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Introduzione al calcolo differenziale Federico Lastaria, Analisi e Geometria 1

Politecnico di Milano

Corso di Analisi e Geometria 1

Federico Lastaria

[email protected]

Introduzione al calcolo differenziale

20 Ottobre 2015

Indice

1 Derivate 3

1.1 Definizione di derivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Differenziabilita e derivabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Derivabilita implica continuita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Riassunto di modi equivalenti di definire le funzioni derivabili . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4.1 Derivata come limite del rapporto incrementale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4.2 Funzione differenziabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4.3 Formulazione di Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4.4 Formulazione di Caratheodory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Regole per il calcolo delle derivate 8

2.1 Derivata della somma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 Derivata del prodotto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Derivata della funzione composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3.1 Dimostrazione basata sulla formulazione a la Caratheodory . . . . . . . . . . . 10

2.4 Derivata della funzione inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.5 Derivata della funzione reciproca1

f. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.6 Derivata del quoziente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.7 Derivata di xn, n ∈ N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.8 Alcuni limiti importanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.9 Derivata di exp e log . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.10 Derivata di xα, (α ∈ R, x > 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.11 Derivata di sinx e cosx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.12 Il differenziale. Approssimazione al primo ordine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 Nota storica. Fluenti e flussioni 19

4 Funzioni derivabili su un intervallo 21

Pag. 1


4.1 Punti di massimo o minimo locale per una funzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.2 Teorema di Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.3 Teorema di Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.4 Teorema di Lagrange (o del valore medio, o degli incrementi finiti) . . . . . . . . . . . 23

4.5 Teorema di Cauchy (o degli incrementi finiti) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.6 Funzioni con derivata nulla su un intervallo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.7 Funzioni con derivate uguali su un intervallo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.8 Funzioni crescenti o decrescenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.9 Funzioni strettamente monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.10 Massimi e minimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.11 Regole di de L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.12 Alcuni limiti importanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.13 Confronto tra infiniti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5 Rapporto tra derivabilita e limiti della derivata 35

5.1 Relazione tra derivate e limiti delle derivate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.2 Osservazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.3 Punti angolosi e di cuspide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

6 Formule di Taylor 41

6.1 Il polinomio di Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6.2 Funzioni di classe Ck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6.3 Studio locale. Formula di Taylor con il resto nella forma di Peano . . . . . . . . . . . . 42

6.3.1 Alcune importanti approssimazioni locali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6.4 Studio su un intervallo. Formula di Taylor con il resto nella forma di Lagrange . . . . 44

6.4.1 Un’applicazione: stima dell’errore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6.5 Complementi: Prime nozioni sulle funzioni sviluppabili in serie di potenze. . . . . . . . 47

7 Funzioni convesse 50

7.1 Interpretazione del segno della derivata seconda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Pag. 2


1 Derivate

1.1 Definizione di derivata

Sia If−→ R una funzione definita su un intervallo aperto I dell’asse reale e sia x0 un punto di I. Si

chiama rapporto incrementale di f relativo ad x0 la funzione

x 7−→ f(x)− f(x0)

x− x0(1.1)

che risulta definita in I \ {x0}.

Definizione 1.1 (Derivata come limite del rapporto incrementale. Cauchy, 1821). Sia If−→ R una

funzione definita su un intervallo aperto I ⊂ R e sia x0 in I. Si dice che f e derivabile in x0 se esisteil limite

f ′(x0) = limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0(1.2)

Il valore f ′(x0) di questo limite si chiama la derivata di f nel punto x0.

Posto x− x0 = h, tale limite si scrive nella forma equivalente

f ′(x0) = limh→0

f(x0 + h)− f(x0)

h(1.3)

Per denotare la derivata di f in x0 si usano anche altre le notazioni, tra le quali:

Df (x0) f(x0)

(df

dx

)x=x0

df

dx(x0)

Derivata a destra e a sinistra

La definizione di derivata si puøestendere al caso in cui il punto x0 sia il primo o il seondo estremo diun intervallo. Supponiamo che la funzione f , a valori reali, sia definita su un intervallo chiuso [a, b].Diremo che f e derivabile a destra nel punto x0 = a, se esiste (si intende finito) il limite del rapportoincrementale quando x tende al punto x0 da destra, cioe quando esiste finito il

limx→x+

0

f(x)− f(x0)

x− x0(1.4)

Se tale limite esiste finito, si chiamera derivata a destra e lo si indichera con

f ′+(x0)

In modo analogo, una funzione reale f , definita su un intervallo [a, b], si dice derivabile in x0 = b seesiste il limite

limx→x−0

f(x)− f(x0)

x− x0(1.5)

che si denotera (quando esiste finito) con il simbolo

f ′−(x0)

e si chiamera derivata a sinistra nel punto b.

A volte useremo ancora il simbolo f ′, al posto di f ′+ o f ′−, quando il significato dei simboli e chiarodal contesto.

Pag. 3


Funzioni derivabili in un intervallo

Diremo che una funzione If−→ R, definita su un intervallo I ⊂ R (che potrebbe essere chiuso o no,

limitato o no) e derivabile in I, se ammette derivata in tutti i punti interni di I e inoltre ammettederivata destra nel primo estremo di I e derivata sinistra nel secondo estremo di I, quando questiestremi appartengono a I.

Se f e derivabile in tutto I, si viene allora a definire una nuova funzione

If ′−→ R (1.6)

chiamata la funzione derivata di f , anch’essa definita su I.

Se anche f ′ e derivabile su tutto I, avremo la derivata seconda f ′′, ancora definita su I e cosı via.La derivata n-esima (se esiste) si denota con il simbolo f (n) (e si pone allora f (0) = f).

1.2 Differenziabilita e derivabilita

Definizione 1.2 (Funzione differenziabile). Una funzione If−→ R, definita in un intorno I del punto

x0, si dice differenziabile in x0 ∈ R se esiste un numero a ∈ R per il quale si possa scrivere

f(x0 + h) = f(x0) + ah+ o(h) (1.7)

Ricordiamo che la richiesta che il resto in (1.7) sia un o(h) significa, per definizione di o(h), che

limh→0

f(x0 + h)− f(x0)− ahh

= 0

Per una funzioni reale di una variabile reale If−→ R, definita su un intorno I di x0 ∈ R, le due

condizioni di essere derivabile in x0 (nel senso usuale dell’esistenza del limite del rapporto incrementale)e di essere differenziabile in x0 sono equivalenti:

f e derivabile in x0 se e solo se e differenziabile in x0.

I prossimi due teoremi lo dimostrano.

Teorema 1.3 (Derivabilita implica differenziabilita). Se una funzione f e derivabile in x0, conderivata f ′(x0), allora f e differenziabile in x0. Precisamente, vale:

f(x0 + h) = f(x0) + f ′(x0)h+ o(h) (1.8)

Dimostrazione. Bisogna dimostrare che f(x0 + h)− f(x0)− f ′(x0)h e o(h):

limh→0

f(x0 + h)− f(x0)− f ′(x0)h

h= lim

h→0

[f(x0 + h)− f(x0)

h− f ′(x0)

]= f ′(x0)− f ′(x0)

= 0

Q.E.D.

Pag. 4


Teorema 1.4 (Differenziabilita implica derivabilita). Se f e differenziabile in x0, allora f e derivabilein x0. Piu precisamente, supponiamo che esista a ∈ R per il quale valga

f(x0 + h) = f(x0) + a · h+ o(h) (1.9)

Allora f e derivabile in x0 e f ′(x0) = a.

Dimostrazione. Infatti, se vale la condizione di differenziabilita (1.9), il rapporto incrementale di f edato da:

f(x0 + h)− f(x0)

h= a+

o(h)

hQuindi il limite del rapporto incrementale esiste ed e uguale al numero a:

limh→0

f(x0 + h)− f(x0)

h= lim

h→0

[a+

o(h)

h

]= a+ lim

h→0

o(h)

h= a

Quindi f e derivabile e f ′(x0) = a. Q.E.D.

Esercizio 1.5. Dall’uguaglianza (x+ h)3 = x3 + 3x2h+ 3xh2 + h3 dedurre che la derivata dellafunzione x3 e 3x2.

1.3 Derivabilita implica continuita

Teorema 1.6 (Derivabilita implica continuita). Se f e derivabile in x0, allora e continua in x0.

Dimostrazione. Partiamo dall’identita

f(x) = f(x0) +f(x)− f(x0)

x− x0(x− x0)

Per x→ x0, passando ai limiti:

limx→x0

f(x) = f(x0) + limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0limx→x0

(x− x0) = f(x0) + f ′(x0).0 = f(x0)

Questo prova che f e continua in x0.

Un’altra dimostrazione e la seguente. Poiche f e differenziabile in x0, si scrive

f(x0 + h) = f(x0) + f ′(x0)h+ o(h)

Passando al limite per h→ 0:

limh→0

f(x0 + h) = limh→0

[f(x0) + f ′(x0)h+ o(h)]

= f(x0) + limh→0

f ′(x0)h+ limh→0

o(h)

= f(x0) + limh→0

f ′(x0)h+ limh→0

ho(h)

h= f(x0) + 0 + 0 = f(x0)

Q.E.D.

Pag. 5


1.4 Riassunto di modi equivalenti di definire le funzioni derivabili

1.4.1 Derivata come limite del rapporto incrementale

Definizione 1.7 (Cauchy, 1821). Sia If−→ R una funzione definita su un intervallo aperto I ⊂ R e

sia x0 in I. Si dice che f e derivabile in x0 se esiste (finito) il limite


f(x)− f(x0)

x− x0(1.10)

Il valore f ′(x0) di questo limite si chiama la derivata di f nel punto x0.Posto x− x0 = h, tale limite si scrive nella forma equivalente

f ′(x0) = limh→0

f(x0 + h)− f(x0)

h(1.11)

1.4.2 Funzione differenziabile

Definizione 1.8 (Funzione differenziabile, con la notazione dell’o-piccolo). Una funzione If−→ R,

definita in un intorno I del punto x0, si dice differenziabile in x0 ∈ R se esiste un numero f ′(x0) ∈ Rper il quale valga l’uguaglianza

f(x0 + h) = f(x0) + f ′(x0)h+ o(h) (1.12)

Una piccola variante di questa formulazione consiste nello scrivere il resto nella forma hα(h), dovelimh→0 α(h) = 0.

Definizione 1.9. Una funzione If−→ R, definita in un intorno I del punto x0, si dice differenziabile

in x0 ∈ R, con derivata f ′(x0), se si puo scrivere

f(x0 + h) = f(x0) + f ′(x0)h+ hα(h) (1.13)

dove limh→0 α(h) = 0.

L’uguaglianza (1.13) determina il valore1 di α(h), se h 6= 0. Se definiamo α(h) anche per h = 0ponendo α(0) = 0, la funzione α risulta continua in 0.

1Infatti, per h 6= 0 l’uguaglianza (1.13) determina α(h) =f(x0+h)−f(x0)−f ′(x0)h

h.

Pag. 6


1.4.3 Formulazione di Weierstrass

Definizione 1.10 (Weierstrass, 1861). Una funzione If−→ R, definita in un intorno I del punto x0,

si dice differenziabile in x0 ∈ R se esiste un numero f ′(x0) ∈ R e se esiste una funzione r(x), continuain x0 e soddisfacente r(x0) = 0, che soddisfino

f(x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0) + r(x)(x− x0) (1.14)

Si vede subito che questa condizione e equivalente alla condizione (1.13), dove la funzione α(h) econtinua in h = 0 e α(0) = 0. Ovviamente, per passare dalla formulazione (1.13) alla (1.14) bastaporre h = x− x0 e α(h) = α(x− x0) = r(x).

1.4.4 Formulazione di Caratheodory

Definizione 1.11 (Caratheodory, 1950). Una funzione f , definita su un intervallo aperto U ⊂ R, sidice differenziabile nel punto x0 ∈ U se esiste una funzione ϕx0

(x) che e continua in x0 e per la qualesi ha, per ogni x ∈ U ,

f(x) = f(x0) + ϕx0(x)(x− x0) (1.15)

Il valore che la funzione ϕx0(x) assume nel punto x0 e la derivata f ′(x0) di f in x0.

Facciamo qualche commento su questa formulazione di Caratheodory2.

L’interpetazione geometrica della funzione ϕx0(x) e ovvia. Infatti, da (1.15) si ricava subito che,

per x 6= x0,

ϕx0(x) =

f(x)− f(x0)

x− x0(1.16)

Dunque ϕx0(x) non e altro che il rapporto incrementale di f relativo al punto x0, ossia e la pendenza

della retta secante che passa per i punti (x0, f(x0)) e (x, f(x)). La definizione alternativa (1.15)enfatizza il fatto che le pendenze ϕx0(x) delle rette secanti si avvicinano alla pendenza della rettatangente in modo continuo, un’osservazione interessante e in genere poco sottolineata. La richiestache ϕx0

(x) sia continua in x0 significa che esiste il limite

ϕx0(x0) = lim

x→x0

ϕx0(x) = lim

x→x0

f(x)− f(x0)

x− x0

e che quindi ϕx0(x0) = f ′(x0).

Si vede subito che la condizione (1.15) e la continuita di ϕx0(x) in x0 implicano che f(x) e continua

in x0.

Utilizzeremo la formulazione di Caratheodory nella dimostrazione del teorema (2.8) sulla derivatadella funzione composta.

2Constantin Caratheodory (1873-1950).

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2 Regole per il calcolo delle derivate

2.1 Derivata della somma

Ricordiamo che la somma di due funzioni f e g e la funzione definita da

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

Teorema 2.1 (Derivata della somma). Siano f e g funzioni a valori reali, definite su un intorno delpunto x0 e entrambe derivabili in x0. Allora la funzione f + g e derivabile in x0 e si ha

(f + g)′(x0) = f ′(x0) + g′(x0) (2.1)

Dimostrazione. Il rapporto incrementale, a partire da x0, della funzione f + g si scrive:

(f + g)(x)− (f + g)(x0)

x− x0=f(x)− f(x0)

x− x0+g(x)− g(x0)

x− x0

Quando x tende a x0 il secondo membro tende a f ′(x0) + g′(x0). Q.E.D.

