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1
La forza fra i nucleoni
I nucleoni sono composti dai quark, particelle puntiformi di spin 1/2
I quark sono tenuti assieme dall’interazione forte derivante dallo scambio di altri quark e gluoni di spin 1
La forza fra i nucleoni (la forza nucleare forte) è un problema a molti corpi in cui
• i quark non si comportano come se fossero completamente indipendenti all’interno del volume nucleare
• nè si comportano come se fossero completamente legati in modo da formare protoni e neutroni
La forza nucleare forte perciò non è calcolabile in dettaglio al livello dei quark e può essere solo dedotta empiricamente a partire dai dati nucleari
esempio: interazione pp
2
Caratteristiche generaliIl fatto che un nucleo esiste implica che la forza nucleare è
Forte: più forte della forza elettromagnetica, debole e gravitazionale
A corto range: i nuclei sono soggetti all’interazione forte a piccole distanze (∼ 2 fm) quando cominciano a sovrapporsi
Attrattiva
Core repulsivo: Il volume è ∼ A, e il nucleo non collassa verso densità infinita
Saturata: B/A ∼costante; in un nucleo i nucleoni sono attratti solo dai nucleoni vicini
Indipendente dalla carica: non c’è distinzione fra protoni e neutroni. Si ha evidenza di ciò dalla tendenza dei piccoli nuclei ad avere N=Z e dalla somoglianza dei livelli di bassa energia di coppie di nuclei speculari
3
Nuclei speculari
Illustrano la simmetria di carica
interazione p-p = interazione n-n
Ciò non implica che p-n = p-p o n-n perchè il numero di coppie p-n è lo stesso in entrambi i nuclei
Esempio 2311Na 23
12Mg
4
L’isospinProtone e neutrone possono essere considerati come due stati quantici di una stessa entità, il nucleone. Possiamo quindi definire un numero quantico intrinseco detto isospin
nntppt zz 21 ,
21
−==
Definendo τz = 2tz, abbiamo
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=≡⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=≡⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
= −+ 10
,01
,10
01ηητ npz
Le altre due componenti dell’isospin sono definite in analogia con lo spin
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
00
,0110
ii
yx ττ
[ ] kijkji i τεττ 2, =
5
Possiamo definire degli operatori di conversione protone ↔ neutrone
0 ,
,0 ,
==
==
−−
++
nnp
ppn
ττ
ττche sono tali che
In questo formalismo l’operatore di carica può essere espresso come
yx
yx
i
i
τττ
τττ
−=
+=
−
+
( )
0 ,
12
==
+=
nQpepQ
eQ zτ
6
Sistema di due nucleoni.
Abbiamo
[ ]⎪⎩
⎪⎨
⎧
−+
+
−−
−+−+
++
neutrone-neutrone )2()1( 1neutrone-protone 2/)1()2()2()1( 0 protone-protone )2()1( 1
ηη
ηηηηηη
zT
L’isospin si compone come lo spin. Abbiamo quindi un tripletto di isospin 1
e un singoletto di isospin
21 ttT +=
[ ] neutrone-protone 2/)1()2()2()1( −+−+ − ηηηη
Viceversa, uno stato protone-neutrone è una sovrapposizione di stati di isospin 0 e 1
[ ] 2/0,00,1 ==+=== zz TTTTpn
7
Funzione d’onda.
Nel formalismo di isospin i due nucleoni sono considerati come particelle indistinguibili. La funzione d’onda complessiva deve essere quindi completamente antisimmetrica. Abbiamo due casi
1. La funzione d’onda spaziale è simmetrica: ϕS(r1,r2). Allora la funzione d’onda totale è
⎩⎨⎧
=⊗==⊗=
⊗=Ψzz
zzS
TTSSTTSS
rr,1,0,0,1
),()2,1( 21ϕ
2. La funzione d’onda spaziale è antisimmetrica: ϕA(r1,r2). Allora la funzione d’onda totale è
⎩⎨⎧
=⊗==⊗=
⊗=Ψzz
zzA
TTSSTTSS
rr,0,0
,1,1),()2,1( 21ϕ
L’isospin non è solo un conveniente formalismo matematico → osservabile fisica
8
Se i due nucleoni sono in uno stato di momento angolare orbitale L, la simmetria dello stato è
dispari 1)1()1()1( 11 =++⇒−=−−− ++ TSLTSL
Se due nucleoni formano uno stato legato, è plausibile che lo stato di energia più bassa abbia L = 0 ⇒ S + T = dispari.
Poichè non si osservano stati legati di tripletto di isospin p-p e n-n, lo stato legato p-n (il deutone) deve essere un singoletto di isospin.
⇒ S = 1 e J = L + S = 1
⇒ confermato dall’esperimento
Esistono due nuclei con A = 3 che formano un doppietto di isospin T = 1/2
22/2/112/2/1
3332
3331
+=+==+=+=−=
TAQTHeTAQTH
Esiste un solo nucleo con A = 4 (42He) che è un singoletto di isospin ed è una
configurazione particolarmente stabile con energia di legame pari a 28.3 MeV
9
Il pione esiste in tre stati carichi π+, π-, π0 . Di conseguenza possiamo definire un tripletto di isospin I=1 e la carica è data da
L’isospin è conservato nelle interazioni forti. Consideriamo ad esempio le reazioni
0 )( , )( ππ +→++→+ + dnpiidppi
3IQ =
I=1 I=0,1I=0 I=1 I=0 I=1
21
)()(
=iii
σσ
10
In generale l’hamiltoniana di un nucleo è
Se la carica totale del sistema si conserva, allora l’operatore carica Q definito da
deve commutare con H:
NC VVTH ++=
Somma delle energie cinetiche
Indipendenza dalla carica
Energia potenziale coulombiana
Energia potenziale di interazione nucleare
ψψ EH =
ψψ ZeQ =
[ ] 0, =QH
Mentre T e VC commutano per definizione con Q, la conservazione della carica pone delle condizioni sulla forma di VN.
11
Terza componente dell’isospin totale
Abbiamo quindi la richiesta
[ ] [ ] 0, 0, 3 =⇒= TVTV NN
r
Poichè Q può essere espressa come
∑=
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
A
i
itTTAeQ1
333 ,2
Gli operatori Tl sono i generatori di rotazioni (attorno all’asse l) nello spazio dell’isospin, per cui questo esprime l’invarianza dell’interazione nucleare per rotazioni nell’isospazio.
Questo implica che VC deve essere uno scalare nello spazio dell’isospin, e l’interazione fra due nucleoni deve avere la forma
jijiijC rfjiV ττσσ ⋅= ),,(),(
L’interazione non dipende dalla componente 3 dell’isospin, ma porterà a energia diverse a seconda che T=0 o T=1.
