik

]︸︷︷︸

Forza di taglio

+1

2

( ∂ui∂xk− ∂uk∂xi

)︸︷︷︸

Torsione

+1

3ϑδik︸︷︷︸

Espansione

(4.24)

Tutte le parti che formano il tensore cartesiano devono avere forma tenso-riale, in particolare l’espansione deve essere uno scalare; mentre le altre duequantita devono essere tensori.

4.6 La forza entropica nel modello olografico

Seguendo l’interpretazione termodinamica dell’orizzonte di un buco nero inRelativita Generale e il principio olografico, si puo mostrare che la gravita diNewton appare introducendo diverse considerazioni che riguardano lo scher-mi olografici. Vedremo che questi schermi generano sia lo spazio che la forzaentropica, che e equivalente all’accelerazione gravitazionale.La forza entropica e trattata come un gradiente di entropia che emerge quan-do una particella di prova di massa m si sta avvicinando allo schermo, inaccordo con il principio olografico, tramite cui una teoria spaziale 3-D puoessere descritta in termini di una teoria su una superficie 2-D che copre lospazio 3-D. Cosı una dimensione dello spazio e olograficamente emergentee l’informazione sulla particella all’interno della superficie e codificata sullasuperficie; lo spazio 3-D e considerato come un unione di schermi olograficiche sono caratterizzati dall’entropia e dalla temperatura. Nel caso che di-mostreremo tra poco (ovvero quello di una particella m che si avvicina alloschermo) lo schermo e una superficie equipotenziale ma in generale corri-sponde ad una superficie di accelerazione costante per un corpo in cadutalibera. A questa superficie e attribuita una temperatura di Unruh costante.Consideriamo un piccolo pezzo di schermo olografico e una particella m lo-calizzata vicino allo schermo ad una certa distanza ∆x, che si avvicina adesso dal lato in cui emerge. Il cambiamento di entropia sullo schermo olo-grafico e proporzionale alla massa m della particella di prova che si trovavicino allo schermo a distanza ∆x [Fig. 4.8].La variazione di entropia e data da:

∆S = 2πkB (4.25)

quando la distanza e confrontabile con la lunghezza Compton:

∆x =~mc

(4.26)

4.6 La forza entropica nel modello olografico 69

Figura 4.8: Una particella di massa m a distanza ∆x dallo schermo olografico[23].

quindi in definitiva abbiamo che l’entropia associata all’informazione sulloschermo e data da[28][29]:

∆S = 2πkBmc

~∆x (4.27)

La domanda che ci poniamo adesso e: come fa una forza ad emergere comeforza entropica? L’idea base e usare l’analogia con l’osmosi attraverso unamembrana permeabile, che avevamo discusso brevemente all’inizio del capi-tolo.Quando la particella ha una forza entropica su un lato della membrana equest’ultima ha una temperatura T ( nel caso di schermo olografico, questae la temperatura sullo schermo), essa sperimentera una forza effettiva datada[30][31]:

F∆x = T∆S (4.28)

che da un indicazione su come la prima legge della termodinamica puo es-sere realizzata sullo schermo olografico. La (4.28) non e altro che la forzaentropica, da cui si puo notare che per avere una forza non nulla, devo avereuna temperatura non nulla.

La temperatura quindi puo essere intesa in 2 modi che sono perfettamenteequivalenti:

1. Si relaziona la temperatura all’accelerazione usando la formula di Un-ruh8:

kBT =1

2π

~ac

(4.29)

8Consiste nel fatto che un corpo che si muove di moto accelerato nel vuoto con un’ac-celerazione “a”, non avverte una temperatura T = 0, ma una temparatura diversa da


2. Si relaziona la temperatura, l’energia e il numero di gradi di libertausando la regola dell’equipartizione dell’energia:

E =1

2NkBT (4.30)

A questo punto possiamo interpretare le equazioni precedenti nel modoseguente:

• L’equazione (4.27) e l’assunzione base che lega l’entropia alla distanza∆x dallo schermo olografico.

• L’equazione (4.28) e un’equazione delle forze.

• L’equazione (4.29) e un’equazione dell’accelerazione, o meglio ancoradi inerzia.

• L’equazione (4.30) codifica l’informazione della gravita Newtoniana.

Dal concetto di forza entropica espresso tramite la (4.28), si puo ricavare laseconda legge di Newton, nel seguente modo.Sostituisco (4.27) in (4.28) ed ottengo:

F

T=

2πkBmc

~(4.31)

Infine utilizzo la (4.29) per ottenere:

F = ma (4.32)

4.7 Calcolo della legge di gravitazione di Newtoncome forza entropica

Cominciamo nel definire una temperatura T sullo schermo, che in questocaso e assunto essere una superficie sferica di raggio R e una sorgente dimassa M al suo interno, localizzata come l’origine delle coordinate[32]. Ilnumero dei gradi di liberta del sistema che stiamo considerando, corrispondesecondo il principio olografico al numero di unita di informazione che pos-sono essere codificate sulla superficie della regione sferica; questo numero eproporzionale all’area A della superficie stessa e scriveremo:

N =Ac3

G~(4.33)

zero. Essa indica anche che un campo gravitazionale corrisponde ad un bagno termi-co con temperatura T(in analogia al bagno termico che avevamo introdotto nel caso delpolimero).

4.7 Calcolo della legge di gravitazione di Newton come forzaentropica 71

Figura 4.9: Una particella di massa m vicino allo schermo olografico sferico. L’energia eugualmente distribuita sul numero di bit occupati, ed e equivalente alla massa M che emerge nellaparte di spazio circondata dallo schermo[30].

Dal momento che vi e una massa M , considerando l’equazione di EinsteinE = Mc2, ci sara anche un’energia presente nel sistema e quest’ultima edivisa uniformemente su tutti i bit N .Resta solo da determinare la temperatura della nostra superficie sferica.Per il principio di equipartizione dell’energia, all’equilibrio termico la tem-peratura e determinata dalla ripartizione dell’energia E sui gradi di libertadel sistema secondo la relazione (4.30). Sostituiamo (4.33) in (4.30) edotteniamo:

E =1

2kBT

Ac3

G~(4.34)

ma dato che l’area della superficie sferica e A = 4πR2, si ha:

E = Mc2 =2kBTπR

2c3

G~(4.35)

Utilizziamo infine la formula dell’effetto Unruh (4.29), la sostituiamo in(4.35) per ottenere l’accelerazione gravitazionale:

a =GM

R2(4.36)

o analogamente la forza esercitata dalla massa M sulla massa m a distanzaR:

F =GMm

R2(4.37)

Quindi se consideriamo una superficie olografica, dal concetto di entropiae dal principio olografico deriverebbe l’esistenza di una forza entropica (ad


esempio la gravita). Questa forza e una conseguenza del fatto che alla su-perficie olografica e associata una temperatura diversa da zero, e che se-condo l’effetto Unruh, a una temperatura diversa da zero e associata unaaccelerazione[33][34][35].Prima di passare allo studio del potenziale Newtoniano, ricapitoliamo gliingredienti utilizzati in questo paragrafo.

1. Il punto di partenza e che lo spazio ha una direzione emergente olo-grafica.

2. C’e un cambiamento di entropia nella direzione emergente.

3. Il numero di gradi di liberta sono proporzionali alla area sullo schermo.

4. L’energia e ugualmente distribuita su questi gradi di liberta.

Da notare che questi ragionamenti possono essere estesi anche a dimensioniD arbitrarie, come vedremo successivamente, e in tal caso avremo che[36]:

N =1

2

D − 2

D − 3

Ac3

G~(4.38)

4.8 Studio del potenziale Newtoniano nel modelloolografico

In questo paragrafo daremo una spiegazione del perche l’accelerazione intro-dotta nell’equazione (4.29), e un’accelerazione fisica; visto che essa e stataintrodotta brutalmente senza darne motivazione esplicita.Consideriamo ancora una volta cosa succede alla particella m quando siavvicina allo schermo. Qui dovrebbe interagire con i microscopici gradi diliberta che risiedono su di esso, e quindi essere costituita dagli stessi bitolografati sulla superficie olografica.Dal momento che ogni bit porta un’energia 1

2kBT , il numero di bit n sara:

mc2 =1

2nkBT (4.39)

Inserendo questa equazione in (4.27) ed usando l’equazione (4.29), possiamoesprimere il cambiamento di entropia in termini dell’accelerazione come:

∆S

n= kB

a∆x

2c2(4.40)

Introducendo il numero di bit n associati alla particella, si puo rendere piunaturale l’identificazione in termini scalari, invece che in termini vettoriali,dell’accelerazione e quest’ultima e in stretta relazione con il gradiente dientropia; questo fatto e molto importante perche ci dice che:

4.9 Estensione relativistica della legge di Newton e derivazionedelle equazioni di Einstein 73

L’inerzia e una conseguenza del fatto che una particella in quiete

restera in quiete perche non c’e un gradiente di entropia.

Questa affermazione mi permette di introdurre il potenziale Newtoniano Φe scrivere l’accelerazione come un gradiente:

a = −∇Φ (4.41)

quindi di esprimere la variazione di entropia tramite il potenziale Newtonia-no:

∆S

n= −kB

∆Φ

2c2(4.42)

In conclusione abbiamo che il potenziale Newtoniano memorizza l’esauri-mento dell’entropia per bit.

4.9 Estensione relativistica della legge di Newtone derivazione delle equazioni di Einstein

I ragionamenti fatti nei capitoli precedenti, si possono estendere anche allaRelativita Generale. Prima pero sara necessario studiare l’origine dell’inerziae il principio di equivalenza.Considero un background statico con un vettore di Killing di tipo tempo,che indico con ξµ. Per vedere come l’inerzia e il principio di equivalenzaemergono dalla gravita come forza entropica, si relaziona la scelta di ξµ conla temperatura e il gradiente di entropia.In Relativita Generale la generalizzazione del potenziale Newtoniano e datada:

φ =1

2log(−ξµξµ) (4.43)

Il suo esponenziale eφ rappresenta il fattore di redshift gravitazionale che esupposto uguale a uno all’infinito (φ = 0 a r = ∞), se lo Spazio-Tempo easintoticamente piatto[37].Dimostreremo che il redshift perpendicolare allo schermo9 viene inteso mi-croscopicamente originato da un gradiente di entropia. Consideriamo laforza che agisce su una particella di massa m, la 4-velocita uµ della particel-la e la sua accelerazione aν ≡ uµ∇µuν puo essere espressa tramite il vettoredi Killing ξν come:

uν = e−φξν ; aν = e−2φξµ∇µξν (4.44)

9Ricordiamo che lo schermo (o gli schermi a seconda del modello utilizzato) e unasuperficie equipotenziale in cui il potenziale e costruito tramite vettori di Killing di tipotempo.


