Università degli studi di Salerno

Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali

Corso di laurea in Fisica

Anno accademico 2011/2012

Elettrodinamica e struttura conformedello spazio-tempo

Candidato

Costantino Pacilio

Matricola 0510600175

Docente relatore

Prof. Gaetano Vilasi

1

Nature and nature's laws lay hid in night;

A. Pope

2

Abstract

Le equazioni di Maxwell furono formulate quali sintesi matematica dei fenomenielettrici e magnetici allora conosciuti, ma subito rivelarono ulteriori aspettipiù profondi. Di questi, i più notabili sono: la previsione dell'esistenzadelle onde elettromagnetiche, di cui la luce costituisce un caso particolare,e l'osservazione che esse non sono covarianti per trasformazioni galileiane,ma per trasformazioni più generali note oggi come trasformazioni di Lorentz(covarianza relativistica). La covarianza relativistica in particolare spinge adabbandonare la geometria euclidea, in cui le equazioni sono originariamenteformulate, per considerare i campi elettromagnetici come appartenenti a unospazio-tempo metrico (Minkowski) e non più a uno spazio tempo a�ne (New-ton). Da qui l'esigenza di un uso sistematico del calcolo tensoriale che forniscenon solo una generalizzazione del calcolo vettoriale ma anche un potente stru-mento di analisi. Questi argomenti vengono normalmente a�rontati durantei corsi di elettromagnetismo classico, nei loro aspetti più fondamentali. Inquesto lavoro vogliamo gettare lo sguardo su un ulteriore sviluppo del cacolotensoriale: il calcolo delle forme di�erenziali [indicato anche come calcolodi�erenziale esterno, che abbrevieremo in calcolo esterno]. Sviluppato daCartan e da altri matematici nei primi decenni del secolo scorso, il calcoloesterno è un argomento dell'analisi tensoriale, il cui uso spazia in molti campidella matematica pura e applicata. In �sica le forme di�erenziali sono usate inrelatività generale, teoria quantistica dei campi, termodinamica, meccanica,elettromagnetsimo. La trattazione dell'elettromagnetismo classico attraversoil calcolo esterno ha dei vantaggi signi�cativi. Non solo sempli�ca numerosicalcoli, ma chiarisce alcune questioni di natura teorica che riguardano tantogli aspetti matematici che quelli �sici della teoria: i teoremi della divergenzae del rotore, che sono molto simili, hanno una connessione più intima? le leggidi Gauss e di Ampère, che esprimono la dipendenza dei campi dalle sorgenti,sono l'epressione di una legge più fondamentale? qual è l'interpretazionegeometrica dei campi nello spazio-tempo? Simili interrogativi appaiono os-curi agli studenti a causa delle limitazioni dell'analisi vettoriale. Vedremoin questo lavoro come questi e altri aspetti fondamentali trovino una formu-lazione naturale nel calcolo tensoriale ed esterno. Cogliamo l'occasione persottolineare che entrambi gli approcci (il calcolo tensoriale e il calcolo es-terno) hanno dei vantaggi reciproci, essendoci delle applicazioni in cui l'unoè più conveniente dell'altro, e vanno perciò intesi come complementari.L'esposizione si articolerà secondo lo schema seguente:

3

� de�niremo cos'è un tensore e le operazioni algebriche fra tensori, per�ssare le notazioni;

� de�niremo lo spazio euclideo mediante la nozione di tensore; ciò ciconsentirà, tra l'altro, di interpretare correttamente l'operazione diprodotto vettoriale e gli pseudovettori; queste considerazioni sarannocruciali nel passaggio dallo spazio euclideo allo spazio-tempo;

� similmente allo spazio euclideo, introdurremo lo spazio-tempo e in par-ticolare lo spazio di Minkowski;

� daremo il concetto di forma di�erenziale e le operazioni principali delcalcolo esterno: il di�erenziale esterno e il duale di Hodge; metteremoinoltre in evidenza i vantaggi rispetto agli approcci tradizionali (calcolovettoriale e tensoriale), mostrando le corrispondenze tra le rispettiveoperazioni ed enunciando il teorema fondamentale del calcolo esterno:il teorema di Stokes;

� l'apparato matematico così introdotto costituirà il linguaggio con cuiriformuleremo la teoria del campo elettromagnetico; le equazioni diMaxwell appariranno in una forma elegante, che ne porrà in risaltol'interpretazione geometrica; si potranno anche apprezzare la semplicitàcon cui il formalismo utilizzato risponde agli interrogativi sopra espostie la sua e�cacia computazionale.

4

1 I tensori

I tensori permettono di esprimere le leggi della �sica in una forma identicaper tutti i sistemi di riferimento, o come si suol dire in forma covariante.Come è noto, la scelta di un sistema di coordinate non è unica. Ad es-empio in luogo delle coordinate rettangolari dell' ordinario spazio euclideo,può essere conveniente passare ad un sistema di coordinate curvilinee. Ingenerale, comunque, non è detto che un sistema di coordinate debba essere3-dimensionale; anzi, nella �sica relativistica si ricorre ordinariamente a unsistema di coordinate 4-dimensionale. Sorge dunque la necessità di sviluppareuna descrizione geometrica dello spazio �sico in coordinate arbitrarie.Indicheremo perciò con Xn un generico spazio n-dimensionale e con {xi}

un generico sistema di coordinate che mappa Xn, con l'indice i che assume ivalori 1, ..., n.Siano {xi} e {xk} due sistemi di coordinate che ricoprono lo stesso spazio

Xn. Indichiamo simbolicamente con

xi ≡ xi(xk) (1)

la legge di trasformazione tra i due sistemi. Se, come supporremo, la (1) èinvertibile e di�erenziabile valgono in ogni punto le relazioni:

dxi =∂xi

∂xkdxk (2)

∂ϕ

∂xi=∂xk

∂xi∂ϕ

∂xk(3)

dove ϕ è una funzione scalare.1

Dalle (2) e (3) segue:

∂xi

∂xj∂xj

∂xk=∂xi

∂xj∂xj

∂xk= δik (4)

dove δik è il simbolo delta di Kronecker de�nito da

1Abbiamo usato la convenzione di Einstein per le sommatorie: l'indice di sommatoriaviene omesso, intendendo che la somma deve essere fatta rispetto agli indici di diversacovarianza che si ripetono due volte. Nel seguito adotteremo sempre questa convenzione,tranne dove speci�catamente indicato.

5

δik =

{1 se i = k

0 se i 6= k. (5)

Dalla (4) e dalla regola del prodotto dei determinanti deduciamo

∂ (x1, ..., xn)

∂ (x1, ..., xn)

∂ (x1, ..., xn)

∂ (x1, ..., xn)= 1 (6)

e cioè lo jacobiano della (1)

J =∂ (x1, ..., xn)

∂ (x1, ..., xn)(7)

è non nullo.

De�nizione Un insieme di nr+s quantità T i1...irk1...ks, con gli indici che as-

sumono i valori 1...n, costituisce le componenti di un tensore di tipo (r, s) inun punto P di Xn se per la trasformazione (1) queste quantità si trasformanosecondo la legge

T i1...irk1...ks=∂xi1

∂xl1...∂xir

∂xlr∂xm1

∂xk1...∂xms

∂xksT l1...lrm1...ms

. (8)

Il rango del tensore è r + s. Gli indici in alto si diranno controvarianti,quelli in basso covarianti.

La de�nizione fa esplicito riferimento al punto P in cui il tensore è de�nito:infatti le coordinate di P entrano come argomento nei coe�cienti ∂xi/∂xl e∂xm/∂xk.Dall'invertibilità della (1) segue che la (8) ha un'inversa:

T i1...irk1...ks=∂xi1

∂xl1...∂xir

∂xlr∂xm1

∂xk1...∂xms

∂xksT l1...lrm1...ms

. (9)

Osserviamo che se tutte le componenti di T si annullano in un sistema dicoordinate, allora esse si annullano in tutti i sistemi di coordinate.

