La Didattica del Problema

Lugo - 25 settembre 2019

Nicolina A. Malara Già ordinario di Didattica della Matematica

Università di Modena & Reggio Emilia

Premessa di carattere generale

•  Le Indicazioni Nazionali •  Aspetti teorici •  Il ruolo dell’insegnante La nostra visione della didattica del problema ed esempi dalle nostre sperimentazioni

•  Analisi del testo •  Oggettivazione dei dati come grandezze •  Argomentazione relazionale avvio alla

rappresentazione algebrica •  Costruzione e interpretazione della

espressione risolutiva di un problema •  La variazione dei dati ed il problem posing •  La costruzione di problemi su canovaccio

Indicazioni Nazionali I ciclo (2012)

… Caratteristica della pratica matematica è la risoluzione di problemi, che devono essere intese come questioni autentiche e significative, legate alla vita quotidiana, e non solo esercizi a carattere ripetitivo o quesiti ai quali si risponde semplicemente ricordando una definizione o una regola. Gradualmente, stimolato dalla guida dell’insegnante e dalla discussione con i pari, l’alunno imparerà ad affrontare con fiducia e determinazione situazioni problematiche, rappresentandole in diversi modi, conducendo le esplorazioni opportune, dedicando il tempo necessario alla precisa individuazione di ciò che è noto e di ciò che si intende trovare, congetturando soluzioni e risultati, individuando possibili strategie risolutive.

Indicazioni Nazionali I ciclo (2012)

Traguardi per lo sviluppo di competenze al termine della scuola primaria … Riesce a risolvere facili problemi in tutti gli ambiti di contenuto, mantenendo il controllo sia sul processo risolutivo, sia sui risultati. Descrive il processo risolutivo e riconosce strategie di soluzione diverse dalla propria.

Indicazioni Nazionali I ciclo (2012)

Traguardi per lo sviluppo di competenze al termine della scuola secondaria di primo grado …

Riconosce e risolve problemi in contesti diversi valutando le informazioni e la loro coerenza Spiega il procedimento seguito, mantenendo il controllo sia sul processo risolutivo, sia sui risultati Confronta procedimenti diversi e produce formalizzazioni che gli consentono di passare da un problema specifico a una classe di problemi

Indicazioni Nazionali I ciclo (2012)

Traguardi per lo sviluppo di competenze al termine della scuola secondaria di primo grado …

Produce argomentazioni in base alle conoscenze teoriche acquisite (ad esempio sa utilizzare i concetti di proprietà caratterizzanti e di definizione) Sostiene le proprie convinzioni, portando esempi e c o n t r o e s e m p i a d e g u a t i e u t i l i z z a n d o concatenazioni di affermazioni; accetta di cambiare opinione riconoscendo le conseguenza logiche di una argomentazione corretta. …

E’ indiscussa la centralità del problema nella didattica della matematica ad ogni livello scolare

Problematica è invece la tradizionale pratica didattica, solitamente centrata sul piano operativo e spesso essenzialmente rivolta alla verifica di abilità applicative e di calcolo.

I libri di testo più usati non offrono all’insegnante l’opportunità di andare al di là dei problemi scolastici standard, ma soprattutto non danno all’insegnante indicazioni su come avvicinare gli allievi al piacere del problem solving.

Anche se le attuali Indicazioni Nazionali forzano l’attenzione sulla costruzione sociale del sapere, pochi sono i docenti che

Instillano negli allievi il giusto modo di porsi di fronte ai problemi

•  lavorando sugli aspetti linguistici connessi alla interpretazione del testo e sulla aderenza della situazione al reale

•  guidando gli allievi nella costruzione di una strategia risolutiva, portandoli a riflettere su ciò che occorre determinare e su quello che le informazioni permettono di ottenere

•  Verificando l’attendibilità del risultato raggiunto

A. H. Schoenfeld, autore del famoso libro Mathematical Problem Solving (1985)

sottolinea che i buoni risolutori di problemi, nell’attuare il processo di risoluzione di un problema complesso, controllano via via il senso e la produttività delle loro scelte in relazione all’obiettivo da raggiungere ed è questo controllo che li porta a decidere se continuare o cambiare percorso.

Queste considerazioni dovrebbero indurre gli i n segnant i a p romuovere la d imens ione metacognitiva nell’atto della risoluzione di un problema.

Schoenfeld dà molta importanza all’ambiente di apprendimento che a suo dire dovrebbe far si che gli studenti:   •  partecipino all’inquadramento di questioni

significative che la classe esplora (Problematizing), •  siano messi in grado di cercare informazioni,

s e l e z i o n a r l e , i m p o s t a r e e s v i l u p p a r e argomentazioni (agency e authority),

•  imparino a fare affermazioni e esprimere argomentazioni secondo le norme stabilite (disciplinary accountability),

•  abbiano accesso a strumenti e risorse che siano loro necessari (resources).

 

F. K. Lester jr.(2013), altro noto studioso americano richiama l’attenzione sul fatto che nella didattica del problema vi siano due filoni intrecciati:

-  un insegnamento per risolvere problemi, dove la capacità di risolvere problemi è l’obiettivo finale

-  un insegnamento via problemi per sviluppare conoscenze e competenze matematiche

Egli sottolinea che questi due tipi di attività hanno obiettivi diversi e richiedono competenze diverse negli insegnanti ma che un buon insegnamento dovrebbe dare spazio ad entrambe.