Possiamo riscrivere l’ultima equazione usando l’equazione di Killing (1.19) ela definizione (4.43). Si trova che l’accelerazione puo essere espressa ancoracome un gradiente:

aν = −∇νφ (4.45)

perpendicolare allo schermo S. Possiamo trasformarla in una quantita sca-lare contraendola con un vettore unitario Nν che punta verso l’esterno, nor-male allo schermo S e a ξν .La temperatura locale T sullo schermo si puo scrivere in maniera analoga alcaso non relativistico trattato nel paragrafo 4.6; in questo caso avremo:

T =~

2πeφNν∇νφ (4.46)

La temperatura e misurata rispetto ad un punto di riferimento all’infinito(φ = 0), ecco perche e inserito il reshift eφ.Per trovare la forza che agisce sullo schermo utilizziamo gli stessi concet-ti espressi nel paragrafo 4.6. Assumiamo che il cambiamento di entropiasullo schermo e 2π per uno scostamento di una lunghezza d’onda Comptonnormale allo schermo. Quindi:

∇µS = −2πm

~Nµ (4.47)

La forza entropica segue da (4.46):

Fµ = T∇µS = −meφ∇µφ (4.48)

Questa e la forza gravitazionale corretta che e richiesta per mantenere laparticella in una posizione fissata vicino allo schermo. La (4.48) non e altroche l’analogo della legge di inerzia gia vista nel paragrafo 4.7 e il termine−∇µφ e l’analogo relativistico dell’accelerazione Newtoniana. Il fattore diredshift eφ e dovuto alla presenza di un gradiente di entropia.Il principio di equivalenza ci dice che il redshift puo essere interpretato nelloSpazio-Tempo emergente sia a causa di un campo gravitazionale sia se siconsidera un sistema accelerato. Quindi la gravita e l’accelerazione sonoentrambi fenomeni emergenti. Il prossimo passo e quello di estendere leleggi della gravita al caso relativistico e ottenere le equazioni di Einstein.Consideriamo di nuovo uno schermo olografico su una superficie chiusa conredshift costante. Assumiamo che in essa sia racchiusa una massa M; ladensita di bit sullo schermo e data ancora da:

dN =dA

G~(4.49)

L’energia associata alla massa M e distribuita uniformemente su tutti ibit olografati sullo schermo; in questo caso dalla legge dell’equipartizionedell’energia, ogni bit “trasporta” un’unita di massa uguale a 1

2T . Quindi:

M =1

2

∫S

TdN (4.50)

4.9 Estensione relativistica della legge di Newton e derivazionedelle equazioni di Einstein 75

Inserendo (4.49) e (4.46) in quest’ultima otteniamo:

M =1

4πG

∫S

eφ∇φ · dA (4.51)

che non e altro che la generalizzazione relativistica della legge di Gauss. Laparte destra dell’equazione e la massa contenuta all’interno di un volumearbitrario in uno Spazio-Tempo curvo statico. Esprimiamo quest’ultimatramite il vettore di Killing ξµ:

M =1

8πG

∫S

dxµ ∧ dxνεµνγδ∇γξδ (4.52)

La parte sinistra puo essere espressa come un integrale sul volume racchiuso epuo essere identificata come la massa di Komar ed espressa come un integraledi certe combinazioni del tensore energia-impulso Tµν , mentre la parte destrapuo essere scritta in termini del vettore di Killing ξµ e si arriva cosı allarelazione integrale:

2

∫Σ

(Tµν −

1

2Tgµν

)nµξνdV =

1

4πG

∫ΣRµνn

µξνdV (4.53)

dove Σ e il volume 3D limitato dallo schermo olografico S e nµ e la normalead esso [38][39]. Usando successivamente la relazione geometrica:

∇µ∇µξν = −Rνµξµ (4.54)

e il teorema di Stokes per l’integrazione dei termini di superficie nella rela-zione (4.53), otteniamo le equazioni di Einstein:

Rµν = 8πG(Tµν −

1

2gµνT

)(4.55)

L’ipotesi olografica fornisce un meccanismo naturale per la gravita emergen-te come forza entropica. Essa consente un’ interazione diretta tra i gradi diliberta associati ad un corpo materiale e al fatto che tutti i corpi all’internodi un volume possono essere mappati sullo stesso schermo olografico. Unavolta fatto questo, il meccanismo per la gravita e per l’elasticita di Hookenel caso del polimero che abbiamo analizzato all’inizio del capitolo sono sor-prendentemente simili.Il concetto di gravita come forza entropica e stato applicato, ad esempio,nei seguenti studi fisici e astrofisici:

• Equazioni di Friedmann nel caso D-dimensionale.

• Studio di modelli olografici di dark energy [35].

• Loop quantum gravity [40].

Nel prossimo paragrafo faremo vedere come si arriva alla scrittura delleequazioni di Friedmann D-dimensionali, semplicemente applicando i concettidi olografia e di gravita come forza entropica studiati fin’ora.


4.10 Le equazioni di Friedmann nel modello olo-grafico

Useremo il principio olografico insieme alla legge dell’equipartizione dell’e-nergia e alla temperatura di Unruh, per derivare le equazioni di FriedmannD-dimensionali di un Universo FRW.Come studiato e ricavato precedentemente, in questo lavoro di tesi la gravitae spiegata come una forza entropica causata dal cambiamento nell’informa-zione associata con la posizione dei corpi materiali. La legge dell’equipar-tizione dell’energia per i gradi di liberta dell’orizzonte, combinati con larelazione termodinamica:

S =E

2T(4.56)

porta alla legge di gravitazione di Newton. In questa equazione S e T sonol’entropia termodinamica e la temperatura associati all’orizzonte, ed E e lacosidetta massa gravitazionale attiva che produce l’accelerazione gravitazio-nale nello Spazio-Tempo.Cominciamo nel derivare le equazioni di Friedmann che governano l’evolu-zione dinamica di un Universo FRW. Con quest’ultima assunzione vedremoche e possibile estendere a D-dimensioni le equazioni, che a questo puntodipenderanno anche dalla dimensione spazio temporale, semplicemente mo-dificando il numero di bit sullo schermo.Considero la metrica di un Universo FRW data da:

ds2 = dt2 − a2(t)(dr2 + r2dΩ2) (4.57)

dove a(t) e il fattore di scala.Prendiamo in esame una regione sferica compatta V con un raggio fisico datoda r = ar, e bordo compatto ∂V. Quest’ultimo agisce come schermo ologra-fico e il numero di bit associati ad esso e dato da (4.33). Assumiamo che latemperatura sullo schermo sia T e in accordo con la legge dell’equipartizio-ne, l’energia totale sullo schermo e data da (4.30); la massa che emerge nellaregione spaziale V racchiusa da ∂V e data dalla nota formula di EinsteinE = Mc2. Supponiamo che la sorgente di materia in FRW sia un fluidoperfetto con tensore energia-impulso dato da:

Tµν = (ρ+ p)uµuν − pgµν (4.58)

La massa totale M = ρV nella regione racchiusa da ∂V non e piu conservata,il cambiamento nella massa totale e uguale al lavoro fatto dalla pressione:

dM = −pdV (4.59)

4.10 Le equazioni di Friedmann nel modello olografico 77

e tramite i seguenti passaggi:

d(V0ρa3) = −pd(V0a

3)

a3dρ+ 3ρa2da = −3pa2da

dρ = −3ρ(ρ+ p)1

ada

dρ

dt= −3(ρ+ p)

1

a

da

dt

(4.60)

si ottiene l’equazione di continuita:

ρ+ 3H(ρ+ p) = 0 (4.61)

dove H e il parametro di Hubble. La massa totale nella regione spaziale V

puo essere espressa come:

M =

∫V

dV (Tµνuµuν) (4.62)

dove il termine fra parentesi e la densita di energia misurata da un osser-vatore comovente; l’accelerazione10 per un osservatore radiale comovente adistanza r, cioe al posto dello schermo, e:

ar = −d2r

dt2= −ar (4.63)

dove il segno negativo e dovuto al fatto che consideriamo l’accelerazionecausata dalla materia nella regione spaziale racchiusa da ∂V. In accordocon la formula di Unruh, assumiamo che l’accelerazione corrisponda allatemperatura:

T =1

2πkBc~ar (4.64)

Per arrivare all’equazione di Friedmann consideriamo le seguenti equazioni,trattate in precedenza:

E = Mc2

E = 12NkBT

N = Ac3

G~

T = 12πkBc

~ar

Da queste ricaviamo M ed otteniamo:

M =Aar4πG

(4.65)

10Da notare che l’accelerazione propria svanisce per un osservatore comovente.


