Richiami Di Calcolo Vettoriale e Tensoriale

8/17/2019 Richiami Di Calcolo Vettoriale e Tensoriale

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C.GOLIA – Fluidodinamica Appendice A - Richiami di Calcolo vettoriale e tensoriale

Appendice A

Richiami di calcolo vettoriale e tensoriale

Scopo dell’ Appendice

Ricapitolazione dell’algebra e del calcolo vettoriale e tensoriale e dei relativi teoremi di calcolo integrale

Utile per riferimento.

Indice dell’Appendice

Paragrafo pagina

A.1 Generalità 2

A.2 Prodotti 3

A.3 Prodotti di tre vettori 6

A.4 Sistemi di riferimento 6

A.5 Differenziazione dei vettori 8

A.6 Calcolo differenziale 9

A.6.1 Operatore nabla 9A.6.2 Fattori di scala 10

A.6.3 Gradiente 11

A.6.4 Divergenza di un campo vettoriale 11

A.6.5 Significato fisico della divergenza del campo di velocità 12

A.6.6 Rotore di un campo vettoriale 12

A.6.6.1 Significato fisico del rotore: 13

A.7 Operatori differenziali del secondo ordine 14

A.7.1 Laplaciano 14

A.8 Algebra tensoriale 16

A.8.1 Prodotto scalare tra un vettore ed un tensore 17

A.8.2 Doppio prodotto tra tensori 18

A.8.3 Analisi spettrale di tensori 18A.9 Tensori di interesse in Fluidodinamica 20

A.9.1 Tensore degli sforzi 20

A.9.2 Gradiente della velocità 21

A.10 Elementi di calcolo integrale 26

A.11 Cenni sui sistemi di coordinate curvilinee non ortogonali 27

A.11.1 Assi reciproci 30

A.11.2 Componenti controvarianti e covarianti 32

A.11.3 Variazione delle componenti di un vettore in sistemi curvilinei ruotati 34

A.11.4 Il tensore metrico 36

A.1


2/37


A.1 GENERALITÀ

Le grandezze fisiche in ogni punto R di uno spazio a n dimensioni (esempio n=3) si possono classificare

come:

• scalari (tensori di ordine 0) che sono determinati da n0=30=1 componente scalari• vettori (tensori di ordine 1) che sono determinati da n1=31=3 componenti scalari• tensori (tensori di ordine 2) che sono determinati da n2=32=9 componenti scalari

Esempi di scalari sono i campi di temperatura, di densità,… che sono determinati, per ogni punto, soltanto

dalla intensità, cioè da un numero, in questo contesto gli scalari saranno indicati da una lettera.

Esempi di vettori sono i campi di forze, di velocità, ecc. che, per ogni punto, sono determinati da un’intensità

e da una direzione, in questo contesto i vettori saranno indicati con lettere sottolineate ( a, V,F,…).

Esempi di tensori sono i prodotti d’inerzia, il tensore degli sforzi, ecc.. che, per ogni punto, sono

determinati da un valore di intensità, e da due direzioni (per il tensore degli sforzi sono tipicamente la

normale al piano su cui agisce lo sforzo superficiale e la direzione dello sforzo superficiale), in questocontesto i tensori saranno indicati con simboli sottolineati due volte (τ , S , Ω …).

I campi vettoriali e tensoriali sono spazi di Hilbert, cioè spazi normati in cui è definito un prodotto scalare,il quadrato della norma (intensità o modulo del vettore) è definito come il prodotto scalare di un vettore con

se stesso aaa2 •= , in questo contesto il modulo di un vettore a è indicato con il simbolo non sottolineato:

aaa •= (A.1)

La direzione di un vettore a è data da un versore ea (cioè da un vettore di intensità unitaria) pari al rapportodel vettore sul suo modulo:

aa

a

a

aea

•== (A.2)

In definitiva si potrà rappresentare il vettore a come prodotto del modulo ”a” e della direzione “ea”:

( ) aaa eeaeaa •== (A.3)

b

a

b cosβ

β

a•b = a b cosβIn un comune spazio vettoriale ( a 3 dimensioni) il prodotto scalarea•b di due vettori a e b è definito come il prodotto dei moduli

moltiplicato il coseno dell’angolo formato tra i due vettori.Due vettori sono ortogonali se il loro prodotto scalare è nullo.

La componente di un vettore a lungo una direzione indicata dal versore

n è data dal prodotto scalare di nan •≡a .

Con tale bagaglio è immediato costruire la rappresentazione di vettoriin un sistema coordinato. Noi considereremo soltanto sistemi ortogonali, cioè sistemi di riferimento definiti da tre direzioni ortogonalitra di loro.

A.2


3/37


x

z

y

i

jk

a

az

ax

ay

Il più semplice è il sistema cartesiano, definito dai versori i,j,kche indicano rispettivamente le direzioni degli assi coordinatix,y,z.E' importante notare che queste direzioni coordinate, e quindi iversori sono gli stessi per tutti i punti dello spazio (cioè nonvariano nel campo).In questo sistema un vettore è indicato come somma dellecomponenti scalari lungo i tre assi coordinati moltiplicate irispettivi versori:

( ) ( ) k a jaiak k a j jaiiaa zyx ++=•+•+•= (A.4)

E’ ovvio che la somma di vettori viene fatta con la regola del parallelogramma, da cui ne discende che la

rappresentazione della somma di due vettori mediante le componenti coordinate è fatta sommando le

rispettive componenti.

( ) ( ) ( ) ( )[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] k ba j bai bak b j bi bk a jaia

k k b j j bii bk k a j jaiia ba

zzyyxxzyxzyx +++++=+++++==•+•+•+•+•+•=+ (A.5)

Ovviamente il prodotto di uno scalare “s” con un vettore “a” sarà pari al vettore

le cui componenti scalari sono moltiplicate per “s”:

( ) ( ) ( ) [ ] [ ] k sa jsaisak k a zyxs j jasiiasas ++=• (A.6)

ab

a+b+•+•=

A.2 Prodotti

I prodotti tra vettori a e b possono essere di tre tipi:

• scalare (o interno) ba •

• vettoriale ba ∧

• tensoriale (o diadico) ba

Attenzione: altre simbologie sono usate in letteratura per indicare tali prodotti!

Il prodotto scalare di due vettori, a e b , è stato già definito, in un comune spazio vettoriale (a 3dimensioni) come lo scalare dato dal prodotto dei moduli dei due vettori moltiplicato per il cosenodell’angolo formato tra i due vettori.

Il prodotto scalare di due vettori viene fatto, di solito, mediante somma dei prodotti delle componenti.In una rappresentazione cartesiana i prodotti scalari dei versori diversi tra di loro sono nulli (in quanto

ortogonali), quelli dei versori con se stessi sono ovviamente unitari:

≠

==δ=•

jise0

jise1ee ij ji (A.7)

A.3


4/37


ovvero:

1k k ;0 jk ;0ik

0k j;1 j j;0i j

0k i;0 ji;1ii

=•=•=•

=•=•=•

=•=•=•

(A.8)

ne discende la comoda rappresentazione:

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

zzyyxx

zzyyxx

zzyzxzzyyy

xyzxyxxx

zyxzyx

ba ba ba

ba ba ba

k k ba jk baik bak j ba j j ba

i j bak i ba ji baii ba

k b j bi bk a jaia ba

++=

=++=

=•+•+•+•+•+

+•+•+•+•=

=++•++=•

(A.9)

E’ facile rilevare che il prodotto scalare:

• È commutativo, i.e. a b ba •=•

• E’ distributivo, i.e. [ ] ca bac ba •+•=+• • Non è associativo, i.e. [ ] [ ]c bac ba •≠•

Applicazioni tipiche del prodotto scalare in meccanica sono rappresentate dal calcolo del lavoro dL di una

forza F a seguito di uno spostamento elementare ds: dL = F•ds ; ovvero dalla portata dQV di un campovettoriale V attraverso una areola dA di normale n: d QV= V•n dA.

Il prodotto vettoriale è definito come il vettore che ha comeintensità il prodotto dei moduli per il seno dell’angolo formatoed è normale al piano formato dai due vettori, la direzione delprodotto vettoriale dipende dal segno usato per la terna, disolito levogira, il che significa che a , b , a x b sono orientatirispettivamente secondo il pollice, l’indice ed il medio dellamano destra (ovvero regola cavaturaccioli).

a

b

axb

Ne discende che il prodotto vettoriale di due vettori paralleli è

nullo.