6

Dall'identità

δik =∂xi

∂xl∂xm

∂xkδlm (10)

si vede che la delta di Kronecker è un tensore di tipo (1, 1) identico in tuttii sistemi di coordinate.Come casi speciali rientrano i tensori invarianti di rango 0, o scalari, e i

vettori.

De�nizione Un insieme di n quantità Ai costituisce le componenti diun vettore controvariante in un punto P di Xn se per la trasformazione (1)queste quantità si trasformano secondo la legge

Ai =∂xi

∂xkAk. (11)

De�nizione Un insieme di n quantità Ai costituisce le componenti di unvettore covariante in un punto P di Xn se per la trasformazione (1) questequantità si trasformano secondo la legge

Ai =∂xk

∂xiAk. (12)

Un tensore si dice simmetrico rispetto a una coppia di indici di ugualecovarianza se, scambiando i due indici, il tensore resta immutato. Viceversasi dice antisimmetrico se, scambiando i due indici, le componenti cambianosegno.

T ..ik.. = T ..ki.. simmetriaT ..ik.. = −T ..ki.. antisimmetria

Dalla de�nizione segue che il carattere di simmetria o antisimmetria nondipende dal sistema di coordinate.

7

Algebra dei tensori

Per scrivere le leggi �siche in forma covariante dobbiamo conoscere comesi possono ottenere tensori a partire da altri tensori. Ciò può essere fattoin tre modi: mediante operazioni algebriche, per derivazione o per inte-grazione. In questa sezione esponiamo l'algebra dei tensori; della derivazionee dell'integrazione parleremo più avanti.

Addizione e sottrazione Addizionando o sottraendo le componentiomologhe di tensori dello stesso tipo si ottiene un tensore del medesimo tipo.

Aik..lm.. +Bik..lm.. = Cik..

lm..

Moltiplicazione Da un tensore di tipo (p, q) e uno di tipo (r, s) si ottieneun tensore di tipo (p+ q, r + s) moltiplicando tutte le componenti del primoper tutte le componenti del secondo.

Ai..k..Bl..m.. = Ci..l..

k..m..

Contrazione Da un tensore di tipo (r, s) si ottiene un tensore di tipo(r − 1, s− 1) eguagliando un indice covariante a uno controvariante e som-mando poi per tutti i valori dell'unico indice che ne risulta.

A..i....i.. = A..1....1.. + ...+ A..n....n..

Osserviamo che è non è possibile: 1) sommare tensori di tipi diversi; 2)sommare o moltiplicare tensori de�niti in punti distinti di Xn.

Tensore inverso Due tensori Aike Bkm si dicono l'uno l'inverso dell'altrose vale l'identità

AikBkl = BlkAki = δil . (13)

8

Tensori speciali

Tensore metrico

La metrica di uno spazio Xn si introduce con il concetto di elemento didistanza, cioè la distanza tra due punti in�nitamente vicini. L'elementodi distanza si indica con ds ed è de�nito tramite il suo quadrato ds2 dallarelazione

ds2 = gikdxidxk. (14)

Il tensore gik è un tensore simmetrico detto tensore metrico e dipende dallascelta delle coordinate.Per calcolare la distanza �nita tra due punti si deve integrare ds. Poiché gli

estremi di integrazione sono arbitrari, il tensore metrico deve essere de�nitoin ogni punto di Xn: questa circostanza si indica dicendo che gik è un campotensoriale.L'inverso di gik si indica con gkm. Il determinante det(gik) si indica con g;

naturalmente det(gkm) = 1/g.

Promozione degli indici Uno stesso tensore si può rappresentare conindici covarianti o controvarianti secondo la regola di promozione degli indici:

Ai = gikAk

Ai = gikAk.

In virtù di questa regola è possibile innalzare o abbassare tutti gli indiciomonimi di un'identità tensoriale senza alterarne la validità.

Prodotto scalare Assegnati due vettori Ai e Bk è possibile costruireuno scalare abbassando un indice e contraendo:

gikAiBk = AkB

k. (15)

Questa operazione è detta prodotto scalare di A e B.

Tensore di Levi-Civita

Si dice ri�essione completa la trasformazione

xi → −xi i = 1, ..., n. (16)

9

Dalla de�nizione (8) discende che per una ri�essione completa le compo-nenti di un vettore cambiano segno, mentre uno scalare resta invariato. Nelcorso dell'esposizione incontreremo dei tensori che, per una ri�essione com-pleta, esibiscono un cambiamento di segno addizionale: gli scalari cambianosegno, i vettori restano invariati, e così via. Questi tensori li de�niremopseudotensori (e in particolare parleremo di pseudovettori e pseudoscalari).Vedremo anche che gli pseudotensori risultano dalla combinazione di ten-

sori ordinari con uno pseudotensore detto tensore di Levi-Civita.

De�nizione Si dice tensore di Levi-Civita e si indica con εi1...in il tensoredi tipo (0, n) de�nito, in ogni punto di Xn, dalle seguenti proprietà:

1. completamente antisimmetrico:

εi1...in = (−1)|σ|ε1...n (17)

dove | σ | vale 0 o 1 a seconda che (i1, ..., in) sia una permutazione pario dispari di (1, ..., n);

2. tale cheεi1...inε

i1...in = (−1)1+nn! (18)

3. è uno pseudotensore.

Dalla (17) si vede che il tensore di Levi-Civita è completamente de�nitospeci�cando il valore di ε1...n ed inoltre

εi1...inεi1...in = n!ε1...nε

1...n

che inserita nella (18) restituisce la condizione

ε1...nε1...n = (−1)1+n. (19)

Inoltre

ε1...n = g1i1 ...gninεi1...in . (20)

Ma2

g1i1 ...gninεi1...in =1

gε1...n (21)

2L'uguaglianza (21) non è rigorosa perché eguaglia un tensore controvariante a uno co-variante. Essa è da intendersi come un'uguaglianza tra le componenti omonime di oppostacovarianza.

10

perciò

ε1...nε1...n =

1

g(ε1...n)2 = (−1)n+1 (22)

e in�neε1...n = ±

√(−1)n+1g. (23)

Abbiamo ottenuto un risultato importante: le componenti del tensore diLevi-Civita sono completamente determinate, a meno di un segno3, dal deter-minante del tensore metrico. Dalla (23) si vede anche che ε1...n è ben de�nitosolo se g è positivo quando n è dispari oppure g è negativo quando n è pari,cioè se

g = (−1)1+n | g | . (24)

La (24) è una restrizione non banale, ma vedremo che considerazioni �sicheci porteranno a de�nire gik in modo che essa sia sempre soddisfatta.

Campi tensoriali

Abbiamo già avuto modo di sottolineare che un campo tensoriale si de�nisceassegnando le componenti di un tensore in tutti i punti di Xn. Diamone orauna de�nizione rigorosa.

De�nizione Un insieme di nr+s funzioni T i1...irk1...ks(xp) costituisce le com-

ponenti di un campo tensoriale di tipo (r, s) su Xn se per la trasformazione(1) queste funzioni si trasformano secondo la legge

T i1...irk1...ks(xp) =

∂xi1

∂xl1...∂xir

∂xlr∂xm1

∂xk1...∂xms

∂xksT l1...lrm1...ms

(xq). (25)

Nella de�nizione abbiamo indicato esplicitamente la dipendenza dal puntodi applicazione: xp indica le coordinate di un punto nel sistema {xi}, xqindica le coordinate dello stesso punto nel sistema {xk}. Naturalmente questeentrano come argomento anche nei coe�cienti ∂xi/∂xl e ∂xm/∂xk.

Tutti i tensori di uno stesso tipo (r, s) in un punto di Xn costituiscono unospazio vettoriale di dimensione nr+s. In particolare lo spazio vettoriale dei

3Nel seguito sceglieremo sempre la radice positiva. In alcuni testi si fa la scelta opposta(vedere ad esempio [3]).