Indipendenza dalla carica
12
La proprietà di invarianza dalla carica è legata alla proprietà di simmetria dell’interazione forte rispetto a trasformazioni di isospin. Consideriamo l’azione dell’operatore τx
L’operatore
)()2()1(),,2,1( AA xxx τττ LL =Π
agendo su una funzione d’onda nucleare converte tutti i neutroni in protoni e viceversa
np
pn
x
x
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
10
01
0110
01
10
0110
τ
τ
),,2,1,,,2,1(),,2,1,,,2,1(),,2,1( NZNZA LLLLL ψψ =Π
protoni neutroni neutroni protoni
Simmetria di carica
13
La simmetria di carica deve implicare
per cui
( ) ( )ψψ HH Π=Π
[ ] 0, =ΠH
Esempio Potenziale di scambio fra due nucleoni
jijiijij rfV ττσσ ⋅= ),,(
commuta con Π.
In generale avremo che, definito l’isospin totale del nucleo con , si ha∑=
=A
iitT
1
[ ] 0, =TH
Invarianza per rotazioni nell’isospazio. Poichè una generica rotazione cambia protoni in neutroni e viceversa, la forza nucleare è indipendente dalla carica
L’indipendenza dalla carica è una condizione più forte della simmetria di carica
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Il potenziale nucleone-nucleone
Studiamo le caratteristiche dettagliate attraverso le interazioni fra due nucleoni:
Il deutone e lo scattering nucleone-nucleone
15
Il deutone (2H o 2D)Il deutone è il solo stato legato a due nucleoni (n-p). Non esistono stati legati p-p o n-n.
Riassunto delle proprietà:
Energia di legame B = 2.23 MeV
JP = 1+
µ = +0.857 µΝ
Q = +2.83x10-31 m2
R = 2.1 fm
Non si osservano stati eccitati
Deduzioni:
stato legato n-p 3S1 (L = 0, S = 1, ↑↑): µ = µp + µn = 0.88 µN1S0 (L = 0, S = 0, ↑↓): µ = µp - µn = 4.71 µN
Valore sperimentale µ = 0.857 µN
n = 1 → non ci sono (quasi) contributi orbitali a µ (L = 0)
Il deutone è uno stato 3S1
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Sistema di due particelleL’hamiltoniana di un sistema di due particelle è
Introduciamo le variabili
212
22
1
21 )(
22rrrrV
mp
mp rrrr
rr
−=++
2121
2211 ,R rrrmm
rmrm rrrrrr
−=++
=
Possiamo allora scrivere
rmm
mmRmrmprmm
mmRmrmp &r&r&r&r&r&r&r&r
21
212222
21
211111 ,
+−==
++==
Il momento totale del sistema è
Rmmpp &rrr )( 2121 +=+
R = centro di massa
r = coordinata relativa
17
L’energia cinetica totale è
Abbiamo l’equazione di Schrodinger per il moto relativo attorno al centro di massa21
21
22
2
22
1
21
111 ,
,21
21
22
mmmmmM
rmRMmp
mp
+=+=
+=+ &r&rrr
)(2
)()(21 2
2 rM
PErrVrm tot ψψ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +
r&
Consideriamo un potenziale centrale
Il sistema è invariante per rotazioni → Consideriamo una rotazione infinitesima
)()( rVrV =r
ϑϑϑϑϑϑ
xyyxyyxyxx
+≈+=−≈−=
cossin'sincos'
M=massa totale
m = massa ridotta
18
dopo la rotazione la funzione d’onda è
Richiedendo che troviamo
xy
yx
yxxyyxyx ϑψϑψψϑϑψψ∂∂
+∂∂
−≈+−≈ ),(),()','(
)'()'( ),()( rErHrErH ψψψψ ==
L’operatore
ψψψ Hxy
yx
Exy
yx
xy
yx
H ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂∂
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂∂
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂∂
−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂∂
−= xy
yxi
Lzh
è la componente del momento angolare lungo l’asse z. Troviamo quindi
[ ] [ ] 0, ,0, 2 == LHLH z
r
Il momento angolare è una costante del moto ed un buon numero quantico
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Si dimostra
da cui
( ) priprprL rrh
rrrrr⋅+⋅=⋅+ 2222
Poichè in coordinate polari arriviamo all’equazione r
ri
pr∂∂
=⋅hrr
Ponendo
ψψψ ErVmrL
rrrr
rrm=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡++⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
− )(2
112 2
22r
h
( )[ ]priprLr
p rrh
rrr⋅−⋅+= 22
22 1
),()(),,( ϕϑϕϑψ lmnlm YrRr =
),()1(),( 22 ϕϑϕϑ lmlm YYL += llhr
si ha
Equazione di Schrodinger in coordinate polari
Armoniche sferiche
Funzione d’onda radiale
20
Abbiamo quindi una separazione delle variabili e arriviamo all’equazione radiale
Si ha
022
)1()(2222
2
22
2
=+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ++−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+ ERmR
mrrVmR
drd
rdrd
h
llh
h
arriviamo al risultato finale
Poniamo R=u(r)/r – r = distanza fra i nucleoni
Probabilità che la particella si trovi fra r e r + dr
drrudrrRr 222 )()( =
2
2
2
2 12dr
udrr
udrd
rdrd
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
022
)1()(222
2
22
2
=+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ++− Eumu
mrrVm
drud
h
llh
h
21
Rispetto al caso undimensionale abbiamo due differenze.
La prima è che il potenziale è modificato da un termine repulsivo dipendente da L
Per uno stato legato E < 0 = - energia di legame
b = range dell’interazione
2
2
2)1(
mrVV +
+→llh
La seconda è che u(r=0) = 0 affinchè R resti finita nell’origine. Questo equivale ad assumere che V = +∞ a sinistra.
