Introduzione

alla Cosmologia

Introduzione all’AstrofisicaAA 2014/2015

Prof. Alessandro MarconiDipartimento di Fisica e Astronomia

Università di Firenze

Dispense e presentazioni disponibili all’indirizzohttp://www.arcetri.astro.it/„marconi

Ultimo aggiornamento: 23 luglio 2015

1 Introduzione: le osservazioni fondamentali

La Cosmologia studia la struttura e l’evoluzione dell’Universo osservabileutilizzando le leggi della Fisica cos̀ı come sono state dedotte dalle esperienzecondotte sulla Terra.

Non esistono però indicazioni che queste leggi debbano essere valide sugrandi scale, ovvero su scala cosmica. La Cosmologia è quindi anche un modoper verificare le leggi della Fisica in un contesto spaziale (e temporale) moltopiù ampio di quello in cui sono state dedotte.

La Cosmologia ha una particolarità molto importante rispetto agli altrirami della Fisica: non è possibile riprodurre le misure, ovvero ripetere lemisure su altri sistemi fisici simili a quello oggetto di studio. L’Universoè unico e gli altri Universi, se anche esistessero, non sarebbero osservabili.Pertanto non confideremo mai alcuna proprietà dell’Universo come tipica.

Le osservazioni in Cosmologia sono estremamente difficili perchè la granparte dell’Universo è estremamente distante: le sorgenti sono molto deboli.Questo spiega perchè la nostra conoscenza dell’Universo si è sviluppata inparallelo con lo sviluppo di grandi telescopi e rivelatori sensibili. La nostraconoscenza attuale è fondata sui telescopi della classe degli 8 metri, e suisatelliti di ultima generazione in X, infrarosso e sub-millimetrico.

La caratteristica più importante delle osservazioni cosmologia è la velocitàfinita della luce: quando osserviamo una sorgente a distanza D, la osserviamoin uno stadio evolutivo in cui era più giovane di adesso di ∆t “ pD{cq. Quin-di possiamo osservare lo stato attuale dell’universo solo localmente. Però,sempre grazie alla velocità finita della luce, è possibile osservare nel passato.Alla distanza di 10 miliardi di anni luce, le galassie sono osservate in unostadio evolutivo in cui avevano meno di un terzo dell’età attuale. Pertanto,anche se non potremo mai studiare il passato di una galassia come la ViaLattea, potremo però identificare galassie simili alla Via Lattea ma in stadievolutivi diversi.

Supponiamo di essere in uno spazio Euclideo (in cui lo spazio è descrittodalla geometria basata sui postulati di Euclide); se siamo collocati nell’origine~x “ 0 al tempo attuale t “ t0, allora possiamo solo osservare eventi nellospazio tempo per i quali |~x| “ cpt0 ´ tq. Non è possibile osservare un eventoarbitrario p~x, tq nello spazio tempo. Il fatto di poter osservare solo sorgenticollocate nel nostro cono di luce passato implica che le nostre possibilitàdi osservare l’universo sono estremamente limitate. Pertanto, noi saremoin grado di comprendere la struttura dell’Universo combinando osservazionie modelli teorici solo se questa è molto semplice. Fortunatamente, sembraproprio che sia cos̀ı.

1

Le osservazioni fondamentali su cui il nostro modello di universo è fondatosono:

• il paradosso di Olbers, ovvero il cielo di notte è buio;

• su grandi scale, le galassie sono distribuite uniformemente in cielo;

• esiste una radiazione cosmica di fondo nelle microonde (Cosmic Mi-crowave Background, CMB) con intensità isotropa e rimarchevolmenteomogenea con fluttuazioni dell’ordine di „ 10´5; lo spettro della CMBè quello di un corpo nero con T0 “ 2.728˘ 0.004K;

• gli spettri delle galassie presentano un redshift (spostamento versoil rosso delle righe spettrali), che è proporzionale alla distanza dellagalassie stesse (legge di Hubble);

• gli ammassi globulari più vecchi della nostra galassia hanno un’età di„ 12 Gyr;

• in quasi tutti gli oggetti cosmici (stelle, nubi di gas, ecc.) la frazione inmassa di Elio è „ 25´ 30%.

Vediamo adesso come alcune di queste osservazioni sono incompatibili conl’assunzione che l’universo sia infinito, statico e che sia esistito da sempre.

1.1 Il paradosso di Olbers

Sia n‹ la densità media di stelle nell’universo, costante nello spazio e neltempo, e sia R‹ il loro raggio medio. Consideriamo una shell sferica di raggior e spessore dr centrata su di noi: questa contiene n‹dV “ 4πr2n‹dr stelle.Ciascuna sottende un angolo solido πR2‹{r2, come vista da noi, per cui lestelle nella shell sottendono un angolo solido totale

dω “ 4πr2n‹drπR2‹r2

“ 4π2n‹R2‹dr (1)

dω non dipende da r. L’angolo solido sotteso complessivamente dalle stellein cielo è pertanto

ω “ż 8

0

dω

drdr “ 4π2n‹R2‹

ż 8

0

dr (2)

questo integrale diverge. Il motivo della divergenza è che non abbiamo tenutoconto del fatto che i dischi stellari si sovrappongono tra loro sulla sfera celeste.Se si tien conto di questo, allora per r Ñ 8, ω Ñ 4π. Ovvero l’angolo solido

2

Figura 1: Proiezione supergalattica delle galassie rivelate dalla survey 2MASS (2Micron All Sky Survey). I colori delle galassie indicano la loro magnitudine K:blu per K ă 10, verde per 10 ă K ă 12.5 e rosso per le galassie più deboliK ą 12.5. Il superammasso locale si estende lungo l’equatore della proiezione (laproiezione supergalattica è definita proprio in riferimento al piano di simmetriadel superammasso locale). La Via Lattea è indicata con la fascia celeste.

di cielo che noi vediamo coperto da stelle è 4π. Ogni linea di vista incontraprima o poi una stella. Poiché la brillanza superficiale si conserva, lungo ognidirezione abbiamo una brillanza superficiale pari a quella dell’atmosfera diuna stella media. Tutto il cielo dovrebbe quindi avere la brillanza di unasuperficie di una stella, con una temperatura efficace di qualche migliaio digradi Kelvin. Questo è il paradosso di Olbers. Poiché questo non avvieneo l’universo è finito o ha un’estensione finita. Nel primo caso non ci sonoabbastanza stelle nell’universo finito per ricoprire il cielo, nel secondo solo laluce di alcune stelle ha fatto in tempo a raggiungerci.

Nel caso in cui l’universo abbia un’età finita, questa deve essere di almeno12 miliardi di anni, ovvero maggiore o uguale dell’età degli ammassi globularipiù vecchi.

1.2 La struttura a grande scala delle galassie

La figura 1 mostra la distribuzione sulla sfera celeste delle galassie nell’u-niverso locale. Sono presenti strutture che sono identificabili con ammassi,filamenti e vuoti. Tuttavia, quando si misura il numero medio di galassie sugrossi volumi spaziali, questo diventa rimarchevolmente costante, indipen-

3

Figura 2: Mappa delle fluttuazioni della radiazione cosmica di fondo ottenuta dalsatellite Planck: l’ampiezza delle fluttuazioni di intensità mostrate in figura è disoli ∆I{I „ 10´5 (rms). Queste fluttuazioni corrispondono a variazioni dellatemperatura di corpo nero della radiazione che sono ovviamente un fattore 4 piùpiccole.

dentemente dalla posizione di riferimento. Si trova che la distribuzione digalassie in cielo è omogenea e isotropa su scale superiori ai „ 20 Mpc (siricordi che le dimensioni tipiche di un ammasso di galassie sono „ 1 Mpc).

