Relativita’ e Cosmologia

• Relativita’ Generale

• Cosmologia Elementare

• Modello Standard dell’Universo

Relativita’ Generale

La Relativita’ Speciale e’ una (meta)teoria in assenza di

gravitazione (che riguarda solo trasformazioni tra SR Inerziali)

La Relativita’ Generale e’ una teoria della gravitazione che

rispetta il principio di equivalenza (tra massa inerziale e massa

gravitazionale)

Equivalenza tra massa inerziale e massa gravitazionale

Indistinguibilita’ tra la caduta libera in un campo gravitazionale (mela

dall’albero) e l’accelerazione (il razzo)

Il campo G, un campo diverso

Campo G

P = m(g) g

P = m(i) a

m(g)g = m(i)a

a = g x m(g)/m(i)

a = g

La stessa per tutti

Campo E

F = qE

F = m(i)a

qE = m(i)a

a = E x q/m(i)

diversa a seconda

della carica

Ma se la gravitazione non dipende da nessuna caratteristica del corpo allora

essa e’ una proprieta’ dello spaziotempo.

Geometrie di Spaziotempo

Assioma

delle

parallele

Spazio euclideo? Descrizione

Fisica

classica

Si (piatto) Si

Spazio euclideo 3-d

con t parametro

esterno

Relativita’

Speciale

Si (piatto) No Spaziotempo

pseudoeuclideo

A 4-d

Relativita’

Generale

No (curvo) No Varieta’ di Riemann a

4-d

2 2 2 0x y z

2 2 2 2 2c t x y z

Concetto di interazione

Newton

Faraday

Maxwell

Azione a distanza

Campo

Campi quantistici

(scambio di quanti)

Gravita’

(curvatura spaziotempo)

2

2 2 2 2 2

2

1 0 0

0 1 0

0 0 1

x

s y x y z

z

2 2

2

2 2 2 2 2 2

2

2

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

c t

xs c t x y z

y

z

Spazio della fisica newtoniana.

La lunghezza di un righello e’

invariante (e anche dt)

Spazio della relativita’

speciale: il 4-intervallo e’

invariante

Matrice g (metrica spaziotempo)

Spazio della relativita’ generale: e’ analogo a quello della relativita’ speciale ma

ora la matrice non e’ piu’ costante per via del campo gravitazionale ( )g x

Tensore di Curvatura

Curva

k

ik

i

kh

h

kijkj

hi

jhj

hi

j

x

g

x

g

x

gg

2

1

geodetica eq. 0

(t)

P(t1)

P(t2) Curvatura dello spazio S ==> DA

per trasporto parallelo lungo la curva

chiusa g frontiera di S

xxR

R dSA2

1-A||

A A

g

Tensore di Curvatura

xxR

xxR

: ha si contraendo

A A

R

Equazione di Einstein

G con : segue

Massa-Energia di densità tensore

curvatura se

4

*

massa

*

pot.grav

massapot.grav

TR

T

R

K

R T

Equazione di Einstein

TTTgTTGTR

RRgRRGTR

g e 2

1 - con

gR e 2

1con

**

**

8G GT

1

2G R g R

R g R

Einstein Tensor Energy-Momentum Tensor

T

Ricci Tensor Ricci Scalar R

, , , , ,

1

2R g g g g

( ) 8f g T

R R

Riemann Tensor

Spacetime curvature Momentum/Energy

Gravitational potential Mass Density 2 4 G

(Classical Physics)

Fattore di scala

),,(

4/11

)(22

2222 rF

kr

tRdtcds

Cosmologia

Sistema globalmente determinato dalla sola gravita’

Storia causale dell’Universo

Sistema con caratteristiche di omogeneita’ ed isotropia su larga

scala. La scala dove domina la dinamica di espansione.

Espansione

(Hubble)

Modello standard dell’Universo

The Hot Big Bang Model

Schema teorico della Relativita’ Generale

Evidenza sperimentale dell’espansione dell’Universo

Nucleosintesi primordiale (abbondanze di H,He…I primi 3 minuti)

Radiazione cosmica di fondo (CMB)

Concetto di inflazione

Scelta di un tensore metrico g (Universo omogeneo e Isotropo)

Scelta di un tensore energia/momento (fluido perfetto)

2

2 2

8( )

3 3M R

a G k

a a

Eq. di Friedmann per il

parametro di scala

(il “raggio” dell’Universo)

8G GT g

Introduzione della Costante Cosmologica (per stabilizzare l’Universo)

Materia (luminosa e oscura)

Radiazione

Costante Cosmologica

Curvatura

Eta’ dell’Universo: circa 13.82 miliardi di anni

Nostalgia del passato: un universo senza costante cosmologica e’ forse

piu’ elegante