1

Fisica Nucleare

Testo di riferimento:

• Introductory nuclear physics – Krane

Altri testi che ho utilizzato in alcune parti del corso:

•Physics of atomic nucleus – K.N. Mukhin

•Nuclei e particelle – Segrè

•Introduzione alla fisica nucleare – W. Alberico

Testi di meccanica quantistica utili:

•Quantum mechanics – J.J. Sakurai

•Quantum physics – Gasiorowicz

Tutte le trasparenze sono in rete nel sito:

http://gruppo3.ca.infn.it/usai/fisica-nucleare.html

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Riveste un ruolo importante nella nostra vita

Fissione nucleare : generazione di energia ⇒ centrali/armi

Fusione nucleare : Sostiene (quasi) tutta la vita

Creazione di tutti gli elementi pesanti – Nucleo-sintesi

Possibile sorgente futura di energia non inquinante

Decadimento radioattivo: usato per la datazione, . allarmi antifumo !

Applicazioni mediche: test diagnostici basati su imaging

trattamenti terapeutici del cancro

Perchè studiare la fisica nucleare ?

3

Fisica Nucleare - Storia

Probabilmente nessun argomento crea così tanta paura e confusione

1895 Scoperta dei raggi X - Röntgen

1896 Scoperta della radioattività dell’uranio - Becquerel

1897 Studi sulla radioattivita – Marie & Pierre Curie

1905 Einstein – teoria speciale della relatività

1911 Scoperta del nucleo atomico - Rutherford

1919 / 1920 Rutherford postula protoni e neutroni nel nucleo

1926 La meccanica quantistica decolla – equazione di Schrödinger

1929 Primi acceleratori di particelle, ciclotrone di Lawrence

1931 Teoria di Pauli del neutrino nel decadimento beta

1932 Osservazione del neutrone – Chadwick

1934 Osservazione della fissione - Fermi / Hahn

1941 Avvio del Progetto Manhattan

1942 Primo reattore – Fermi

1945 La bomba atomica - Oppenheimer

1948 Nucleo-sintesi – Bethe, Gamow

1952 Bomba all’idrogeno

1956 Violazione della parità nel decadimento beta

Sviluppo di applicazioni tecnologiche

ad es. imaging medico

2004

4

Dinamica relativistica

Unità naturaliPoniamo ħ=c=1 e scegliamo l’energia come unità di misura fondamentale

Energia GeV Tempo (GeV/ħ)-1

Momento GeV/c Lunghezza (GeV/ħc)-1

Massa GeV/c2 Sezione d’urto (GeV/ħc)-2

Riconvertiamo nelle unità SI usando

ħc=0.197 GeV fm

ħ=6.6x10-25 GeV s

Carica: poniamo ε0=1 (unità di Lorentz-Heavyside)

1371

44

2

0

2

≈==ππε

α ec

eh

22242222 mpEcmcpE +=→+=

5

Costituenti fondamentali

Elettroneme=0.511 MeV/c2

carica = - e (1.6x10-19 C) dimensione ≤ 10-18 m

NucleoZ protoni, N neutroniprotoni e neutroni sono 2 stati carichi del nucleoneUn nuclide è un nucleo specificato da Z, N A (numero di massa) = Z (numero atomico) + Nmp ∼ mn = 939.57 MeV/c2; carica: p = +e, n = 0 dimensioni p, n ∼ 1 fm; raggio del nucleo (A medio) ∼ 5 fm

AtomoLo stato normale è neutro, Z elettronidimensioni ∼ 10-10 m La massa mp, mn ∼ 1836 me dell’atomo è quasi tutta nel nucleoLe proprietà chimiche dipendono da Z

6

7

La forza forte

Tutte le interazioni fra particelle possono essere spiegate in termini di 4 forze fondamentali:

elettromagnetica, debole, forte e gravitazionale

I nucleoni sono soggetti all’interazione forte a piccole distanze (qualche fm)

8

I nucleoni nel nucleo sono in moto con energie cinetiche dell’ordine di 10 MeV. Le energie nei decadimenti nucleari sono dell’ordine di 1-10 MeV, meno dello0.1% della massa a riposo di un nucleone (~ 1 GeV). E’ quindi possibile usare la MQ non relativistica ⇒ possiamo applicare l’equazione di Schrödinger.

Questo non è vero nel caso dello studio della struttura del nucleone, dove l’energia del fascio incidente in un esperimento di scattering può essere 100 voltela massa di un protone.

Sia i nuclei che i nucleoni sono sistemi complessi formati da molti costituenti. Le teorie e i modelli che li descrivono sono perciò spesso di natura fenomenologica e la fisica nucleare avanza attraverso l’esperimento piuttosto che con la teoria.

Teoria nucleare ed esperimento I

La fisica atomica è basata su una singola teoria consistente – la QED. Questo sfortunatamente non accade in fisica nucleare: esiste una teoria fondamentale delle interazioni forti – la QCD – ma essa descrive l’interazione fra i quark, non fra i nucleoni

9

Teoria nucleare ed esperimento II

Gli esperimenti di fisica nucleare possono essere classificati come esperimenti discattering o di spettroscopia (allo stesso modo che in fisica adronica)

In un esperimento di scattering, un fascio di particelle di energia e momento noti èdiretto verso il bersaglio in esame. La risoluzione ottenibile è determinata dalla lunghezza d’onda di de Broglie λ=h/p delle particelle. I raggi nucleari possono essere misurati tramite fasci elettronici di circa 108 eV, il raggio del protone con 109

eV.

Il termine “spettroscopia” viene usato per descrivere gli esperimenti in cui si osservano i prodotti di decadimento di stati eccitati. In questo modo, possiamo studiare le proprietà degli stati eccitati oltre che le interazioni fra i costituenti. Gli“stati” possono essere nuclidi diversi o, in fisica adronica, mesoni e barioni diversi. Le energie richieste per produrre stati eccitati sono simili a quelle degli esperimenti di scattering.

10

La tavola periodica degli elementiSolo tre elementi si sono formati nel Big Bang. Tutti gli altri elementi vengono formati nelle stelle

Elementi naturali: da H(Z=1) a U(Z=92)

11

12

Fisica nucleare - scale

Livello fondamentale

Stati eccitati (∼ eV)

Stati eccitati (∼ MeV)

Livello fondamentale

Livello fondamentale

Stati eccitati (∼ GeV)

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Nuclidi

Un nuclide è un particolare nucleo ed è designato con la seguente notazione:

Z = Numero Atomico (Numero di Protoni)

A = Massa Atomica (Numero di Nucleoni)

A = Z+N (Nucleoni = Protoni + Neutroni)

N = Numero di Neutroni (talvolta omesso)

Nuclidi con lo stesso Z ma diverso N sono detti ISOTOPI

Nuclidi con lo stesso A sono noti come ISOBARI

Nuclidi con lo stesso N sono noti come ISOTONI

Stati eccitati aventi vita media lunga (meta-stabili) sono noti come ISOMERI

Esistono migliaia nuclidi!