Consideriamo una buca quadra
22
Ricerchiamo stati legati caratterizzati da un’energia di legame B
Per L = 0 la funzione u soddisfa l’equazione
)()()(2 2
22
rEururVdr
udm
=+−h
Abbiamo due regioni
1) r < b
0)()(2 02
22
=−+− ruVBdr
udmh
La soluzione generale è
BEVbrBEVVbr
−==>−=−=<
0 0
)(2 cossin)( 022 BVmkkrCkrAru −=+=
h
Il problema del deutone
23
Richiediamo che R(r) = u(r)/r sia finita per r → 0 ⇒ C = 0 vale a dire, non vogliamo una densità infinita |R(r)|2 al centro del nucleo) Quindi
2) r > b
La soluzione generale è
brkrAru <= sin)(
0)(2 2
22
=+− rBudr
udmh
22
''
2'
)(
h
mBk
FeDeru rkrk
=
+= −
Per r → ∞ exp(βr) → ∞ per cui F = 0 Quindi
brDeru rk >= − )( '
24
Richiediamo che in r = b sia u(r) che du(r)/dr siano continue
Il rapporto ci dà
Assumiamo che V0 >> B. Le due incognite sono b e V0 Abbiamo
'cos /)( sin )(
'
'
bk
bk
DekkbkAdrrduDekbAru
−
−
−=
=
2/1
0
'cot ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−=−=BV
Bkkkb
Per b = 2 fm ⇒ V0 ∼ 25 MeV (c.f. B/A ∼ 8 MeV)
V0 è la profondità minima che dà luogo allo stato legato
( ) 22822
20
22
022 m MeV 10
822
,2
5,2
3,2
0cot
−≈≈⇒⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=≈
=≈
MbVbVMkb
kbkb
h
h
K
ππ
πππenergia minima
25
Grande probabilità di trovare protone e neutrone separati a una distanza > b
u(r) non dipende molto dalla forma esatta di V(r)
La dimensione del deutone è determinata dall’energia di legame non dal range della forza
La lunghezza caratteristica
fm 32.4)(2 0
=−
=BVm
RDh
su cui u(r) diminuisce di 1/e è detta il raggio del deutone. Questo è più del doppio del range b del pontenziale.
Quindi i nucleoni hanno una considerevole probabilità di trovarsi al di fuori della buca di potenziale → in media si trovano sui suoi bordi
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Dipendenza dallo spinSe non ci fosse dipendenza dallo spin nel potenziale del deutone, ci aspetteremmo di osservare entrambi gli stati legati J=0 e J=1 con la stessa energia.
Si osservano soltanto gli stati J=1 (↑↑)
Inoltre, non si osservano stati legati n-n e p-p che richiederebbero gli spin antiparalleli a causa del principio di esclusione
Richiediamo che il momento angolare e la parità siano conservati
⇒ potenziale scalare, il più semplice è
Lo spin del deutone
SS(r) 21s ⋅≈ V
( )
[ ] 2221121
212
222
112
2 21
2
)1()1()1(21SS
SS2)1()1()1(
SS
h
hhh
+−+−+=⋅
⋅++++=+
+=
SSSSJJ
SSSSJJ
J
J=1, S1, S2=1/2
J=0
4/SS 221 h>=⋅<
4/3SS 221 h−>=⋅<
Diversi potenziali per gli stati di tripletto e singoletto
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Il termine non centrale: forze tensorialiIl deutone ha un piccolo ma non trascurabile momento di quadrupolo elettrico, Q=2.82x10-31 m2. Quindi il potenziale nucleonico non è sfericamente simmetrico.
Tuttavia, 3S1 L = 0, J = 1 ↑↑ è uno stato simmetrico
E’ richiesta una qualche dipendenza angolare nella funzione d’onda p del deutone.
Per J = 1 altri possibili stati sono
Il deutone ha parità +1 per cui stati con L = 1 sono esclusi. La funzione d’onda è una sovrapposizione di L = 0 e L = 2
l)1(
121101SL
13
13
11
−=P
DPP
e lo stato D contribuisce per il 4-5%.
In questo stato una misura di L fornirà talvolta 0 talvolta 2 con probabilità 95% e 5% rispettivamente, mentre lo spin totale si conserva (S = 1).
Questo spiega anche la piccola differenza nel momento magnetico atteso µ = 0.88 µN e quello misurato µ = 0.857 µN
DS aa ψψψ 21 +=
28
L’interazione della forma
è uno scalare, non viola l’invarianza rotazionale dello spazio e quindi conserva J=L+S violando sia la conservazione di L che di S. Tuttavia, abbiamo un vincolo addizionale: la conservazione della parità nelle interazioni forti.
rSrAV rr⋅= )( T
Consideriamo una riflessione spaziale: Pr = -r. abbiamo
SSP
rrr
rr
=
−=rP r è un vettore
S è uno pseudovettore
Dire che la parità è conservata significa che l’hamiltoniana del sistema è invariante sotto P, PH = H.
Consideriamo ad esempio la buca simmetrica. La funzione d’onda ψ è simmetrica o antisimmetrica
)()( xxP ψψ ±=Se PH = H la parità di ogni autostato è fissata,
)()( , xxPEH nnnnn ψψψψ ±==
29
L’interazione è proibita dalla conservazione della parità
La possibile interazione successiva è
rSrAV rr⋅= )( T
E’ uno scalare, per cui conserva J = L + S. Conserva la parità poichè
rSrArSrArSrPA rrrrrr⋅−=−⋅=⋅ )()()()(
Viola la conservazione di L perchè è un tensore nello spazio delle coordinate
Abbiamo le proprietà di trasformazione
ji
i
rrrr 2r
( )( )rSrSrVH nprrrr
⋅⋅= )(int
rSrArSrPA
rSrArSrPA
nn
pprrrr
rrrr
⋅−=⋅
⋅−=⋅
)()(
)()(
( )( ) 3,2,1, , ==⋅⋅ jirrSSrSrS jijipinp
rrrr
scalare
vettore
tensore
30
L’interazione effettiva è un tensore del secondo ordine nello spazio delle coordinate, ma è uno scalare nello spazio del momento angolare totale.
Possiamo scrivere
rSrSrV nprrrr
⋅⋅ )(
Mentre S12 non commuta con L, commuta con lo spin totale σtot=σ1+σ2,
12T21221
TT )( 3)( SrVr
rrrVV ≡⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⋅−
⋅⋅= σσσσ
Quindi L non è più un buon numero quantico, mentre lo spin totale resta tale.
