Analisi Matematica 1 Tredicesima...

Analisi Matematica 1Tredicesima lezione

prof. Claudio Saccon

Dipartimento di Matematica Applicata, Via F. Buonarroti 1/Cemail: [email protected]

web: http://www2.ing.unipi.it/ d6081/index.htmlRicevimento: ogni lunedı, dalle 8.30 alle 11.30

19 novembre 2009

Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Tredicesima lezione 19 novembre 2009 1 / 13

Teorema (di composizione o di cambio di variabile)Siano f : A→ B e g : B→ R dove A e B sono sottoinsiemi di R, siano x0 unpunto di accumulazione per A e y0 un punto di accumulazione per B.Supponiamo che

limx→x0

f (x) = y0, limy→y0

g(y) = l

dove l ∈ R. Supponiamo ancora che valga UNA TRA LE DUE ipotesi

g(x) 6= y0 per x vicino a x0

y0 ∈ B e g(y0) = l

ALLORAlim

x→x0g(f (x)) = l


.


OsservazioneIl teorema di composizione nei limiti puo essere interpretato come un teoremadi “cambio di variabile” nei limite. Per esempio dimostriamo che

limx→1

ln(x)x−1

= 1

Se chiamiamo g(x) = x−1 il limite sopra si presenta come

limx→1

ln(1+ f (x))g(x)

= limy→0

ln(1+ y)y

= 1

dove nella prima eguaglianza si sfrutta il teorema di composizione – notiamoche f (x) x→1−−→ 0 (quindi il limite per x→ 1 si e trasformato in un limite pery→ 0) e che f (x) 6= 0 per x 6= 1 (e quindi risulta verificata l’ipotesi delteorema suddetto).Formalmente si puo dire: “pongo y = x−1”, noto che per x→ 1 si ha y→ 0 ey 6= 0; allora posso sostituire x−1 con y e fare il limite per y→ 0


Teorema (limiti destro e sinistro per funzioni monotone)Sia f : I→ R una funzione crescente (decrescente) dove I e un intervallo diestremi a < b (anche infiniti). Allora per ogni x0 con a≤ x0 < b esiste

limx→x+

0

f (x) = infx>x0

f (x)(

= supx>x0

f (x))

.

Analogamente per ogni x0 con a < x0 ≤ b esiste

limx→x−0

f (x) = supx<x0

f (x)(

= infx<x0

f (x))

.

Di conseguenza, se a < x0 < b e se f e crescente

limx→x−0

f (x)≤ f (x0)≤ limx→x+

0

f (x)

mentre se f e decrescente

limx→x−0

f (x)≥ f (x0)≥ limx→x+

0

f (x)


Limiti notevoli

limx→+∞

axk +potenze di grado minore di kbxh +potenze di grado minore di h

=

0 se k < hab se k = hab ·+∞ se k > h

limx→−∞

axk +potenze di grado minore di kbxh +potenze di grado minore di h

=

0 se k < hab se k = h(−1)k−h a

b ·+∞ se k > h

limx→+∞

Ax

xα= +∞ se A > 1 e α ∈ R

limx→−∞

xαAx = 0 se 0 < A < 1 e α ∈ R

limx→+∞

ln(x)xε

= 0 se ε > 0

limx→0+

xε ln(x) = 0 se ε > 0


Limiti notevoli

limx→0

(1+ x)1x = lim

x→+∞

(1+

1x

)x

= e

limx→0

ex−1x

= 1

limx→0

ln(1+ x)x

= 1

limx→0

(1+ x)α −1x

= α se α ∈ R

limx→0

sin(x)x

= 1

limx→0

1− cos(x)x2 =

12


Ordine di infinitesimo per funzioniDefinizionef e g definite vicino a x0 in R. Diremo che f e g sono a asintotiche in x0 se

limx→x0

f (x)g(x)

= 1

Diremo che che f e un o piccolo di g in x0 e scrivendo f (x) = o(g(x)) se

limx→x0

f (x)g(x)

= 0

Diremo anche che f e un o grande di g e scrivendo f (x) = O(g(x)) se

f (x)g(x)

e limitata vicino a x0.

ATTENZIONE - in queste definizioni il punto x0 CONTA. Spesso pero,quando x0 e chiaro dal contesto x0 viene sottinteso


Teorema (Proprieta de gli o piccoli/ o grandi per funzioni)Siano f e g due funzioni definite vicino a un punto x0.

1 f ' g⇔ f = g(1+o(1))⇔ f = g+o(g)⇒ f = O(g) g+o(g) = O(g);2 f = o(g)⇒ f = O(g) o(g) = O(g);3 Se f1 = O(g), f2 = O(g)⇒ f1 + f2 = O(g) O(g)+O(g) = O(g);4 Se f1 = o(g), f2 = O(g)⇒ f1 + f2 = O(g) o(g)+O(g) = O(g);5 Se f1 = o(g), f2 = o(g)⇒ f1 + f2 = o(g) o(g)+o(g) = o(g);6 Se f1 = O(g1), f2 = O(g2)⇒ f1f2 = O(g1g2) O(g1)O(g2) = O(g1g2);7 Se f1 = o(g1), f2 = O(g2)⇒ f1f2 = o(g1g2) o(g1)O(g2) = o(g1g2);8 Se f1 = o(g1), f2 = o(g2)⇒ f1f2 = o(g1g2) o(g1)o(g2) = o(g1g2);9 Se f = O(g),h = O(f )⇒ h = O(g) O(O(g)) = O(g);10 Se f = o(g),h = O(f )⇒ h = o(g) O(o(g)) = o(g);11 Se f = O(g),h = o(f )⇒ h = o(g) o(O(g)) = o(g);12 Se f = o(g),h = o(f )⇒ h = o(g) o(o(g)) = o(g).


Limiti notevoli in termini di ordine di infinitesimo

ex = 1+ x+o(x)ln(1+ x) = x+o(x)(1+ x)α = 1+αx+o(x)sin(x) = x+o(x)

cos(x) = 1− x2

2+o(x2)


esercizi

limx→0

(√1+ x2− cos(x)

)xsin(x)

limx→0

ln(cos(x))x

limx→0

cos(x)1

x2

limx→0

√1+ x−1− x/2

x2


.


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