Lester sostiene che, come documentano i suoi studi,

la metacognizione è forza propulsiva per il problem solving

ma che si sa poco su come promuovere e potenziare le abilità metacognitive degli studenti Egli lamenta che la ricerca [in USA] •  dia scarsa attenzione a ciò che accade

realmente nelle classi e soprattutto al ruolo dell’insegnante nel processo educativo

•  non offra chiare indicazioni circa quello che gli insegnanti dovrebbero fare nelle classi per sviluppare tali abilità.

Gli studiosi hanno anche rivolto l’attenzione verso il problem posing nella convinzione che tale attività favorisca un lavoro sotterraneo ed autonomo di risoluzione dei problemi e ne hanno suggerito l’inserimento nei curricoli (Silver e Kilpatrick 1987) Dagli anni 90 vi è stata una fioritura di studi sperimentali sul problem posing, principalmente nella scuola primaria e secondaria inferiore. Silver (1994); Malara & Gherpelli (1994), Silver & Caj (1997); Lyn (1997, 1998, 2003); Stoyanova, E. (2000, 2003);), Singer et al. (2013)

Tali studi hanno consentito di evidenziare le potenzialità del problem posing per: •  lo sviluppo della creatività •  la conquista di una visione del problema

indipendente dal contesto e centrata sulla sua struttura

•  lo sviluppo di abilità di soluzione di problemi non routinari

•  Più in generale lo sviluppo di: - attitudine alla matematica, - autonomia nell’apprendimento - una visione della matematica più ampia e speculativa

Sin dagli anni 90 i   nostri studi sulla didattica del problema (e non solo) si sono sviluppati attorno a queste tematiche

Sono stati, e sono, realizzati in classi reali lavorando assieme a insegnanti motivati che vengono opportunamente guidati alla osservazione di sé nel processo di classe.

Nelle sperimentazioni grande spazio è dato a:

•  aspetti logico-linguistici •  metacognizione •  ragionamento ipotetico •  argomentazione •  giustificazione •  Rappresentazione (in vari registri)

Il lavoro attorno ai problemi verbali algebrici si ha portato a concepire

il progetto ArAl in ottica trasversale dalla primaria alla secondaria con proiezioni alla scuola d’infanzia ed alla secondaria superiore

Esso finalizzato a •  un insegnamento dell’aritmetica in chiave

relazionale •  u n u s o p r e c o c e d e l l e l e t t e r e p e r l a

rappresentazione di relazioni e proprietà in termini generali in un gioco di traduzione dal linguaggio verbale al simbolico e viceversa

(Malara & Navarra 2003 … 2017, 2018)

Il progetto si caratterizza come

•  sistema integrato di formazione degli insegnanti sul campo che coniuga teoria e pratica

per la scuola primaria prevede •  interventi di ricercatori nelle classi che fungono

come modello di azione per gli insegnanti (att ivaz ione e se lez ione di eur i s t iche, modellizzazione, giustificazione, rilevamento di analogie, confronti di strategie, etc).

Gli insegnanti sono sostenuti nella loro pratica attraverso attività di riflessione congiunta sui loro modi di introdurre questioni, porre domande, interagire e guidare gli allievi nella costruzione di ragionamenti per la conquista di specifiche conoscenze o di risoluzione di problemi

I nostri obiettivi di fondo sulla didattica del problema

in riferimento agli insegnanti

•  portarli a modificare consapevolmente concezioni ed atteggiamenti nella pratica didattica, proponendo nel contesto dei problemi standard attività diverse proiettate verso il problem posing

in riferimento agli allievi •  rendere attraente e flessibile l’attività di problem

solving favorendo una concezione del problema come

situazione giocosa ed intrigante da esplorare

Il gioco è qui inteso come ‘modo di porsi’ di fronte alle cose, speculativo e riflessivo insieme, dove ogni situazione

•  è vista con naturale curiosità •  è indagata per piacere di esplorazione

Un tale atteggiamento •  favorisce negli allievi il “porsi e risolvere

problemi” •  alimenta il gusto all’approfondimento ed alla

conoscenza

Il gioco come ‘modo di porsi’ di fronte alle cose, speculativo e riflessivo insieme

Per la costruzione negli allievi di un tale atteggiamento sono fondamentali

•  i ruoli svolti dall’insegnante,

•  il suo modo di porsi e di essere con gli allievi

•  i tipi di attività che propone

Cusi & Malara (2013, 2015)  

L’insegnante come modello di atteggiamenti e comportamenti efficaci per gli studenti L’insegnante dovrebbe porsi ed agire come:

•  partecipante alla pari con gli allievi nel lavoro di classe indirizzandone tacitamente lo sviluppo;

•  soggetto che indaga, stimolando negli allievi un atteggiamento speculativo e di ricerca

•  Guida pratica e strategica, esplicitando e condividendo atteggiamenti, pensieri, ragioni con I suoi allievi

Cusi & Malara 2015  

L’insegnante come modello di atteggiamenti e comportamenti efficaci per gli studenti.