1.3 La radiazione cosmica di fondo

La CMB fu scoperta nel 1965 da Penzias e Wilson nel corso di uno studiovolto a caratterizzare le cause del rumore di fondo che disturbava le trasmis-sioni transoceaniche. La radiazione cosmica di fondo è un’emissione diffusaproveniente da tutte le direzioni dello spazio e rimarchevolmente omogenea eisotropa. L’intensità presenta piccole fluttuazioni dell’ordine di ∆I{I „ 10´5(rms). La mappa a tutto cielo di queste fluttuazioni ottenuta recentemen-te dal satellite Planck è riportata i figura 2. Lo spettro della radiazionecosmica di fondo è quello di un corpo nero con una temperatura media diT0 “ 2.728 ˘ 0.004 K; le deviazioni dallo spettro di corpo nero sono quanti-ficabili in ∆Iν{Iν ď 3 ˆ 10´5 e |µ| ď 10´4, dove µ rappresenta il potenzialechimico nelle distribuzioni di Bose-Einstein o Fermi-Dirac (ovvero l’esponen-te a denominatore è hν{kT ` µ; per il corpo nero si deve ovviamente avereµ “ 0). La CMB fornisce l’esempio più preciso noto di radiazione di cor-

4

po nero. Le fluttuazioni in intensità osservate corrispondono a variazionedi temperatura che sono ovviamente un fattore 4 più piccole (ricordare cheF “ πI “ σB T 4).

1.4 La legge di Hubble

Negli anni ’20 Edwin Hubble condusse uno studio sistematico degli spettridelle galassie e trovò che le lunghezze d’onda delle transizioni atomiche emolecolari presenti negli spettri erano sistematicamente più grandi dei valoridi laboratorio, ovvero erano sistematicamente spostate verso il rosso (redshif-ted); il redshift z cos̀ı definito era proporzionale alla distanza D delle galassie.Hubble trovò che

z “ λoss ´ λemλem

“ αD (3)

con oss e em valori osservati e emessi. Interpretando il redshift come effettoDoppler, si poteva ottenere una relazione tra la velocità di recessione dellegalassie Vgal e la loro distanza

Vgal “ cz “ pαcqD “ H0D (4)H0 è nota con il nome della costante di Hubble e misure recenti la pongonouguale a H0 » 70 km s´1 Mpc´1. La legge di Hubble indica che tutte legalassie si allontanano da noi con una velocità radiale che è proporzionale alladistanza ma indipendente dalla direzione verso cui facciamo le osservazioni:per esempio una galassia distante 10 Mpc si allontana da noi con una velocitàdi recessione pari a 700 km s´1.

La legge di Hubble indica quindi che l’universo è in espansione uniforme,almeno dal nostro punto di vista. Vedremo tra poco come in realtà questasia una caratteristica comune ad ogni osservatore.

2 Il Principio Cosmologico

Le evidenze trovate fino ad ora suggeriscono che l’universo è omogeneo (den-sità costante), isotropo (proprietà che non dipendono dalla direzione di os-servazione) e in espansione uniforme (tasso di espansione H0 uguale per tuttele direzioni di osservazione). Queste proprietà sono state trovate da un os-servatore particolare (noi) al tempo t “ t0 (quale che sia la scala del tempocosmico).

L’assunzione alla base del modello cosmologico prende il nome di Prin-cipio Cosmologico e consiste nell’indipendenza di queste proprietà dall’os-servatore: qualsiasi osservatore in qualsiasi parte dello spazio e in qualsiasitempo deve ottenere dalle osservazioni gli stessi nostri risultati.

5

Figura 3: Significato della velocità di recessione: lo spazio è rappresentato dallaquadrettatura. Le galassie si mantengono “ferme” nella loro posizione ma l’espan-sione dello spazio da luogo ad una velocità apparente di allentamento. Questavelocità di recessione è osservata indifferentemente da tutte le galassie.

Non è immediato capire il significato dell’espansione e come la legge diHubble possa valere per una qualsiasi osservatore se, apparentemente, noisiamo il centro dell’espansione. In realtà, non esiste alcun centro dell’espan-sione, tutto lo spazio e quindi tutte le distanze in esso misurate si espandonouniformemente nel tempo tali che, considerate due qualsiasi distanze `i e `jmisurate a due qualsiasi tempi t1 e t2 risulti:

`ipt1q`jpt1q

“ `ipt2q`jpt2q

“ costante (5)

6

questo è il significato dell’espansione uniforme: tutte le lunghezze varianodello stesso fattore in un dato intervallo di tempo in modo che il rapportotra due qualsiasi di esse rimanga costante. Poichè nell’espressione appenavista le posizioni e i tempi sono qualsiasi, l’unica possibilità è che esista unafunzione universale del tempo aptq tale che

`ipt2q`ipt1q

“ `jpt2q`jpt1q

“ apt2qapt1q

(6)

la funzione universale del tempo aptq è indipendente dalla posizione e prendeil nome di “fattore di scala”. Il significato dell’espansione è schematizzatoin figura 3 dove lo spazio è rappresentato dalla quadrettature che si espandeuniformemente nel tempo: ogni galassia vede allontanarsi le altre a velocitàcostante: questa non è una vera velocità, perchè tutte le galassie stannoferme nella loro posizione, ma è la conseguenza dell’espansione dello spazio.

Scegliamo un riferimento centrato su di noi e consideriamo una data galas-sia; il modulo del vettore posizione della galassia varia a causa dell’espansionee pertanto la posizione della galassia la possiamo indicare con

~x “ aptq~r (7)

dove abbiamo scelto di indicare con ~r la posizione della galassia al tempot “ t0. Ne risulta che apt0q “ 1. Poiché l’espansione è uniforme la funzioneaptq deve essere la stessa per tutte le galassie e varia solo la loro posizione ~ral tempo t0; aptq è il fattore di scala e ~r rappresenta le coordinate comoventiche identificano univocamente un punto nello spazio indipendentemente daltempo t, ovvero indipendentemente dall’espansione. Derivando membro amembro rispetto al tempo l’equazione 7 si ottiene:

d~x

dt“ 9aptq~r

~v “ 9aptqaptq~xptq

~v “ Hptq~xptq (8)

per t “ t0, ponendo per Hpt0q “ H0, otteniamo la legge di Hubble:

~v “ H0~r (9)

Abbiamo quindi trovato che la costante di Hubble misurata al tempo t è

Hptq “ 9aptqaptq (10)

7

la velocità di recessione è quindi una velocità apparente dovuta all’espansionedell’universo, ovvero ad una variazione del fattore di scala aptq.

Supponiamo di passare ad un osservatore O1 qualsiasi che si trova a ~xO1 “aptq~rO1 rispetto a noi. La galassia precedente che per noi si trova a ~xptq, perl’osservatore O1 si trova ad una posizione ~x 1ptq tale che

~x 1 “ ~x´ ~xO1~x 1 “ aptq~r ´ aptq~rO1 “ aptq~r 1

~x 1 “ aptq~r 1 (11)

ovvero anche l’osservatore O1 osserva l’espansione dell’universo e una velocitàdi recessione delle galassie.

Il redshift cosmologico. Vediamo di capire adesso qual è l’originedel redshift cosmologico. Consideriamo due osservatori comoventi al tempot la cui separazione è dr sempre in coordinate comoventi. La velocità diallontanamento dovuta all’espansione è dv “ Hptqaptqdr; il tempo impiegatodalla luce a viaggiare dall’uno all’altro è dt “ aptqdr{c. Il fattore di scalaentra in gioco perchè dobbiamo sempre considerare le distanze “proprie”al tempo t non le distanze comoventi che valgono al tempo t “ t0. Gliosservatori “vedono” la legge di Hubble e misurano un redshift dλ{λ “ dz “dv{c. Si ottiene

dλ

λ“ dv

c“ Hptq

captqdr “ Hptq

captq cdt

aptq “9aadt

dλ

λ“ da

a(12)

la cui soluzione è λpaq “ Ca, con C costante. La luce è stata emessa conλ “ λe per t “ te, a “ ae, e osservata con λ “ λoss per toss “ t0, a “ aoss “ 1:imponendo queste condizioni si ottiene C “ λoss e quindi λe “ apteqλoss.Ricordando che p1` zq “ λoss{λe si ottiene infine

1` z “ 1ae

(13)

ovvero il redshift cosmologico altro non è che il fattore di scala della radiazio-ne quando è stata emessa, ed è dovuto all’espansione dell’universo: è come sela lunghezza d’onda dei fotoni venisse “stirata” dall’espansione dell’universo(figura 4).