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Carta dei nuclidi

I nuclidi possono essere sistemati su una carta, una specie di tavola periodica della fisica nucleare

Tipicamente la carta grafica Z vs N

I diversi decadimenti radioattivi possono essere facilmente collegati con un movimento nella carta –ad es. il decadimento α corrisponde a 2 passi a sinistra, 2 in basso

Questo permette di visualizzare intere catene di decadimento in modo efficace

Permette di visualizzare anche altre proprietàcome la vita media o la data di scoperta

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Masse nucleariLa misura della massa nucleare viene eseguita per mezzo di uno spettrometro di massa

Fascio di ioni

Lastra fotografica

Selettore di velocità

E

BB

misura della massa

q, B, v sono noti. Misurando r si ha

EqrBm

2

=

Selettore di velocità

BEv

qvBqE

=

=

Selettore di momento

qBmvr

qBrmv

=

=

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Masse nucleariLa massa di riferimento non è il protone o l’atomo di idrogeno, bensì l’isotopo 12C. Il carbonio e molti dei suoi composti sono sempre presenti in uno spettrometro e sono particolarmente adatti per la calibrazione

Una unità di massa atomica u è perciò definita come 1/12 della massa del nuclide 12C

kg 1066043.1/MeV 481.931121 1 272

12−⋅=== cMu

C

Esempio: Misura della massa dell’idrogeno

( ) ( ) u 00000012.009390032.0810209 ±=−=∆ HCmHCm

D’altra parte

( ) ( ) ( ) ( )CmHmHCmHCm 12810209 12 −=−

Quindi la massa dell’idrogeno è data da

( ) ( )[ ] u 0000001.000782503.1121 12 ±=∆+= CmHm

⇒ massa di un protone = 938.272 MeV/c2

17

Abbondanze nucleari

Spettro di massa degli isotopi del xenon trovati in un campione di gneiss avente 2.7 miliardi di anni estratto dalla penisola di Kola

Spettro degli isotopi dello xenon presenti in atmosfera

Lo Xe nello gneiss è stato prodotto dalla fissione spontanea dell’uranio(K.Schafer, MPI Heidelberg)

Possiamo fare una scansione in massa variando E o B e misurando la corrente possiamo determinare le abbondanze relative di diversi isotopi

Numero di massa

Con

tegg

i

18

Abbondanze nucleari nel sistema solare

Abbondanze relative nel sistema solare(normalizzate a Si).

Generalmente le stesse in tutto il sistema solare

Deuterio e elio: fusione nei primi minuti dopo il big bang

Nuclei fino 56Fe: stelle

Nuclei più pesanti: supernovae

Abbondanze nel Sole

104 H 103 He 8 O 4 C 1 N 1 Ne

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Energia di legame nucleare

L’energia di legame B di un nucleo è la differenza di energia di massa fra i suoi Z protoni e N neutroni liberi e un nucleo AZXN

( ) ( )[ ] 222 cZmmNmZmcmcNmZmB eAnpNnp −−+≈−+=

L’energia di legame è determinata dalle masse atomiche, poichè esse possono essere misurate molto più precisamente delle masse nucleari.

Raggruppando le masse dei Z protoni ed elettroni in Z atomi di idrogeno neutri, possiamo riscrivere

[ ] 21 )()( cXmNmHZmB An −+=

L’energia di massa di un nucleo è

22

1

222 cZmcmBcZmcmcm eA

Z

iieAN −≈+−= ∑

=

Massa atomica Massa degli Z elettroni

Energie di legame degli Z elettroni (trascurabile)

20

Le energie di separazione di protoni e neutroni sono l’equivalente delle energie di ionizzazione in fisica atomica.

L’energia di separazione dei neutroni Sn è la quantità di energia necessaria per rimuovere un neutrone da un nucleo AZXN, uguale alla differenza fra le energie di legame di AZXN e A-1

ZXN-1

Energie di separazione

( ) ( )( ) ( )[ ] 2

11

11

cXmmXm

XBXBS

NAZnN

AZ

NA

ZNAZn

−+=

−=

−−

−−

L’energia di separazione di un protone è definita in modo simile come l’energia necessaria per rimuovere un protone

( ) ( )( ) ( )[ ] 21

1

11

cXmmXm

XBXBS

NAZpN

AZ

NAZN

AZp

−+=

−=−−

−−

21Linea rossa misure sperimentalilinea nera formula semi-empirica

ener

gia

di le

gam

e pe

r par

ticel

la

nucl

eare

(nuc

leon

e) in

MeV

Numero di Massa A

La massa media dei frammenti di fissione è circa 118

Elementi più pesanti del ferro possono fornire energia tramite fissione

Fe

Gli isotopi del gruppo del ferro sono i più legati

Ni6228

Fe5826

Fe5626hanno energia di legame 8.8 MeV/nucleone

energia dalla fissione nucleare

energia dalla fusione nucleare

235U

Energia di legame per nucleone

B/A ∼ costante ∼ 8 MeV per nucleone, A≥20

Largo massimo per A ∼ 60 (Fe, Co, Ni)

A≤60 fusione A ≥60 fissione

I nuclei leggeri con A=4n, n=intero presentano picchi (stabilità α)

B/A ∼ costante → in un nucleo i nucleoni sono attratti solo dai nucleoni vicini. La forza nucleare èa corto range e saturata

22

I nuclei stabili si trovano solo in una banda molto stretta nel piano Z-N. Tutti gli altri nuclei sono instabili e decadono spontaneamente in vari modi

Stabilità nucleare

Isobari con un grande surplus di neutroni guadagnano energia convertendo un neutrone in un protone (più un elettrone) mentre nel caso di un surplus di protoni si può verificare la reazione inversa: la conversione di un protone in un neutrone (e un positrone).

Per conservare il numero leptonico vengono prodotti anche neutrini

Si possono avere inoltre decadimenti αe fissione spontanea

Fissione spontanea

Linea della stabilità

Nuclei noti

Numero di neutroni N

Num

ero

di p

roto

niZ

23

Carta dei nuclidi – vita media

Experimental Chart of Nuclides 2000 2975 isotopi

Vita media

24

Carta dei nuclidi – cronologia

Evoluzione della Tavola degli Isotopi

Anno di pubblicazione

25

• Uno dei primi modelli del nucleo proposti

• Conseguenza naturale del pensare il nucleo come una collezione di “molecole” legate fra loro

• Queste molecole sono in moto costante e diversi tipi di moto sono possibili

Il modello della goccia di liquido

Consideriamo il nucleo come una sfera di densità uniforme interna, che va a zero in superficie

Goccia di liquido Nucleoforze intermolecolari a forza nucleare corto range

Densità indip. dalla densità indip. dalla dalla dimensione goccia dimensione nucleare

Calore richiesto per B/A ∼ costante evaporare una massa fissa indipendente dalla goccia

26

Il termine di volume +avA

Termine dominante, proporzionale al numero di nucleoni, perciò proporzionale a R3, il volume. Poichè R∝A1/3, → B ∝A, e B/A=cost. Ciascun nucleone contribuisce per circa 16 MeV.

Da questo deduciamo che la forza nucleare ha corto range, corrispondente approssimativamente alla distanza fra due nucleoni. Questo fenomeno è detto saturazione.

Infatti, se ciascun nucleone interagisse con tutti gli altri nucleoni, l’energia di legame totale sarebbe proporzionale ad A(A-1) o approssimativamente ad A2.

A causa della saturazione, la densità centrale dei nucleoni è la stessa per quasi tutti i nuclei: 0.17 nucleoni/fm3 o 3x1017 kg/m3.

La distanza media fra i nucleoni è circa 1.8 fm.

Il termine di superficie -asA2/3

I nucleoni in superficie sono circondati da meno nucleoni. Perciò l’energia di legame èminore rispetto ai nucleoni all’interno. Questo contributo è proporzionale all’area della superficie del nucleo (R2 o A2/3)

Singoli termini dell’energia di legame

27

Il termine coulombiano –acZ2/A1/3

La forza elettrica repulsiva agente fra i protoni nel nucleo riduce ulteriormente l’energia di legame. Questo termine vale

Poichè R∝ A1/3 segue che questo termine è approssimativamente proporzionale a Z2/A1/3

Mettendo tutto assieme troviamo

ReZZECoulomb

2)1(53 −

=

3/123/2 /),( AZaAaAaAZB csv −−=

La formula è ancora inadeguata:

per A fissato, predice che il nucleo con Z=0 ha la massima energia di legame (cioè tutti i protoni si convertono in neutroni!)

Inoltre l’energia di legame per nucleone presenta ancora una pendenza positiva al crescere del numero di massa. Questo non si osserva in natura

volume

superficie

Coulombsimmetria

Numero di massa A

B/A

(MeV

per

nuc

leon

e)

28

Termine di asimmetriaPer passare da N-Z=0 a N>Z con A fissato è richiesta un’energia pari a (N-Z)2∆E/8

Nuclei con N=Z hanno energia di legame maggiore e sono perciò più fortemente legati di un nucleo con N≠Z.