Uguagliando quest’ultima alla (4.62) ed utilizzando la (4.63) si ha:∫V

dV (Tµνuµuν) = −Aar

4πG(4.66)

Adesso risolvo il membro di sinistra dell’equazione precedente, calcolando lacomponente T00 del fluido perfetto e l’integrale sul volume, ottenendo:∫

V

dV (Tµνuµuν) =

4

3πr3(T00(u0)2) (4.67)

considerando che r = ar, sostituisco in (4.67) ed uguagliando il secondomembro di (4.66) sostituendo l’area della superficie A = 4πr2, ottengo:

4

3πr3a3ρ = −a

2r2

G(ar) (4.68)

Da quest’ultima posso ricavare finalmente:

a

a= −4πG

3ρ (4.69)

che non e nient’altro che l’equazione dinamica per la cosmologia Newtonia-na.Per ricavare le equazioni di Friedmann di un Universo FRW in Relati-vita Generale, notiamo che la causa che produce l’accelerazione e la mas-sa gravitazionale attiva M, piuttosto che la massa nella regione spazialeV. La massa gravitazionale attiva e anche chiamata massa (o energia) diTolman-Komar[41], definita come:

M = 2

∫V

dV(Tµν −

1

2Tgµν

)uµuν (4.70)

Mentre (4.62) e l’integrale della densita di energia misurata della congruen-za degli osservatori, ed essa non e una sorgente dell’accelerazione gravita-zionale, il contributo dalla pressione e dato da (4.70), che e la sorgente perl’accelerazione gravitazionale. La combinazione covariante:

2(Tµν −

1

2Tgµν

)uµuν (4.71)

si riduce a (ρ + 3p) per un fluido perfetto. Quindi rimpiazzando (4.62)con (4.70) si giunge finalmente alla seconda equazione di Friedmann per unUniverso FRW.

a

a= −4πG

3(ρ+ 3p) (4.72)

Moltiplicando sia a sinistra che a destra per aa, usando l’equazione di con-tinuita (4.61) ed integrando il risultato otteniamo la prima equazione diFriedmann per un Universo FRW:

H2 +k

a2=

8πG

3ρ (4.73)

4.10 Le equazioni di Friedmann nel modello olografico 79

Notiamo che in questo caso k compare come una costante di integrazione,ma e chiaro che k e interpretata come la curvatura spaziale della regione V

nella teoria della relativita. Ovviamente k puo assumere i valori 0, 1,−1 aseconda se un Universo e rispettivamente piatto, chiuso o aperto.La cosa interessante e che tutte le assunzioni e i procedimenti fatti in prece-denza possono essere estesi a dimensioni spaziotemporali D ≥ 4. In questocaso il numero di bit sullo schermo sara:

N =1

2

D − 2

D − 3

Ac3

G~(4.74)

L’equazione di continuita avra la forma:

ρ+ (D − 1)H(ρ+ p) = 0 (4.75)

e la massa gravitazionale attiva sara[42]:

M =D − 2

D − 3

∫V

dV(Tµν −

1

D − 2Tgµν

)uµuν (4.76)

Ripetendo i procedimenti fatti prima si arriva alle equazioni di Friedmannper un Universo D-dimensionale:

Prima Equazione di Friedmann D-dimensionale

H2 + ka2

= 16πG(D−1)(D−2)ρ

Seconda Equazione di Friedmann D-dimensionale

aa = − 8πG

(D−1)(D−2) [(D − 3)ρ+ (D + 1)p]

Nel capitolo finale cercheremo di dare una possibile spiegazione alternati-va ad uno degli aspetti piu controversi della cosmologia, ovvero il problemadella Dark Energy; applicando il principio olografico all’orizzonte di Hubblee mostrando un possibile legame tra olografia e forza entropica all’orizzon-te. Concluderemo mostrando un possibile scenario olografico riguardante lecorrezioni quantistiche all’entropia, in cui sono coinvolti direttamente i gradidi liberta memorizzati sullo schermo.

Capitolo 5

L’entropia dell’Universo e ilsuo legame con la gravitacome forza entropica

La nostra immaginazione e tesaal massimo; non, come nellestorie fantastiche, perimmaginare cose che in realtanon esistono, ma proprio percomprendere cio che davveroesiste.

Richard Feynman

5.1 Come quantificare l’aumento di Entropia del-l’Universo

Il contributo dell’entropia dell’Universo e importante perche il suo aumentoe associato a processi che sono tutti irreversibili, su tutte le scale: clusteringgravitazionale, dischi di accrescimento, supernovae, fusioni stellari, proces-si fisici chimici, geologici e biologici terrestri. Il contribuito di entropiadell’Universo osservabile e:

Soss ' 10103 ÷ 10104kB (5.1)

dominata dall’entropia dei buchi neri supermassicci (SMBH) situati al centrodelle galassie. L’aumento di entropia pero non puo avere un valore infini-to, ma come si usa dire, ha un limite superiore che nel nostro caso vienechiamato limite olografico di entropia con un valore dato da:

Smax ∼ 10122kB (5.2)

81

82L’entropia dell’Universo e il suo legame con la gravita come forza

entropica

La seconda legge generalizzata della termodinamica (3.21) dice che l’entropiadell’Universo non puo diminuire con il tempo. All’interno di un UniversoFriedmann-Robertson-Walker, la (3.21) puo essere applicata in 2 modi:

1. L’entropia totale SV C in un volume comovente di Universo sufficien-temente grande non diminuisce con il tempo cosmico

dSV C ≥ 0 (5.3)

2. L’entropia totale di materia contenuta all’interno dell’orizzonte di Hub-ble SIOH piu l’entropia dell’orizzonte stesso SOH , non diminuisce conil tempo cosmico

dSIOH + dSOH ≥ 0 (5.4)

Nella prima definizione, il sistema e limitato da una superficie comoventechiusa; ed e effettivamente isolato perche l’omogeneita e l’isotropia su largascala non implica flussi netti di entropia all’interno o all’esterno del volu-me comovente. Una scelta ragionevole per il volume comovente in questoschema e la sfera comovente che corrisponde attualmente all’Universo osser-vabile, come mostrato in [Fig. 5.1].La seconda definizione e simile alla prima, tuttavia qui il sistema (partegialla in [Fig. 5.1]) e delimitato dalla dipendenza temporale dell’orizzontedegli eventi invece di un confine comovente. Il flusso di materia che attra-versa l’orizzonte degli eventi non e trascurabile, e l’entropia dell’orizzontedegli eventi deve essere inclusa nel bilancio per tener conto di questo. Ladifferenza tra i 2 pannelli e nel sistema di coordinate spaziali usato. L’assex nel pannello inferiore e la distanza propria D e nel pannello superiore ela distanza comovente χ = D

a dove a e il fattore di scala. L’origine e sceltain maniera tale che la nostra Galassia sia la linea verticale centrale tratteg-giata e le altre linee tratteggiate rappresentano galassie distanti, che sonocomoventi e recedono mentre l’Universo espande. Il volume comovente, checorrisponde all’Universo osservabile oggi e rappresentato in grigio. Ripren-dendo il concetto espresso dalle equazioni (5.3) e (5.4), analizzando la [Fig.5.1] si ha che:

1. Nel pannello superiore della [Fig. 5.1] l’entropia all’interno del volumecomovente aumenta o rimane costante con il tempo. Per avere unachiara idea dei contributi di entropia al nostro Universo delle variecomponenti osservo la [Tab. 5.1].Questi dati si ottengono moltiplicando le densita di entropia delle variecomponenti per il volume dell’Universo osservabile tramite la seguenteequazione:

Si = siVoss (5.5)

dove si e la densita di entropia della componente i. Il volume dell’U-niverso osservabile e Voss = 3.65 ± 0.10 × 1080 m3, quindi prendendo

5.1 Come quantificare l’aumento di Entropia dell’Universo 83

Figura 5.1: Queste 2 figure mostrano l’orizzonte delle particelle e l’orizzonte degli eventi infunzione dela distanza comovente e della distanza propria[43].

Componenti Valori di Entropia S(kB)

Stelle S? = 9.5± 4.5× 1080 kB

Gravitoni Sgrav = 6.2× 1087 kB

Dark Matter SDM = 2× 1088 kB

Fotoni Sγ = 2.03± 0.15× 1089 kB

Neutrini Sν = 5.16± 0.14× 1089 kB

Buchi Neri Stellari SBN = 5.9× 1097 kB

Buchi Neri Supermassivi SBNS = 3.1× 10104 kB

Tabella 5.1: Differenti valori di Entropia dell’Universo osservabile.

come componente i-esima ognuna delle componenti presenti nella ta-bella si trovano i valori di S(kB).Nella figura seguente si osservano i contributi di entropia delle princi-pali componenti.


entropica

Figura 5.2: Valori di entropia in un volume comovente[43].

Nella parte di sinistra osserviamo un breve periodo di inflazione, du-rante questo periodo tutta l’energia e data dall’inflatone che ha pochigradi di liberta e un valore di entropia molto basso (zona celeste).L’inflazione termina con un periodo di reheating tra la scala di Planck(10−43 s) e la scala GUT (10−35 s), durante il quale l’energia dell’in-flatone e trasferita ad un fluido relativistico (zona gialla). Durante ilreheating l’entropia aumenta in modo notevole, e dopo di esso il com-portamento del fluido relativistico continua a cambiare, ma il cambia-mento non aumenta l’entropia.Dopo poche centinaia di milioni di anni si formano le prime stelle dalcollasso di nubi di idrogeno neutro ed elio; si formano anche i primibuchi neri. A questo punto l’entropia dei buchi neri stellari (zona gri-gio chiara) e dei buchi neri supermassivi ( zona grigio scura) aumentarapidamente durante l’evoluzione galattica.Nei successivi 1026s la crescita delle strutture piu grandi di circa1014M sara fermata dall’accelerazione dell’Universo. Le galassie al-l’interno di superclusters faranno merging e le masse finali di SM-BH saranno di circa 1010M con entropia dominata da quelli conM ∼ 1012M. I buchi neri stellari evaporeranno tramite radiazio-ne di Hawking in circa 1080s e i buchi neri supermassicci in 10110s. Ladiminuzione del contribuito di entropia dei buchi neri e compensatadall’aumento di entropia della radiazione.La linea nera spessa rappresenta la crescita dell’entropia della radia-zione come evaporazione di buchi neri.

5.1 Come quantificare l’aumento di Entropia dell’Universo 85

2. Nel pannello inferiore della [Fig. 5.1] l’entropia all’interno dell’orizzon-te degli eventi, piu l’entropia dell’orizzonte stesso, aumenta o rimanecostante con il tempo. Anche in questo caso osservo i vari contributidi entropia tramite la [Tab. 5.2].Questi dati si ottengono moltiplicando la densita di entropia delle variecomponenti per il volume dell’orizzonte degli eventi tramite la seguenteequazione:

Si = siVOE (5.6)

dove si e la stessa dell’equazione (5.5). Il volume dell’orizzonte deglieventi e VOE = 1.37±0.10×1079 m3, a questo punto si segue lo stessoprocedimento effettuato per calcolare i valori di entropia S(kB).

Componenti Valori di Entropia S(kB)

Stelle S? = 3.5± 1.7× 1078 kB

ISM, IGM 2.7± 2.1× 1080 kB

Gravitoni Sgrav = 2.3× 1086 kB

WIMP Dark Matter SDM = 6× 1086 kB

Fotoni Sγ = 2.03± 0.15× 1088 kB

Neutrini Sν = 1.93± 0.15× 1089 kB

Buchi Neri Stellari SBN = 2.2× 1096 kB

Buchi Neri Supermassivi SBNS = 1.2× 10103 kB

Orizzonte degli eventi SOE = 2.6± 0.3× 10122 kB

Tabella 5.2: Valori di Entropia dell’orizzonte degli eventi e della materiaall’interno di esso.