Il prodotto vettoriale di due vettori viene fatto, di solito, mediante somma dei prodotti delle componenti.In una rappresentazione cartesiana i prodotti vettoriali dei versori diversi tra di loro sono pari a ±1 a secondadell’ordine della permutazione 123 (i,j,k), quelli dei versori con se stessi sono ovviamente nulli:

[ ][ ]

−

+

=εε=•

ugualisonoindiciduealmenose0

)132,213,321(disparine permutaziounaèk j,i,se1

312)231,123,( parione permurtaziunaèk , j,ise1

;eee ijk k ijk ji (A.10)

ovvero:

0k k ;i jk ;0ik

ik j;0 j j;k i j

jk i;k ji;0ii

=∧−=∧=∧

=∧=∧−=∧

−=∧=∧=∧

(A.11)

A.4


5/37


ne discende la comoda rappresentazione:

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]k ba ba j ba bai ba ba

k k ba jk baik bak j ba j j ba



xyyxzxxzyzzy

zzyzxzzyyy

xyzxyxxx

zyxzyx

−+−+−=

=∧+∧+∧+∧+∧+

+∧+∧+∧+∧=

=++∧++=∧

(A.12)

Formalmente vale la notazione:

zyx

zyx

b b b

aaa

k ji

ba =∧ (A.13)

E’ facile rilevare che il prodotto vettoriale:

• È non commutativo, i.e. a b ba ∧−=∧ (è alternante)

• E’ distributivo, i.e. [ ] ca bac ba ∧+∧=+∧ • Non è associativo, i.e. [ ] [ ]c bac ba ∧≠∧

Un’applicazione semplificativa del prodotto vettoriale tipica della

meccanica è la determinazione del momento M di una forza F

applicata in O rispetto ad un punto P:→

=∧= POr ;Fr M

F

PO

r

Il prodotto tensoriale (o diadico) di due vettori è rappresentato dal semplice prodotto formale delle

loro rappresentazioni:

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] k k ba jk baik bak j ba j j ba



zzyzxzzyyy

xyzxyxxx

zyxzyx

+++++

++++=

=++++=

(A.14)

E’ ovviamente comoda la rappresentazione matriciale:

k ji

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

ba ba ba

ba ba ba

ba ba ba

k

j

i

ba

= (A.15)

E’ facile rilevare che il prodotto diadico

• È non commutativo, i.e. a b ba ≠

• E’ distributivo, i.e. [ ] ca bac ba +=+

A.5


6/37


A.3 Prodotti di tre vettori

Doppio prodotto misto:

( )z

z

z

c b

a

yx

zx

yx

cc b b

aa

dc ba ==•∧ (A.16) c

a

d è pari al volume del parallelogramma rappresentato dai tre vettori.

Vale l’indentità (permutativa):

( ) ( ) ( ) ac b bacc ba •∧=•∧=•∧ (A.17)

Doppio prodotto vettoriale

( ) ( ) ac bc baocommutativnon

∧∧≠∧∧ (A.18)

Valgono le indentità:

( ) ( ) ( bacca bc ba •−•=∧∧ ) ; ( ) ( ) ( ) 0 bacac bc ba =∧∧+∧∧+∧∧ (A.19)

Nota: dato un vettore a ed una direzione n, il vettore si può scomporre come somma di due vettori di cui uno parallelo ad n ed un altro normale ad n, come segue:

( ) (nadnormalenad parallelo

nannnaa ∧∧+•= ) (A.20)

A.4 Sistemi di riferimento

Anche se abbiamo dimostrato l’algebra vettoriale per un sistema di riferimento cartesiano, essa si applica

parimenti ad altri sistemi ortogonali, quali ad esempio il cilindrico e lo sferico.

Sistema polare piano (r,θ)

x

y

r

θ

i

i r

j

i

)(ir R r θ= (vettore posizione)(A.21)

θθ+= iViVV r r (vettore velocità)

valgono le seguenti relazioni per il cambiamento di coordinate

(rispetto al cartesiano)

θ+θ−=

θ+θ=

θ cosisini

jsinicosi r

j (A.22)

θ=

θ=

sinr y

cosr x

A.6


7/37


x

y

ρ

θ

e

eρ

j

i

b

a

Sistema polare ellittico piano (ρ,θ)Esempio di sistema non ortogonale

)(eR θρ= ρ

(vettore posizione)

(A.23)

θθρρ += eVeVV



θρ=

θρ=

sin by

cosax ;

( )

[ ]

π∈θ

=θ

∞∈ρ

+

=ρ

−2,0;

x

y

b

atan

,0; b

y

a

x

1

22

(A.24)

Sistema cilindrico (r,θ.z)

zr iz)(ir R +θ= (vettore posizione)

zzr r iViViVV ++= θθ (A.25)

r

z

θ

i r

i ziθ

y

x

z

valgono le seguenti relazioni per il cambiamento di coordinate (rispetto al cartesiano)

=

θ=

θ=

zz

sinr y

cosr x

=

θ+θ−=

θ+θ=

θ

k i

jcosisini

jsinicosi

z

r

(A.26)

Sistema sferico (r,θ,χ)

r ir R =

χχθθ ++= iViViVV r r (A.27)r

θ

i q

i

i r

x

y

z



θ=

χθ=

χθ=

cosr z

sinsinr y

cossinr x

χ+χ−=

θ−χθ+χθ=

θ+χθ+χθ=

χ

θ

jcosisini

k sin jsincosicoscosi

k cos jsinsinicossini r

(A.28)

A.7


8/37


A.5 Differenziazione dei vettori

Data una rappresentazione di un vettore in un sistema ortonormale:332211 eaeaeaa ++= la derivata di a

rispetto ad una generica variabile “n” è data dal solito procedimento di derivazione:

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]n

eae

n

a

n

eae

n

a

n

eae

n

a

nea

nea

neaeaeaea

nna

333

3222

2111

1

332211332211

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

=∂

∂+∂

∂+∂

∂=++∂∂=

∂∂

(A.29)

Il problema è di determinare le derivate dei versori

coordinati rispetto alla variabile.

Ricordiamo che la derivata di un versore (vettore di

modulo unitario) rappresenta la direzione verso cui il

versore si sposta rispetto alla variazione derivata

(rimane un versore).

Piano z=costante

r

θ θ+dθ

ir (θ)

ir (θ+dθ)

iθ(θ)

iθ(θ+dθ)

iθ(θ)iθ(θ+dθ)

ir (θ)

ir (θ+dθ)

Per un sistema cartesiano, i versori coordinati sonocostanti, essi non variano con il punto e quindi tutte le

rispettive derivate dei versori sono nulle.

Così non è per i sistemi non cartesiani.

Per le coordinate cilindriche vale:

0r

i r =∂∂

; 0r

i=

∂

∂ θ ; 0r

iz =∂∂

θ=θ∂

∂i

ir ; r ii

−=θ∂

∂ θ ; 0iz =θ∂

∂ (A.30)

0

z

ir =

∂

∂ ; 0

z

i=

∂

∂ θ ; 0

z

iz =

∂

∂

Per coordinate sferiche vale:

0r

ir =∂

∂ ; 0

r

i=

∂

∂ θ ; 0r

i=

∂

∂ χ

θ=θ∂

∂i

ir ; r ii

−=θ∂

∂ θ ; 0i

=θ∂

∂ χ (A.31)

χθ=χ∂

∂isin

ir ; χθ θ=χ∂

∂icos

i; θ

χ θ−θ−=χ∂

∂icos.isin

ir

Piano χ=costante

ir (θ)

ir (θ+dθ)iθ(θ)

iθ(θ+dθ)

(θ

θ+dθ

Iχχ+ dχ

Cosθ iχ(χ)

sinθ ir (χ)

A.8


9/37


Esercizio A.1Rappresentare analiticamente una forza di intensità 10N in direzione 30° dall’asse delle x in un campo piano

(x,y).

Esercizio A.2Un’automobile percorre 3 km in direzione dell’asse y e successivamente 5 km a 45° rispetto agli assi x ed y.

Rappresentare graficamente ed analiticamente tali spostamenti.

EsercizioA.3Dati i vettori (rappresentazione cartesiana):

a = 3xy i + 4zx j + yz k ; b = z2 i + y2x j + xyz k ; c = x2 i + y2 j +z2 k

ed il campo scalare f = 3x2yz+3x+6

Determinare:

il modulo e la direzione dei vettori a, b, c , f a e gli angoli tra di loro, nel punto (1,2,3)il vettore a + b – c nel punto (1,2,3)

il vettore f a nel punto (1,2,3)

il prodotto scalare a • b nel punto (1,2,3)il prodotto vettoriale a ∧ c nel punto (1,2,3)il doppio prodotto misto a • b ∧c nel punto (1,2,3)

Esercizio A.4Dati i vettori (rappresentazione cilindrica):

a = 3rz ir + 4z sinθ iθ+ z iz ; b = 3 r cosθ ir + 4 r iθ+ z sinθ iz ; c = r ir + 2 iθ+ z r iz ed il campo scalare f = 3 r

2tanθ

Determinare:

il modulo e la direzione dei vettori a, b, c , f a e gli angoli tra di loro, nel punto (1, 30° ,6)

il vettore f a nel punto (1,30°,6)

il prodotto scalare a • b nel punto (1,30°,6)

il prodotto vettoriale a ∧ c nel punto (1,30°,6)il doppio prodotto misto a • b ∧c nel punto (1,30°,6)

A.6 Calcolo differenziale

n

dS

V

A.6.1 Operatore nablaIl calcolo differenziale è’ regolato dall’operatore nabla (.) indicato come ∇

oppure come( )

r ∂

⋅∂ ; questo operatore ha un carattere sia vettoriale che differenziale.

( )⋅

E’ definito come (definizione integrale):

( ) ( )dSn1

lim

S0 ∫∫

∂=→

⋅=⋅∇V

V V (A.32)

Quando l’operatore nabla opera su di un campo scalare “f”, ne discende il gradiente di f : denotato comegrad(f) ovvero ∇f .

A.9


10/37


A.6.2 Fattori di scala

Prima di ricavare le espressioni dell’operatore nabla, introduciamo il concetto dei fattori di scala, moltoutile per sistemi di coordinate non cartesiane.

