I problemi del RALLY MATEMATICO TRANSALPINO

nella didattica quotidiana

Daniela Medici & Maria Gabriella Rinaldi LUGO 15 giugno 2015

Il Rally è una Gara Matematica Negli ultimi anni notevole sviluppo e

diffusione di gare matematiche di diverso tipo:

Individuali A squadre

Obiettivi:

Esplicito: far emergere l’eccellenza e appassionare alla matematica chi ottiene buoni risultati

Implicito: aumentare le iscrizioni alle facoltà scientifiche

Per classi

Obiettivi:

Espliciti: fare matematica attraverso la risoluzione di problemi, imparare a “parlare di matematica”, a spiegare idee e procedimenti

Impliciti: incidere positivamente sull’immagine della matematica di ogni allievo e sulla didattica della disciplina

Regolamento del Rally La gara prevede diverse tappe: •  allenamento, settembre - gennaio (L’insegnante ha l’occasione di scegliere problemi inerenti al

programma svolto o da svolgere)

•  una prima prova, in febbraio ; •  una seconda prova, in marzo ; •  una finale, in maggio (per la sezione di Parma,

all’Università) a cui accedono le classi di una stessa sezione che

hanno ottenuto i punteggi più alti nelle due prove precedenti (mediamente 3 per categoria).

Il Rally Matematico Transalpino È una gara matematica per classi che consiste nella

risoluzione di problemi

È rivolta agli alunni delle classi dalla terza, elementare alla seconda superiore

È nato nel 1992 in Svizzera e ben presto si è esteso ad altri Paesi: Italia, Francia, Belgio, Lussemburgo, Quebec, Israele, Argentina, Algeria.

Nel 2001 si è costituita l“Associazione Rally Matematico Transalpino” (ARTM)

www.armtint.org www.dmi.unipr.it/it/rally

22 sezioni di cui 14 in Italia, con circa 4610 classi.

Con la sezione di Parma hanno partecipato 546 classi, per più di 11.000 allievi.

A LUGO sei seconde della scuola secondaria di primo grado

L’ultima edizione: 23° Rally

regole •  La durata della prova è di 50 minuti per

tutte le categorie, a partire dalla distribuzione degli enunciati.

• la sorveglianza deve essere obbligatoriamente assicurata da una persona "neutrale", diversa dal titolare della classe • Gli allievi possono utilizzare tutto il materiale che reputano necessario: forbici, colla, righello, compasso, carta, matite, calcolatrice, etc.

Per sentirsi responsabili (favorire la DEVOLUZIONE)

Contratto con gli insegnanti che intendono partecipare al RMT con le loro classi

•  Il RMT non è solo una gara •  Il RMT non è una gara tra insegnanti •  Per partecipare bisogna condividere le

concezioni sull’apprendimento che sono alla base del lavoro del RMT

•  Per partecipare occorre essere disposti a collaborare

•  Niente obbliga a partecipare al RMT

Obiettivi espliciti del Rally :

•  fare matematica attraverso la risoluzione di problemi

•  imparare a “parlare di matematica”, a spiegare idee e procedimenti

•  sviluppare le capacità di lavorare in gruppo sentendosi responsabili

Caratteristica della pratica matematica è la risoluzione di problemi,

che devono essere intesi come questioni autentiche e significative,

legate spesso alla vita quotidiana, e non solo esercizi a carattere ripetitivo

o quesiti ai quali si risponde semplicemente ricordando una definizione o una

regola.

INDICAZIONI NAZIONALI PER IL CURRICOLO 2012

fare matematica attraverso la risoluzione di problemi

Che cosa intendiamo per “problema”

Una situazione per la quale non si disponga di una soluzione immediata e che ci obbliga a inventare una strategia, a fare dei tentativi, a tornare sui propri passi, a verificare. Il testo non deve contenere “parole chiave”.

Una situazione è un problema solo la prima volta che la si affronta.

Quando se ne è trovata la soluzione, diventa parte delle conoscenze organizzate e riconoscibili in classi di "problemi risolti".