La correzione viene scalata di 1/A poichè i livelli sono più ravvicinati al crescere di A

Un’importante considerazione per le particelle nella buca di potenziale è il principio di Pauli – questo influisce sullo stacking dei singoli protoni e neutroni e quindi sulle rispettive energie

ANZaa /)( 2−−

buca di protoni buca di neutroni

cambiamo 2 protoni in 2 neutroni

cambiamo 2 protoni in 2 neutroni

separazione fra i livelli ∆E

Aumento di energia=2 ∆E

Aumento di energia=3x2 ∆E

neutrone protone

29

Contributi a B/A

30

Il termine di accoppiamento

Questo riflette l’osservazione sperimentale che due protoni o due neutroni sono sempre più fortemente legati di un protone e un neutrone.

Questa interazione di accoppiamento favorisce la formazione di coppie di nucleoni dello stesso tipo (pp, nn) con spin ↑↓ e funzione spaziale d’onda simmetrica

Il termine viene aggiunto nel modo seguente:

Per nuclei A dispari (termine=0)

• Z pari, N dispari

• Z dispari, N pari

Per A pari

•Z dispari, N dispari -δ(Z,A)

•Z pari, N pari +δ(Z,A)

2/1),(Aa

AZ p=δ

31

La formula di massa semi-empirica (Weizsacher)La formula finale è per l’energia di legame è

),()(),(2

3/1

23/2 AZ

ANZa

AZaAaAaAZB acsv δ+

−−−−=

I valori esatti dei coefficienti dipendono dal range di masse per cui sono ottimizzati. Un possibile insieme di parametri è

av=15.67 MeV

as=17.23 MeV

ac=0.714 MeV

aa=23.285 MeV

δ= -11.2 MeV Z ed N pari

0 MeV A dispari

+11.2 MeV Z ed N dispari

Da cui si ottiene la formula di massa semi-empirica

( ) 21 /),(),( cAZBNmHZmAZM n −+=

32

Confronto con l’esperimento

Energia di legame per nucleone dei nuclei con numero di massa A pari

La linea continua corrisponde alla formula di massa semi-empirica

Deviazioni relativamente grandi per A piccolo

Per A grande legame abbastanza più forte a certi Z ed N. Questi cosidetti “numeri magici” vengono spiegati dal modello a shell

33

Limiti della formula semi-empiricaUlteriori studi della saturazione della forza e della repulsione a corto range, si è

trovato che il principio di esclusione di Pauli non è sufficiente.

Si è trovato che il momento angolare orbitale relativo e lo spin dei nucleoni è richiesto per spiegare le caratteristiche della natura repulsiva della forza. Queste discussioni sono tuttavia qualitative. La formula di massa semi-empirica non ha posto per gli effetti di spin.

L’ipotesi del nucleo sferico implica che il nucleo non ha un momento di quadrupolo elettrico – tuttavia si osservano diversi nuclei aventi tale momento.

Se il nucleo può essere considerato come una goccia allora ci aspetteremmo fenomeni collettivi come stati rotazionali o vibrazionali. Il modello della goccia di liquido tuttavia ha un potere preditivo molto limitato.

Discuteremo più avanti modelli maggiormente basati sulla meccanica quantistica.

Il modello però si dimostra molto utile per considerare la linea della stabilità nel decadimento β e la stabilità nucleare nella fissione e nel decadimento α.

34

Applicazione 1: parabola di massaConsideriamo nuclei con lo stesso numero di massa A (isobari). La formula di Weizsacker può essere trasformata in

2/12

),(),(

Aa

ZZA

ZABZmZmNmZAM

p

epn

++−=

−++=

γβαdove i coefficienti sono

prima come

)(

3/1

3/1

p

ca

epna

asvn

aAa

Aa

mmmaaAaam

+=

−−+=++−= −

γ

βα

Un grafico delle masse nucleari in funzione di Z per A costante dà una parabola di massa per A dispari. Per A pari le masse dei nuclei pari-pari e dispari-dispari si trovano su due parabole spostate verticalmente (di 2ap/A1/2)

Il minimo delle parabole si trova a Z=β/2γ. Il nucleo con la massa minore in uno spettro isobarico è stabile rispetto al decadimento β.

35

Parabole di massa per A=101, A=106

Più dettagli sul decadimento β nelle prossime trasparenze

36

Decadimento β - nuclei di massa dispariI nuclei di numero di massa dispari sono situati su una singola parabola di massa, ad esempio quelli per A=101 nella trasparenza precedente.

ee

e

ee

eRuRheTcMomZAMZAMZAMZAM

enpepn

νν

νν

++→++→+−>+>

++→++→

+−

+−

10144

10145

10143

10142esempio

2)1,(),()1,(),(condizionereazione

M(A,Z) è la massa atomica, per cui la massa dell’elettrone creato viene presa in considerazione automaticamente. La massa del neutrino elettronico è così piccola (<7 eV/c2) che può essere trascurata.

La reazione del decadimento β+ è possibile solo all’interno di un nucleo, perchè la massa a riposo del neutrone è maggiore di quella del protone.

37

Decadimento β - nuclei di massa pariGli isobari di numero di massa pari formano due parabole separate, una per i nuclei pari-pari, l’altra per i nuclei dispari-dispari, che sono separate da due volte l’energia di accoppiamento.

Talvolta c’è più di un nucleo pari-pari β stabile. Ad esempio, nel caso di A=106, ci sono 106

46Pd e 10648Cd.

Il primo è genuinamente stabile, poichè è nel minimo della parabola. L’isotopo Cd potrebbe decadere via doppio decadimento β:

eePdCd ν2210646

10648 ++→ +

Tuttavia, la probabilità di tale processo è così piccola che 10648Cd può essere

considerato stabile.

I nuclei dispari-dispari per A>14 non sono mai stabili, poichè essi hanno sempre un vicino pari-pari più fortemente legato. I nuclei leggeri 21H, 63Li, 10

5B, 147N sono stabili,

poichè l’aumento dell’energia di asimmetria supererebbe la diminuzione dell’energia di accoppiamento.

38

Esiste una probabilità finita di trovare un elettrone di una shell atomica all’interno del nucleo; in particolare per quelli della shell inferiore, la shell K.

Poichè una cattura elettronica lascia una vacanza nella shell K, gli elettroni eseguiranno una cascata per riempirla emettendo raggi X caratteristici.

La condizione per la cattura elettronica è

Intermezzo: cattura elettronicaUn diverso processo fisico in competizione col decadimento β+ basato è la cattura elettronica:

ε+−> )1,(),( ZAMZAM

Dove ε è l’energia di eccitazione della shell atomica del nucleo figlio.

La cattura elettronica ha perciò più energia a disposizione del decadimento β+ (2mec2-ε)

enep ν+→+ −

39

Esempio: decadimenti del 40K

40

Applicazione 2: fissione spontaneaPer nuclei più pesanti del ferro, l’energia di legame diminuisce al crescere della massa. Un nucleo con Z > 40 può perciò, in linea di principio, suddividersi in due nuclei più leggeri. Fortunatamente, la barriera di potenziale è generalmente così grande che tali reazioni sono molto improbabili.

I nuclidi più leggeri per i quali la probabilità di fissione spontanea è significativa sono certi isotopi dell’uranio.

L’altezza della barriera per fissione determina la probabilità di fissione spontanea

41

Stimiamo la massa a cui i nuclei diventano instabili a causa della fissione considerando una deformazione:

εε ),(),(

),(),(

ZABZmZmNmZAM

ZABZmZmNmZAM

epn

epn

−++=

−++=

La massa in assenza e in presenza di deformazione è

Per cui

),(),(),(),( ZABZABZAMZAM −=− εε

Se allora il nucleo è instabile rispetto alla deformazione e può suddividersi.