Cosa si espande? Prima di procedere oltre cerchiamo di rispondere aduna domanda molto importante. Se lo spazio si espande, si espandono anchele galassie, gli atomi e noi stessi? In realtà, lo spazio si espande ma non

8

4.3 Consequences of the Friedmann Expansion

155lecting the vacuum energy density. However, thereare very strong observational indications that in factΛ > 0.

• Models with Ωm +ΩΛ = 1, i.e., K = 0. Such flatmodels are preferred by the so-called inflationarymodels, which we will briefly discuss further below.

A special case is the Einstein–de Sitter model, Ωm = 1,ΩΛ = 0. For this model, t0 = 2/(3H0) ≈ 6.7 h−1 ×109 yr.

For many world models, t0 is larger than the age ofthe oldest globular clusters, so they are compatible withthis age determination. The Einstein–de Sitter model,however, is compatible with stellar ages only if H0 isvery small, considerably smaller than the value of H0derived from the HST Key Project discussed in Sect. 3.6.Hence, this model is ruled out by observations.

It is believed that the values of the cosmologicalparameters are now quite well known. We list them herefor later reference without any further discussion. Theirdetermination will be described in the course of thischapter and in Chap. 8. The values are approximately

Ωm ∼ 0.3 ; ΩΛ ∼ 0.7 ; h ∼ 0.7 . (4.35)

4.3.2 RedshiftThe Hubble law describes a relation between the red-shift, or the radial component of the relative velocity,and the distance of an object from us. Furthermore,(4.6) specifies that any observer is experiencing a localHubble law with an expansion rate H(t) which dependson the cosmic epoch. We will now derive a relationbetween the redshift of a source, which is directly ob-servable, and the cosmic time t or the scaling factor a(t),respectively, at which the source emitted the light wereceive today.

To do this, we consider a light ray that reaches us to-day. Along this light ray we imagine fictitious comovingobservers. The light ray is parametrized by the cosmictime t, and is supposed to have been emitted by thesource at epoch te. Two comoving observers along thelight ray with separation dr from each other see theirrelative motion due to the cosmic expansion accordingto (4.6), dv = H(t) dr, and they measure it as a redshiftof light, dλ/λ = dz = dv/c. It takes a time dt = dr/c for

the light to travel from one observer to the other. Fur-thermore, from the definition of the Hubble parameter,ȧ = da/dt = H a, we obtain the relation dt = da/(H a).Combining these relations, we find

dλλ

= dvc

= Hc

dr = H dt = daa

. (4.36)

The relation dλ/λ = da/a is now easily integrated sincethe equation dλ/da = λ/a obviously has the solutionλ = Ca, where C is a constant. That constant is deter-mined by the wavelength λobs of the light as observedtoday (i.e., at a = 1), so that

λ(a) = a λobs (4.37)(see Fig. 4.10). The wavelength at emission was there-fore λe = a(te)λobs. On the other hand, the redshift zis defined as (1+ z) = λobs/λe. From this, we finallyobtain the relation

1+ z = 1a

(4.38)

between the observable z and the scale factor a which islinked via (4.34) to the cosmic time. The same relationcan also be derived by considering light rays in GR.

The relation between redshift and the scale factor is ofimmense importance for cosmology because, for mostsources, redshift is the only distance information thatwe are able to measure. If the scale factor is a mono-tonic function of time, i.e., if the right-hand side of(4.31) is different from zero for all a ∈ [0, 1], then z isalso a monotonic function of t. In this case, which cor-responds to the Universe we happen to live in, a, t, andz are equally good measures of the distance of a sourcefrom us.

Fig. 4.10. Due to cosmic expansion, photons are redshifted,i.e., their wavelength, as measured by a comoving observer,increases with the scale factor a. This sketch visualizes thiseffect as a standing wave in an expanding box

Figura 4: I fotoni sono spostati verso il ross (redshifted) a seguito dell’espansionedell’universo: la loro lunghezza d’onda aumenta col fattore di scala a. Questoeffetto è qui rappresentato da un’onda stazionaria in una scatola in espansione.

si espandono le “molecole del gas cosmico” ovvero della materia distribuitanell’universo. Gli atomi, la Terra, le stelle non si espandono perchè sonotenuti insieme da forze elettriche e gravitazionali. E una galassia?

Consideriamo una galassia come un sistema sferico di massa MG e raggioRG. Il suo potenziale gravitazionale è » GMG{RG e la velocità di fugavf “ p2GMG{RGq1{2. Inserendo i dati per la nostra galassia (MG „ 1011 Md,RG „ 10 kpc) si ottiene vf{c „ 10´3. D’altra parte, il punto della nostragalassia a distanza RG dal centro dovrebbe seguire l’espansione di Hubblecon una velocità v{c “ H0RG{c » 2ˆ10´6, trascurabile rispetto alla velocitàdi fuga. Questo significa che possiamo effettivamente considerare le galassiecome le molecole del gas cosmico che pervade l’universo.

Per conoscere l’espansione dell’universo dobbiamo quindi conoscere ilfattore di scala aptq.

3 Il modello di universo

Consideriamo un universo omogeneo e isotropo in espansione uniforme riem-pito di gas cosmico con densità ρptq al tempo t. Consideriamo una superficiesferica di raggio r in coordinate comoventi; il suo raggio al tempo t è pertantoxptq “ aptqr. La massa M racchiusa nella sfera è

Mpxq “ 43πxptq3ρptq “ 4

3πr3aptq3ρptq (14)

9

questa massa si deve conservare, e se identifichiamo con ρ0 la densità al tempoattuale t “ t0, ne risulta immediatamente che

ρptq “ ρ0aptq´3

Mpxq “ 43πr3ρ0 (15)

Consideriamo adesso una particella o galassia sulla superficie della sfera diraggio x (particella comovente, ovvero che rimane ferma nella sua posizione esegue l’espansione), è soggetta alla forza di gravità della massaMpxq pertantola sua equazione di moto è semplicemente

:xptq “ ´GMpxqx2

“ ´4πG3

ρ0 r3

x2(16)

ovvero sostituendo x “ aptqr, :x “ :aptqr otteniamo infine l’equazione per aptq

:aptq “ ´4πG3

ρ0aptq2 “ ´

4πG

3ρptqaptq (17)

questa equazione può essere facilmente integrata moltiplicando membro a

membro per 2 9aptq ottenendo

9a2 “ 8πG3

ρ0a´Kc2 “ 8πG

3ρptqaptq2 ´Kc2 (18)

dove ´Kc2 è la costante di integrazione. Da notare che se moltiplichiamomembro a membro per r2{2 otteniamo

vptq2

2´ GMpxq

xptq “ ´Kc2 r

2

2(19)

che significa che l’energia cinetica e l’energia potenziale sono costanti sullasuperficie della sfera di raggio x: questa è proprio l’equazione di conservazionedell’energia.

Si noti come K sia proporzionale all’energia totale della particella como-vente per cui determina la storia dell’espansione ovvero il comportamento diaptq:

• K ă 0, il secondo membro dell’equazione 19 è sempre positivo; siccomeadesso 9apt0q “ H0 ą 0, significa che 9aptq rimarrà sempre positivo,ovvero l’universo si espande per sempre;

• K “ 0, poiché H0 ą 0, l’universo si espande per sempre come nel casoprecedente ma adesso 9aptq Ñ 0 per tÑ 8.

10

• K ă 0, il secondo membro dell’equazione 19 si annulla quando a “amax “ p8πGρ0q{p3Kc2q. Per questo valore di a si ha 9aptq “ 0: l’e-spansione si arresta e in seguito si trasforma in una contrazione per cuil’universo collassa nuovamente.

