Il metodo Monte CarloIl metodo Monte...

1Alessandro De Falco, INFN Cagliari 5/8/14

Il metodo Monte CarloIl metodo Monte Carlo


Che cosa è il metodo Monte CarloChe cosa è il metodo Monte Carlo

Col termine di metodo Monte Carlo (MC) si indica l'insieme delle tecniche di calcolo che fanno uso di variabili casuali generate artificialmente per la risoluzione di problemi matematici

L'idea è antica (ago di Buffon, 1777) ma è rimasta sostanzialmente inutilizzata fino all'avvento dei calcolatori

Possibilità di generare numeri pseudocasuali

Potenza di calcolo

Prime applicazioni sistematiche: Von Neumann e Ulam (primi anni '40, Manhattan Project) nome coniato da Nicholas Metropolis

L'uso del metodo Monte Carlo è cresciuto di pari passo con lo sviluppo e la diffusione dei calcolatori


Simulazioni Monte CarloSimulazioni Monte Carlo

Le simulazioni Monte Carlo sono ampiamente utilizzate in diversi campi

Medicina

Economia

Biologia

Meteorologia

In generale sono fondamentali per capire sistemi complessi e/o intrinsecamente probabilistici.

Ci occuperemo della problematica in fisica con riferimenti alle alte energie

Perche' eseguire delle simulazioni

Simulazione dei processi fisici

Simulazione del fondo

Risposta del rivelatore


Perche' eseguire le simulazioni: esempiPerche' eseguire le simulazioni: esempiIn un esperimento di fisica delle particelle:

Le quantita' fisiche da misurare sono basate su processi casuali

✔ Conoscere la natura di questi processi. ✔ Riprodurre il processo al calcolatore

Oltre alle quantita' di interesse, e' presente un fondo che deve essere rigettato/valutato.

✔ Es. vogliamo studiare il processo in collisioni tra nuclei pesanti ad alta energia con uno spettrometro ed un sistema di PID

✗ Identifichiamo i kaoni e ne misuriamo l'impulso; costruiamo lo spettro di massa invariante delle coppie di kaoni.

✗ Nelle collisioni verranno create anche coppie di kaoni scorrelate che costituiscono parte del fondo.

✗ Ci sara' inoltre una contaminazione di pioni non correttamente identificati✔ L'esperimento e' in grado di compiere la misura?

Quale e' il rapporto segnale/fondo aspettato?Quali selezioni cinematiche possiamo operare per migliorare questo rapporto?

✔ Riprodurre il fondo al calcolatore (e studiare le caratteristiche del fondo con i dati reali)

K K−


L'apparato sperimentale distorce l'evento fisico✔ Quali sono i processi fisici che avvengono all'interno dell'apparato?

Con quale probabilita' avvengono? Come modificano l'evento fisico iniziale? Con quali fluttuazioni?

✔ La geometria di un rivelatore e' spesso complessa.Come si calcola l'accettanza (numero di eventi di un certo tipo misurabili dall'apparato sul totale degli eventi di quel tipo) dell'apparato? Come le varie (in)efficienze dei rivelatori modificheranno la risposta dell'apparato?

✔ Simulazione della risposta del rivelatore alle particelle

✔ Ottimizzazione deldesign del rivelatore

✔ Calcolo di risoluzioni,efficienze, accettanze...

Spettrometro per muoni

Assorbitore

Bersaglio

MWPC

Magnete

Odoscopi per il trigger


Le quantita' misurate sono una convoluzione di distribuzioni di probabilita' su un gran numero di variabili.

Il problema, dal punto di vista matematico, si riduce ad una integrazione su n dimensioni in un dominio non facilmente parametrizzabile.

LA SOLUZIONE ANALITICA E' QUASI SEMPRE IMPOSSIBILE!

Sciame adronico in un calorimetro adronico di ALICE

protonia 100 GeV

protonia 2760 GeV



Come abbiamo detto, una tecnica Monte Carlo e' una qualunque tecnica che fa uso di numeri casuali per risolvere un problema.

Siamo interessati a un parametro di una popolazione: usiamo una sequenza di numeri casuali per costruire un campione della popolazione, ed otteniamo delle stime statistiche del parametro

Sia F la soluzione di un certo problema (F puo' essere un numero reale, o un array, o semplicemente una variabile logica). La stima ottenuta col metodo Monte Carlo dipendera' anche dall'insieme dei numeri casuali utilizzati nel calcolo.