Nella figura seguente, analoga alla [Fig. 5.2] si osserva la dipendenza tem-porale dei vari contributi all’entropia.Durante l’era dominata dalla radiazione, il raggio comovente dell’orizzon-te degli eventi e approssimativamente costante (la distanza propria cresceproporzionale al fattore di scala) e la componente di Dark Energy iniziaa dominare nel tempo. Notiamo che la parte sinistra della figura e similea quella di [Fig. 5.2] eccetto per la parte di contributo all’entropia dell’o-rizzonte degli eventi (zona verde). Questa entropia comincia a dominareda circa 1016s. Il numero di galassie, di buchi neri e fotoni all’interno delnostro orizzonte degli eventi decresce come a−3, di conseguenza diminuisceanche il contributo di entropia dei SMBH e delle stelle. La diminuzione del-l’entropia dei buchi neri e compensata dalla crescita asintotica dell’entropiadell’orizzonte e quindi la seconda legge della termodinamica rimane intatta.


entropica

Figura 5.3: Entropia della materia all’interno dell’orizzonte degli eventi ed entropiadell’orizzonte degli eventi.[43]

5.2 La pressione negativa causata dalla forza en-tropica come possibile spiegazione per l’espan-sione accelerata dell’Universo

Nel corso degli ultimi 50 anni ci sono stati molti sviluppi in ambito cosmo-logico, dalla scoperta della radiazione cosmica di fondo, passando per l’ideadi Guth riguardante l’inflazione, fino a scoprire tramite le osservazioni e lostudio delle Supernovae 1A l’espansione accelerata dell’universo. Di seguitosi danno 2 interpretazioni differenti sulla possibile natura della componentedominante dell’Universo attuale, la prima e quella comune della Dark Ener-gy, mentre la seconda e quella dovuta ad una ipotetica presenza di una forzaentropica che controbilancia una pressione negativa che va in direzione delloschermo olografico, in questo caso assunto essere l’orizzonte di Hubble.

5.2.1 Interpretazione come Dark Energy

L’espansione attuale e causata, secondo i modelli, da un termine chiamatoDark Energy, presente anche nelle equazioni di campo di Einstein sottofor-ma di costante cosmologica Λ, che egli introdusse per dare una possibilespiegazione alla staticita dell’Universo.Tramite l’utilizzo della relativita generale, insieme al principio cosmologico,si puo scrivere l’equazione di Friedmann che soddisfa il fattore di scala nelmodo seguente:

H2(t) =( aa

)2=

8πG

3ρ (5.7)

5.2 La pressione negativa causata dalla forza entropica comepossibile spiegazione per l’espansione accelerata dell’Universo 87

dove ρ e la sorgente di densita di energia che guida l’espansione. I contributialla densita sono: ρm(t) = ρm(t0)a−3(t)

ργ(t) = ργ(t0)a−4(t)

dove con ρm si indica la componente di materia barionica piu quella non-barionica (Dark Matter), con ργ si indica la componente radiativa.Quindi si ha che:

ρ ⊇ ρm + ργ (5.8)

Per l’espansione accelerata osservata, tutti i modelli al giorno d’oggi consi-derano un termine aggiuntivo nella densita all’equazione (5.7) dato da:

ρDE(t) = ρDE(t0)a(t)−3(1+w) (5.9)

dove dall’equazione di stato p = wρ si ricava il parametro di stato w.Nel caso w = −1, ovvero quello della costante cosmologica (Λ) si possonotrascurare ρm e ργ e integrando l’equazione di Friedmann (5.7) si ottiene:

a(t) = a(t0)eHt (5.10)

dove√

3H =√

Λ =√

8πGρDE . Differenziando l’equazione (5.10) due volterispetto al tempo si ha:

d2a(t)

dt2

∣∣∣t=0

= H2 (5.11)

Se Λ e positivo, come nella geometria di De Sitter, l’accelerazione e positivae non nulla. Di solito si identifica la costante cosmologica come l’energia delvuoto, ma questa assunzione porta ad uno dei problemi irrisolti del modellostandard. Il valore osservato della costante cosmologica e:

ρΛoss ∼ (10−3eV )4 (5.12)

ma le predizioni teoriche danno un valore:

ρΛteo ∼ (1018GeV )4 (5.13)

Si nota subito un netto contrasto non banale di 120 ordini di grandezza:

ρΛoss

ρΛteo

∼ 10−120 (5.14)

In seguito vengono ricavate le equazioni di Friedmann con la costante co-smologica, utilizzando sempre il principio olografico e i concetti di entropiasull’orizzonte.Nella trattazione successiva viene incluso il termine di curvatura k e c 6= 1e si considera l’orizzonte degli eventi apparente come possibile schermo olo-grafico, invece dell’orizzonte di Hubble (da notare che nel caso di curvatura


entropica

nulla questi due orizzonti sono equivalenti).Considero il raggio dell’orizzonte e la sua derivata:

rA =c√

H2 + ka2

rA = −Hr3

A

c2

(H − k

a2

)(5.15)

Il flusso di energia attraverso l’orizzonte e −dE = dMc2+pdV = (ρc2+p)dV ,cioe:

− dE =(ρ+

p

c2

)c2dV =

(ρ+

p

c2

)c2Arvdt =

(ρ+

p

c2

)c2ArHrAdt (5.16)

dove Ar = 4πr2A. Assumendo che l’orizzonte abbia un’entropia e una tem-

peratura associate ad esso, date da:

S =kBc

3

~GA

4T =

~H2πkB

=~

2πkB

c

rA(5.17)

si puo utilizzare la prima legge della termodinamica −dE = TdS per trovare:

−dE = Ar

(ρ+

p

c2

)c2HrAdt = TdS

= TkBc

3

4~GdArdt

dt

= TkBc

3

4~G8πrArAdt

(5.18)

Dividendo per c2dt e usando l’equazione della temperatura in (5.17) si ricava,dopo aver sostituito rA:

Ar

(ρ+

p

c2

)HrA =

c2

GrA = − 1

Gr3A

(H − k

a2

)(5.19)

Dividendo per HrAG e usando Ar = 4πr2

A si ha:

4πG(ρ+

p

c2

)= −

(H − k

a2

)=⇒ H − k

a2= −4πG

(ρ+

p

c2

)(5.20)

Considerando l’equazione di continuita per un fluido perfetto:

ρ+ 3H(ρ+

p

c2

)= 0 (5.21)

si puo sostituire H(ρ+ p

c2

)= − ρ

3 nell’equazione (5.20):

H[H − k

a2= −4πG

(ρ+

p

c2

)]=

4πG

3ρ (5.22)

ora, integrando quest’ultima:∫HH − k

∫a

a3=

4πG

3

∫ρ (5.23)


che da:

1

2

(H2 +

k

a2

)=

4πG

3ρ+

cost

2⇒ H2 =

8πG

3ρ− kc2

a2+ cost (5.24)

Ma nei modelli il termine costante e dato dalla Λ, quindi in definitiva ho chela prima equazione di Friedmann completa e:

H2 =8πG

3ρ− kc2

a2+

Λc2

3(5.25)

Per trovare la seconda equazione di Friedmann completa si considera H =aa −H

2; la si sostituisce in (5.20) e utilizzando anche la (5.25) si ottiene:

a

a= −4πG

3

(ρ+

3p

c2

)+ cost⇒ a

a= −4πG

3

(ρ+

3p

c2

)+

Λc2

3(5.26)

Si sono ricavate cosı le equazioni di Friedmann con l’aggiunta della costantecosmologica tramite il concetto di olografia ed entropia sull’orizzonte.

5.2.2 Interpretazione come forza entropica

In questo paragrafo verra utilizzato il concetto di forza entropica per dareuna possibile spiegazione alternativa alla Dark Energy, nel caso di Universocon espansione accelerata.I punti di partenza per la discussione saranno 2, ovviamente tutti collegatitra loro, come si e gia visto nei capitoli precedenti:

1. Informazione ed olografia

2. Entropia e temperatura

Prima di tutto si assume che la gravita sia una forza entropica, come ana-lizzato nel capitolo 4. Applicata alla cosmologia cercheremo di verificarel’espansione accelerata dell’Universo odierna prendendo in considerazione latemperatura dell’orizzonte degli eventi data da TH ∼ 10−30K, che dipendedal parametro di Hubble.La prima cosa da fare e considerare un immaginario schermo olografico, chepuo essere assunto essere l’orizzonte di Hubble (questo perche nel caso dicurvatura nulla il raggio di Hubble ha lo stesso valore del raggio dell’oriz-zonte apparente)[44].La fisica sull’orizzonte degli eventi puo essere descritta dalla termodinami-ca che soddisfa la distribuzione di informazione olografica, questo vuol direche il numero di gradi di liberta sull’orizzonte e proporzionale alla sua areaN ∝ A.La sola assunzione da fare e che l’orizzonte ha una temperatura e un en-tropia associate con esso; un esempio legato a questa assunzione e quelloriguardante i buchi neri ed analizzato in dettaglio nel capitolo 3, in cui si


entropica

aveva una temperatura data dalla temperatura di Hawking e un entropiadata dall’entropia di Bekenstein.L’entropia sull’orizzonte e data da:

SH =kBc

3

~GA

4=kBc

3

~GπR2

H ' (2.6± 0.3)× 10122kB (5.27)

dove RH = cH e il raggio di Hubble. Incrementando il raggio di Hubble di

∆r aumenta anche l’entropia di un valore ∆SH :

∆SH =kBc

3

G~2πRH∆r ' (2.6± 0.3)× 10122kB

∆r

RH(5.28)

Il valore di entropia (5.27) e quello gia visto nel paragrafo 5.1, ovverol’entropia calcolata sull’orizzonte degli eventi, considerando:

RH = 15.7± 0.4 Glyr (5.29)

La forza entropica e determinata dalla variazione dell’energia rispetto alraggio:

Fe = −dEdr

= −T dSdr

= −TβdSHdr

(5.30)

dove Tβ e la temperatura dell’orizzonte che vale:

Tβ =~kB

H

2π∼ 3× 10−30K (5.31)

in accordo con la temperatura di De Sitter [45]. La temperatura dell’orizzon-te porta alla forza entropica (5.30) e all’accelerazione risultante dell’orizzontericavata attraverso la formula di Unruh (4.29):

aorizzonte =2πckBTβ

~= cH ∼ 10−9 m/s2 (5.32)

