INVIATA SSIS Tesina Michele Antenucci Menghini

Michele Antenucci SSIS Fisica - Matematica - Informatica (A049 – A038) VII ciclo, II Anno, II SemestreRelazione sul modulo: L. Sv. Curr. St. d. Mat. (Prof.ssa M. Menghini)

“L’idea di verità in matematica e nelle scienze: il caso delle Geometrie non euclidee.” (da O.S.A. per il quinto anno)

Proposta di percorso finalizzato all’uso di elementi di storia della Matematica

in chiave didattica

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1. Introduzione: idea, motivazioniScopo della presente relazione è presentare un possibile percorso, concreto, per una unità didattica (o modulo, a

seconda dei tempi) di Matematica, la cui caratterizzazione essenziale risieda nell’ uso di elementi di storia della

disciplina in chiave puramente didattica. Si tratta di un percorso, certamente schematico, che riprende un segmento di

quanto proposto nel corso di Lab. Sv. C. St. Mat. Nel caso specifico il mio gruppo ha trattato geometria nel triennio

(Geometrie non euclidee con collegamenti a riflessioni storico epistemologiche su logica, teorie formali, crisi dei

fondamenti). La base su cui si è avviato il discorso è costituita dai nuclei OSA per il quinto anno, e per quanto

possibile abbiamo cercato di toccare tutti i punti fondamentali lì segnalati. Nel segmento qui proposto invece

dettaglierò un percorso didattico limitatamente all’ item

“L'idea di verità in matematica e nelle scienze: il caso delle geometrie non euclidee”

E’ un nucleo fortemente orientato in senso transdisciplinare, filosofia, storia, matematica appunto. Come tale è

amplificabile fino ad offrire materiale per dei percorsi assai impegnativi in termini organizzativi (orario richiesto molto

elevato ad esempio), e di auto-aggiornamento. Su questo ultimo aspetto è bene richiamare di continuo l’ attenzione; la

tematica storico- filosofica (ed epistemologica in sintesi) in matematica è assai di rado affrontata da docenti. Questo è

retaggio anzitutto di una modalità di insegnamento ricevuta in Università, dove il problema di una Matematica

“astorica”, priva di memoria e di dimensione evolutiva (che non sia quella puramente lineare per accrescimento) ha

come conseguenza che molti laureati non abbiano mai seguito seminari di storia della propria disciplina e spesso non

conoscano nulla dei travagli intellettuali che generazione dopo generazione hanno consentito di raggiungere il livello di

conoscenza che si da ormai per scontato….Ma al di là di ciò, a noi qui interessa ribadire il concetto di fondo: per

affrontare un percorso coerente con gli OSA di quinto anno è necessario che gli insegnanti abbiano una forte

propensione allo studio e aggiornamento personale. A rimettersi in discussione, in fondo.

Tornando al nostro tema occorre da subito dire che l’ obiettivo rimane pur sempre quello di insegnare Matematica . L’

utilizzo a scuola della storia della disciplina deve essere funzionale anzitutto a questo. Elementi di storia quindi. E

tuttavia il contenuto formativo dell’ OSA proposto è veramente di ampio respiro. La parte “puramente” matematica è

costituita da una trattazione elementare ma completa delle geometrie non euclidee. Questo è a mio avviso uno di quei

pochi casi in cui l’ uso della storia è pressoché obbligato: le geometrie non euclidee sono di fatto l’ approdo

sconvolgente di un travaglio durato 20 secoli! Non credo possibile rendere comprensibile (proprio sul piano

matematico) a dei ragazzi di 18 anni il tema in esame se non lo si pone in una narrazione, in una “storia” del problema

cioè. E’ una felice sintesi che conduce, anche qui in modo quasi obbligato, a considerazioni essenziali su argomenti

matematici mai o quasi mai affrontati a scuola: la verità matematica, sue possibilità e limiti, ad esempio. Ora, da

Euclide a Saccheri passano 2000 anni. Venti secoli in cui si è certi nel modo più assoluto immaginabile che l’ edificio

della conoscenza assoluta richieda solo che si metta a posto una piccola pietra storta alla base di un muro portante…