2.2 Derivata del prodotto

Date due funzioni f e g, a valori reali, il loro prodotto f · g (oppure fg) e la funzione definita da

(f · g)(x) = f(x) · g(x)

Teorema 2.2 (Derivata del prodotto. Regola di Leibniz). Siano f(x) e g(x) funzioni a valori reali,definite su un intorno del punto x0 e entrambe derivabili in x0. Allora la funzione prodotto f(x)g(x)e derivabile in x0 e

(f · g)′(x0) = f ′(x0)g(x0) + f(x0)g′(x0) (2.2)

Prima dimostrazione. Scriviamo il rapporto incrementale della funzione prodotto f · g. Notiamoche vale l’identita

f(x)g(x)− f(x0)g(x0)

x− x0= f(x)

g(x)− g(x0)

x− x0+ g(x0)

f(x)− f(x0)

x− x0

che si ottiene con il trucco di sommare e sottrarre a secondo membro il termine f(x)g(x0). Quando x

tende a x0, il termine f(x) tende a f(x0) (per la continuita di f in x0), il rapportog(x)− g(x0)

x− x0tende

a g′(x0) e il rapportof(x)− f(x0)

x− x0tende a f ′(x0). Quindi il limite del secondo membro, quando x

tende a x0, esiste ed e uguale af(x0)g′(x0) + f ′(x0)g(x0)

Dunque la regola 2.2 e dimostrata.

Seconda dimostrazione. Per ipotesi, f e g sono differenziabili in x0. Questo significa che

f(x0 + h) = f(x0) + f ′(x0)h+ o(h), g(x0 + h) = g(x0) + g′(x0)h+ o(h)

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Scriviamo per semplicita p(x) = f(x)g(x). Allora p(x0 + h) = f(x0 + h)g(x0 + h) si scrive nel modoseguente:

p(x0 + h) = f(x0 + h)g(x0 + h)

=[f(x0) + f ′(x0)h+ o(h)

][g(x0) + g′(x0)h+ o(h)

]= p(x0) +

[f ′(x0)g(x0) + f(x0)g′(x0)

]h+

+ (f(x0) + g(x0))o(h) + f ′(x0)g′(x0)h2 + f ′(x0)ho(h) + g′(x0)ho(h) + o(h)o(h)︸︷︷︸Tutto questo termine, chiamiamolo R(h), e un o(h)

Il resto R(h) e un o(h), in quanto somma di cinque termini, ciascuno dei quali e un o(h). Infatti, bastanotare quanto segue: una costante per un o(h) e un o(h); h2 e un o(h); ho(h) e un o(h); e o(h)o(h) e uno(h). Queste ultime affermazioni sono tutte ovvie. In definitiva abbiamo scritto il prodotto p(x0 + h)come:

p(x0 + h) = p(x0) +[f ′(x0)g(x0) + f(x0)g′(x0)

]h+ o(h) (2.3)

Allora possiamo concludere che il prodotto p(x) e differenziabile in x0 e che la sua derivata in x0 valeproprio

p′(x0) = f ′(x0)g(x0) + f(x0)g′(x0)

Q.E.D.

2.3 Derivata della funzione composta

Teorema 2.3 (Derivata della funzione composta).3 Se e definita la funzione composta g ◦ f , f ederivabile in x0 e g e derivabile in y0 = f(x0), allora g ◦ f e derivabile in x0 e si ha

(g ◦ f)′(x0) = g′(y0) · f ′(x0) (2.4)

Dimostrazione. L’ipotesi che f sia derivabile in x0 si puøscrivere

f(x0 + h) = f(x0) + f ′(x0) · h+ α(h) · h (2.5)

dove α(h)→ 0 quando h→ 0. Posto f ′(x0) · h+ α(h) · h = k, la 2.5 si scrive

f(x0 + h) = f(x0) + k (2.6)

dove la quantita k tende a zero quando h tende a zero. Similmente, l’ipotesi che g sia derivabile iny0 = f(x0) si scrive

g(y0 + k)− g(y0) = g′(y0) · k + β(k) · k (2.7)

dove β(k)→ 0 quando k → 0. Scriviamo ora il rapporto incrementale di g ◦ f :

1

h

[g(f(x0 + h))− g(f(x0))

]=

1

h

[g(f(x0) + k)− g(f(x0))

](per la 2.6)

=1

h

[g(y0 + k)− g(y0)

]=

1

h

[g′(y0) · k + β(k) · k

](per la 2.7)

= g′(y0) · kh

+ β(k) · kh

= g′(y0) · f(x0 + h)− f(x0)

h+ β(k) · f(x0 + h)− f(x0)

h

3Questa regola e chiamata chain rule (regola della catena) in inglese.

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Quando h tende a zero, il termine g′(y0) · f(x0 + h)− f(x0)

htende a g′(y0) · f ′(x0), mentre il termine

β(k) · f(x0 + h)− f(x0)

h(prodotto di una quantita che tende a zero per una che tende a un limite

finito) tende a zero. La formula 2.7 e quindi dimostrata. Q.E.D.

2.3.1 Dimostrazione basata sulla formulazione a la Caratheodory

La formulazione a la Caratheodory si presta bene a dimostrare la regola della catena per la derivatadella funzione composta.

Teorema 2.4 (Regola della catena). Se e definita la funzione composta g ◦ f , f e derivabile in x0 eg e derivabile in y0 = f(x0), allora g ◦ f e derivabile in x0 e si ha

(g ◦ f)′(x0) = g′(f(x0)) · f ′(x0) (2.8)

Dimostrazione. Dal momento che f e derivabile in x0, esiste una funzione ϕ continua in x0, per laquale vale

f(x)− f(x0) = ϕ(x)(x− x0) (2.9)

Si ha ϕ(x0) = f ′(x0). Analogamente, esiste una funzione ψ continua in y0 = f(x0), per la quale vale

g(y)− g(y0) = ψ(y)(y − y0) (2.10)

con ψ(y0) = g′(y0). Posto f(x) = y e f(x0) = y0, risulta allora:

g(f(x))− g(f(x0)) = g(y)− g(y0)

= ψ(y)(y − y0)

= ψ(f(x))(f(x)− f(x0))

= ψ(f(x))ϕ(x)(x− x0)

= ψ(f(x))ϕ(x)︸︷︷︸=ω(x)

(x− x0)

La funzione ω(x) = ψ(f(x))ϕ(x) e continua in x0 (perche prodotto di funzioni continue). Quindig(f(x)) e derivabile (secondo Caratheodory) e

(g ◦ f)′(x0) = ω(x0)

= ψ(f(x0))ϕ(x0)

= ψ(y0)ϕ(x0)

= g′(y0) · f ′(x0)

come si voleva dimostrare. Q.E.D.

2.4 Derivata della funzione inversa

Teorema 2.5 (Derivata della funzione inversa). Sia f una funzione reale definita su un intervallo Ie invertibile. Supponiamo f derivabile in un punto x0 ∈ I e f ′(x0) 6= 0. Allora la funzione inversaf−1 e derivabile nel punto y0 = f(x0) e si ha

(f−1)′(y0) =1

f ′(x0)(2.11)

Pag. 10


Dimostrazione. Poniamo x = f−1(y). Scriviamo il rapporto incrementale di f−1, a partire a y0, come

f−1(y)− f−1(y0)

y − y0=

x− x0

f(x)− f(x0)=

1(f(x)− f(x0)

)/(x− x0)

Ora si ricordi che se una funzione f e continua su un intervallo e continua, anche la sua inversa f−1

e continua. Quindi, se y tende a y0, x tende a x0, e allora il limite a secondo membro tende a 1f ′(x0) .

Q.E.D.

2.5 Derivata della funzione reciproca1

f

Teorema 2.6 (Derivata della funzione reciproca). Sia f una funzione reale definita in un intorno diun punto x (fissato) in R, derivabile in x e diversa da zero in x. Allora la funzione 1/f e derivabilein x e si ha:

D1

f(x)= − f ′(x)[

f(x)]2 (2.12)

Osserviamo anzitutto che f , per ipotesi derivabile nel punto x, deve essere continua in x. Quindi,essendo f(x) 6= 0, la funzione f si mantiene diversa da zero in tutto un intorno di x. (Ad esempio,se f(x) > 0, esiste un intorno di x in cui f e positiva). Ne segue che la funzione 1/f e definita in unintorno di x, (perche il denominatore in quell’intorno si mantiene diverso da zero).

Dimostrazione. Il rapporto incrementale (rispetto al fissato punto x) si scrive:

1

h

[1

f(x+ h)− 1

f(x)

]=

1

h· f(x)− f(x+ h)

f(x)f(x+ h)

Quando h tende a zero, il termine1

h· (f(x)− f(x+ h)) tende a −f ′(x), mentre il denominatore tende

a f(x)2. Quindi il rapporto incrementale tende a − f ′(x)[f(x)

]2 . Q.E.D.

2.6 Derivata del quoziente

Teorema 2.7 (Derivata del quoziente). Siano f(x) e g(x) due funzioni derivabili, con g(x) 6= 0.Allora il rapporto f(x)/g(x) e derivabile e si ha:

Df(x)

g(x)=f ′(x)g(x)− f(x)g′(x)[

g(x)]2 (2.13)

Dimostrazione. Basta notare chef(x)

g(x)= f(x) · 1

g(x)e usare la regola di Leibniz del prodotto e la

Pag. 11


regola 2.13:

Df(x)

g(x)= D

[f(x) · 1

g(x)

]= f ′(x) · 1

g(x)+ f(x) ·D 1

g(x)

= f ′(x) · 1

g(x)− f(x) · g

′(x)

[g(x)]2

=f ′(x)g(x)− f(x)g′(x)[

g(x)]2

2.7 Derivata di xn, n ∈ N

Teorema 2.8 (Derivata di xn, n ∈ N). La derivata di xn, n ∈ N, e

Dxn = nxn−1 (2.14)

Dimostrazione. Fissiamo un x in R. Se h e un qualunque incremento, il rapporto incrementale e dato(per lo sviluppo del binomio di Newton) da:

1

h·[(x+ h)n − xn

]=

1

h·[xn +

(n

1

)xn−1h+

(n

2

)xn−2h2 + · · ·+

(n

n

)hn − xn

]=

1

h·[(n

1

)xn−1h+

(n

2

)xn−2h2 + · · ·+

(n

n

)hn]

=1

h· h ·

[nxn−1 +

(n

2

)xn−2h+ · · ·+

(n

n

)hn−1

]=

[nxn−1 +

(n

2

)xn−2h+ · · ·+

(n

n

)hn−1

]Quando h tende a zero, l’espressione contenuta nell’ultima parentesi quadra tende a nxn−1. Q.E.D.

La derivata di xn, n intero positivo, si puøanche calcolare in un altro modo. Supponiamo di averegia verificato che Dx = 1. Allora, per la regola di Leibniz,

Dx2 = D(x · x)

= (Dx) · x+ x · (Dx)

= 1 · x+ x · 1 = 2x

Analogamente, per ogni n, si ha:

Dxn = D(x · · ·x)

= (Dx) · x · · ·x+ x · (Dx) · · ·x+ · · ·+ x · x · · ·x · (Dx)

= 1 · x · · ·x+ x · 1 · x · · ·x+ · · ·+ x · x · · · 1 =

= xn−1 + xn−1 + · · ·+ xn−1 = nxn−1

In modo piu formale, l’uguaglianza Dxn = nxn−1 si dimostra per induzione su n.

2.8 Alcuni limiti importanti

Ricordiamo alcuni fatti che riguardano la costante e di Napier. La ragione per cui si preferisce scegliereil numero e come base per la funzione esponenziale e come base per la funzione logaritmo sta nel fatto

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che, con tale scelta, si ha, come vedremo piu avanti,

Dex = ex, D ln(x) =1

x

(In genere, useremo il simbolo ln per denotare il logaritmo “naturale”, ossia in base e. Se necessarioper evitare equivoci, scriveremo anche loge). Se invece si sceglie una base a qualunque (purche positivae diversa da 1), dimostreremo che valgono le regole di derivazione piu complicate:

Dax = ax · ln a, D loga(x) =1

x· loga e

Ricordiamo anzitutto che abbiamo definito il numero e come il limite della successione (1 + 1/n)n:

e = limn→+∞

(1 +

1

n

)n(2.15)

Insistiamo sul fatto che l’uguaglianza appena scritta non e un teorema, ma una definizione. Piuprecisamente, si dimostra che la successione (1+1/n)n e crescente e limitata; quindi, per la completezzadi R, converge a un numero reale. Tale numero reale, per definizione, e chiamato e. Inoltre si dimostrasenza difficolta (ma non riportiamo la dimostrazione) che si ha anche:

limx→+∞

(1 +

1

x

)x= e (2.16)

limn→−∞

(1 +

1

x

)x= e (2.17)

Di conseguenza, ponendo 1/x = y, ricaviamo l’importante limite

limy→0

(1 + y

) 1y = e (2.18)

che sara fondamentale per le nostre considerazioni.

Possiamo allora dimostrare che valgono alcuni limiti fondamentali:

Teorema 2.9. Per ogni base a (positiva e diversa da 1), si ha

limy→0

loga(1 + y)

y= loga e =

1

loge a(2.19)

In particolare, se a = e,

limy→0

ln(1 + y)

y= 1 (2.20)

Dimostrazione.

limy→0

loga(1 + y)

y= lim

y→0loga

[(1 + y)

1y]

(Proprieta dei logaritmi: loga bc = c loga b).

= loga limy→0

[(1 + y)

1y]

(Perche la funzione loga e continua).

= loga e (Per il limite 2.18).

=1

loge a(Proprieta dei logaritmi: loga b =

1

logb a).

(L’uguaglianza loga b =1

logb asegue dall’ovvia equivalenza

aw = b⇐⇒ a = b1/w

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Infatti, per la definizione di logaritmo, tale equivalenza si legge: w = loga b se e solo se1

w= logb a).

In particolare, se a = e, si ha loga e = loge e = 1, e quindi si ricava l’uguaglianza 2.20:

limy→0

ln(1 + y)

y= 1 (2.21)

Q.E.D.

Teorema 2.10. Per ogni base a (positiva e diversa da 1), si ha

limx→0

ax − 1

x= loge a (2.22)

In particolare, se a = e, si ha

limx→0

ex − 1

x= 1 (2.23)

Dimostrazione. Per ricondurci al precedente limite 2.19, operiamo il cambio di variabili ax − 1 = y,da cui si ricava x = loga(1+y). Quando x tende a zero, anche y tende a zero. Allora, tenendo presenteil limite 2.19, si ha:

limx→0

ax − 1

x= lim

y→0

y

loga(1 + y)

= loge a

Q.E.D.