0),(),( >−=∆ ZABZABB ε

42

Il termine di volume della SEMF è invariato poichè

costante34

34volume 32 === Rab ππ

Variazione del termine di superficie

Se Z2/A > 2as/ac →∆B>0 il nucleo è instabile per deformazioni

52),(),(

223/2 ε

ε ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−=∆

c

sc a

aA

ZAaZABZABB

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +→ 23/23/2

521 εAaAa ss

Variazione del termine coulombiano

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−→

51

2

3/1

2

3/1

2 εAZa

AZa cc

⇒variazione dell’energia di legame

270 ,114 cioè 50/2 >>> AZAZ

43

Il modello del gas di FermiIl potenziale a cui un singolo nucleone è soggetto è la sovrapposizione dei potenziali degli altri nucleoni. Questo potenziale ha la forma di una sfera di raggio R = R0 A1/3 fm, equivalente ad una buca di potenziale quadrata 3-D di raggio R.

I nucleoni si muovono liberamente (come un gas) all’interno del nucleo, cioè all’interno della sfera di raggio R.

I nucleoni riempiono i livelli nella buca fino all’energia di Fermi EF.

Le buche di potenziale di protoni e neutroni in generale possono essere diverse.Se l’energia di Fermi fosse diversa per protoni e neutroni, il nucleo sarebbe soggetto a decadimento β in uno stato energeticamente più favorevole

In generale i nuclei pesanti stabili hanno un surplus di neutroni

Perciò la buca del gas di neutroni deve essere più profonda di quella dei protoni

I protoni sono perciò in media meno legati dei neutroni (repulsione Coulombiana)

Possiamo avere 2 protoni/2 neutroni per livello di energia, in quanto gli spin possono essere ↑↓

44

L’hamiltoniana del sistema è data dall’energia cinetica dei singoli nucleoni

∑∑==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∇−==

A

ii

A

ii m

TH1

22

1 2h

e abbiamo l’equazione di Schrodinger

),,,(),,,( 2121 AA rrrErrrH rK

rrrK

rr ψψ =

Possiamo scrivere la funzione d’onda nucleare nella forma (separazione delle variabili)

)( )( )(),,,( 221121 AAA rrrrrr rL

rrrK

rr ϕϕϕψ =

Ciascuna delle funzioni d’onda di singolo nucleone soddisfa quindi

∑=

==∇−A

iiiiii EErEr

m 1

22

),( )(2

rrh ϕϕ

Possiamo operare un’ulteriore fattorizzazione in modo da arrivare a equazioni del tipo

)()()( ),,( zyxzyx iiii γβαϕ =

( )2222

22

2

2 ),( )( iziyixiiixi kkk

mExkx

dxd

++==hαα

45

Abbiamo la soluzionexikxik

iixix CeBex −+= )(α

con le condizioni di frontiera

⎩⎨⎧

=+=+

⇒

====

− 00

0)( )0(

LikLik

ii

ixix CeBeCB

Lxx αα

quindi

⎩⎨⎧

==

0sin LkBCB

ix

Questo implica che il vettore d’onda kix può assumere solo i valori

L,3,2,1 , 11 == ii

ix nL

nk π

46

La costante di normalizzazione si trova imponendo

LB

LBxdxkBdxxL L

ixi

2

2sin)(1 2

0 0

222

=⇒

=== ∫ ∫α

in questo modo arriviamo alla funzione d’onda di singolo nucleone

con

zkykxkL

zyxr

iziyix

iiii

sinsinsin2

)()()()(2/3

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

= γβαϕ r

L,3,2,1,, , , 321321 ==== iii

iiz

iiy

iix nnn

Lnk

Lnk

Lnk πππ

A ciascuna terna di interi (n1i,n2i,n3i) corrisponde un autovalore dell’energia di particella singola

)(2

)(2

),,( 23

22

21

22222

2

321 iiiiziyixiiii nnnmL

kkkm

nnnE ++=++=πhh

47

Nello stato fondamentale tutti gli stati sono riempiti con due protoni e due neutroni.

Nel k-spazio l’intervallo minimo fra due stati diversi è

Un singolo stato occupa un volume (π/L)3. Il numero di stati fra k e k + dk è

Otteniamo l’energia più bassa assumendo che N = Z = A / 2 e mettendo 4 particelle in ogni stato fino a kF

Il numero totale di stati permessi fino a un valore massimo kF di k è

Lnn

Lk zyx

ππ=−+=∆ )1( 3,2,13,2,1,,

kdL

kdNr

33)/(

181)(

π=

( )333

0

,3

4)2(

)()( LkkdNkN F

k

F

F

≡ΩΩ

== ∫π

π

2

33

30 3

23

44)2(

)(4π

ππ

FF

k kkkdNAF

Ω=Ω

== ∫

48

Poichè ρ0 = A / Ω, il momento di Fermi dipende solo dalla densità nucleare

Praticamente per tutti i nuclei con A > 12 abbiamo ρ0 = 0.17 nucleoni / fm3, da cui

Un nucleone con momento di Fermi ha energia cinetica

L’energia cinetica di un nucleone di momento k è Tk = h2k2/2m. L’energia cinetica totale è

MeV 35.382

22

==mkF

F

hε

FFF

kk

k

Amkk

dkkmkkdNTT

FF

επ

π

53

253

32

22)(4

22

2

30

222

20

=Ω=

Ω== ∫∫

h

h

2

3

0 32π

ρ Fk=

Energia cinetica e raggio nucleare

-1fm 36.1=Fk

49

I nucleoni nella buca hanno un’energia cinetica media

Se assumiamo che il nucleo sia una sfera di raggio R di densità uniforme ρ0, allora

Possiamo quindi ricavare il raggio R

Se kF = 1.36 fm-1, otteniamo

3/10

3/13/1

3

3/1

0 89

43 ArA

kAR

F

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ππρ

MeV 2353

== FAT ε

fm 12.18

9 13/1

0 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= −

Fkr π

300 3

4 RA πρρ =Ω=

Valore sperimentale dallo scattering elettronico: r0 = 1.21 fm

50

Poichè T/A ∼ 23 MeV, bvol (energia di legame per nucleone) deve derivare dal bilanciamento di T/A e un’energia potenziale media per nucleone

Nella formula di massa semi-empirica il termine dominante è quello di volume

Per calcolare <U> assumiamo che fra i nucleoni agisca una forza centrale V(|r1-r2|) identica in tutti gli stati.

La funzione d’onda di una coppia di nucleoni è

L’energia potenziale media Uij è il valore di aspettazione di V rispetto a ψij

[ ])()()()()()()()(2

1),,,( jirrjirrssrr ijjiijjijjiijijiij χχϕϕχχϕϕψ rrrrrr−=

MeV 40vol −≈−−= TbU

MeV 16 ,BE volvolvol ≈= bAb

Parametri della formula semi-empirica

( ) Eij

Dijjiijjiijij UUrdrdrrVU −=−= ∫

rrrr 33* ψψ

termine diretto

termine di scambio

51

Otteniamo l’energia potenziale dell’intero sistema sommando su tutte le coppie, che sono A(A – 1)/2 ∼ A2 / 2Possiamo inoltre porre |φ(r)|2 = ρ(r) / A

( ) jijiji

jiij rdrdrrV

Arr

AUU rrrrrr

332

2 )()(

21

∫∑ −≈=>

ρρ

Consideriamo per semplicità soltanto il termine diretto

( ) jijijjiiDij rdrdrrVrrU rrrrrr 3322 )()(∫ −= ϕϕ

Nel gas di Fermi la densità è costante ρ = ρ0 = A / Ω. Introducendo le coordinate r = ri – rj, R = (ri + rj) / 2

VArdrVA

rdrVRdUUji

ij

ˆ)(21

)(21

03

0

3320

ρρ

ρ

−≡=

≈=

∫

∫∫∑>

r

rr

L’energia totale del sistema è approssimativamente

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=+= VAUTE F

ˆ53

0ρε

52

Abbiamo quindi un’energia di volume dominante, come nella formula semi-empirica.