11

vettori controvarianti in un punto P è detto spazio tangente a Xn in P e siindica con Tn(P ).

12

2 Lo spazio euclideo

Lo spazio e il tempo sono le coordinate degli eventi �sici e ogni teoria �sicapresuppone una descrizione matematica di queste coordinate. Prendiamo aprestito le parole di A. Einstein [1]:

La sola giusti�cazione dei nostri concetti e dei nostri sistemi di concettiè il fatto che essi servono a rappresentare l'insieme delle nostre esperienze; aparte questo, essi non hanno nessuna legittimità. [...] Non entrerò nei dettagliche riguardano quelle proprietà dello spazio di riferimento che portano aconcepire i punti come elementi dello spazio e lo spazio come un continuo [...]Se si assumono sia questi concetti sia le loro relazioni con i corpi solidi desuntedall'esperienza, è facile spiegare che cosa si intende per tridimensionalità dellospazio: a ogni punto si possono associare tre numeri x1, x2, x3 (le coordinate)in modo tale che questa associazione sia biunivoca e che x1, x2, x3 varino inmodo continuo quando il punto descrive una linea, cioè una serie continua dipunti.

Nella �sica prerelativistica si suppone che il tempo sia assoluto. L'assolutezzadel tempo vuol dire che l'intervallo tra due istanti di tempo non varia con ilsistema di riferimento, cioè è uno scalare. Le uniche coordinate che possonosubire variazioni con il sistema di riferimento sono quelle spaziali e si assumeche lo spazio sia tridimensionale ed euclideo.Lo spazio euclideo E3 è un sistema di coordinate tridimensionali

x1 = xx2 = yx3 = z

in cui la distanza �nita tra due punti si calcola secondo il teorema diPitagora:

s2 = ∆x2 + ∆y2 + ∆z2 (26)

da cui il quadrato dell'elemento di lunghezza vale:

ds2 = dx2 + dy2 + dz2. (27)

Perciò il tensore metrico, che indicheremo con (µik), vale

(µik) =

1 0 00 1 00 0 1

13

in ogni punto di E3.Dalla regola di promozione degli indici e dalla forma di (µik) si vede che le

componenti controvarianti e quelle covarianti coincidono:

A1 = µ1kAk = µ11A

1 = A1

e così via.Le trasformazioni di coordinate tra due spazi euclidei

dxi = aikdxk (28)

devono conservare la metrica:

dx2 + dy2 + dz2 = dx2 + dy2 + dz2 (29)

o più sinteticamente

dxidxi = dxidxi. (30)

Combinando la (28) e la (30) si ottiene:

aikalidx

kdxl = dxkdxk (31)

che è soddisfatta in ogni punto solo se vale la relazione di ortogonalità

aikali = δlk. (32)

Dunque la matrice Jacobiana della trasformazione deve essere ortogonaleed inoltre J = ±1. Questo ci assicura che la trasfomazione sia invertibile.Si fa l'ipotesi che lo spazio euclideo sia omogeneo e isotropo. Questo implica

che (aik) è costante, cioè le sue componenti non dipendono dal punto diapplicazione. Perciò possiamo integrare la (28) e otteniamo:

xi = bi + aikxk (33)

dove le bi sono costanti. Troviamo perciò che le trasformazioni invertibilitra due spazi euclidei sono le roto-traslazioni.I vettori possono essere indicati indi�erentemente con le seguenti notazioni:

~A ≡ (Ax, Ay, Az)~A ≡ (A1, A2, A3)~A ≡ (A1, A2, A3)

14

infatti le componenti covarianti e controvarianti coincidono.Le principali operazioni binarie tra vettori sono:

� Il prodotto scalare:

~A · ~B = A1B1 + A2B2 + A3B3

� Il prodotto vettoriale:

~A× ~B = (A2B3 − A3B2, A3B1 − A1B3, A1B2 − A2B1).

~A × ~B è uno pseudovettore, infatti le sue componenti non cambiano segnoper una ri�essione completa.Per interpretare l'operazione di prodotto vettoriale usiamo il tensore di

Levi-Civita εijk. Dalla (23) si ha

ε123 = 1. (34)

Se de�niamo il tensore antisimmetrico di rango 2:

Cik = AiBk − AkBi

allora

( ~A× ~B)i =1

2εijkCjk. (35)

La (35) si generalizza a tutti gli pseudovettori. Consideriamo uno pseu-dovettore

~C = (C1, C2, C3).

Se assumiamo che le sue componenti formino un tensore antisimmentricodi rango 2:

(Cik) =

0 C3 −C2

−C3 0 C1

C2 −C1 0

si può scrivere

Ci =1

2εijkCjk. (36)

La (36) identi�ca le componenti di uno pseudovettore con quelle di untensore antisimmetrico di rango 2.

15

3 Lo spazio di Minkowski

Il primo principio della �sica è il Principio di inerzia:

Principio di inerzia Esistono degli osservatori speciali rispetto ai qualiun corpo non soggetto a forze si muove di moto rettilineo uniforme. Taliosservatori sono detti osservatori inerziali o sistemi inerziali.

De�nizione Un osservatore S si dice in moto rettilineo uniforme convelocità ~V rispetto ad un secondo osservatore S ′, se un corpo fermo in S ′ simuove con velocità ~V in S.

I sistemi inerziali sono una classe speciale di sistemi di riferimento perchévale il Principio di relatività speciale:

Principio di relatività speciale

� Un osservatore in moto rettilineo uniforme rispetto a un sistema in-erziale è un osservatore inerziale.

� Le leggi della �sica hanno la stessa forma in tutti i sistemi inerziali.

Nella �sica prerelativistica si assume che le trasformazioni di coordinate tradue sistemi inerziali siano le trasformazioni di Galileo:

x = x+ V ty = yz = zt = t

. (37)

Esse sono in accordo con il postulato dell'assolutezza del tempo. Nella�sica relativistica questo postulato cade perché si assume che la velocitàdella luce nel vuoto sia invariante per tutti gli osservatori inerziali. Perciò letrasformazioni di Galileo sono sotituite dalle trasformazioni di Lorentz:

16

x =x+ V t√1− V 2

c2

y = yz = z

t =t+ V

c2x√

1− V 2

c2

(38)

dove c è la velocità della luce nel vuoto.Perciò il tempo deve essere considerato alla stregua delle coordinate spaziali.

Introduciamo un sistema di coordinate 4-dimensionale:

x0 = ctx1 = xx2 = yx3 = z

.

Posto

β =V

c

γ =1√

1− β2

le trasformazioni di Lorentz si scrivono

x0 = γ(x0 + βx1)x1 = γ(x1 + βx0)x2 = x2

x3 = x3

. (39)

La matrice Jacobiana della trasformazione è

(∂xi

∂xk

)=

γ γβ 0 0γβ γ 0 00 0 1 00 0 0 1

.

Poiché il determinante J = 1, la trasformazione è invertibile.

17

La trasformazione è omogenea e a coe�cienti costanti, perciò i di�erenzialidelle coordinate si trasfomano come le coordinate stesse:

dx0 = γ(dx0 + βdx1)dx1 = γ(dx1 + βdx0)dx2 = dx2

dx3 = dx3

. (40)

La trasformazione (40) conserva la metrica

ds2 = (dx0)2 − (dx1)2 − (dx2)2 − (dx3)2. (41)

Un sistema di coordinate (x0, x1, x2, x3) con la metrica (41) è detto spaziodi Minkowski e lo indicheremo con M 4. Perciò secondo la �sica relativistivaun sistema inerziale è uno spazio di Minkowski. Per evitare confusioni coni vettori dello spazio euclideo, converremo di chiamare i vettori di M 4 4-vettori.Dalla (41) si vede che il tensore metrico, che indicheremo con (ηik), vale

(ηik) =

1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

.