Nel caso del deutone si può mostrare che
0, ,0, 12
2
12
2≠⎥⎦
⎤⎢⎣⎡≠⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ SSSL
)1cos3)((2 2TT −>=< ϑrVV
Il potenziale tende ad allineare r con z modificando la densità del sistema → momento di quadrupolo positivo
31
Riassunto sul deutone Oltre alle caratteristiche generali dell’interazione nucleone-nucleone, le proprietà del deutone implicano
Profondità del potenziale nucleonico . V0 ∼ 25 MeV per un raggio nucleare b = 2 fm
La forza nucleare dipende dallo spin
Termini non centrali nel potenziale
Potenziale a due nucleoni
Limitazioni:
Un solo stato può essere studiato
Non abbastanza informazioni per determinare tutti i parametri richiesti
Non ci sono informazioni per L = 0 diverso da zero e per gli stati eccitati
⇒ Studiamo lo scattering nucleone-nucleone
L++⋅+= ),()( 21 SrVSSVrVV TSC
32
Teoria dello scattering
La funzione d’onda prima dello scattering è
2cos /2 , hmEkee ikrikzin === ϑψ
Onda piana
Scattering elastico dal centro di un nucleo
nucleoz
ref
ikr
)(ϑ
Lo stadio finale dell’interazione è dato dalla sovrapposizione di ψin e di questa onda sferica
refe
ikrikz
out )(ϑψ +=
onda piana incidente
onda sferica scatterata
r2dΩdΩnel processo di scattering ψin interagisce con V(r). Dal centro di interazione diverge un’onda sferica della forma
33
Sezione d’urtoAssumendo che la densità numero di particelle incidenti sia 1, il flusso è
Sia dΦ il numero di particelle incidenti/sec scatterate sull’area r2dΩ
vveikz ==Φ2
La sezione d’urto per definizione è
Ω=Φ dvrr
efdikr
22
)( ϑ
22 )( )( ϑσϑσ fdddfdd =
Ω⇒Ω=
ΦΦ
=
incidente flussoin scatterate /secparticelle di n. 2 Ω
=drdσ
da cui
34
L’analisi quantitativa richiede la soluzione dell’equazione di Schrodinger in coordinate sferiche. Quando V(r) = 0 la soluzione generale è
∑∞
===
0cos )(cos)(
l ll ϑψ ϑ PrBeikrin
Polinomio di Legendre
dove
L
l ll
l
,cos)(
sin ,sin)()12()(
210 krkr
krkrj
krkrj
krjirB
−==
+=Funzione di Bessel sferica
Nello studio del processo, ci interessano le particelle lontano dal centro di scattering.
Per lo stadio iniziale, descritto da ψin, abbiamo asintoticamente
reerj
krikri )2/()2/(
)(ππ ll
l
−−− −∝
onda sferica divergente dal centro di scattering
onda sferica convergente verso il centro di scattering
35
Nel processo di scattering compare un’ulteriore onda sferica addizionale. Quindi la relazione fra onda convergente e divergente deve cambiare in
se non c’è assorbimento, il flusso di particelle nelle due onde non deve cambiare. Quindi
l
lδieS 2=
δl è reale ed è detto spostamento di fase
reeSrj
krikri )2/()2/(
)(ππ ll
ll
−−− −→
Abbiamo quindi
[ ])2/()2/(0
)(cos2
)12( ππϑψ lllll
ll −−−∞
=−
+= ∑ krikri
out eeSPikr
i
Questa può essere riscritta anche come
reSP
ike
ikrikr
out )1)((cos2
)12(0
cos −+
+= ∑∞
= lll
l ϑψ ϑ
36
A grandi distanze l’influenza del campo è così debole che la funzione d’onda mantiene la sua forma originale salvo che per la comparsa dello spostamento di fase
In particolare la funzione d’onda per L = 0 sarà data da
e
Poichè δl + nπ producono lo stesso valore, la fase è determinata nell’intervallo -π/2,+π/2
)(cos)2/sin( ϑδπψ ll
l
l Pkr
kr +−∝
krkr )sin(
0lδψ +
∝
kkrrru )sin()( 00
lδψ +∝=
37
Il segno della fase è determinato dalla natura della forza
Attrazione: u(r) è spinta verso la buca attrattiva e la funzione d’onda acquista uno spostamento di fase positivo
Repulsione: u(r) è espulsa dal range del potenziale repulsivo e acquista uno spostamento di fase negativo
Il segno della fase non influisce sulla sezione d’urto → modulo quadro dell’ampiezza
Determinazione del segno della fase
•interferenza fra scattering nucleare e coulombiano
•interferenza di due scattering nucleari con diverse orientazioni dello spin
Spostamento di fase
Spostamento di fase
Particella libera
Potenziale attrattivo
Potenziale repulsivo
38
Poichè ψout = exp(ikz) + f(θ) exp(ikr)/r otteniamo
definendo l’ampiezza di scattering per l’onda parziale L
La sezione d’urto totale è data da
∫ Ω= df 2)(ϑσ
)(cos sin)12(
)1)((cos2
)12()(
0
0
ϑδ
ϑϑ
δ
lll
lll
l
l
l
Pk
e
SPik
f
i
∑
∑∞
=
∞
=
+=
−+
=
sin)( ll
l
δϑδ
kef
i
= )(cos )()12()(0
ϑϑϑ llll Pff ∑∞
=+=
Tenendo conto dell’ortogonalità dei polinomi di Legendre otteniamo la sezione d’urto di scattering elastico
∑∞
=+=
02
2 sin)12(4l ll δπσ
k
39
A basse energie (E ≤ 10 MeV) è necessario considerare solo il termine L = 0 Esempio: un nucleone di 10 MeV (5 MeV nel cms)
Per un range della forza nucleare pari a 2 fm solo l’onda parziale L = 0 è importante a energie del fascio ≤ 10 MeV
fm MeV 197 1, fm 348.0
MeV/c 940 MeV 6.68
2/ ridotta massa 52
94022
1-
2
===
==
≈=⋅⋅==
c
m
mMMEk
n
n
hh
Coefficiente |Bl(R)|2
nell’espansione in onde parziali
|Bl(R)|2
krr = 2 fm
Scattering in onda S
0=l
40
Per un’onda con L = 0 abbiamo
da cui
00 sin)(0
δϑδ
keff
i
==
02220
222
02
20 cot
4sin4 sinδ
πδπσδσkkkk
fdd
+====
Ω
La dipendenza della fase da k può essere determinata risolvendo l’equazione di Schrodinger nella regione di interazione
Questo permette di stabilire una relazione col potenziale di interazione potenziale
Consideriamo una buca rettangolare
41
L’equazione d’onda radiale per u(r) = r R(r) è
Regione I (r < b) V = -V0
)()( )()(2 2
22
rEururVdr
rudm
=+−h
( )
h
h
/)(2 ,sin)(
0)( 2)(
0
022
2
VEmkkrAru
ruEVmdr
rud
I +==
=++
Regione II (r > b) V = 0
h
h
/2' ),'sin()(
0)(2)(
0
22
2
mEkrkAru
rEumdr
rud
II =+=
=+
δ
Supponiamo che la buca abbia la stessa profondità della buca del deutone e assumiamo che E ( > 0 ) sia simile all’energia di legame B (quindi abbiamo scattering a bassa energia)
42
Possiamo ricavare la fase congiungendo la soluzione interna a quella esterna in r = b. La derivata logaritmica della soluzione esterna in r = b è
)'cot(''0δ+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
=
bkkuu
br
La derivata logaritmica della soluzione interna in r = b è
kbkuu
br
cot'=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
=
Uguagliando le due derivate troviamo
bkkbkk 'cot'
cot 10 −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= −δ
Dato un insieme di parametri V0 e b, δ0 può essere paragonato al valore misurato estratto da σ = 4πsin2δ0 / k2 in funzione di E
Esempio: usando i parametri di tripletto del deutone V0b2=10-28 MeV m2, b=2 fm, V0=25 fm ricaviamo
barn 5=σ scattering p(↑)n(↑) in onda S
43
Energia della particella incidente molto piccola → kb << 1
0cot'' δkuu
br
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=
Se facciamo riferimento al problema del deutone abbiamo inoltre
Dbr RmEkbk
uu 12cot'
2 −=−==⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
= h
Uguagliando le due derivate troviamo
DRk 1cot 0 −=δ
La costanza di k cot δ0 significa che f0 ha un limite reale per k → 0. Poniamo
Lunghezza di scattering
00
000 cot1limlim a
ikkf kk −=
−= →→ δ
Lunghezza di scattering
44
Nell’approssimazione fatta
20
000 4
cot1lim aR
ka Dk πσ
δ==−= →
Quindi questa lunghezza di scattering corrisponde a scattering n(↑)p(↑)
sinkr e sin(k’r + δ0) si congiungono in r = b. Sarà possibile sviluppare stati legati solo se kb > π/2 cosicchè sinkr si trasforma nel ramo discendente di sin(k’r + δ0) (si ricordi la funzione d’onda del deutone)
00
000
sincos cossincossin)'sin(
δδδδδ
+≈+≈+
krkrkrrk
Questa è una linea retta che interseca r = 0 in a0.