A livello meta dovrebbe porsi come: •  Guida riflessiva nell’oggettivare processi, schemi e

modelli

•  Elemento di stimolo e supporto nello sviluppo di abilità cruciali, quali la traduzione dal linguaggio verbale al linguaggio aritmetico-algebrico e viceversa l’interpretazione di espressioni formali (in sé ed in riferimento al contesto)

•  Attivatore di processi di pensiero ipotetici, interpretativi, previsionali, di confronto … e di atti metacognitivi di controllo, consapevolezza ed esplicitazione di processi e strategie

 

Il nostro modello di

didattica del problema

•  L’evoluzione dei nostri studi sia sul versante del problem solving e posing che in quello dell’early algebra

Ancor più la convinzione che •  la crescente complessità della nostra società

imponga alla scuola di coinvolgere gli allievi in progetti di lavoro ampi ed articolati

ci hanno portato a maturare

una visione ampia e ramificata della didattica del problema

Visione che contempla attività diverse, ciascuna con specifiche finalità, ma che insieme concorrono a costruire negli allievi

una concezione del problema come centro

di un sistema interconnesso

che coniuga •  aspetti logico-linguistici e argomentativi •  problem solving e problem posing •  early algebra

Il problem solving  L’argomentazione del processo

risolutivo: passaggio da argomentazioni procedurali a quelle

relazionali di tipo impersonale

Il problem solving L’interpretazione del testo l’oggettivazione dei dati Le relazioni tra i dati e la

loro connessione

Il problem solving Costruzione di espressioni

numeriche risolutive Interpretazione di espressioni individuazione di equivalenze I problemi

verbali standard Verso l’early algebra

La rappresentazione algebrica di dati e relazioni di un problema:

nascita di espressioni, equazioni, funzioni

Il problem posing Variazione dei dati numerici:

legittimità dei valori scelti. Costruzione delle relative

espressioni risolutive

Il problem posing Dal riconoscimento alla

costruzione di problemi analoghi in vari contesti. Costruzione di

problemi sotto date condizioni

Il problem posing espressioni risolutive nate da uno stesso problema per variazione

dei dati: loro analsii e posizione di nuovi problemi

I problemi verbali standard

Un problema verbale standard •  è fo r mu lato mediante un tes to ,

solitamente stringato e scarno, riferito ad una situazione, in un contesto supposto familiare agli allievi.

•  Pone in genere una domanda a risposta unica e fornisce le sole informazioni necessarie per determinarla.

•  Le informazioni sono di tipo quantitativo, ed espresse mediante valori numerici dei dati o mediante relazioni tra essi.

La risoluzione di un problema richiede negli allievi : •  L’attivazione di un percorso di pensiero per

l’individuazione, il riordino o la conversione delle informazioni fornite dal testo ai fini del loro concatenamento per determinare la risposta

•  la traduzione del processo di pensiero in un processo operativo sui valori dei dati forniti attraverso il quale si giunge ad individuare il valore numerico del dato richiesto.

•  L’esecuzione (corretta) degli algoritmi delle operazioni necessarie

•  L’interpretazione (corretta) dei risultati numerici ottenuti in relazione alla domanda posta.

Tradizionalmente i problemi •  vengono assegnati senza aver svolto

un’attività specifica attorno ad essi per verificare l’avvenuto apprendimento di contenuti matematici insegnati

Non sempre •  l ’ insegnante s i pone come elemento

p a r t e c i p a n t e n e l l a c l a s s e e d o p e r a collettivamente come guida e modello sulla risoluzione dei problemi con la finalità di attivare negli allievi il giusto atteggiamento in cui porsi di fronte ad essi

Questi problemi, chiamati anche ‘problemi a racconto’ o ‘per affermazioni’ sono, secondo me, alla base della paura della matematica. Fanno la loro comparsa alle elementari e sono in assoluto i primi problemi di ragionamento che i bambini affrontano. Dato che questi problemi prefigurano quelli scientifici, gli scolari hanno bisogno di strategie di apprendimento per risolverli, se non si vogl iono far crescere col r i f iuto del la matematica

S, Tobias (1994) Come vincere la paura della matematica, Longanesi, pagg. !31-132

Nell’avvio alla risoluzione di problemi Inizialmente l’insegnante dovrebbe: •  Affrontare collettivamente la risoluzione di un

problema – come partecipante al gruppo - guidando gli allievi •  nella interpretazione del testo, analizzando

con loro il significato di termini e frasi •  nella esplicitazione delle loro intuizioni e dei

loro punti di vista, sostenendoli nella enucleazione delle informazioni utili e nella costruzione del vari passi di ragionamento.

•  Avere una cura particolare nel posticipare l ’esecuz ione dei calcol i e focal izzare l’attenzione sui dati come grandezze e sulle relazioni tra esse

L’insegnante come guida e modello  

E’ buona norma guidare gli allievi a riflettere sulla richiesta del problema, con le domande: •  Di cosa abbiamo bisogno per rispondere? •  Quali sono le informazioni che il testo fornisce? •  Cosa manca per poter rispondere? •  Per ottenere ciò che manca come possiamo

fare?

E’ da evitare l’introduzione “dall’alto” di schemi procedurali, che inducono una visione meccanica della risoluzione di un problema, Di accontentarsi di una pura sequenza di calcoli concentrata sulla ‘risposta’.

L’insegnante come guida e modello  

Problemi narrativi

Sono problemi in forma di racconto, con uno o più personaggi e degli avvenimenti che li coinvolgono. Hanno uno sviluppo temporale e presentano una connessione causale tra le parti. La domanda è funzionale alla storia.