A di�erenza di quanto accade nello spazio euclideo, gli indici covariantivanno distinti da quelli controvarianti. Per convenzione, l'indice 0 è dettotemporale, mentre gli indici 1-3 sono detti spaziali. Dalla forma di η si vedeche promuovendo un indice le componenti temporali restano invariate mentrequelle spaziali cambiano di segno.Ad esempio, dato il 4-vettore controvariante

Ai = (A0, A1, A2, A3)

si ha per le componenti covarianti

Ai = (A0, A1, A2, A3) = (A0,−A1,−A2,−A3).

Rispetto alle roto-traslazioni dello spazio euclideo, la componente tempo-rale di un 4-vettore resta immutata, mentre le componenti spaziali si trasfor-mano come un vettore ordinario; perciò è di uso comune la seguente notazioneper i 4-vettori:

18

Ai = (A0, ~A)

e naturalmente

Ai = (A0,− ~A).

Tensori antisimmetrici Consideriamo un tensore antisimmetrico di rango(0, 2):

T =

0 T01 T02 T03−T01 0 T12 T13−T02 −T12 0 T23−T03 −T13 −T23 0

.

Poniamo

~A ≡ (A1, A2, A3) = (T01, T02, T03)~B ≡ (B1, B2, B3) = (−T23, T13,−T12)

da cui

T =

0 A1 A2 A3

−A1 0 −B3 B2

−A2 −B 0 −B1

−A3 −B2 B1 0

.

Questa scrittura è giusti�cata; infatti, sotto le trasformazioni puramentespaziali:

� le componenti Ai si trasformano come un vettore ordinario;

� le componenti Bi si trasformano come il tensore euclideo 0 −B3 B2

B3 0 −B1

B1 −B2 0

e perciò sotto queste trasformazioni ~B è uno pseudovettore.

19

Per sapere come si cambiano le componenti di T sotto una trasformazione diLorentz, applichiamo la de�nizione di tensore:

Tij =∂xk

∂xi∂xl

∂xjTkl. (42)

La (42) si può esprimere come un prodotto matriciale:0 A1 A2 A3

−A1 0 −B3 B2

−A2 B3 0 −B1

−A3 −B2 B1 0

=

=

γ −γβ 0 0−γβ γ 0 0

0 0 1 00 0 0 1

0 A1 A2 A3

−A1 0 −B3 B2

−A2 B3 0 −B1

−A3 −B2 B1 0

γ −γβ 0 0−γβ γ 0 0

0 0 1 00 0 0 1

da cui si ricava che le leggi di trasformazione sono

A1 = A1 B1 = B1

A2 = γ(A2 + βB3) B2 = γ(B2 − βA3)A3 = γ(A3 − βB2) B3 = γ(B3 + βA2)

. (43)

20

4 Le forme di�erenziali

Forme lineari

Consideriamo uno spazio vettoriale V (R) �nito dimensionale e assumiamo,per semplicità, che sia composto di vettori controvarianti. Assegnata unabase B = {e1, ..., en}, siano (u1, ..., un) le componenti di un vettore u inquesta base:

u = u1e1 + ...+ unen = uiei.

Un funzionale lineare su V è un'applicazione lineare

α : V → R.

Un teorema di algebra lineare a�erma che per ogni funzionale lineare α suV e per ogni vettore u di V esiste una n-pla (a1, ..., an) di scalari tale che

α(u) = a1u1 + ...+ anu

n = aiui. (44)

Con le operazioni di somma e di prodotto per uno scalare così de�nite:

(α + β)(u) = α(u) + β(u)(cα)(u) = c(α(u)) ∀c ∈ R (45)

l'insieme dei funzionali lineari su V è uno spazio vettoriale e si indica conV `(R). I suoi vettori si dicono �covettori�.Dalla (44) si vede che i covettori sono vettori covarianti. Inoltre si può

dimostrare che V e V ` sono isomor� e dunque hanno la stessa dimensione.Per una data base B = {e1, ..., en} di V , si dice �base canonica duale� la

n-pla di funzionali lineari {ϑ1, ..., ϑn} de�niti da

ϑi(ej) = δij. (46)

In termini della base canonica duale i funzionali lineari si scrivono nellaforma

α = α1ϑ1 + ...+ αnϑ

n = αiϑi.

21

De�nizione: p-forma lineare Si de�nisce p-forma lineare su V un'applicazione

ω :(u1, ..., up

)∈ V × ...× V︸ ︷︷ ︸

p

→ ω(u1, ..., up

)∈ R

che sia dotata delle seguenti proprietà:

1. p-volte lineare:

ω(u1, ..., ui−1, ax+ by, ui+1, ..., up)

= aω(u1, ..., ui−1, x, ui+1, ..., up) + bω(u1, ..., ui−1, y, ui+1, ..., up);

2. completamente antisimmetrica:

ω(ui1 , ..., uin) = (−1)|σ|ω(u1, ..., un)

dove | σ | vale 0 o 1 a seconda che (i1, ...in) sia una permutazione pario dispari di (1, ..., n).

L'insieme delle p-forme su V , con le operazioni de�nite dalle (45), è unospazio vettoriale su R e si indica con V `p (R). Naturalmente V `1 = V `.Una base di V `p si può trovare applicando una procedura analoga a quella

usata per V `, procedura che richiede la nozione di prodotto esterno di cov-ettori.

De�nizione Siano dati α1, ..., αp covettori. Il loro prodotto esterno siindica con α1 ∧ ... ∧ αp ed è così de�nito:

(α1 ∧ ... ∧ αp) (u1, ..., up) = det

α1 (u1) ... αn (u1)... ...

α1 (up) ... αn (up)

,

∀u1, ..., up ∈ V.

(47)

Che la de�nizione corrisponda a una p-forma segue dalle proprietà deldeterminante.Sia ora B = {e1, ..., en} una base di V . Si può dimostrare che ogni p-forma

ω su V si può scrivere nella forma seguente:

ω =1

p!ωi1...ipϑ

i1 ∧ ... ∧ ϑip (48)

22

dove ωi1...ip = ω(e1, ..., ep).Le componenti ωi1,...,ip costituiscono un tensore covariante di rango p.Gli elementi ϑi1 ∧ ... ∧ ϑip distinti sono

(np

)e formano una base per V `p,

per cui dimV `p =(np

).

Generalizziamo ora l'operazione di prodotto esterno.

De�nizione Siano date una p-forma lineare α e una q-forma lineare β.Si dice prodotto esterno di α e β, e si indica con α ∧ β, la (p + q)-formalineare così de�nita:

(α ∧ β) (u1, ..., up+q) =∑σ

(−1)|σ|α (ui1 , ..., uip) β (uj1 , ..., ujq)

∀u1, ..., up+q ∈ V(49)

dove la somma è estesa a tutte le permutazioni σ = (i1, ..., ip, j1, ..., jq) di(1, ..., p+ q).

Se α e β si esprimono mediante covettori, cioè se

α = α1 ∧ ... ∧ αpβ = β1 ∧ ... ∧ βq

si veri�ca facilmente che

α ∧ β = α1 ∧ ... ∧ αp ∧ β1 ∧ ... ∧ βq

calcolata secondo la de�nizione (47).L'operazione di prodotto esterno gode delle seguenti importanti proprietà:

1. anticommutatività:

(α ∧ β) = (−1)pq(β ∧ α) ∀α ∈ V `p, β ∈ V `q;

2. distributività rispetto alla somma:

(aα + bβ) ∧ γ = a(α ∧ γ) + b(β ∧ γ) ∀a, b ∈ R;

3. associatività:(α ∧ β) ∧ γ = α ∧ (β ∧ γ).