2.9 Derivata di exp e log

Teorema 2.11 (Derivata del logaritmo). La derivata di lnx (logaritmo naturale, in base e) e

D lnx =1

x(2.24)

La derivata del logaritmo loga(x) in base arbitraria e

D loga x =1

x· loga e (2.25)

Dimostrazione. Per mettere meglio in evidenza il ruolo del numero e, calcoliamo dapprima la derivata

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della funzione loga(x) con una base arbitraria (a 6= 1, a > 0):

limh→0

loga(x+ h)− loga(x)

h= lim

h→0

loga(x(1 + h/x)

)− loga(x)

h

= limh→0

loga(x) + loga(1 + h/x)− loga(x)

h

= limh→0

loga(1 + h/x)

h

= limh→0

1

x

loga(1 + h/x)

h/x

=1

x· limh→0

loga(1 + h/x)

h/x

=1

x· limy→0

loga(1 + y)

y(Si e posto h/x = y).

=1

x· limy→0

loga[(1 + y)1/y

]=

1

x· loga lim

y→0

[(1 + y)1/y

](Per la continuita di loga).

E a questo punto che si impone all’attenzione il numero definito dal limite

limy→0

[(1 + y)1/y

]Abbiamo gia visto che tale limite esiste ed e chiamato e. Allora, dall’ultima uguaglianza scritta, seguela tesi 2.25

D loga(x) =1

x· loga e

Se poi scegliamo come base dei logaritmi proprio il numero a = e, si ha loga e = loge e = 1, e quindi

D loge(x) =1

x

Q.E.D.

Teorema 2.12 (Derivata dell’esponenziale). La derivata dell’esponenziale ex e

Dex = ex (2.26)

La derivata di ax eDax = ax · ln a (2.27)

Dimostrazione. Calcoliamo la derivata di ex, in un generico punto fissato x in R, come limite delrapporto incrementale:

limh→0

ex+h − ex

h= lim

h→0

exeh − ex

h

= limh→0

exeh − 1

h

= ex limh→0

eh − 1

h= ex · 1 (Per il limite 2.23)

= ex

Pag. 15


Esattamente nello stesso modo, usando il limite 2.22, si dimostra che Dax = ax · logea:

limh→0

ax+h − ax

h= lim

h→0

axah − ax

h

= limh→0

axah − 1

h

= ax limh→0

ah − 1

h= ax · loge a (Per il limite 2.22)

Naturalmente, si puødimostrare Dex = ex vedendo la funzione ex come l’inversa di ln(x) e usando ilteorema della derivazione della funzione inversa. Posto exp(x) = y, x = ln(y), si ha

(exp)′(x) =1

(ln)′(y)

=1

1/y= y

= exp(x)

Q.E.D.

2.10 Derivata di xα, (α ∈ R, x > 0)

La funzione xα, con α numero reale arbitrario, e definita per x > 0. La sua derivata e α · xα−1:

Teorema 2.13. La derivata di xα, (α ∈ R, x > 0) e

Dxα = αxα−1 (2.28)

Dimostrazione. Basta scrivere xα come eln(xα) e usare le regole di derivazione dell’esponenziale edella funzione composta:

Dxα = Deln(xα)

= Deα ln(x)

= eα ln(x) · α · 1

x

= xα · α · 1

x

= αxα−1

Q.E.D.

2.11 Derivata di sinx e cosx

Per calcolare la derivata di sinx dobbiamo ricordare che vale il seguente limite fondamentale:

limx→0

sinx

x= 1 (2.29)

Pag. 16


Da tale limite si ricava:

limh→0

cosh− 1

h= 0 (2.30)

Infatti,

cosh− 1

h= =

(cosh− 1)(cosh+ 1)

h(cosh+ 1)

=cos2 h− 1

h(cosh+ 1)

= − sin2 h

h(cosh+ 1)

= − sinh

h· sinh

cosh+ 1

che tende a zero, perchesinh

h→ 1 e

sinh

cosh+ 1→ 0.

Teorema 2.14.D sinx = cosx (2.31)

eD cosx = − sinx (2.32)

Dimostrazione. Scriviamo il rapporto incrementale e usiamo le formule di addizione del seno:

sin(x+ h)− sinx

h=

1

h·[

sinx cosh+ cosx sinh− sinx]

= sinxcosh− 1

h+ cosx

sinh

h

Quando h tende a zero, cosh−1h tende a 0 e sinh

h tende a 1. Quindi il rapporto incrementale tende acosx.

Con un conto analogo, usando le formule di addizione del coseno, si dimostra che D cosx = sinx:

cos(x+ h)− cosx

h=

1

h·[

cosx cosh− sinx sinh− cosx]

= cosxcosh− 1

h− sinx

sinh

h

da cui segue che il limite del rapporto incrementale e − sinx. Oppure, si puøosservare che

cosx = sin(π

2− x)

e usare la regola della derivata di funzione composta:

D cosx = D sin(π

2− x)

= (−1) · cos(π

2− x)

= − sinx

Q.E.D.

Pag. 17


2.12 Il differenziale. Approssimazione al primo ordine.

Definizione 2.15. Sia If−→ R (I ⊂ R) una funzione derivabile in un punto x0 ∈ I. Si chiama

differenziale di f in x0, e si denota dfx0, l’applicazione lineare

Rdfx0−→ R, h 7−→ dfx0

(h) = f ′(x0) · h (2.33)

Interpretazione geometrica del differenziale. dfx0(h)(= f ′(x0)·h) e la variazione dell’ordinata,corrispondente all’incremento h dell’ascissa, letta sulla retta tangente (e non sul grafico).

Se f e una funzione derivabile su tutto un intervallo I ⊂ R, si chiama differenziale di f , e si denotadf , la funzione lineare che a ogni punto x ∈ I associa il differenziale dfx nel punto x. Dunque ildifferenziale df deve essere visto come una funzione di due variabili:

I ×R df−→ R, (x, h) 7−→ dfx(h) (2.34)

Esempio. 1) Il differenziale di f(x) = ex nel punto x0 = 0 e la funzione lineare R(df)

0−→ R, che aogni h ∈ R associa (df)

0(h) = f ′(0)h = 1.h = h.

Un problema cruciale e approssimare il valore f(x0 + h), per h piccolo, vicino a un punto x0 in cuif sia derivabile. Vedremo che ci sono tante possibili approssimazioni di una funzione in un intornodi un punto: approssimazioni al primo ordine, al secondo ordine, al terzo ordine eccetera, a secondadella regolarita della funzione f . Con la derivata prima, possiamo definire l’approssimazione al primoordine.

Sappiamo che si ha:f(x0 + h) = f(x0) + f ′(x0)h+ o(h) (2.35)

La approssimazione al primo ordine, o approssimazione lineare, di f in x0 si ottiene trascurandoil termine o(h) e prendendo in considerazione, come valore approssimato di f(x0 + h), soltanto lasomma di f(x0) con il differenziale dfx0

(h) = f ′(x0)h. Dunque:

L’approssimazione al primo ordine di f(x0 + h) e

f(x0) + f ′(x0)h (h piccolo) (2.36)

ovvero, in modo equivalente, l’approssimazione al primo ordine di f(x), vicino a x0, e

f(x0) + f ′(x0) (x− x0) (x vicino a x0). (2.37)

L’equazione della retta tangente al grafico di f(x) nel punto (x0, f(x0)) e

y = f(x0) + f ′(x0) (x− x0) (2.38)

Dunque, dalla 2.37 segue che approssimare al primo ordine (o in modo lineare) una funzione f(x) inun intorno di x0 significa confondere, vicino a x0, il grafico di f(x) con la retta tangente nel punto dicoordinate (x0, f(x0)).

Pag. 18


Ad esempio, l’approssimazione lineare di sinx vicino a x0 = 0 e x. Infatti, sappiamo che

limx→0

sinx

x= 1

Questo significa che sin xx − 1 = α(x) e una funzione che tende a zero per x→ 0. Dunque

sinx = x+ xα(x), con limx→0 α(x) = 0

Ricordando che sin 0 = 0, possiamo dedurre che la derivata di sinx in x0 = 0 e uguale a 1 e chel’approssimazione lineare di sinx vicino a x0 = 0 e x. Interpretazione geometrica: vicino all’origine,il grafico di sinx si confonde (al primo ordine) con la retta tangente (che e la bisettrice del primo edel terzo quadrante).

3 Nota storica. Fluenti e flussioni

“Fluentium quantitatum momenta (i.e., earum partes indefinite parvae, quarum addi-tamento per singula temporis indefinita parva spatia augentur) sunt ut fluendi celeritates.Quare si cuiusvis ut x momentum per factum ex ejus celeritate m et infinite parva quan-titate o (i.e. per mo) designetur, caeterorum v, y, z momenta per lo, no, ro designabuntur,siquidem lo,mo, no e ro sunt inter se ut l,m, n e r.

Jam cum quantitatum fluentium (ut x et y) momenta (ut mo et no) sint additamenta in-finite parva quibus illae quantitates per singula temporis infinite parva intervalla augentur,sequitur quod quantitates illae x et y post quodlibet infinite parvum temporis intervallumfuturae sunt x+mo et y + no”.

Isaac Newton, Tractatus de Methodis Serierum et Fluxionum, 1671. D.T. Whiteside,The Mathematical Papers of Isaac Newton (Cambridge University Press), III, p. 79-81.

(I momenti delle quantita fluenti (vale a dire, le loro parti infinitamente piccole, per aggiuntadelle quali esse si accrescono in singoli spazi infinitamente piccoli di tempo), sono come le velocitadi flusso. Per questa ragione, se il momento di una qualunque di esse, diciamo x, e espressa dalprodotto della sua velocita x e di una quantita infinitamente piccola o (vale a dire, e espressada xo), i momenti delle altre, v, y, z[...], saranno espresse da vo, yo, zo, [...], in modo tale chevo, xo, yo, zo siano negli stessi rapporti di v, x, y, z.

Poiche i momenti (come xo, yo) delle quantita fluenti (come x e y) sono gli incrementi infini-tamente piccoli di cui queste quantita si accrescono in singoli intervalli di tempo infinitamentepiccoli, ne segue che dopo un intervallo di tempo infinitamente piccolo queste quantita diventer-anno x+ xo e y + yo).

Nel De Methodis Serierum et Fluxionum4 Newton esplicita che le quantita alle quali si applica ilsuo metodo analitico sono quantita geometriche generate da un processo di flusso nel tempo.5 Adesempio, il movimento nel tempo di un punto genera una linea, e il movimento continuo di una lineagenera una superficie.

Nel linguaggio di Newton, le quantita generate dal flusso sono dette fluenti. Le velocita istantaneesono dette flussioni e verranno indicate (ma solo dopo il 1690) con il punto: x, y eccetera. I momentidelle quantita fluenti sono “le loro parti infinitamente piccole, per aggiunta delle quali esse si accresconoin singoli spazi infinitamente piccoli di tempo”. I momenti sono denotati da Newton inizialmente connotazioni poco pratiche e poco espressive: i momenti delle quantita fluenti x, v, y.. sono denotati6

4Redatto in latino nel 1671, sara pubblicato soltanto nel 1737 in Inghilterra e nel 1740 in Francia.5N. Guicciardini, Isaac Newton on Mathematical Certainty and Method, MIT Press, 2009.6Nella traduzione in italiano, i momenti sono stati denotati come xo, yo eccetera.

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rispettivamente con mo, lo, no. (Si veda il testo latino). Dopo il 1690 questi momenti verrannodenotati, rispettivamente, con le notazioni piu significative xo, xo, xo. Dunque, dopo un intervallo ditempo infinitamente piccolo, la quantita fluente x diventera quindi x+ xo. (Noi oggi scriveremmo cheil valore di una quantita x in un istante t + h molto vicino a t e x(t + h) = x(t) + x(t)h + o(h). Sibadi che il nostro simbolo di o-piccolo non ha il significato che aveva in Newton). Si noti che Newtonscrive che i momenti sono “come le velocita di flusso”(“ut fluendi celeritates”). L’idea e che, in unintervallo di tempo infinitamente piccolo, la flussione rimane costante (la velocita media coincide conla velocita istantanea) e quindi il momento e proporzionale alla flussione (alla velocita istantanea).

In stile newtoniano7, la regola della derivata del prodotto si potrebbe giustificare nel modo seguente.Siano x e y due quantita fluenti. Al tempo t + o (dove o e un intervallino di tempo infinitamentepiccolo) la fluente prodotto z = xy diventa:

z(t+ o) = z + zo = (x+ xo)(y + yo) = z + (xy + xy)o+ xyo2

Possiamo allora scriverezo = (xy + xy)o+ xyo2

Di qui, dividendo per o e trascurando il termine “infinitamente piccolo” xyo2, si ottiene il risultatocercato z = xy + xy.

7Roger Godement, Analyse Mathematique I, Springer, 2eme edition corrigee, 1998, pag. 267.

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4 Funzioni derivabili su un intervallo

4.1 Punti di massimo o minimo locale per una funzione

Definizione 4.1. Sia Df−→ R una funzione definita su un sottoinsieme D ⊂ R.

1. Un punto x0 in D e punto di massimo locale per f , e il valore f(x0) si chiama un massimolocale per f , se esiste un intorno I di x0 tale che per ogni x ∈ I ∩D si abbia

f(x0) ≥ f(x) (4.1)

Se la disuguaglianza (4.1) vale con il simbolo > di maggiore in senso stretto per ogni x 6= x0, sidice che x0 e punto di massimo locale stretto.

2. Un punto x0 in D e un punto di minimo locale per f , e il valore f(x0) si chiama un minimolocale per f , se esiste un intorno I di x0 tale che per ogni x ∈ I ∩D si abbia

f(x0) ≤ f(x) (4.2)

Se la disuguaglianza (4.2) vale con il simbolo < di minore in senso stretto per ogni x 6= x0, sidice che x0 e punto di minimo locale stretto.

Osservazione. Si noti che la definizione di punto di massimo (o di minimo) per una funzione fnon richiede affatto che la funzione f sia derivabile.

4.2 Teorema di Fermat

Ricordiamo due definizioni.

Definizione 4.2. Diremo che un punto x0, appartenente a un insieme D ⊂ R, e un punto interno aD se esiste un intorno I(x0; r) = (x0 − r, x0 + r), di raggio r > 0, incluso in D:

I(x0; r) ⊂ D

In altri termini, x0 interno a D significa che tutti i punti di R sufficientemente vicini a x0 ap-partengono anch’essi a D.

Si noti che “x0 e interno a D” e condizione piu forte di “x0 appartiene a D” (cioe, x ∈ D). Infatti,se x0 e interno a D, allora appartiene a D; ma se x0 appartiene a D, non e detto che sia interno a D.Ad esempio, il punto x0 = 0 appartiene all’intervallo D = [0, 1], ma non e interno a tale intervallo.