Problemi descrittivi

Sono problemi espressi in forma impersonale, con un distacco dal/i soggetto/i e dall’azione, che si caratterizzano per la struttura ad ‘elenco di informazioni’

Zan, R. (2016), I problemi di matematica, Carocci

Sostiene che i testi descrittivi, a lista di informazioni, vengono spesso rifiutati dagli allievi perché stringati, a volte ambigui o volutamente contorti, spesso lontani dall’esperienza del bambino e soprattutto poco motivanti

Essendo essi in genere proposti per valutare capacità operative finiscono con l’essere considerati come vessatori e generare paura

R. Zan sottolinea l’importanza che l’allievo si appropri del problema e propone per questo l’abbandono dei testi descrittivi a favore della proposizione di testi narrativi

Zan, R. (2016), I problemi di matematica, Carocci

Caratteri essenziali dei testi narrativi efficaci R. Zan mette in luce che un problema narrativo può deviare i bambini dalla risoluzione e che ciò accade quando non c’è integrazione tra gli aspetti narrativi e quelli matematici. Perché un problema narrativo sia efficace e non deviante per gli allievi è necessario che: •  vi sia continuità narrativa tra storia e domanda

posta (parla di legame narrativo tra i personaggi della storia e la domanda conclusiva),

•  la domanda non sia di facciata ma rifletta i l e g a m i t e m p o r a l i e d i c a u s a l i t à c h e caratterizzano le azioni del/dei personaggi e le loro motivazioni ma che soprattutto risponda ad un loro scopo

   

Esempi di problemi descrittivi Il primo giorno di ogni mese viene versata dall’INPS sul conto del signor Rossi la sua pensione. Sapendo che questo versamento mensile è di 1420 euro stabilisci quanto riceve il signor Rossi in sei mesi.

Thorndike (1922) The psychology of Arithmetic (pp-101) •  Se un cavallo trotta per 10 miglia in un‘ora quante miglia

percorrerà in 9 ore? •  Se una ragazza può raccogliere 3 quarti di more in un’ora

quanti quarti può raccoglierne in tre ore?

Thorndike definisce tali problemi ‘ambigui e falsi’. Egli commenta: Un insegnante che insista sulle risposte di 90 e 9 rispettivamente per il primo ed il secondo problema potrebbe demotivare un ragazzo che si rapporta concretamente alla realtà, il quale smetterebbe di interessarsi di aritmetica per tutte le settimane a venire

Esempio di problema narrativo La nonna Gina vuole fare per Natale un bel regalo al suo nipotino Carletto di 4 anni. Così a partire da giugno, ogni fine mese mette da parte 10 euro. A metà settembre scopre che il suo Carletto desidera un magnifico camion dei pompieri di colore rosso che costa 90 euro. Si accorge che i soldi che ha accantonato fino a quel momento sono proprio pochi per comprare il camion. Ma non vuole rinunciare all’idea di far contento il suo nipotino: pregusta la sua felicità quando egli vedrà apparire il bel camion rosso nell’aprire il pacco regalo. Così decide che da settembre a novembre aumenterà di altri 5 euro la quota mensile dei soldi da mettere da parte per poter arrivare a comprare il camion. Aiuta la nonna a stabilire se a dicembre avrà raccolto i soldi a lei necessari o se dovrà aggiungere ancora dei soldi per acquistare il regalo

Necessità ed importanza nella pratica didattica della doppia trasformazione

Testo descrittivo

Testo narrativo

•  Qui si innesta anche l’attività di formulazione di testi di problema (problem posing) e lo studio dei problemi aperti e con dati da reperire

Rosetta Zan

N. Malara

Il concetto di ‘modello’ di

una situazione

Testo descrittivo

Testo narrativo

trasformazione di un testo descrittivo in un testo narrativo

Un esempio

Testo descrittivo Un allevatore prova a distribuire un certo numero di canarini in  7 voliere in parti uguali, ma ne rimangono fuori 2. Risolve il problema dividendo equamente i canarini in 9 voliere semplicemente sottraendo 2 canarini da ognuna delle precedenti. Quanti canarini l’allevatore ha in tutto? Testo narrativo Il signor Piero, allevatore di canarini, ne ha tanti in una grandissima voliera ma non riesce proprio a contarli. Per poterli contare più facilmente decide di distribuirli in altre voliere più piccole. Pensa che 7 voliere di media grandezza siano sufficienti, le prende e distribuisce i canarini ponendone lo stesso numero in ogni voliera, ma gliene rimangono fuori 2. Risolve il problema prendendo altre 2 voliere e dividendo equamente i canarini nelle 9 voliere. Fa questo semplicemente togliendo 2 canarini da ognuna delle voliere precedenti, aggiungendoli ai canarini rimasti fuori e distribuendoli nelle due voliere aggiuntive. Aiuta il signor Piero a stabilire quanti sono tutti i suoi canarini.

[Il Signor Piero] prende allora altre due voliere e dispone in ciascuna uno dei canarini rimasti. Poi sottrae due canarini da ognuna delle 7 voliere e li distribuisce in parti uguali nelle due voliere aggiunte. Così riesce ad avere lo stesso numero di canarini in tutte le voliere.