Il termine simulazione Monte Carlo fu coniato all'inizio della seconda guerra mondiale da von Neumann e Ulam a Los Alamos, che studiavano la dinamica delle esplosioni nucleari nell'ambito del progetto Manhattan. Il nome fu ispirato alla casualita' dei risultati nelle case da gioco.


Applicazione del metodo Monte CarloApplicazione del metodo Monte Carlo

Storicamente, i primi calcoli su larga scala basati sul metodo Monte Carlo vennero eseguiti per lo studio di scattering e assorbimento dei neutroni. Questi processi hanno natura casuale, e dunque si puo' facilmente far corrispondere un campione ipotetico, costruito coi numeri casuali, al campione reale.

D'altra parte i risultati ottenuti (valori medi, varianze etc) sono “deterministici”, e potrebbero essere ottenuti con i metodi tradizionali del calcolo analitico. In questo caso il calcolo consisterebbe nell'integrazione multidimensionale

Il metodo Monte Carlo puo' essere applicato ogni volta che si puo' stabilire una corrispondenza tra il risultato desiderato e il comportamento atteso di un sistema stocastico. Tale corrispondenza puo' esistere per un sistema intrinsecamente probabilistico, ma anche per un sistema di natura deterministica.

In ogni caso, l'appropriatezza del metodo dipendera' dalle sue proprieta' matematiche, e non da una somiglianza piu' o meno superficiale col problema in studio.


Un semplice esempio Un semplice esempio


Nota: il calcolo in questo caso può essere svolto analiticamente, in maniera esatta e in modo molto più efficiente

Il metodo Monte Carlo -sempre, non solo in questo esempio- fornisce un risultato approssimato, soggetto a fluttuazioni

Quanto vale l'incertezza statistica sul valore che ho determinato in questo modo?

Di quanto devo aumentare la statistica per ridurre le fluttuazioni di un ordine di grandezza?

Esercizio: scrivere un programma che simula il lancio di una coppia di dadiRiempire un istogramma coi risultati ottenuti e disegnarlo


Formalmente, il calcolo col metodo Monte Carlo e' equivalente all'integrazione. Infatti, se vogliamo studiare il parametro F facendo uso di una serie di numeri casuali x

i(i=1,...,n, 0<x

i<1,

f(xi)=cost. ), il risultato ottenuto sara' una stima dell'integrale:

ovvero, e' il valore di aspettazione di F

Le basi matematiche per l'integrazione Monte Carlo sono le basi della statistica

Definizione di una variabile casuale: una variabile che può assumere diversi valori (discreti o continui in un range specificato) i cui valori non possono essere predetti

Distribuzioni delle variabili casuali. Media varianza, covarianza

La legge dei grandi numeri

Il teorema del limite centrale

Fondamenti matematici dell'integrazione Monte Carlo

Fondamenti matematici dell'integrazione Monte Carlo

F=∫dx1∫dx2 ...∫ dxn F x1, x2,. .. , xn

F


Legge dei grandi numeri e convergenzaLegge dei grandi numeri e convergenza

La legge dei grandi numeri riguarda il comportamento delle somme di grandi numeri di variabili casuali.

Consideriamo una funzione f(u)

Scegliamo N numeri casuali ui con distribuzione uniforme tra a e b

La media aritmetica delle f(ui) converge al valore di aspettazione di f

Ovvero la media aritmetica e' uno stimatore consistente dell'integrale a secondo membro, poiche' converge al valore dell'integrale (sotto certe condizioni: f integrabile, finita ovunque in (a,b), continua q.d.)

La legge dei grandi numeri implica che la stima Monte Carlo di un integrale e' una stima consistente di un integrale

1N ∑

i=1

N

f ui

N ∞

1b−a∫a

b

f udu


Teorema del limite centraleTeorema del limite centrale

Date n variabili casuali indipendenti xi (i=1,...n) generate da una

distribuzione qualunque, aventi media i e varianza finita

i , la variabile

è distribuita come una gaussiana standard N(0,1)

Da ciò discende che se tutte le i e tutte le

i sono uguali,

x=∑i=1

n x i

nf x∝exp −1

2x−

2

2/n

z=∑i=1

nx i− ∑

i=1

ni

∑i=1

n i

2

f z=e−

12

z2

Protomontecarlo: l'ago di Buffon (hit or miss)Protomontecarlo: l'ago di Buffon (hit or miss)Simulazione fatta a mano per stimare , ideata nel '700.