Non vi è nulla di opponibile come dubbio alla splendida costruzione della geometria greca: questa è ovvia, rigorosa,

intuitiva, concreta eppure assolutamente astratta da ogni contaminazione con oggetti reali. Kant dirà che è “sintetica a

priori”. Gli studenti hanno apprezzato tutto ciò in uno studio ben fatto di geometria al primo biennio. La potenza del

pensiero ipotetico-deduttivo, lo scorrere di definizioni teoremi, corollari…tutti basati su postulati e assiomi (pochi si

spera) assolutamente evidenti.. E’ qui che l’ azione didattica deve innestarsi narrando i tentativi di “emendare” la

splendida costruzione di Euclide….per poi chiudere definitivamente la questione. Si ha a che fare con la verità, non una

cosa da poco. Esplicare nel dettaglio cosa c’ è di “stonato” nell’ insieme dei postulati di Euclide da indurre per secoli i

matematici a cercare di sistemare il tutto. Ora, occorre nella pratica didattica saper correttamente alternare la parte più

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puramente formale del tema e quella più storico- critica. Tuttavia l’ uso appropriato di brani antologici consente una

sintesi delle due fasi con, a mio avviso, risultati di apprendimento di tutto rispetto. La parte tecnica non riserva in sé

grandi difficoltà. La più grande è piuttosto quella della controintuitività dei risultati ottenuti. In una scuola superiore, e

oltre, la non intuitività dei risultati è quasi automaticamente sinonimo di falsità. Un opportuno approccio a geometrie

non euclidee può essere enormemente facilitato presentando esempi semplici e concreti di non validità di risultati

assolutamente “ovvi”. Ad esempio far vedere che la somma degli angoli di un triangolo può essere maggiore di due

angoli retti (sulla sfera basta prendere il triangolo sferico opportuno). Le obiezioni a tali argomenti possono essere e

saranno tante e tuttavia introdurre concretamente immagini reali di confutazioni eclatanti aiuterà certamente il docente

ad introdurre correttamente l’ argomento. Due sono i percorsi che si possono intraprendere a questo punto. Il primo

punta ad una esposizione opportunamente dettagliata delle geometrie non euclidee e dei loro modelli. Questa parte è

effettivamente la più matematica, L’aspetto didattico più rilevante risiede nello studio dei teoremi classici di geometria

euclidea non più validi in quelle non euclidee. L’altro segmento può riguardare una più attenta riflessione sul carattere

“discriminatorio” di alcuni assunti di base in teorie assiomatiche. E’ consigliabile ad esempio fare cenni alla ipotesi del

continuo, e alla sua indecidibilità, come un analogo per la teoria degli insiemi del V postulato di Euclide. Lo si accetti o

meno implica il decidere tra due teorie degli insiemi assolutamente coerenti e differenti tra loro (la cantoriana e la non

cantoriana). Questo è il segmento che più si presta ad estensioni multidisciplianri e culturalmente rilevanti, anche in

linea con l’ OSA specifico e l’ idea di fondo che vi è sotto. La parte più avanzata del percorso potrà infatti riguardare un

certo sviluppo in dettaglio del concetto di verità in ambito scientifico. La concezione fallibilista della scienza e il

popperismo saranno canali privilegiati con il collega di filosofia. La critica all’ idea stessa di “fondamento” della

matematica potrà emergere in tutta la sua forza solo se il percorso potrà svilupparsi abbastanza a fondo e nel tempo e

nella buona riuscita con gli uditori.