Per un generico sistema (curvilineo ortogonale) ξ1, ξ2, ξ3, l’estensione dell’arco descritto dal vettore posizione allorquando si ha una variazione infinitesima delle coordinate ξ

1, ξ

2, ξ

3, è dato da:

( ) ( ) ( )2332

22

2

1123

22

21

2 dhdhdhdsdsdsds ξ+ξ+ξ=++= (A.33)

Ovviamente se si suppone la variazione di una sola coordinata, le altre due rimanendo costanti, si ottiene:

icostant,

1

1 32d

dsh ξξξ

= ; costanti,2

2 31d

dsh ξξξ

= ; icostant,3

3 11d

dsh ξξξ

= (A.34)

Calcoliamo l’espressione del gradiente in questo sistema,

332211221 ef ef ef f f f f ∇+∇+∇=∇+∇+∇=∇ (A.35)

considerando separatamente le tre coordinate.

Applicando la definizione integrale rispetto alla sola coordinata ξ1 (vedi figura) risulta:

[ ]

[ ]

1

1

1

111

0d

1332211332211

3322110V

111

h

e

d

)(f )d(f lim

edhdh)(f edhdh)d(f dhdhdh

1limef f

1 ξξ−ξ+ξ

=

=ξξξ−ξξξ+ξξξξ

=∇=∇

→ξ

→ (A.36)

se la funzione f è differenziabile il limite esiste ed è pari

alla derivata parziale, sicché:

1

11

1 ef

h

1f

ξ∂∂

=∇ (A.37)dS

Analogamente si ricavano:

2

22

2 ef

h

1f

ξ∂∂

=∇ (A.38)333

3 ef

h

1f

ξ∂∂

=∇

sicché, in definitiva, l’espressione dell’operatore nabla, e

quindi del gradiente di un campo scalare “f” sono, per un qualsiasi sistema di coordinate ortonormali:

dV=h1dξ1 h2dξ2 h3dξ3

=h2dξ2 h3dξ3

ξ1 ξ1+dξ1

n=e1 n=−e1

ξ1e1

( ) ( ) ( ) ( )

3

33

2

22

1

11

eh

1e

h

1e

h

1

ξ∂⋅∂

+ξ∂⋅∂

+ξ∂⋅∂

=⋅∇ 333

2

22

1

11

ef

h

1e

f

h

1e

f

h

1f

ξ∂∂

+ξ∂∂

+ξ∂

∂=∇ (A.39)

Restano quindi da determinare i fattori di scala nei vari sistemi di riferimento.Risulta agevole verificare che:

Cartesiano (x,y,z): (A.40)

=

=

=

1h

1h

1h

z

y

x

A.10


11/37


Cilindrico (r,θ,z): (A.41)

=

=

=

θ

1h

r h

1h

z

r

Sferico (r,θ,χ): (A.42)

θ==

=

χ

θ

sinr h

r h

1h r

A.6.3 Gradiente

Ne derivano le espressioni del gradiente di f , ∇f :

Cartesiano(x,y,z): k z

f j

y

f i

x

f f

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇ (A.43)

Cilindrico(r,θ,z): zr iz

f i

f

r

1i

r

f f

∂∂

+θ∂

∂+

∂∂

=∇ θ (A.44)

Sferico (r,θ,χ): χθ χ∂∂

θ+

θ∂∂

+∂∂

=∇ if

sinr

1i

f

r

1i

r

f f r (A.45)

Nota: data una direzione n, la derivata di f nella direzione n è data da:

f nn

f ∇•=

∂∂

(A.46)

da questa si deduce che:

il gradiente di f, ∇f , è un vettore che ha per modulo la massimavariazione di f ed è diretto nella direzione di massima variazione che ènormale alle isosuperfici f=costante.

A.6.4 Divergenza di un campo vettoriale V

La definizione integrale è:

dSVn1

limV

S0

∫∫∂=→•=•∇

VV

V

(A.47)

Per determinarne le espressioni, preferiamo usare il calcolo simbolico (vettoriale-differenziale) sfruttando le

relazioni trovate per i fattori di scala.

Ne deriva l’espressione differenziale generale nel sistema ξ1, ξ2, ξ3 ; 332211 eVeVeVV ++= :

( ) ( ) ( )

ξ∂

∂+

ξ∂

∂+

ξ∂

∂=•∇

3

321

2

231

1

132

321

VhhVhhVhh

hhh

1V (A.48)

Ne derivano le espressioni della div( V) , ∇•V :

A.11


12/37


Cartesiano(x,y,z):z

w

y

v

x

uV

∂∂

+∂∂

+∂∂

=•∇ (A.49)

Cilindrico(r,θ,z):( )

z

VV

r

1

r

rV

r

1V zr

∂∂

+θ∂

∂+

∂∂

=•∇ θ (A.50)

Sferico (r,θ,χ):) ( )

χ∂

∂

θ+

θ∂

θ∂

θ+

∂

∂=•∇ χθ

V

sinr

1sinV

sinr

1

r

Vr

r

1V r

2

2 (A.51)

A.6.5 Significato fisico della divergenza del campo di velocità

Consideriamo la definizione integrale:

dSVn1

limV

S0

∫∫∂=→ •=•∇ VV V

(A.52)

Notiamo che:

Vn • è il flusso di volume [analisi dimensionale:t

L

tL

L2

3

= ] nella direzione n

dSVn

S

∫∫∂=

•V

è la portata di volume attraverso la superficie S che avvolge il volume V di

una particella

Per cui:

dSVn1

limV

S0 ∫∫

∂=→

•=•∇V

V V (A.53)

La divergenza della velocità rappresenta:

• la portata di volume per unità di volume di una particella fluida , i.e. la variazione di volume per unitàdi volume

• ergo se 0V =•∇ il volume elementare della particella non cambia, ergo la densità rimane costante, ergoil campo di moto è incompressibile

A.6.6 Rotore di un campo vettoriale V

Le definizioni integrali sono varie:

dal teorema di Gauss generalizzato:

dSVn1

limV

S0 ∫∫

∂=→

∧=∧∇V

V V (A.54)

Per determinarne le espressioni dell’operatore prodotto vettoriale, preferiamo usare il calcolo simbolico

(vettoriale-differenziale) sfruttando le relazioni trovate per i fattori di scala.

Ne deriva l’espressione differenziale generale nel sistema ξ1, ξ2, ξ3 ; 332211 eVeVeVV ++= :

A.12


13/37


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3

2

11

1

22

21

2

1

33

3

11

31

1

3

22

2

33

32

eVhVh

hh

1e

VhVh

hh

1e

VhVh

hh

1V

ξ∂

∂−

ξ∂

∂+

ξ∂

∂−

ξ∂

∂+

ξ∂

∂−

ξ∂

∂=∧∇ (A.55)

Ne derivano le espressioni: rot( V) , ∇∧V:

Cartesiano(x,y,z):

k y

u

x

v j

x

w

z

ui

z

v

y

wV

∂∂

−∂∂

+

∂∂

−∂∂

+

∂∂

−∂∂

=∧∇ (A.56)

Cilindrico(r,θ,z):

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )z

r zr r

z eV

r

rV

r

1e

r

V

z

Ve

z

rVV

r

1V

θ∂

∂−

∂

∂+

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂−

θ∂

∂=∧∇ θθ

θ (A.57)

Sferico (r,θ,χ):

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) χθθχθχ θ∂∂−∂∂+ ∂θ∂

−χ∂∂θ+ χ∂∂−θ∂

θ∂

θ=∧∇eV

r rV

r 1e

r

Vsinr V

sinr 1erV

Vsinr

sinr 1V r r r 2 (A.58)

Altra definizione integrale della componente del rotore di V nella direzione n, deriva dal teorema di Stokes:

( ) ( )

•=•∧∇⇒•=•∧∇ ∫∫∫∫

∂=→

∂=

cdVS

1limnVcdVdSnV

SC0S

SCS

(A.59)

A.6.6.1 Significato fisico del rotore:In coordinate cilindriche calcoliamo il rotore di un campo di moto rigido dotato di una velocità di rotazione

Ω ez Sarà ovviamente Vr =0, Vθ=Ω r, Vz=0 da cui:

( ) 0V r =∧∇ , ( ) 0V =∧∇ θ , ( ) Ω=∧∇ 2V z (A.60)

Ne discende , in generale, che il modulo del rotore della velocità corrisponde al doppio della velocità

angolare della particella e la sua direzione è normale al piano del moto, con il verso coerente con la terna

(regola cavaturacciolo)

Esercizio A.5Dati vettori:

a = 3xy i + 4zx j + yz k ; b = z2 i + y

2x j + xyz k ;

ed il campo scalare f = 3x2yz+3x+6

Determinare:

il gradiente di f ∇f la sua direzione ed il suo modulo nel punto (1,2,3)la divergenza di a ∇ • a nel punto (1,2,3)il rotore di b ∇ ∧ b la sua direzione ed il suo modulo nel punto (1,2,3)

Esercizio A.6Dati i vettori (rappresentazione cilindrica):

a = 3rz ir + 4z sinθ iθ+ z iz ; b = 3 r cosθ ir + 4 r iθ+ z sinθ iz

A.13


14/37


ed il campo scalare f = 3 r 2 tanθ Determinare:

il gradiente di f ∇f la sua direzione ed il suo modulo nel punto (1,30°,60°)la divergenza di a ∇ • a nel punto (1,2,3)il rotore di b ∇ ∧ b la sua direzione ed il suo modulo nel punto (1,2,3)