Definizione 4.3. Un punto x0, interno al dominio di una funzione f , si dice punto critico di f opunto stazionario di f , se f e derivabile in x0 e

f ′(x0) = 0

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Teorema 4.4 (Fermat). Sia Df−→ R una funzione a valori reali definita su un insieme D ⊂ R.

Supponiamo che:

1. x0 sia un punto di massimo (o di minimo) locale per f ;

2. x0 sia interno a D;

3. f sia derivabile in x0.

Allora x0 e un punto stazionario di f , cioe f ′(x0) = 0.

Dimostrazione. Per fissare le idee, supponiamo che x0 sia un punto di massimo locale per f . Poiche,per ipotesi, x0 e al tempo stesso un punto interno al dominio D di f e un punto di massimo locale,esiste un intorno sufficientemente piccolo I di x0 con le due proprieta seguenti8:

I ⊂ D (4.3)

(perche x0 e interno a D) e∀x ∈ I f(x)− f(x0) ≤ 0 (4.4)

(perche x0 e punto di massimo locale). Per ogni x ∈ I, x 6= x0, si ha allora

f(x)− f(x0)

x− x0≤ 0 (4.5)

se x > x0 ef(x)− f(x0)

x− x0≥ 0 (4.6)

se x < x0. Passando al limite per x che tende a x0, si ricava9 rispettivamente f ′(x0) ≤ 0 e f ′(x0) ≥ 0.Di conseguenza f ′(x0) = 0. �

Si noti che nel teorema dimostrato e ovviamente essenziale l’ipotesi che x0 sia interno a D. (Nonbasta che il punto x0 appartenga a D). Ad esempio, la funzione f(x) = x nell’intervallo D = [0, 1] haun punto di massimo locale in x0 = 1, anche se la derivata (sinistra) di f in x0 non e nulla (e ugualea 1). Naturalmente questo non contaddice il teorema di Fermat. Semplicemente non sono soddisfattele ipotesi di tale teorema, perche il punto x0 = 1 non e interno a D = [0, 1].

8Sappiamo che esiste un intorno U di x0 che soddisfa la condizione U ⊂ D e esiste un intorno V di x0 su cui valef(x) ≤ f(x0). Allora sull’intersezione I = U ∩V (che e ancora un intorno di x0) sono soddisfatte entrambe le condizioni.

9Qui si usa il cosiddetto teorema di permanenza del segno:Sia g una funzione definita su un intorno U di un punto x0 (con la possibile eccezione del punto x0). Supponiamo

che, per ogni x ∈ U \ x0, si abbia g(x) ≥ 0 e supponiamo che esista (finito) il limite limx→x0 g(x) = L. Allora si haL ≥ 0.

Questo teorema e del tutto evidente, se si pensa alla definizione di limite. La dimostrazione e semplice. Supponiamo,per assurdo, che sia L < 0. Prendiamo un ε > 0 abbastanza piccolo, in modo tale che l’intervallino J = (L−ε, L+ε) siatutto contenuto nella semiretta negativa. (Ossia prendiamo L+ ε < 0). Per definizione di limite, esiste un intorno W dix0 tale che per ogni x ∈W \ x0, si ha g(x) ∈ J , quindi g(x) < 0. Ma allora, per ogni x (diverso da x0) dell’intervallinonon vuoto U ∩W si deve avere g(x) ≥ 0 (per ipotesi) e al tempo stesso g(x) < 0. Assurdo.

Pag. 22


4.3 Teorema di Rolle

Teorema 4.5 (Rolle, 1690). 10 Sia [a, b]f−→ R una funzione continua sull’intervallo compatto [a, b] e

derivabile sull’intervallo aperto (a, b). Supponiamo

f(a) = f(b) (4.7)

Allora esiste (almeno) un punto γ ∈ (a, b) in cui la derivata di f si annulla:

f ′(γ) = 0 (4.8)

Dimostrazione. Per il teorema di Weierstrass la funzione f , continua sul compatto [a, b], assume il suovalore massimo M e il suo valore minimo m. Questo significa che esiste (almeno) un punto xM ∈ [a, b]ed esiste (almeno) un punto xm ∈ [a, b] tali che f(xM ) = M e f(xm) = m. Sono possibili due casi.

1. Sia xM che xm cadono negli estremi di [a, b]. In tale caso, per l’ipotesi f(a) = f(b), si ha M = m.Ma allora f e costante, e quindi f ′(x) = 0 in ogni punto x di (a, b).

2. Almeno uno dei due punti xm, xM e interno ad [a, b]. Allora, per il teorema di Fermat, in untale punto la derivata si annulla .

Dunque, in ogni caso esiste (almeno) un punto γ nell’intervallo aperto (a, b) in cui la derivata siannulla. �

4.4 Teorema di Lagrange (o del valore medio, o degli incrementi finiti)

Teorema 4.6 (del valore medio, o di Lagrange). Sia [a, b]f−→ R una funzione continua sull’intervallo

compatto [a, b] e derivabile sull’intervallo aperto (a, b). Allora esiste un punto γ ∈ (a, b) per il qualesi ha

f(b)− f(a) = f ′(γ)(b− a) (4.9)

Dimostrazione. Si consideri la funzione

g(x) = f(x)− f(a)− f(b)− f(a)

b− a(x− a) (4.10)

definita sull’intervallo [a, b]. Tale funzione e continua su [a, b], derivabile su (a, b) e assume lo stessovalore agli estremi:

g(a) = g(b) = 0

Quindi g soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle. Per tale teorema, esiste un punto γ in (a, b) in cuig′(γ) = 0. La derivata di g(x) e

g′(x) = f ′(x)− f(b)− f(a)

b− aQuindi si ha

0 = g′(γ) = f ′(γ)− f(b)− f(a)

b− ache equivale a

f(b)− f(a) = f ′(γ)(b− a)

10Michel Rolle (1652-1719), matematico francese.

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�

Osservazione. Il teorema di Lagrange ha la seguente interpretazione geometrica. Si noti che il

numero f(b)−f(a)b−a e il coefficiente angolare della retta che passa per (a, f(a)) e (b, f(b)), di equazione

y = f(a) +f(b)− f(a)

b− a(x− a) (4.11)

Quindi il teorema afferma che esiste almeno un punto (γ, f(γ)) appartenente al grafico della funzionef in cui la retta tangente (il cui coefficiente angolare e f ′(γ)) e parallela alla retta che unisce i duepunti estremi (a, f(a)) e (b, f(b)). Si noti che la funzione ausiliaria (4.10) e la differenza tra l’ordinata

del punto (x, f(x)) sul grafico di f e l’ordinata del punto (x, f(a)+ f(b)−f(a)b−a (x−a)) sulla retta secante.

4.5 Teorema di Cauchy (o degli incrementi finiti)

Teorema 4.7 (Cauchy, o degli inrementi finiti, o del valore medio). Siano f e g due funzioni continuesull’intervallo compatto [a, b] e derivabili sull’intervallo aperto (a, b). Supponiamo g′(x) 6= 0 per ognix in (a, b). Allora esiste (almeno) un punto γ ∈ (a, b) per il quale

f(b)− f(a)

g(b)− g(a)=f ′(γ)

g′(γ)(4.12)

Prima dimostrazione. Si consideri la funzione

ϕ(x) = [g(b)− g(a)]f(x)− [f(b)− f(a)]g(x) (4.13)

Si vede facilmente che tale funzione soddisfa, sull’intervallo [a, b], tutte le ipotesi del teorema di Rolle.Infatti e continua su [a, b] e derivabile su (a, b) (perhe tali sono f e g). Inoltre, ϕ(a) = ϕ(b):

ϕ(a) = [g(b)− g(a)]f(a)− [f(b)− f(a)]g(a) = g(b)f(a)− f(b)g(a)

ϕ(b) = [g(b)− g(a)]f(b)− [f(b)− f(a)]g(b) = −f(b)g(a) + g(b)f(a)

Dunque, per il teorema di Rolle, esiste un punto γ in (a, b) in cui ϕ′(γ) = 0. Poiche

ϕ′(x) = [g(b)− g(a)]f ′(x)− [f(b)− f(a)]g′(x)

in tale punto γ si ha0 = ϕ′(γ) = [g(b)− g(a)]f ′(γ)− [f(b)− f(a)]g′(γ)

che equivale a 4.12. (Si noti che si ha g(b)− g(a) 6= 0. Infatti, se fosse g(a) = g(b), per il teorema diRolle, g′ si annullerebbe in un punto di (a, b), contro l’ipotesi). �

Seconda dimostrazione.

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B = ~r(b)

~r(a) = A

(g′(γ), f ′(γ)) = ~r′(γ)

(f ′(γ),−g′(γ)) = ~w(γ)

~r(b)− ~r(a)

Figure 1: Interpretazione geometrica del teorema di Cauchy. Data una curva piana parametrizzata [a, b] −→R2, t 7−→ ~r(t) = (g(t), f(t)), esiste almeno un γ ∈ (a, b) tale che il vettore velocita ~r′(γ) = (g′(γ), f ′(γ)) siaparallelo alla corda AB che congiunge i punti estremi.

Una interpretazione geometrica del teorema di Cauchy e la seguente11:

Se una curva piana e dotata ovunque di retta tangente tra due suoi punti A e B, allora almeno unadi queste rette tangenti e parallela alla corda AB.

Questa proprieta vale non soltanto quando la curva e il grafico di una funzione, ma anche per curvepiu in generali, come quella della figura di sopra.

Ora dimostriamo il teorema di Cauchy, ispirandoci al suo significato geometrico. Siano f(t), g(t), t ∈[a, b], due funzioni soddisfacenti le ipotesi del teorema di Cauchy. Si consideri la curva parametrizzata

t 7−→ ~r(t) = (g(t), f(t)), t ∈ [a, b]

Tale curva e una funzione, il cui dominio e [a, b] e il cui codominio e il piano R2. Nella figura,l’immagine di tale funzione e la linea disegnata in rosso. (Attenzione: la linea rossa e l’immagine dellacurva, non il suo grafico).

Il vettore tangente all’istante t ∈ (a, b) (con linguaggio cinematico, il vettore velocita istantanea

all’istante t) e ~r′(t) = (g′(t), f ′(t)).

Vogliamo dimostrare che esiste un γ ∈ (a, b) in corrispondenza del quale il vettore tangente ~r′(t) =(g′(t), f ′(t)) e parallelo a ~r(b)− ~r(a). In modo equivalente, dimostriamo che esiste un γ ∈ (a, b) per ilquale il vettore (f ′(γ),−g′(γ)) - che e ortogonale a (g′(t), f ′(t)) - e ortogonale a ~r(b) − ~r(a). Questoequivale a dimostrare che esiste un γ ∈ (a, b) per il quale il loro prodotto scalare e nullo12:

(f ′(γ),−g′(γ)) · (~r(b)− ~r(a)) = (f ′(γ),−g′(γ)) · (g(b)− g(a), f(b)− f(a)) (4.14)

= f ′(γ)[g(b)− g(a)]− g′(γ)[f(b)− f(a)] (4.15)

= 0 (4.16)

L’espressione a primo membro di 4.14 e il valore, per t = γ, della derivata della funzione

ϕ(t) = (f(t),−g(t)) · (~r(b)− ~r(a))

= f(t)[g(b)− g(a)]− g(t)[f(b)− f(a)]

11Tom Apostol, Calculus, vol. 1, Blaisdell Publishing Company.12Si ricordi che due vettori ~x = (x1, x2), ~y = (y1, y2) ∈ R2 sono ortogonali se e solo se il loro prodotto scalare e nullo:

~v1 · ~v2 = x1y1 + x2y2 = 0.

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Tale funzione ϕ(t) soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle (E la stessa funzione ausiliaria 4.13 cheabbiamo considerato nella precedente dimostrazione dello stesso terema). Dunque, per il teorema diRolle, esiste un γ ∈ (a, b) per il quale

0 = ϕ′(γ) = [g(b)− g(a)]f ′(γ)− [f(b)− f(a)]g′(γ)

Quest’ultima uguaglianza equivale13 all’uguaglianza 4.12. Quindi il teorema di Cauchy e dimostrato.

�

Osservazione sul teorema di Cauchy. Se pensiamo alla curva parametrizzata

t 7−→ ~r(t) = (g(t), f(t))

come al moto di una particella nel piano, allora (g′(t), f ′(t)) e il vettore velocita. Il teorema di Cauchyafferma allora che esiste almeno un istante in cui il vettore velocita e parallelo al vettore spostamento~r(b)− ~r(a). Si osservi perøche questo e vero solo nel caso di moti piani. Ad esempio, se il moto dellaparticella e la spirale (cos t, sin t, t), il suo vettore velocita (− sin t, cos t, 1) non e verticale, mentre ilvettore spostamento puøessere verticale (Basta prendere il punto di partenza e quello di arrivo sullastessa verticale, compiendo un giro completo).

4.6 Funzioni con derivata nulla su un intervallo

Teorema 4.8. Una funzione definita su un intervallo aperto I = (a, b) e con derivata nulla in ognipunto di tale intervallo e una costante.

Dimostrazione. Prendiamo due punti x1, x2 in (a, b). Per il teorema di Lagrange, esiste un punto c,compreso tra x1 e x2, per il quale si ha:

f(x2)− f(x1) = f ′(c)(x2 − x1) = 0 · (x2 − x1) = 0

Ne segue f(x1) = f(x2). Quindi f e costante. �

Osservazione. Si noti che nell’ultimo teorema e essenziale l’ipotesi che il dominio della funzionesia un intervallo (un sottoinsieme connesso di R). Ad esempio, la funzione

(0, 1) ∪ (2, 3)f−→ R

f(x) =

{1 se x ∈ (0, 1)2 se x ∈ (2, 3)

ha derivata nulla in ogni punto del suo dominio D = (0, 1) ∪ (2, 3), ma non e costante. (OvviamenteD non e un intervallo, cioe non e connesso).

13Si osservi che si puødividere per g′(γ)[g(b)− g(a)], e ottenere in questo modo la 4.12, perche g′(t) non e mai nulla(per ipotesi) e, di conseguenza, anche [g(b) − g(a)] 6= 0. Infatti, se si avesse [g(b) − g(a)] = 0, allora g′ si annullerebbein almeno un punto (Teorema di Rolle).