Possiamo quindi scrivere

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

Vb

AbVAE

Fvol

volF

ˆ53

,ˆ53

0

0

ρε

ρε

53

Consideriamo un nucleo con N = Z = A / 2 e supponiamo che λ degli Z protoni diventino neutroni

Nel caso del nucleo simmetrico

Possiamo analogamente definire nel gas asimmetrico

∫ Ω==kF

FkdNA0

2

30

324

π

( ) ( )λλ +=−= 12

' ,12

' ANAZ

Energia di simmetria

∫

∫

Ω==−=

Ω==+=

pF

nF

k pF

k nF

kdNAZ

kdNAN

02

3

02

3

32)1(

2'

32)1(

2'

πλ

πλ

Abbiamo quindi

3/103/12

3/103/12

)1()1(2

3

)1()1(2

3

λλπ

λλπ

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

Ω=

+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

Ω=

FpF

FnF

kAk

kAk

54

Possiamo riscrivere la variazione di energia cinetica come

dove

pFF

nF

k

k

k

k

ZAN

dNmkdN

mkT

F

pF

nF

F

εεε53'

53

22

53'

22

22

0

22220

0

+−=

−=∆ ∫∫hh

3/2022

3/2022

)1(2

)1(2

λεε

λεε

−==

+==

F

pFp

F

F

nFn

F

mkmk

h

h

E’ necessaria una certa energia perchè l’energia dei protoni sotto il livello di Fermi è minore di quella dei neutroni posti sopra il livello di Fermi. La variazione di energia cinetica è

∫∫−

+

−=∆4/

4/)1(

4/)1(

4/

22A

A

A

A

dNdNTλ

λ

εε

55

Possiamo riscrivere la variazione di energia cinetica come

Poichè λA = N’ – Z’

AA

ZANT

F

F

20

3/23/20

)(31

)1('2

2)1('53

λε

λλε

≈

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+−+=∆

MeV )''(13)''(31 22

0

AZN

AZNT F

−≈

−=∆ ε

bsim = 23.3 MeV → circa il 50% dell’energia di simmetria dei nuclei deriva dal principio di Pauli

Il restante 50% dipende dall’energia potenziale che tende ad essere meno attrattivo per momenti grandi per cui i neutroni in eccesso sopra k0

F saranno meno legati

Inoltre è più attrattivo per coppie n-p (singoletto di isospin) che per coppie p-n, p-p, n-n in tripletto di isospin e il numero di coppie p-n è massimo quando N = Z

56

Presenza di una superficie (S/Ω≠0): nel conto degli stati fra k e k+dk dobbiamo sottrarre gli stati per i quali kx (o ky o kz) = 0

Abbiamo quindi

23

2

2 6 ,2)2(

4)/(

2413 LS

kdkkS

Lkdk

==⋅π

ππ

ππ

Il termine di superficie

dkkk

SdN 23 4

21

)2(ππ

π ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

Ω−

Ω=

Il numero di nucleoni è ora

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Ω

−Ω=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

Ω−

Ω= ∫

F

F

k

kSk

dkkk

SAF

431

32

42

1)2(

4

2

3

0

23

ππ

πππ

57

La presenza della superficie diminuisce la densità del sistema di un termine proporzionale a S/Ω

Possiamo quindi calcolare l’energia cinetica totale

L’energia cinetica per nucleone è invece (assumendo S/Ω<<1)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Ω

−==Ω Fk

SA4310πρρ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Ω

−Ω=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

Ω−

Ω= ∫

FF

F

k

kSk

dkkmk

kST

F

851

53

32

422

1)2(

4

2

3

0

22

3

πεπ

πππ

h

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Ω

+≈

Ω−

Ω−

=F

F

F

FF k

S

kS

kS

AT

81

53

431

851

53 πεπ

π

ε

Il termine di superficie aumenta <T>

58

Il termine dell’energia cinetica dovuto alla superficie è quindi

Assumendo che R = r0A1/3 e poichè kF=(9π/8)1/3/r0, possiamo scrivere

3/23/2

sup 2459

853 AA

kST F

FF ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

Ω=

πεπε

3/13/13/1

03

0

3/220

243

98

83/44

8−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

ΩAr

ArAr

kS

F

ππ

ππππ

∼18 MeV (vicino a bsup)

59

Misura delle densità e dei raggi nucleari

La “dimensione” dei nuclei può essere determinata utilizzando due tipi di interazione:

L’interazione elettromagnetica dà la distribuzione di carica dei protoni dentro il nucleo. Ad esempio

4 Scattering elettronico

4 Atomi muonici

4Nuclei speculari

L’interazione nucleare forte fornisce la distribuzione di materia dei protoni e neutroni nel nucleo. N.B. si hanno interazioni nucleari e e.m. allo stesso tempo → studio piùcomplesso. Ad esempio

4 Scattering α (Rutherford)

4 Scattering di protoni

4 Scattering e assorbimento di neutroni

4 Vita media di emettitori α

4 Raggi X di atomi pionici

60

In un processo elastico a+b→a’+b’ le particelle dello stato finale sono le stesse dello stato iniziale. Il bersaglio b resta nel suo stato fondamentale, assorbendo soltanto momento di rinculo e quindi variando la sua energia cinetica.

L’angolo di scattering e l’energia di a’ e l’angolo di produzione e l’energia di b’ sono correlati in modo non ambiguo

Conclusioni sulla forma del bersaglio possono essere dedotte dalla dipendenza del rate di scattering dall’energia del fascio e dall’angolo di scattering

La più grande lunghezza d’onda che può risolvere strutture di dimensione lineare ∆xè data dalla lunghezza d’onda di de Broglie ridotta λ’≤ ∆x

Scattering elastico

xxcpc

xp

∆≈

∆≥→

∆≥

MeVfm200 hh

Quindi per studiare i nuclei aventi raggi di qualche fermi, i momenti del fascio devono essere dell’ordine di 10-100 MeV/c

I singoli nucleoni hanno raggi di circa 0.8 fm. Essi possono essere risolti se il momento del fascio è qualche centinaio di MeV

Il corrispondente momento della particella segue dal principio di indeterminazione di Heisemberg

61

Nelle reazioni inelastiche parte dell’energia cinetica trasferita dal fascio a al bersaglio b lo eccita in uno stato di energia maggiore b*. Lo stato eccitato successivamente ritorna allo stato fondamentale emettendo una particella leggera –ad es. un fotone o un pione – o può decadere in una o più particelle

Scattering inelastico

dcbbaba

+→+→+

' ''

Se permesso dalle leggi di conservazione l’intera energia del fascio può andare in eccitazione del bersagio o nella produzione di nuove particelle; la particella del fascio scompare completamente

Tali reazioni inelastiche rappresentano la base della spettroscopia nucleare e delle particelle

62

FlussoSezioni d’urto

aaa

a vndt

dNA

==Φ1

La sezione d’urto geometrica di reazione è l’area presentata da un singolo centro di scattering alla particella del fascio a incidente

dove va è la velocità della particella del fascio e na è la densità di particelle

Numero di particelle del bersaglio nell’area del fascio

dAnN bb ⋅⋅=

Rate di reazione totale

bba NdtdN σ⋅⋅Φ=

scattering di centri flusso/secscatterate particelle di n./

×=

⋅Φ=

bab N

dtdNσ

63

Unità comunemente usate: 1 barn = 1 b = 10-28 m2 (10-24 cm2) . 1millibarn=1 mb= 10-31 m2

Tipica sezione d’urto ad es. σpp(10 GeV) ≈ 40 mb

La probabilità di reazione per due particelle è generalmente molto diversa dalle considerazioni geometriche e dipende dalla forma, range e intensità del potenziale di interazione

Inoltre, la densità del fascio è tipicamente inomogenea, mentre la densità del bersaglio è omogenea

La sezione d’urto totale è ora definita in modo analogo alla sezione d’urto geometrica

ineleltot σσσ +=

/areascattering di centri fascio/sec del particelle ecreazioni/s di numero

×=totσ

La sezione d’urto totale è la somma delle sezioni d’urto elastica e inelastica

64

Nel caso di un bersaglio spesso (σnL>>1) abbiamo

Poniamo

ndxN

dN σ−=

dxnN ecreazioni/s di numero

⋅⋅=totσ

Il rate a cui le particelle sono rimosse dal fascio è quindi

bersaglio del spessoredxfascio/sec del particelleN

umenuclei/vol

==

=n

Lnif

LN

N

eNN

ndxN

dNf

i

σ

σ

−=

=− ∫∫0

Nel caso di un bersaglio sottile (σnL<<1, exp(- σnL)≈1- σnL) abbiamo

)1( LnNN if σ−=

65

Se il rivelatore può determinare l’energia E’ delle particelle scatterate, si può misurare la doppia sezione d’urto differenziale

