INTEGRALI IMPROPRI - Gervasio · 2020. 12. 6. · 10-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 t 0 2 4 6 8 10 Fissato...

INTEGRALI IMPROPRI

©Paola Gervasio (UniBS) - Analisi Matematica 1 Integrali impropri cap10.pdf 1

Abbiamo visto che l’integrale di Riemann e definito per funzionilimitate e su intervalli limitati.

Sia ora I ⊆ R un intervallo non necessariamente limitato e f nonnecessariamente limitata.

Def. Un integrale

∫If (x)dx si dice improprio se I e illimitato,

oppure se I e limitato e f non e limitata su I .

I = [1,+∞) e illimitato ,

1

f (x)

x

y

I = (0, 1] e limitato, f e illimitata su I .

f (x)

1 x

y

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Integrale su intervalli illimitati

Def. Sia I = [a,+∞) ⊂ R, sia f localmente integrabile su Isecondo Riemann e sia Fa(x) la funzione integrale di f (t) (ricordoche Fa(a) = 0).L’ integrale improprio di f su [a,+∞) e∫ +∞

af (t)dt = lim

x→+∞

∫ x

af (t)dt︸︷︷︸Fa(x)

= limx→+∞

Fa(x)

1 Se il limite esiste finito, diciamo che f e integrabile in sensoimproprio su I o che il suo integrale improprio converge

2 se il limite esiste infinito, diciamo che l’integrale improprio dif e divergente

3 se il limite NON esiste, diciamo che l’integrale improprio di fe oscillante

©Paola Gervasio (UniBS) - Analisi Matematica 1 Integrali impropri su intervalli illimitati cap10.pdf 3

Esempi ∫ ∞1

e−xdx e convergente∫ ∞1

1

xdx e divergente∫ ∞

0cos(x)dx e oscillante


Teorema Se f e una funzione positiva e localmente integrabile su[a,+∞), allora il suo integrale improprio o converge o diverge (nonpuo oscillare).

Dim. Ricordiamo che se f : [a,+∞)→ R e localmente integrabile

e positiva, allora la sua funzione integrale Fa(x) =

∫ x

af (t)dt e

monotona crescente. Per il teorema del limite di funzionimonotone (si veda cap4a.pdf), se una funzione Fa(x) definita inun intorno di +∞ e monotona crescente, allora il lim

x→+∞Fa(x)

esiste e puo essere finito o infinito.

Oss. Se f e positiva e limx→+∞

f (x) = ` > 0 o limx→+∞

f (x) = +∞,

allora

∫ +∞

af (x)dx e divergente.


Teorema ∫ +∞

1

1

tαdt

{converge se α > 1diverge se α ≤ 1

Dimostrazione∫ +∞

1

1

tαdt =

= limx→+∞

∫ x

1

1

tαdt = lim

x→+∞

[log(t)]x1 se α = 11

1− α[t1−α

]x1

se α 6= 1

= limx→+∞

log(x) se α = 11

1− α(x1−α − 1) se α 6= 1

=

+∞ se α ≤ 11

α− 1se α > 1


La funzione f (t) = 1/tα per t > 1

0 2 4 6 8 10

t

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2


Osservazione

Il comportamento dell’integrale improprio

∫ +∞

1

1

tαdt e analogo a

quello della serie armonica generalizzata∞∑n=1

1

nα.


Teorema di McLaurin

Sia f : [1,+∞)→ R monotona. Allora

+∞∑n=1

f (n) e

∫ +∞

1f (x)dx

sono entrambi convergenti o divergenti.

Corollario

+∞∑n=1

1

nαconverge ⇐⇒

∫ +∞

1

1

xαdx converge ⇐⇒ α > 1


Criteri del confronto e del confronto asintotico

A volte non e possibile calcolare esplicitamente la funzioneintegrale di una funzione f data (ad es. f (x) = e−x

2non e

integrabile elementarmente), pero si riesce comunque a stabilire se

l’integrale improprio

∫ +∞

af (x)dx converge o diverge.

Si utilizzano criteri di confronto.