23

Forme di�erenziali

Finora, trattando i tensori, i vettori, i covettori e le forme lineari, abbiamointrodotto tra di essi solo operazioni algebriche e non ci siamo interessati delleoperazioni di�erenziali (derivazione e integrazione). Il motivo è che in questolavoro, come abbiamo già spiegato, intendiamo formulare queste operazioninon nella maniera tradizionale, bensì con il linguaggio del calcolo esterno.Nella sezione dedicata ai tensori abbiamo concluso dando la nozione di

campo tensoriale: abbiamo visto che esso è una funzione ottenuta de�nendoun tensore su tutti i punti di uno spazio Xn e che, di conseguenza, la suaespressione dipende dal sistema di coordinate scelte per ricoprire Xn.Un procedimento analogo può essere applicato per de�nire i campi di p-

forme lineari: infatti a ogni p-forma lineare corrisponde un tensore di tipo(0, p); perciò per un campo tensoriale di tipo (0, p) esiste il corrispondentecampo di p-forme lineari.I campi di p-forme lineari sono detti p-forme di�erenziali o più semplice-

mente forme di�erenziali. Da quanto detto, una p-forma di�ernziale si pre-senta nella forma:

α = αi1...ip(xp)ϑi1 ∧ ... ∧ ϑip

dove (xp) sono le coordinate del punto di applicazione.Le forme di�erenziali possono essere derivate e, come vedremo, integrate.

De�nizione Sia ϕ una funzione scalare. Si de�nisce �di�erenziale di ϕnel punto di coordinate (xp)� , e si indica con dϕ(xp), la 1-forma di�erenziale

dϕ(xp) = ∂1ϕϑ1 + ...+ ∂nϕϑ

n = ∂iϕϑi (50)

dove i coe�cienti ∂iϕ sono valutati nel punto di applicazione.

Poiché dxi = ϑi, si può anche scrivere4

dϕ = ∂1ϕdx1 + ...+ ∂nϕdx

n = ∂iϕdxi.

Allo stesso modo si può scrivere la generica forma di�erenziale nella forma:

α = αi1...ip(xp)dxi1 ∧ ... ∧ dxip .

4Omettiamo il punto di applicazione, sottintendendo che la scrittura è valida in ognipunto.

24

Il di�erenziale si applica soltanto alle funzioni scalari, cioè alle 0-forme dif-ferenziali. Generalizziamo ora l'operazione di di�erenziazione, introducendoun'operazione che mappa una p-forma di�erenziale in una (p+ 1)-forma dif-ferenziale.

De�nizione Sia data una p-forma di�erenziale

α = αi1...ip(xp)dxi1 ∧ ... ∧ dxip .

Si chiama �di�erenziale esterno di α�, e si indica con dα, la (p + 1)-formadi�erenziale de�nita da5:

dα = dαi1...ipdxi1 ∧ ... ∧ dxip = ∂kαi1...ipdx

k ∧ dxi1 ∧ ... ∧ dxip . (51)

L'operazione di di�erenziale esterno gode delle seguenti proprietà:

1. d(α + β) = dα + dβ;

2. se α è una p-forma di�erenziale e β è una forma di�erenziale qualsiasi,allora

d(α ∧ β) = dα ∧ β + (−1)pα ∧ dβ;

3. lemma di Poincaré:ddα = 0;

4. sulle funzioni scalari coincide con il di�erenziale.

Il Lemma di Poicaré altro non è che il teorema di inversione dell'ordine diderivazione.Se dα = 0, α si dice chiusa. Se esiste β tale che α = dβ, α si dice

esatta. Perciò il Lemma di Poicaré a�erma che una forma di�erenziale esattaè chiusa. Questo teorema possiede un'inverso:

5Per una dimostrazione che la (51) è una (p + 1)-forma di�erenziale, rimandiamo all'Appendice A.

25

Teorema: Inverso del Lemma di Poicaré Una forma di�erenzialechiusa è esatta:

dα = 0⇒ ∃β t.c. α = dβ.

Tuttavia l'inverso del Lemma di Poicaré è valido solo se il dominio dide�nizione di α non è topologicamente complicato; ad esempio, è certamentevalido in un aperto stellato su cui α è continua. Noi, comunque, supporremosempre di avere a che fare con domini per cui il teorema sia valido.Introduciamo ora la seconda operazione fondamentale sulle forme di�eren-

ziali: il duale di Hodge. Essa mappa p-forme in (n− p)-forme.

De�nizione Sia data la p-forma di�erenziale

α = αi1...ip(xp)dxi1 ∧ ... ∧ dxip .

Si chiama duale di Hodge di α, e si indica con ?α, la (n − p)-forma dif-ferenziale:

?α =1

(n− p)!αi1...ipεi1...ipip+1...indx

ip+1 ∧ ... ∧ dxin . (52)

Il duale di Hodge gode delle seguenti proprietà:

1. se α e β sono forme di�erenziali dello stesso ordine,

(?α) ∧ β = (?β) ∧ α;

2. se ϕ è una funzione scalare e α è una forma di�erenziale qualsiasi,

?(ϕα) = ϕ(?α);

3. per ogni p-forma di�erenziale α,

? ? α = (−1)(p+1)(n−p+1)α;

4. α ∧ (?α) = 0⇔ α = 0.

Dalla 3 si ricava che ? ? ? ? α = α.

26

Analisi vettoriale in E3

Formuliamo ora l' ordinaria analisi vettoriale in E3 nel linguaggio del calcoloesterno.Ad ogni vettore corrisponde una 1-forma:

~A ≡ (A1, A2, A3)→ A = A1dx1 + A2dx

2 + A3dx3.

Il prodotto scalare di due vettori ~A e ~B è la 0-forma

?(A ∧ ?B). (53)

Infatti:

?(A ∧ ?B)

= ?

(1

2AiBjεijkdx

i ∧ dxj ∧ dxk)

=1

2AiBjεijkεijk

=1

3!AlBlεijkεijk = AlBl.

Al prodotto vettoriale ~A× ~B corrisponde la 1-forma

?(A ∧B). (54)

Infatti:

?(A ∧B)

= ? (AiBjdxi ∧ dxj)

= AiBjεijkdxk

= (A2B3 − A3B2)dx1 + (A3B1 − A1B3)dx

2 + (A1B2 − A2B1)dx3.

Anche le operazioni di�erenziali (gradiente, divergenza, rotore) hanno uncorrispondente nel calcolo esterno.Tutti i risultati, che si dimostrano in maniera simile ai precedenti, sono

riassunti nella seguente tabella:

27

Tabella 1

~A · ~B ?(A ∧ ?B)~A× ~B ?(A ∧B)~∇ϕ dϕ~∇ · ~A ?d ? A~∇× ~A ?dA

Possiamo, con un esempio, mostrare i vantaggi del calcolo esterno. Comeè noto, nello spazio euclideo sussitono le seguenti identità di�erenziali:

rot gradϕ = 0

div rot ~A = 0

div (ϕ ~A) = ϕ(div ~A) + ~A · gradϕrot (ϕ ~A) = ϕ(rot ~A) + (gradϕ)× ~A

div ( ~A× ~B) = ~B · (rot ~A)− ~A · (rot ~B)

. (55)

Le (55) si dimostrano facilmente ricorrendo al calcolo sterno.Dimostriamo la prima:

rot gradϕ→ ?ddϕ = 0

per il Lemma di Poicaré.Dimostriamo l'ultima:

div ( ~A× ~B)→ ?d ? ?(A ∧B)= ?d(A ∧B)= ?(dA ∧B)− ?(A ∧ dB)

= ?(?(?dA) ∧B)− ?(A ∧ ?(?dB))→ ~B · (rot ~A)− ~A · (rot ~B).

Le altre si dimostrano in maniera analoga.Un altro importante operatore di�erenziale in E3 è il lapaciano:

4 =

(∂

∂x1

)2

+

(∂

∂x2

)2

+

(∂

∂x3

)2

=∂

∂xi∂

∂xi.