Sezione d’urto differenzialeLa distribuzione angolare delle particelle scatterate non è necessariamente omogenea

ba Ndd

dtddN

⋅Φ⋅Ω

=Ω

σNumero di particelle scatterate in dΩ è dN/dΩ

fascio

bersaglioangolo solido dΩ=AD/r2

area ADr

Ω⋅⋅Φ=

Ω dNdtdN

dd

ba

/σUnità area/steraradiante

'/),',(2 dEdEEd Ωϑσ

66

Utilizziamo gli elettroni come sonda per studiare le deviazioni rispetto a un nucleo puntiforme

interazione elettromagnetica

Per misurare una distanza di ∼ 1 fm abbiamo bisogno di un’energia

Scattering elettronico

nucleo A

fotone

e-

MeV 200fm 11 1- ≈==D

E

Misuriamo E, θ degli elettroni scatterati → dσ/dΩ

sottile foglio di materiale scatteratore

monitor di fascio

Fascio elettronico di energia nota

Rivelatore

Regione di campo magneticoApparato

sperimentale

67

Lo scattering di un elettrone di energia E su un nucleo di carica Ze è descritto dalla sezione d’urto Rutherford. Questa sezione d’urto può essere ricavata sia classicamente che con la meccanica quantistica con l’ipotesi che il rinculo del nucleo e gli effetti di spin possano essere trascurati e che il centro di scattering possa essere considerato puntiforme.

Sezione d’urto Rutherford

( )( ) )2/(sin44 422

0

22

ϑπε

σ

EZe

dd

Rutherford

⋅

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Ω

angolo di scattering

dN/d

θ

68

Calcoliamo dσ/dΩ usando l’approssimazione di Born in cui lo stato iniziale e finale sono considerati onde piane e si trascura il rinculo nucleare.

Derivazione QM

incidente Flusso din /secscatterate particelle di n. Ω

=Ωd

dσ

Il rate di transizione è dato dalla regola d’oro di Fermi

( ) 1 - 2 2 ==Γ → hEMfi ρπ

dove

( ) finali stati di densità

int

=

=

E

HM if

ρ

ψψ

La funzione d’onda è normalizzata a 1 particella in una scatola di lato LrpiNe ⋅=ψ

322 1

LN ==ψ

69

Densità di stati: è il numero di stati che un elettrone può occupare nel range di momento (p,p+dp). Nel caso di una particella confinata in una scatola di lato L, abbiamo le condizioni di frontiera periodiche

1 - 2,2

,2p

interi ,, ,2 ,2

,2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

===

hLn

Ln

Ln

nnnLnk

Ln

kLnk

zyx

zyxz

zy

yx

x

πππ

πππ

Ciascuno stato occupa un volume (2π/L)3 nello spazio p. Il numero di stati p in p,p+dp nell’angolo solido dΩ è

( ) ( )

( )( )3

2

3

2

3

3

/2

,/2/2

Ldp

dpdNp

Ldpdp

LpddN

πρ

ππΩ

==

Ω==

Nel caso di scattering relativistico E∼p,

( )( )

33

2

2LdE

dEdp

dpdNE Ω==

πρ

70

Elemento di matrice:

fi pp =

dove è il momento trasferitofi ppq −=

Nel caso di scattering elastico

2/sin4 )cos1(2

cos2

22

2

22

22

ϑ

ϑ

ϑ

Ep

pppp

ppq

fifi

fi

=

−=

−+=

−=

xdrVeL

xdNerVNe

xdHHM

rqi

rpirpi

ifif

if

33

3

3int

*int

)(1

)(

∫

∫

∫

⋅

⋅⋅−

=

=

== ψψψψ

71

Flusso: numero di particelle incidenti che attraversano un’area unitaria per secondo

Consideriamo un bersaglio di area A e un fascio incidente di velocità v=c in moto verso il bersaglio. Il flusso è

dove ni è la densità numero di particelle incidenti = 1/L3

Mettendo tutto assieme

Ω⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

Φ=

∫ ⋅ dLErdrVeL

L

EMd

rqi

f

32

23

33

2

2)(12

)(21

ππ

ρπσ

) (cLL

c 1 133 ===Φ

23

2

2

)()2( ∫ ⋅=

ΩrdrVeE

dd rqi

πσ

cndt

dNAdxdx

dtdN

A iii

a ===Φ1

72

Scattering da un nucleo puntiforme:

Omettendo il fattore di normalizzazione L3

L’integrale è mal definito (oscilla) per cui usiamo

rZrV α

−=)(

∫

∫∞

⋅

=

=

0

2

3

sin2)(2

)(

drqr

qrrVr

rdrVeM rqi

π

)per 0( )( / ∞→→−= − rVer

ZrV arα

Abbiamo

222

0

/2

4/1

4

2

qZ

aqZ

driqr

eeer

ZrM

a

iqriqrar

απαπ

απ

−⎯⎯ →⎯+

−=

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

∞→

∞ −−∫

73

Scattering Rutherford: La sezione d’urto è quindi data da

Questa non è ancora esattamente la formula che abbiamo quotato all’inizio ma ci siamo quasi. Poichè trascuriamo il rinculo l’energia e il modulo del momento dell’elettrone non cambiano: E=E’, |p|=|p’|, da cui

Se ora ricordiamo che E=p, arriviamo alla formula di scattering di Rutherford

4

2

2

2 )4()2( q

ZEdd

Rutherford

αππ

σ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

Ω

2/sin2 ϑpq =

2/sin4 42

22

ϑασ

EZ

dd

Rutherford

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Ω

74

Finora abbiamo trascurato lo spin dell’elettrone e del bersaglio. A energie relativistiche tuttavia gli effetti di spin modificano la sezione d’urto. La risultante sezione d’urto Mott può essere scritta come

Sezione d’urto Mott

cv -

2sin1 22 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

Ω=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

Ωβϑβσσ

RutherfordMott dd

dd

Nel caso limite di β→1 la sezione d’urto Mott si semplifica in

2

cos2 ϑσσ⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

Ω=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

Ω RutherfordMott dd

dd

L’espressione mostra che a energie relativistiche la sezione d’urto Mott diminuisce più rapidamente a grandi angoli di scattering della sezione d’urto Rutherford

75

dN/d

cosθ

(uni

tàar

bitra

rie)

cosθ

0.50.0 1.0-0.5-1.010-1

1

101

102

103

104

105

Sezione d’urto Mott

Sezione d’urto Rutherford

I dati dello scattering elettronico di Hofstadter erano sotto quelli attesi per un nucleo puntiforme, indicando una struttura del nucleo

76

Supponiamo che V(r) dipenda dalla distribuzione di carica nel nucleo

Scattering da un nucleo esteso

')'( 3 rdrZedQ ρ=

Energia potenziale dell’elettrone dovuta alla carica dQ

'4

-Vrr

edQd−

=π

Abbiamo da cui

∫∫−

=−

= '')'(Z- '

'4)'(-V 33

2

rdrr

rrdrr

rZe ραπ

ρ

L’ampiezza di transizione si modifica in

rdrdrr

ereZ

rdrdrr

reZM

rrqirqi

rqi

33)'(

'

33

''

)'(

'')'(

∫∫

∫∫

−−=

−−=

−⋅⋅

⋅

ρα

ρα

77

Possiamo quindi scrivere

Poniamo e consideriamo costante (vale a dire integriamo su )

dove è il fattore di forma ed è la trasformata diFourier della distribuzione di carica

Sperimentalmente il fattore di forma è ottenuto dividendo la sezione d’urto misurata per la sezione d’urto Mott. Si misura perciò la sezione d’urto per un’energia fissata del fascio e per vari angoli (e quindi diversi |q|) e si divide per la sezione d’urto Mott calcolata

'- rrR =

∫ ∫ ⋅⋅

−= ')'( 3'3 rderRdR

eZM rqiRqi

ρα

'r r

scattering Rutherford (o Mott)

F(q2)

22 )(qFdd

dd

Mott

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Ω=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

Ωσσ

∫ ⋅= ')'()( 3'2 rderqF rqiρ

78

Fattori di forma nucleari – apparato sperimentale

Apparato sperimentale A1 all’acceleratore elettronico MAMI-B (Mainzer Microtron). Tre spettrometri magnetici che possono essere usati singolarmenteper lo scattering elastico o assieme per reazioni inelastiche. Diametro della rotaia circolare 12 m.