Strumenti:1- un pavimento a linee parallele

equispaziate con passo d 2- un ago lungo d

Lancio l'ago ripetutamente sul pavimento

Conto la frequenza con cui l'ago cade in modo da attraversare il confinetra due strisce (hit). Per un numero grandedi tentativi, questa sara' pari a 2/

Questo metodo (hit or miss) e' molto inefficiente

d

d

Infatti, se indichiamo con l'angolo tra l'ago e la perpendicolare alle linee per un particolare lancio, la proiezione dell'ago lungo la perpendicolare sara' d | cos | e la probabilita' che in quel lancio l'ago attraversi una linea e' d | cos | / d = | cos |ogni angolo ha la stessa probabilita' calcolo il valore medio di | cos | come 1

/2 ∫0

/2

cos d =2


Ago di Buffon: ulteriori considerazioni Ago di Buffon: ulteriori considerazioni

La soluzione del problema dell'ago di Buffon constiste dal punto di vista matematico nel calcolo del valore medio di un integrale.

Nota 1: il metodo dell'ago di Buffon è una tecnica Monte Carlo applicata ad un problema che non ha una interpretazione statistica immediata, ma è formulato in modo da poter essere risolto con metodi statistici.

Nota 2: il problema della convergenza lenta puo' essere affrontato con tecniche di calcolo che vanno al di la' di dello scopo di queste lezioni(vedi F. James, Monte Carlo Theory an Practice (Ferbel))

Ovviamente, poichè la varianza della stima montecarlo va come possiamo aumentare n o, a parità di n, ridurre

Diamo solo un esempio immediato nel seguito

2/n


Hit or Miss vs crude Monte CarloHit or Miss vs crude Monte CarloConsideriamo un altro metodo per valutare :

Hit or miss:Estraggo una coppia (x,y) di numeri casuali con distribuzione piatta tra 0 e 1Incremento un contatore seReitero il processo per N volte. Divido il valore del contatore per n e ottengo una stima del rapporto tra un quarto dell'area del cerchio con r=1 e l'area del quadrato di lato 1.Moltiplicando il risultato per 4 ottengo . CONVERGENZA LENTA Il risultato della k-ma estrazione non è pesato e può dare solo 0 o 1. Le estrazioni che danno 0 non contribuiranno a ridurre le fluttuazioni statistiche

Crude Monte Carlo:Per ogni x

i estratto, calcolo

La media aritmetica di questi termini converge, per grandi N, al valore dell'integrale della funzione

CONVERGENZA PIU' RAPIDA uso tutte le xi estratte

1N ∑

i=1

N

1−x i2 N ∞

∫0

1

1−x2 dx=4

x2y2

≤1

1−xi2

0 1

1

y

x

Esercizio: calcolare con hit or miss e col crude MC


Risultato del precedente esercizio con il metodo Crude MC (nero) o Hit Or Miss (rosso).

Nel nostro esempio, N=100

Il risultato e' un numero casuale con una distribuzione approssimativamente gaussiana. Piu' e' lenta la convergenza, maggiore e' la larghezza della distribuzione.

Ripeto la stima 10000 volte per avere la distribuzione della stima coi due metodi

Il metodo hit or miss, in questo caso, ha una RMS circa doppia rispetto al crude MC


Estraggo N coppie (x,y) di numeri random a distribuzione piattaConto il numero K di coppie per cui y<=g(x)Stimo l'integrale come K/NPosso generalizzare facilmente il calcolo al caso xmin<x<xmax mediante la trasformazionex = xmin + (xmax-xmin) x0-1 0<x0-1<1ed eseguire un'analoga trasformazione per yIl metodo e' inefficiente per funzioni di singola variabile, ma diventa potente per funzioni di piu' variabili.

Integrazione di una funzione (hit or miss)Integrazione di una funzione (hit or miss)

Vogliamo determinare l'integrale I 0=∫

0

1

g x dx 0g x1 per 0x1

x

y

(xi,y

i)

(xj,y

j)


Finora abbiamo parlato di numeri casuali generati da un computer, senza accennare al modo in cui vengono generati

I computers svolgono i calcoli in maniera deterministica!