Quindi per lo sviluppo di uno stato legato dobbiamo avere a0 > 0. D’altra parte, se la buca non è sufficientemente profonda allora kb < π/2 e in questo caso a0 < 0
⇒ Il segno della lunghezza di scattering determina la natura della soluzione del problema di scattering.
Poichè il deutone non ha stati legati di singoletto, ci aspettiamo che la lunghezza di scattering di singoletto sia negativa
taa 00 =
45
Scattering n-p
a basse energie σ = 20 barn. D’altra parte abbiamo calcolato σ ∼ 5 barn
La sezione d’uro di scattering n-p è formata da una miscela di interazioni negli stati n-p
S = 0 1S0 ↑↓ - ↓↑S = 1 3S1 ↑↑, ↓↓, ↑↓ + ↓↑
barn 65 41
43
≈⇒+= sst σσσσ
Se le orientazioni dei neutroni nel fascio incidente e dei protoni nel bersaglio sono random, allora
In termini di lunghezza di scattering per k → 0
fm 24|| fm 3.4 ),3( 22 =⇒=+= stst aaaaπσ
Ma nessuna informazione sul segno → non sappiamo se lo stato di singoletto è legato
46
Scattering n su orto e para H2
Per separare i contributi di σt e σs, consideriamo l’interazione di neutroni di energia molto bassa (E < 1 KeV) con orto- e para-idrogeno (H2)
orto-H2 p(↑)p(↑) SH2 = 1 para-H2 p(↑)p(↓) SH2 = 0
Neutroni di bassa energia: λ >> separazione dei protoni in H2
Abbiamo quindi scattering coerente
( )2 ampiezze∑=σ
(nel caso di scattering incoerente avremmo σ = Σ(ampiezze)2 )
Introduciamo gli operatori che proiettano le parti di singoletto e tripletto di spin della funzione d’onda p-n
0 ,1 )()( 0
1 ,0 )()( 1
==↓↑=
==↑↑=
nptnps
nptnps
npS
npS
ψπψπ
ψπψπ
47
Possiamo esprimere questi operatori come
Attraverso questi operatori possiamo esprimere l’ampiezza di scattering di un neutrone su un protone (nell’approssimazione della lunghezza di scattering) come
Infatti
2
2
4341
h
rrh
rr
pnt
pns
SS
SS
⋅+=
⋅−=
π
π
24 , pttssp aaaa πσππ =+=
[ ]
⎩⎨⎧
↑↑=↓↑=
=
+−+−+−++=
⋅−++=
)()( 1 )()( 0
)1()1()1(21)(
43
41
)(43
41
2222
2
npSanpSa
SSSSSSaaaa
SSaaaaa
t
s
ppnnstts
pnsttsp
hhhh
h
rr
48
Quindi nel caso di scattering coerente di un neutrone sui due protoni dell’idrogeno possiamo scrivere
Nel caso del para-H2 abbiamo Sp1+Sp2 = 0 per cui
Nel caso dell’orto-idrogeno possiamo scrivere
( )2
21
2121
)(23
21
)()(
h
rrrppn
stts
tttsssp
SSSaaaa
aaa
+⋅−++=
+++= ππππ
( )
[ ]
⎩⎨⎧
=+=
=
+−+−+−++=
+⋅−++=
2/1 /22/32/3 2
)1()1()1(21)(
23
21
)(23
21
222
222
221
TOTts
TOTt
nnHHTOTstts
ppnsttsp
SaaSa
SSSSSSaaaa
SSSaaaaa
hhhh
h
rrr
2
para 23
214
23
21
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=+= tstsp aaaaa πσ
49
Arriviamo quindi al risultato
para-H2 ↑↓
( )⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
22
orto
2
para
21
23
312
324
23
214
tst
ts
aaa
aa
πσ
πσ
orto-H2 ↑↑
↑ ↑↑ ↑ ↓↓
n o-H2 n o-H2
Ad alte temperature il rapporto del numero di molecole orto e para è 3:1. A basse temperature (diciamo 20 K) la maggior parte delle molecole sono nel loro stato fondamentale.
Lo stato fondamentale di orto-H2 è 0.015 eV più alto di para-H2 ⇒ Quindi a 20 K H2 è tutto para-idrogeno
Se la forza nucleare fosse indipendente dallo spin, σt = σs e at = as per cui σpara e σorto sarebbero uguali.