2. Il progetto in sintesi

Argomento: Geometrie non euclidee: una rivoluzione del concetto di verità. La verità nelle scienze. Classe: Quinto anno di un Liceo Scientifico (o classico) di Ordinamento Tempo previsto : 25 ore Prerequisiti matematici

- Geometria euclidea (così come svolta nel primo biennio) Prerequisiti multidisciplinari

- Elementi di storia della matematica greca (in particolare della visione che di questa aveva Platone. Euclide altro non è che la sintesi della matematica dell’ Accademia)

- Kant: la sintesi della conoscenza raggiunta

Obiettivi matematici: - Conoscenza del problema del V postulato. Comprensione del perché esso è stato sempre

visto come problema.- Storia dei tentativi di soluzione.- Saccheri. Originalità del suo contributo (negazione del postulato e deduzione sistematica di

tutta una serie di risultati)- Gauss, Lobachevskij, Bolyai : sistemi di “geometrie” assolutamente controintuitivi ma

coerenti- Il valore epistemologico del V postulato: discrimina non tra verità e falsità della geometria,

ma tra una geometria ed un’ altra. Perdita dell’ unicità della geometria.- La verità perde carattere di assoluto e si “relativizza” rispetto al sistema che si considera:

verso la verità come non contraddittorietà (indebolimento del concetto)- La verità nelle scienze esatte: esistenza di ipotesi in fisica con lo stesso statuto

epistemologico del V postulato

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Obiettivi trans-disciplinari (da concordarsi con gli altri docenti, qui uno schema): - Kant ultimo filosofo dell’ epistème- Il sorgere della concezione fallibilista della conoscenza (scientifica e non solo)- Per il Liceo Classico : analisi della lingua e del linguaggio tecnico euclideo in rapporto allo

stesso usato nei testi moderni di matematica.

Bibliografia di supporto:

PERCORSO DIDATTICO E CONTENUTI (traccia per il docente)

Gli Elementi di Euclide

Traccia del percorso1. Collocazione storica dell’ autore. Breve excursus sull’ Accademia e la ricerca matematica in

essa svolta2. Analisi della struttura degli Elementi. In particolare si ponga attenzione ad assiomi e

postulati, e all’ uso assai tardo che del V viene fatto.

I tentativi per emendare il tutto…..

Traccia del percorso

1. Brevi cenni ai commentari di Proclo, e agli Arabi

2. Saccheri. La sua importanza. La sua originalità. Evidenziare come il ragionamento per

assurdo introduca di fatto i primi teoremi di geometria iperbolica. Insistere sulla equivalenza

di formulazioni alternative del V postulato.

3. Klugel e altri

Il fallimento e la rinascita , Gauss, Lobacevskij , Boliay


1. Gauss e la presa d’ atto del carattere “empirico” della geometria. Lettura di passi dell’

epistolario di Gauss.

2. I primi “sistemi” di geometria che negano il V postulato: Lobacevskij e Bolyai

3. Insistenza sulla non contraddittorietà dei nuovi sistemi, al di là della loro controintuitività.

4. Presentazione del modello iperbolico. I teoremi che valgono ancora in esso e i teoremi che

non valgono più.

5. Presentazione del modello “euclideo” di Poincarè.

La “perdita della certezza” in Matematica e nella scienza


1. Brevi cenni alla scarsa fortuna che le geometrie non euclidee hanno avuto per circa 70, 80

anni.

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2. La ricerca dei fondamenti nell’ aritmetica e nella logica. Frege. Peano e l’ assiomatizzazione

degli interi.

3. La crisi del fondamento logico: Bertrand Russell.

4. Il formalismo di Hilbert. La metamatematica. Perdita dell’ aspetto semantico delle teorie

matematiche.

5. La crisi definitiva: i teoremi di Goedel. Incompletezza delle teorie formali. Insistere sull’

impossibilità per una teoria matematica formalizzata di dimostrare la propria non

contraddittorietà.

6. La perdita della “certezza” in fisica: crisi del determinismo in fisica, cenni alla meccanica

quantistica

7. Concezione fallibile del conoscere: la provvisorietà e il carattere congetturale delle teorie

scientifiche: Karl Popper.

3. Bibliografia e risorse per approfondimenti

I. Kant “Critica della Ragione Pura “

Morris Kline “Matematica, la perdita della certezza”, Arnoldo Mondadori editore, 1985

Marco Borga, Dario Palladino “Oltre il mito della crisi” Editrice la Scuola, 1997

BOYER Carl, “Storia della matematica”, Arnoldo Mondadori, Milano, 1980

Michele Antenucci

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