Che cosa intendiamo per “esercizio”

Per “esercizio” o “problema di applicazione” intendiamo le attività di rinforzo e assimilazione delle conoscenze studiate e del loro funzionamento in contesti differenti, ma già noti.

Si situano generalmente alla fine di un percorso didattico.

Per risolverli si ricorre a strategie già incontrate e apprese.

Riesce a risolvere facili problemi in tutti gli ambiti di contenuto mantenendo il controllo sia sul processo risolutivo, sia sui risultati.

(traguardi per lo sviluppo delle competenze al termine della scuola primaria)

fare matematica attraverso la risoluzione di problemi

Quali problemi?

problemi non-standard

Originali Inediti Senza parole-chiave Con richiesta esplicita di spiegazione

fare matematica attraverso la risoluzione di problemi

Originali, inediti, senza parole-chiave

I problemi più interessanti presentano situazioni non riconoscibili fra quelle note per la cui

risoluzione occorre inventare una strategia, fare dei tentativi, tornare sui propri passi,

verificare.

Gli ambiti concettuali in gioco sono spesso trasversali

Descrive il procedimento seguito e riconosce strategie di soluzione diverse dalla propria.

(traguardi per lo sviluppo delle competenze al termine della scuola primaria)

Spiega il procedimento seguito, anche in forma scritta, mantenendo il controllo sia sul processo risolutivo, sia sui risultati.

(traguardi per lo sviluppo delle competenze al termine della scuola secondaria di primo grado)

Un’attenzione particolare andrà dedicata allo sviluppo della capacità di esporre e di discutere con i compagni le soluzioni e i procedimenti seguiti.

(indicazioni nazionali per il curricolo 2012)

imparare a “parlare di matematica”, a spiegare idee e procedimenti con richiesta esplicita di spiegazione

“… La matematica … contribuisce a sviluppare la capacità di argomentare e discutere, di argomentare in modo corretto, di comprendere i punti di vista e le argomentazioni degli altri ”

(indicazioni nazionali per il curricolo 2012)

“Sostiene le proprie convinzioni, portando esempi e controesempi adeguati e utilizzando concatenazioni di affermazioni; accetta di cambiare opinione riconoscendo le conseguenze logiche di una argomentazione corretta.”

(traguardi per lo sviluppo delle competenze al termine della scuola secondaria di primo grado)

sviluppare le capacità di lavorare in gruppo sentendosi responsabili

Obiettivo “implicito”

•  Incidere positivamente sull’immagine della matematica

•  Incidere sulla didattica della disciplina

Azione “preventiva” alla formazione di una

immagine della matematica falsata

immagine falsata della matematica

matematica non mi piace

matematica mi piace

Che immagine si ha della Matematica? (nell’immaginario collettivo)

!  ... è troppo arida, è fredda, !  ci sono molte tecniche e formule da imparare !  ... Ma a cosa serve? !  Fai matematica? ... ma allora sei un genio! !  Io non ci ho mai capito niente, ... e mio figlio è come me! !  Non ho il pallino della matematica !  … ma cosa c’è ancora da scoprire in

matematica?

•  Le lezioni di matematica sono considerate difficili, faticose per gli studenti (… basta vedere la pubblicità) •  Se riesci bene latino hai studiato, se riesci bene in matematica sei un genio. Per contro, se non riesci bene …

Paura della matematica

Matematica e affettività

Le valutazioni negative vengono percepite come valutazioni sulle proprie capacità più che sulle proprie prestazioni e hanno quindi come effetto la rinuncia a priori ad utilizzare le risorse possedute, perché il soggetto si convince di non avere risorse sufficienti. Atteggiamento di fatalismo, che si esprime nella rinuncia a “provare”…

(Rosetta Zan, seminario nazionale 2002)

conseguenze •  Pochi iscritti alle facoltà scientifiche •  Abbandoni precoci, dopo pochi mesi di

università •  Scollamento tra la matematica “scolastica” e le

esigenze della vita professionale •  Senso di inadeguatezza ed inutilità della

matematica studiata a scuola

Responsabilità sociale (e umana) dell’insegnante di matematica

(v. dispersione scolastica)

Si può far perdere ai nostri ragazzi una buona (l’unica ?) occasione di acquisire schemi

mentali e capacità di ragionamento utilizzabili nella vita.