Esercizio A.7Dati i campi vettoriali:

1. V(r,θ,χ) = (k/r 2) ir (in uno spazio 3D, coordinate cilindriche/sferiche)

2. V(r,θ) =(k/R) ir (in uno spazio 2D, coordinate polari/cilindriche)

3. V(r,θ,χ) = (k/r 2) iθ (in uno spazio 3D, coordinate cilindriche/sferiche)

4. V(r,θ,χ) = (k/R) iθ (in uno spazio 2D, coordinate polari/cilindriche)

5. V(x,y) =( ) ( )

++

+ j

yx

yi

yx

xk

22

22

(in uno spazio 2D, coordinate cartesiane)

6. V(x,y) =( ) ( )

++

+− j

yx

xi

yx

yk

22

22


7. V(r,θ) = k

θ+θ

θiR

sini

R

cos2r 2

(in uno spazio 2D, coordinate cilindriche)

8. V(x,y) =( ) ( )

++

+

−− j

yx

xy2i

yx

yxk

222

222

22


Determinare:le divergenze ed i rotori dei campi vettoriali nei rispettivi spazi coordinati

A.7 Operatori differenziali del secondo ordine

A.7.1 Laplaciano

La definizione integrale è:

( ) ( ) ( ) ( ) dSn.1limdS.n1lim.

S0

S0

2

∫∫∫∫∂=

→∂=

→ ∂∂=∇•=∇•∇=⋅∇

VV

VV VV

(A.61)

Per determinarne le espressioni, preferiamo usare il calcolo simbolico (vettoriale-differenziale) sfruttando le

relazioni trovate per i fattori di scala.

ξ∂∂

ξ∂∂

+

ξ∂∂

ξ∂∂

+

ξ∂∂

ξ∂∂

=∇33

21

322

31

211

32

1321

2 f

h

hhf

h

hhf

h

hh

hhh

1f (A.62)

Ne derivano le espressioni del laplaciano di f: ∇2 f

A.14


15/37


Cartesiano(x,y,z):

2

2

2

2

2

22

z

f

y

f

x

f f

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=∇ (A.63)

Cilindrico(r,θ,z):

2

2

2

2

22

z

f f

r

1

r

f r r r

1f ∂

∂+θ∂

∂+ ∂

∂∂∂

=∇ (A.64)

Sferico (r,θ,χ):

2

2

222

2

2

2 f

sinr

1f sin

sinr

1

r

f r

r r

1f

χ∂

∂

θ+

θ∂

∂θ

θ∂∂

θ+

∂∂

∂∂

=∇ (A.65)

Esercizio A.8

Date le funzioni:

f(x,y,z) = 222 zyx ++ (distanza dall’origine in uno spazio 3D, coordinate cartesiane)

1. f(r,θ,χ) = r (distanza dall’origine in uno spazio 3D, coordinate sferiche)

2. f(x,y) = 22 yx + (distanza dall’origine in uno spazio 2D, coordinate cartesiane)

3. f(R,θ) = R (distanza dall’origine in uno spazio 2D, coordinate cilindriche)

4. f=Ln(R) = 22 yx +ln (in uno spazio 2D, coordinate cartesiane)

5. f=Ln(r) = 222 zyx ++ln (in uno spazio 3D, coordinate cartesiane)

6. F(x,y) =k( x2- y

2) (funzione in uno spazio 2D, coordinate cartesiane)

7. F(x,y) = k(xy) (funzione in uno spazio 2D, coordinate cartesiane)

8. F(x,y,z) =k(xyz) (funzione in uno spazio 3D, coordinate cartesiane)

9. F(r,θ) =k θ (funzione in uno spazio 2D, coordinate cilindriche)

10. F(x,y) =k

−

x

ytan 1 (funzione in uno spazio 2D, coordinate cartesiane)

11. F(R,θ) =R α sin(αθ) (funzione in uno spazio 2D, coordinate cilindriche, α è un numero)12. F(R,θ) =R α cos(αθ) (funzione in uno spazio 2D, coordinate cilindriche, α è un numero)13. f=1/R (R=distanza dall’origine in uno spazio 2D, coordinate cartesiane)

14. r=1/r (r=distanza dall’origine in uno spazio 23, coordinate cartesiane o sferiche)

Determinare:

i gradienti ed i laplaciani delle funzioni nei rispettivi spazi coordinati

Esercizio: A.9Verificare le identità

a) ( ) ( )AAA2 ∧∇∧∇−•∇∇=∇ b) ( ) 0A =∧∇•∇ c) ( ) 0f =∇∧∇

d) ( ) ( ) ( )VVVVVV21 ∧∇∧−•∇=∇•

e) ( )[ ] ( )( ) ( )( ) ( )[ ] ( )( )VVVVVVVVVV •∇∧∇+∇•∧∇−∧∇∇•+∧∇•∇−=∧∧∇∧∇

A.15


16/37


A.8 Algebra tensoriale

Considereremo nel seguito soltanto rappresentazioni cartesiane.

La rappresentazione algebrica del generico tensore A è:

iAk iAk iAk

iA jiA jiA j

k Ai jAiiAiA

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

+++

++++

+++=

(A.66)

La rappresentazione matriciale del generico tensore A è:

k

j

i

AAA

AAA

AAA

k jiA

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

= (A.67)

Di solito si considera implicitamente il prodotto con i vettori contenenti i versori coordinati, per cui siconviene rappresentare il tensore A semplicemente con la sua matrice delle componenti scalari Aij:

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

AAA

AAA

AAA

A → (A.68)

Il trasporto At del tensore è rappresentato dalla matrice trasposta, i.e. quella che si ricava sostituendo le righe

con le colonne:

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

t

AAA

AAA

AAA

A → (A.69)

Ovviamente ( ) AA tt =

Un tensore si dice simmetrico se coincide con il suo trasposto, A t = A , i.e. Aij=A ji ; esempio:

653

542

321

ovviamente un tensore trasposto è definito da solo 6 componenti scalari.

Un tensore si dice anti-simmetrico se .

Aij=-A ji ; es.

032

301

210

−−

− (A.70)

ovviamente un tensore trasposto è definito da solo 3 componenti scalari ( nota: le componenti diagonali di un

tensore anti-simmetrico devono essere nulle).

Il tensore unitario è U definito come:

100

010

001

U = (A.71)

A.16


17/37


La traccia di un tensore Tr(A) è lo scalare somma delle componenti sulla diagonale principale:

Tr(A)=Axx+Ayy+Azz.

La traccia del tensore unitario è pari a 3 ed è nulla per un tensore antisimmetrico. La traccia di un tensore

diadico a b è pari al prodotto scalare delle componenti (sinistra e destra) Tr(a b) = a• bOgni tensore può essere espresso come somma di un parte simmetrica e di una anti-simmetrica: A= A

s+ A

a:

t

21t

21 AAAAA −++= (A.72)

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 0AAAA

AA0AA

AAAA0

AAAAA

AAAAA

AAAAA

AAA

AAA

AAA

A

yzzy21

xzxz21

zyyz21

xyyx21

zxxz21

yxxy21

zzyzzy21

xzxz21

zyyz21

yyxyyx21

zxxz21

yxxy21

xx

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

−−

−−

−−

+

++

++

++

=

=→

(A.73)

Si definisce vettore di un tensore A , il vettore Av = εijk Aij ek .Esso è nullo per un tensore simmetrico e, per un tensore diadico ab è pari al prodotto vettoriale dellecomponenti (sinistra e destra) (a b)v = a^b

A.8.1 Prodotto scalare tra un vettore n ed un tensore A

E’ un vettore (nota il prodotto scalare abbassa di due unità la somma degli ordini tensoriali dei fattori)

Prodotto scalare da destra:

nA • (A.74)

Espressione algebrica:

[ ]

[ ][ ][ ]xzzxzyxzx

xyzxyyxyx

xxzxxyxxx

algebral'svolgendo

zyx

zzzyzx

yzyyyxxzxyxx

nAnAnAi

nAnAnA j

nAnAnAi

k n jnink Ak jAk iAk

k A j jA jiA jk Ai jAiiAinA

+++

++++

+++=

=++•

+++

++++++=•

(A.75)

Espressione matriciale:

z

y

x

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

n

n

n

AAA

AAA

AAA

nA →• (A.76)

Prodotto scalare da sinistra:

An • (A.77)


A.17


18/37


[ ]

[ ]

[ ][ ]k nAnAnAi jnAnAnA

inAnAnA

k Ak jAk iAk k A j jA j

iA jk Ai jAiiAik n jninAn

xzzxzyxxz

xzyxyyxxy

xzxxyxxxx

algebral'svolgendo

zzzyzxyzyy

yxxzxyxx

zyx

+++ ++++

+++=

=

+++++

++++•++=•

(A.78)


zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

zyx

AAA

AAA

AAA

nnnAn →• (A.79)

Nota:

• i due prodotti sono in genere diversi a meno che il tensore non sia simmetrico.• Vale infatti nAAn t •=• ; tAnnA •=• ; nnUUn =•=•

• Sfruttando la definizione di parte antisimmetrica di un tensore, Aa si ottiene V•A = A•V+Av ∧V• Valgono le seguenti identità Av ∧V = 2 V•A

a ∇ ∧ Av = -2 V•A

a

A.8.2 Doppio prodotto scalare tra tensori

Vale: A:B= Aij B ji

NOTA: in alcuni testi si definisce A:B= Aij Bij

Nota: il doppio prodotto scalare tra diadi non è associativo, i.e.

