Ambiente 2

Lugo, 10 settembre 2015 1

Griglie di numeri

Unità 4 della Collana ArAl

La griglia 10×10

Lugo, 10 settembre 2015 2

La griglia 10×10: le ‘regole’

Lugo, 10 settembre 2015 3

La griglia 10×10 incompleta e i percorsi

Lugo, 10 settembre 2015 4

Esempi di percorsi: Da 21 a 55 •  21+10+10+10+1+1+1+1 •  21+10×3+1×4 •  21+30+4 •  21+34 •  21+1+1+1+1+10+10+10 •  21+1×4+10×3 •  21+4+30 •  21+11+11+11+1 •  21+11×3+1 •  21+33+1 •  21+1+11+11+11 •  …

La griglia 10×10: le isole

Lugo, 10 settembre 2015 5

63+9×2-11-10

63+9×2-11×1-10×1 63+18-11-10

La griglia 10×10, l’isola di Peter Pan

Lugo, 10 settembre 2015 6

Esplorando la griglia 10×10 (parte 1)

Lugo, 10 settembre 2015 7

I II III IV V VI VII VIII IX X

I

II

III

IV

V

VI

VII

VIII

IX

X

La cifra delle decine è rappresentata dal numero della riga meno 1: 8=9-1.

La cifra delle unità è rappresentata dal numero della colonna meno 1: 7=8-1.

Individuare le relazioni fra le cifre di un numero e i numeri di riga e colonna del relativo incrocio.

87

Esplorando la griglia 10×10 (parte 2)

Lugo, 10 settembre 2015 8

I II III IV V VI VII VIII IX X

I

II

III

IV

V

VI

VII

VIII

IX

X

Quale numero si trova all’incrocio fra l’ottava riga e la terza colonna?

72

43 dove si trova? Nell’incrocio fra la quinta riga e la quarta colonna

Esplorando la griglia 10×10 (parte 3)

Lugo, 10 settembre 2015 9

43=40+3 43=4×10+3 43=(5-1)×10+(4-1)

72=(8-1)×10+(3-1) ↓

generalizziamo ↓

n=(r-1)×10+(c-1) ↓

n=(r-1)×d+(c-1)

Rappresentiamo 43 e 72 in modo da esprimerli n funzione dei numeri di righe e colonne.

I II III IV V VI VII VIII IX X

I

II

III

IV

V

VI

VII

VIII

IX

X

Cosa succede con la griglia 8×8? (parte 4)

Lugo, 10 settembre 2015 10

I II III IV V VI VII VIII

I

II

III

IV

V

VI

VII

VIII

n=(r-1)×d+(c-1)

52=(7-1)×8+(5-1) 52=6×8+4

39=(5-1)×8+(8-1) 39=4×8+7

↓ n(8)=(r-1)×8+(c-1)

Applichiamo la regola generale per rappresentare 52 e 39 in funzione dei numeri di righe e colonne.

Verifichiamo la formula con una griglia 5×5 (parte 5)

Lugo, 10 settembre 2015 11

n=(r-1)×d+(c-1)

13=(3-1)×6+(2-1) 13=2×6+1

34=(6-1)×6+(5-1) 34=5×6+4

↓ N(6)=(r-1)×6+(c-1)

I II III IV V VI

I II

III

IV V

VI

Un numero di una griglia di dimensioni qualsiasi è la somma fra il prodotto dell’antecedente del numero della riga con la dimensione della griglia e l’antecedente del numero della colonna.

Esplorazione di griglie di dimensioni differenti

Lugo, 10 settembre 2015 12

v 5×5 6×6 8×8 10×10

!

"

#

$

%

&

' (

Giancarlo Navarra, TFA Modena, 12-13 giugno 2014 13

+1 +1 +1 +1

-1 -1 -1 -1

+5 +6 +8 +10

-5 -6 -8 -10

Verso la generalizzazione

+4 +5 +7 +9

-4 -5 -7 -9

+6 +7 +9 +11

-6 -7 -9 -11

v 5×5 6×6 8×8 10×10 nxn

!