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4.7 Funzioni con derivate uguali su un intervallo

Teorema 4.9. Siano f e g due funzioni reali, definite su un intervallo aperto I = (a, b), con ugualederivata in ogni punto di I = (a, b):

∀x ∈ I f ′(x) = g′(x) (4.17)

Allora f e g differiscono per una costante.

Dimostrazione. La funzioneϕ(x) = f(x)− g(x)

ha derivata nulla su I:ϕ′(x) = f ′(x)− g′(x) = 0

Dunque ϕ e una costante, diciamo c ∈ R:

ϕ(x) = f(x)− g(x) = c

Dunque f e g differiscono per una costante. �

4.8 Funzioni crescenti o decrescenti

Definizione 4.10. Diremo che una funzione Df−→ R e crescente (o crescente in senso lato) su D

(sottoinsieme qualunque di R, non necessariamente un intervallo), se, per ogni x1, x2 ∈ D,

x1 < x2 =⇒ f(x1) ≤ f(x2) (4.18)

Se per ogni x1, x2 ∈ D,x1 < x2 =⇒ f(x1) < f(x2) (4.19)

diremo che f e strettamente crescente su D.

In modo analogo si definiscono le funzioni decrescenti e le funzioni strettamente decrescenti.

Diremo che le funzioni crescenti oppure decrescenti sono monotone. Le funzioni strettamente cres-centi oppure strettamente decrescenti si diranno strettamente monotone.

Teorema 4.11. Sia I un intervallo aperto e sia f una funzione reale derivabile su I. Allora f ecrescente (in senso lato) su I se e solo se f ′(x) ≥ 0 per ogni x ∈ I

Dimostrazione.

Prima parte. f crescente implica f ′(x) ≥ 0 per ogni x.

Fissiamo un punto x0 ∈ I. Poiche, per ipotesi, f e crescente, il rapporto incrementale

f(x)− f(x0)

x− x0

e sempre maggiore o uguale a zero. Quindi il limite del rapporto incrementale, quando x tende a x0,resta maggiore o uguale a zero:


f(x)− f(x0)

x− x0≥ 0

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Seconda parte. f ′(x) ≥ 0 per ogni x implica f crescente.

Siano x1, x2 due punti di I, con x1 < x2. Per il teorema di Lagrange, esiste un punto c, x1 < c < x2,tale che

f(x1)− f(x2) = f ′(c)(x1 − x2)

Poiche si ha f ′(c) ≥ 0 e x1 − x2 < 0, abbiamo f(x1) − f(x2) ≤ 0, ossia f(x1) ≤ f(x2). Dunque f ecrescente (in senso lato) in I. �

4.9 Funzioni strettamente monotone

Teorema 4.12 (Funzioni derivabili strettamente monotone). Sia I un intervallo aperto e sia f unafunzione reale derivabile su I.

1. Se f ′(x) > 0 in ogni punto x ∈ I, allora f e strettamente crescente su I.

2. Se f ′(x) < 0 in ogni punto x ∈ I, allora f e strettamente decrescente su I.

Dimostrazione. Dimostriamo il teorema per il caso di funzioni con derivata positiva in ogni punto.(L’altro caso si tratta in modo analogo).

Siano x1, x2 due punti di I, con x1 < x2. Per il teorema di Lagrange esiste un punto c, compresotra x1 e x2, per il quale si ha:

f(x1)− f(x2) = f ′(c)(x1 − x2)

Poiche per ipotesi f ′(c) > 0 e x1−x2 < 0, si deve avere f(x1)−f(x2) < 0. Abbiamo allora dimostratoche, per ogni x1, x2 ∈ I,

x1 < x2 =⇒ f(x1) < f(x2)

Dunque f e strettamente crescente su I. �

Osservazione. Il teorema non si inverte. Se una funzione e strettamente crescente su un intervalloI ed e derivabile in I, allora si avra senz’altro f ′(x) ≥ 0 per ogni x ∈ I (per il teorema 4.11, perchestrettamente crescente implica crescente), ma in qualche punto la derivata potrebbe annullarsi. Adesempio, la funzione f(x) = x3, x ∈ R, e strettamente crescente su R, ma f ′(0) = 0.

Osservazione. L’implicazione “f ′ > 0 =⇒ f strettamente crescente” non vale se il dominio di fnon e un intervallo. Ad esempio, la funzione f(x) = −1/x, definita su D = (−∞, 0) ∪ (0,+∞) (chenon e un intervallo) ha derivata positiva su D, ma f non e strettamente crescente sul suo dominio D.Ovviamente f e crescente sulla semiretta (−∞, 0) ed e crescente sulla semiretta (0,+∞), ma non ecrescente sul suo dominio D = (−∞, 0) ∪ (0,+∞).

4.10 Massimi e minimi

Se una funzione reale e definita su un intervallo [a, b], i suoi eventuali punti di massimo e di minimolocale andranno ricercati tra:

1. i punti interni all’intervallo, in cui la funzione e derivabile con derivata nulla (punti stazionariinterni);

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2. i punti in cui la funzione non e derivabile;

3. gli estremi a e b.

Vediamo ora sotto quali condizioni un punto stazionario interno sia un punto di massimo o di minimolocale. Sia f una funzione reale derivabile su un intorno I = I(x0; r) del punto x0. Supponiamo chex0 sia un punto stazionario per f , cioe si abbia f ′(x0) = 0. Allora, dai teoremi sulle funzioni conderivata positiva o negativa, segue subito:

1. Se f ′(x) e negativa a sinistra di x0 e positiva a destra di x0, x0 e un punto di minimo locale perf ;

2. Se f ′(x) e positiva a sinistra di x0 e negativa a destra di x0, x0 e un punto di massimo localeper f .

Un altro metodo per decidere se un punto stazionario x0 sia un punto di massimo o di minimolocale per f utilizza la derivata seconda in x0.

Teorema 4.13 (Test della derivata seconda). Supponiamo che x0 sia un punto critico per f (puntointerno in cui f ′(x0) = 0). Allora:

a) se f ′′(x0) > 0, x0 e un punto di minimo locale.

b) se f ′′(x0) < 0, x0 e un punto di massimo locale.

Dimostrazione. Supponiamo f ′′(x0) > 0 (Il caso b) e analogo). Si ha:

0 < f ′′(x0) = limx→x0

f ′(x0 + h)− f ′(x0)

h= limx→x0

f ′(x0 + h)

h

Ne segue (teorema di permanenza del segno) che f ′(x0+h)h > 0 per tutti gli h 6= 0 sufficientemente

vicini a 0. Dunque f ′(x0 + h) deve essere negativo per h < 0 e positivo per h > 0. Quindi x0 e unpunto di minimo locale per f . �

4.11 Regole di de L’Hospital

“Riconosco di dovere molto alle menti brillanti dei fratelli Bernoulli, in particolaredel piu giovane, che attualmente e professore a Groningen. Ho fatto libero uso delle loroscoperte”.

(G.F. de L’Hospital14, Analyse des infiniment petits, pour l’intelligence des lignescourbes, Paris, 1696).

Teorema 4.14 (Joh. Bernoulli 1691, de L’Hospital 1696. Caso 00 .). Siano f e g due funzioni continue

sull’intervallo [x0, b] (x0 ∈ R) e derivabili in (x0, b). Supponiamo che valgano le seguenti condizioni:

14Guillaume Francois de L’Hospital (1661-1704), matematico francese, scrisse nel 1696 un testo di calcolo differenziale,che ebbe un ruolo importante nella diffusione di questa disciplina. Il marchese de L’Hospital fu allievo dei fratelliBernoulli (membri di una ben nota famglia di scienziati svizzeri), in modo particolare di Johann Bernoulli (1667-1748),che verso il 1691/92 aveva pubblicato una delle prime esposizioni del calcolo differenziale e integrale. La “regola di deL’Hospital” e dovuta in realta a Johann Bernoulli.

Pag. 29


1. f(x0) = g(x0) = 0.

2. g′(x) 6= 0 per ogni x ∈ (x0, b).

3. Esiste (finito o infinito) il limite

limx→x+

0

f ′(x)

g′(x)= L (4.20)

Allora esiste anche il limite limx→x+

0

f(x)

g(x)ed e uguale al precedente:

limx→x+

0

f(x)

g(x)= L (4.21)

Osservazione. Poiche f e g sono continue in x0 e f(x0) = g(x0) = 0, si ha

limx→x0

f(x) = limx→x0

f(x) = 0

In questo senso si dice che il limite limx→x+0

f(x)g(x) = si presenta sotto la forma 0

0 .

Dimostrazione. (Per il caso L finito). Premettiamo un’osservazione. Sia x un qualunque punto in(x0, b). Allora si puøscrivere

f(x)

g(x)=f ′(γ)

g′(γ)

per un opportuno γ compreso tra x0 e x, cioe soddisfacente: x0 < γ < x.

Per dimostrarlo, applichiamo il teorema di Cauchy alla coppia di funzioni f ,g sull’intervallo [x0, x].Poiche f(x0) = g(x0) = 0, per il teorema di Cauchy si ha

f(x)

g(x)=f(x)− f(x0)

g(x)− g(x0=f ′(γ)

g′(γ)

per un opportuno γ soddisfacente x0 < γ < x, come si voleva dimostrare.

A questo punto possiamo concludere, in modo un po’ sbrigativo ma sostanzialmente corretto, nelmodo seguente. Quando x tende a x0, il punto γ, compreso tra x e x0, deve tendere a x0. Quindi,poiche

f(x)

g(x)=f ′(γ)

g′(γ)

e limx→x+

0

f ′(x)

g′(x)= L, anche il limite lim

x→x+0

f(x)

g(x)deve esistere, e deve essere uguale a L.

Se vogliamo essere piu rigorosi, possiamo arrivare alla tesi usando la “ε-δ definizione” di limite.

Prendiamo allora un arbitrario ε > 0. Poiche, per ipotesi, limx→x+

0

f ′(x)

g′(x)= L, esiste un δ > 0 tale che

∀t ∈ (x0, x0 + δ)

∣∣∣∣f ′(t)g′(t)− L

∣∣∣∣ < ε (4.22)

Ora prendiamo un qualunque x in (x0, x0 + δ). Per quanto abbiamo visto sopra,

f(x)

g(x)=f ′(γ)

g′(γ)

Pag. 30


per un opportuno γ soddisfacente x0 < γ < x < x0 + δ. Siccome tale γ e compreso tra x0 e x0 + δ,

per la 4.22 si ha

∣∣∣∣f ′(γ)

g′(γ)− L

∣∣∣∣ < ε e quindi

∣∣∣∣f(x)

g(x)− L

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣f ′(γ)

g′(γ)− L

∣∣∣∣ < ε

Questo prova, per definizione di limite, che anche

limx→x+

0

f(x)

g(x)= L (4.23)

�

Osservazione. Ovviamente il teorema di de L’Hospital vale anche per i limiti da sinistra (x→ x−0 )e quindi per il limite (ordinario) per x→ x0.

Vale una regola di anche nel caso di un rapporto tra funzioni che tendono entrambe all’infinitoquando x tende a x0. (Forma di indeterminazione del tipo ∞∞ ). Riportiamo l’enunciato, senza di-mostrazione.

Teorema 4.15 (de L’Hospital, caso ∞∞ ). Siano f e g due funzioni continue sull’intervallo [x0, b] ederivabili in (x0, b). Supponiamo che valgano le seguenti condizioni:

1. limx→x+

0

f(x) = limx→x+

0

g(x) = +∞

2. g′(x) 6= 0 per ogni x ∈ (x0, b).

3. Esiste (finito o infinito) il limite

limx→x+

0

f ′(x)

g′(x)= L (4.24)

Allora esiste anche il limite limx→x+

0

f(x)


limx→x+

0

f(x)

g(x)= L (4.25)

Infine, le regole di de L’Hospital valgono anche per le forme di indeterminazione 00 o ∞∞ quando x

tende a +∞ o −∞. L’enunciato e sempre dello stesso tipo: se esiste il limite

limx→+∞

f ′(x)

g′(x)= L

Pag. 31


(finito o infinito) allora esiste anche il limite limx→+∞

f(x)


limx→+∞

f(x)

g(x)= L

Osservazione. Il teorema di de L’Hospital dice che (sotto opportune ipotesi), se esiste il limite dif ′(x)/g′(x) allora esiste anche il limite di f(x)/g(x), e i due limiti sono uguali. Non dice che se esisteil limite di f(x)/g(x) allora deve esistere anche il limite di f ′(x)/g′(x). Potrebbe esistere il limite dif(x)/g(x), ma non quello di f ′(x)/g′(x). Per esempio, se f(x) = x+ sinx e g(x) = x, allora

limx→+∞

f(x)

g(x)= 1

ma il limite

limx→+∞

f ′(x)

g′(x)= limx→+∞

1 + cosx

1

non esiste.

4.12 Alcuni limiti importanti

Come applicazione del teorema di de L’Hospital, troviamo il valore di alcuni limiti notevoli.

1.

limx→+∞

(1 +

1

x

)x= e (4.26)

Il limite si presenta sotto la forma di indeterminazione 1∞. Notiamo che(1 +

1

x

)x= ex ln(1+ 1

x ) (4.27)

Studiamo allora il limite della funzione all’esponente. Abbiamo

limx→+∞

x ln

(1 +

1

x

)= lim

x→+∞

ln(1 + 1

x

)1/x

Poiche sono soddisfatte le ipotesi del teorema di de L’Hospital (caso 00 ), studiamo il limite del

rapporto delle derivate:

limx→+∞

(1 + 1/x)−1(−x−2)

−x−2= lim

x→+∞

1

1 + 1/x= 1

Poiche la funzione y 7−→ ey e continua in y = 1, deduciamo che

limx→+∞

ex ln(1+ 1x ) = e1 = e

In modo del tutto analogo si dimostra che anche

limx→−∞

(1 +

1

x

)x= e (4.28)

Pag. 32


2. Calcoliamo il limite:limx→0+

x lnx = 0 (4.29)

Questo limite presenta una indeterminazione della forma 0 · ∞. Scriviamo

limx→0+

x lnx = limx→0+

lnx

1/x(4.30)

In questo modo, abbiamo una indeterminazione del tipo ∞/∞. Ricorrendo al teorema di deL’Hospital, troviamo il limite del rapporto delle derivate:

limx→0+

1/x

−1/x2= limx→0+

−x = 0 (4.31)

Dunque, limx→0+ x lnx = 0.