Nel caso speciale in cui K “ 0, la densità attuale ρ0 assume un valore partico-lare detto densità critica che si può ottenere dall’equazione per 9aptq ponendot “ t0, apt0q “ 1, 9apt0q “ H0

ρcr “3H208πG

“ 9.2ˆ 10´30 g cm´3 (20)

ρcr è una densità caratteristica per l’universo attuale. Pertanto è utile espri-mere la densità attuale riscalandola con la densità critica:

Ω0 “ρ0ρcr

(21)

L’equazione 18 allora diventa:

9a2 “ H20 Ω0aptq ´Kc

2 (22)

Analogamente a prima, si può valutare questa equazione per 9aptq ponendot “ t0, apt0q “ 1, 9apt0q “ H0 e ricavare K ottenendo

K “ H20

c2pΩ0 ´ 1q

Quindi, K ą 0 corrisponde a Ω0 ą 1, K “ 0 a Ω0 “ 1 e K ă 0 a Ω0 ă 1.Ω0, parametro di densità, è il secondo parametro cosmologico fondamentaleche incontriamo dopo H0.

Infine, l’equazione per aptq, detta Equazione di Friedmann, è esprimibilecome

9a2 “ H20„

Ω0aptq ´ pΩ0 ´ 1q

(23)

Le soluzioni di questa equazione nei tre casi Ω0 ă 1 (K ă 0), Ω0 “ 1 (K “ 0)e Ω0 ą 1 (K ą 1), sono schematizzate in figura 5.

Soluzioni analitiche si possono trovare in due casi particolari Ω0 “ 0,universo vuoto, e Ω0 “ 1, universo critico o di Einstein-deSitter.

Nel caso Ω0 “ 0 (universo vuoto di Milne) l’equazione diviene banalmente

9a2 “ H20

11

The Dynamics of the Models with Λ = 0

• The model with Ω0 = 1 separatesthe open from the closed modelsand the collapsing models fromthose which expand forever. Thismodel is often referred to as theEinstein–de Sitter or the criticalmodel. The velocity of expansiontends to zero as a tends to infinity. Ithas a particularly simple variation ofa(t) with cosmic epoch,

a =

(t

t0

)2/3κ = 0, (31)

where the present age of the worldmodel is t0 = (2/3)H

−10 .

18

Figura 5: Soluzioni dell’equazione di Friedmann nei tre casi rilevanti Ω0 ă 1(K ă 0), Ω0 “ 1 (K “ 0) e Ω0 ą 1 (K ą 1). Il tempo cosmico è normalizzatoa t0 e, in ognuno dei casi, corrisponde all’intersezione tra la soluzione e la rettaa “ 1.

la cui soluzione, a “ H0t`C, imponendo la condizione al contorno ap0q “ 0diventa

aptq “ H0t

ovvero il fattore di scala si espande uniformemente e non subisce la “decele-razione” (:a ă 0, concavità di aptq rivolta verso il basso) dovuta all’attrazionegravitazionale della materia nell’universo. L’età dell’universo al momentoattuale può essere banalmente stimata imponendo apt0q “ 1 ovvero

t0 “1

H0“ 1

70 km s´1 Mpc´1“ 14.0 Gyr

e, in generale, l’età dell’universo è sempre dell’ordine dell’inverso della co-stante di Hubble t0 „ H´10 .

12

Nel caso Ω0 “ 1 l’equazione diviene

9a2 “ H20

a

integrando per separazione di variabili tra t e t0 (età attuale, ovvero etàdell’universo adesso) e considerando il caso in cui 9a ą 0 (come osservatoadesso) si ha

2

3

“

apt0q3{2 ´ aptq3{2‰

“ H0 pt0 ´ tq (24)

imponendo che ap0q “ 0 si ottiene

t0 “2

3H´10

da confrontare con H´10 trovato per l’universo vuoto. Infine si ottiene peraptq

aptq “ˆ

3

2H0t

˙2{3

“ˆ

t

t0

˙2{3

(25)

che è la soluzione critica di Einstein-deSitter.

4 Modifiche apportate dalla Relatività Gene-

rale

L’approccio che abbiamo seguito fino ad ora è puramente Newtoniano e,anche se porta al risultato corretto, non è fisicamente appropriato. In par-ticolare abbiamo applicato il Teorema di Gauss per il campo gravitazionalead una distribuzione infinita di massa, cosa non corretta. L’approccio cor-retto richiede l’utilizzo della Relatività Generale. L’assunzione di universoomogeneo, isotropo ed in espansione uniforme porta a scrivere una metrica,detta di Friedmann, Robertson e Walker, in cui compare come incognita ilfattore di scala aptq. Utilizzando la metrica FRW con le equazioni di campodi Einstein, si ottengono due equazioni per aptq di cui una è l’equazione 18già trovata nel caso Newtoniano. In particolare, si trova che le modifiche piùimportanti apportate dalla relatività sono:

• l’equivalenza tra materia ed energia conseguenza della Relatività Spe-ciale (energia a riposo di una particella, E “ mc2) comporta che nonc’è solo la materia a contribuire a ρ nell’equazione di moto. In parti-colare, la densità ρ è da considerarsi in realtà come densità di massaequivalente alla densità di energia ε “ ρc2, ed è per questo che tutti

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i contributi a ε contribuiscono alla gravità. Per esempio la radiazio-ne cosmica di fondo che permea l’universo avrà una certa densità dienergia εrad che contribuirà alla densità di energia totale.

• Le equazioni della Relatività Generale formulate inizialmente da Ein-stein non prevedevano una soluzione stazionaria per l’universo. Poichéla legge di Hubble non era ancora stata scoperta, Einstein credevafermamente all’universo stazionario e pertanto introdusse un termineaddizionale Λ nelle equazioni di campo per poter ottenere una soluzionestazionaria. Λ prende il nome di costante cosmologica.

• La Relatività Generale mostra il vero significato di espansione dell’uni-verso: come abbiamo detto si tratta di una vera espansione dello spazio.In particolare il redshift cosmologico non è dovuto all’effetto Dopplerma proprio all’espansione dello spazio.

Poiché le soluzioni delle equazioni per aptq dipendono principalmente dalladensità di energia, dobbiamo considerare un’equazione dell’energia. Durantel’espansione dell’universo, il gas cosmico deve effettuare una trasformazioneadiabatica: in effetti ci possono essere scambi di energia tra vari elementi divolume di gas ma questi devono essere a bilancio nullo altrimenti si creerebbeuno squilibro tra la densità di energia in due punti dello spazio violandol’omogeneità e l’isotropia dell’universo. L’equazione dell’energia deve esserepertanto quella che caratterizza le trasformazioni adiabatiche

dU “ ´pdV (26)

ovverodU

da“ ´pdV

da(27)

poiché V “ aptq3Vc con Vc volume in coordinate comoventi, si ha U “ εV “Vc aptq3 ε ottenendo infine

d

da

“

aptq3 ε‰

“ ´p ddaraptq εs

dε

da“ ´3ε` p

a(28)

Le equazioni che si ottengono dalla Relatività Generale sono pertanto equi-valenti a

9a2 “ 8πG3ρa2 ´Kc2 ` 1

3Λa2 (29)

dε

da“ ´3ε` p

a(30)

14

dove abbiamo sostituito ε0{c2 a ρ0 (ε0 è la densità totale di energia per t “ t0)ed è comparso il termine legato alla costante cosmologica Λ. Si noti come,derivando rispetto al tempo la prima equazione per ottenere :a, il termine conG diviene negativo (ovvero di segno opposto rispetto a :a) mentre il terminecon Λ resta positivo: il primo è il termine di forza gravitazionale, attrattivo,mentre il secondo è l’effetto della costante cosmologica che corrisponde aduna forza repulsiva.

Vediamo adesso il legame tra la densità di energia e la pressione per lecomponenti principali dell’universo e come queste variano durante l’espan-sione.

