Analisi e Geometria 1Anno accademico 2018 / 2019

Federico Lastaria

federico.lastaria@polimi.it

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https://home.aero.polimi.it/lastaria/

Dipartimento di Scienze e Tecnologie Aerospaziali (DAER)

Politecnico di Milano

Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. 1) Introduzione al calcolo infinitesimale. 1/1

Introduzione al Calcolo Infinitesimale

Newton, Method of Fluxions (1671)

I. Assegnata la lunghezza dello spazio percorso in ogni istante ditempo, determinare la velocita in ogni istante.

II. Data la velocita in ogni istante, trovare in ogni istante lalunghezza dello spazio percorso.

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Cos’e il Calcolo Infinitesimale?

Studio matematico delle quantita che variano in modo continuo edelle relazioni tra di esse.

Concetti, risultati e strumenti fondamentali

Derivata: Rapidita di variazione di una quantita.

Integrale: Somma totale di parti infinitesimali.

Teorema Fondamentale del Calcolo: relazioni tra derivazione eintegrazione.

Equazioni differenziali. (Esempio: F = ma).Modelli matematici di una evoluzione deterministica.

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Derivata: Rapidita istantanea di variazione

Definizione

La derivata di f in x0, denotata f ′(x0), e il limite del rapportoincrementale:

f ′(x0) = limx→x0

f (x)− f (x0)

x − x0= lim

h→0

f (x0 + h)− f (x0)

h

(se questo limite esiste finito).

f (x0 + h) ∼ f (x0) + f ′(x0)h (h piccolo)

Precisamente, f (x0 + h)− [f (x0) + f ′(x0)h] e un infinitesimo diordine superiore rispetto a h:

f (x0 + h)− [f (x0) + f ′(x0)h]

htende a 0 (1)

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Esempio: Derivata di f (x) = x2

Esempio:(x + h)2 = x2 + (2x)h + h2 ∼ x2 + (2x)h (h piccolo)Quindi, D(x2) = 2x [Esercizio: Dxn = nxn−1, n ∈ N]

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La derivata e il Problema delle Tangenti

Problema delle Tangenti

Pendenza della secante:∆y

∆x

Pendenza della tangente ?dx

dy= lim

∆x→0

∆y

∆x

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La derivata e il Problema della Velocita Istantanea

Caduta libera di un corpo (Galileo)

Posizione all’istante t: s(t) =1

2gt2

Velocita v(t) all’istante t: v(t) = s ′(t) = gt

Piccolo tratto percorso da t a t + dt: v(t) dt = gt dt

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f derivabile =⇒ f continua. (Attenzione: 6⇐=)

Definizione

Una funzione f si dice continua nel punto x0 se

limx→x0

f (x) = f (x0)

Teorema

Se f e derivabile on x0, allora f e continua in x0.

Dimostrazione

f (x)− f (x0) =f (x)− f (x0)

x − x0(x − x0)

Il secondo membro tende a f ′(x0) · 0 = 0. Quindi anche il primomembro tende a 0.

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Funzioni derivabili e non derivabili

Derivabile: esistono le rette tangenti

f ′−(x0) 6= f ′+(x0)

Continua non derivabile

Non continua (Salto)f (x) = x sin

1

x, f (0) = 0

Continua non derivabile

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Archimede (287-212 a.C.). Area del segmento parabolico.

ADB + BEC =1

4ABC e cosı via. Iterando:

Area = ABC +1

4ABC +

1

42ABC + · · ·+ 1

4nABC + · · ·

Area = ABC

(1 +

1

4+

1

42+ + · · ·+ 1

4n+ · · ·

)= ABC

4

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La serie geometrica. (Esempio di somma infinita).

Se 0 < q < 1,

+∞∑n=0

qn = 1 + q + q2 + · · ·+ qn + · · ·

=1

1− q

Perche? Studiare la figura. [Esercizio]

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Integrale: Somma totale di parti ‘infinitesimali’.

Definizione (Integrale come limite di somme (Riemann, 1854))

∫ b

af (x) dx = lim

|∆|→0

∑i

f (x∗i )∆xi

dove |∆| = maxi=1,...,m

∆xi e la massima lunghezza dei sotto-intervalli della

partizione a = x1 < x2 < · · · < xi < · · · < xn−1 < xn = b.

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Esempio fondamentale della relazione Derivata/Integrale

Integrale della velocita = Spazio percorso

Velocita in t: v(t) = s ′(t), (Supponiamo v continua)

Spazio percorso nell’intervallino di tempo ∆ti : v(t∗i )∆ti

Spazio s(t)− s(t0) percorso da t0 a t:

s(t)− s(t0) = lim|∆|→0

∑i

v(t∗i )∆ti =

∫ t

t0

v(τ) dτ

E una versione del Teorema Fondamentale del Calcolo (I):∫ t

t0

s ′(τ) dτ = s(t)− s(t0)

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Galileo, Discorsi e Dimostrazioni Matematiche, 1638

Caduta di un corpo

Area ABE = Spazio percorso

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Teorema Fondamentale del Calcolo (II)

Grafico di f

Supponiamo f continua. Definiamo:

F (x) =

∫ x

af (u) du

= Area sotto il grafico di f da a fino a x

a x + hx

f (x)

F (x + h)− F (x)

h=

Area del ‘rettangolino’ grigio

BaseEsiste x∗ ∈ [x , x + h]:

=h f (x?)

h= f (x?)→ f (x) (per h→ 0). Segue:

Teorema Fondamentale del Calcolo Infinitesimale

Se f e continua,

d

dx

[∫ x

af (u) du

]= f (x)

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Teorema in: Newton, ‘De Quadratura Curvarum’

“Cosı, se le aree ABC , ABDG sono descritte dalle ordinate BC ,BD che avanzano con moto uniforme sulla base AB, le flussionidelle loro aree saranno tra loro in rapporto come le ordinate che

descrivono BC e BD, e possono essere rappresentate per mezzo diquelle ordinate, perche quelle ordinate stanno tra loro come gliincrementi nascenti delle aree.? (Isaac Newton, De Quadratura

Curvarum, manoscritto del 1691-1692)

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