Usando la relazione (5.31) in (5.32) si ottiene un’accelerazione cosmica inaccordo con le osservazioni [46][47].Quindi non vi e una componente di Dark Energy che permette all’Universodi espandersi, ma dietro c’e una conseguenza della seconda legge della termo-dinamica, che agisce nel creare una componente apparente di Dark Energyche guida la densita presente nel termine di destra della prima equazionedi Friedmann. Con questi ingredienti viene ricavata una pressione negativa,che si comporta come una tensione nella direzione dello schermo olografico.Sostituendo (5.27) e (5.31) in (5.30) si ottiene:

Fe = − ~kB

H

2π

kBc3

G~2π( cH

)= −c

4

G(5.33)


dove il segno negativo indica che punta nella direzione di aumento di entropiae quindi dello schermo olografico.La pressione che dipende dalla forza entropica puo essere scritta come:

Pe =FeA

= − 1

ATdS

dr= − 1

A

c4

G= − H2

4πc2

c4

G= −c

2H2

4πG= −2

3ρcc

2 (5.34)

dove ρc e la densita di energia critica ρc ≡ 3H2

8πG .Il valore di Pe e molto vicino alla misura odierna della pressione (tensione)della costante cosmologica. Questa tensione non proviene dalla pressione ne-gativa della costante cosmologica intesa come Dark Energy ma dalla tensioneentropica dovuta al contenuto di entropia della superficie dell’orizzonte, equindi legata all’informazione che vi risiede. Cio equivale ad un’accelerazio-ne verso l’esterno (5.32).Se si sceglie di mettere lo schermo che contiene l’informazione a piccole di-stanze, e associando l’entropia con l’informazione olografata sullo schermosi troverebbe una pressione proporzionalmente piu piccola, e un’accelerazio-ne che decresce linearmente con il raggio in accordo con la famosa legge diHubble[48].Cosı, l’espansione accelerata dell’Universo nasce semplicemente come unaconseguenza naturale dell’entropia olografata sull’orizzonte[49]. E’ possibilemostrare come dalla relazione (5.30), ovvero dal concetto di forza entropica,si possono ottenere risultati che sono consistenti con le osservazioni.Considero un Universo FRW con metrica:

ds2 = hµνdxµdxν + r2dΩ2

2 (5.35)

dove: r = a(t)r

hµν = diag(−1, a2/(1− kr2))

L’orizzonte degli eventi apparente che in questo caso e il solito schermoolografico, e definito dalla relazione hµν∂µr∂ν r = 0 e risulta essere:

rA =1√

H2 − ka2

(5.36)

dove H e il parametro di Hubble. L’area dell’orizzonte e data da A = 4πr2A,

che da N =4πr2AL2p

bit di informazione.

Si suppone che durante un intervallo dt il raggio dell’orizzonte evolve da rAa rA + drA, quindi l’area dell’orizzonte evolve come dA = 8πrAdrA. Si puocalcolare la variazione del numero di bit:

dN =8πrAL2p

drA (5.37)


entropica

Il cambiamento di temperatura TA = ~2πrA

sull’orizzonte e:

dTA = − ~2πr2

A

drA (5.38)

Dalla legge di equipartizione dell’energia ho che:

dE =1

2d(NT ) =

1

2NdTA +

1

2TAdN (5.39)

Sostituendo (5.37) e (5.38) in quest’ultima otteniamo:

dE =drAG

(5.40)

Si nota immediatamente che introducendo questo termine nell’equazione(5.30) per la forza entropica, e ponendo c = 1, si ottiene lo stesso risultatodell’equazione (5.33). Da qui si nota come partendo da una metrica di FRWsi puo cercare di determinare una relazione che mi possa legare il concetto digravita come forza entropica, e quindi la pressione negativa che punta versol’orizzonte (cioe nella direzione di aumento di entropia), con le osservazioniche sono in accordo con l’espansione accelerata dell’Universo che notiamooggi.Consideriamo adesso il caso in cui k = 0 (ma un procedimento analogovale anche per k 6= 0), dall’equazione (5.36) otteniamo il rate di espansionedell’orizzonte:

˙rA = − H

H2(5.41)

Combinando le equazioni di Friedmann ricavate nel capitolo 2, la relazione(5.41) puo essere scritta come:

˙rA =3

2(1 + w) (5.42)

dove w e il parametro che deriva dall’equazione di stato P = wρ.I precedenti conti sono stati effettuati prendendo in considerazione il fattoche l’idea base e che l’energia fluisca attraverso l’orizzonte di area A e l’e-nergia E che e racchiusa dall’orizzonte aumenti con il tempo. Vediamo didimostrare queste 2 idee.Queste assunzioni portano al cambiamento di temperatura e del numerodi bit sullo schermo identificati dall’equazione (5.39). Siccome il tensoreenergia-impulso della materia nell’Universo e un fluido perfetto, l’energiache fluisce attraverso l’orizzonte e:

− dE = 4πr2ATµνk

µkνdt = 4πr3A(ρ+ p)Hdt (5.43)

dove il vettore di Killing e dato da kµ = (1,−Hr, 0, 0).Per esaminare se l’equazione (5.43) e giusta, abbiamo solo bisogno di pren-dere in considerazione il fluido molto vicino all’orizzonte; ricordando che


l’orizzonte puo essere definito come il limite al di sopra del quale il fluido havelocita maggiore di quella della luce, otteniamo che la velocita del fluidovicino all’orizzonte e:

˙rf = 1− ε (5.44)

dove 0 < ε 1.Confrontando (5.42) con (5.44), siamo in grado di capire se l’energia fluisceattraverso l’orizzonte, cioe:

˙rA − ˙rf =1

2+

3

2w + ε ' 1

2+

3

2w (5.45)

A questo punto due condizioni sono verificate:

1. L’energia fluisce attraverso l’orizzonte

2. L’area dell’orizzonte aumenta

Questo equivale a dire che:

1. ˙rA − ˙rf < 0

2. ˙rA > 0

Dalle equazioni (5.42) e (5.45), le due condizioni sono soddisfatte quando:

− 1 < w < −1

3(5.46)

cioe da valori del parametro di stato in accordo con le osservazioni, che midicono che:

˙rA − ˙rf ' −H

H2− 1 =

aa

a2< 0 (5.47)

ma questo implica a > 0, ovvero la condizione di Universo in espansioneaccelerata che osserviamo oggi.Si e appena dimostrato come introducendo il concetto di gravita come forzaentropica e possibile dare una spiegazione alternativa all’espansione accele-rata dell’Universo, senza dover ricorrere alla componente Λ, semplicementefacendo vedere come l’olografia e l’entropia sono collegate con l’orizzontedegli eventi e con la sua evoluzione nel tempo.

I termini di superficie nelle Equazioni di Friedmann

Si e visto nel paragrafo precedente come la forza entropica puo causare unapressione negativa che guida l’espansione dell’Universo. Ma qual’e la com-ponente nelle equazioni di Friedmann che provoca l’espansione acceleratasenza ricorrere alla costante cosmologica?Si consideri l’azione di Einstein-Hilbert:

I =

∫M

(R+ Lm) +1

8π

∮∂M

K (5.48)


entropica

dove R e lo scalare di curvatura, M e la varieta, ∂M e il bordo della varieta,Lm e la lagrangiana del campo e K e la traccia della curvatura intrinseca.Dall’azione e possibile ottenere le usuali equazioni di Einstein con l’aggiuntadei cosidetti termini di superficie (T.S.) che si collocano nella parte destradell’equazione[50]:

Rµν −1

2Rgµν =

8πG

c4Tµν + T.S. (5.49)

Di solito questi termini sono trascurabili ma appaiono importanti nel casoin cui sia presente un orizzonte, come nella nostra discussione. Nel caso disimmetria sferica e omogeneita questo puo portare alle equazioni di Fried-mann con l’aggiunta di questi termini, nel modo seguente [per i conti si vedaappendice B ].Si consideri la seconda parte dell’equazione (5.48) dal momento che ci in-teressa maggiormente la struttura spazio temporale piuttosto che la lagran-giana del campo[51].L’energia totale e data dall’Hamiltoniana, che in questo caso non e altro chel’integrale della curvatura intrinseca:

H0 = − 1

8π

∫K (5.50)

e la traccia sara proporzionale ai termini di superficie che compariranno nelleequazioni di Friedmann. L’integrale della traccia della curvatura intrinsecasara proporzionale a:

H0 ∝ CHH2 + CHH (5.51)

Quindi considerando la Relativita Generale si ottengono i termini di super-ficie con i loro relativi coefficienti:

32πH

2 ≡ α primo termine di superficie

34π H ≡ β secondo termine di superficie

Le equazioni di Friedmann potranno essere scritte nel modo seguente:

H2 = 8πG

3 ρ+ α+ β

aa = −4πG

3

(ρ+ 3p

c2

)+ α+ β

La somma dei 2 termini di superficie (α + β) ha la stessa funzione del ter-mine di costante cosmologica presente nelle equazioni del modello con DarkEnergy. La somma dei termini di superficie pero non e costante, ma tendeverso un valore fisso se ci si avvicina al limite di De Sitter.Da qui la stretta analogia e quindi lo studio dell’espansione accelerata del-l’Universo attraverso la gravita come forza entropica.