3. In modo del tutto analogo, si dimostra che, per ogni a > 0,

limx→0+

xa lnx = 0 (4.32)

Infatti, basta scrivere

limx→0+

xa lnx = limx→0+

lnx

x−a(4.33)

e applicare la regola di de L’Hospital, calcolando il limite del rapporto delle derivate:

limx→0+

1x

−ax−a−1= limx→0+

−xa

a= 0 (4.34)

4.13 Confronto tra infiniti

Teorema 4.16 (Confronto tra infiniti). Qualunque sia il numero reale a > 0, quando x tende a +∞la funzione esponenziale ex tende all’infinito piu velocemente di xα, mentre xα tende all’infinito piuvelocemente della funzione logaritmo lnx.

Ricordiamo che, date due funzioni f(x) e g(x), tali che f(x) −→ +∞ e g(x) −→ +∞ per x → a,(dove a puøessere un numero reale, oppure −∞, oppure +∞), si dice che f(x) tende all’infinito piuvelocemente di g(x), se

limx→a

g(x)

f(x)= 0

o, in modo equivalente, se limx→af(x)g(x) = +∞. Dunque si puøenunciare il teorema dicendo che, per

ogni α > 0, valgono questi limiti fondamentali:

limx→+∞

xα

ex= 0 (4.35)

limx→+∞

lnx

xα= 0 (4.36)

Dimostrazione. Il limite 4.35 e del tipo ∞/∞ e sono soddisfatte le ipotesi per usare la regola di deL’Hospital. Ovviamente e sufficiente dimostrare che limx→+∞

xα

ex = 0 nell’ipotesi che α = m sia un

Pag. 33


numero positivo intero.15 Applicando m volte il teorema di de L’Hospital a xm/ex, otteniamo allafine il rapporto m!/ex, che non e una forma indeterminata e ovviamente tende a zero.

In modo analogo si procede per il limite 4.36. Applicando la regola di de L’Hospital, siamo condottia valutare il limite:

limx→+∞

1x

αxα−1= limx→+∞

1

αxα= 0

Concludiamo che il limite 4.36 e zero.

Osservazione. Dal limite (4.35) segue che, per ogni α > 0, vale:

limx→0+

e−1x

xα= 0

Infatti, con la sostituzione 1/x = t, il limite si trasforma in

limt→+∞

tα

et= 0

15Se α non fosse intero, prendiamo un intero m > α. Poiche 0 < xα

ex< xm

ex, dal teorema del confronto segue che, se

xm

ex→ 0, anche xα

ex→ 0.

Pag. 34


5 Rapporto tra derivabilita e limiti della derivata

Vogliamo indagare le seguenti questioni:

a) Se il limite limx→x+0f ′(x) esiste, possiamo concludere che esiste la derivata destra f ′+(x0) di f

in x0? (Idem per la derivata sinistra e per la derivata).

b) Se il limite limx→x+0f ′(x) non esiste, possiamo concludere che la derivata destra f ′+(x0) di f in

x0 non esiste?

Anticipando sulle conclusioni:

a) La risposta alla prima domanda e negativa; ma se aggiungiamo l’ipotesi che f sia continua inx0, la risposta e affermativa.

b) La risposta alla seconda domanda e negativa.

5.1 Relazione tra derivate e limiti delle derivate

Ricordiamo le definizioni. Si dice derivata di f nel punto x0 (rispettivamente: derivata destra, o

derivata sinistra) il limite, se esiste finito, del rapporto incrementale f(x)−f(x0)x−x0

per x→ x0 (rispetti-

vamente: per x → x+0 , per x → x−0 ). La derivata si denota con f ′(x0) (rispettivamente: con f ′+(x0),

f ′−(x0)). Dunque, quando i limiti in questione esistono finiti, abbiamo per definizione:


f(x)− f(x0)

x− x0(5.1)

f ′+(x0) = limx→x+

0

f(x)− f(x0)

x− x0(5.2)

f ′−(x0) = limx→x−0

f(x)− f(x0)

x− x0(5.3)

Ovviamente:

Una funzione f e derivabile in x0 se e solo se esistono, nel punto x0, sia la derivata destra sia laderivata sinistra, e sono uguali tra loro.

Infatti, per una qualunque funzione g(x) vale limx→x0 g(x) = L se e solo se il limite da sinistralimx→x−0

g(x) e il limite da destra limx→x+0g(x) esistono entrambi e sono entrambi uguali a L. (Nel

nostro caso, la funzione g(x) e il rapporto incrementale relativo a x0).

Teorema 5.1. Sia f una funzione reale definita su un intorno aperto I del punto x0. Supponiamoche f sia continua nel punto x0 e sia derivabile in ogni punto x 6= x0. Valgono allora i fatti seguenti.

1. Se esiste finito il limite da destra limx→x+0f ′(x), allora esiste la derivata destra f ′+(x0) e

f ′+(x0) = limx→x+

0

f ′(x) (5.4)

Pag. 35


2. Se esiste finito il limite da sinistra limx→x−0f ′(x), allora esiste la derivata sinistra f ′−(x0) e

f ′−(x0) = limx→x−0

f ′(x) (5.5)

3. Di conseguenza: se esistono finiti sia limx→x+0f ′(x)(= f ′+(x0)) sia limx→x−0

f ′(x)(= f ′−(x0)) e

sono uguali tra loro – vale a dire, se esiste il limx→x0 f′(x) – allora f e derivabile in x0 e


f ′(x) (5.6)

Osservazione 5.2. L’ipotesi che f sia continua in x0 non si puo eliminare, ossia l’affermazione “Seesiste il limite di f ′(x) quando x→ x0, allora esiste f ′(x0)” non e corretta. Ad esempio, si considerila funzione

f(x) =

{0 se x 6= 01 se x = 0

(5.7)

Il limite limx→0 f′(x) esiste e vale 0 (perche f ′(x) = 0 per ogni x 6= 0), ma f non e derivabile in x0 = 0

(perche non e continua in x0 = 0).

Dimostrazione.

1. Supponiamo che esista (finito) il limite da destra limx→x+0f ′(x); dimostriamo che esiste la

derivata destra, e che essa coincide con tale limite. A tale scopo, usiamo la definizione e calcoliamo illimite del rapporto incrementale da destra:

limx→x+

0

f(x)− f(x0)

x− x0(5.8)

Si noti che sono soddisfatte le ipotesi del teorema di de L’Hospital. Si ha dunque:

limx→x+

0

f(x)− f(x0)

x− x0= limx→x+

0

f ′(x) (5.9)

e cosı la tesi (5.4) e dimostrata.

Se si preferisce, per studiare il limite (5.8) si puo utilizzare direttamente il teorema di Lagrange,del quale sono soddisfatte le ipotesi su ogni intervallo del tipo [x0, x]. Per ogni x, esiste un γ tra x0 ex per il quale vale

f(x)− f(x0)

x− x0= f ′(γ) (5.10)

In breve16, se x→ x0, il punto γ (compreso tra x0 e x) tende a x0, e quindi, poiche per ipotesi esiste

il limx→x+0f ′(x), esiste anche il limite limx→x+

0

f(x)−f(x0)x−x0

e tali limiti sono uguali.

2. Come nel punto 1. Si calcola il limite del rapporto incrementale da sinistra limx→x−0f(x)−f(x0)

x−x0

usando L’Hospital.

3. Si tratta di un’immediata conseguenza dei due punti 1 e 2:

16Si veda la dimostrazione del teorema 4.14 di de L’Hospital, se si vuole essere piu formali.

Pag. 36


se esistono (finiti) sia limx→x+0f ′(x) (che abbiamo dimostrato essere f ′+(x0)) sia limx→x−0

f ′(x)

(uguale a f ′−(x0) e sono uguali tra loro – vale a dire, se esiste il limx→x0 f′(x) – allora esistono la

derivata destra e la derivata sinistra e sono uguali tra loro. Di conseguenza f e derivabile in x0 e


f ′(x) (5.11)

Q.E.D.

5.2 Osservazioni

Osservazione 5.3. Supponiamo che f sia continua su un intorno destro [x0, x0 + r) di x0 e

limx→x+

0

f ′(x) = +∞ (5.12)

Allora, sempre per il teorema di de L’Hopital, possiamo concludere che anche il limite da destra delrapporto incrementale e uguale a +∞:

limx→x+

0

f(x)− f(x0)

x− x0= +∞ (5.13)

Possiamo scrivere, anche se impropriamente, f ′+(x0) = +∞.

Analogamente, se f e continua su un intorno sinistro (x0 − r, x0]) di x0 e

limx→x+

0

f ′(x) = −∞ (5.14)

si avra

limx→x+

0

f(x)− f(x0)

x− x0= −∞ (5.15)

e scriveremo f ′−(x0) = +∞.

Analoghe considerazioni valgono per i limiti per → x−0 .

Osservazione 5.4. Puøsuccedere che il limx→x0f ′(x) non esista, ma che la funzione f sia derivabile

in x0. Si veda il seguente esercizio.

Esercizio 5.5. Verificare che la funzione

f(x) =

{x2 sin

1

xse x 6= 0

0 se x = 0(5.16)

e derivabile in x0 = 0, ma non esiste il limx→x0f ′(x).

Soluzione. Per studiare la derivabilita di f in 0, usiamo la definizione di derivata come limite delrapporto incrementale:

limx→0

f(x)− f(0)

x− 0= limx→0

x2 sin 1x − 0

x= limx→0

x sin1

x= 0 (5.17)

Pag. 37


Figure 2: Grafico di x2 sin 1x

vicino all’origine.

Dunque f e derivabile in x0 = 0 e f ′(0) = 0.

La derivata f ′(x), per x 6= 0, e data da

f ′(x) = 2x sin1

x− cos

1

x(5.18)

Non esiste il limite di f ′(x) per x→ 0, perche 2x sin 1x tende a zero e cos 1

x oscilla tra −1 e 1.

5.3 Punti angolosi e di cuspide

Riassumiamo i casi possibili, quando si studiano i limiti della derivata prima:

limx→x−0

f ′(x) limx→x+

0

f ′(x) (5.19)

Le nostre ipotesi sulla funzione reale f sono quelle del teorema 5.1: il dominio di f e un intornoaperto I del punto x0 ∈ I, f e continua nel punto x0 e derivabile in ogni punto x dell’intervallo bucatoI \ {x0}.

1. Primo caso. I due limiti (5.19) esistono, entrambi finiti, e sono uguali tra loro. Per il teorema5.1 essi coincidono rispettivamente con la derivata a sinistra f ′−(x0) e con la derivata a destraf ′+(x0). Dunque la funzione f e derivabile in x0 e

f ′(x0) = f ′−(x0) = f ′+(x0)

2. Secondo caso. I due limiti (5.19) esistono, entrambi finiti, e sono diversi tra loro.

Allora (per il teorema 5.1 ) esistono in x0 la derivata sinistra f ′−(x0) e la derivata destra f ′+(x0)

f ′−(x0) = limx→x−0

f ′(x) f ′+(x0) = limx→x+

0

f ′(x) (5.20)

Poiche f ′−(x0) 6= f ′+(x0), la funzione f non e derivabile in x0. Si dice che il punto (x0, f(x0)) epunto angoloso per il grafico della funzione f .

Pag. 38


f ′−(x0) 6= f ′+(x0)

Punto angoloso.

3. Terzo caso. Uno dei due limiti (5.19) esiste finito e l’altro vale +∞ oppure −∞.

La funzione f non e derivabile in x0 e ha in x0 solo la derivata a sinistra, o solo a destra.

Anche in questo caso si dice che (x0, f(x0)) e punto angoloso per il grafico di f .

f ′−(x0) finita

f ′+(x0) = +∞

Punto angoloso.

f ′−(x0) finita f ′+(x0) = −∞

Punto angoloso.

4. Quarto caso. Selimx→x−0

f ′(x) = +∞ limx→x+

0

f ′(x) = −∞

(o viceversa). Abbiamo visto (teorema di de L’Hospital) che anche il limite del rapporto incre-mentale da sinistra e +∞, e lo stesso rapporto da destra tende a −∞. Dunque f non e derivabilein x0. Il punto (x0, f(x0)) e un punto di cuspide per il grafico della funzione f .

f ′−(x0) = +∞, f ′+(x0) = −∞

Punto di cuspide.Esempio: −

√|x|

f ′−(x0) = −∞, f ′+(x0) = +∞

Punto di cuspide.Esempio:

√|x|

5. Quinto caso. I due limiti (5.19) valgono entrambi +∞, o valgono entrambi −∞.

Ragionando come nell’ultimo caso, si vede che ovviamente la funzione f non e derivabile in x0. Ilpunto (x0, f(x0)) del grafico di f e un punto con retta tangente verticale (di equazione x = x0).

f ′−(x0) = −∞ = f ′+(x0)

Punto a tangente verticale.

Esempio: − 3√x

f ′−(x0) = +∞ = f ′+(x0)

Punto a tangente verticale.

Esempio: 3√x

6. Sesto caso. Uno (almeno) dei due limiti (5.19) non esiste (ne finito, ne ±∞).

In questo caso, a priori non si puødire nulla sulla derivabilita di f in x0. La funzione f potrebbeessere derivabile in x0 oppure no. Per studiare in questo caso la derivabilita di f in x0, si dovrain generale studiare direttamente il limite del rapporto incrementale di f in x0.

Pag. 39


Per illustrare quest’ultimo caso, si considerino le due funzioni

f(x) =

{x2 sin

1

xse x 6= 0

0 se x = 0g(x) =

{x sin

1

xse x 6= 0

0 se x = 0(5.21)

Quando x→ 0, non esiste ne il limite di

f ′(x) = 2x sin1

x− cos

1

x(5.22)

ne il limite di

g′(x) = sin1

x− 1

xcos

1

x(5.23)

(Infatti, se x = 1/2kπ (k ∈ Z), si ha g′(x) = −2kπ, mentre se x = 1/(2k + 1)π, si ha g′(x) =(2k + 1)π). Abbiamo gia visto (esercizio 5.5) che la funzione f e derivabile in 0.

Per vedere se la funzione g(x) e derivabile in 0, studiamo il rapporto incrementale:

limx→0

g(x)− g(0)

x− 0= limx→0

x sin 1x − 0

x= limx→0

sin1

x(5.24)

Ovviamente tale limite non esiste (vicino all’origine sin 1x oscilla) e quindi g non e derivabile in

0.

Figure 3: Il grafico di g(x) = x sin 1x

vicino all’origine oscilla tra le rette y = x e y = −x.