Testo narrativo

Testo descrittivo

trasformazione di un testo narrativo in un testo descrittivo

Un esempio

Un problema – racconto (da G. Navarra, 1983, 1 sec. Inf.)

Nelle praterie Americane ai tempi della caccia al bisonte

Nell’estate del 1793 due piccole tribù, una di Sioux e una di Kiowas, si incontrarono nel territorio di caccia del bisonte e formarono un unico accampamento. Un mattino i cacciatori delle due tribù si riunirono: vi erano 48 Sioux e 56 Kiowas. Insieme si diressero verso le pianure dove pascolavano le mandrie. Per allargare il campo della ricerca si divisero in due gruppi formati da un ugual numero di cacciatori e da due veloci corrieri.

(I punto di matematizzazione) Il primo, dopo molte ore di ricerca, non trovò nulla, e ritornò al campo; il secondo, più fortunato, giunse nei pressi di una mandria molto numerosa. Il capo del gruppo decise di mandare indietro i due giovani corrieri, con il compito di avvertire gli altri che la caccia stava iniziando.

… Subito dopo, cercando di fare meno rumore possibile, strisciando fra l’erba alta, coperti da pelli di bisonte per ingannare l’odorato degli animali, i cacciatori rimasti si avvicinarono alle loro prede. Puntavano ad una caccia grossa: per ricoprire un solo tepee avevano bisogno di 8 pelli di bisonte! Ad un ordine del capo, i cacciatori cominciarono a lanciare le frecce e le lance e in mezzo a grida, muggiti, lamenti di animali feriti a morte, scalpitare di zoccoli, uccisero più bisonti che poterono. Dopo aver contato i corpi degli animali morti, i cacciatori gridarono felici: ognuno di loro aveva ucciso ben cinque bisonti.

(II punto di matematizzazione)  

… Nel frattempo, avvertiti dai due giovani corrieri, le tribù si erano messe in cammino, e dopo alcune ore raggiunsero il luogo dove era avvenuta la caccia. I bisonti furono scuoiati e vennero separate tutte le parti che servivano: la carne per cibarsi, i tendini per le corde, le ossa per fabbricare piccoli attrezzi, le pelli per la copertura dei tepee e per abiti, mocassini e altri oggetti. Alla sera, mentre le tribù festeggiavano la buona riuscita della caccia, il consiglio dei capi decise che venti pelli dovevano servire per fabbricare oggetti vari necessari alla vita della tribù.Con le rimanenti si dovevano rivestire i tepee. III punto di matematizzazione Immagina di essere uno dei capi e di discutere assieme agli altri. Sapresti stabilire quanti tepee possono essere ricoperti? IV punto di matematizzazione

Schematizzazione del problema

Nelle praterie Americane ai tempi della caccia al bisonte

Pe la stagione di caccia due tribù vicine, i Sioux ed Kiowas si riunirono in un unico accampamento. In tutto vi erano 48 cacciatori Sioux e 56 Kiowas. Puntavano ad una caccia grossa: per ricoprire un solo tepee avevano bisogno di 8 pelli di bisonte! Per la caccia si divisero equamente in due gruppi e si diressero in aree diverse. Il primo gruppo non ebbe fortuna e tornò all’accampamento. Il secondo gruppo invece incontrò una enorme mandria e fece una bella caccia grossa. Dopo la caccia contarono i corpi degli animali morti: ognuno di loro aveva ucciso cinque bisonti! Alla sera il consiglio dei capi decise che venti pelli dovevano servire per fare oggetti vari per l’intera tribù. Con le rimanenti si dovevano rivestire i tepee. Immagina di essere uno dei capi e di discutere assieme agli altri. Sapresti stabilire quanti tepee possono essere ricoperti?  

Nostre indicazioni per avvicinare gli allievi ai problemi Coinvolgere gli allievi in una riflessione sul significato da loro attribuito al termine ‘problema’ Chiedere delle l’esplicitazio emozioni da loro vissute in riferimento alla risoluzione di problemi

Per condurre gli allievi ad appropriarsi del problema

•  Lavorare sull’analisi del testo, verificando nei singoli la comprensione di termini e di frasi, in taluni casi chiedendo la parafrasi o addirittura la riformulazione del testo

•  Sollecitare negli allievi osservazioni e commenti sulla situazione esposta in riferimento alla sua aderenza al reale

Analisi linguistica di problemi tratti dal libro di testo

Esempio 1 (ingresso 1 secondaria inferiore) Una comitiva di 8 ragazzi e 5 ragazze si reca al cinema e poi in pizzeria. Al cinema ciascuno paga per sé spendendo 9 euro mentre in pizzeria i ragazzi offrono la pizza alle ragazze spendendo così 13 euro a testa in più. Quanto è stato speso in totale?

Rilevamento di ambiguità linguistiche

I ragazzi hanno rilevato che la locuzione ‘in più’ è passibile di due interpretazioni: •  In più rispetto alla spesa del cinema: in pizzeria

ciascun ragazzo spende 9 +13 euro •  In più rispetto alle ragazze in pizzeria: ciascun

ragazzo in pizzeria paga 13 euro.

Commenti critici dei ragazzi sulla aderenza al reale della situazione esposta A.  Perché le ragazze non devono pagare? Non è

giusto. Ognuno deve pagare per sé se non c’è un motivo.