I numeri generati al computer hanno un numero finito di cifre. Una variabile potra' essere scritta nella formadove a

i potra' essere uguale a 0 o ad 1, con probabilita' 1/2

Una variabile cosi' costruita ammettera' 2k valori diversi possibili. Se e' possibile estrarre in maniera casuale i valori degli a

i, x avra' una

distribuzione uniforme sui 2k valori discreti; x/2k sara' distribuita tra 0 e 1.

Ogni numero (pseudo)casuale estratto da un computer sara' funzione dei numeri estratti in precedenza.

Generazione di numeri casuali al calcolatoreGenerazione di numeri casuali al calcolatore

x=a0 20a121

...ak −12k−1

xn=f xn−1 , xn−2, .... x1


Una possibile funzione per la generazione di numeri random a distribuzione piatta e' data da:

In questa maniera generiamo una sequenza con periodicità m (purchè c e m non abbiano fattori comuni, a-1 sia un multiplo di tutti i fattori primi di k e a-1 sia multiplo di 4 se m è multiplo di 4)

Ovviamente se durante la sequenza si ripete uno dei numeri (interi), tutta la sequenza si ripeterà a partire da quel numero

Per ottenere una sequenza abbastanza lunga dobbiamo usare a ed m abbastanza grandi, ma non tali per cui a*m causa un overflow

Solitamente si usa m=2k

Un generatore che segue questo algoritmo è un generatore lineare congruente

Es.: routine drand48 nei sistemi AIX genera numeri random tra 0 e 1 con buone proprietà spettrali. Drand48 usa k=48, c=B(hex), a=5DEECE66D(hex)

Metodo lineare congruenteMetodo lineare congruente

xn=mod axn−1c ,m

xn=mod axn−1c ,2k


DOPO 150 EVENTI DOPO 4096 EVENTI DOPO 40960 EVENTI

(Il contatore in ascisseviene riazzerato ogni 4096 eventi)

Esercizio: scrivere un generatore di numeri casuali con a=5, c=13, k=12 verificare che la periodicita' e' 4096. verificare che la distribuzione e' piatta


Generatori di numeri casuali in ROOTGeneratori di numeri casuali in ROOT

http://root.cern.ch/download/doc/ROOTUsersGuideHTML/ch13s02.html

root usa quattro tipi di generatore di numeri random:

Tipo Periodicità Commenti

TRandom Lineare congruente 231=2 109

(pochissimo!!!)non usare!

TRandom1 basato su RANLUX 10171 lento

TRandom2 maximally equidistributed combined Tausworthe

1026 veloce (usare per campioni nontroppo grandi)

TRandom3 Marsene-Twister 106000 consigliato

http://root.cern.ch/download/doc/ROOTUsersGuideHTML/ch13s02.html


Numeri casuali con distribuzione dataCalcolo analitico

Numeri casuali con distribuzione dataCalcolo analitico

E' possibile estrarre numeri casuali x con distribuzione f(x) a partire da un set di numeri casuali y a distribuzione piatta g(y)=1

Se sappiamo integrare f(x), possiamo ricavare X in funzione di Y. Estraendo Y con distribuzione piatta tra 0 e 1 otterremo le X corrispondenti distribuite come f(x)

Esercizio: generare dei numeri random con distribuzioni:

f xdx=g y dy=dy Y =∫0

Y

dy=∫xmin

X

f xdx=F X

f x=1

cosh2ax

Distribuzione simile ad una gaussiana

f x=1

1x2


Se non sappiamo integrare analiticamente f(x) possiamo ancora estrarre numeri casuali distribuiti secondo f(x) in un intervallo (a,b) procedendo in due modi:

Metodo 1: Calcoliamo numericamente la funzione integrale a passi discreti e

✔ Determino fmax nell'intervallo (a,b)

✔ Estraggo x con distribuzione uniforme, in modo che a<= x < b

✔ Estraggo y con distribuzione uniforme, in modo che 0<=y<fmax

✔ Tengo x se y<f(x)

✔ Le x cosi' ottenute sono distribuite secondo la distribuzione f`

Calcolo numericoCalcolo numerico


Distribuzione qualsiasi con rootDistribuzione qualsiasi con root

Si possono generare numeri casuali distribuiti secondo una funzione f(x) utilizzando il metodo TF1::GetRandom()