[ ] [ ] [ ] [ ]dc bac bdadc: ba ••≠••=

A.8.3 Analisi spettrale di tensoriIl prodotto scalare da destra di un tensore T con un vettore a è, in genere, un vettore b :

baT =• (A.80)

Poniamoci il problema di esaminare cosa accade se imponiamo che il vettore b sia parallelo ad a : che sia

cioè b = λ a [nota: λ è uno scalare, e il modulo di a varia se λ ≠ ± 1] dovrà ovviamente essere per la (A.80):

aaT λ=• (A.81)

ovvero:

0aUT =•λ− ovvero: ik ik aaT λ= ovvero ( ) 0aT k ik ik =λδ− (A.82)

Ovviamente le (A.81) e (A.82) soddisfano la soluzione banale: a = 0 .

L’ analisi spettrale dei tensori analizza se esistono soluzioni non banali per le (A.82), in tal caso:

A.18


19/37


• i vettori a sono chiamati autovettori (ovvero vettori caratteristici ovvero eigenvectors) di T e i loroversori definiscono le direzioni principali del tensore,

• gli scalari λ sono chiamati autovalori (ovvero valori caratteristici ovvero eigenvalues) erappresentano le componenti del tensore T lungo le direzioni principali.

Preferiamo considerare il problema di ridurre il generico

tensore T ai suoi assi principali, procedendo con un esempio

molto semplice:

Consideriamo un sistema di 3 masse m1, m2, m3 poste in un

piano x, y , di cui vogliamo analizzare il tensore d’inerzia:

=

2221

1211

II

III (A.83) X

2

1

1

-1

m1

Y

m3

m2

2

X’

Y’

ϕ

siano:

3m;2m;1m 321 ===

(A.84)

( ) == ∑=

2

j j

3

1 j

11 ymI 12 15( )=== ∑=

j j j

3

1 j

1221 yxmII 9 ( ) == ∑=

2

j j

3

1 j

22 xmI

La soluzione non banale delle (A.82)

yy22x22

xy21x11

aaIaI

aaIaI

λ=+

λ=+ (A.85)

richiede la soluzione del sistema di equazioni:

( ) 0aIaI0aIaI

y22x22

y21x11

=λ−+

=+λ− (A.86)

che ha soluzione no nulla solo se il determinante della matrice è nullo:

0II

II

2212

2111=

λ−

λ− (A.87)

ovvero se è soddisfatta l' equazione caratteristica:

( ) ( ) 0IIIIII 2112221122112 =−+λ+−λ (A.88)

che ha le radici:

( ) 21122

22112211

1 IIII2

1

2

II+−++=λ ( ) 2112

2

22112211

2 IIII2

1

2

II+−−+=λ (A.89)

per il caso analizzato: λ1=22.62 λ2= 4.376

Nota se I12=I21=0 risulta λ1 = I11 e λ2 = I22 e quindi il vettore a non è ruotato (gli assi x e y sono principalid’inerzia).

In genere se I12 ≠0 e I21≠0 e si hanno due soluzioni reali cui corrispondono duevettori caratteristici

( ) 0IIII 21122

2211 >+−a(1) ed a(2) che sono indeterminati essendo la (A.82) e quindi la (A.85) un sistema

omogeneo.

A.19


20/37


Questi vettori sono quindi individuati a meno di una costante (di solito si impone arbitrariamente una

componente e successivamente si normalizza il vettore ponendone il modulo unitario): ad esempio dalla

(A.85)

yy22x21

xy21x11

aaIaI

aaIaI

λ=+

λ=+ (A.90)

ponendo ay=1 si ricavano le due forme equivalenti:

1a,I

IaaIaaI

1a,I

IaaIaaI

y

21

22xy22yx21

y

11

12xy21xx11

=−λ

=→−λ=

=−λ

=→−=λ−

(A.91)

Ne segue che gli autovettori a(1) ed a(2) corrispondenti ai due autovalori λ1 ed λ2 sono:

1a,I

Ia

1a,

I

Ia

y)2(

112

12x

)2(

y)1(

111

12x

)1(

=−λ

=

=

−λ

=

(A.92)

di modulo:

( ) ( )

( ) ( )

I

IIa

I

IIa

112

2

112

2

12)2(

111

2

111

2

12)1(

−λ

−λ+=

−λ

−λ+=

(A.93

I due autovettori, normalizzati, diventano:

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )

+−λ

−λ+−λ

=

+−λ

−λ+−λ

=

2

12

2

112

112

2

12

2

112

12

(2)

2

12

2

111

111

2

12

2

111

12

(1)

II

I

II

I

a

II

I

II

I

a (A.94

per il caso analizzato: 1) –0.646374 i + 0.76302 j 2) 0.76302 i + 64637 j

E’ interessante fare il prodotto scalare di questi due autovettori:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )2122

112

2

12

2

111

112111

2

12

2

12

2

112

1122

12

2

111

1112

12

2

112

122

12

2

111

12(2)(1)

IIII

III

II

I

II

I

II

I

II

Iaa

+−λ+−λ

−λ−λ+=

=+−λ

−λ

+−λ

−λ++−λ+−λ=•

(A.95

Sostituendo in questa relazione i risultati della (A.89) ne risulta:

0aa(2)(1) =• (A.96)

Ovvero gli autovettori sono tra di loro ortogonali

A.20


21/37


Questi vettori individuano le due direzioni principali del tensore d’inerzia I, che hanno, rispetto all’asse x,

una inclinazione ϕ di:

12

111)1(

x

)1(y

1I

I

a

atan

−λ==ϕ

12

112)2(

x

)2(y

2I

I

a

atan

−λ==ϕ (A.97)

per il caso analizzato: φ1 = -49,7314° φ2 = 40.2686

sostituendo le espressioni degli autovalori (A.89) nelle (A.97) si ritrova che ϕ2 = ϕ1 + π/2 ovvero si confermache le direzioni principali sono ortogonali l’una all’altra.

Se gli autovettori sono reali e distintiti, formano, se normalizzati, una matrice di rotazione:

[ ]

==

)2(y

)1(y

)2(x

)1(x)2()1(

aa

aaaaR la cui inversa è

==−

)2(y

)2(x

)1(y

)1(xtrasp1

aa

aaR R (A.98)

L’applicazione di questa rotazione alla matrice originaria la trasforma in una matrice diagonale:

λ

λ=

=

=−

2

1

22

11

)2(y

)1(y

)2(x

)1(x

2221

1211

)2(y

)1(y

)2(x

)1(x1

0

0

'I0

0'I

aa

aa

II

II

aa

aaR IR (A.99)

Nota:I’11 + I’22 ≅ 22.6241 +4.3759 = 27 = 15+12 = I11 + I22 è invariato (A.100)

L’estensione al caso 3D di un generico tensore T è immediata.

Il tensore è rappresentato dalla matrice:

=333231

232221

131211

TTT

TTT

TTT

T (A.101)

L’equazione degli autovalori è:

0

TTT

TTT

TTT

det0UT

333231

232221

131211

=

λ−

λ−

λ−

==λ− (A.102)

L’equazione caratteristica si ricava svolgendo il determinante della (A.98):

( ) 0TTT

TTT

TTT

TTTT

TTTT

TTTTTTT

333231

232221

131211

2221

1211

1113

3133

3332

2322332211

23 =−

++λ+++λ−λ (A.103)

L’equazione caratteristica deve essere invariante: quindi i suoi coefficienti rappresentano gli invarianti del

tensore:

( )3322111 TTTInv ++= (A.104)

++=

2221

1211

3331

1311

3332

2322

2TT

TT

TT

TT

TT

TTInv (A.105)

A.21


22/37


333231

232221

131211

3

TTT

TTT

TTT

Inv = (A.106)

Nota: i tensori che hanno il primo invariante nullo:

( ) ( )TTr TTT

3322111Inv =++= =0 sono detti deviatorici.

I tensori che hanno le componenti scalari invarianti rispetto ad arbitrarie rotazioni di assi sono detti isotropi.

Tutti i tensori di ordine zero (scalari) sono isotropi.

Nessun tensore di ordine uno (vettore) è isotropo.

La forma più generale di tensore isotropo di ordine due è il tensore unitario U ovvero

il simbolo di Kronecker: δij Tutti i tensori isotropi di ordine maggiore di due si possono esprime come combinazioni del tensore δij La forma più generale di tensore isotropo di ordine tre è rappresentato dal tensore di Ricci:

εiik =(ei ∧ e j) • ek La forma più generale di tensore isotropo di ordine quattro è rappresentato dalla forma (A,B,C costanti

scalari):

ηiklm = A δik δlm+ B δil δkm+ C δim δkl

Ovviamente ogni tensore può essere scritto come somma di un tensore deviatorico ed uno isotropo:

{

434214 4 34 4 21

isotropo

ik mm

odeviatoric

ik ik mm

D

ik mmik ik T3

1DT

3

1T

3

1TT

ik

δ+=δ+

δ−= (A.107)

( )( )

( )( ) {

( )

4342143421

isotropoodeviatoricD

U3

TTr DU

UTr

TTr U

UTr

TTr TT +=+−= (A.108)

A.9 Tensori di interesse in Fluidodinamica

A.9.1 Tensore degli sforzi

Il tensore degli sforzi τ è definito come una entità fisica tale che :

(A.109)

dS

ntn

τ•= nt n

Dove la tensione

dS

Fdt sn =

Superfice

Forza

è lo sforzo viscoso dFs agente sull’areola dS di normale n.