B. Non è detto che tutti hanno preso la stessa pizza, di solito questo non succede mai.

C. Per fare il problema diciamo che tutti hanno preso la stessa pizza.

D. Pensiamo a pizze diverse ma aggiustiamo il problema e chiediamo ‘quanto doveva pagare ognuno se tutti pagavano lo stesso?

E. Quando si va in pizzeria si prende anche da bere.

Esempio 2

I tassisti di Milano (ingresso secondaria inferiore) I tassisti di Milano praticano le seguenti tariffe: 2 euro come quota fissa alla messa in funzione del tassametro, 1 euro per ogni Km percorso e 15 euro per ogni ora di sosta. Un rappresentante all’uscita della stazione centrale prende un taxi per recarsi presso la ditta dove si ferma per mezz’ora con un dirigente. Con lo stesso taxi, che lo ha aspettato, ritorna alla stazione e paga per la corsa 35,80 euro. Quanti chilometri ha fatto il taxi per andare dalla stazione alla sede della ditta?

Analisi di contesto di problemi tratti dal libro di testo

Commenti critici dei ragazzi sulla aderenza al reale della situazione esposta

Commenti dei ragazzi A.  Il problema non è reale, il taxi normalmente non si fa

attendere per mezz’ora, se ne chiama un altro

B.  In genere il percorso di andata non è uguale a quello del ritorno, vi sono i sensi unici. Possiamo solo calcolare i chilometri di andata e ritorno

C.  Se nel percorso vi sono i semafori non si può risolvere il problema neanche così.

Nella discussione si evidenzia lo stacco del problema dalla realtà: il costo non è a km ma ‘a tempo’

Ques'  commen'  aprono  l a s t r a d a a l l a riformulazione del testo del problema e alla presa in carico di nuove variabili

Compito per l’insegnante Leggere criticamente le situazioni esposte nei problemi del proprio libro di testo •  Prevedere eventuali commenti dei bambini

sulla aderenza al contesto •  Prevedere arricchimenti del testo,

semplificazioni linguistiche, esplicitazioni di impliciti, …

Verso l’argomentazione del processo risolutivo

•  Lo spostamento di attenzione dal

numero a ciò cui si riferisce: oggettivazione della grandezza

•  I passi di ragionamento

Lo spostamento di attenzione dal risultato al processo

Far comprendere che il comportamento atteso di fronte ad un problema •  non è il risultato numerico e l’esecuzione di una

serie di operazioni per giungere ad esso Ma •  la spiegazione delle ragioni sottostanti al

processo risolutivo Occorre argomentare

Non come si è risolto un problema ma perché si sono eseguite quelle operazioni

Sulla argomentazione scritta (verbalizzazione) del procedimento risolutivo

comportamenti iniziali degli allievi alla richiesta di argomentare per iscritto il procedimento risolutivo

•  Indicazioni del procedimento solo attraverso l’elenco delle operazioni eseguite

•  Descrizione del procedimento dopo la risoluzione del problema

•  uso del tempo presente nella prima persona singolare: presenza del soggetto e dell’azione

Un esempio Problema: Gigi e Aldo vanno dal cartolaio. Per 4 pennarelli e 3 gomme Gigi spende12 euro e 50 centesimi. Per 3 pennarelli e 2 gomme Aldo spende 9 euro. •  Quanto costano assieme un pennarello ed una gomma? •  Quanto costa un pennarello?

Consegna •  E n u c l e a r e l e r e l a z i o n i t r a i d a t i , c o n n e t t e r e

opportunamente le relazioni e risolvere il problema •  verbalizzare il processo di ragionamento

Passaggi di tipo meta

•  dal fare all’osservare ciò che si fa •  Dal costruire la risoluzione di un problema al

giustificare il perché delle proprie azioni ed all’oggettivare ciò che si determina

Un esempio di verbalizzazione iniziale (I sec. Inf.)

Gigi e Aldo vanno dal cartolaio. Per 4 pennarelli e 3 gomme Gigi ha speso 8 euro e 90 centesimi. Per 3 pennarelli e 2 gomme Aldo ha speso 6 euro e 60 centesimi. Quanto costano un pennarello ed una gomma complessivamente? Quanto costano 3 pennarelli e 3 gomme? Quanto costa un pennarello?

Verbalizzazione buona che rivela in sottofondo lo stereotipo ‘problema=operazioni’ (Carlotta, inizio I secondaria di I° grado)) Per risolvere il problema io ragiono così: sottrarre da 8,90 il costo di 6,60. Perché il costo di 8,90 supera il costo di 6,60 con il costo di un pennarello e di una gomma (seguono rappr. iconica e calcoli) Come seconda operazione utilizzerei il costo di una gomma e un pennarello (2,30) e lo moltiplicherei per 3 perché la domanda chiede il costo di 3 pennarelli e 3 gomme. (seguono rappr. iconica e calcoli) Come terza e ultima operazione per rispondere all’ultima domanda, utilizzerei il costo di 8,90 costo di 3 gomme e 4 pennarelli meno 6,60 costo di 3 pennarelli e 3 gomme. Così risulterà il costo di un pennarello.    

Per risolvere il problema io ragiono così: sottrarre da 8,90 il costo di 6,60. Perché il costo di 8,90 supera il costo di 6,60 con il costo di un pennarello e di una gomma

Come seconda operazione utilizzerei il costo di una gomma e un pennarello (2,30) e lo moltiplicherei per 3 perché la domanda chiede il costo di 3 pennarelli e 3 gomme.