5.3 La forza entropica come possibile spiegazione per l’espansioneaccelerata dell’Universo durante l’epoca inflazionaria 95

5.3 La forza entropica come possibile spiegazioneper l’espansione accelerata dell’Universo du-rante l’epoca inflazionaria

Fino ad ora si e visto come e possibile dare una spiegazione alternativa all’e-spansione accelerata dell’Universo senza ricorrere alla costante cosmologica,ricavando la pressione entropica negativa che permette l’espansione e i ter-mini di superficie nelle equazioni di Friedmann che mi danno l’accelerazione.Nella storia dell’Universo c’e stata un’altra epoca in cui si suppone ci siastata un’espansione accelerata di gran lunga maggiore di quella odierna,chiamata Inflazione.Si cerchera ora di ricavare una pressione entropica negativa analoga allaprecedente che potrebbe guidare l’epoca inflazionaria, in cui vi e incluso untermine che deriva da una correzione quantistica al primo ordine sull’entro-pia (5.27). Il passo finale sara quello di ricavare questo termine cercando didare un valore teorico allla correzione sull’entropia che dipendera dai gradidi liberta.Considero l’entropia:

SH =kBc

3

~GA

4=kBc

3

~GπR2

H ' (2.6± 0.3)× 10122kB (5.52)

Il termine correttivo tiene conto del numero di modi in cui l’informazione puoessere codificata sulla superficie dello schermo (orizzonte). Questo terminee analogo a quello che puo essere ricavato in Teoria delle Stringhe e in LoopQuantum Gravity; infatti in questi casi la correzione al primo ordine saranella forma:

S =A

4l2pl+ ρ ln

(Al2pl

)+O

( l2plA

)(5.53)

dove l2pl = ~Gc3

e il quadrato della lunghezza di Planck.Nel nostro caso si consideri la formula di Boltzmann:

S = kB lnW (5.54)

dove W e il numero di microstati che producono lo stesso macrostato, chein questo caso e il numero di modi in cui la stessa informazione puo esserememorizzata sulla superficie.Si puo stimare il numero di microstati W considerando che ci sono N = A

Apl“posti” per l’ informazione sullo schermo e che il numero possibile di bitdi informazione deve essere di tot. volte il numero di “posti” N . Ci siaspetterebbe un numero dell’ordine di 2 bit disponibili per ogni “posto” Ndandoci:

W =2N !

[(N + 1)!N !](5.55)


entropica

che non e altro che il numero di modi in cui 2 bit possono essere situati inN “posti”. Questo mi da:

S = kBA

Aplln 2 +

1

2C ln

( A

Apl

)(5.56)

utilizzando l’approssimazione di Stirling, ottenendo cosı il termine correttivonella forma gkB ln A

Apl. A questo punto la nuova forma dell’entropia sara:

SH =kB4

A

Apl+ gkB ln

( A

Apl

)=kBc

3

G~A

4+ gkB ln

( A

Apl

)(5.57)

Il fattore g include il numero effettivo dei gradi di liberta indipendenti, datoche l’entropia sara la somma su ogni grado di liberta. Il termine g saraquello che dovra essere ricavato e poi sostituito nell’equazione (5.57) ed equello che dovra comparire nella pressione entropica che guida l’inflazione.

5.3.1 La pressione entropica negativa che guida l’inflazione

Fino ad ora si e visto come l’accelerazione e guidata da un termine di su-perficie aggiuntivo nell’equazioni di Einstien, che viene fuori dal concetto dischermo olografico studiato in questo lavoro di tesi.Considerando l’equazione (5.52) e l’inclusione del termine correttivo checompare in (5.57), incrementando il raggio RH di dr e l’entropia di un valoredSH ottengo:

dSHdr

=kBc

3

4G~dA

dr+ gkB

1

A

dA

dr=(kBc3

4G~+gkB4πc2

H2)dAdr

(5.58)

dove A = 4πR2H e RH = cH−1. Questo dara un altro termine nell’equazione:

a

a= −4πG

3

(ρ+

3p

c2

)+ α+ β + γ (5.59)

dove γ = gπH

4, mentre α e β sono gli stessi calcolati precedentemente.Questo termine aggiuntivo puo essere inserito nell’equazione di Friedmannnel modo seguente:

a

a= −4πG

3

(ρ+

3p

c2

)+H2 + kH4

= −4πG

3

(ρ+

3p

c2

)+H2

(1 +

g

π

H2

H2pl

) (5.60)

dove k = 4G~c3

g4πc2

= gπH2

ple Hpl = c

lpl.

Una volta scritta la variazione di entropia con il termine correttivo si puoricavare la forza entropica anche nel caso inflazionario:

Fe = −dEdr

= −T dSdr

= −TβdSHdr

(5.61)


Inserendo (5.31) e (5.58) in quest’ultima, si ha:

Fe = −c4

G

(1 +

g

π

H2

Hpl

)(5.62)

dove il segno negativo indica, come nel caso analizzato nel paragrafo 5.2.2,che la forza punta in direzione dell’aumento di entropia cioe in direzionedello schermo.La pressione entropica allora si ricava direttamente scrivendo:

Pe =FeA

= − 1

A

c4

G

(1 +

g

π

H2

H2pl

)= −c

2H2

4πG

(1 +

g

π

H2

H2pl

)= −2

3ρcc

2(

1 +g

π

H2

H2pl

) (5.63)

Quest’ultima puo essere scritta anche utilizzando la densita di energia criticaattuale ρ0c:

Pe = −2

3ρcc

2(

1 +g

π

H2

H2pl

)= −2

3ρ0cc

2(H2

H20

+g

π

H4

H20H

2pl︸︷︷︸

§

)(5.64)

Questa e la pressione entropica che guida l’inflazione nel modello di gravitaentropica.A piccoli valori di H il valore della pressione e vicino al valore della costantecosmologica misurata correntemente, e il termine § puo essere trascurato,riottenendo cosi l’equazione (5.34). Analogamente al caso discusso nel para-grafo 5.2.2, la tensione in direzione dello schermo olografico non viene dallapressione negativa della Dark Energy, ma dalla tensione entropica dovutaall’informazione contenuta sulla superficie dello schermo.A grandi valori di H, come nel periodo inflazionario, il termine § e moltoimportante e permette una correzione nel valore della pressione entropicache potrebbe guidare l’espansione inflazionaria.A questo punto la cosa che rimane da fare e trovare il valore del termine dainserire poi nella formula dell’entropia (5.57)

5.3.2 Calcolo del numero effettivo dei gradi di liberta e delvalore della correzione sull’entropia

Per cominciare, si consideri il caso in cui il fattore di scala a e piccolo e ilrate di espansione H e molto veloce. Considero l’equazione:

H2(1− CH)− CHH =8πG

3ρ (5.65)


entropica

dove CH = 32π e CH = 3

4π . Si puo riscrivere la (5.59) nel modo seguente:

a

a= −4πG

3

(ρ+

3p

c2

)+ CHH

2 + CHH +g

π

H4

H2pl

(5.66)

e raggruppare meglio i termini considerando anche che aa = H2 + H:

H2(1− CH) + H(1− CH) = −4πG

3

(ρ+

3p

c2

)+g

π

H4

H2pl

(5.67)

Combinando l’equazione (5.66) con l’equazione:

H2 =8πG

3ρ+ CHH

2 + CHH (5.68)

si ottiene:

H = −4πG(ρ+

p

c2

)+g

π

H4

H2pl

(5.69)

Se H = 0 si ha una fase di espansione accelerata di De Sitter e il fattore discala sara a(t) = a(t0)eH(t−t0).L’equazione precedente diviene:

4πG(ρ+

p

c2

)=g

π

H4

H2pl

(5.70)

e nel caso di alte energie relativistiche (w = 13) diviene:

4πG(ρ+

p

c2

)= 4πGρ(1 + w) −→ 16πG

3ρ (5.71)

A questo punto posso legare il numero effettivo dei gradi di liberta con ladensita di energia nel caso relativistico:

g

π

H4

H2pl

=16πG

3ρ (5.72)

Finche ci troviamo nel regime in cui il tasso di espansione H e grande esostanzialmente costante, la densita dell’Universo e costante, piuttosto chescalare come a−4(t). Si comporta in modo molto simile ad una costantecosmologica con la sua densita indipendente dal volume comovente.E’ da notare come in questo caso e la radiazione termica della temperaturadell’orizzonte che riscalda lo spazio interno e fornisce la densita di energiaseguente:

ρ =G(T )u(T )

c2(5.73)


dove u(T ) e la densita di energia. Dalla termodinamica e nota la relazioneche mi lega u(T ) con l’energia irradiata per unita di superficie per unita ditempo U(T ):

u(T ) =4

cU(T ) (5.74)

ma U(T ) non e altro che la legge di Stefan-Boltzmann, U(T ) = σT 4. In-serendo la legge di Stefan-Boltzmann in (5.74) e quest’ultima in (5.73) siottiene:

u(T ) = G(T )4

cσT 4 (5.75)

dove G(T ) e il numero effettivo dei gradi di liberta ad una certa temperaturaT . Considerando l’equazione (5.72) e sostituendo sia il valore della densitadi energia che dipende da G(T ), sia la temperatura dell’orizzonte si ottiene:

g

π

H4

H2pl

=16πG

3c3G(T )4σT 4

β =16πG

3c3G(T )4σ

( ~H2πkB

)4(5.76)

A questo punto semplificando si puo ricavare il valore di g da inserire poinell’equazione dell’entropia con il termine correttivo logaritmico che carat-terizza il periodo inflazionario.Semplificando l’equazione precedente si ottiene:

g

πH2pl

=16πG

3G(T )4σ

( ~2πkB

)4

=16πG

3c3G(T )4

π2k4B

60~3c2

( ~2πkB

)4

= G(T )G~

45πc5

= G(T )Apl

45πc2

=G(T )

45πH2pl

(5.77)

cioe:g

πH2pl

=G(T )

45πH2pl

(5.78)

e da cui si ottiene il valore del numero dei gradi di liberta indipendenti,che sono proporzionali al numero dei gradi di liberta effettivi ad una datatemperatura T:

g =G(T )

45oppure G(T ) = 45g (5.79)

Inserendo tale valore nella formula dell’entropia (5.57), si ottiene la corre-zione logaritmica che dipende dai gradi di liberta effettivi:

SH =kBc

3

G~A

4+G(T )

45kB ln

( A

Apl

)(5.80)


entropica

Con T si e indicata la temperatura legata al:

• Numero dei gradi di liberta effettivi della sottostruttura dello Spazio-Tempo.

Quindi la correzione logaritmica dipende dai gradi di liberta che vivono sul-l’orizzonte assunto come schermo olografico.Da notare che quando la correzione logaritmica e assente, non vuol dire cheg = 0, ma semplicemente che essa e trascurabile, ovvero non siamo in regimidi gravita quantistica.Il caso in cui g = 0 (o G(T ) = 0) non si puo mai verificare perche signifi-cherebbe avere entropia nulla e quindi, in base al teorema di Nerst1, tempe-ratura nulla; in contrasto con il fatto che per avere una forza entropica e diconseguenza una pressione entropica negativa che permette all’universo diespandersi si deve avere una temperatura T ≥ Tβ2.

1Questo teorema, chiamato anche terzo principio della termodinamica, afferma cheserve una quantita di energia infinita per raffreddare un corpo fino allo zero assoluto. Ilraggiungimento dello zero assoluto e contrario all’aumento di entropia nei sistemi isolati.Lo zero assoluto non puo essere raggiunto ne teoricamente ne praticamente perche sarebbein contrasto con il principio di indeterminazione di Heisenberg.