Il cattivo rapporto con la Matematica può influire sulle scelte e quindi sulla formazione

molto più che il cattivo rapporto con altre discipline.

(v. dispersione scolastica)

Quale immagine dai problemi tradizionali?

Dal Sussidiario I colori del mondo per la classe 5a nella parte “Problemi sulle quattro operazioni”

Un contadino ha portato al mercato 139,2 Kg di uva riempiendo 16 cassette.

Quanti chilogrammi per cassetta?

Dal Sussidiario I colori del mondo per la classe 5a nella parte “Problemi sulle misure” !  Un negoziante compra 580 kg di merce che

costa 1,50 euro il chilogrammo. Alla consegna paga in contanti 600 euro e il resto con 3 rate. Quanto costava la merce? Qual è l’importo di ogni rata da pagare?

Comincia a emergere negli allievi la distinzione fra problema reale e

problema scolastico

E a poco a poco gli allievi si convincono che (a volte? spesso? nei

problemi?) in matematica è conveniente non pensare

Di fronte ad un problema reale devo pensare ed elaborare

strategie

Di fronte a un problema scolastico devo ricordare formule e procedure

Non è importante leggere attentamente il testo, basta individuare:

•  dati numerici •  alcune parole chiave

L’abitudine a risolvere problemi scolastici il cui enunciato, spesso poco o per nulla interessante, presenta carenze ed imprecisioni induce gli allievi a:

•  dare poca importanza all’aspetto narrativo •  non soffermarsi sugli aspetti logici •  privilegiare i dati numerici

Agli insegnanti il rally offre :

•  Una occasione di rinnovare la didattica

•  Una occasione per fare emergere difficoltà e misconcezioni e di valutare i propri allievi durante le prove di allenamento, in un contesto informale e insolito

•  Una occasione di confronto con i colleghi nella valutazione delle prove

Incidere sulla didattica della disciplina

Aldilà della gara i problemi del Rally

possono essere utilizzati nella «normale»

attività didattica per

Introdurre

Consolidare

Verificare

Incidere sulla didattica della disciplina

Analisi a priori

Il Rally correda ogni problema di una breve analisi a priori, a disposizione degli insegnanti subito dopo la prova, che comprende: •  ambito concettuale le conoscenze in gioco relativamente alla possibilità di azione degli allievi al loro livello scolare •  analisi del compito le possibili strategie risolutive degli allievi •  griglia di valutazione, relativamente ai risultati e ai ragionamenti esplicitati (punteggi da 0 a 4)

Banca di problemi (work in progress)

www.projet-ermitage.org/ARMT/

Per ora 366 schede di problemi

(con analisi, risultati, sviluppi didattici, …)

ALCUNI PROBLEMI DEL RALLY

MATEMATICO TRANSALPINO

E’ PRIMAVERA ! 22.II.04 (Cat. 3, 4, 5)

Anna ha comprato 40 bulbi di tulipano da piantare nei vasi del suo balcone: due vasi grandi e tre piccoli.

Inizia col mettere lo stesso numero di bulbi nei cinque vasi e poi, in ciascuno di quelli grandi, ne mette 10 in più.

Quanti bulbi di tulipano Anna ha piantato in ciascun vaso?

Spiegate la vostra risposta.