Significato fisico della divergenza del tensore degli sforzi

Dalla definizione integrale risulta:

V V V V V V

V V V

V

n

0S

n

0S

n0

S0

FlimdS

dS

Fd1limdSt

1limdSn

1lim

→∂=

→∂=

→∂=

→≈==τ•=τ•∇ ∫∫∫∫∫∫

V

(A.110)

A.22


23/37


ergo la τ•∇ rappresenta il risultante degli sforzi superficiali viscosi, agente su di una particella fluida, per

unità di volume.

Calcolo della τ•∇ (coordinate cartesiane)


k z

A

y

A

x

A j

z

A

y

A

x

Ai

z

A

y

A

x

A

k Ak jAk iAk k A j jA j

iA jk Ai jAiiAik

z j

yi

xA

zzyzxzzyyyxyxzxyxxalgebral'svolgendo

zzzyzxyzyy

yxxzxyxx

∂∂

+∂

∂+

∂∂

+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=

=

+++++

++++•

∂∂

+∂∂

+∂∂

=•∇

(A.111)


zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

AAA

AAA

AAA

zyxA

∂∂

∂∂

∂∂

→•∇ (A.112)

Nota l’identità:) p pUU pU p ∇=∇•+•∇=•∇ (A.113)

A.9.2 Gradiente della velocità

Il Tensore diadico V∇ entra nell’analisi della velocità di deformazione di una particella fluida.


[ ]

∂∂

+∂∂

+∂∂

+

∂∂

+∂∂

+∂∂

+

∂∂

+∂∂

+∂∂

=++

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇

k z

w j

z

vi

z

uk k

y

w j

y

vi

y

u jk

x

w j

x

vi

x

ui

k u jviuz

k y

jx

iValgebral'svolgendo

(A.114)


z

w

z

v

z

u y

w

y

v

y

ux

w

x

v

x

u

wvu

z

y

x

V

∂∂

∂∂

∂∂ ∂

∂

∂

∂

∂

∂∂∂

∂∂

∂∂

→

∂∂∂

∂∂∂

→∇ (A.115)

E’ interessante calcolare le parti simmetriche ed antisimmetriche del Tensore diadico V∇

A.23


24/37


25/37


Come prodotto dell’ operatore scalare ( )( ).V ∇• sulla velocità V:

( )VV ∇• (A.121)


[ ] [ ] [ ]

[ ]

k x

ww

y

wv

x

wu j

z

ww

y

vv

x

vui

z

uw

y

uv

x

uu

k w jviuz

wy

vx

u

k w jviuk z

jy

ix

k w jviuVV

∂∂

+∂∂

+∂∂

+

∂∂

+∂∂

+∂∂

+

∂∂

+∂∂

+∂∂

=

=++

∂∂

+∂∂

+∂∂

=

=++

∂∂

+∂∂

+∂∂

•++=∇•

(A.122)


[ ] [ ]w

v

u

y

y

x

wvuVV

∂∂∂∂

∂∂

→∇• (A.123)

Esercizio.A.10Verifica l’identità vettoriale: ( )VVS 2

21 •∇∇+∇=•∇

Esercizio.A.11

Verifica l’identità vettoriale: ( ) VV2

VVV

2

∧∧∇+

∇=∇•

Esercizio.A.12

Verifica l’identità vettoriale: Ω•+

∇=∇• V2

2

VVV

2

Esercizio.A.13Determina le componenti di Vn •τ•

(rappresenta la potenza dissipata dallo sforzo viscoso agente su di una superficie)

Esercizio.A.14

Verifica l’identità ( ) ( ) ( )V:VV trasp ∇τ+•τ•∇=•τ•∇

(rappresenta la potenza dissipata dal risultante degli sforzi viscosi agente sulla superficie di una particella,

per unità di volume)

Esercizio.A.15Verifica le seguenti identità

( ) ( ) ( ) a b ba ba •∇+•∇=•∇

( ) ( ) ( ) baa b ba ∧∇•−∧∇•=∧∇

A.25


26/37


( ) ( ) ( ) ( ) ( )a b ba b b ba ba ∇•+∇•−•∇−•∇=∧∧∇ ( ) ( ) ( ) a b ba ba ∧∇+∧∇=∧∇

( ) ( ) ( ) ba ba ba ∇•+•∇=•∇ ( ) ( ) ( ) ba ba ba ∇∧−∧∇=∧∇

A.10 Elementi di calcolo integrale

Considerata la figura a lato, valgono i seguenti teoremi di Gauss:

del gradiente: (A.124)dSf ndf S

∫∫∫∫∫∂=

=∇V V

V

della divergenza:

dSVndV

S∫∫∫∫∫ ∂=•=•∇

V V

V (A.125)

dSnd

S

∫∫∫∫∫∂=

τ•=τ•∇V V

V (A.126)

V

S

n

del rotore: dSVndVS

∫∫∫∫∫∂=

∧=∧∇V V

V (A.127)

Considerata la figura a lato vale il teorema di Stokes:

della circolazione: Γ=dC•=∧∇• ∫∫∫∂=∂=

VtdSVn

SCS V

(A.128)

S

C

V

n

t( )

A.26


27/37


A.11 Cenni sui Sistemi di Coordinate Curvilinee non Ortogonali

Per poter presentare, nel modo più semplice che

possiamo immaginare, gli argomenti di algebra e di

calcolo tensoriale in coordinate curvilinee[tradizionalmente ostici], adotteremo una presentazione

che farà riferimento sempre ad un sistema cartesiano, e

faremo ampiamente uso delle trasformazioni tra sistemi

di riferimento.

y

x

z

ξ2

ξ1

ξ3

ξ3=c 3

ξ1=c 1ξ2=c 2

y

x

z

Questo non è il percorso più breve, ma certamente il più

agevole per la comprensione.

Consideriamo che ogni punto (x,y,z) del sistema

cartesiano Σ(x,y,z) può essere espresso come funzione di

altre variabili (ξ1,ξ2,ξ3):

x=x(ξ1,ξ2,ξ3) y=y(ξ1,ξ2,ξ3) z=z(ξ1,ξ2,ξ3) (A.129)

Ovviamente il sistema di relazioni (A.129) dovrà essere invertibile (potrebbe non esserlo in certi punti

singolari, ma questo non è un vero problema in quanto escluderemo semplicemente l’uso di tali punti) e

capace di definire una corrispondenza univoca:

ξ1= ξ1 (x,y,z) ξ2= ξ2 (x,y,z)) ξ3= ξ3 (x,y,z) (A.130)

Le (A.129) e (A.130) definiscono un sistema di coordinate (in generale non necessariamente ortonormale)

curvilineo Σ(ξ1,ξ2,ξ3) e rappresentano anche la trasformazione tra il sistema cartesiano Σ(x,y,z) e quellocurvilineo Σ(ξ1,ξ2,ξ3) e viceversa.

Le superfici:

ξ1= ξ1 (x,y,z)=costante=c1, ξ2= ξ2 (x,y,z)=costante=c2, ξ3= ξ3 (x,y,z)=costante=c3, (A.131)

sono le superfici coordinate del sistema Σ(ξ1,ξ2,ξ3) che passano per il punto (x,y,z) e le loro intersezionidefiniranno gli assi curvilinei che passano per il generico punto (x,y,z):

[ξ2 =c2 ] ∩ [ξ3 =c3 ] → asse curvilineo ξ1 [ξ3 =c3 ] ∩ [ξ1 =c1 ] → asse curvilineo ξ2 (A.132)

[ξ1 =c1 ] ∩ [ξ2 =c2 ] → asse curvilineo ξ3

Ci si pone il problema di trovare i versori coordinati del sistema Σ(ξ1,ξ2,ξ3) e le componenti di un genericovettore a in questo sistema.

Per ragioni puramente didattici, assumeremo il vettore a(ax,ay,az) noto nel sistema Σ(x,y,z) e cercheremo diesprimere le componenti di a nel sistema Σ(ξ1,ξ2,ξ3).

Ovviamente questo varrà anche per il vettore posizione: r(x,y,z) che nel sistema curvilineo avrà unarappresentazione r(ξ1, ξ2, ξ3).

A.27


28/37


A scapito della generalità, ma a vantaggio della praticità, facciamo un esempio bidimensionale di un sistema

non ortogonale molto semplice (cui faremo riferimento per esempi pratici) rappresentato da due assi rettilinei

posti ad un generico angolo 0 < α < π.In particolare nella figura è rappresentato un sistema non ortogonale

avente:

xξ1

yξ2

x,ξ

1)

y

ξ

2)

ξ

2)

rα

ξ

1)

• l’asse ξ1 parallelo all’asse x,

• l’asse ξ2 posto ad un angolo α rispetto all’asse x.