Dall' Osservazione 1 si ricava che il laplaciano si comporta formalmentecome uno scalare. Direttamente collegata al laplaciano è l'identità di La-grange:

28

rot rot ~A = grad div ~A−4 ~A (56)

che nel calcolo esterno corrisponde all'identità:

?d ? dA = d ? d ? A−4A (57)

dove

4A = 4A1dx1 +4A2dx

2 +4A3dx3.

Concludiamo questo paragrafo osservando che il calcolo vettoriale nellospazio euclideo costituisce la base matematica dell'elettrodinamica classica:non ci dovremo quindi stupire dei vantaggi che il calcolo esterno introdurrànella trattazione di questa teoria.

Analisi vettoriale in M 4

Consideriamo il generico 4-vettore

Ai ≡ (A0, A1, A2, A3).

Ad esso corrisponde la 1-forma

A = A0dx0 + A1dx

1 + A2dx2 + A3dx

3

dove, secondo le regole di promozione degli indici,

A0 = A0 Ai = −Ai i = 1, 2, 3.

La 4-divergenza si de�nisce come

∂iAi = ∂0A

0 + ∂1A1 + ∂2A

2 + ∂3A3.

Ad essa corrisponde la 0-forma

− ? d ? Adove, per il calcolo del duale di Hodge, abbiamo assunto ε0123 = 1 coer-

entemente con la (23).Il corrispondente dell'operatore laplaciano è l'operatore dalambertiano:

� = ∂i∂i =

1

c2∂2t −4.

29

In M 4 sussite un analogo dell'identità di Lagrange. Poiché non esiste ilcorrispondente del rotore, questa identità non si può esprimere in terminivettoriali, ma solo mediante il calcolo esterno. Essa è:

?d ? dA = −d ? d ? A−�A (58)

dove�A = �A0dx

0 +�A1dx1 +�A2dx

2 +�A3dx3.

30

5 Integrazione delle forme di�erenziali

In questa sezione presenteremo il teorema fondamentale del calcolo esterno:il teorema di Stokes. Il teorema è una formula molto generale del calcolo inte-grale, che contiene come casi speciali i teoremi del calcolo integrale dell'analisivettoriale ordinaria, come il teorema della divergenza o il teorema del rotore.A di�erenza di questi ultimi, tuttavia, la formula del teorema di Stokes nonè legata a una particolare scelta della metrica.Una presentazione rigorosa di questo teorema suppone nozioni di topologia

algebrica che oltrepassano gli scopi del presente lavoro. Per questo introdur-remo il teorema di Stokes in una forma che, sebbene non sia la più generale,è su�ciente ai nostri propositi.Il teorema riguarda l'integrazione delle forme di�erenziali. Perciò comin-

ceremo col de�nire l'integrale di una forma di�erenziale.Sia D una regione n-dimensionale, misurabile, contenuta in Xn e siano

assegnate n+ 1 funzioni f, φ1, ..., φn di classe C1 nelle variabili (x1, ..., xn) suD.Per le proprietà del prodotto esterno possiamo scrivere

dφ1 ∧ ... ∧ dφn =∂(φ1, ..., φn)

∂(x1, ..., xn)dx1 ∧ ... ∧ dxn.

De�niamo allora l'integrale

ˆD

fdφ1 ∧ ... ∧ dφn =

ˆD

f(xq)∂(φ1, ..., φn)

∂(x1, ..., xn)dx1...dxn.

L'integrale è indipendente dalla parametrizzazione. Infatti per la trasfor-mazione di coordinate xi ≡ xi(yk) si ha

dx1 ∧ ... ∧ dxn =∂(x1, ..., xn)

∂(y1, ..., yn)dy1 ∧ ... ∧ dyn

e poiché

∂(φ1, ..., φn)

∂(x1, ..., xn)

∂(x1, ..., xn)

∂(y1, ..., yn)=∂(φ1, ..., φn)

∂(y1, ..., yn)

si ottieneˆD

fdφ1 ∧ ... ∧ dφn =

ˆD

f(yq)∂(φ1, ..., φn)

∂(y1, ..., yn)dy1...dyn.

31

L'integrale così de�nito è l'integrale di una n-forma su D. Per de�nire gliintegrali delle p-forme qualsiasi, procediamo in maniera simile.Consideriamo una regione U appartenente a un sottospazio p-dimensionale

di Xn, e sia xi(uk) una sua parametrizzazione:

U ≡ (x1(u), ..., xn(u))

dove (u) è un'espressione abbreviata per (u1, ..., up).Se f, φ1, ..., φp è una collezione di p+1 funzioni di classe C1 su U , de�niamo

l'integrale:

ˆU

fdφ1 ∧ ... ∧ dφp =

ˆU

f(xq(u))∂(φ1(xq(u)), ..., φn(xq(u)))

∂(u1, ..., up)du1...dup.

Teorema di Stokes Sia U un dominio (p+ 1)-dimensionale orientabile,a supporto compatto, e ∂U il suo bordo. Allora per ogni p-forma di�erenzialeω su U vale la formula ˆ

U

dω =

ˆ∂U

ω. (59)

Se U = [a, b] è un intervallo della retta reale e f è una funzione di�erenzi-abile in U la (61) si riduce a

ˆ[a,b]

f ′dx = f(b)− f(a).

Dunque il teorema di Stokes è una generalizzazione del teorema fondamen-tale del calcolo integrale.La (59) contiene come casi speciali i seguenti, ben noti, teoremi del calcolo

integrale:

� Formule di Greenˆ∂S

Pdx+Qdy =

ˆS

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)dx ∧ dy

� Teorema del rotore

32

˛∂S

Fxdx+ Fydy + Fzdz

=

ˆS

(∂Fz∂y− ∂Fy

∂z

)dy∧dz+

(∂Fx∂z− ∂Fz

∂x

)dz∧dx+

(∂Fy∂x− ∂Fx

∂y

)dx∧dy

� Teorema della divergenza

ˆ∂S

Fxdy ∧ dz + Fydz ∧ dx+ Fzdx ∧ dy

=

ˆS

(∂Fx∂x

+∂Fy∂y

+∂Fz∂z

)dx ∧ dy ∧ dz

Dalle considerazioni che abbiamo svolto si vede come le forme di�erenzialisiano gli oggetti più naturali che si prestano alla de�nizione dell'operazionedi integrazione.

33

6 Elettrodinamica classica

Le equazioni di Maxwell

Le particelle e i campi sono gli enti fondamentali della �sica classica. Lateoria dell'elettrodinamica classica si fonda sulle equazioni di Maxwell, chedescrivono l'evoluzione dei campi elettromagnetici ( ~E, ~H, ~D, ~B) in funzionedella distribuzione delle particelle cariche (sorgenti).Le equazioni di Maxwell si presentano in forma integrale:

´∂U

~B · ndσ = 0´∂S~E · d~l = −1

c

d

dt

´S~B · ndσ´

∂U~D · ndσ = 4π

´UρdV´

∂S~H · d~l =

4π

c

´S~J · ndσ +

1

c

d

dt

´S~D · ndσ

(60)

dove:

� S è una super�cie regolare con orientazione indotta dal suo bordo;

� U è un volume orientato secondo la normale esterna n;

� ρ e ~J sono, rispettivamente, la densità di carica e la densità di correnteelettrica.