ANALISI A PRIORI

Ambito concettuale:-  Decomporre 40 in somma di cinque termini, di cui due termini uguali tra

loro e altri tre che valgono ciascuno 10 in più dei primi due: 40 = 5 × … + 20

-  Analisi del compito:- Procedere per tentativi non organizzati, che permettano di arrivare alla

soluzione.Oppure:- Capire che i vasi grandi contengono lo stesso numero di bulbi e che anche i

vasi piccoli contengono uno stesso numero di bulbi diverso dal precedente - Capire che nei vasi grandi ci saranno almeno 11 bulbi, poiché ci sono 10

bulbi in più di quelli contenuti nei vasi piccoli - Organizzare una ricerca sistematica. Iniziare a mettere nei vasi grandi 11

bulbi, nei due grandi ci sono quindi 22 bulbi. Togliere dal totale 40 i 22 bulbi, poiché il risultato 18 si può dividere per 3, concludere che si possono mettere 6 bulbi in ogni vaso piccolo. La soluzione non è però valida, perché tra 6 e 11 non c’è la differenza di 10.

- Provare allora con 12 poi con 13, ma accorgersi che nei due casi il numero dei bulbi che restano non è divisibile per 3.

- Provare con 14 e trovare che i bulbi che restano sono 12, che è divisibile per 3, quindi in ogni vaso piccolo si possono mettere 4 bulbi. La soluzione è valida perché la differenza tra le quantità di bulbi contenute nei due tipi di vaso è 10.

- Continuare nella ricerca per essere sicuri che non ci siano altre soluzioni, oppure fermarsi qui osservando esplicitamente che aumentando il numero di bulbi, la differenza sarà sempre maggiore di 10.

Oppure: comprendere che togliendo 10 bulbi da ciascuno dei vasi grandi,

restano 40 – 20 = 20 bulbi da dividere in 5 vasi. Dedurne che ci sono 4 bulbi in ogni vaso piccolo e 14 in ogni vaso grande.

Cat. 4

Cat. 5

Cat. 5

Cat. 4

Attribuzione dei punteggi:4 Risposta corretta (14 bulbi nei vasi grandi e 4

bulbi nei vasi piccoli) con procedura esplicitata o con i dettagli dei tentativi che dimostrano che si è organizzata una ricerca sistematica che assicuri l’unicità della soluzione

3 Risposta corretta, ma con procedura poco chiara o insufficientemente esplicitata o sola verifica

2 Procedura corretta, ma un errore di calcolo o risposta corretta senza alcuna spiegazione

1 Inizio corretto di ricerca 0 Incomprensione del problema

22.II.04

Points attribués 0 1 2 3 4 Nb.

classes moy

Cat 3 127 (31%)

32 (8%)

69 (17%)

81 (20%)

101 (25%) 410 1.99

Cat 4 86 (16%)

31 (6%)

73 (14%)

127 (24%)

215 (40%) 532 2.67

Cat 5 72 (13%)

19 (3%) 50 (9%) 169

(30%) 249 (45%) 559 2.9

Total 285 (19%)

82 (5%)

192 (13%)

377 (25%)

565 (38%) 1501 2.57

Procedure, ostacoli ed errori rilevati

Evoluzione significativa delle procedure di risoluzione dalla

categoria 3 alla categoria 5.

- Nel caso degli allievi più giovani si vedono dei disegni e

delle addizioni del tipo 4 + 4 + 4 + 14 + 14 che sono

delle verifiche, probabilmente dopo tentativi successivi.

- Nel caso degli allievi più grandi, la frequenza delle

sottrazioni di 20 seguite da una divisione per 5 aumenta sensibilmente.

Dalla Banca di Problemi:

Indicazioni didattiche Problema tipico (e piuttosto frequente per il RMT) di scomposizione di

un numero (40) in somma di termini (5) da determinare, conoscendo

una relazione tra loro (+10).

I giovani allievi, che non hanno ancora nozioni di algebra, possono

procedere per tentativi successivi. E’ allora interessante dibattere

sull’organizzazione di questi tentativi al fine di limitarli.

Se gli allievi procedono con un ragionamento deduttivo che considera

già la relazione fra i diversi termini (+10) si avvicinano al modello

algebrico in quanto fanno intervenire un numero momentaneamente

indeterminato.