79

in linea di principio la distribuzione di carica radiale potrebbe essere determinata dalla trasformata di Fourier inversa, utilizzando la dipendenza da q2 del fattore di forma sperimentale

∫ ⋅−= qdeqFr rqi 323 )(

)2(1)(π

ρ

Nel caso di nuclei sfericamente simmetrici, ρ dipende soltanto da L’integrazione sull’angolo solido dà

|| rr =

dqqqr

qrqFr

drrqr

qrrqF

222

22

sin)(2

1)(

sin)(4)(

∫

∫

=

=

πρ

ρπ

L’energia del fascio e la rapida diminuzione della sezione d’urto limitano ilrange di |q|. Percio’ tipicamente vengono scelte delle parametrizzazioni di ρ, si calcola il risultante fattore di forma e i parametri vengono determinati tramite un fit ai dati sperimentali

80

Fattori di forma nucleari – esempi

puntiforme

πδ4

)(r costante

esponenzialearea −3

gauss

2/23

222

2raea −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛π

sfera omogenea

Rr

RrR

>

≤

0

43 3

π

dipolo2

2

2

1−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

aq

gauss22 2/ aqe−

oscillante

( )qRqrqRqR

cossin)(

33 −

sfera con superficie diffusa

oscillante

elettrone

protone

6Li

40Ca

r→ |q|→

ρ(r) F(q2) esempio

81

Fattori di forma nucleari – prime misure

Misura del fattore di forma di 12C con lo scattering elettronico (Hofstadter, Stanford 1957). Una delle prime misure di un fattore di forma nucleare

Sezione d’urto per 7 angoli a un’energia del fascio di 450 MeV

Linea tratteggiata: scattering di onda piana da parte di una sfera omogenea con superficie diffusa

Linea continua: analisi degli spostamenti di fase fittati ai dati

82

Lo scattering da parte di un oggetto con una superficie ben definita generalmente produce ben definiti massimi e minimi di diffrazione

Nel caso di una sfera omogenea di raggio R, si trova un minimo a

5.4≈h

qR

La posizione di questi minimi ci dà quindi informazioni sulla dimensione del nucleo scatteratore.

Esempio: il minimo nella misura di12C di Hofstadter è a q/ħ∼1.8 fm-1. Il nucleo di carbonio ha perciò un raggio (di carica) R=4.5/1.8 ∼2.5 fm

83

Scattering elettronico su 40Ca e 48Ca

La sezione d’urto cambia di sette ordini di grandezza

Tre minimi visibili, quindi buona precisione nella misura del fattore di forma

Minimi di 48Ca a minore |q| implicano che 48Ca è più grande

dσ/d

Ω[c

m2 /s

r]

θ

84

Raggio quadratico medioIl fattore di forma può essere espanso in potenze di q

L

L

+−=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−=

=

∫∫

∫ ∫ ∫

∫ ∑

∞∞

∞

−

drrrqdrrr

drrddrqr

rdiqrn

rqF n

4

0

22

0

0

1

1

2

0

2222

32

)(461 )(4

)(cos cos211)(

)cos(!

1)()(

ρπρπ

ϑϕϑρ

ϑρ

π

Definendo il raggio quadratico medio come ∫∞

⋅=0

222 )(4 drrrrr ρπ

L+−= 222

611)( rqqF

La misura sperimentale di <r2> richiede la misura di F(q2) a valori molto piccoli di q2

02

22

2

)(6=

−=qdq

qdFr

85

Distribuzione di carica dei nuclei

I Nucleoni non si addensano vicino al centro del nucleo

Piuttosto, hanno una distribuzione costante fino in superficie

costante3

4 3≈

RAπ

La densità è descritta dalla funzione di Fermi con due parametri

fmRARR 2.1 03/1

0 ≈=

sRrer /)(1

)0()( −+=

ρρ

R è il raggio a cui ρ(r) è diminuita di 1/2

s è la larghezza di superficie o “spessore di pelle”, dove ρ(r) scende dal 90% al 10%. Per tutti i nuclei si ha s ∼ 2.5 fm

86Distanza radiale (fm)

Den

sità

di c

aric

a[x

109

coul

omb/

cm3 ]

Dati di scattering elettronico

87

Raggi X atomiciAssumiamo che il nucleo sia una sfera uniformemente carica. Il potenziale è ottenuto in due regioni:

dentro la sfera

( ) RrRr

RZerV

o

≤⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−=′

21

23

4

22

πε

V r( )= −Ze2

4πεor r ≥ R

All’esterno della sfera

L’energia di un elettrone in un dato stato con un nucleo puntiforme dipende da

∫>=< rdVV nn3* ψψ

Con un nucleo non puntiforme, assumendo che ψ non cambi apprezzabilmente quando Vpuntiforme → Vsfera

∫∫><

+′>=<Rr

nnRr

nn rdVrdVV ψψψψ *3*'Energia potenziale 1/r

88

Il nucleo sferico non puntiforme cambia i livelli di ∆Ε = <V’> - <V>

La variazione di energia fra un nucleo sferico ed uno puntiforme per la funzione d’onda elettronica ψ del livello 1s è

3

224

1 452

oos a

ReZEπε

=∆

ψ1,1(1s) ∆E1s

E1s(pt)

E1s(sphere)

In linea di principio misurando ∆Ε possiamo estrarre R. Il problema tuttavia è che non esiste un nucleo puntiforme!

Consideriamo una transizione 2p → 1s per due atomi (A,Z) e (A±1,Z). Avremo

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]AEAEAEAE

AEAEAEAEAEAE

sspp

spspKK

′−−−=

′−′−−=′−

1122

1212

' αα

Possiamo assumere che E2p(A)=E2p(A’) e riscrivere

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( )3/23/223

2411

145

2

AARa

eZ

AEAEAEAE

ooo

ssKK

′−=

∆−′∆=′−

επ

αα

Shift isotopico

89

Graficando EK(A) – EK(A’) in funzione di A2/3 la pendenza della retta permette di ricavare R0.

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( )3/23/223

2411

145

2

AARa

eZ

AEAEAEAE

ooo

ssKK

′−=

∆−′∆=′−

επ

αα

90

Atomi muoniciMuoni arrestati nella materia vengono intrappolati in orbite atomiche e hanno una probabilità maggiore degli elettroni di passare del tempo dentro il nucleo.

Raggio di Bohr ∼ 1/Zm Energia ∼ Z2m . massa µ ∼ 207 me vita media µ ∼ 2 µs

i muoni eseguono transizioni verso livelli di energia bassi, emettendo raggi X prima di decadere

µννµ ++→ −−ee

fm 320782

105 4

=⋅⋅

=r

Energia transizione 2P3/2→1S1/2: 16.41 MeV (Bohr), 6.02 MeV (misurata)Misura dei raggi X → raggio

Raggi X di π- anche i π- possono occupare orbite attorno al nucleo. I raggi X sono emessi quando il π- scende fra due orbite. Lo shift dell’energia dei raggi X dipende dal raggio

Nel caso dell’idrogeno e degli elettroni r = a0 = 5x104 fm (raggio di Bohr) Nel caso del piombo e dei muoni

91

Spin nucleareIl nucleo è un sistema isolato per cui ha un ben definito spin nucleare.