"

#

$

%

&

' (

Giancarlo Navarra, TFA Modena, 12-13 giugno 2014 14

+1 +1 +1 +1

-1 -1 -1 -1

+5 +6 +8 +10

-5 -6 -8 -10

+4 +5 +7 +9

-4 -5 -7 -9

+6 +7 +9 +11

-6 -7 -9 -11

+1

-1

+n

-n

Verso la generalizzazione

v 5×5 6×6 8×8 10×10 nxn

!

"

#

$

%

&

' (

Giancarlo Navarra, TFA Modena, 12-13 giugno 2014 15

+1 +1 +1 +1

-1 -1 -1 -1

+5 +6 +8 +10

-5 -6 -8 -10

+(5-1) +(6-1) +(8-1) +(10-1)

+1

-1

+n

-n

-(5-1) -(6-1) -(8-1) -(10-1)

+(5+1) +(6+1) +(8+1) +(10+1)

-(5+1) -(6+1) -(8+1) -(10+1)

+(n-1)

-(n-1)

+(n+1)

-(n+1)

-n+1

-n-1

Rappresentazione canonica e non canonica

di un numero

Verso la generalizzazione

La griglia 10×10, completare frammenti

Lugo, 10 settembre 2015 16

24+1 25

13

23

33 34 35

14 15

a+1

24+11

a+11

La griglia 10×10, riordinare caselle sparse

Lugo, 10 settembre 2015 17

Procedendo nella generalizzazione

Lugo, 10 settembre 2015 18

10×10 n×n

a

a-9

a+1

a-11

a+9

a

a+10-1

a+n-1

a-(10+1)

a-(n+1)

a-(10-1)

a-(n-1)

a+1

La griglia n×n, riordinare caselle sparse

Lugo, 10 settembre 2015 19

John Mason Researching your own practice: the discipline of noticing

“Ogni professionista, indipendentemente dall'ambito in cui opera, desidera saper cogliere le possibilità, essere sensibile alle situazioni e rispondere in modo appropriato. Ma ciò che si considera appropriato dipende da ciò a cui si attribuisce valore, che dipende a sua volta da ciò che si è capaci di notare. !

Microsituazioni e microdecisioni

Lugo, 10 settembre 2015, 20

! Nel caso dell’insegnante notare ciò che gli alunni fanno o come rispondono, valutare ciò che dicono anche contro le proprie aspettative e i propri criteri di valutazione e considerare ciò che potrebbe essere detto o fatto in seguito. È sin troppo ovvio dire che non si può intervenire su ciò che non si nota; non si può scegliere di fare qualcosa se non si ravvisa l'opportunità di farlo.”

Microsituazioni e microdecisioni

Lugo, 10 settembre 2015, 21

Le questioni allora sono: Cosa dovrebbe notare l’insegnante? Chi insegnerebbe a notare questo cosa?

La metodologia dei diari pluricommentati intende fornire un contributo in questa direzione, potenziando la sensibilità degli insegnanti verso il cosa notare. Costruendo insegnanti metacognitivi che favoriscano lo sviluppo di studenti metacognitivi.

Microsituazioni e microdecisioni

Lugo, 10 settembre 2015, 22

La Metodologia delle Trascrizioni Multicommentate (MTM)

Lugo, 10 settembre 2015, 23

altri docenti o ricercatori

docente

E-tutor

Diari inviati a ricercatori e docenti ArAl e poi messi in rete

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260 diari 5000 commenti

NCTM (National Council of Teachers of Mathematics, USA) Fig. 3.1. The Content Standards should receive different emphases across the grade bands.

Giancarlo Navarra, TFA Modena, 12-13 giugno 2014 24

Sviluppo dei contenuti matematici

Dal pensiero prealgebrico al pensiero algebrico

Balbettio algebrico

Lugo, 10 settembre 2015, 25