Materia (non relativistica). La pressione è quella del gas perfetto, pm “c2sρm (il pedice m indica la materia non relativistica) ma poiché in condizioninormali c2s ! c2, allora relativisticamente parlando pm “ 0. I cosmologi chia-mano questa componente polvere. Considerando che εm “ ρmc2, l’equazioneper la conservazione dell’energia è

dρmda

“ ´3ρma

(31)

questa equazione è facilmente risolvibile per separazione delle variabili e lasoluzione è

ρm “ ρ0a´3 (32)

dove abbiamo imposto la condizione che ρ “ ρ0 per t “ t0. Questa è larelazione già trovata con la semplice condizione di conservazione della mas-sa. Ricordiamo che abbiamo rinormalizzato la densità di massa al momentoattuale usando il parametro

Ω0 “ρ0ρcr

“ 8πG3H20

ρ0 (33)

Radiazione e Materia Ultrarelativistica. Se consideriamo radiazione omateria ultrarelativistica come i neutrini o particelle simili (kBT " mc2),l’equazione di stato è (vedi equazione di stato nella struttura stellare):

pr “1

3εr “

1

3ρrc

2 (34)

Se sostituiamo nell’equazione per la conservazione dell’energia otteniamo

dεrda

“ ´4εra

(35)

15

la cui soluzione èεr “ ε0a´4 (36)

dove abbiamo imposto la condizione che ε “ ε0 per t “ t0. Analogamente aprima il parametro di densità di radiazione è

Ωr,0 “ρr,0ρcr

“ 8πGρr,03H20

(37)

con ρr,0 “ ε0{c2.Se consideriamo che la radiazione cosmica di fondo è un perfetto corpo

nero allora sappiamo che la sua densità di energia è

εr “4σBc

T 4 “ εr,0 a´4 “4σBc

T 40 a´4 (38)

con T0 temperatura attuale della radiazione cosmica di fondo. Si ottieneinfine la variazione della temperatura della radiazione cosmica di fondo colfattore di scala

T “ T0 a´1 (39)o, analogamente, col redshift

T “ T0p1` zq (40)

Costante cosmologica ed energia del vuoto. La costante cosmologi-ca corrisponde ad una energia del vuoto che ha un effetto repulsivo rispet-to all’effetto attrattivo della gravità; ovvero l’energia del vuoto tende a farespandere l’universo rispetto all’attrazione gravitazionale che tende a farlocontrarre. Si trova che l’equazione di stato dell’energia del vuoto è

pv “ ´ρvc2 (41)

dove la densità di materia equivalente è data da

ρv “εvc2“ Λ

8πG(42)

Applicando l’equazione di conservazione dell’energia si ottiene

dεvda

“ 0 (43)

ovvero εv “ ρvc2 “ cost. come si deve avere per una energia del vuoto, ovveroassociata (probabilmente) a fluttuazioni quantistiche nel vuoto. Il parametrodi densità è

ΩΛ “ρvρcr

“ Λ3H20

(44)

16

5 L’equazione di espansione

Se consideriamo la definizione della densità di energia del vuoto e quindi diρv vediamo che l’equazione 29 per 9a la possiamo scrivere nella forma cheavevamo trovato con la trattazione Newtoniana

9a2 “ 8πG3ρa2 ´Kc2 (45)

con ρ che rappresenta relativisticamente tutte le componenti che contribui-scono all’energia ovvero

ρptq “ ρmptq ` ρrptq ` ρv“ ρ0a´3 ` ρ0,ra´4 ` ρv“ ρcrpΩ0a´3 ` Ωr,0a´4 ` ΩΛq (46)

sostituendo nell’eq. 45 si ottiene

9a2 “ H20ˆ

Ω0a` Ω0,r

a2` ΩΛa2

˙

´Kc2 (47)

valutandola per t “ t0 e ricordando che apt0q “ 1, 9apt0q “ H0, si ottiene

K “ H20

c2pΩ0 ` Ω0,r ` ΩΛ ´ 1q (48)

ovvero il tipo di evoluzione di aptq che abbiamo visto dipendeva dal segnodi K dipende dal segno di pΩ0 ` Ω0,r ` ΩΛ ´ 1q. L’equazione che regolal’espansione di aptq è infine

9a2 “ H20„

Ω0

ˆ

1

a´ 1

˙

` Ωr,0ˆ

1

a2´ 1

˙

` ΩΛpa2 ´ 1q ` 1

(49)

oppure, ricordando Hptq “ 9a{a,

Hptq2 “ H20“

Ω0a´3 ` Ωr,0a´4 ` ΩΛ ` a´2p1´ Ω0 ´ Ωr,0 ´ ΩΛq

‰

(50)

Nel contesto della Relatività Generale K rappresenta la curvatura dell’uni-verso:

• K “ 0, la geometria è piatta, ovvero corrisponde alla geometria Eucli-dea che ben conosciamo;

• K ą 0, la geometria è sferica (chiusa) e 1{?K rappresenta il raggio di

curvatura dell’universo;

17

152

4. Cosmology I: Homogeneous Isotropic World Models

Fig. 4.6. Two-dimensional analogies for the three possiblecurvatures of space. In a universe with positive curvature(K > 0) the sum of the angles in a triangle is larger than

180◦, in a universe of negative curvature it is smaller than180◦, and in a flat universe the sum of angles is exactly180◦

speculated in Sect. 4.2.1, the order of magnitude ofthe curvature radius is c/H0 according to (4.30).

• If K < 0, the space is called hyperbolic – the two-dimensional analogy would be the surface of a saddle(see Fig. 4.6).

Hence GR provides a relation between the curvatureof space and the density of the Universe. In fact, thisis the central aspect of GR which links the geometryof spacetime to its matter content. However, Einstein’stheory makes no statement about the topology of space-time and, in particular, says nothing about the topologyof the Universe.4 If the Universe has a simple topology,it is finite in the case of K > 0, whereas it is infinite ifK ≤ 0. However, in both cases it has no boundary (com-pare: the surface of a sphere is a finite space withoutboundaries).

With (4.29) and (4.30), we finally obtain theexpansion equation in the form

(ȧa

)2= H2(t)

= H20[a−4(t)Ωr +a−3(t)Ωm+a−2(t)(1−Ωm −ΩΛ)+ΩΛ

].

(4.31)

4The surface of a cylinder is also considered a flat space, like a plane,because the sum of angles in a triangle on a cylinder is also 180◦.But the surface of a cylinder obviously has a topology different froma plane; in particular, closed straight lines do exist – walking ona cylinder in a direction perpendicular to its axis, one will return tothe starting point after a finite amount of time.

4.3 Consequencesof the Friedmann Expansion

The cosmic expansion equations imply a number of im-mediate consequences, some of which will be discussednext. In particular, we will first demonstrate that theearly Universe must have evolved out of a very denseand hot state called the Big Bang. We will then linkthe scaling factor a to an observable, the redshift, andexplain what the term “distance” means in cosmology.

4.3.1 The Necessity of a Big BangThe terms on the right-hand side of (4.31) each havea different dependence on a:

• For very small a, the first term dominates and theUniverse is radiation dominated then.

• For slightly larger a ! aeq, the dust (or matter) termdominates.

• If K $= 0, the third term, also called the curvatureterm, dominates for larger a.

• For very large a, the cosmological constantdominates if it is different from zero.

The differential equation (4.31) in general cannot besolved analytically. However, its numerical solution fora(t) poses no problems. Nevertheless, we can analyzethe qualitative behavior of the function a(t) and therebyunderstand the essential aspects of the expansion his-tory. From the Hubble law, we conclude that ȧ(t0) > 0,i.e., a is currently an increasing function of time. Equa-

Figura 6: Analogie bidimensionali per le geometrie permesse con i diversi valoridi K. Per K ą 0 si ha una geometria sferica (chiusa), per K ă 0 si ha unageometria iperbolica (aperta) e per K “ 0 si ha la geometria Euclidea (piana).

• K ă 0, la geometria è iperbolica (aperta);la figura 6 mostra le analogie bidimensionali per le geometrie determinatedal segno di K.