Analizzando la figura notiamo, candidamente, che per il vettore

posizione r, si possono concepire due modalità di componenti rispettoal sistema Σ(ξ1, ξ2):

le intercette con le parallele all’altro asse [che abbiamo

indicato con indici: ξ 1)

ξ 2)

]

le intercette derivanti dalle proiezioni normali sull’asse [che abbiamo indicato con pedici: ξ 1)

ξ

2) ]

E’ ben ovvio che tale doppia modalità scompare (le due componenti coincideranno) se il sistemaΣ(ξ1, ξ2) fosse ortonormale (α=π/2).

Ed è altrettanto ovvio che i due tipi di componenti devono riferirsi a versori coordinati differenti.

Stiamo in pratica iniziando a scoprire i misteri delle componenti controvarianti e covarianti

Come in tutti i momenti di difficoltà osserviamo il consiglio del saggio: procedere con calma, metodo e

seguire i fondamentali.

• Il vettore posizione r(x,y,z) ha, nel sistema curvilineo Σ(ξ1, ξ2, ξ3), una rappresentazione r(ξ1, ξ2, ξ3).• Il vettore tangente alla coordinata curvilinea ξ1 (per cui ξ2 e ξ3 devono essere costanti) nel punto

P(x,y,z) è dato per definizione da:

1

)1(

r E

ξ∂∂

= (A.133)

• Il versore tangente sarà:

( )( )

( )

( )

( )1

1

1

1

1h

E

E

Ee == (A.134)

• Il fattore di scala relativo sarà:

( )1

1

r h

ξ∂∂

== (A.135)

Ovviamente lo stesso vale per le altre componenti tangenti (2) e (3).

Ma esiste un’altra possibilità: di considerare vettori normali alle direzioni coordinate.

• Queste sono definite dal gradiente della generica ascissa coordinata ξi.• Ne discende quindi per il vettore normale alla ξ1:

( )1

1E ξ∇= (A.136)

• Il versore normale sarà:

( )( )

( )

( )

( )1

1

1

11

h

E

E

Ee == (A.137)

• Il fattore di scala relativo sarà:

A.28


29/37


( )1

1h ξ∇= (A.138)

Ovviamente lo stesso vale per le altre componenti (2) e (3).

ξ1

ξ2

e (1 )

e (2 )

e (2 )e (1 )

x

y

A questo punto dovrebbe essere chiaro che i versori e(i) sono

definiti paralleli agli assi coordinati mentre quelli e(i)

sonodefiniti normali agli assi coordinati ξi : cioè appaiono comenella figura a lato (versione 2D).

Prima di procedere ulteriormente, conviene applicare quanto

ritrovato al semplice sistema di coordinate piane oblique e

verificare quanto intuito.

Nel dubbio che ci assale nell’esplicitare le relazioni delle coordinate del sistema obliquo rispetto a quello

cartesiano, ricordando i fondamentali, adottiamo la regola del parallelepipedo e quindi definiamo questo

sistema rispetto al cartesiano come:

αξ=αξ+ξ=

siny

cosx

2

21 (A.139)

y

α=ξ

α−=ξ

sin

y

tan

yx

2

1

(A.140)

α

ξ1

ξ2

x

Nota: nella relazione inversa qualcosa sballa per α=0, ma non c’è problema: in questo caso i due assi ξ1=ξ2 coincidono e quindi il sistema di riferimento non è valido.

Dalle (A.139) si ricava per il vettore posizione r(ξ1,ξ2) nel riferimento cartesiano:

( ) ( ) jsinicos jyixr 221 αξ+αξ+ξ=+= (A.141)

Ne discende per i vettori tangenti:

( ) ir

E1

1 =ξ∂∂

= ( ) ( ) 1Eh 11 == ( )( )

( )

ih

Ee

1

1

1 == (A.142

jsinicosr

E2

)2( α+α=

ξ∂

∂= ( ) ( ) 1Eh 22 == ( )

( )

( )

jsinicos

h

Ee

2

2

2 α+α== (A.143)

e dalle (A.135) si ricava per l’altro set di vettori normali:

jtan

1iE 1

)1(

α−=ξ∇= ( ) ( )

α=

α

+==sin

1

tan

11E

2

11h ( )

jcosisin1 α−αe = (A.144)

jsin

1E 2

)2(

α=ξ∇= ( )

( )

α==

sin

1Eh

22

( ) je

2 = (A.145)

E’ interessante fare i diversi prodotti scalari tra i vari vettori tangenti e normali trovati:

A.29


30/37


( )( ) ( ) 1i j

tan

1iEE 1

1 =•

α

−=•

( )( ) ( ) ( )

( )( )

( )( )

( )( )1

1

1

1

1

1

1

1

hh

1

hh

EEsini jcosisinee =

•=α=•α−α=•

( )( ) ( ) 0coscos jsinicos j

tan

1iEE 2

1 =α−α=α+α•

α−=•

( )( ) ( ) ( )

( )( )

( )( )

0hh

EEsincoscossin jsinicos jcosisinee

21

2

1

2

1 =•

=αα−αα=α+α•α−α=•

( ) ( ) 0i jsin

1EE 1

2 =•

α

=•

( ) ( ) ( )( )

( ) 0hh

EEi jee

)1(

2

)1(

2

)1(

2 =•

=•=•

( )( ) ( ) 1 jsinicos j

sin1EE 2

2 =α+α•

α=•

( )( ) ( ) ( )

( )( )

( )( )

( )( )2

22

2

2

2

2

2

hh

1

hh

EEsin jsinicos jee =

•=α=α+α•=•

Dalle formule ricavate notiamo che vale:

( )( )

=

≠=δ=•

jise1

jise0EE ij j

i (A.146)

x

e(1)

yξ2

, e 2)

i , e 1)

α

e(2)

ξ1

Questa rappresenta una relazione universale tra i vettori

tangenti e quelli normali.

Nella figura a lato sono rappresentati questi versori nel

piano.

A.11.1 Assi reciprociMa, ricordando i fondamentali, notiamo che la proprietà rappresentata dalla formula di cui sopra altro non è

che una relazione che lega una certa terna di assi:

E(1), E(2), E(3)

alla sua terna reciproca:E(1), E(2), E(3)

Ma allora scopriamo che gli assi reciproci possono costruirsi, alternativamente, mediante i prodotti vettoriali

degli assi di partenza, ad esempio per i=1:

A.30


31/37


( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )321321

EEE

EEE

∧•

∧= ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )32132

1EEE

EEE

∧•

∧= (A.147)

le altre relazioni si ottengono permutando gli indici [1-2-3] in senso positivo .

Ma esiste, come sempre, una terza via, che preferiamo illustrare con un esempio di sistema curvilineo nonortogonale leggermente più complicato.

Se consideriamo il sistema di coordinate curvilineo Σ(u1,u2) definito alle relazioni:

u1= x y ; u2=(x2+y

2)/2 (A.148)

(rappresenta un sistema di iperboli-circonferenze)

avremo difficoltà nel ricavare esplicitamente le relazioni inverse: x(u1,u2) e y(u1,u2).

Per cui, nel mentre sarebbe semplice costruirsi i vettori normali:

{ jxiy j

y

ui

x

uuE

efattispecinella

111

)1( +=∂∂+

∂∂==∇= (A.149)

{ jyix j

y

ui

x

uuE

efattispecinella

222

)2( +=∂

∂+

∂∂

=∇= (A.150)

Avremmo difficoltà nel ricavare le espressioni dei vettori tangenti:

( ) ju

yi

u

x

u

r E

111

1 ∂

∂+

∂∂

=∂∂

= ( ) ju

ji

u

x

u

r E

222

2 ∂

∂+

∂∂

=∂∂

= (A.151

Con un poco di attenzione ai fondamentali, osserviamo che abbiamo a disposizione le derivare parziali delle

coordinate curvilinee rispetto a quelle cartesiane, cioè conosciamo lo jacobiano:

( )( )

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=∂

∂=

y

u

y

ux

u

x

u

y,x

u,uJ

21

21

21 (A.152)

e vogliamo calcolare le derivate parziali delle coordinate cartesiane rispetto a quelle curvilinee, cioè le

componenti della matrice che rappresenta l’inverso dello jacobiano di cui prima:

( )( )

1

21

22

11 Ju,u

y,x

u

y

u

x

u

y

u

x

−=∂∂

=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

(A.153)

Per trovare queste componenti basta, quindi, invertire la matrice jacobiana. Questa inversa è pari alla matrice

aggiunta (composta dai complementi algebrici di ogni componente) divisa per il determinante.

Nel caso semplice considerato (2D) abbiamo una matrice 2x2, per cui:

A.31


32/37


∂∂

∂∂

−

∂∂

−∂

∂

=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

x

u

x

u

y

u

y

u

)Jdet(

1

u

y

u

x

u

y

u

x

12

12

22

11 (A.154)

Nel caso specifico si ricava quindi :

( )

−

−

−=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

yx

xy

xy

1

u

y

u

x

u

y

u

x

22

22

11 (A.155)

da cui

( ) jxy

xi

xy

y

u

r E

22221

1 −−

−=

∂∂

= (A.156

( ) jxy

yixy

xur E

22222

2 −+

−−=

∂∂= (A.157

Ovviamente anche in questo caso si ritrova (prova del nove) la relazione:

( )( )

=

≠=δ=•

jise1

jise0EE ij j

i (A.158)

Queste relazioni sono molto utili perché consentono, ricordando il significato del doppio prodotto misto tra

vettori e l’espressione per lo jacobiano, di calcolare i volumi infinitesimi nelle due rappresentazioni dicoordinate:

controvariante ( ) ( ) ( ) ( ) ) 321321321. dddhhhEdEdEdd ξξξ=∧•=V (A.159) covariante ( ) ( ) ( ) ( ) 321321321. dddhhhEdEdEdd ξξξ=∧•=V (A.160)

da cui discende la relazione:

( )( ) 1dd .. =V V (A.161)

A11.2 Componenti controvarianti e covarianti

A questo punto abbiamo tutti gli ingredienti per ricavare le definizioni delle componenti di un vettore a .