Sperimentalmente
⇒ La forza nucleare è dipendente dallo spin
b 130 b, 4 == ortopara σσ
50
La grande differenza fra i valori misurati mostra che at ≠ as e che at e as devono avere segni diversi in modo da rendere σpara piccola
↑↓ lo stato di singoletto non è legato ↑↑ lo stato di tripletto è legato
fm 7.23 fm, 4.5 −== st aa
A energie maggiori l’approssimazione della lunghezza costante deve essere sostituita da
eff2
000 2
11)(
1cot rkaka
k −==− δ
reff = range efficace = distanza media fra protone e neutrone durante l’interazione
In questo modo si trova
fm 76.2 fm 75.1
fm 7.23 fm, 4.5
==
−==s
efft
eff
st
rr
aa
51
particelle identiche
Studiamo la dipendenza dalla caricha della forza nucleare confrontando lo scattering p-p e n-n
Esiste un’importante differenza rispetto allo scattering n-p
Dipendenza dalla carica
La funzione d’onda totale deve essere antisimmetrica
Per L = 0 (cioè a bassa energia) lo scattering è possibile soltanto nello stato di singoletto ↑↓
Non possiamo distinguere
Dobbiamo includere l’interferenza fra le due possibilità
52
Scattering p-p. E’ presente sia l’interazione coulombiana che forte. Espressione teorica di dσ/dΩ per lo scattering p-p
[ ]2/cos2/sin
2/tanlncos2/cos
1
2/sin1
41
4
22
2
4
42
22
ϑϑϑη
ϑ
ϑπσ
−+
⎩⎨⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
Ω Te
dd
scattering Rutherford
termine classico Rutherford
termine di interferenza
correzione per due particelle identiche
Scattering Mott
[ ] [ ]⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ +
++
−2/cos
2/coslncos2/sin
2/sinlncossin22
20
2
20
0 ϑϑηδ
ϑϑηδδ
ηTermini di interferenza fra parte coulombiana e nucleare
⎭⎬⎫
+ 02
2 sin4 δη
potenziale nucleare
T= energia cinetica nel lab θ = angolo di scattering nel c.m.s. η = (e2/4π)β-1 (β = v/c) δ0=spostamento di fase L = 0
53
δ0 è l’unica incognita
Dalla misura di dσ/dΩ ricaviamo il segno e il modulo di δ0
L’interferenza permette di determinare il segno
Nell’approssimazione del range efficace troviamo
fm 17 fm, 8.2 0 −== spp
eff ar
Buon accordo con lo scattering n-p in singoletto – non ci sono stati legati pp
b 1.07.36 ±=ppσ
dσ/dΩ
θ(cms)
Totale
Mott
interferenza
54
Scattering n-n. Difficile poichè non esistono bersagli composti solo da neutroni
Usiamo reazioni per creare 2 neutroni a distanza reciproca minore del range nucleare (paragonabili a un esperimento di scattering)
termine di interferenza
Se 2n legato ⇒ γ monocromatico, stato finale a due corpi
Se n-n non legato ⇒ energia ripartita fra 3 particelle
fm) 1.07.36(fm 8.18.33
±=±=
pp
nn
σσ
⇒ La forza nucleare è indipendente dalla carica
55
Gli elettroni atomici sono soggetti a un accoppiamento spin-orbita derivante dall’interazione degli spin elettronici col campo magnetico dell’atomo
I nucleoni sono soggetti ad un accoppiamento spin-orbita derivante dall’interazione dello spin nucleonico e del momento angolare orbitale.
Si ha evidenza di un termine di spin-orbita dalla polarizzazione dei nucleoni scatterati
Polarizzazione: numero di nucleoni con spin up N(↑) diverso dal numero di nucleoni con spin down N(↓)
Una forza dipendente dal momento può essere rappresentata da un termine di spin-orbita nel potenziale
Potenziale spin-orbita
- P = ± 1 100 % polarizzazione - P = 0 assenza di polarizzazione
SLrVSO
rr⋅)(
)()()()(ionepolarizzaz
↓+↑↓−↑
=NNNN
56
Abbiamo 3 possibilità:
(i) il nucleone del fascio ha spin ↑, il nucleone bersaglio ha spin ↑, lo spin totale è S = 1
Osserviamo la polarizzazione del nucleone scatterato quando fascio e bersaglio non sono polarizzati
Assumiamo
Nucleone 1: L = r x p nel piano V > 0 repulsivo
Nucleone 2: L = r x p fuori dal piano V< 0 attrattivo
SLrVV SO
rr⋅−≈ )(
negativo SLrr
⋅positivo SL
rr⋅
Tutti gli spin ↑ incidenti su spin ↑ (bersagli) sono deflessi nella stessa direzione a causa del potenziale spin-orbita
57
(ii) il nucleone del fascio ha spin ↓, il nucleone bersaglio ha spin ↓, lo spin totale è S = 1
Nucleone 1: L = r x p nel piano V > 0 repulsivo
Nucleone 2: L = r x p fuori dal piano V< 0 attrattivo
positivo SLrr
⋅negativo SL
rr⋅
L’interazione spin-orbita deflette la componente di spin ↑ del fascio incidente a sinistra e la componente di spin ↓ del fascio incidente a destra
⇒ Abbiamo polarizzazione
(iii) il nucleone del fascio ha spin ↓ o ↑, il nucleone bersaglio ha spin ↓ o ↑, lo spin totale è S = 0
non c’è deflessione a causa dell’accoppiamento spin-orbita0=⋅ SLrr
58
Qualunque singolo nucleone che passa attraverso l’interno di un nucleo incontrerà in media un ugual numero di nucleoni con spin ↑ e spin ↓, per cui l’interazione spin-orbita complessiva è nulla.