2Nel nostro caso nella terza legge della termodinamica la nozione di zero assoluto(T = 0) deve essere rimpiazzata con T ≥ Tβ

Conclusioni

In questo lavoro di tesi si e cercato di capire come la gravita possa essere in-tesa come forza entropica ed emergente dalle proprieta dello Spazio-Tempo,e tale interpretazione, studiata assieme alla teoria olografica, ha consentitodi fornire una possibile spiegazione all’espansione accelerata dell’Universo;sia all’epoca attuale che durante l’inflazione.Per prima cosa si e cercato di analizzare come l’entropia possa partecipa-re attivamente alla descrizione del principio olografico, partendo dal suoconcetto classico, fino ad arrivare al legame con l’entropia dei buchi neri.Successivamente si e studiato come l’informazione possa essere codificatasullo schermo olografico, il che corrisponde a una caratteristica particolare:studiare la fisica della superficie olografica equivale a studiare la fisica delvolume in essa racchiuso.Sostanzialmente gli ingredienti chiave su cui ci si e basati sono stati:

• Lo spazio e emergente, la parte di spazio che non e ancora emersa e rac-chiusa da uno schermo olografico e l’entropia e proporzionale all’areadella superficie dello schermo.

• La gravita e una forza entropica come qualsiasi altra forza generalizza-ta collegata alla prima legge della termodinamica. Piu concretamente,la gravita e causata dal cambiamento di entropia (dovuto allo spazioemergente) sullo schermo olografico .

Infine, ma non per questo di minore importanza, si e visto come la gravita in-tesa come forza entropica e l’olografia possano dare una visione differente delmondo che ci circonda. In particolare, esse potrebbero dare una spiegazionealternativa a quell’espansione accelerata osservata attualmente e avvenuta,si ipotizza anche durante il periodo inflazionario, considerando che il legametra la termodinamica statistica e l’olografia e giustificato dal fatto che sul-la superficie dello schermo olografico sono memorizzati bit di informazionecaratterizzati da determinati stati microscopici, e questi stati sono legati acorrezioni di tipo quantistico sull’entropia.

101

Appendice A

Distanze e orizzonti inCosmologia

• Distanza propria e legge di Hubble: La distanza propria percorsadalla luce e per definizione:

dp(t) =

∫ r

0

a(t)√1− kr′2

dr′ (A.1)

Siccome e sempre possibile scegliere un sistema di coordinate per cuidϑ = 0 e dϕ = 0, la parte angolare viene ignorata. La formula (A.1)fornisce la distanza di un punto posto alla coordinata comovente r. Aseconda della geometria si trova:

dp(t) = a(t)f(r) (A.2)

dove f(r), una volta risolto l’integrale, diviene:

f(r) =

arcsin r k = 1

r k = 0

arcsinh r k = −1

Quindi la dipendenza temporale e solo in a(t) e qualunque sia la varietaspaziale dell’Universo, la velocita di recessione di un punto dovutaall’espansione cosmica e:

v(t) =d

dtdp(t) = a(t)f(r) =

a(t)

a(t)dp(t) (A.3)

dove a(t)a(t) ≡ H(t) e il parametro di Hubble. Quindi si puo scrivere:

v(t) = H(t)dp(t) (A.4)

103

104 Distanze e orizzonti in Cosmologia

che al tempo presente t0 diviene:

v(t) = H0dp (A.5)

dove H0 e la costante di Hubble. Quest’ultima relazione e nota comelegge di Hubble, e dal momento che non dipende dalle coordinate, essae la stessa in ogni punto dell’Universo.

• Distanza comovente: La distanza comovente e la distanza tra duepunti nello spazio in coordinate comoventi, ad un singolo tempo co-smico.

• Volume comovente: E’ il volume all’interno del quale la densitadegli oggetti rimane costante nel tempo. Esso e definito dall’integrale:

V (z,Ω) =

∫∆z

∫ ∫ΩdV (A.6)

Il volume comovente corrisponde al volume dell’Universo osservabileoggi.

• Orizzonte delle particelle: Dato un insieme di punti ed un osser-vatore, si definisce orizzonte delle particelle (Rp), la massima distan-za propria dei punti in connessione causale con l’osservatore stesso.Poiche la massima distanza propria viene raggiunta muovendosi allavelocita della luce, quindi percorrendo una geodetica nulla ds2 = 0, siha:

Rp(t) ≡ a(t)

∫ r

0

dr′√(1− kr′2)

= a(t)

∫ t

0

cdt′

a(t′)(A.7)

Se Rp(t) e finito, non tutte le particelle possono essere in connessionecausale con l’osservatore. L’espressione in funzione del tempo cosmicoe del parametro di stato w per l’orizzonte delle particelle nel caso diUniversi piatti e a singola componente e la seguente:

Rp(t) = 31 + w

1 + 3wct (A.8)

• Orizzonte cosmologico: l’orizzonte cosmologico, chiamato ancheorizzonte degli eventi cosmico rappresenta, in ogni istante t, la di-stanza dall’osservatore alla quale e giunto un punto che si e mosso convelocita c per un tempo pari al tempo tipico dell’espansione cosmicaτH(t) = H−1(t):

RH(t) = cτH(t) =c

H(t)(A.9)

La differenza tra Rp e RH consiste nel fatto che RH e una misura pun-tuale di cio che vediamo in un dato istante e non considera interazioni

105

e/o connessioni causali tra le particelle, mentre Rp ne tiene conto.Una volta entrati nell’orizzonte delle particelle di un osservatore, non sipuo piu uscirne: esso e legato all’intera storia passata di quell’osserva-tore e uscire da Rp significherebbe cancellare la precedente connessionecusale. L’espressione in funzione del tempo cosmico e del parametrodi stato w per l’orizzonte cosmologico e la seguente:

RH(t) =3

2(1 + w)ct (A.10)

Appendice B

Calcolo dei coefficienti deitermini di superficie

In questa appendice verra mostrato il procedimento per ottenere i valori deitermini di superficie utilizzati nella trattazione della pressione entropica sianel caso attuale, sia nel caso del periodo inflazionario.L’accelerazione H2 e tale che la variazione di potenziale dal centro versol’orizzonte dall’accelerazione e costante. L’accelerazione fisica e afis = ar,per un’accelerazione H2 del fattore di scala, e quindi si ha un’accelerazionefisica linearmente crescente verso l’orizzonte. Integrando da r = 0 al raggiodi Hubble ho un potenziale negativo:

∆ΦH2 = −∫ dH

0ar(adr) = −

∫ dH

0aCHH

2r(adr) = −1

2CHH

2(adH)2

= −1

2CHH

2R2H

(B.1)

Il valore del potenziale dipende dal coefficiente CH , per il termine H2. Allostesso modo per il termine H:

∆ΦH = −∫ dH

0aCHHr(adr) = −1

2CHH(adH)2 = −1

2CHHR

2H (B.2)

La forza entropica e relazionata alla massa-energia racchiusa nell’orizzonte,che e quella che ci aspettiamo per il contenuto di energia immagazzinatasullo schermo olografico come informazione. L’assunzione che l’Universo siaomogeneo e isotropo, mi puo far capire in linea teorica che l’informazionesullo schermo e in realta l’informazione che e al difuori dello schermo, cherisulta in media la stessa all’interno dello schermo. In questo modo l’accele-razione entropica risulta come un’enegia costante all’interno dell’orizzonte.Quando si ha una massa-energia all’interno dell’orizzonte, si ha un cambia-mento di H nel tempo, quindi anche un cambiamento dell’orizzonte stesso

107

108 Calcolo dei coefficienti dei termini di superficie

e dell’informazione codificata su di esso.Nelle equazioni di Friedmann si aggiunge un termine costante, esattamentecome succede con il termine Λ nel caso “standard”, per una data dimensionedell’orizzonte, e il valore di questo termine cambia quando H cambia.A questo punto considerando l’espressione per l’energia totale di una parti-cella di test che si avvicina all’orizzonte di Hubble dal centro risulta essere:

Etot =1

2H2R2

H −4πG

3ρR2

H + ∆ΦH2 + ∆ΦH (B.3)

cioe:

Etot =1

2H2R2

H −4πG

3ρR2

H −1

2CHH

2R2H −

1

2CHHR

2H (B.4)

Dividendo tutto perR2H2 ottengo l’equazione di Friedmann con i termini di

superficie:

H2 − 8πG

3ρ− CHH2 − CHH =

2

R2H

Etot ∼ 0 (B.5)

Adesso considero l’energia totale come l’hamiltoniana, per calcolare i valoridi CH e CH . L’integrale della curvatura intrinseca e l’energia totale:

H0 = − 1

8π

∫K (B.6)

la traccia della curvatura intrinseca sara dell’ordine di −6(2H2+H)8π , quindi

l’integrale della traccia della curvatura intrinseca sara approssimativamente:

H0 =6(2H2 + H)

8π × 8π4πa2R2

H (B.7)

che riscritta meglio da:

H0 =3

8π(2H2 + H)a2R2

H (B.8)

Considerando che l’hamiltoniana non e altro che l’energia totale, riprenden-do l’equazione (B.5), e ricordando che nel caso standard delle equazioni diFriedmann i termini di superficie non ci sono, ho che:

H2 − 8πG

3ρ =

1

a2

2

R2H

Etot (B.9)

Sostituendo la (B.8) si ottiene:

H2 − 8πG

3ρ =

1

a2

2

R2H

3

4π(2H2 + H)

a2R2H

2(B.10)

Semplificando si ottiene l’equazione di Friedmann con i termini di superficie:

H2 =8πG

3ρ+

3

2πH2 +

3

4πH (B.11)

e quindi i coefficienti sono:

109

CH = 32π

CH = 34π

Ringraziamenti

Finalmente e finita!!! Dopo tanti anni impegnato a studiare sono giunto allaconclusione del mio lavoro di tesi.Molte persone di solito scrivono dei ringraziamenti brevi ma io invece voglioandare controcorrente; cerchero di scrivere il piu possibile ahahahah.La prima persona che ringrazio e il mio relatore, il prof. Francesco Ravanini,che mi ha trasmesso la passione per la Relativita e permesso di poter scri-vere la tesi sulla materia che piu di ogni altra mi aveva sempre affascinato.Di sicuro senza le sue lezioni divertenti, senza il “suo humor”, senza le suelavagnate di conti che almeno le prime volte sembravano assurdi lo studio diquesta materia non sarebbe stato lo stesso. A lui va un sentito Grazie pertutto il tempo speso a darmi consigli, fare le dovure correzioni, specialmentein un paio di occasioni in cui invece di usare la lettera “c” avevo usato lalettera “k” in stile facebook (che risate quando l’ho scoperto). Sono sem-pre convinto che la bravura di un prof. sia sempre quella di trasmettere ilproprio interesse verso la propria materia, oltre che ovviamente conoscerlain maniera profonda. Per questo credo che il prof. Ravanini sia uno deimigliori che io abbia mai avuto in tanti anni di Universita; lo ringrazierosempre. Spero che i suoi prossimi studenti possano avere la fortuna che hoavuto io.Eccoci qui adesso ai dovuti ringraziamenti per i cosiddetti soggetti grezzi.Visto che non vorrei dare preferenze a nessuno di loro, preferisco indicarliin ordine alfabetico e se qualcuno avesse da ridire non c’e problema, vieneda me e ne parliamo, con relativa testata finale pero(munito rigorosamentedi infradito) ahahahahah.Pietro Bontempi : eccolo qui, e lui, il famigerato grezzo supremo, conpoteri simili al supremo di Dragon Ball. Credo che la saggezza e la tem-pestivita di riuscire a dire grezzate quando meno te l’aspetti sia una dellesue caratteristiche migliori. Son rimasto scioccato anche io migliaia di volte,pero devo ammettere che le giornate erano super divertenti in sua com-pagnia; praticamente e una delle persone con cui ho stretto per primo unrapporto di amicizia dall’inizio dell’Universita e ci siamo fatti delle grasserisate ovunque. Son riuscito a portargli anche sfiga pochi giorni dopo la sualaurea, quando il suo Mac lo ha definitivamente abbandonato; immaginosolo le maledizioni che mi ha mandato. Speriamo di poterci fare ancora una

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bella chiacchierata, con annesse grezzaggini sulle gazzelle ahahahahha.Roberto Iaconi : ormai per tutti noi e il canguro italiano. Beato lui che eandato in Australia a cercar miglior fortuna, pero per tutto il tempo che estato con noi sono riuscito a capire quanto una persona possa essere grezza.Lui e l’amico Pietro mi hanno indirizzato su una strada malvagia, cioe quel-la dell’essere grezzi doc; io che son sempre stato un agnellino ahahahahaha.Mi son trovato davvero bene con lui, almeno le giornate in dipartimento sonstate movimentate, specialmente nelle svariate occasioni in cui ascoltandomusica rock o metal si metteva a cantare disturbando il resto degli abitantidell’aula, con annessi insulti benevoli da parte nostra. Non dimenticheromai le serate passate al pub a bere una birretta in compagnia del King percercare di dare a quest’ultimo numerosi consigli sul gentil sesso. Per fortunaprima di partire sei riuscito a registrare sul tuo pc il mio marchio di fabbrica,cosi quando ascolterai ti ricorderai delle giornate in nostra compagnia.Irene Madore : conosciuta come la tossica della curva (visto che tifa Bo-logna, poveri noi......), l’amica con cui ho condiviso le esperienze piu belle,dalla giornata al radiotelescopio di Medicina fino alla settimana a Loianoper i laboratori, per di piu aver condiviso la stessa camera e stato troppodivertente. Romperle le scatole era la cosa piu bella, non si riusciva a farnea meno, sembrava di giocare con un pupazzo, e piu reagiva piu io continuavoa romperle. Devo dire che ho conosciuto poche persone che hanno la suavivacita, ma per questo mi son sempre trovato bene coon lei; anche tuttele volte che sono andato a casa sua per studiare insieme esami come AGN,Cimatti o Relativita. Una delle mie migliori amiche. Ti ricordo: prima opoi il Bologna tornera in serie B, ahahahahaha.Alessandro Maini : THE KING, l’unica parola plausibile per questo per-sonaggio losco e sempre concentrato nello studio. Lo ringrazio per tutti imesi passati a dire cavolate e a cercare di dargli consigli su cose partico-lari e di importanza fondamentale :D. Non ho mai conosciuto una personacosı meticolosa nel cercare di apprendere le varie problematiche di qualsiasimateria di studio, ma non solo, anche di cose che riguardano il mondo el’informazione in generale. La cosa che mi ha scioccato di piu e vedere lemigliaia di paranoie assurde della sua testa, che vanno dal bere l’acqua inbottiglia rigorosamente di vetro in modalita cornucopia, fino a mettere ilcomputer nella valigia senza usare la sua naturale custodia, cosı in tal modoil computer subisce meno vibrazioni; ma ne potrei elencare altre centinaia.Maini ricorda: meno paranoie e vedrai che le gazzelle verranno numerose.Serena Manti : la persona che mi e stata sempre vicina nelle situazioni disconforto, ma la sua presenza mi ha aiutato a superare anche momenti incui non sapevo cosa fare e come andare avanti (per il lavoro di tesi). Anchedurante il perido di esami, fino ad Aprile mi ha sempre incitato a dare ilmeglio, sapendo comunque di aver fatto sempre il massimo per preparare unesame. La ringraziero sempre perche mi e stata vicina, non potevo chiederepersona migliore. Ti voglio bene.

113

Antonino Marasco: il compagno di combriccola del King e suo fedelecoinquilino (anche se devo ammettere che non riesco ancora a capire comefaccia a resistere a tutte le sue paranoie). Sicuramente e la persona chepiu ha capito quanto sia illuminante essere grezzi con classe, poche parolema piene di poteri mistici sull’essere grezzi, anche con il semplice sguardo.Splendida la creazione del mio personaggio wrestler all’ xbox, con tanto dicamicia hawaiana, catenone d’oro e rigorose infradito rosse; il tutto conditocon la mitica mossa finale della craniata sul lobo oculare, quante risate laprima volta che vidi il mio personaggio. Visto che alla fine il sidro di melee davvero buono???? SIDRO RULE!!Andrea Negri : sicuramente e una delle persone che piu mi ha aiutato nelcercare di comprendere i numerosi errori che facevo a suo tempo (e continuoa fare) con Latex. Immagino si sia piu volte scioccato nel vedere le porcherieche facevo con il mio codice sorgente, lui che e un luminare dei codici. Nonscordero mai quei maledetti giorni di Novembre a preparare l’esame del prof.Ciotti, ma soprattutto i fenomenali polinomi di Gegenbauer che Andrea siostinava imperterrito a gufarmi per l’esame. Poi purtroppo a me e andatabene e al povero Pietro son capitati proprio quelli ahahahahha. Ricorda An-drea, al prossimo Lucca Comix voglio venire anche io, le donzelle aspettano:D.Cristina Pallanca : una delle persone con il viso piu divertente che abbiamai conosciuto, e un mix tra morbidezza e giovialita. La ringraziero sempreper tutte le volte che mi ha detto di non preoccuparmi per un esame e dinon essere teso. Lei e un’altra di quelle persone che fa parte della ristrettacerchia delle grezze doc; quando meno te l’aspetti ecco una grezzata di livellomondiale che solo persone come me, Roberto o Pietro potrebbero eguagliareo superare. Anche se e da un po che non e piu in aula con noi, visto la suapromozione a grado di dottoranda rimane sempre una delle persona con cuiho avuto (ed ho) il piacere di parlare, fare battute e ridere. Una sola cosa:basta urlare MIAAAAAAA a pallavolo, mi rompi i timpani :D.Sara Rastello: tamburello!!!!!!! Anche se la conosco da appena un annoe una delle persone con cui ho stretto un gran rapporto di amicizia. Laringraziero sempre per le numerose giornate di Gennaio e Febbraio, mentrepreparavo l’esame di Cimatti, per avermi tenuto compagnia fino alle 9 disera, visto che anche lei preparava un esame. Per fortuna in quelle giornatepassate in aula (diciamo serate visto che faceva notte alle 5 praticamente)c’era qualcuno a cui poter tirare i pizzicotti, salvo poi prendersi in prestito ilmio cappello per dispetto, allargandomelo a dismisura, vero TESTA TON-DA?????? Mi son sempre fatto delle immense risate in sua compagnia, euna persona che trasmette vivacita e non smettero mai di essere suo amico.A proposito: Se non passi a salutare in aula raccomandati sono botte botte:D.Caterina Tiburzi : la persona piu sfortunata con i pc. Mi ha fatto davveropiacere condividere le giornate di preparazione alla tesi con lei, spesso ho


cercato di tirarla su moralmente in numerose occasioni di sconforto biblico,specialmente per quanto riguarda i problemi avuti con quella macchina osce-na chiamata “phantom”. E’ una delle persone con la piu alta percentuale digrezzaggine che io abbia mai conosciuto, pero la sua e una grezzaggine conclasse :). Una cosa scandalosa e l’aver scoperto nel suo armadietto i fami-gerati biscotti senza zucchero, un abominio senza precedenti; oltre al fattodi avere praticamente una succursale della coop al suo interno. Grazie perle giornate passate a ridere e scherzare per cercare di allentare la tensionedovuta alla preparazione della tesi. Ricorda sempre: “you are crude withclass”.Gaia Vincenti : forse la persona che piu mi ha odiato in tutto il periododella scrittura della tesi (sia mia che sua). Non passava giorno che io noncercassi di portarle sfortuna, sia per il pc, sia per il giorno della discussionedi laurea; ogni volta il suo sguardo minaccioso mi incrociava e al tempostesso cercavo di concentrarmi il piu possibile per cercare con i miei pote-ri di portarle una qualche sfortuna, ma e rimasta una delle poche personeimmuni da tale forza mentale. Tra poco finalmente saro anch’io laureato, enon potrai piu bullarti davanti a me.Voglio anticipatamente scusarmi con le seguenti persone se non ho fatto unadescrizione anche per loro, ma il tempo era poco e le pagine da riempiresarebbero state troppe. Comunque ringrazio anche Alice, Fernanda, Fran-cesca, Rocco, Matteo, Loredana, Maria Grazia,Ivan, Alessandro, Davide,Carmelo.

Grazie a tutti per questi anni meravigliosi.

Infine vi chiederete: ma i genitori non li ringrazi??? Certo, pero la dedicaall’inizio vale piu di mille parole.

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