Criterio del confronto

Teorema. Siano f e g due funzioni localmente integrabili suI = [a,+∞), t.c. 0 ≤ f (x) ≤ g(x), ∀x ∈ I . Allora

0 ≤∫ +∞

af (x)dx ≤

∫ +∞

ag(x)dx

Inoltre:

se

∫ +∞

af (x)dx diverge, allora

∫ +∞

ag(x)dx diverge,

se

∫ +∞

ag(x)dx converge, allora

∫ +∞

af (x)dx converge.


Es. Esaminare il comportamento dell’integrale improprio∫ +∞

1e−x

2dx .

Per x > 1 si ha x2 > x , quindi −x2 < −x e e−x2< e−x

(ricordiamo che l’esponenziale e una funzione crescente e che lacomposizione tra una funzione crescente ed una funzionedecrescente e una funzione decrescente).Per il criterio del confronto si ha allora∫ +∞

1e−x

2dx <

∫ +∞

1e−xdx .

Studiamo

∫ +∞

1e−xdx = lim

x→+∞

∫ x

1e−tdt

= limx→+∞

[−e−t ]x1 = limx→+∞

(e−1 − e−x) = e−1

Quindi∫ +∞1 e−xdx e convergente e, per il criterio del confronto lo

e anche∫ +∞1 e−x

2dx .


Criterio del confronto asintotico

Sia f localmente integrabile su I = [a,+∞) ed ∃` ∈ R \ {0} t.c.

f (x) ∼ `

xαper x → +∞.

Allora

∫ +∞

af (x)dx ∼

∫ +∞

a

`

xαdx

cioe:∫ +∞

af (x)dx converge ⇔

∫ +∞

a

1

xαdx converge ⇔ α > 1∫ +∞

af (x)dx diverge ⇔

∫ +∞

a

1

xαdx diverge ⇔ α ≤ 1

Oss. Dire f (x) ∼ `

xαper x → +∞ vuol dire che f si comporta

come `/xα per x → +∞, cioe e infinita o infinitesima dello stessoordine di 1/xα.


Es. Esaminare il comportamento dell’integrale improprio∫ +∞

1

x + cos x

x3 + sin xdx .

x + cos x

x3 + sin x∼ 1

x2per x → +∞.

α = 2 > 1, quindi per il criterio del confronto asintotico, l’integraledato converge.

Es. Esaminare il comportamento degli integrali impropri∫ +∞

1

arctan x

x2dx ,

∫ +∞

1

arctan x

xdx .

Es. Esaminare il comportamento dell’integrale∫ +∞

1

sin5(1x

)log(x2 + 1)− 2 log(x)

dx


Criterio di convergenza assolutaTeorema. Sia f una funzione localmente integrabile su

I = [a,+∞) a segno variabile e tale che

∫ +∞

a|f (x)|dx converga.

Allora anche

∫ +∞

af (x)dx converge e si ha:∣∣∣∣∫ +∞

af (x)dx

∣∣∣∣ ≤ ∫ +∞

a|f (x)|dx .

Es. Esaminare il comportamento dell’integrale

∫ +∞

1

cos x

x2dx .

La funzione integranda f (x) =cos x

x2e a segno variabile, ne considero il valore

assoluto.

|f (x)| =∣∣∣cos x

x2

∣∣∣ ≤ 1

x2, ∀x ∈ I = [1,+∞). Poiche l’integrale improprio di 1

x2su

[1,+∞) e convergente, per il criterio del confronto, anche

∫ +∞

1

∣∣∣cos x

x2

∣∣∣ dxconverge e, per il criterio di convergenza assoluta, converge anche∫ +∞

1

cos x

x2dx .


Integrali su (−∞, b] e sy R = (−∞,∞)

Se f e limitata e localmente integrabile su I = (−∞, b], l’integraleimproprio di f su I e definito come∫ b

−∞f (t)dt = lim

x→−∞

∫ b

xf (t)dt.