Possiamo definirle

rispetto ai vettori coordinati (E) (di lunghezza non necessariamente unitaria)ovvero

rispetto ai versori coordinati (e) (di lunghezza certamente unitaria). Ne derivano:

Componenti controvarianti: a(i):

A.32


33/37


( ) ( ) ( ) ( ) { ( )i)i(

indicialenotazione

i)i(

3

1i

3)3(

2)2(

1)1( EAEAEAEAEAa ≡=++= ∑

=

(A.162)

dove:( )i)i( EaA •= (A.163)

ovvero

( ) ( ) ( ) ( ) { ( )i)i(

indicialenotazione

i

)i(3

1i

3

)3(

2

)2(

1

)1( eaeaeaeaeaa ≡=++= ∑=

(A.164)

dove:( )i)i( eaa •= (A.165)

Componenti covarianti: a(i):

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

{ ( )( )i

i

indicialenotazione

i

i

3

1i

3

3

2

2

1

1 EAEAEAEAEAa ≡=++=

∑= (A.166)

dove:

( ) ( )ii EaA •= (A.167)

ovvero:

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

{ ( )( )i

i

indicialenotazione

i

i

3

1i

3

3

2

2

1

1 eaeaeaeaeaa ≡=++= ∑=

(A.168)

dove:

( ) ( )ii eaa •= (A.169)

Andiamo quindi a verificare, con ordine, le componenti controvarianti e covarianti di un generico vettorea, per il nostro esempio di sistema di riferimento obliquo.Dalle definizioni e da quanto ritrovato discende molto semplicemente:

Componenti (fisiche) controvarianti: ( )i)i( EaA •= (A.170)

( )α

−=

α

−•+=tan

aa j

tan

1i jaiaA

y

xyx

)1( (A.171)

( )

α

=

α

•+=

sin

a j

sin

1 jaiaA

y

yx

)2( (A.172)

Componenti controvarianti: ( )i)i( eaa •= (A.173)

( ) ( ) α−α=α−α•+= cosasina jcosisin jaiaa yxyx)1( (A.174)

yyx

)2( a j jaiaa =•+= (A.175)

Componenti (fisiche) covarianti:

( ) (ii EaA )•= (A.176)

( ) ( ) xyx1 ai jaiaA =•+= (A.177)

( ) α+α=α+α•+= sinacosa jsinicos jaiaA yxyx2 (A.178)

A.33


34/37


Componenti covarianti:

( ) ( )ii eaa •= (A.179)

( ) ( ) xyx1 ai jaiaa =•+= (A.180)

( ) α+α=α+α•+= sinacosa jsinicos jaiaa yxyx2 (A.181)

xξ1

yξ2

ax a 1)

ay

a 2)

a 2)

a 1)

a

α

Queste componenti sono riportate nella figura a lato.

A.11.3 Variazione delle componenti di un vettore in sistemi curvilinei ruotati.

Dalle definizioni delle componenti controvarianti (A.170-172) e covarianti (A.176-178) discende che se

consideriamo due sistemi Σ e Σ’, ruotati l’uno rispetto all’altro, e indichiamo con qi’

k il coseno dell’angolo

formato dall’asse i’ e l’asse k ovvero:

)'i()k (

'ik EEq •=

)k (')i(

'k i EEq •= (A.182)

risulta:

• per le componenti controvarianti:( ) ( )k 'i

k 'i

AqA = (A.183)

• per le componenti covarianti:

( ) ( )k k 'i'i AqA = (A.184)

Il tipo di rappresentazione di un vettore rispetto ad un generico sistema curvilineo viene definito dal

soddisfacimento della regola di variazione delle sue componenti:

• controvariante se si verifica l’osservanza delle (A.183),

ovvero

• covariante se si verifica l’osservanza delle (A.184).

Bada: ad essere pignoli, nell’esempio del sistema obliquo, le coordinate degli assi coordinati si dovrebbero

scrivere come ξ1 ed ξ

2 in quanto il vettore posizione r ha una naturale rappresentazione

controvariante come:

( ) ( )2)2(

1)1( EEr ξ+ξ= (A.185)

A.34


35/37


A.11.4 Il tensore metrico

Consideriamo le rappresentazioni controvariante e covariante, e definiamo le quantità:

( ) ( )k iik EEg •= ( ) ( )k iik

EEg •= (A.186)

Ricordando le definizioni (A.173-175) e (A.179-181) e considerando i prodotti scalari:

( )( )

( ) ( )[ ik k i eeaea •=• ] ( ) ( )( ) ( )ik

k

ieeaea •=• (A.187)

risulterà che le componenti controvarianti di un vettore a potranno essere espresse in termini dellecomponenti covarianti come:

( )( )k

ik i aga = (A.188)

ed analogamente le componenti covarianti di un vettore a potranno essere espresse in termini dellecomponenti controvarianti come:

( )( )k

ik i aga = (A.189)

Le nove (in uno spazio 3D) componenti gik (ovvero gik

) formano un tensore detto tensore metrico G che,considerando i coefficienti metrici (o fattori di scala) hi si può esprimere come:

=

=

332313

322212

312111

333231

232221

131211

hhhhhh

hhhhhh

hhhhhh

ggg

ggg

ggg

G (A.190)

ovviamente se il sistema curvilineo è ortogonale il tensore metrico sarà diagonale:

per sistemi ortogonali:

( )( )

( )

=

=

2

3

2

2

2

1

33

22

11

h00

0h0

00h

g00

0g0

00g

G (A.191)

NOTA: Verificare che gik =0 per i≠k è un buon metodo per testare l’ortonormalitàdi un sistema di riferimento curvilineo.

Il tensore metrico (talora chiamato tensore fondamentale perché definisce la forma bilineare fondamentale o forma quadratica fondamentale della geometria algebrica) fornisce tutte le informazioni per

“l’algebrizzazione “ del sistema.

Una volta nota la base: E(1), E(2), E(3), l’elemento di arco tra due punti contigui sarà dato, per definizione, in base alle (A.133) , da:

( ) ( ) ( ) (A.192)k iik 22

ddgr dr dr dds ξξ=•==

e l’elemento differenziale di volume dV sarà:

A.35


36/37


( ) ( ) ( ) ( )321 dddGdetd ξξξ=V (A.193)

NOTA: talora il determinante del tensore metrico G è denotato con G e la (A.159) si scrive:

( ) ( ) ( ) (A.194)321 dddGd ξξξ=V

Nel caso di un sistema ortogonale, i coefficienti metrici, necessari per la definizione degli operatori, saranno:

333222111 gh,gh;gh === (A.195)

Come esempi: per il sistema di assi obliqui (2D) posti ad un angolo α si ritrova:

( )( )

α

α=

=

=

1cos

cos1

hhh

hhh

gg

ggG

2

221

21

2

1

2221

1211 (A.196)

( ) α=α−= sincos1G 2 (A.197)

( ) ( ) ( ) 212

2

2

1

2ddcos2ddds ξξα+ξ+ξ= (A.198)

21ddsind ξξα= A (elemento differenziale di area) (A.199)

Mentre nel caso dell’esempio considerato per il sistema (2D) iperboli/circonferenze si ritrova:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

−

+

−−

−

−

−

+

=

=

=

222

22

222

222222

22

2

221

21

2

1

2221

1211

xy

yx

xy

xy2xy

xy2

xy

yx

hhhhhh

gg

ggG (A.200)

( )( ) 22222

22222

xy

1

xy

yx4yxG

−=

−

−+= (A.201)

( )( )

( ) ( )[ ]( ) 21222

2

2

2

1222

222

ddxy

yx4dd

xy

yxds ξξ

−−ξ+ξ

−

+= (A.202)

2122dd

xy

1d ξξ−

= A (elemento differenziale di area) (A.203)

Ovviamente verificandosi, in entrambi i casi, che i coefficienti del tensore metrico fuori diagonale sono non

nulli, ne deriva (come atteso) che i due sistemi saranno non ortogonali.

Esercizio A.1Analizzare il sistema di riferimento polare-ellittico di cui alla (A.23)

Esercizio A.2

A.36


37/37


Analizzare il sistema di riferimento curvilineo (3D) x=u12+2, y=u1+u2, z=u3

2-1

Esercizio A.3

Esprimi il prodotto scalare tra due vettori a e b in termini delle loro componenti controvarianti e covarianti.Trovarne l’espressione nel riferimento obliquo.

Esercizio A.4Esprimi il prodotto vettoriale tra due vettori a e b in termini delle loro componenti controvarianti ecovarianti. Trovarne l’espressione nel riferimento obliquo.

Esercizio A.5

Date le basi: e1 = - 4 i +2 j e2= 3 i +3 j e3=2 k

Trova le componenti controvarianti e covarianti del vettore che va dall’origine al punto (1,1,1).

Richiami Di Calcolo Vettoriale e Tensoriale

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