L’equazione dell’espansione può essere risolta numericamente per deter-minare aptq ma è opportuno capire quando i vari termini dominano. Consi-deriamo innanzitutto il rapporto tra la densità di materia e di radiazione

ρmptqρrptq

“ ρ0 a´3

ρr,0 a´4“ Ω0

Ωr,0a (51)

sostituendo il valore di ρr,0 “ εr,0{c2 “ σBT 40 {4c e ρ0 “ Ω0H20{p8πGq siottiene infine

ρmptqρrptq

“ 3c3H20 Ω0

32πGσB T 40aptq (52)

sostituendo i valori H0 “ 70 km s´1 Mpc´1, T0 “ 2.738 K si ottieneρmptqρrptq

“ Ω0Ωr,0

aptq “ 1.9ˆ 104 Ω0 aptq (53)

come vedremo Ω0 “ 0.3, pertanto per t “ t0, si ha ρ0{ρr,0 " 1 ovvero almomento attuale la materia domina la gravità rispetto alla radiazione. Peròc’è stato un momento aeq in cui la densità di materia e di radiazione eranoequivalenti

aeq “Ωr,0Ω0

“ 5.2ˆ 10´5

Ω0(54)

prima di quel momento dominava la radiazione.Pertanto, tornando all’equazione dell’espansione,

Hptq2 “ H20“

Ω0a´3 ` Ωr,0a´4 ` ΩΛ ` a´2p1´ Ω0 ´ Ωr,0 ´ ΩΛq

‰

(55)

si trova che:

18

206 7 The Friedman World Models

to zero as a tends to infinity. It has a particularly simple variation of a(t) withcosmic epoch,

a =(

tt0

)2/3κ = 0, (7.24)

where the present age of the world model is t0 = (2/3)H−10 .Some solutions of (7.21) are displayed in Fig. 7.2 which shows the well-knownrelation between the dynamics and geometry of the Friedman world models withΛ = 0. The abscissa in Fig. 7.2 is in units of H−10 and so the slope of the relationsat the present epoch, a = 1, is always 1. The present age of the Universe is given bythe intersection of each curve with the line a = 1.

Another useful result is the function a(t) for the empty world model, Ω0 = 0,a(t) = H0t, κ = −(H0/c)2. This model is sometimes referred to as the Milne

Fig. 7.2. The dynamics of the classical Friedman models with ΩΛ = 0 characterised by thedensity parameter Ω0 = $0/$c. If Ω0 > 1, the Universe collapses to a = 0 as shown; ifΩ0 < 1, the Universe expands to infinity and has a finite velocity of expansion as a tends toinfinity. In the case Ω0 = 1, a = (t/t0)2/3 where t0 = (2/3)H−10 . The time axis is given interms of the dimensionless time H0t. At the present epoch a = 1 and in this presentation, thethree curves have the same slope of 1 at a = 1, corresponding to a fixed value of Hubble’sconstant at the present day. If t0 is the present age of the Universe, then H0t0 = 1 for Ω0 = 0,H0t0 = 2/3 for Ω0 = 1 and H0t0 = 0.57 for Ω0 = 2

216 7 The Friedman World Models

Fig. 7.5. The dynamics of spatially flat world models, Ω0 +ΩΛ = 1, with different combina-tions of Ω0 and ΩΛ. The abscissa is plotted in units of H−10 . The dynamics of these modelscan be compared with those shown in Fig. 7.2 which have ΩΛ = 0

7.4.1 The Deceleration Parameter

Just as Hubble’s constant H0 measures the expansion rate of the Universe at thepresent epoch, so we can define the present deceleration of the Universe ä(t0). Itis conventional to define the deceleration parameter q0 to be the dimensionlessdeceleration at the present epoch through the expression

q0 = −(

aäȧ2

)

t0

. (7.61)

Substituting a = 1, ȧ = H0 at the present epoch into the dynamical equation (7.40),we find

q0 =Ω0

2− ΩΛ . (7.62)

Equation (7.62) represents the present competition between the decelerating effectof the attractive force of gravity and the accelerating effect of the repulsive darkenergy. Substituting the favoured values of Ω0 = 0.3 and ΩΛ = 0.7 (see Chaps. 8and 15), we find q0 = −0.55, showing that the Universe is accelerating at the presentepoch because of the dominance of the dark energy.

Figura 7: Soluzioni dell’equazione di espansioni per modelli senza costantecosmologica (sinistra) e con costante cosmologica ma Ω0 ` ΩΛ “ 1.

• per a ă aeq domina la radiazione, l’equazione è

9a2 “ H20 Ωr,0a2

(56)

integrando per separazione di variabili e considerando il caso in cui9a ą 0 si ha

aptq “´

2H0Ω1{2r,0

¯1{2t1{2 (57)

ricordando che aeq “ Ωr,0{Ω0 si ottiene che il passaggio dalla fasedominata dalla radiazione alla fase dominata dalla materia avviene per

teq “Ω

3{2r,0

2Ω20H0“ 2.9ˆ 104 yr (58)

con Ω0 “ 0.3, ovvero dopo circa trentamila anni.

• Per a ą aeq domina la materia, e per a ! 1 l’equazione è

9a2 “ H20 Ω0a

(59)

integrando per separazione di variabili e considerando il caso in cui9a ą 0 si ha

2

3

“

apt0q3{2 ´ aptq3{2‰

“ H0Ω1{20 pt0 ´ tq (60)

19

imponendo che ap0q “ 0 si ottiene t0 “´

3{2H0Ω1{20¯´1

ovvero

aptq “ Ω1{30ˆ

3

2H0t

˙2{3

(61)

questa è la soluzione di Einstein-de Sitter già vista (universo di sola

materia con Ω0 “ 1) con un fattore correttivo Ω1{30 .

• Nell’epoca attuale (a „ 1) la radiazione è trascurabile e l’equazione è

9a2 “ H20„

Ω0

ˆ

1

a´ 1

˙

` ΩΛpa2 ´ 1q ` 1

(62)

possibili soluzioni di questa equazione sono mostrate in figura 7 e sonoottenute numericamente. Si noti come l’età attuale dell’universo siha quando a “ 1, con ovviamente 9a ą 0. Nella fase iniziale in cuia " 1 la soluzione numerica è ben approssimata dalla soluzione trovataprecedentemente.Come abbiamo già visto, una soluzione analitica sempre valida si haper Ω0 “ 1 e ΩLambda “ 0 (modello di Einstein-de Sitter): in questocaso

aptq “ˆ

3

2H0t

˙2{3

(63)

con un’età dell’universo dell’universo pari a

t0 “2

3H0“ 9.3 Gyr (64)

Un’altra semplice soluzione analitica si ha per Ω0 “ 0 ΩΛ “ 0 ovverol’universo vuoto di Milne:

aptq “ H0t (65)

in cui l’espansione avviene ad un tasso costante e t0 “ 1{H0.

• Per a " 1 domina l’energia oscura e l’equazione è

9a2 “ H20 ΩΛ a2 (66)

separando le variabili e scegliendo 9a ą 0 si ottiene

aptq “ eH0Ω1{2Λ pt´t0q (67)

ovvero un’espansione esponenziale guidata dall’energia oscura. t0 èsempre l’età attuale dell’universo.

20

E’ chiaro che gravità (Ω0, Ωr,0) e energia oscura (ΩΛ) hanno due effettidiversi su aptq: il primo tende a decelerare l’espansione dell’universo, il se-condo ad accelerarla. Inizialmente domina la gravità e l’universo decelera mase ΩΛ ą 0 l’universo è destinato ad accelerare in modo esponenziale pertan-to deve avvenire una “riaccelerazione” dell’universo quando il termine conΩΛ comincia a dominare. La riaccelerazione comincia quando :a “ 0 ovvero,derivando l’equazione 62, quando

aptq “ˆ

Ω02ΩΛ

˙1{3

Con Ω0 “ 0.3 e ΩΛ “ 0.7 questo avviene per a » 0.6, ovvero è “appena”avvenuto.