Se f e limitata e localmente integrabile su R, e c ∈ R, alloral’integrale improprio di f su R e:∫ +∞

−∞f (x)dx = lim

a→−∞

∫ c

af (x)dx + lim

b→+∞

∫ b

cf (x)dx

SE esistono finiti i due integrali impropri che compaiono a destraALLORA l’integrale improprio

∫ +∞−∞ f (x)dx e convergente


Integrali di funzioni non limitate su intervalli limitati

Sia I = [a, b), sia f una funzione localmente integrabile su I , nondefinita in x = b (ad es. con lim

x→b−f (x) =∞)

Def. Definiamo integrale improprio di f su [a, b)∫ b

af (t)dt = lim

x→b−

∫ x

af (t)dt




©Paola Gervasio (UniBS) - Analisi Matematica 1 Integrali impropri su intervalli limitati cap10.pdf 17

f (t)

a b t

y

Osservazione Se I = (a, b] e f e una funzione localmenteintegrabile su (a, b], ma non necessariamente definita in x = a (ades. con lim

x→a+f (x) =∞).

Def. Definiamo integrale improprio di f su (a, b]∫ b

af (t)dt = lim

x→a+

∫ b

xf (t)dt





f (t)

b ta

y

Teorema ∫ 1

0

1

tαdt

{converge se α < 1diverge se α ≥ 1

Dimostrazione

∫ 1

0

1

tαdt =

= limx→0+

∫ 1

x

1

tαdt = lim

x→0+

[log(t)]1x se α = 11

1− α[t1−α

]1x

se α 6= 1

= limx→0+

− log(x) se α = 11

1− α(1− x1−α) se α 6= 1

=

+∞ se α = 1

1

1− αse α < 1

+∞ se α > 1


La funzione f (t) = 1/tα per x > 0

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

t

0

2

4

6

8

10


Confrontiamo1

(1− t)α(a sinistra) e

1

tα(a destra)

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

t

0

2

4

6

8

10

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

t

0

2

4

6

8

10

Fissato il valore di α, le due funzioni vanno ad infinito con la stessavelocita, cioe∫ 1

0

1

(1− t)αdt conv ⇔

∫ 1

0

1

tαdt conv ⇔ α < 1


∫ 1

0

1

(1− x)αdx =

∫ 1

0

1

xαdx

Per dimostrarlo basta applicare la sostituzione:

s = 1− x , ds = −dxse x = 0⇒ s = 1, se x = 1⇒ s = 0


Esercizio

Studiare

∫ 1

0

1√1− x

dx .

L’integrale dato converge perche:∫ 1

0

1√1− x

dx =

∫ 1

0

1√xdx =

∫ 1

0

1

x1/2

Quindi α = 1/2 < 1 e si ha convergenza


∫ b

a1

(b−x)αdx e∫ b

a1

(x−a)αdx

∫ b

a

1

(b − x)αdx ∼

∫ 1

0

1

(1− x)αdx =

∫ 1

0

1

xαdx

∫ b

a

1

(x − a)αdx ∼

∫ 1

0

1

(x − 0)αdx =

∫ 1

0

1

xαdx

Questi integrali convergono se α < 1 e divergono se α ≥ 1.


Criterio del confronto (su intervalli limitati)

Teorema.Siano f e g due funzioni localmente integrabili su I = [a, b), t.c.0 ≤ f (x) ≤ g(x), ∀x ∈ I = [a, b). Allora

0 ≤∫ b

af (t)dt ≤

∫ b

ag(t)dt

e: se

∫ b

af (t)dt diverge, allora

∫ b

ag(t)dt diverge

se

∫ b

ag(t)dt converge, allora

∫ b

af (t)dt converge.


Criterio del confronto asintotico (prima parte)


f (t)

a b t

y

Sia f localmente integrabile su I = [a, b) ed ∃` ∈ R \ {0} t.c.

f (x) ∼ `

(b − x)αper x → b−.

Allora∫ b


∫ b

a

1

(b − x)αdx converge ⇔ α < 1∫ b


∫ b

a

1

(b − x)αdx diverge ⇔ α ≥ 1

(seconda parte)


f (t)

b ta

y

Sia f localmente integrabile su I = (a, b] ed ∃` ∈ R \ {0} t.c.

f (x) ∼ `

(x − a)αper x → a+.

Allora∫ b


∫ b

a

1

(x − a)αdx converge ⇔ α < 1∫ b


∫ b

a

1

(x − a)αdx diverge ⇔ α ≥ 1

Esercizio

Es. Esaminare il comportamento dell’integrale∫ 4

2

1

x3 − 4x2 + 4xdx .

Riferimenti bibliografici sull’argomento: Canuto Tabacco, cap.10.1


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