Un’interazione di spin-orbita non nulla si ha per quei nucleoni che passano vicino allasuperficie del nucleo
L’effetto si osserva soltanto quando l’energia del fascio incidente è abbastanza alta da poter avere L > 0
La polarizzazione cresce con l’energia
59
A 300 MeV lo spostamento di fase diventa negativo ⇒ forza repulsiva
Classicamente
Il core repulsivo λ del nucleone incidente ≤ range della forza nucleare
⎪⎩
⎪⎨
⎧
><<−
<∞+=
RrRrRV
RRV core
core
0
0
mpERpL lab 2
,2
max =≈
Per Elab = 300 MeV abbiamo p ∼ 1.7 fm-1. Con Lmax ≤ 1 troviamo
fm 6.0core ≤R
60
dove in generale ciascun termine Vi (i = C, LS, ecc.) è funzione delle distanze e velocità relative, del momento angolare orbitale e isospin,
Riassunto sui potenziali fenomenologici
( ) ( )
( )( ) ( )( )[ ]LLLLQ
prSL
ppprrr
rrrrrrrr
rrrrrr
rrrrrr
⋅⋅+⋅⋅=
⋅⋅×=⋅
−=−=
122112
21
2121
2121
)(21 ,
σσσσ
σσ
( )( ) 1221 1221 QVppVSVVSLVVV LLpTLSCNN +⋅⋅++⋅+⋅+=rrrrrrrr
σσσσ σσ
Riassumendo, la forma più generale del potenziale nucleone-nucleone è
21),,(),,( τττ rr⋅+= LprVLprVVi i
oi
Inoltre abbiamo
parte “isoscalare” parte “isovettoriale”
operatore quadratico di spin-orbita
61
E ha uno spettro continuo
L’equazione di Lippmann-Schwinger
( ) ψψ
φφ
EVH
EH
=+
=
0
0
Consideriamo un processo di scattering descritto da H = H0 + V, dove H0 = p2 / 2m. Nel caso di scattering elastico richiediamo che H e H0 abbiano gli stessi autovalori
Cerchiamo una soluzione tale che |ψ> → |φ> per V → 0:
φψψ +−
= VHE 0
1
Problema: 1 / (E - H0) è singolare → rendiamo E complesso
φψε
ψ +±−
=± ViHE 0
1 Equazione di Lippmann-Schwinger
Introducendo la base della posizione possiamo riscrivere
' ''1 3
0
xdVxxiHE
xxx ∫ ±−+=± ψ
εφψ
62
| φ> è uno stato di onda piana di momento p,
Per andare avanti dobbiamo determinare il kernel dell’equazione integrale
Utilizzando la completezza della base del momento possiamo riscrivere
Adesso usiamo
'12
)',(0
2
xiHE
xm
xxGε±−
=±h
2/3
/
)2( h
hrr
πφ
xpiex⋅
=
''' '''''2/'
1''2
)',( 332
2
pdpdxppimpE
ppxm
xxG ∫ ±−=± εh
2/3
/''
2/3
/'
2
3
2
)2('' ,
)2('
2/')'''(''
2/'1'
hh
hr
hr
ππ
εδ
εxpixpi expepx
impEppp
impEp
⋅−⋅
==
±−−
=±−
63
Questo ci permette di riscrivere
Ponendo E = ħ2k2/2m e p’ = ħq
Consideriamo G+. Abbiamo due poli in
3
3
2
)'('2
)2('
2/'2)',(
h
rhrr
rrr
πεpd
impEe
mxxG
xxpi
∫ ±−=
−⋅
±
21kikq ε
+±=
qdqikq
eexxi
diqk
eddqqm
xxG
xxiqxxiq
xxiq
∫
∫∫∫∞+
∞−
−−−
−
−∞
±
−−
−−=
±−=
επ
ϑε
ϕϑπ
mrr
hrr
22
)'()'(
2
1
122
cos)'(2
00
22
'1
81
cos2
)',(
εikq +≈1
εikq −−≈2
64
Risolviamo l’integrale
Considerando un contorno nel semi-piano positivo del piano q complesso e applicando il teorema dei residui
Analogamente, calcoliamo I2 con un contorno nel semi-piano negativo
qdqikq
exxi
Ixxiq
∫+∞
∞−
−
−−−−=
επ 22
)'(
21 '1
81 rr
'81
22
'1
81
))(()(2lim
'1
81
)'()'(
2
)'(
21
121 1
xxeei
xxi
qeqqqq
qqixxi
I
xxikxxik
xxiqqq
rrrr
rr
−−=
−−=
−−−
−−=
−−
−→
ππ
π
ππ
'81
'1
81
)'(
22
)'(
22
xxe
qdqikq
exxi
I
xxik
xxiq
rr
rr
−−=
−−−−=
−
+∞
∞−
−−
∫
π
επ
65
Poichè
arriviamo a
Quindi
21 IIG +=±
'41
)'(
xxeG
xxik
rr−
−=−±
± π
' ''4
2 3'
2 xdVxxx
emxxxxik
∫ −−=
−±
ψπ
φψh
Consideriamo un potenziale locale
)'''()'(''' 3 xxxVxVx −= δ
±±± == ∫ ψψψ ')'( '''''''' 3 xxVxdxxVxVx
66
In questo modo arriviamo a
Facciamo le seguenti approssimazioni
Infine, assumendo che |φ> = |k>, r
xx
rkkeee
xrrxx
rrxrxr
xkiikrxxik
1'
ˆ' ,
'ˆ'
' ,' ,
1
'''
≈−
=≈
⋅−≈−
>>==
−
⋅±−±
rr
r
rrr
rr
rrm
' ')'('4
2 3'
2 xdxxVxx
emxxxxik
∫ ±−±
±
−−= ψ
πφψ
h
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−=⎯⎯ →⎯
⋅
±⋅−+ ∫
rekkfe
rexdxxVemkxx
ikrxki
ikrxki
)',()2(
1
' ')'(2
2/3
3''2
grander
rr
h
rr
rr
π
ψψ
r = direzione di osservazione k = momento incidente k’ = momento dell’onda scatterata
67
Abbiamo quindi trovato un’espressione che lega direttamente l’ampiezza di scattering al potenziale
Se l’effetto dello scatteratore non è molto forte, possiamo fare l’approssimazione
' ')'()2(
)2(241)',( 3
2/3
''3
2 xdxxVemkkfxki
∫ +⋅−
−= ψπ
ππ
rr
h
rr
L’approssimazione di Born
2/3
'
)2(''
πφψ
xkiexxrr
⋅+ =→
Questo porta all’ampiezza di Born al primo ordine
' )'(241)',( 3')'(
2 xdxVemkkf xkki∫ ⋅−−−=rrr
h
rr
π
In altre parole, a parte un fattore costante, l’ampiezza di scattering al primo ordine è la trasformata di Fourier tridimensionale del potenziale V rispetto a q = k – k’.
68
La forza nucleare ha molte proprietà complesse che richiedono un’ulteriore quantificazione prima di cominciare a sviluppare un qualunque modello nucleare.
Un modello che spiega molte caratteristiche della forza nucleare è il Modello di Scambio
L’evidenza del modello si scambio proviene dallo studio dello scattering n-p ad alte energie. Si osserva un picco pronunciato nella sezione d’urto a piccoli angoli. Tuttavia, si osserva anche un grosso picco a 1800. Questo non può essere spiegato per mezzo di processi elastici standard.
Il modello della forza di scambio
scattering atteso
p
np
n
ϑπ − ϑπ −
ϑϑ
69
Una spiegazione viene offerta dal modello di scambio. Durante l’urto, una particella carica viene scambiata fra protone e neutrone, cosicchè il neutrone incidente diventa un protone e il protone diventa un neutrone
Spiegazione naturale nelle teorie di campo in cui il campo di forza è descritto dallo scambio di quanti (particelle) del campo
70
Poichè il processo spontaneo di creazione di una particella “virtuale” viola la conservazione dell’energia, vale la relazione di indeterminazione
h≈∆∆ tE
dove ∆E = mc2 è l’energia richiesta per creare la particella (trascurando l’energia cinetica ). Se la particella si muove alla velocità della luce, allora ∆t ∼ R / c cosicchè otteniamo il range
2mccR h
≈ lunghezza d’onda Compton della particella
Per ottenere un range di circa 2 fm la massa deve essere circa 100 MeV (hc = 200 MeV fm)
71
In QED particelle di massa nulla, i fotoni, soddisfano l’equazione di campo (eq. di Poisson)
L’idea dello scambio di particelle massive
)()()( )3(2 rerr δρϕ ==∇−
La soluzione di questa equazione si ottiene integrando sul volume
222 mpE +=
Possiamo ricavare un’equazione d’onda relativistica per una particella di massa non nulla a partire dall’invariante
rer 1
4)(
πϕ =
Operando le sostituzioni
)1 ,1( , ==∇−→∂∂
→ cipt
iE hrr
Questo porta all’equazione d’onda
02
222 =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−−∇ ϕt
mr
Equazione di Klein-Gordon
→ Equazione del moto della particella libera
72
Consideriamo la soluzione in condizioni statiche per cui ∂φ/∂t = 0.
