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Esercizi di riepilogo e complemento 10

Integrali indefiniti semplici

Integrazione per decomposizione

1. Calcolare gli integrali:

a)∫

(2x3 − 4x + 1) dx; x44 − 2x2 + x + c

b)∫

(x − 1)3 dx; x44 − x3 + 3

2 x2 − x + c

c)∫

x − 1x + 1

dx; x − 2 log |x + 1| + c

d)∫

x3 + x2 + x

x2dx; x2

2 + x + log |x| + c

e)∫

x5 + 1x + 1

dx; x22 + x + log |x| + c

f )∫

dx

a2 − x2, a �= 0; 1

2a log | a+xa−x | + c

g)∫

tg2x dx; tgx − x + c

h)∫

sin2 x − cosx

sin2 x cos2 xdx; tgx + ctgx + c

i)∫

dx

sin2 x cos2 x; −2ctg2x + c

Integrazione per parti

2. Calcolare gli integrali:

a)∫

xex dx; (x − 1)ex + c

b)∫

x2ex dx; (x2 − 2x + 2)ex + c

c)∫

x3ex dx; (x3 − 3x2 + 6x − 6)ex + c

d)∫

xmeαx dx, (m intero positivo, , α costante non nulla);[xm − m

α xm−1 +m(m−1)

α2 xm−2 − +(−1)m m!αm

]eαx

α + c

e)∫

xax dx, (a costante positiva diversa da 1);(

x − 1log a

ax

log a

)eαx

α + c

1

f )∫

x2ax dx, (a costante positiva diversa da 1);

(x2 − 2x

log a + 2log2 a

)ax

log a + c

g)∫

xmaαx dx, (m intero positivo, a costante positiva diversa da 1, α costante non nulla);

[xm − m

α log a xm−1 +m(m−1)α2 log2 a

xm−2 − · · · + (−1)m m!αm logm a

]aαx

α log a + c

h)∫

log x dx, (m intero positivo, a costante positiva diversa da 1, α costante non nulla);

x log x − x + c

i)∫

xα log x dx, (α costante diversa da − 1);

xα+1α+1

(log x − 1

α+1

)+ c

l)∫

xα logm x dx, (m intero positivo, α costante diversa da − 1);

xα+1α+1 logm x − m

α+1

∫x

αlog

m−1x dx

m)∫

x2 cos x dx;

x2 sin x + 2x cos x − 2 sin x + c

m)∫

sin2 x dx;

12 (x − sin x cos x) + c

m)∫

cos2 x dx;

12 (x + sin x cos x) + c

n)∫

sin x cos x dx;

sin2 x2 + c

o)∫

sinm x dx (m costante);

− 1m sinm−1 x cos x + m−1

m

∫sinm−2 x dx se m �= 0; x + c se m = 0

2

p)∫

cosm x dx (m costante);

1m cosm−1 x sin x + m−1

m

∫cosm−2 x dx se m �= 0; x + c se m = 0

q)∫

sin x

exdx;

− 12 (sin x + cos x)e−x + c

r)∫

eαx sinx dx (α costante non nulla);

αα2+1

(sin x − 1

α cos x)

eαx + c

s)∫

log log x

xdx;

log x(log log x − 1) + c

Integrazione per sostituzione

3. Calcolare gli integrali:

a)∫

(4x + 3)m dx (m costante diversa da − 1);(4x+3)m+1

4(m+1) + c

b)∫

(x2 − x + 1)3(2x − 1) dx; 14 (x2 − x + 1)4 + c

c)∫

8x3 + 31 + (2x4 + 3x)2

dx;arctg (2x4 + 3x) + c

d)∫

1x√

2x − 1dx;

2arctg√

2x − 1 + c

e)∫

x√1 − x2

dx; −√1 − x2 + c

f )∫

x√1 − x4

dx; 12 arcsin(x2) + c

g)∫

x

(1 + x2)2dx; − 1

2(1+x2)+ c

3

h)∫

1a2 + x2

dx (a costante non nulla ); 1a arctg x

a + c

i)∫

16√

(1 − 2x)8dx;

32 3√1−2x

+ c

j )∫

14√

(2x + 5)6dx;

− 1√2x+5

+ c se 2x + 5 > 0; 1√−2x−5+ c se 2x + 5 < 0

k)∫

1√a2 − x2

dx (a costante non nulla); arcsin xa + c

l)∫ √

a − x

a + xdx (a costante non nulla);

a arcsin xa ± √

a2 − x2 + c se a ≶ 0

m)∫

11 + ex

dx;log ex

1+ex + c

n)∫ √

ex − 1 dx;2(

√ex − 1 − arctg

√ex − 1) + c

o)∫

1ex + e−x

dx; arctg ex + c

p)∫

tgx dx; − log | cos x| + c

q)∫

cotgx dx; log | sin x| + c

r)∫

sin mx cos mx dx (m costante non nulla ); 12m sin2 mx + c

s)∫

sinmx cos mx dx (m costante non nulla ); 12m sin2 mx + c

t)∫

1sinx

dx; log |tg x2 | + c

u)∫

1cos x

dx;log

∣∣∣ 1+tg x2

1−tg x2

∣∣∣ + c

4

v)∫

cos3 x dx;sin x − sin3 x

3 + c

w)∫

11 + cos x

dx; tg x2 + c

x )∫

arcsin x dx;x arcsin x +

√1 − x2 + c

y)∫ √

a2 − x2 dx (a costante non nulla);a22 (arcsin x

a +x√

a2−x2

a2 ) + c

z)��∫

1a + b cos x

dx (a, b costanti non nulle).

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