Non entreremo nel dettaglio delle soluzioni possibili per i vari valori di Ω0,ΩΛ e Ωr,0; quest’ultimo oltretutto è importante solo nelle prime fasi dell’uni-verso, quando a ! 1. I vari tipi di possibili soluzioni sono mostrati in figura8; nella prossima sezione saranno discussi i allori dei parametri cosmologicicome ricavati dalle osservazioni. Quando ΩΛ ą 0 l’universo si espande sempreperchè quando a " 1 il termine repulsivo di energia oscura domina. I modelli“loitering” sono quelli che ammettono una soluzione asintotica stazionaria,ovvero sono proprio quelli che voleva ottenere Einstein introducendo Λ.

Con l’eccezione di pochi casi particolari possiamo concludere che a deveaver avuto il valore a “ 0 a qualche istante in passato che noi abbiamoscelto come origine dell’asse dei tempi. Per t “ 0 le dimensioni dell’universoformalmente svaniscono e, considerando l’espressione di ρptq, sia la densitàdi materia che di radiazione diventano infinite; anche la temperatura dellaradiazione diventa infinita. Lo stato in cui a “ 0 prende il nome di “BigBang”. Lo stato di a “ 0 si raggiunge per t ą 0 anche nei modelli in cuiΩΛ “ 0 e Ω0 ą 1: in questo caso l’universo ricollassa alla singolarità inizialee si parla di “Big Crunch”.

6 I valori dei parametri cosmologici

Il parametro di densità Ω0 contiene il contributo di tutta la materia, sia quellavisibile che quella oscura. Se si considera tutta la materia in stelle ed il gasintergalattico (come quello negli ammassi rivelato nei raggi X), ovvero tuttala materia che viene rivelata dalla sua emissione e.m., si arriva ad un valoreΩb » 0.04. Se si considera la materia oscura nelle galassie e soprattuttoquella presente negli ammassi di galassie si arriva ad una stima complessivaper la materia di Ω0 “ Ωb ` ΩDM » 0.3. Pertanto, solo una piccola frazioneè materia rivelata per la sua emissione e questa è la materia barionica ovvero

21

4.3 Consequences of the Friedmann Expansion

153tion (4.31) shows that ȧ(t) > 0 for all times, unless theright-hand side of (4.31) vanishes for some value of a:the sign of ȧ can only switch when the right-hand sideof (4.31) is zero. If H2 = 0 for a value of a > 1, theexpansion will come to a halt and the Universe will rec-ollapse afterwards. On the other hand, if H2 = 0 fora value a = amin with 0 < amin < 1, then the sign of ȧswitches at amin. At this epoch, a collapsing Universechanges into an expanding one.

Which of these alternatives describes our Uni-verse depends on the density parameters. We find thefollowing classification (also see Fig. 4.7):

• If Λ = 0, then H2 > 0 for all a ≤ 1, whereas thebehavior for a > 1 depends on Ωm:– if Ωm ≤ 1 (or K ≤ 0, respectively), H2 > 0 for

all a: the Universe will expand for all times.This behavior is expected from the Newtonianapproach because if K ≤ 0, the kinetic energy inany spherical shell is larger than the modulus ofthe potential energy, i.e., the expansion velocityexceeds the escape velocity and the expansionwill never come to a halt.

– If Ωm > 1 (K > 0), H2 will vanish fora = amax = Ωm/(Ωm −1). The Universe willhave its maximum expansion when the scalefactor is amax and will recollapse thereafter. InNewtonian terms, the total energy of any spher-ical shell is negative, so that it is gravitationallybound.

• In the presence of a cosmological constant Λ > 0,the discussion becomes more complicated:– If Ωm < 1, the Universe will expand for all a > 1.– However, for Ωm > 1 the future behavior of a(t)

depends on ΩΛ: if ΩΛ is sufficiently small,a value amax exists at which the expansion comesto a halt and reverses. In contrast, if ΩΛ is largeenough the Universe will expand forever.

– If ΩΛ < 1, then H2 > 0 for all a ≤ 1.– However, if ΩΛ > 1, it is in principle possible

that H2 = 0 for an a = amin < 1. Such mod-els, in which a minimum value for a existed inthe past, can be excluded by observations (seeSect. 4.3.2).

With the exception of the last case, which can be ex-cluded, we come to the conclusion that a must haveattained the value a = 0 at some point in the past, at

Fig. 4.7. Classification of cosmological models. The straightsolid line connects flat models (i.e., those without spatial cur-vature, Ωm +ΩΛ = 1) and separates open (K < 0) and closed(K > 0) models. The nearly horizontal curve separates mod-els that will expand forever from those that will recollapse inthe distant future. Models in the upper left corner have an ex-pansion history where a has never been close to zero and thusdid not experience a Big Bang. In those models, a maximumredshift for sources exists, which is indicated for two cases.Since we know that Ωm > 0.1, and sources at redshift > 6have been observed, these models can be excluded

least formally. At this instant the “size of the Universe”formally vanished. As a → 0, both matter and radiationdensities diverge so that the density in this state musthave been singular. The epoch at which a = 0 and theevolution away from this state is called the Big Bang.It is useful to define this epoch (a = 0) as the originof time, so that t is identified with the age of the Uni-verse, the time since the Big Bang. As we will show,the predictions of the Big Bang model are in impressiveagreement with observations. The expansion history forthe special case of a vanishing vacuum energy densityis sketched in Fig. 4.8 for three values of the curvature.

To characterize whether the current expansion of theUniverse is decelerated or accelerated, the decelerationparameter

q0 := −ä a/ȧ2 (4.32)is defined where the right-hand side has to be evaluatedat t = t0. With (4.19) and (4.31) it follows that

q0 = Ωm/2−ΩΛ . (4.33)

Figura 8: Tipi di soluzioni (e di geometrie) al variare di Ω0 (Ωm) e ΩΛ. I modelli”loitering” sono quelli che ammettono una soluzione asintotica stazionaria, ovverosono proprio quelli che voleva ottenere Einstein introducendo Λ.

costituita da barioni (p, n). Come vedremo tra poco, la materia oscura nonpuò essere materia ordinaria (barionica).

Per ottenere misure di Ω0 e ΩΛ è necessario misurare i flussi di candelestandard oppure le dimensioni di “lunghezze standard”. Nel primo caso simisurano i flussi osservati di sorgenti la cui luminosità è nota indipenden-temente, nel secondo caso si misurano le dimensioni angolari (sul cielo) distrutture le cui dimensioni fisiche sono note indipendentemente. Utilizzandola metrica di Friedmann-Robertson-Walker è possibile definire una grandezzaDL, detta distanza di luminosità, funzione del redshift z della sorgente, e deiparametri cosmologici (Ω0, ΩΛ e H0) tale che il flusso osservato (bolometrico,ovvero NON per unità di banda) è

DL “ DLpz;H0,Ω0,ΩΛq

F “ L4πD2L

(68)

con L luminosità della sorgente. Ovviamente per piccoli redshift (z ! 1) ladistanza di luminosità tende alla classica distanza D. Pertanto, osservan-

22

do delle candele standard e confrontandone flusso e luminosità di possonovincolare i parametri cosmologici.

Analogamente, è possibile definire una grandezza DA, detta distanza an-golare, tale che le dimensioni di una sorgente di lunghezza ` sul piano delcielo siano

DA “ DApz;H0,Ω0,ΩΛq “DL

p1` zq2

θ “ `DA

(69)

Anche in questo caso per piccoli redshift (z ! 1) la distanza angolare tendealla classica distanza D.

Per quanto appena detto, DL » D per z ! 1, misure con le candelestandard a basso redshift permettono soltanto di misurare la costante diHubble H0: di solito si utilizzano le variabili Cefeidi (caratterizzate da unarelazione periodo luminosità).

Recentemente, utilizzando come candele standard le Supernovae di tipoIa (nane bianche in sistemi binari che superano il limite di Chandrasekharper accrescimento dalla compagna), è stato possibile vincolare contempora-neamente Ω0 e ΩΛ trovando per la prima volta l’evidenza osservativa perΩΛ ‰ 0 ovvero per l’esistenza della costante cosmologica (figura 9).

