Integrale di Riemann (cont.) Venticinquesima lezione...

Analisi Matematica 1Venticinquesima lezione

Integrale di Riemann (cont.)

prof. Claudio Saccon

Dipartimento di Matematica Applicata, Via F. Buonarroti 1/Cemail: [email protected]

web: http://www2.ing.unipi.it/ d6081/index.htmlRicevimento: ogni lunedı, dalle 9.00 alle 12.00

5 marzo 2010

Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Venticinquesima lezione[1cm]Integrale di Riemann (cont.)5 marzo 2010 1 / 20

Proprieta dell’integrale

Teorema (linearita)Siano f e g due funzioni integrabili su [a,b] e siano c,d due numeri reali.Allora cf +dg e integrabile su [a,b] e∫ b

a(cf +dg)(x)dx = c

∫ b

af (x)dx+d

∫ b

ag(x)dx

Teorema (additivita rispetto all’intervallo)Sia f una funzione integrabile su [a,b] e sia r un numero con a≤ r ≤ a.Allora f e integrabile su [a,r] e su [r,b] e si ha:∫ b

af (x)dx =

∫ r

af (x)dx+

∫ b

rf (x)dx. (add)


Proprieta dell’integraleConvenzione Se b < a conveniamo di porre∫ b

af (x)dx :=−

∫ a

bf (x)dx.

Allora la formula (add) vale indipendentemente dall’ordine di a,b ed r.

Teorema (Monotonia)Se f e integrabile su [a,b] e se f ≥ 0 allora∫ b

af (x)dx≥ 0

DIM

Notiamo che da quanto sopra si deduce che, se f ,g sono integrabili:

f ≥ g⇒∫ b

af (x)dx≥

∫ b

ag(x)dx


Proprieta dell’integrale

Teorema (Prodotto)Se f e g sono integrabili su [a,b] allora il prodotto fg e integrabile su [a,b].

Teorema (Composizione con una lipschitziana)Se f e integrabile su [a,b] e se G : R→ R e lipschitziana, cioe se perun’opportuna costante L

|G(y1)−G(y2)| ≤ L|y1− y2| ∀y1,y2 ∈ R,

allora G◦ f e integrabile su [a,b].


Conseguenza Dato che G(y) = |y|, y+ e y− sono lipschiziane si deduce

f integrabile su [a,b]⇒ |f |, f +, f− integrabili su [a,b]

Inoltre ±∫ b

af (x)dx =±

∫ b

af (x)+ dx∓

∫ b

af (x)− dx≤∫ b

af (x)+ dx+

∫ b

af (x)− dx =

∫ b

a|f (x)|dx.

Ne segue che se f e integrabile su [a,b] si ha:∣∣∣∣∫ b

af (x)dx

∣∣∣∣≤ ∫ b

a|f (x)|dx .


Classi di funzioni integrabili

Teorema (integrabilita delle monotone)Se f : [a,b]→ R e monotona, allora f e integrabile. DIM

Teorema (integrabilita delle continue)Se f : [a,b]→ R e continua, allora f e integrabile.

DIM. nel caso lipschitziano

Esercizio (funzione non integrabile)La funzione di Dirichlet f : R→ R definita da

f (x) :=

{0 se x e razionale,1 se x e irrazionale,

non e integrabile su nessun intervallo [a,b]. Infatti per qualunque n si hasn = 0 e Sn = b−a e quindi Sn− sn non tende a zero.


Teorema (della media)Se f e integrabile su [a,b] allora vale

inf[a,b]

f ≤ 1b−a

∫ b

af (x)dx≤ sup

[a,b]f .

Ricordiamo che il numero1

b−a

∫ b

af (x)dx

si chiama media integrale di f in [a,b].Se inoltre f e continua (e quindi l’integrabilita e automatica) allora esiste unpunto intermedio ξ in [a,b] in cui “f assume la sua media”, cioe:

f (ξ ) =1

b−a

∫ b

af (x)dx

DIM


AntiderivataDefinizione (primitive)Sia f : [a,b]→ R una funzione. Diremo che un’altra funzione F : [a,b]→ R euna primitiva di f (o e un’antiderivata di f ) se F e derivabile in [a,b] e vale

F′(x) = f (x) ∀x ∈ [a,b].

TeoremaSupponiamo che f : [a,b]→ R abbia una primitiva F. Allora l’insieme di tuttele primitive di f e individuato dalla formula:

F1 primitiva di f ⇔ F1 = F + c, c ∈ R.

DIM

Notazione E uso indicare con il simbolo∫f (x)dx

(integrale indefinito di f ) l’insieme di tutte le primitive di f .Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Venticinquesima lezione[1cm]Integrale di Riemann (cont.)5 marzo 2010 16 / 20

Dunque se sappiamo che F′ = f (conosciamo una primitiva), si ha:∫f (x)dx = {F + c : c ∈ R}

(se f e definita su un intervallo !!). Per esempio:∫2xdx =

{x2 + c : c ∈ R

}.

Teorema (Teorema fondamentale del calcolo integrale)Supponiamo che f : [a,b]→ R sia continua e che F : [a,b]→ R sia unaprimitiva di f (cioe che F′ = f ). Allora∫ b

af (x)dx = F(b)−F(a)

(=: [F]ba = [F(x)]x=b

x=a

)DIM

Notiamo che per ora NON SAPPIAMO quali funzioni ammettano primitiva –vedremo poi che tutte le funzioni continue lo fanno.Sappiamo pero che, se troviamo esplicitamente una primitiva, allora siamo ingrado di calcolare esplicitamente l’integrale “definito”.


EsercizioSe α ≥ 0 la funzione x 7→ xα e continua e si ha (basta la verifica):∫

xα dx ={

xα+1

α +1+ c : c ∈ R

}da cui ∫ 1

0xα dx =

1α +1

.

E MOLTO PIU SEMPLICE COSI che ricavarlo dalla definizione di integrale.

Conviene allora fabbricarci una tabella di primitive.


Primitive notevoliFunzione Primitive Funzione Primitive

xα (α 6=−1)xα+1

α +1+ c ex ex + c

1x

ln(|x|)+ c1

cos2(x)tan(x)+ c

sin(x) −cos(x)+ c sinh(x) cosh(x)+ ccos(x) sin(x)+ c cosh(x) sinh(x)+ c

1√1− x2

arcsin(x)+ c1√

1+ x2arcsinh(x)+ c

11+ x2 arctan(x)+ c

1√x2−1

arccosh(x)+ c

Andrebbe notato che la costante c “dipende dall’intervallo”.

Ricordiamo anche che

sinh(x) :=ex− e−x

2, cosh(x) :=

ex + e−x

2.


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