TF1 è la classe delle funzioni a una variabile

P.es. voglio generare numeri distribuiti come(N

0, x

0: parametri della funzione)

Esistono diverse funzioni predefinite di uso comune

f x=N 0 x e−x /x

0

TF1 *f = new TF1(“f”,”[0]*x*exp(-x/[1])”,0,10); // range: tra 0 e 10f->SetParameters(1,1); // due valori a piacere per N

0 e x

0

Double_t var=f->GetRandom();


Generazione parametricaGenerazione parametrica

Noto un modo per generare numeri casuali con distribuzione qualunque, possiamo costruire un generatore di particelle parametrico:

Conosciamo le distribuzioni cinematiche di ciascuna particella che vogliamo generare.

Parametrizziamo queste distribuzioni ed estraiamo dei numeri casuali distribuiti come le distribuzioni cinematiche

Esempio: siamo interessati alle J/ prodotte in reazioni inclusive

Riveliamo la J/tramite il suo decadimento in muoni

La cinematica della J/è completamente determinata una volta noti:

Ricaviamo dalla letteratura (previsioni teoriche, misure sperimentali) le distribuzioni di pt,y,.

Generiamo una terna di numeri casuali distribuiti come pt,y,della J/e costruiamo il

quadrimpulso della J/mediante queste grandezze e la massa della J/(nota: è una risonanza, dotata di una funzione spettrale)

pp J /anything

J /

−

pt= px2 py

2 y=12

log Epz

E−pz =atan

p y

p x


La J/decade in due muoni: Il decadimento a due corpi e' semplice da trattare, occorre solo la distribuzione dell'angolo polare dei muoni nel C.M. (teoria, misure)

Possiamo dunque calcolare due quadrimpulsi, relativi alla coppia di muoni.

A questo punto abbiamo generato una coppia di muoni provenienti dalla reazione

Semplice e rapido

pp J /anything

−


Esercizio: 1- scrivere un codice che genera J/ con le seguenti distribuzioni:

2- ricavare le distribuzioni di p

x, p

y, p

z, cos della J/

3- Aggiungere al precedente codice il decadimento in due muoni, con:

4- Calcolare il quadrimpulso dei due muoni. Calcolare la massa invariante per verificare che corrisponde a quella della J/Ricavare inoltre le distribuzioni di p

x, p

y, p

z, cosdella somma dei 4-impulsi dei due

muoni e confrontarle con quelle ottenute per la particella madre (sono le stesse)

dNdpT

∝ pT e−m

T/T

dNdy

∝e

−12

y2

y2

dNd

∝costante

pT= p x2p y

2 mT= pT2 mJ /

2

mJ /=3.1 GeV T=0.190 GeV y=1

: angolo azimutale

m=0.105 GeV

pz=mT sinh y

dNd

CM = costante CM : angolo polare del muone nel S.R. della J /


Studio MC di distribuzioniStudio MC di distribuzioni

Come abbiamo visto, il MC permette di studiare delle distribuzioni difficilmente trattabili dal punto di vista analitico

Inoltre, se è vero che il risultato è affetto da incertezze statistiche, è anche vero che certe approssimazioni possono essere evitate

Esempio (da: Rotondi et al. Probabilità, statistica e simulazione, Springer) misurariamo due angoli x e y. L'apparato ha una risoluzione gaussianaOtteniamo:

vogliamo ora determinare:

Z è una variabile casuale così come X e YSemplicisticamente scriviamo:

ma ATTENZIONE: queste formule valgono in approssimazione lineare e per errori percentuali piccoli

x=20o±3o y=13o±3o

Z=sin XsinY

z= sin xsin y

=1.52

[Z ]=cos xsin y

2

180

2

x2sin x cos y

sin2 y 2

180

2

y2


Risolviamo lo stesso esercizio con un semplice Monte Carlo


Risultato:Ben diverso da ottenuto col calcolo analitico ma usando approssimazioni che in questo caso non si adattano bene (funzione ben lontana dalla linearità ed errore percentuale grande)

Nota: la distribuzione di z non è gaussiana

z=1.61±0.49z=1.52±0.41

z

con

tegg

i per

bin

da

0.0

5


Nell'esercizio gli errori relativi sono del 15% (su x) e del 23% (su y)

Che risultato avremmo se l'errore fosse 6 volte più piccolo?