Lo studio delle fluttuazioni della radiazioni cosmica di fondo fornisce deivincoli soprattutto sulla geometria dello spazio ovvero su Ω0`ΩΛ dalle scalesulle quali si osservano le fluttuazioni (figura 10) ma anche su Ωb ovvero sulladensità di massa barionica: infatti le fluttuazioni della radiazione cosmica difondo tracciano proprio le fluttuazioni di densità della materia barionica.

Infine, la figura 11 mostra come sia possibile vincolare Ω0 e ΩΛ combi-nando tutte queste osservazioni. Sono anche indicati i vari tipi di modellicosmologici determinati dai valori di Ω0 e ΩΛ. Combinando tutte le misurepiù recenti su cefeidi, ammassi, supernovae, radiazione cosmica di fondo (dalsatellite Planck) e struttura a grande scala delle galassie è possibile ottenere ivalori dei parametri cosmologici riportati in tabella 1. Si noti come la geome-tria dell’universo sia piatta Ω0`ΩΛ “ 1 e come, dallo studio delle fluttuazionidella radiazione cosmica di fondo, sia possibile vincolare la densità di massanei barioni a Ωb » 0.05 mentre la densità di massa totale è Ω0 » 0.3: questaè la conferma definitiva che gran parte della materia non è barionica.

7 La storia termica dell’universo

A seguito dell’interazione materia radiazione (principalmente causata dalloscattering Thomson), la temperatura della materia barionica è uguale alla

23

Figura 9: Diagramma schematico magnitudine osservata - redshift, che mostral’evidenza per Λ ą 0 dalle supernovae di tipo Ia (punti con barra d’errore). Lariga grigia sotto i punti mostra dove dovrebbero trovarsi i dati se ΩΛ “ 0 e Ω0 “ 1,ovvero se l’universo fosse piatto senza costante cosmologica. La linea nera invecemostra il best fit con universo piatto Ω0 ` ΩΛ “ 1 ma ΩΛ “ 0.7 e Ω0 “ 0.3.

temperatura della radiazione per z Ç 400, ovvero per tempi cosmici inferioria circa 40 milioni di anni dal Big Bang („ 0.03% dell’età dell’universo). Co-me abbiamo visto la temperatura della radiazione decresce con l’espansionedell’universo, ovvero cresce andando indietro nel tempo:

T “ T0aptq “ T0 p1` zq (70)

con T0 temperatura attuale (T0 » 2.738K). La radiazione ha una distribu-zione di corpo nero, per cui alla temperatura T esistono fotoni con un ampiospettro di energia attorno al valor medio kT . Pertanto è facile intuire come,andando indietro nel tempo, la temperatura sia stata cos̀ı alta da aver potu-

24

Figura 10: Schematizzazione di come le scale angolari su cui si osservano lefluttuazioni della radiazione cosmica di fondo dipendono dalla geometria dellospazio.

to dissociare la materia nelle sue componenti fondamentali. Questo fatto èmostrato in figura 12 dove di devono notare alcune epoche importanti.

• Epoca della Ricombinazione. Quando l’età dell’universo era del-l’ordine di „ 106 anni, la radiazione era cos̀ı calda da riuscire a ionizza-re l’idrogeno (13.6 eV), il costituente principale della materia barionica(„ 90% degli atomi): per cui a epoche più remote l’universo era comple-tamente ionizzato. Percorrendo questa fase di transizione nel verso deltempo, si capisce come per t „ 106 yr l’universo “ricombini” e diventineutro. Alla ricombinazione i fotoni ricevono il loro “ultimo scatte-ring” con gli elettroni: la radiazione cosmica di fondo che osserviamoadesso è proprio la radiazione emessa in questa fase e raffreddata fino a„ 3 K dall’espansione dell’universo. Nella fase precedente alla ricombi-nazione, l’universo è totalmente ionizzato e quindi otticamente spessoper scattering Thomson: la ricombinazione costituisce una vero e pro-pria barriera nel senso che non è possibile osservare oggetti più distanti

25

Figura 11: Contorni di confidenza nel piano Ω0, ΩΛ ottenuti combinando le osser-vazioni sugli ammassi di galassie (marrone), le supernovae Ia (blue) e la fluttua-zioni della radiazione cosmica di fondo (verde). Il punto rosso rappresenta i valoripiù probabili indicati da tutte queste osservazioni.

utilizzando la radiazione elettromagnetica. Quindi la ricombinazionecostituisce per noi un vero e proprio orizzonte.

• Transizione Epoca Radiazione - Epoca Materia. Poco primadella Ricombinazione, l’universo effettua la transizione tra la fase in cuiè dominato dalla radiazione, alla fase in cui è dominato dalla materia.

• Nucleosintesi. Intorno ai 100 s dopo il Big Bang la radiazione è suf-ficientemente calda da poter spezzare i legami nucleari: tutti i nucleipesanti vengono decomposti in protoni e neutroni. Visto secondo il ver-

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Tabella 1: Valori dei parametri cosmologici ottenuti combinando le osservazionidella radiazione cosmica di fondo del satellite Planck (ESA) con le osservazioniesistenti di cefeidi, supernove, ammassi e struttura delle galassie su grande scala.

Parametro Valore

H0 [ km s´1 Mpc´1] 67.8˘ 0.8

Ω0 0.305˘ 0.004ΩDM 0.257˘ 0.004Ωb 0.0476˘ 0.0005ΩΛ 0.692˘ 0.01Ω0 ` ΩΛ 1.00˘ 0.01Età dell’Universo [Gyr] 13.80˘ 0.04

so del tempo, in questa fase si ha la nucleosintesi, ovvero da protoni eneutroni si passa alla formazione di nuclei più pesanti. La nucleosintesiavviene in modo “esplosivo” ovvero nell’arco di circa 300 secondi è giàterminata. A causa del fatto che non esistono nuclei stabili con A “ 5,e A “ 8 non si riescono a sintetizzare elementi giù pesanti di 7Li e 7Be.La nucleosintesi è una prova fondamentale del modello cosmologico:predice che l’abbondanza in massa di 4He sia attorno al 25%, valoreosservato e non spiegabile con le reazioni nucleari all’interno delle stes-se. Inoltre le abbondanze osservate di deuterio (D), 3He e 7Li, elementidistrutti all’interno delle stelle e quindi prodotti solo dalla nucleosin-tesi permettono di vincolare la densità di massa dei barioni: infatti leloro abbondanze come predette dal modello di nucleosintesi cosmolo-gica dipendono significativamente da Ωb. Si trova Ωb » 0.05 in ottimoaccordo con la misura totalmente indipendente dalle fluttuazioni delfondo cosmico.

• Fasi precedenti. Procedendo a ritroso nel tempo, si raggiunge lafase dell’annichilazione di elettroni e positroni, ovvero la fase in cui laradiazione era cos̀ı calda da produrre coppie e´, e` dallo scatteringfotone-fotone. Andando ancora indietro nel tempo l’universo è cos̀ıdenso e caldo da essere otticamente spesso ai neutrini e si ha una faseanaloga alla ricombinazione: quando saremo in grado di utilizzare ineutrini per le osservazioni vedremo un fondo cosmico di neutrini chesi origina in questa fase. Andando ancora indietro nel tempo si arriva

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Summary of the Thermal History of the Universe

This diagram summarises the keyepochs in the thermal history of theUniverse. The key epochs are

• The epoch of recombination.• The epoch of equality of matter

and radiation.

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Figura 12: Storia termica dell’universo.

all’annichilazione tra barione e antibarione: in questa fase l’antimateriaè stata totalmente distrutta e, grazie ad una piccola asimmetria nelrapporto tra barioni e antibarioni (109+1 barioni per 109 antibarioni!)è rimasta solo la materia. In fasi ancora precedenti si entra in un regimein cui la fisica è poco conosciuta e si spera che LHC ricreerà le condizionifisiche dell’universo primordiale per poterle studiare in dettaglio.

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