C o m e t e r z a e u l t i m a operazione per rispondere all’ultima domanda, utilizzerei il costo di 8,90 costo di 3 gomme e 4 pennarelli meno 6,60 costo di 3 pennarelli e 3 gomme. Così r i s u l t e r à i l c o s t o d i u n pennarello.  

Cosa è 8,90? Cosa è 6,60? Sottrarre dal costo di 4 pennarelli e 3 gomme il costo di 3 pennarelli e 2 gomme si ha Il costo di un pennarello ed una gomma Riformulare: Il costo di un pennarello ed una gomma è …………tra il costo di .. ……………ed il costo di………………………….. In numeri ………………………… Riformulare Il costo di 3 pennarelli e tre gomme è ….. In numeri …………………………. Riformulare Il costo di un pennarello è …………. … Tra il costo di …………… ed il costo di In numeri …………………………….

Una seconda versione del problema. Gigi e Aldo vanno dal cartolaio. Per 4 pennarelli e 3 gomme Gigi ha speso 12 euro e 50 centesimi. Per 3 pennarelli e 2 gomme Aldo ha speso 9 euro. Quanto costano assieme un pennarello ed una gomma? Quanto costa un pennarello?

Riformulazione di classe (passaggio da ‘Io’ al ‘Noi’, focus sulle grandezze in gioco) Vediamo che Gigi compra un pennarello ed una gomma in più di Aldo, otteniamo il loro costo dalla differenza tra la spesa di Gigi e quella di Aldo. Sappiamo il costo di un pennarello e una gomma, raddoppiandolo riusciamo a determinare il costo di 2 pennarelli e 2 gomme, triplicandolo quello di 3 pennarelli e 3 gomme. Riusciamo a stabilire il costo di un pennarello dalla differenza tra la spesa di Aldo ed il costo di 2 pennarelli e 2 gomme, oppure dalla differenza tra la spesa di Gigi ed il costo di 3 pennarelli e 3 gomme.  

Dalle informazioni so che Aldo compra un pennarello in più di due pennarelli e due gomme, ma posso sapere quanto costano due pennarelli e due gomme, faccio il doppio di quanto costa un pennarello ed una gomma. Allora trovo quanto costa un pennarello sottraendo questo numero da quanto ha speso Aldo.

Il soggetto e l’azione Io ho visto che Gigi compra un pennarello ed una gomma in p i ù d i A l d o . F a c c i o l a sottrazione tra quanto spende Gigi e quanto spende Aldo e trovo quanto costano assieme un pennarello ed una gomma.

Un problema. Gigi e Aldo vanno dal cartolaio. Per 4 pennarelli e 3 gomme Gigi ha speso 12 euro e 50 centesimi. Per 3 pennarelli e 2 gomme Aldo ha speso 9 euro. Quanto costano assieme un pennarello ed una gomma? Quanto costa un pennarello?

Riformulazione di classe (passaggio da ‘Io’ al ‘Noi’, focus sulle grandezze in gioco) Vediamo che Gigi compra un pennarello ed una gomma in più di Aldo, otteniamo il loro costo dalla differenza tra la spesa di Gigi e quella di Aldo. Sappiamo il costo di un pennarello e una gomma, raddoppiandolo riusciamo a determinare il costo di 2 pennarelli e 2 gomme, triplicandolo quello di 3 pennarelli e 3 gomme. Riusciamo a stabilire il costo di un pennarello dalla differenza tra la spesa di Aldo ed il costo di 2 pennarelli e 2 gomme, oppure dalla differenza tra la spesa di Gigi ed il costo di 3 pennarelli e 3 gomme.  

Riformulazione in termini impersonali Focus su grandezze e relazioni (no soggetto, no azione) Occorre determinare il costo di un pennarello ed una gomma. Dal confronto tra gli acquisti di Gigi e di Aldo, si vede che Gigi acquista un pennarello ed una gomma in più rispetto ad Aldo. Pertanto Il costo di un pennarello ed una gomma è la differenza tra la spesa di Gigi e quella di Aldo. Raddoppiando (triplicando) questo costo si ha il costo di due (tre) pennarelli e due (tre) gomme. Il costo di un pennarel lo, è la differenza tra la spesa di Aldo e il costo di due pennarelli e due gomme o anche è la differenza tra la spesa di Gigi ed il costo di 3 pennarelli e 3 gomme

Approccio relazionale al problema e rappresentazione formale delle

informazioni date

Nell’approccio al problema è conveniente guidare gli allievi ad esplicitare le relazioni tra i dati in gioco a combinarle e poi procedere alla sostituzione dei valori numerici

Un esempio (da un articolo di P.L. Ferrari) Nella biblioteca di classe c’erano 58 libri. L’insegnante ne ha comprati altri 12 e li ha portati in biblioteca, ne sono stati prestati 8. Di notte sono venuti i ladri e ne hanno rubati 17. Quanti libri sono rimasti?

Approccio relazionale al problema

Un esempio (da un articolo di P.L. Ferrari) Nella biblioteca di classe c’erano 58 libri. L’insegnante ne ha comprati altri 12 e li ha portati in biblioteca, ne sono stati prestati 8. Di notte sono venuti i ladri e ne hanno rubati 17. Rappresenta quanti libri sono rimasti.