Col calcolo analitico:Col MC:

x=20o±0.5o y=13o±0.5o

zoom

z=1.520±0.068z=1.523±0.068

Distribuzione quasi gaussiana


Uso del MC per ricavare gli intervalli di confidenzaUso del MC per ricavare gli intervalli di confidenzaPer ricavare l'intervallo di confidenza [ per un parametro ad

un certo CL=1-c1-c

2 dobbiamo calcolare degli integrali:

Possiamo usare il MC per calcolare questi integrali quando p non è integrabile analiticamente

Generiamo per ogni valore di un istogramma p(z,)

Contiamo per ciascun istogramma la frazione f di eventi per cui z<=z

mis

Troviamo quando

questo metodo (metodo della griglia) richiede una mole di calcolo non indifferente

∫zmis

∞

p z ;1dz=c1∫−∞

zmis

p z ;2dz=c2 zmis

: risultato della misura

1−f ≈∫zmis

∞

p z ;1dz=c1f≈∫−∞

zmis

p z ;2dz=c2


Monte Carlo parametricoMonte Carlo parametrico

Invece di simulare le interazioni, usa parametrizzazioni delle distribuzioni dei prodotti di reazione, che vengono dai fit dei dati e dalle estrapolazioni

Veloce, soprattutto per reazioni complesse

Puo' essere piu' accurato del Monte Carlo microscopico se la teoria contiene incertezze/approssimazioni

Le signole pdf sono riprodotte, ma non le correlazioni tra i prodotti di interazione

Non puo' essere esteso oltre il range dei dati


Biased Monte CarloBiased Monte Carlo

Campiona da distribuzioni artificiali, e applica un peso alle particelle per correggere il bias.

Predice quantita' medie, ma non i momenti di ordine superiore (il suo scopo e' quello di minimizzare la varianza)

Stesso valore di aspettazione con varianza minore-> converge rapidamente

Non riproduce correlazioni e fluttuazioni

Solo alcune variabili “privilegiate” convergono piu' rapidamente

Esempio: Fasci di neutrini con long base line dal decadimento dei pioniI pioni sono forzati al decadimento diverse volteI neutrini sono forzatamente emessi nella direzione in avanti Simula lo spettro di energia dei neutrini in un angolo solido <1mrad (<1km a una base line di 730 km)Pessima statistica per i muoni in avanti


Codice di trasportoCodice di trasportoDescrive l'interazione delle particelle con la materia

Utilizzato per descrivere la distorsioni introdotte dal rivelatoreUsato anche per il design di elementi degli acceleratori, dosimetria...

Ogni particella e' seguita nel suo cammino attraverso la materia

Ad ogni passo, per ciascuna particella,

viene valutata la probabilita' di interazione secondo i diversi possibili processi fisici

eventualmente viene simulata una interazione e modificata la cinematica della particella

Se l'interazione produce dei secondari, vengono tracciati anch'essi

L'accuratezza e l'affidabilita' del Monte Carlo dipende dai modelli dei dati di ingresso.

L'accuratezza statistica dipende dal numero di “storie”.

La convergenza statistica puo' essere accelerata con tecniche di bias


Fast simulationFast simulation

Solo la sorgente e' completamente simulata

La risposta del rivelatore e' parametrizzata

Molto veloce

Disegnato sul particolare rivelatore

Spesso usato come primo passo per gli studi di ottimizzazione del rivelatore e performances di fisica


Pacchetti softwarePacchetti software

Un elenco non esaustivo dei programmi Monte Carlo piu' diffusi

Simulazione di eventi

Pythia/Jetset

Koralz, Koralw,Hzha, Herwig,.... processi specifici

Simulazione del rivelatore

Geant 3/4

Fluka

Mars

Mcnpx

Naturalmente l'utente deve creare la simulazione di suo interesse


Interazioni adronicheInterazioni adroniche

Non c'e' un modello universale che descriva le interazioni adrone-nucleo:

Il nulceo e' un sistema a molti corpi di dimensione finita

La QCD perturbativa non puo' essere applicata per interazioni soft, che dominano i processi importanti per il codice di trasporto

Le interazioni adroniche sono le piu' difficili da trattare nel Monte Carlo, e le piu' soggette ad errori sistematici.

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