L’interesse è allora quello di far esplicitare questi termini. Per esempio

considerare “tre numeri piccoli e due che valgono 10 di più equivale a

5 numeri piccoli e due volte 10, o 20 … ” cosa che permette di far

intervenire il complemento di 20 rispetto a 40, poi una divisione per 4

per arrivare a trovare che i tre numeri piccoli valgono 4 e i grandi 14.

L’interesse didattico del problema risiede nel confrontare le due

procedure, i loro vantaggi e i loro inconvenienti. Si può approfittare

dell’occasione per confrontare le diverse scritture, esclusivamente

additive o con moltiplicazioni, per far osservare le proprietà

(associatività, commutatività, distributività – evidentemente senza

utilizzare tali termini).

LA TORTA DI NONNA LUCIA (CAT.4,5,6) 22°, II, 6

Nonna Lucia ha preparato una torta rettangolare al cioccolato per la merenda dei suoi nipoti Luca, Carlo, Sara e Maria. Per darne una fetta ciascuno la divide in questo modo

Luca e Carlo non sono contenti perché pensano che Sara e Maria abbiano i due pezzi più grandi. Sara e Maria sostengono invece che ognuno ha ricevuto la stessa quantità di torta. Chi ha ragione? Mostrate come avete trovato la vostra risposta.

Cat. 4

Cat. 4

Cat. 4

Cat.5

LA  TORTA  DI  NONNA  LUCIA  (22,II,6)  (cat.  4,5,6)  un  esempio  di  cat.6  

un esempio di cat.6

Questo è il giardino del signor Torquato: Nella parte grigia egli ha piantato fiori e ha seminato a prato la parte bianca. Il signor Torquato osserva il suo giardino e si chiede: «Sarà maggiore la parte con i fiori o quella con il prato?» E voi che cosa ne pensate? Spiegate la vostra risposta.

Il giardino del signor Torquato

Elaborati analizzati (109 classi di scuola primaria) :

39 di classe terza 70 classi di quarta

Le classi hanno partecipato al Rally nelle Sezioni di Parma e Svizzera Romanda

Procedure risolutive procedure Il prato

(bianca) I fiori (grigia)

equivalenza Totale cat.3

Totale cat. 4

I dati sono espressi in percentuale su 39 elaborati di cat. 3 70 elaborati di cat. 4

•  E’ il prato, misura 38 cm e la parte grigia misura 18,6 cm. (cat. 3)

F

• La parte bianca è la più grande. La parte grigia misura 14 cm. La parte bianca misura 32. (cat.4)

• La parte più piccola è la parte dei fiori che fa 12 cm, la parte più grande è la parte a prato che fa 35 cm e 50 mm. (cat.3)

Il perimetro della parte bianca è compreso tra 35 e 37, quello della parte grigia tra 15 e 17

P

L’analisi dei risultati mette in evidenza anche che

gli allievi hanno in nuce il concetto di area quando pensano a sovrapporre o a

pavimentare le zone o a fare suddivisioni (46,3% in terza e 50% in quarta)

ma lo «perdono» nel momento in cui vogliono esprimere il risultato con misure,

anche quando non sono richieste come nei confronti di superfici.

Il giardino del signor Torquato

Tale ostacolo si manifesta quando un allievo

“ … deve differenziare sullo stesso oggetto fisico o su una rappresentazione geometrica le grandezze caratterizzate da una sola dimensione da quelle bidimensionali ”

Jaquet, F.: 2000, Il conflitto area-perimetro L’Educazione Matematica

L’analisi dei risultati mette in evidenza il cosiddetto

conflitto area-perimetro

Il giardino del signor Torquato

L’insegnante ha un ruolo fondamentale per la buona riuscita dell’utilizzo dei problemi:

egli dovrebbe dopo la gara (il più presto possibile)

•  riprendere l’analisi dei problemi con gli allievi

•  rilanciare in caso di difficoltà non superate

•  validare e valutare

•  generalizzare, istituzionalizzare, per assicurarsi

che l’attività sia utile per costruire o rafforzare

conoscenze matematiche.