Relazioni •  numero libri rimasti è dato da:

differenza tra numero libri in biblioteca e numero libri usciti dalla biblioteca

•  numero libri in biblioteca è dato da: somma tra numero libri iniziali e numero libri acquistati •  Numero libri usciti dalla biblioteca è dato da: somma tra numero libri prestati e numero libri rubati

Approccio relazionale al problema

•  Più sinteticamente n. libri rimasti = (n. libri iniziali + n. libri acquistati) – (n. libri prestati + n. libri rubati)

 

•  Ancora più sinteticamente n. rim = (n. iniz + n. acq.) – (n. pres. + n. rub)

•  Optimum: in formula inserendo la legenda r = numero libri rimasti;

i = numero libri iniziali ; a = numero libri acquistati; p = numero libri prestati; b = numero libri rubati r = (i+a) – (p+b)  

Le relazioni si possono comporre ed Il procedimento risolutivo si può sintetizzare nella frase : •  N.ro libri rimasti = n.ro libri iniziali + n.ro libri acquistati

– (n.ro libri prestati + n.ro libri rubati )

Il risultato numerico si ottiene sostituendo nella formula r = (i+a)-(p+b) il valore numerico di ciascuno dei dati. i = numero libri iniziali = 58 a = numero libri acquistati = 12 p = numero libri prestati = 8 b = numero libri rubati = 17  

per sostituzione si ha : r = (58 +12) – (8 +17)    La formula r = (i+a)-(p+b) è equivalente a r = [(i+a) - p)] –b Formula procedurale che riflette il susseguirsi dei tempi e delle azioni. Gli allievi sperimentano una regolarità che legittimerà in seguito la seguente proprietà degli interi:

l’opposto di una somma è la somma degli opposti  

La codifica formale viene ad essere una conquista degli allievi per contrazione delle d e n o m i n a z i o n i v e r b a l i d e i d a t i n e l l a esplicitazione del procedimento  I Vantaggi •  Comprendere la distinzione tra dati e valori

numerici dei dati. •  Comprendere la generalità ed economicità

della rappresentazione algebrica al variare dei dati numerici.

     

Questo aspetto viene potenziato dalla proposizione del gioco del

‘ … E se invece’  

Risolto un problema, si propone lo stesso testo con dati numerici variati. Qui si possono porre le situazioni: •  E se invece i libri iniziali fossero stati 64? •  E se invece i libri rubati fossero stati 20? •  E se invece libri prestati fossero stati 12? •  E se invece i libri acquistati fossero stati 2? •  E se invece valgono assieme tutte queste condizioni ?

… E se invece’ E se invece i libri iniziali fossero stati 64? •  E se invece i libri rubati fossero stati 20? •  E se invece libri prestati fossero stati 12? •  E se invece i libri acquistati fossero stati 2? •  E se invece valgono assieme tutte queste condizioni ?

I  =  Num.  Libri  iniziali    

r  =  Num.  Libri  ruba0    

p  =  Num  libri  presta0  

a  =    Num  libri  acquista

0  

n  =    num  libri  rimas0    

58   12   8   17   (58  +  17  )  –  (12+8)  64   12   8   17   (64+17)  –  (12+8)  58   20   8   17   (58+17)  –  (20+8)                58   12   12   17   (58+17)  –  (12+17)  58   12   8   2   (58+2)  –  (12+8)  64   20   12   17   (64+17)  –  (20+12)  

Senza fare i conti spiegare in quale delle delle situazioni elencate si ha: •  il numero minimo di libri rimasti •  Il numero massimo di libri rimasti

E’ buona norma chiedere ai ragazzi di riformulare il problema variando i dati I comportamenti (variazione da uno a tutti i dati) ed i valori numerici scelti dagli allievi per le quantità in gioco rivelano il controllo che i bambini hanno della situazione problematica Spesso i dati numerici da loro inseriti sono scelti senza tenere conto delle condizioni imposte dalla struttura del problema

lavorando sul problema con dati numerici variati i bambini esplorano concretamente le possibilità che si hanno per i dati e riescono ad oggettivare le condizioni di variabilità dei valori numerici dei dati. Le scelte sono sensate se è possibile eseguire la sottrazione tra numero libri nella biblioteca e numero dei libri fuori dalla biblioteca.

La condizione da esplicitare è: (i+a) è maggiore o al più uguale a (p+b)

In formule (i+a) ≥ (p+b)

Queste esplorazioni portano i ragazzi a •  esercitare un controllo sul processo risolutivo del

problema •  esprimere disuguaglianze in termini formali

Il gioco del ‘Se invece’ ha una forte valenza:

•  fa emergere la distinzione tra grandezze e valori numerici

•  Mostra un problema come rappresentante di una classe di problemi

•  permette di acquisire consapevolezza dei limiti di variabilità dei valori numerici ed ad usare correttamente le parentesi

La scrittura delle espressioni risolutive del problema per i diversi valori attribuiti ai dati consente di oggettivare la struttura del problema e di individuare le condizioni cui i valori numerici devono soddisfare perché risultino coerenti con la situazione

In alcuni casi emergono anche regolarità impreviste, che aprono la strada alla ricerca della giustificazione del loro perché.