Numero quantico di spin nucleare = J (qualche volta detto “I”)

JJJJmJJJ

J ,1),...,1(,)1(

−−−−=

+= h

∑=i i jjjJ ) ento(accoppiam

Spin intrinseco di p o n, s=1/2 (in unità di h) momento angolare di un nucleone è pari

A pari → J=intero A dispari → J=semi-intero Tutti i nuclei con N e Z pari hanno J=0

Lo spin nucleare è la somma del momento angolare totale j dei singoli nucleoni

dove il momento angolare totale di un nucleone è la somma del suo spin intrinseco e del momento angolare orbitale

slj +=

92

ParitàUna trasformazione di parità è una riflessione rispetto all’origine in cui tutte le coordinate cambiano segno

Le funzioni d’onda dei risultanti stati stazionari devono quindi avere parità pari o dispari

Se abbiamo un sistema con un potenziale simmetrico V(r)=V(-r), allora

)()()()( 22 rrrr rrrr ψψψψ ±=−⇒−=

)()( rr ψψ +=− )()( rr ψψ −=−

parità pari parità dispari

),,(),,( zyxzyxrr

−−−→−→rr

93

In coordinate polari abbiamo

Se conoscessimo la funzione d’onda di ogni nucleone, potremmo determinare la parità nucleare moltiplicando le parità di ciascuno degli A nucleoni

Tutte le funzioni d’onda nucleari soddisfano e quindi hanno una definita parità

),,()1(),,( ϕϑψϕπϑπψ rr nlml

nlm −=+−

Aπππππ ⋅⋅⋅⋅⋅= 321

22)()( rr −= ψψ

Questo purtroppo non è possibile.

La parità è conservata nei processi nucleari e può quindi essere misurata tramite reazioni o decadimenti nucleari. Come lo spin J deve essere considerata come una proprietà globale del nucleo.

Gli stati nucleari sono etichettati con i numeri quantici di spin e parità

−

+

2 0 J=0, parità pari

J=2, parità dispari

94

Momenti nucleariLe proprietà elettromagnetiche statiche dei nuclei sono specificate in termini dei momenti elettromagnetici che danno informazioni sul modo in cui il magnetismo e la carica sono distribuiti all’interno del nucleo.

I due momenti più importanti sono

Momento di quadrupolo elettrico Q Momento di dipolo magnetico µ

Zerdrrdrr

rrV =−

= ∫ ∫ 33

0

)( ,'')'(

41)( ρρπε

Momenti elettriciDipendono dalla distribuzione di carica all’interno del nucleo e sono una misura della forma nucleare (contorni di densità di carica costante).

La forma nucleare è parametrizzata tramite un’espansione di multipolo del campo elettrico esterno

r-r’

95

[ ]

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅⋅+−++≈

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅⋅⋅+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+=−+=−

−

1cos3'21cos'11

cos'2'83cos'2'

2111'

cos'2'1cos'2''

22

2

2

2

2

2

21

2/1

2

22/122

ϑϑ

ϑϑ

ϑϑ

rr

rr

r

rr

rr

rr

rr

rrr

rr

rrrrrrrrr

⎥⎦⎤⋅⋅⋅+−+

⎢⎣⎡ +=

∫

∫

')'()1cos3('21

')'(cos'14

1)(

3222

3

0

rdrrr

rdrrr

Zer

rV

ρϑ

ϑρπε

Eseguiamo un’espansione in serie di potenze

Possiamo quindi riscrivere il potenziale elettrico come

96

Poichè le funzioni d’onda nucleari hanno una definita paritàsegue che il momento di dipolo è nullo

∫

∫∫

−=

=

==

quadrupolo di momento ' )'3(1 momento

dipolo di momento ' momento

carica momento

322*2

3*1

3*0

rdrze

E

rdzE

ZerdE

ψψ

ψψ

ψψ

Definiamo quindi

22)()( rr −= ψψ

Nel limite quantistico

Supponiamo che r definisca l’asse z

2)()( rr ψρ =zr =ϑcos'

97

Le unità sono m2 o barn (un’area)

Nel caso di simmetria sferica si ha z2=r2/3 per cui Q=0 In particolare, tutti i nuclei con J=0 hanno Q=0

∫ −= ')'3(1 322* rdrze

Q ψψ

Momento di quadrupolo elettrico

sferoide prolato Q=+ve a>b=c sigaro

sferoide oblato Q=-ve a=b>c lenticchia

Ellitticità

Sperimentalmente η è tipicamente ≤10%

2/)( abab

+−

=η

12

2

2

2

2

2

=++cz

by

ax

98

I momenti di dipolo magnetici derivano da

-il moto orbitale di particelle cariche - lo spin intrinseco

Il momento di dipolo magnetico è la componente misurabile massima dell’operatore momento di dipolo magnetico µ

Momenti magnetici

La meccanica quantistica porta allo stesso risultato

zLmer

revIA

222 === π

πµ

Momento orbitale

Classicamente abbiamo un loop di corrente

zl Lmeg

2=µ

Fattore g: gl = 1 particelle cariche . gl = 0 particelle neutre

99

La teoria di Dirac (m.q. relativistica) delle particelle di spin 1/2 predice gs=2

Momento intrinseco

L’operatore momento magnetico intrinseco dovuto allo spin intrinseco di una particella è

zs Smeg

2=µ

dove µB=eħ/2me è il magnetone di Bohr

Si osservano piccole differenze rispetto a gs=2 a causa di correzioni di ordine superiore di QED

Elettrone

BB

ess

ell m

egmeg

µµ

µµ

−=−=

−=−=

22

2l

hhl

1371

4 )(

21

22 ≈=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ⋅⋅⋅+++=

παα

παµµ eOBs

Esperimento e teoria sono in accordo entro 1 parte su 108!

100

dove è il magnetone nucleare

Protone e neutrone

Nsp

ssp

ll gmeg

meg µµµ

21

22

2===

hhl

pN me 2/h=µ

Ci aspettiamo che

p spin 1/2, carica +e, µs = µN

. n spin 1/2, carica 0, µs = 0

Si osserva invece

p µs = +2.793 µN → gs= +5.586n µs = −1.913 µN → gs = -3.826

Protoni e neutroni non sono particelle puntiformi e sono formati da quark carichi e gluoni

101

dove la somma è estesa a tutti i protoni e i neutroni

Il momento di dipolo magnetico nucleare totale può essere scritto come

Il nucleo

[ ]∑ +=i

zszlN sgg lh

µµ

Ig NI µµ =

I momenti di dipolo nucleari derivano dai momenti di dipolo magnetici di spin intrinseci dei protoni e dei neutroni del nucleo e dalla correnti che circolano nel nucleo a causa del moto dei protoni

dove I spin nucleare totale . gJ fattore giromagnetico nucleare

gJ sarà determinato usando il modello a shell nucleare

Tutti i nuclei pari-pari hanno µ = 0 poichè I = 0

102

Il campo magnetico è parallelo al momento angolare totale dell’atomo per cui

)0(BEr

⋅−= µµ

2)1()1()1(

2

222 +−+−+=

−−=⋅

JJIIFFJIFJIrrr

rr

II momento di dipolo nucleare interagisce col campo magnetico atomico

Posto F = I + J, possiamo scrivere

Struttura iperfina degli spettri atomici

JfB J

rr=)0(

JIfgE JNI

rr⋅−= µµ

e l’energia di interazione è dunque

2)1()1()1( +−+−+

−=JJIIFFfgE NJIIJ µ

⇒ Determinazione di I dalla struttura iperfina

103

Il fascio viene separato in 2I + 1 componenti.

Conviene considerare atomi con momento angolare totale J = 0 per minimizzare gli effetti legati al momento magnetico degli elettroni

Se B = B0 || z allora

zBIg

zEFBIgE ZNIzZNI ∂

∂=

∂∂

−=−= µµµ ,

Facciamo passare un fascio atomico o molecolare attraverso un campo magnetico non omogeneo. Gli atomi sono soggetti ad una forza

Risonanza magnetica

Se nella regione è presente anche un campo magnetico oscillante Bxy(ω) normale a z, vengono indotte transizioni quando

La traiettoria del fascio in assorbimento risonante cambia.

Il momento magnetico è determinato dal rapporto

0BIgE ZNI µµ −=

zNII IBgE ∆=∆= 0* µωh

0* / Bg NI ωµ h=