Applicando i teoremi della divergenza e del rotore, le (60) si scrivono nellaforma di�erenziale

~∇ · ~B = 0

~∇× ~E = −1

c∂t ~B

~∇ · ~D = 4πρ

~∇× ~H =4π

c~J +

1

c∂t ~D

. (61)

Le equazioni di Maxwell sono completate dall'espressione della forza cheagisce su una carica puntiforme q ad opera dei campi elettromagnetici. Essaè detta forza di Lorentz e vale

~F = q

(~E +

1

c~v × ~B

). (62)

34

Dall'espressione della forza di Lorentz si vede che se ~F è un vettore anche~v × ~B è un vettore, e perciò ~B deve essere uno pseudovettore. Dunque laforma di�erenziale corrispondente a ~B è una 2-forma.A questa conclusione potevamo giungere anche osservando che nelle (60)

~B compare in un integrale di super�cie, cioè è integrato su un dominio bidi-mensionale.Con analoghe considerazioni, possiamo identi�care i campi elettromag-

netici e le loro sorgenti con altrettante forme sullo spazio euclideo:

E = Exdx+ Eydy + Ezdz 1-forma campo elettricoH = Hxdx+Hydy +Hzdz 1-forma campo magneticoD = Dxdy ∧ dz +Dydz ∧ dx+Dzdx ∧ dy 2-forma induzione elettricaB = Bxdy ∧ dz +Bydz ∧ dx+Bzdx ∧ dy 2-forma induzione magneticaJ = Jxdx+ Jydy + Jzdz 1-forma densità di corrente elettricaR = ρdx ∧ dy ∧ dz 3-forma densità di carica elettrica

.

Le equazioni di Maxwell si possono dunque scrivere come integrali delleforme di�erenziali sopra de�nite:

´∂UB = 0

´∂SE = −

1

c

d

dt

´SB´

∂UD = 4π

´UR

´∂SH =

4π

c

´S?J +

1

c

d

dt

´∂SD

. (63)

Dalle (63), applicando il teorema di Stokes, otteniamo le equazioni diMaxwell in forma locale:

dB = 0

dE = −1

c∂tB

dD = 4πR

dH =4π

c? J +

1

c∂tD

. (64)

Identi�cazione geometrica dei campi in M 4

Fin qui abbiamo considerato i campi nell'ordinario spazio euclideo. Poiché leequazioni di Maxwell sono Lorentz-invarianti, e più naturale trattarli comeenti dello spazio-tempo.

35

Introduciamo le seguenti forme di�erenziali sullo spazio di Minkowski:

F = dx0 ∧ E −B 2-forma di FaradayG = dx0 ∧H +D 2-forma di AmpèreI = cρdx0 − J 1-forma corrente-carica

in termini delle quali le equazioni di Maxwell si scrivono:

dF = 0

dG =4π

c? I

(65)

dove il di�erenziale esterno e il duale di Hodge sono eseguiti rispetto allecoordinate (x0, x1, x2, x3) di M 4, con la metrica ηik.

Di�erenziando la seconda equazione e ricordando che dd = 0 si ottienel'equazione di continuità

d ? I = 0.

infatti, ricordando che∂iA

i = − ? d ? A,

si ha∂iI

i = 0.

Alla 2-forma F è associato il tensore antisimmetrico di rango 2

(Fij) =

0 E1 E2 E3

−E1 0 −B3 B2

−E2 B3 0 −B1

−E3 −B2 B1 0

detto tensore di Farada.Sotto una trasformazione di Lorentz le componenti di (Fij) si traformano

secondo le (43):

E1 = E1 B1 = B1

E2 = γ(E2 + βB3) B2 = γ(B2 − βE3)E3 = γ(E3 − βB2) B3 = γ(B3 + βE2)

.

Di conseguenza ~E e ~B non sono campi vettoriali indipendenti. Analogheconsiderazioni possono essere svolte per la 2-forma di Ampère G.

36

Le equazioni costitutive

I campi(~E, ~B, ~D, ~H

)sono connessi attraverso relazioni fenomenologiche

~D = ~D[~E, ~B

]~H = ~H

[~E, ~B

]che dipendono dal mezzo considerato. 6

Se restringiamo l'attenzione ai mezzi isotropi con risposta lineare le equazioniassumono la forma particolarmente semplice:

~D = ε ~E~B = µ ~H

(66)

con ε e µ costanti.In termini delle corrispondenti forme di�erenziali, le (66) si esprimono

mediante l'operatore ?:

D = ε ? EB = µ ? H

. (67)

Nel vuoto si ha ε = µ = 1 e le equazioni costitutive diventano:

D = ?EB = ?H

. (68)

Poiché siamo spinti a considerare i campi elettromagnetici come enti dellospazio-tempo, conviene esprimere le equazioni costitutive in termini delle2-forme F e G.Nel caso semplice del vuoto (spazio di Minkowski) si esprimono mediante

l'unica equazione

G = − ? F. (69)

Combinando le equazioni (65) e (69) possiamo riscrivere le equazioni diMaxwell nel vuoto in termini della sola 2-forma di Faraday:

6Le parentesi quadre indicano che le relazioni possono essere non locali (isteresi) o nonlineari.

37

dF = 0

d ? F = −4π

c? I

Il potenziale elettromagnetico

Le equazioni di Maxwell nel vuoto possono essere risolte formalmente.Infatti, per l'inverso del lemma di Poicaré, esiste una 1-forma A tale che

F = dA. (70)

A è detto potenziale elettromagnetico.Sostituendo la (70) nella seconda equazione troviamo:

d ? dA = −4π

c? I. (71)

Applicando l'operatore ? e ricordando che ?? = (−1)(p+1)(n−p+1) abbiamo

?d ? dA = −4π

cI (72)

da cui in�ne, applicando l'identità di Lagrange 4-dimensionale, si ha

�A = −d ? d ? A+4π

cI. (73)

Il potenziale elettromagnetico non è de�nito univocamente dalla (70). In-fatti la trasformazione

A→ A+ dϕ (74)

restituisce ancora un potenziale elettromagnetico, poiché ddϕ = 0.Le trasformazioni della forma (74) sono dette trasformazioni di gauge.

L'invarianza dell'elettrodinamica per una traformazione di gauge è detta in-varianza di gauge.

38

Onde elettromagnetiche

Nello spazio vuoto in assenza di cariche le equazioni di Maxwell si scrivono:

dF = 0d ? F = 0

.

L'equazione (73) per I = 0 diventa

�A = −d ? d ? A.

Applicando l'operatore d e ricordando che dd = 0 e dA = F otteniamo:

�F = 0. (75)

La (75) è l'equazione delle onde elettromagnetiche. Essa può essere sepa-rata in due equazioni. Infatti

F = dx0 ∧ E −Be perciò

�F = dx0 ∧�E −�B = 0

da cui in�ne�E = 0�B = 0

. (76)

Consideriamo un'onda elettromagnetica piana:

~E = ~E(x− ct)~B = ~B(x− ct)

.

Posto ξ = x− ct, abbiamo:

dF = c (∂ξBz − ∂ξEy) dt∧dx∧dy+c (∂ξEz + ∂ξBy) dt∧dz∧dx+∂ξBxdξ∧dy∧dz

e perciò

dF = 0⇒ Bx = cost., ∂ξBz = ∂ξEy, ∂ξBz = ∂ξEy.

Analogamente,

d ? F = 0⇒ Ex = cost., ∂ξBz = ∂ξEy, ∂ξBz = ∂ξEy.

Ne segue che le onde elettromagnetiche sono trasversali, accoppiate e sipropagano in doppia polarizzazione.

39

7 La struttura dello spazio-tempo

La struttura dello spazio-tempo è connessa con la forma delle equazioni diMaxwell. Infatti le equazioni

dF = 0

dG =4π

c? I

(77)

sono valide in tutti i sistemi di riferimento, perché sono scritte in formainvariante.Se richiediamo che la relazione costitutiva

G = − ? F, (78)

valida nei sistemi inerziali, sia preservata anche in un generico sistema dicoordinate curvilinee, le (77) diventano

dF = 0

d ? F = −4π

c? I

. (79)

Conviene scrivere le (79) in forma tensoriale.Cominciamo con la prima. Osserviamo che dF = 0⇒ ?dF = 0. Ma

dF =1

2∂kFijdx

i ∧ dxj ∧ dxk

e perciò

?dF =1

2∂kF ijεijkldx

l = 0

da cui∂kF ijεijkl = 0 l = 0, 1, 2, 3. (80)

Dalle proprietà di simmetria del tensore di Levi-Civita possiamo scriverela (80) nella forma

∂kFij + ∂iFjk + ∂jFki = 0 (81)

per ogni scelta degli indici i, j, k.La (81) è la prima equazione di Maxwell, scritta in forma tensoriale.Passiamo alla seconda equazione.