Pag. 40


6 Formule di Taylor

6.1 Il polinomio di Taylor

Teorema 6.1 (Polinomio di Taylor). Sia f una funzione derivabile n volte in un punto x0. Alloraesiste un polinomio Pn(x), e uno soltanto, di grado minore o uguale a n, che ha in comune con f , nelpunto x0, tutte le prime n derivate, cioe che soddisfa le n+ 1 condizioni17:

Pn(x0) = f(x0), P ′n(x0) = f ′(x0), P ′′n (x0) = f ′′(x0), ..., P (n)n (x0) = f (n)(x0) (6.1)

Tale polinomio, detto polinomio di Taylor di ordine n di f , centrato in x0, e dato da:

Pn(x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0) +f ′′(x0)

2!(x− x0)2 + · · ·+ f (n)(x0)

n!(x− x0)n (6.2)

=

n∑k=0

f (k)(x0)

k!(x− x0)k

Il grado del polinomio Pn(x) e esattamente n se f(n)(x0)n! 6= 0, altrimenti sara minore di n.

Dimostrazione. Si vede subito con un semplice conto (calcolando le derivate successive) che il poli-nomio 6.2 soddisfa le n+ 1 condizioni 6.1. Questo prova l’esistenza di un polinomio con le proprietarichieste. Quanto alla unicita di tale polinomio, consideriamo un generico polinomio di grado ≤ n,centrato in x0:

P (x) = a0 + a1(x− x0) + a2(x− x0)2 + · · ·+ an(x− x0)n (6.3)

Dimostriamo che se tale polinomio soddisfa le condizioni 6.1, allora necessariamente deve coinciderecon il polinomio 6.2. Le derivate successive di P (x) (includendo la derivata di ordine 0, che coincideper definizione con il polinomio stesso), sono:

P (x) = a0 + a1(x− x0) + a2(x− x0)2 + a3(x− x0)3 · · ·+ an(x− x0)n

P ′(x) = a1 + 2a2(x− x0) + 3a3(x− x0)2 · · ·+ nan(x− x0)n−1

P ′′(x) = 2a2 + 3 · 2a3(x− x0) + · · ·+ n · (n− 1)an(x− x0)n−2

P ′′′(x) = 3 · 2a3 + · · ·+ n · (n− 1) · (n− 2)an(x− x0)n−3

.. = ..

P (n)(x) = n!an

Valutando queste derivate successive di P (x) in x0 e imponendo le condizioni 6.1, si ottiene:

f(x0) = P (x0) = a0

f ′(x0) = P ′(x0) = a1

f ′′(x0) = P ′′(x0) = 2a2

f ′′′(x0) = P ′′′(x0) = 3!a3

.. = ..

f (n)(x0) = P (n)(x0) = n!an

Dunque i coefficienti a0, ..., an del polinomio di Taylor sono esattamente quelli del polinomio 6.2 :

a0 = f(x0), a1 = f ′(x0), a2 =f ′′(x0)

2!, a3 =

f ′′′(x0)

3!, ..., an =

f (n)(x0)

n!(6.4)

17La derivata di ordine zero di una funzione e, per definizone, la funzione stessa.

Pag. 41


come si voleva dimostrare. �

Si noti che il polinomio di Taylor di ordine 1 di una funzione f , centrato in x0, e

P1(x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0) (6.5)

Il grafico di tale polinomio e la retta tangente al grafico di f nel punto (x0, f(x0)).

6.2 Funzioni di classe Ck

Premettiamo alcune definizioni. Sia I un intervallo aperto dell’asse reale. Denotiamo con C0(I)l’insieme di tutte le funzioni reali18 continue su I. Per ogni intero k ≥ 1, denotiamo con Ck(I)l’insieme di tutte le funzioni reali definite su I, che sono derivabili k volte su I, e le cui derivatesuccessive f, f ′, .., fk sono tutte continue su I, fino a quella di ordine k incluso19. Se una funzione fappartiene a Ck(I), diremo anche che f e di classe Ck. Si dice che f e di classe C∞, o che e liscia,se f e di classe Ck per ogni k ∈ N. Gli spazi Ck(I) sono esempi di spazi funzionali, cioe di spazi i cuielementi sono funzioni.

Esempi

1. Le funzioni sinx, cosx, expa(x) (esponenziale di base a, a > 0, a 6= 1), xn con n ∈ N, arctanx,sono tutte lisce (di classe C∞) su R.

2. La funzione lnx e di classe C∞ sulla semiretta aperta (0,+∞).

3. f(x) = |x| su R e C0 ma non C1.

4. f(x) = x|x| su R e C1 ma non C2.

5. f(x) = |x|3 su R e C2 ma non C3.

6.3 Studio locale. Formula di Taylor con il resto nella forma di Peano

Lo sviluppo di Taylor con il resto nella forma di Peano si utilizza per studiare una funzione in unintorno di un punto fissato x0. L’idea di base e di approssimare la funzione f in un intorno di x0,mediante il suo polinomio di Taylor Tn(f ;x0) di ordine n, centrato in x0:

Tn(f ;x0) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0) +f ′′(x0)

2!(x− x0)2 + · · ·+ 1

n!f (n)(x0)(x− x0)n (6.6)

Il teorema di Taylor con il resto nella forma di Peano (che ora dimostriamo) afferma che la differenzatra la funzione f(x) e il suo polinomio di Taylor 6.6 e un infinitesimo, per x→ x0, di ordine superiorerispetto all’infinitesimo (x− x0)n.

Teorema 6.2 (Formula di Taylor con il resto di Peano). Sia f una funzione di classe Cn su unintervallo aperto I dell’asse reale. Fissiamo un punto x0 in I. Allora vale il seguente sviluppo:

f(x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0) +f ′′(x0)

2!(x− x0)2 + · · ·+ 1

n!f (n)(x0)(x− x0)n + o((x− x0)n) (6.7)

18Dire che una funzione e reale significa che il suo codominio e un sottoinsieme dell’insieme R dei numeri reali.19Queste richieste sono un po’ ridondanti. Infatti, se una funzione e derivabile k volte, la continuita di tutte le derivate

f, f ′, f ′′, .., f (k−1) e automatica, perche una funzione derivabile e continua. Basterebbe dire che f e di classe Ck se ederivabile k volte e la sua derivata k-esima e continua.

Pag. 42


Dimostrazione. Ricordiamo che, per definizione, una funzione g(x) e un o((x − x0)n) (si legge: o-piccolo di (x− x0)n) in un intorno di x0, se

limx→x0

g(x)

(x− x0)n= 0

Quindi, per dimostrare la formula di Taylor 6.7 occorre dimostrare che

limx→x0

f(x)− f(x0)− f ′(x0)(x− x0)− f ′′(x0)

2!(x− x0)2 − · · · − 1

n!f (n)(x0)(x− x0)n

(x− x0)n= 0 (6.8)

Per capire come vanno le cose, basta studiare in dettaglio il caso n = 2. Usando due volte di seguitoil teorema di L’Hospital, abbiamo

limx→x0

f(x)− f(x0)− f ′(x0)(x− x0)− 12!f′′(x0)(x− x0)2

(x− x0)2= (6.9)

limx→x0

f ′(x)− f ′(x0)− f ′′(x0)(x− x0)

2(x− x0)= (6.10)

limx→x0

f ′′(x)− f ′′(x0)

2= 0 (6.11)

Poiche l’ultimo limite (giustificato dalla continuita di f ′′ in x0) esiste e vale 0, per il teorema di deL’Hospital anche il limite iniziale (6.9) esiste e vale 0, come volevamo dimostrare.

La formula per un n arbitrario (e per una funzione di classe Cn) si dimostra esattamente nellostesso modo, iterando la regola di de L’Hospital. �

6.3.1 Alcune importanti approssimazioni locali

Usando la formula di Taylor locale 6.7, si verifica che valgono, per x → 0 e per ogni naturale n, iseguenti importanti sviluppi sviluppi.

expx = 1 + x+x2

2!+x3

3!+ · · ·+ xn

n!+ o(xn) (6.12)

=

n∑k=0

xk

k!+ o(xn)

cosx = 1− x2

2!+x4

4!− x6

6!+ · · ·+ (−1)2n x2n

(2n)!+ o(x2n+1) (6.13)

=

n∑k=0

(−1)kx2k

(2k)!+ o(x2n+1)

sinx = x− x3

3!+x5

5!− x7

7!· · ·+ (−1)n

x2n+1

(2n+ 1)!+ o(x2n+2) (6.14)

=

n∑k=0

(−1)nx2n

(2n)!+ o(x2n+2)

Pag. 43


ln(1 + x) = x− x2

2+x3

3− x4

4· · ·+ (−1)n+1x

n

n+ o(xn) (6.15)

=

n∑k=1

(−1)k+1xk

k+ o(xn)

(1 + x)α = 1 + αx+α(α− 1)

2!x2 + · · ·+ α(α− 1) · · ·+ (α− n+ 1)

n!xn + o(xn) (6.16)

=

n∑k=0

(α

k

)xk + o(xn) (Per ogni numero α).

arctanx = x− x3

3+x5

5− x7

7+ o(x8) (6.17)

=

n∑k=0

(−1)kx2k+1

2k + 1+ o(x2n+2)

arcsinx = x+x3

3!+ o(x4) (6.18)

tanx = x+1

3x3 +

2

15x5 + o(x6) (6.19)

(E difficile dare l’espressione dello sviluppo di tanx. I coefficienti si scrivono in funzione dei numeridi Bernoulli Bn).

6.4 Studio su un intervallo. Formula di Taylor con il resto nella forma diLagrange

La formula di Taylor di f centrata in x0, con il resto nella forma di Lagrange, si utilizza per studiareuna funzione f su un intervallo (magari ‘grande’) contenente il punto x0. (Ovviamente potra servireanche a studiare la funzione f localmente, cioe in un piccolo intorno di x0).

Teorema 6.3 (Formula di Taylor con il resto di Lagrange). Sia f una funzione derivabile n+ 1 voltesu un intervallo aperto I dell’asse reale. Fissiamo un punto x0 in I. Allora, per ogni altro puntox ∈ I esiste un punto c, compreso tra x0 e x, per il quale vale:

f(x) = f(x0)+f ′(x0)(x−x0)+f ′′(x0)

2!(x−x0)2+· · ·+ f (n)

n!(x0)(x−x0)n+

f (n+1)(c)

(n+ 1)!(x−x0)n+1 (6.20)

Il termine fn(c)n! (x− x0)n si chiama il resto nella forma di Lagrange.

Si noti che se n = 0, la formula di Taylor 6.20 si riduce al teorema di Lagrange:

f(x) = f(x0) + f ′(c)(x− x0) (6.21)

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Per dimostrare la formula di Taylor 6.20 useremo il teorema di Cauchy, che qui richiamiamo:

Teorema. [Cauchy] Supponiamo che h(x) e k(x) siano funzioni definite su un intervallo apertoI, entrambe derivabili, con k′(x) 6= 0 per ogni x ∈ I. Siano x0, x1 due punti qualunque di I. Alloraesiste un numero c, compreso tra x0 e x1, per il quale vale la seguente uguaglianza:

h(x1)− h(x0)

k(x1)− k(x0)=h′(c)

k′(c)(6.22)

In particolare, se entrambe le funzioni h e k si annullano nel punto x0, cioe h(x0) = k(x0) = 0,l’uguaglianza 6.22 diventa

h(x1)

k(x1)=h′(c)

k′(c)(6.23)

per un opportuno c tra x0 e x1. (Sara in questa forma che utilizzeremo il teorema di Cauchy nelladimostrazione della formula di Taylor).

Dimostrazione. (Formula di Taylor 6.20). Dimostriamo la formula nel caso particolare n = 1, vale adire dimostriamo che esiste un numero c, compreso tra x0 e x per il quale vale:

f(x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0) +f′′(c)

2!(x− x0)2 (6.24)

La dimostrazione per n arbitrario e esattamente la stessa. La formula 6.24, che vogliamo dimostrare,equivale ovviamente (per x 6= x0) a

f(x)− f(x0)− f ′(x0)(x− x0)

(x− x0)2=f′′(c)

2!(6.25)

Quindi quello che dobbiamo dimostrare e che la frazione

f(x)− f(x0)− f ′(x0)(x− x0)

(x− x0)2(6.26)

si puøscrivere comef′′(c)

2!per un opportuno numero c tra x0 e x.

Chiamiamo rispettivamente N(x) e D(x) il numeratore e il denominatore di 6.26:

N(x) = f(x)− f(x0)− f ′(x0)(x− x0), D(x) = (x− x0)2

Notiamo che N(x0) = 0 e D(x0) = 0. Inoltre, con un calcolo diretto, si ricava subito:

N ′(x) = f ′(x)− f ′(x0), D′(x) = 2(x− x0) (6.27)

Per il teorema di Cauchy (siamo nel caso particolare 6.23) esiste allora un punto c1 per il quale vale:

N(x)

D(x)=N(x)−N(x0)

D(x)−D(x0)=N ′(c1)

D′(c1)=f ′(c1)− f ′(x0)

2(c1 − x0)(6.28)

Se, per fissare le idee, supponiamo x0 < x, avremo

x0 < c1 < x (6.29)

Adesso applichiamo di nuovo il teorema di Cauchy nella forma 6.23 alla coppia di funzioni h(x) =f ′(x)−f ′(x0) e k(x) = 2(x−x0), sull’intervallo [x0, c1]. Si noti che tali funzioni si annullano entrambe

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in x0. Le loro derivate sono h′(x) = f ′′(x) e h′(x) = 2. Dunque, per la formula 6.23, esiste un numeroc2, con x0 < c2 < c1, per il quale si ha

h(c1)− h(x0)

k(c1)− k(x0)=h(c1)

k(c1)=f ′(c1)− f ′(x0)

2(c1 − x0)=f ′′(c2)

2(6.30)

Siccome sappiamo da 6.29 che c1 e compreso tra x0 e x, anche c2 e compreso tra x0 e x:

x0 < c2 < x

Scrivendo c al posto di c2, abbiamo dunque dimostrato la formula 6.25.

Nello stesso modo, applicando piu volte di seguito il teorema di Cauchy, si dimostra la formula diTaylor 6.20 nel caso di un intero positivo n arbitrario. �

Osservazione. Si noti che abbiamo richiesto che f fosse derivabile n + 1 volte, ma non abbiamorichiesto la continuita della derivata di ordine massimo n+ 1.

6.4.1 Un’applicazione: stima dell’errore

Problema 6.4. Nell’intervallo [0, π/4], approssimiamo sinx con il polinomio di Taylor

P3(x) = x− x3

3!

Dare una stima dell’errore che si compie.