In QED le cariche elettriche sono le sorgenti del campo e.m. (i fotoni). In analogia con la QED, se supponiamo che i nucleoni siano sorgenti di queste particelle di massa m possiamo porre
Assumendo che i nucleoni siano infinitamente massivi e fissi nell’origine
regr
mr−
=π
ϕ4
)(rLa soluzione di questa equazione è il potenziale di Yukawa
( ) )()( 22 xxgm ψψρϕ ==−∇r
( ) )()( )3(22 rgrm rrrδϕ =−∇
A causa della forma esponenziale, diretta conseguenza del carattere massivo delle particelle, questo potenziale ha il desiderato range finito
MeV 138per fm 4.11=== m
mR
73
Questa stima è abbastanza piccola: il pione comincia a dominare proprio oltre questo range. Applicando un fattore 3 o 4 si ottiene una stima più realistica.
L’energia di interazione fra un nucleone e un pione è
Possiamo valutare l’ordine di grandezza della costante di accoppiamento forte g, considerando la sezione d’urto di interazione nucleone-nucleone. Abbiamo
reg
rdrrrg
rdgrdU
mr−
−=
−−=
−=−=
∫∫∫
π
ϕδ
ϕψψϕρ
4
)'( )'(
2
33
33
rrr
L’integrale è il propagatore del campo bosonico
rdr
egemqfrm
rqiN
rr rr 3-2
44
1)( ∫ ⋅−−=π
ππ
22
2 14
)(mq
gmqf N +=
π
74
Assumiamo che la sezione d’urto totale (a bassa energia k → 0) sia
D’altra parte
∫ ≈≈Ω= 222 44)(
π
ππσm
Rdqf
L’ordine di grandezza della costante di accoppiamento è dunque
[ ]
∫ ≈+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
224
2222
2 222
2222
4)/2(1
44
cos)(
2/sin44)(
πππ
π
πππ
ϕϑσ
ϑπ
mmkmmgddqf
mkmgqf
N
N
r
r
1371
41.0
4
22
=>>≈≈ππ
π emmg
N
come ci aspetta dal fatto che a r = 1/m l’interazione nucleare fra protoni deve essere molto maggiore della repulsione coulombiana
75
L’equazione di Poisson di un dipolo elettrico nell’origine è
Il potenziale viene ottenuto da
Un potenziale più realistico
[ ]
)(
)()(
)()()()(
)3(
)3()3(
)3()3(2
rded
rdred
rdrerr
rrr
rrr
rrrrr
δ
δδ
δδρϕ
∇⋅=
−+=
−+==∇−
rde
rdrrr
derdrr
rr
14
')'('
14
'')'(
41)( 3)3(3
∇⋅=
−∇⋅=
−= ∫∫
rr
rrrr
rrrrr
rr
π
δπ
ρπ
ϕ
Il modello svuluppato è semplice ma limitato. Descrive lo scambio di particelle neutre di spin 0, mentre sappiamo che possono essere scambiate anche particelle cariche. Inoltre, non descrive la dipendenza dallo spin dell’interazione.
Possiamo andare oltre continuando l’analogia con la QED.
76
Consideriamo ora 3 pioni distinti ϕ(i) accoppiati ai nucleoni tramite una densità
matrice di isospin del nucleone (i = 1,2,3)
)'()( )()( rrmfr ii rrrrv −∇⋅−= δστρ π
matrice di spin del nucleone
Il ruolo dello spin del nucleone è interpretabile come un dipolo magnetico dall’analogia con la QED.
Sempre sfruttando l’analogia con la QED per la soluzione del potenziale, abbiamo la soluzione dell’equazione di Klein-Gordon
re
mfr
mrii
−
∇⋅−=rrv στϕ π )()( )(
Poichè ci sono tre operatori di isospin, questo porta a tre campi (tre particelle distinte).
In teoria dei campi queste diventano degli operatori agenti sugli stati di particella (protoni o neutroni in un processo di scattering).
77
Nei processi
L’operatore di isospin del campo pionico non deve cambiare la carica. Questo è possibile sono per τ3
nnpp −== 33 , ττ
Quindi il campo di un pione neutro deve contenere τ3
Nei processi
)(00 rrϕπ =
L’operatore di isospin deve trasformare il neutrone in un protone e viceversa. Sappiamo che
( ) pnpni ==±= −+± τττττ , ,21
21
Definiamo quindi i campi π+ e π-
( )21
21 ϕϕπ i±=±
78
L’energia di interazione fra un nucleone in r2 e il pione generato da un altro nucleone posto in r1 è
Integrando su tutto lo spazio arriviamo al potenziale di scambio di un pione
Sostituendo il campo pionico arriviamo a
( ) rdrrmfrdU ii rrrrr 3
2)(
1)(
223
12 )( ∫∫ −⋅∇⋅−=−= δϕτσϕρ π
( ) ( )( ) rdrrrr
emfU
rrm
rrrrr
rrrrrrrr
rr
32
)3(
1221121 )(
1
−−
∇⋅∇⋅⋅−= ∫−−
δσσττπ
( ) ( )( ) 41
21212
2
re
mfU
mr−
∇⋅∇⋅⋅=rrrrrr σσττ
ππ
Facendo agire gli operatori gradiente su exp(-mr)/r arriviamo al risultato finale
( )[ ] )()(34 122121
22
mrfSmrfmfU tc +⋅⋅= σσττππ rrrr
potenziale centrale (dip. dallo spin) potenziale tensoriale
79
Buca di potenziale: scambio di due pioni
Core duro repulsivo: scambio omega
Parte a lungo range: scambio di un pione (Yukawa)
80
sistemi di due particelle, teoria dello scattering:
1. Quantum mechanics - Sakurai
2. Quantum physics - Gasiorowicz
Forze nucleari:
3. Introduzione alla fisica nucleare - Alberico
4. The meson theory of nuclear forces - Machleidt (adv. nucl. phys. 19 (1989) 189
Letture aggiuntive