40

Introduciamo la notazione ε(0)ijkl per indicare il tensore di Levi-Civita nello

spazio di Minkowski, de�nito da ε(0)0123 = 1. Allora, coerentemente con la (23),

il tensore di Levi-Civita in un generico sistema di coordinate curvilinee vale

εijkl =√−gε(0)ijkl

dove g è il determinante del tensore metrico.Osserviamo innanzitutto che

?F =1

2!

1

2F ijεijkldx

k ∧ dxl =1

2!

1

2

√−gF ijε

(0)ijkldx

k ∧ dxl.

Quindi

d ? F =1

2!

1

2∂m (√−gF ij) ε

(0)ijkldx

m ∧ dxk ∧ dxl

=1

2!

1

2

(∂i (√−gF ij) ε

(0)ijkldx

i ∧ dxk ∧ dxl + ∂j (√−gF ij) ε

(0)ijkldx

j ∧ dxk ∧ dxl)

=1

3!

1

2

(∂h(√−gF hi

)ε(0)jikldx

j ∧ dxk ∧ dxl + ∂h(√−gF ih

)ε(0)ijkldx

j ∧ dxk ∧ dxl)

=1

3!

1

2

(∂h(√−gF ih

)ε(0)ijkldx

j ∧ dxk ∧ dxl + ∂h(√−gF ih

)ε(0)ijkldx

j ∧ dxk ∧ dxl)

=1

3!∂h(√−gF ih

)ε(0)ijkldx

j ∧ dxk ∧ dxl.

Inoltre

?I =1

3!I iεijkldx

j ∧ dxk ∧ dxl =1

3!

√−gI iε(0)ijkldx

j ∧ dxk ∧ dxl.

Perciò l'equazione

d ? F = −4π

c? I

implica che1√−g

∂h(√−gF ih

)= −4π

cI i. (82)

La (82) è la seconda equazione di Maxwell, scritta in forma tensoriale.Riepilogando, le equazioni di Maxwell in forma tensoriale si scrivono nella

forma seguente (in [3], �90. Equazioni dell'elettrodinamica in presenza di uncampo gravitazionale):

41

∂kFij + ∂iFjk + ∂jFki = 01√−g

∂h(√−gF ih

)= −

4π

cI i. (83)

Nello spazio di Minkowski g = −1 e la seconda equazione assume la notaforma:

∂hFih = −4π

cI i.

Come abbiamo visto nella sezione precedente, l'equazione di Maxwell omo-genea esprime l'invarianza di gauge dell'elettrodinamica classica. Essa tut-tavia non dice nulla sulla struttura dello spazio-tempo. Dalle (83) si vedechiaramente che le informazioni di carattere metrico sono contenute nellaseconda equazione.In conclusione possiamo a�ermare che le equazioni di Maxwell �determi-

nano� la geometria dello spazio-tempo, nel senso che la dipendenza dei campielettromagnetici dalle sorgenti ne evidenzia in maniera chiara la strutturametrica.

42

Appendice A

Nella Sezione 4 abbiamo de�nito, a partire dalla p-forma di�erenziale

α = αi1...ip(x)dxi1 ∧ ... ∧ dxip ,

il suo di�erenziale esterno come la (p+ 1)-forma di�erenziale

dα =∂αi1...ip∂xip+1

dxip+1 ∧ dxi1 ∧ ... ∧ dxip . (84)

Dall'espressione (84) non è evidente che dα sia correttamente una (p+ 1)-forma di�erenziale.Consideriamo infatti la legge di trasformazione delle componenti di α:

αh1...hp(x) =∂xi1

∂xh1...∂xip

∂xhpαi1...ip(x). (85)

Derivando la (85) rispetto a xhp+1 otteniamo:

∂αh1...hp∂xhp+1

=

(p∑

µ=1

∂xiµ

∂xhp+1∂xhµ∂xi1

∂xh1...∂xiµ−1

∂xhµ−1

∂xiµ+1

∂xhµ+1...∂xip

∂xhpαh1...hp

)+

+∂xi1

∂xh1...∂xip

∂xhp∂xip+1

∂xhp+1

∂αi1...ip∂xip+1

(86)

da cui si vede chiaramente che

∂αi1...ip∂xip+1

non si trasforma come un campo tensoriale. Dunque non è banale che la(84) sia una forma di�erenziale.

De�niamo allora la delta di Kronecker generalizzata δj1...jph1...hp

:

δj1...jph1...hp

= det

δj1h1 δj1h2 ... δj1hpδj2h1 δj2h2 ... δj2hp... ...

δjph1

δjph2

... δjphp

.

43

Per defninizone δj1...jph1...hp

è la somma di p! termini, ognuno dei quali è il

prodotto di p delte di Kronecker. Perciò, dal momento che δih è un tensore,

anche δj1...jph1...hp

è un tensore di tipo (p, p).

Moltiplicando l'espressione (86) per δh1...hp+1

j1...jp+1e osservando che:

� δh1...hp+1

j1...jp+1è antisimmetrica rispetto a hµhp+1 per ogni µ = 1, ..., p

�

∂xiµ

∂xhp+1∂xhµè simmetrico rispetto a hµhp+1 per ogni µ = 1, ..., p

otteniamo:

δh1...hp+1

j1...jp+1

∂αh1...hp∂xhp+1

= δh1...hp+1

j1...jp+1

∂xi1

∂xh1...∂xip

∂xhp∂xip+1

∂xhp+1

∂αi1...ip∂xip+1

.

Ma siccome δh1...hp+1

j1...jp+1è un tensore, applicando la legge di trasformazione e

dopo semplici passaggi si dimostra che

δi1...ip+1

k1...kp+1

∂αi1...ip∂xip+1

è un tensore di tipo (0, p+ 1).

Un' utile proprietà di δj1...jph1...hp

è che, per ogni set di quantità Cj1...jp comple-tamente antisimmetriche, vale l'identità:

δj1...jph1...hp

Ch1...hp = p!Ci1...jp .

In particolare

dxj1 ∧ ... ∧ dxjp =1

p!δj1...jph1...hp

dxh1 ∧ ... ∧ dxhp . (87)

A questo punto osserviamo che, dalle proprietà di antisimmetria del prodottoesterno, si ha:

dα =∂αi1...ip∂xip+1

dxip+1 ∧ dxi1 ∧ ... ∧ dxip

= (−1)p∂αi1...ip∂xip+1

dxi1 ∧ ... ∧ dxip ∧ dxip+1

da cui, usando la (87), otteniamo:

dα =(−1)p

p!δi1...ip+1

k1...kp+1

∂αi1...ip∂xip+1

dxk1 ∧ ... ∧ dxkp+1 .

44

Poiché abbiamo dimostrato che i coe�cienti

δi1...ip+1

k1...kp+1

∂αi1...ip∂xip+1

sono le componenti di un campo tensoriale, segue immediatamente che dαè una forma di�erenziale ben de�nita.

45

Bibliogra�a

[1] Einstein A., Il signi�cato della relatività, Newton & Compton

[2] Flanders H., Di�erential forms with application to the physicalsciences, Dover

[3] Landau L. D., Lifshits E. M� Teoria dei campi, Editori Riuniti

[4] Lovelock D., Rund H., Tensors, di�erential forms and variationalprinciples, Dover

[5] Sernesi E., Geometria 1, Bollati Boringhieri

[6] Vilasi G., Hamiltonian Dynamics, World Scienti�c

46