Soluzione. Si noti che i due polinomi di Taylor P3 e P4 della funzione sin, centrati in 0, sono entrambi

uguali a x− x3

3! (perche la derivata quarta di sin in 0 si annulla). Se vediamo x− x3

3! come il polinomiodi Taylor P4, allora il teorema di Taylor con il resto nella forma di Lagrange, assicura che esiste unnumero c tra 0 e π

4 per il quale vale:

sinx = x− x3

3!+

cos c

5!x5

L’errore che si compie e dunque ∣∣∣cos c

5!x5∣∣∣ ≤ (π/4)5

5!' 0, 0024

Se invece pensiamo a x− x3

3! come al polinomio di Taylor P3, per il teorema di Taylor 6.3 con il restodi Lagrange abbiamo, per un opportuno d tra 0 e π

4 ,

sinx = x− x3

3!+

sin d

4!x4

La stima dell’errore e allora ∣∣∣∣ sin d4!x4

∣∣∣∣ ≤ (π/4)4

4!' 0, 0158..

meno precisa della precedente.

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6.5 Complementi: Prime nozioni sulle funzioni sviluppabili in serie dipotenze.

(Gli argomenti di questo paragrafo non sono in programma).

Torniamo all’enunciato del Teorema di Taylor 6.3 con il resto nella forma di Lagrange: per ognix nell’intervallo in cui la funzione e definita (anche se x e ‘lontano’ da x0) esiste un opportuno c(compreso tra x0 e x) per cui vale lo sviluppo

f(x) = Pn−1(x) + Rn−1 (6.31)

dove Rn−1 e il resto nella forma di Lagrange

1

n!fn(c)(x− x0)n (6.32)

Ora fissiamo x in I. Se, al tendere di n all’infinito, il termine complementare (il resto) tende a zero:

limn→+∞

[f(x)− Pn−1(x)] = limn→+∞

Rn−1 = 0 (6.33)

allora possiamo concludere - per definizione di somma di una serie numerica - che f(x) e la sommadella serie di potenze (‘polinomio infinito’)

+∞∑n=0

1

n!fn(x0)(x− x0)n (6.34)

e quindi scriveremo:

f(x) =

+∞∑n=0

1

n!fn(x0)(x− x0)n (6.35)

In questo caso, diremo che la funzione f e sviluppabile in serie di Taylor nell’intervallo I.

Occorre stare attenti. Se la funzione f ha derivate di ogni ordine su un intervallo I dell’asse reale ex0 appartiene a I, non e detto che per ogni x in I valga 6.35, cioe non e detto che per ogni x la seriedi Taylor di f - centrata in a - sia convergente e converga proprio a f(x).

Ad esempio, la funzione f(x) = 11−x ha derivate di ogni ordine in (−∞, 1) ∪ (1,+∞). La sua serie

di Taylor centrata in x0 = 0 e

+∞∑n=0

xn = 1 + x+ x2 + x3 + · · ·+ xn + · · ·

(Dimostrarlo). Pero solo nell’intervallo −1 < x < 1 vale lo sviluppo

1

1− x=

+∞∑n=0

xn = 1 + x+ x2 + x3 + · · ·+ xn + · · ·

mentre la serie non converge se |x| > 1. (Si tratta della serie geometrica di ragione x).

Le funzioni ex, sinx e cosx sono invece sviluppabili in serie di Taylor su tutto l’asse reale, comevedremo nei prossimi paragrafi.

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La serie esponenziale Applichiamo la formula di Taylor

f(x) = f(x0)+f ′(x0)(x−x0)+f ′′(x0)

2!(x−x0)2+· · ·+ f (n−1)

(n− 1)!(x0)(x−x0)n−1+

f (n)(c)

n!(x−x0)n (6.36)

alla funzione esponenziale f(x) = ex, x ∈ R. Poiche Dex = ex, per ogni intero positivo n si haDn(ex) = ex. In x0 = 0 abbiamo allora, per ogni n,

f (n)(0) = 1 (6.37)

Quindi la formula di Taylor da questo risultato: Comunque si fissi un numero x ∈ R, e per ogninumero naturale n, esiste un numero ξ, compreso tra x e 0, per il quale vale lo sviluppo:

ex = 1 + x+x2

2!+x3

3!+ · · ·+ xn−1

(n− 1)!+xn

n!eξ (6.38)

Ora dimostriamo che, se x resta fisso e n tende a +∞, il resto Rn = xn

n! eξ tende a zero.

Dimostrazione. Fissiamo, in modo arbitrario, un numero x in R e numero naturale n. Il teorema di Taylorassicura che esiste un numero ξ, compreso tra 0 e x, per il quale vale 6.38. Sia nel caso x < ξ < 0 che nel caso0 < ξ < x, vale | ξ |<| x | e quindi

eξ ≤ e|ξ| < e|x|

Dunque esiste una costante M = e|x| tale che, qualunque sia il numero naturale n, per il numero ξ che comparein 6.38 vale la disuguaglianza

eξ < M (6.39)

Si dimostra facilmente che, per ogni x fissato, la successionexn

n!tende a zero 20 per n che tende a +∞:

limn→+∞

xn

n!= 0 (6.40)

Dunque anche il resto della formula di Taylor

| Rn |=| x |n

n!eξ ≤ | x |

n

n!M = anM

tende a zero quando n tende a +∞. �

Pertanto la funzione ex e somma della serie di potenze

ex =

+∞∑n=0

xn

n!= 1 + x+

x2

2!+x3

3!+ · · · (6.41)

Si noti che la dimostrazione mostra che lo sviluppo 6.41 vale per ogni x in R.

20Dimostriamo che limn→+∞xn

n!= 0. Poniamo

an =| x |n

n!

Sia m il piu piccolo intero tale che| x |m+ 1

≤1

2. Allora

am+1 =| xm+1 |(m+ 1)!

=| x |m+ 1

| xm |m!

≤1

2am

Iterando, abbiamo allora am+2 ≤ am( 12

)2 e in generale, per ogni h, am+h ≤ am( 12

)h. Quest’ultima disuguaglianzadimostra che la successione am+h tende a zero quando h tende a +∞, ovvero, in modo equivalente, che la successione|x|n

n!tende a zero quando n tende a +∞.

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Lo sviluppo in serie di Taylor di seno e coseno La stessa argomentazione che dimostra laconvergenza, su tutto l’asse reale, della serie esponenziale, continua a valere per gli sviluppi in seriedi Taylor delle funzioni seno e coseno, centrate in a = 0. Ad esempio, per ogni x reale e per ogniintero positivo n, le derivate successive n-esime Dn sin sono uniformemente maggiorate dalla costanteM = 1. (Infatti le derivate successive di sin sono uguali, a meno del segno, a sin e cos, e quindi invalore assoluto sono ≤ 1). Quindi, nel caso dello sviluppo di f = sin, il resto 1

n!fn(c)xn e minore o

uguale di xn

n! , e abbiamo visto che tale successione tende a zero, qualunque sia x, quando n tende a+∞. Lo stesso vale per la funzione cos. Pertanto valgono i seguenti sviluppi:

sinx = x− x3

3!+x5

5!− x7

7!· · · =

+∞∑n=0

(−1)nx2n+1

(2n+ 1)!(6.42)

cosx = 1− x2

2!+x4

4!− x6

6!· · · =

+∞∑n=0

(−1)nx2n

(2n)!(6.43)

e questi sviluppi in serie di Taylor delle funzioni seno e coseno valgono per ogni x in IR.

La serie binomiale La generalizzazione della formula della potenza di un binomio a esponentiarbitrari e stata una delle grandi scoperte matematiche di Newton. Vogliamo sviluppare la funzionef(x) = (1 +x)α in serie di Taylor, dove x > −1 e α e un qualunque numero reale (positivo o negativo,razionale o irrazionale). Calcoliamo le derivate successive di f(x):

f ′(x) = α(1 + x)α−1 (6.44)

f ′′(x) = α(α− 1)(1 + x)α−2 (6.45)

..... ......................................... (6.46)

f (n)(x) = α(α− 1) · · · (α− n+ 1)(1 + x)α−n (6.47)

In particolare, prendendo x0 = 0, abbiamo

f ′(0) = α, f ′′(0) = α(α− 1), f (n)(0) = α(α− 1) · · · (α− n+ 1)

Allora, per la formula di Taylor,

(1 + x)α = 1 + αx+α(α− 1)

2!x2 + · · · α(α− 1) · · · (α− n+ 1)

n!xn +Rn+1

Ora si dimostra che, al tendere di n a +∞, il resto Rn+1 tende a zero se |x| < 1, mentre non tendea zero se |x| > 1. (Non diamo la dimostrazione di questo risultato). Introducendo il coefficientebinomiale generalizzato (

α

n

)=α(α− 1) · · · (α− n+ 1)

n!

si ottiene allora lo sviluppo di (1 + x)α nella serie binomiale

(1 + x)α =

+∞∑n=0

(α

n

)xn (6.48)

che converge perøsolo se |x| < 1.

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7 Funzioni convesse

Definizione 7.1. Una funzione definita su un intervallo aperto I si dice:

• convessa, se per ogni coppia di punti x1, x2 in I il segmento congiungente i puntiM = (x1, f(x1)) e N = (x2, f(x2)) sta al di sopra del grafico di f . In modo equivalente, se perogni x1, x2 in I e per ogni coppia di numeri reali λ, µ ≥ 0, soddisfacenti λ+ µ = 1, si ha:

f(λx1 + µx2) ≤ λf(x1) + µf(x2) (7.1)

• concava, se per ogni coppia di punti x1, x2 in I il segmento congiungente i puntiM = (x1, f(x1)) e N = (x2, f(x2)) sta al di sotto del grafico di f . In modo equivalente, se perogni x1, x2 in I e per ogni coppia di numeri reali λ, µ ≥ 0, soddisfacenti λ+ µ = 1, si ha:

f(λx1 + µx2) ≥ λf(x1) + µf(x2) (7.2)

Se chiamiamo corda il segmento di estremi M , N e arco il grafico di f tra gli stessi estremi, possiamodire che una funzione continua definita su un intervallo si dice convessa se, in ogni sottointervallo,la corda sta al di sopra dell’arco, mentre si dice concava se, in ogni sottointervallo, la corda sta al disotto dell’arco.

Una funzione convessa si dice strettamente convessa se, in ogni sottointervallo, arco e corda hannosolo gli estremi in comune. In modo analogo si definisce una funzione strettamente concava.

0

M

N

Figure 4: Funzione concava: la corda sta tutta al di sotto dell’arco.

0

M

N

Figure 5: Funzione convessa: la corda sta tutta al di sopra dell’arco.

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Esempi. La funzione f(x) = |x|, x ∈ R, e convessa (su R). Anche la funzione g(x) = x2, R −→ R,e convessa.

Osservazione. Una funzione convessa su un intervallo I, puo non essere derivabile, come risulta

dall’esempio x 7−→ |x|, x ∈ R. Ma si dimostra che se I e un intervallo aperto e If−→ R e convessa

su I, allora le derivate sinistre e le derivate destre esistono in ogni punto di I. Di conseguenza, unafunzione convessa su un intervallo aperto e continua. (Invece una funzione f convessa su un intervallo[a, b] puo non essere continua in a o in b, come si vede facilmente con un esempio).

Per le funzioni derivabili, la convessita si puo formulare anche in un altro modo. (La dimostrazionee semplice, ma non la riportiamo).

Teorema 7.2. Condizione necessaria e sufficiente perche una funzione f , derivabile in tutto unintervallo [a, b], sia convessa e che la retta tangente al grafico in un suo qualsiasi punto stia tutta aldi sotto del grafico.

0

Figure 6: Funzione convessa: il grafico sta tutto al di sopra della retta tangente.

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7.1 Interpretazione del segno della derivata seconda

Teorema 7.3. Supponiamo che f sia derivabile due volte su un intervallo aperto I. Se per ogni x ∈ Isi ha f ′′(x) ≥ 0, allora f e convessa.

Dimostrazione. Per dimostrare che f e convessa, ricorriamo al teorema precedente e dimostriamoche, per ogni punto (x0, f(x0)) del grafico di f , il grafico si trova tutto al di sopra della retta tangentein tale punto. Sia dunque x0 un punto in I. Prendiamo un qualunque punto x ∈ I. Poiche f e duevolte derivabile, possiamo scrivere la formula di Taylor arrestata al secondo ordine, con centro in x0:

f(x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0) +f ′′(c)

2(x− x0)2 (7.3)

per un opportuno punto c compreso21 tra x e x0. Allora

f(x)− [f(x0) + f ′(x0)(x− x0)] =f ′′(c)

2(x− x0)2 ≥ 0 (7.4)

perche (x− x0)2 ≥ 0 e f ′′(c) ≥ 0 per ipotesi. Dunque il primo membro della 7.4 e maggiore o ugualea zero, ossia

f(x)︸︷︷︸Ordinata sul grafico di f

≥ f(x0) + f ′(x0)(x− x0)︸︷︷︸Ordinata sulla retta tangente

(7.5)

Si noti infatti che y = f(x0)+f ′(x0)(x−x0) e l’equazione della retta tangente al grafico di f nel punto(x0, f(x0)). Abbiamo cosı dimostrato che il grafico di f sta tutto al di sopra della retta tangente nelpunto (x0, f(x0)). �

Definizione 7.4 (Punto di flesso). Sia If−→ R una funzione definita su un intervallo aperto I ⊂ R.

Un punto x0 si dice punto di flesso per f se e estremo comune di due intervalli, su uno dei quali lafunzione e convessa, e sull’altro concava.

Osservazione. Se f e una funzione due volte derivabile sull’intervallo aperto I e x0 ∈ I,l’annullarsi della derivata seconda, f ′′(x0) = 0, e condizione necessaria perche x0 sia un punto di flessoper f . La condizione non e pero sufficiente, come e evidente dall’esempio f(x) = x4. Per decidere seun punto x0, in cui la derivata seconda si annulla, sia un punto di flesso, converra esaminare il segnodella derivata seconda in un intorno sinistro e il segno in un intorno destro di x0. Se questi segni sonodiversi, siamo in presenza di un punto di flesso, altrimenti no.

Esempio. La funzione f(x) = x3 ha un punto di flesso in x0 = 0, perche la derivata secondaf′′(x) = 6x e negativa in un intorno sinistro e positiva in un intorno destro di 0.

21Quando diciamo che c e compreso tra x e x0 intendiamo dire che x < c < x0 se x < x0, mentre x0 < c < x sex0 < x.

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Indice - Politecnico di Milano...Introduzione al calcolo di erenziale Federico Lastaria, Analisi e...

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